सिद्ध कीजिए कि sqrt{7} एक अपरिमेय संख्या है। | vedclass

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Question

(B) मान लीजिए कि इसके विपरीत,$\sqrt{7}$ एक परिमेय संख्या है।तब,ऐसे सह-अभाज्य धनात्मक पूर्णांक $a$ और $b$ $(b 
eq 0)$ मौजूद हैं कि $\sqrt{7} = \frac{a

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अपरिमेय

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(B) मान लीजिए कि इसके विपरीत,$\sqrt{7}$ एक परिमेय संख्या है।तब,ऐसे सह-अभाज्य धनात्मक पूर्णांक $a$ और $b$ $(b 
eq 0)$ मौजूद हैं कि $\sqrt{7} = \frac{a}{b}$ हो।दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,हमें $7 = \frac{a^2}{b^2}$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $a^2 = 7b^2$।इसका अर्थ है कि $a^2$,$7$ से विभाज्य है,और अंकगणित की आधारभूत प्रमेय के अनुसार,$a$ भी $7$ से विभाज्य होना चाहिए।अतः,हम किसी पूर्णांक $k$ के लिए $a = 7k$ लिख सकते हैं।इस मान को समीकरण $a^2 = 7b^2$ में प्रतिस्थापित करने पर,हमें $(7k)^2 = 7b^2$ प्राप्त होता है,जो सरल करने पर $49k^2 = 7b^2$ या $b^2 = 7k^2$ हो जाता है।यह दर्शाता है कि $b^2$,$7$ से विभाज्य है,और इसलिए $b$ भी $7$ से विभाज्य होना चाहिए।चूंकि $a$ और $b$ दोनों $7$ से विभाज्य हैं,उनका एक उभयनिष्ठ गुणनखंड $7$ है,जो हमारी इस धारणा का खंडन करता है कि $a$ और $b$ सह-अभाज्य हैं।अतः,हमारी यह धारणा कि $\sqrt{7}$ परिमेय है,गलत है,और $\sqrt{7}$ एक अपरिमेय संख्या है।

सिद्ध कीजिए कि $\sqrt{7}$ एक अपरिमेय संख्या है।

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