सिद्ध कीजिए कि कोई भी धनात्मक विषम पूर्णांक $6m+1$ या $6m+3$ या $6m+5$ के रूप का होता है,जहाँ $m \in N \cup \{0\}$ है।

(N/A) माना कि $a$ कोई धनात्मक विषम पूर्णांक है। यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका के अनुसार,किसी भी धनात्मक पूर्णांक $a$ और $b=6$ के लिए,अद्वितीय पूर्णांक $q$ और $r$ इस प्रकार विद्यमान हैं कि $a = 6q + r$,जहाँ $0 \le r < 6$ है।
चूंकि $r$ का मान $0, 1, 2, 3, 4, 5$ हो सकता है,इसलिए $a$ के संभावित रूप $6q, 6q+1, 6q+2, 6q+3, 6q+4$ और $6q+5$ हैं।
यदि $a = 6q, 6q+2$ या $6q+4$ है,तो $a$ एक सम संख्या है क्योंकि ये $2$ से विभाज्य हैं (उदाहरण के लिए,$6q = 2(3q)$)।
चूंकि $a$ एक विषम पूर्णांक है,इसलिए यह $6q, 6q+2$ या $6q+4$ के रूप में नहीं हो सकता है।
अतः,कोई भी धनात्मक विषम पूर्णांक $6q+1, 6q+3$ या $6q+5$ के रूप का ही होगा। $q$ को $m$ से प्रतिस्थापित करने पर,हमें $6m+1, 6m+3$ या $6m+5$ के रूप प्राप्त होते हैं।