सिद्ध कीजिए कि किसी भी धनात्मक पूर्णांक का घन | vedclass

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Question

(A) माना $a$ कोई धनात्मक पूर्णांक है। यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका के अनुसार,हम $a$ को $a = 3q + r$ के रूप में लिख सकते हैं,जहाँ $r \in \{0, 1, 2\}$ और $q

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The statement is true.

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(A) माना $a$ कोई धनात्मक पूर्णांक है। यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका के अनुसार,हम $a$ को $a = 3q + r$ के रूप में लिख सकते हैं,जहाँ $r \in \{0, 1, 2\}$ और $q \ge 0$ है।स्थिति $1$: यदि $r = 0$ है,तो $a = 3q$। दोनों पक्षों का घन करने पर,$a^3 = (3q)^3 = 27q^3 = 9(3q^3) = 9m$,जहाँ $m = 3q^3$ है।स्थिति $2$: यदि $r = 1$ है,तो $a = 3q + 1$। दोनों पक्षों का घन करने पर,$a^3 = (3q + 1)^3 = 27q^3 + 27q^2 + 9q + 1 = 9(3q^3 + 3q^2 + q) + 1 = 9m + 1$,जहाँ $m = 3q^3 + 3q^2 + q$ है।स्थिति $3$: यदि $r = 2$ है,तो $a = 3q + 2$। दोनों पक्षों का घन करने पर,$a^3 = (3q + 2)^3 = 27q^3 + 54q^2 + 36q + 8 = 9(3q^3 + 6q^2 + 4q) + 8 = 9m + 8$,जहाँ $m = 3q^3 + 6q^2 + 4q$ है।अतः,किसी भी धनात्मक पूर्णांक का घन $9m$,$9m+1$ या $9m+8$ के रूप का होता है।

सिद्ध कीजिए कि किसी भी धनात्मक पूर्णांक का घन $9m$,$9m+1$ या $9m+8$ के रूप का होता है,जहाँ $m$ एक पूर्णांक है।

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