Textbook - Quadratic Equations Questions in Gujarati

(D) આપેલ દ્વિઘાત સમીકરણ: $4 x^{2}+4 \sqrt{3} x+3=0$.
આ સમીકરણને પ્રમાણિત સ્વરૂપ $a x^{2}+b x+c=0$ સાથે સરખાવતા,આપણને $a=4, b=4 \sqrt{3}, c=3$ મળે છે.
દ્વિઘાત સૂત્ર $x=\frac{-b \pm \sqrt{b^{2}-4 a c}}{2 a}$ છે.
પ્રથમ,વિવેચક $D = b^{2}-4 a c = (4 \sqrt{3})^{2} - 4(4)(3) = 48 - 48 = 0$ શોધો.
અહીં $D=0$ હોવાથી,બીજ વાસ્તવિક અને સમાન છે.
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$x = \frac{-4 \sqrt{3} \pm \sqrt{0}}{2(4)}$
$x = \frac{-4 \sqrt{3}}{8}$
$x = \frac{-\sqrt{3}}{2}$.
આમ,બીજ $x = \frac{-\sqrt{3}}{2}, \frac{-\sqrt{3}}{2}$ છે.

(NONE) આપેલ દ્વિઘાત સમીકરણ $2x^{2} + x + 4 = 0$ છે.
આ સમીકરણને પ્રમાણિત સ્વરૂપ $ax^{2} + bx + c = 0$ સાથે સરખાવતા,આપણને મળે છે:
$a = 2, b = 1, c = 4$.
દ્વિઘાત સૂત્ર $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^{2} - 4ac}}{2a}$ નો ઉપયોગ કરતા,કિંમતો મૂકતા:
$x = \frac{-1 \pm \sqrt{(1)^{2} - 4(2)(4)}}{2(2)}$
$x = \frac{-1 \pm \sqrt{1 - 32}}{4}$
$x = \frac{-1 \pm \sqrt{-31}}{4}$
અહીં વિવેચક $D = b^{2} - 4ac = -31$ છે,જે $0$ કરતા નાનો છે. ઋણ સંખ્યાનું વર્ગમૂળ વાસ્તવિક સંખ્યા નથી.
તેથી,આપેલ દ્વિઘાત સમીકરણ માટે કોઈ વાસ્તવિક બીજ અસ્તિત્વ ધરાવતા નથી.

(N/A) આપેલ સમીકરણ: $x - \frac{1}{x} = 3$
બંને બાજુ $x$ વડે ગુણતા: $x^{2} - 1 = 3x$
પ્રમાણિત દ્વિઘાત સ્વરૂપમાં ગોઠવતા: $x^{2} - 3x - 1 = 0$
આ સમીકરણને $ax^{2} + bx + c = 0$ સાથે સરખાવતા,આપણને $a = 1, b = -3, c = -1$ મળે છે.
દ્વિઘાત સૂત્ર $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^{2} - 4ac}}{2a}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$x = \frac{-(-3) \pm \sqrt{(-3)^{2} - 4(1)(-1)}}{2(1)}$
$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 4}}{2}$
$x = \frac{3 \pm \sqrt{13}}{2}$
આમ,બીજ $x = \frac{3 + \sqrt{13}}{2}$ અને $x = \frac{3 - \sqrt{13}}{2}$ છે.

(A) આપેલ સમીકરણ: $\frac{1}{x+4}-\frac{1}{x-7}=\frac{11}{30}$
ડાબી બાજુએ સામાન્ય છેદ લેતા:
$\frac{(x-7)-(x+4)}{(x+4)(x-7)}=\frac{11}{30}$
અંશનું સાદુંરૂપ આપતા:
$\frac{x-7-x-4}{x^2-7x+4x-28}=\frac{11}{30}$
$\frac{-11}{x^2-3x-28}=\frac{11}{30}$
બંને બાજુ $11$ વડે ભાગતા:
$\frac{-1}{x^2-3x-28}=\frac{1}{30}$
ચોકડી ગુણાકાર કરતા:
$x^2-3x-28 = -30$
$x^2-3x-28+30 = 0$
$x^2-3x+2 = 0$
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા:
$x^2-2x-x+2 = 0$
$x(x-2)-1(x-2) = 0$
$(x-2)(x-1) = 0$
તેથી,બીજ $x = 1$ અથવા $x = 2$ છે.

(C) ધારો કે રેહમાનની હાલની ઉંમર $x$ વર્ષ છે.
ત્રણ વર્ષ પહેલાં,તેની ઉંમર $(x-3)$ વર્ષ હતી.
પાંચ વર્ષ પછી,તેની ઉંમર $(x+5)$ વર્ષ હશે.
આપેલ છે કે રેહમાનની $3$ વર્ષ પહેલાની અને $5$ વર્ષ પછીની ઉંમરના વ્યસ્તનો સરવાળો $\frac{1}{3}$ છે.
$\therefore \frac{1}{x-3} + \frac{1}{x+5} = \frac{1}{3}$
$\frac{x+5+x-3}{(x-3)(x+5)} = \frac{1}{3}$
$\frac{2x+2}{x^2+2x-15} = \frac{1}{3}$
$3(2x+2) = x^2+2x-15$
$6x+6 = x^2+2x-15$
$x^2-4x-21 = 0$
$x^2-7x+3x-21 = 0$
$x(x-7)+3(x-7) = 0$
$(x-7)(x+3) = 0$
$x = 7$ અથવા $x = -3$.
ઉંમર ક્યારેય ઋણ ન હોઈ શકે,તેથી રેહમાનની હાલની ઉંમર $7$ વર્ષ છે.

(C) ધારો કે ગણિતમાં મેળવેલા ગુણ $x$ છે.
તો,અંગ્રેજીમાં મેળવેલા ગુણ $30-x$ થશે.
આપેલ શરત મુજબ:
$(x+2)(30-x-3) = 210$
$(x+2)(27-x) = 210$
$27x - x^2 + 54 - 2x = 210$
$-x^2 + 25x + 54 = 210$
$x^2 - 25x + 156 = 0$
મધ્યમ પદનું વિભાજન કરીને દ્વિઘાત સમીકરણ ઉકેલતા:
$x^2 - 12x - 13x + 156 = 0$
$x(x-12) - 13(x-12) = 0$
$(x-12)(x-13) = 0$
તેથી,$x = 12$ અથવા $x = 13$.
કિસ્સો $1$: જો ગણિતમાં $12$ ગુણ હોય,તો અંગ્રેજીમાં $30-12 = 18$ ગુણ થાય.
કિસ્સો $2$: જો ગણિતમાં $13$ ગુણ હોય,તો અંગ્રેજીમાં $30-13 = 17$ ગુણ થાય.

(C) ધારો કે લંબચોરસની ટૂંકી બાજુ $x\, m$ છે.
તેથી,લંબચોરસની લાંબી બાજુ $(x+30)\, m$ થશે.
પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ,લંબચોરસનો વિકર્ણ $\sqrt{x^2 + (x+30)^2}$ થાય.
આપેલ છે કે વિકર્ણ ટૂંકી બાજુ કરતાં $60\, m$ વધારે છે,તેથી $\sqrt{x^2 + (x+30)^2} = x + 60$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$x^2 + (x+30)^2 = (x+60)^2$.
પદોનું વિસ્તરણ કરતા: $x^2 + x^2 + 60x + 900 = x^2 + 120x + 3600$.
સમીકરણનું સાદું રૂપ આપતા: $x^2 - 60x - 2700 = 0$.
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા: $x^2 - 90x + 30x - 2700 = 0$,જે $x(x-90) + 30(x-90) = 0$ આપે છે.
તેથી,$(x-90)(x+30) = 0$.
આનાથી $x = 90$ અથવા $x = -30$ મળે છે.
લંબાઈ ઋણ ન હોઈ શકે,તેથી ટૂંકી બાજુ $90\, m$ છે.
લાંબી બાજુ $x + 30 = 90 + 30 = 120\, m$ થશે.

(A) ધારો કે મોટી સંખ્યા $x$ છે અને નાની સંખ્યા $y$ છે.
આપેલ શરતો મુજબ:
$x^2 - y^2 = 180$ --- $(1)$
$y^2 = 8x$ --- $(2)$
સમીકરણ $(2)$ ની કિંમત સમીકરણ $(1)$ માં મૂકતા:
$x^2 - 8x = 180$
$x^2 - 8x - 180 = 0$
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા:
$x^2 - 18x + 10x - 180 = 0$
$x(x - 18) + 10(x - 18) = 0$
$(x - 18)(x + 10) = 0$
તેથી,$x = 18$ અથવા $x = -10$.
કારણ કે $y^2 = 8x$,જો $x = -10$ હોય,તો $y^2 = -80$ થાય,જે વાસ્તવિક સંખ્યાઓ માટે શક્ય નથી. તેથી,$x = 18$.
હવે,$y$ શોધો:
$y^2 = 8(18) = 144$
$y = \pm \sqrt{144} = \pm 12$.
તેથી,તે બે સંખ્યાઓ $(18, 12)$ અથવા $(18, -12)$ છે.

(A) ધારો કે ટ્રેનની સમાન ઝડપ $x\, km/h$ છે.
$x$ ઝડપે $360\, km$ અંતર કાપવા માટે લાગતો સમય $t_1 = \frac{360}{x}\, h$ છે.
જો ઝડપ $5\, km/h$ વધારવામાં આવે,તો નવી ઝડપ $(x + 5)\, km/h$ થાય.
નવી ઝડપે લાગતો સમય $t_2 = \frac{360}{x + 5}\, h$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,સમયનો તફાવત $1\, hour$ છે:
$\frac{360}{x} - \frac{360}{x + 5} = 1$
$360 \left( \frac{1}{x} - \frac{1}{x + 5} \right) = 1$
$360 \left( \frac{x + 5 - x}{x(x + 5)} \right) = 1$
$360 \left( \frac{5}{x^2 + 5x} \right) = 1$
$1800 = x^2 + 5x$
$x^2 + 5x - 1800 = 0$
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા:
$x^2 + 45x - 40x - 1800 = 0$
$x(x + 45) - 40(x + 45) = 0$
$(x + 45)(x - 40) = 0$
આથી $x = -45$ અથવા $x = 40$ મળે.
ઝડપ ક્યારેય ઋણ ન હોઈ શકે,તેથી ટ્રેનની ઝડપ $40\, km/h$ છે.

(A) ધારો કે નાનો નળ ટાંકી ભરવા માટે $x \text{ કલાક}$ લે છે.
મોટા નળ દ્વારા લેવાયેલ સમય $= (x - 10) \text{ કલાક}$.
નાના નળ દ્વારા $1 \text{ કલાક}$ માં ભરાયેલ ટાંકીનો ભાગ $= \frac{1}{x}$.
મોટા નળ દ્વારા $1 \text{ કલાક}$ માં ભરાયેલ ટાંકીનો ભાગ $= \frac{1}{x - 10}$.
આપેલ છે કે બંને નળ એકસાથે ટાંકીને $9 \frac{3}{8} = \frac{75}{8} \text{ કલાક}$ માં ભરી શકે છે. તેથી,
$\frac{1}{x} + \frac{1}{x - 10} = \frac{8}{75}$.
$\frac{x - 10 + x}{x(x - 10)} = \frac{8}{75}$.
$\frac{2x - 10}{x^2 - 10x} = \frac{8}{75}$.
$75(2x - 10) = 8(x^2 - 10x)$.
$150x - 750 = 8x^2 - 80x$.
$8x^2 - 230x + 750 = 0$.
$2$ વડે ભાગતા,$4x^2 - 115x + 375 = 0$.
$4x^2 - 100x - 15x + 375 = 0$.
$4x(x - 25) - 15(x - 25) = 0$.
$(x - 25)(4x - 15) = 0$.
આમ,$x = 25$ અથવા $x = \frac{15}{4} = 3.75$.
જો $x = 3.75$ હોય,તો મોટા નળ માટે સમય $3.75 - 10 = -6.25 \text{ કલાક}$ થાય,જે શક્ય નથી.
તેથી,નાનો નળ $25 \text{ કલાક}$ લે છે અને મોટો નળ $25 - 10 = 15 \text{ કલાક}$ લે છે.

(A) ધારો કે પેસેન્જર ટ્રેનની સરેરાશ ઝડપ $x\, km/h$ છે.
એક્સપ્રેસ ટ્રેનની સરેરાશ ઝડપ $= (x + 11)\, km/h$ થાય.
પેસેન્જર ટ્રેન દ્વારા $132\, km$ અંતર કાપવા માટે લાગતો સમય $= \frac{132}{x}\, \text{કલાક}$.
એક્સપ્રેસ ટ્રેન દ્વારા $132\, km$ અંતર કાપવા માટે લાગતો સમય $= \frac{132}{x + 11}\, \text{કલાક}$.
પ્રશ્ન મુજબ,એક્સપ્રેસ ટ્રેન પેસેન્જર ટ્રેન કરતાં $1\, \text{કલાક}$ ઓછો સમય લે છે:
$\frac{132}{x} - \frac{132}{x + 11} = 1$
$132 \left[ \frac{x + 11 - x}{x(x + 11)} \right] = 1$
$\frac{132 \times 11}{x^2 + 11x} = 1$
$x^2 + 11x = 1452$
$x^2 + 11x - 1452 = 0$
દ્વિઘાત સમીકરણને મધ્યમ પદની રીતે ઉકેલતા:
$x^2 + 44x - 33x - 1452 = 0$
$x(x + 44) - 33(x + 44) = 0$
$(x + 44)(x - 33) = 0$
$x = -44$ અથવા $x = 33$.
ઝડપ ક્યારેય ઋણ ન હોઈ શકે,તેથી $x = 33\, km/h$.
આમ,પેસેન્જર ટ્રેનની ઝડપ $33\, km/h$ અને એક્સપ્રેસ ટ્રેનની ઝડપ $33 + 11 = 44\, km/h$ છે.

(A) ધારો કે બે ચોરસની બાજુઓ $x \, m$ અને $y \, m$ છે. તેથી,તેમની પરિમિતિ અનુક્રમે $4x$ અને $4y$ થશે અને તેમના ક્ષેત્રફળ અનુક્રમે $x^2$ અને $y^2$ થશે.
આપેલ છે કે તેમની પરિમિતિનો તફાવત $24 \, m$ છે:
$4x - 4y = 24$
$x - y = 6$
$x = y + 6$
વળી,તેમના ક્ષેત્રફળનો સરવાળો $468 \, m^2$ છે:
$x^2 + y^2 = 468$
ક્ષેત્રફળના સમીકરણમાં $x = y + 6$ મૂકતા:
$(y + 6)^2 + y^2 = 468$
$y^2 + 12y + 36 + y^2 = 468$
$2y^2 + 12y - 432 = 0$
$2$ વડે ભાગતા:
$y^2 + 6y - 216 = 0$
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા:
$y^2 + 18y - 12y - 216 = 0$
$y(y + 18) - 12(y + 18) = 0$
$(y + 18)(y - 12) = 0$
આથી $y = -18$ અથવા $y = 12$ મળે. ચોરસની બાજુ ક્યારેય ઋણ ન હોઈ શકે,તેથી $y = 12 \, m$ લેતા.
તેથી,$x = 12 + 6 = 18 \, m$.
આમ,બે ચોરસની બાજુઓ $18 \, m$ અને $12 \, m$ છે.

(D) આપેલ દ્વિઘાત સમીકરણ $ax^{2}+bx+c=0$ ના સ્વરૂપમાં છે,જ્યાં $a=2$,$b=-4$ અને $c=3$ છે.
વિવેચક $D$ શોધવાનું સૂત્ર $D = b^{2}-4ac$ છે.
કિંમતો મૂકતા:
$D = (-4)^{2} - (4 \times 2 \times 3)$
$D = 16 - 24$
$D = -8$
અહીં વિવેચક $D < 0$ હોવાથી,આપેલ દ્વિઘાત સમીકરણના બીજ વાસ્તવિક નથી.

(A) ધારો કે $P$ એ વર્તુળાકાર બગીચાની સીમા પર થાંભલાનું જરૂરી સ્થાન છે.
ધારો કે દરવાજા $B$ થી થાંભલાનું અંતર $x \, m$ છે,એટલે કે $BP = x \, m$.
બે દરવાજાથી થાંભલાના અંતરનો તફાવત $AP - BP = 7 \, m$ છે.
તેથી,$AP = (x + 7) \, m$.
$AB$ એ વર્તુળાકાર બગીચાનો વ્યાસ હોવાથી,$AB = 13 \, m$.
વર્તુળમાં,વ્યાસ દ્વારા સીમા પરના કોઈપણ બિંદુએ આંતરેલો ખૂણો $90^{\circ}$ હોય છે. તેથી,$\angle APB = 90^{\circ}$.
$\triangle APB$ માં પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ,$AP^2 + BP^2 = AB^2$.
કિંમતો મૂકતા,$(x + 7)^2 + x^2 = 13^2$.
સમીકરણનું વિસ્તરણ કરતા: $x^2 + 14x + 49 + x^2 = 169$.
$2x^2 + 14x - 120 = 0$.
$2$ વડે ભાગતા,આપણને દ્વિઘાત સમીકરણ મળે છે: $x^2 + 7x - 60 = 0$.
આ શક્ય છે કે નહીં તે તપાસવા માટે,આપણે વિવેચક $D = b^2 - 4ac = 7^2 - 4(1)(-60) = 49 + 240 = 289$ ની ગણતરી કરીએ.
$D > 0$ હોવાથી,સમીકરણના બે ભિન્ન વાસ્તવિક ઉકેલો છે,તેથી થાંભલો ઊભો કરવો શક્ય છે.
દ્વિઘાત સૂત્ર $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $x = \frac{-7 \pm \sqrt{289}}{2} = \frac{-7 \pm 17}{2}$ મળે છે.
આનાથી $x = \frac{10}{2} = 5$ અથવા $x = \frac{-24}{2} = -12$ મળે છે.
અંતર ઋણ હોઈ શકે નહીં,તેથી આપણે $x = 5$ લઈએ છીએ.
આમ,થાંભલો દરવાજા $B$ થી $5 \, m$ અને દરવાજા $A$ થી $12 \, m$ ના અંતરે ઊભો કરવો જોઈએ.

(D) આપેલ સમીકરણ: $3x^{2}-2x+\frac{1}{3}=0$.
$ax^{2}+bx+c=0$ સાથે સરખાવતા,$a=3, b=-2, c=\frac{1}{3}$ મળે છે.
વિવેચક $D = b^{2}-4ac = (-2)^{2}-4(3)(\frac{1}{3}) = 4-4 = 0$.
અહીં $D=0$ હોવાથી,સમીકરણના બે સમાન વાસ્તવિક બીજ મળે છે.
બીજ શોધવાનું સૂત્ર $x = \frac{-b}{2a}$ છે.
$x = \frac{-(-2)}{2(3)} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$.
આમ,બીજ $\frac{1}{3}, \frac{1}{3}$ છે.

(C) દ્વિઘાત સમીકરણ $ax^2 + bx + c = 0$ માટે,વિવેચક $D$ એ $D = b^2 - 4ac$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$(A)$ જો $D > 0$ હોય,તો બે ભિન્ન વાસ્તવિક બીજ મળે છે.
$(B)$ જો $D = 0$ હોય,તો બે સમાન વાસ્તવિક બીજ મળે છે.
$(C)$ જો $D < 0$ હોય,તો કોઈ વાસ્તવિક બીજ મળતા નથી.
આપેલ સમીકરણ $2x^2 - 3x + 5 = 0$ ને $ax^2 + bx + c = 0$ સાથે સરખાવતા:
$a = 2$,$b = -3$,$c = 5$.
વિવેચકની ગણતરી કરતા:
$D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4(2)(5)$
$D = 9 - 40 = -31$.
અહીં $D < 0$ હોવાથી,આપેલ દ્વિઘાત સમીકરણને કોઈ વાસ્તવિક બીજ નથી.

(N/A) આપણે જાણીએ છીએ કે દ્વિઘાત સમીકરણ $ax^2 + bx + c = 0$ માટે,વિવેચક $D = b^2 - 4ac$ છે.
$(A)$ જો $D > 0$ હોય,તો બે ભિન્ન વાસ્તવિક બીજ મળે.
$(B)$ જો $D = 0$ હોય,તો બે સમાન વાસ્તવિક બીજ મળે.
$(C)$ જો $D < 0$ હોય,તો વાસ્તવિક બીજનું અસ્તિત્વ નથી.
આપેલ સમીકરણ: $3x^2 - 4\sqrt{3}x + 4 = 0$.
તેને $ax^2 + bx + c = 0$ સાથે સરખાવતા,આપણને $a = 3$,$b = -4\sqrt{3}$,અને $c = 4$ મળે છે.
વિવેચક $D = b^2 - 4ac = (-4\sqrt{3})^2 - 4(3)(4)$.
$D = 48 - 48 = 0$.
અહીં $D = 0$ હોવાથી,સમીકરણના બે સમાન વાસ્તવિક બીજ મળે છે.
બીજ શોધવાનું સૂત્ર $x = \frac{-b}{2a}$ છે.
$x = \frac{-(-4\sqrt{3})}{2(3)} = \frac{4\sqrt{3}}{6} = \frac{2\sqrt{3}}{3} = \frac{2}{\sqrt{3}}$.
આમ,બીજ $\frac{2}{\sqrt{3}}$ અને $\frac{2}{\sqrt{3}}$ છે.

(A) દ્વિઘાત સમીકરણ $ax^2 + bx + c = 0$ માટે,વિવેચક $D = b^2 - 4ac$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$(A)$ જો $D > 0$ હોય,તો બે ભિન્ન વાસ્તવિક બીજ મળે.
$(B)$ જો $D = 0$ હોય,તો બે સમાન વાસ્તવિક બીજ મળે.
$(C)$ જો $D < 0$ હોય,તો વાસ્તવિક બીજ મળતા નથી.
આપેલ સમીકરણ $2x^2 - 6x + 3 = 0$ ને $ax^2 + bx + c = 0$ સાથે સરખાવતા:
$a = 2, b = -6, c = 3$.
વિવેચક $D = (-6)^2 - 4(2)(3) = 36 - 24 = 12$.
અહીં $D > 0$ હોવાથી,સમીકરણના બે ભિન્ન વાસ્તવિક બીજ મળે છે.
દ્વિઘાત સૂત્ર $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$x = \frac{-(-6) \pm \sqrt{12}}{2(2)} = \frac{6 \pm 2\sqrt{3}}{4}$.
અંશ અને છેદને $2$ વડે ભાગતા:
$x = \frac{3 \pm \sqrt{3}}{2}$.
આમ,બીજ $\frac{3 + \sqrt{3}}{2}$ અને $\frac{3 - \sqrt{3}}{2}$ છે.

(D) આપણે જાણીએ છીએ કે જો દ્વિઘાત સમીકરણ $a x^{2}+b x+c=0$ ના બે સમાન બીજ હોય,તો તેનો વિવેચક $D = (b^{2}-4 a c)$ શૂન્ય $(0)$ હોવો જોઈએ.
આપેલ સમીકરણ: $2 x^{2}+k x+3=0$
આ સમીકરણને પ્રમાણિત સ્વરૂપ $a x^{2}+b x+c=0$ સાથે સરખાવતા,આપણને મળે છે:
$a=2, b=k, c=3$
વિવેચકનું સૂત્ર:
$D = b^{2}-4 a c$
$D = (k)^{2}-4(2)(3)$
$D = k^{2}-24$
સમાન બીજ માટે,વિવેચકને $0$ લેતા:
$k^{2}-24 = 0$
$k^{2} = 24$
$k = \pm \sqrt{24}$
$k = \pm 2 \sqrt{6}$

(K=6) આપેલ સમીકરણ: $k x(x-2)+6=0$
સમીકરણનું વિસ્તરણ કરતા: $k x^{2}-2 k x+6=0$
આ સમીકરણને પ્રમાણિત દ્વિઘાત સ્વરૂપ $a x^{2}+b x+c=0$ સાથે સરખાવતા,આપણને મળે છે:
$a=k, b=-2 k, c=6$
દ્વિઘાત સમીકરણના બે સમાન બીજ હોય તે માટે વિવેચક $D$ ની કિંમત $0$ હોવી જોઈએ:
$D = b^{2}-4 a c = 0$
કિંમતો મૂકતા:
$(-2 k)^{2}-4(k)(6) = 0$
$4 k^{2}-24 k = 0$
$4k$ સામાન્ય કાઢતા:
$4 k(k-6) = 0$
આથી બે શક્યતાઓ મળે છે: $4 k=0$ અથવા $k-6=0$,જેનો અર્થ છે કે $k=0$ અથવા $k=6$.
જો કે,જો $k=0$ હોય,તો સમીકરણ $6=0$ બની જાય છે,જે દ્વિઘાત સમીકરણ નથી. તેથી,$k=0$ હોઈ શકે નહીં.
આમ,$k$ ની માત્ર એક જ માન્ય કિંમત $k=6$ છે.

(A) ધારો કે આંબાવાડીની પહોળાઈ $x \, m$ છે.
તેથી,આંબાવાડીની લંબાઈ $2x \, m$ થશે.
લંબચોરસ આંબાવાડીનું ક્ષેત્રફળ $= \text{લંબાઈ} \times \text{પહોળાઈ} = (2x)(x) = 2x^2 \, m^2$.
આપેલ છે કે ક્ષેત્રફળ $800 \, m^2$ છે,તેથી $2x^2 = 800$.
$x^2 = 400$.
$x^2 - 400 = 0$.
આ સમીકરણને પ્રમાણિત દ્વિઘાત સમીકરણ $ax^2 + bx + c = 0$ સાથે સરખાવતા,આપણને $a = 1, b = 0, c = -400$ મળે છે.
વિવેચક $D = b^2 - 4ac = (0)^2 - 4(1)(-400) = 1600$.
અહીં $D > 0$ હોવાથી,સમીકરણના બે ભિન્ન વાસ્તવિક ઉકેલો મળે છે,જેનો અર્થ છે કે આવી આંબાવાડી બનાવવી શક્ય છે.
$x^2 = 400 \implies x = \pm 20$.
પહોળાઈ ક્યારેય ઋણ ન હોઈ શકે,તેથી આપણે $x = 20$ લઈશું.
આમ,પહોળાઈ $20 \, m$ અને લંબાઈ $2(20) = 40 \, m$ છે.

(D) ધારો કે એક મિત્રની હાલની ઉંમર $x$ વર્ષ છે.
બીજા મિત્રની ઉંમર $(20-x)$ વર્ષ થશે.
ચાર વર્ષ પહેલાં,પ્રથમ મિત્રની ઉંમર $(x-4)$ વર્ષ હતી.
બીજા મિત્રની ઉંમર $(20-x-4) = (16-x)$ વર્ષ હતી.
આપેલ શરત મુજબ:
$(x-4)(16-x) = 48$
$16x - x^2 - 64 + 4x = 48$
$-x^2 + 20x - 64 = 48$
$-x^2 + 20x - 112 = 0$
$x^2 - 20x + 112 = 0$
આ સમીકરણને પ્રમાણિત સ્વરૂપ $ax^2 + bx + c = 0$ સાથે સરખાવતા,આપણને $a=1, b=-20, c=112$ મળે છે.
વિવેચક $D = b^2 - 4ac = (-20)^2 - 4(1)(112) = 400 - 448 = -48$.
અહીં વિવેચક $D < 0$ હોવાથી,આ દ્વિઘાત સમીકરણના કોઈ વાસ્તવિક ઉકેલ શક્ય નથી.
તેથી,આપેલી પરિસ્થિતિ શક્ય નથી.

(A) ધારો કે બગીચાની લંબાઈ $l$ અને પહોળાઈ $b$ છે.
પરિમિતિ $2(l + b) = 80\, m$ છે,જેનું સાદું રૂપ આપતા $l + b = 40$ અથવા $b = 40 - l$ મળે છે.
ક્ષેત્રફળ $l \times b = 400\, m^2$ છે.
$b = 40 - l$ ને ક્ષેત્રફળના સમીકરણમાં મૂકતા: $l(40 - l) = 400$.
આથી $40l - l^2 = 400$ અથવા $l^2 - 40l + 400 = 0$ મળે છે.
આ સમીકરણને પ્રમાણિત દ્વિઘાત સમીકરણ $al^2 + bl + c = 0$ સાથે સરખાવતા,$a = 1, b = -40, c = 400$ મળે છે.
વિવેચક $D = b^2 - 4ac = (-40)^2 - 4(1)(400) = 1600 - 1600 = 0$.
અહીં $D = 0$ હોવાથી,સમીકરણના બીજ વાસ્તવિક અને સમાન છે,જેનો અર્થ છે કે આ પરિસ્થિતિ શક્ય છે.
બીજ $l = -b / (2a) = -(-40) / (2 \times 1) = 40 / 2 = 20$ મળે છે.
આમ,લંબાઈ $l = 20\, m$ અને પહોળાઈ $b = 40 - 20 = 20\, m$ છે.