Mix Examples - Quadratic Equations Questions in Hindi

(A) यह जांचने के लिए कि कोई समीकरण द्विघात है या नहीं,हम इसे मानक रूप $ax^{2}+bx+c=0$ में सरल करते हैं,जहाँ $a \neq 0$ है।
विकल्प $(A)$ की जांच करें: $(x+2)(x-1) = x^{2}-x+2x-2 = x^{2}+x-2$. दिया गया समीकरण: $x^{2}+x-2 = x^{2}-2x-3$. सरल करने पर,$3x+1=0$ प्राप्त होता है। यह एक रैखिक समीकरण है,द्विघात समीकरण नहीं है।
विकल्प $(B)$ की जांच करें: $(x+2)^{2} = 2(x+3) \implies x^{2}+4x+4 = 2x+6 \implies x^{2}+2x-2=0$. यह एक द्विघात समीकरण है।
विकल्प $(C)$ की जांच करें: $x^{2}+3x = (-1)(1-3x)^{2} \implies x^{2}+3x = -(1-6x+9x^{2}) \implies x^{2}+3x = -1+6x-9x^{2} \implies 10x^{2}-3x+1=0$. यह एक द्विघात समीकरण है।
विकल्प $(D)$ की जांच करें: $x^{3}-x^{2}+2x+1 = (x+1)^{3} \implies x^{3}-x^{2}+2x+1 = x^{3}+3x^{2}+3x+1 \implies -x^{2}+2x = 3x^{2}+3x \implies 4x^{2}+x=0$. यह एक द्विघात समीकरण है।
अतः,विकल्प $(A)$ में दिया गया समीकरण द्विघात समीकरण नहीं है।

(B) द्विघात समीकरण $4x^{2} - \sqrt{3}x - 5 = 0$ को पूर्ण वर्ग बनाने की विधि से हल करने के लिए,हम पहले यह सुनिश्चित करते हैं कि $x^{2}$ का गुणांक $1$ या एक पूर्ण वर्ग हो। यहाँ,$4x^{2} = (2x)^{2}$ है।
हम समीकरण को $(2x)^{2} - 2(2x)(\frac{\sqrt{3}}{4}) - 5 = 0$ के रूप में लिखते हैं।
$(a - b)^{2} = a^{2} - 2ab + b^{2}$ के रूप में पूर्ण वर्ग बनाने के लिए,हम $a = 2x$ और $b = \frac{\sqrt{3}}{4}$ की पहचान करते हैं।
जोड़ा और घटाया जाने वाला पद $b^{2} = (\frac{\sqrt{3}}{4})^{2} = \frac{3}{16}$ है।
अतः,वह स्थिरांक $\frac{3}{16}$ है।

(C) किसी समीकरण को द्विघात समीकरण होने के लिए,उसे $ax^{2}+bx+c=0$ के रूप में होना चाहिए,जहाँ $a \neq 0$ हो।
$(A)$ $x^{2}+2x+1 = (4-x)^{2}+3$
$\Rightarrow x^{2}+2x+1 = 16-8x+x^{2}+3$
$\Rightarrow 10x-18=0$. यह एक रैखिक समीकरण है।
$(B)$ $-2x^{2} = (5-x)(2x-\frac{2}{5})$
$\Rightarrow -2x^{2} = 10x-2-2x^{2}+\frac{2x}{5}$
$\Rightarrow 0 = \frac{52x}{5}-2$. यह एक रैखिक समीकरण है।
$(C)$ $x^{3}-x^{2} = (x-1)^{3}$
$\Rightarrow x^{3}-x^{2} = x^{3}-3x^{2}+3x-1$
$\Rightarrow 2x^{2}-3x+1=0$. यह एक द्विघात समीकरण है क्योंकि यह $ax^{2}+bx+c=0$ के रूप में है जहाँ $a=2 \neq 0$ है।
$(D)$ $(k+1)x^{2}+\frac{3}{2}x=7$,जहाँ $k=-1$
$\Rightarrow (-1+1)x^{2}+\frac{3}{2}x=7$
$\Rightarrow \frac{3}{2}x-7=0$. यह एक रैखिक समीकरण है।

(D) एक द्विघात समीकरण $ax^{2}+bx+c=0$ के रूप का होता है,जहाँ $a \neq 0$ है।
$(A)$ $2(x-1)^{2}=4 x^{2}-2 x+1 \Rightarrow 2(x^{2}-2x+1)=4x^{2}-2x+1 \Rightarrow 2x^{2}-4x+2=4x^{2}-2x+1 \Rightarrow 2x^{2}+2x-1=0$. यह एक द्विघात समीकरण है।
$(B)$ $2 x-x^{2}=x^{2}+5 \Rightarrow 2x^{2}-2x+5=0$. यह एक द्विघात समीकरण है।
$(C)$ $(-\sqrt{2} x+\sqrt{3})^{2}=3 x^{2}-5 x \Rightarrow 2x^{2}-2\sqrt{6}x+3=3x^{2}-5x \Rightarrow x^{2}-(5-2\sqrt{6})x-3=0$. यह एक द्विघात समीकरण है।
$(D)$ $(x^{2}+2 x)^{2}=x^{4}+3+4 x^{2} \Rightarrow x^{4}+4x^{3}+4x^{2}=x^{4}+3+4x^{2} \Rightarrow 4x^{3}-3=0$. चूँकि $x$ की अधिकतम घात $3$ है,इसलिए यह एक त्रिघात समीकरण है,द्विघात समीकरण नहीं।

(A) यह निर्धारित करने के लिए कि क्या $x = 2$ किसी समीकरण का मूल है,हम प्रत्येक समीकरण में $x = 2$ प्रतिस्थापित करते हैं और जांचते हैं कि परिणाम $0$ है या नहीं।
$(A)$ $2x^2 - 7x + 6 = 0$ के लिए:
$2(2)^2 - 7(2) + 6 = 2(4) - 14 + 6 = 8 - 14 + 6 = 0$.
चूंकि परिणाम $0$ है,इसलिए $x = 2$ इस समीकरण का मूल है।
$(B)$ $x^2 + 3x - 12 = 0$ के लिए:
$(2)^2 + 3(2) - 12 = 4 + 6 - 12 = -2 \neq 0$.
अतः,$x = 2$ मूल नहीं है।
$(C)$ $x^2 - 4x + 5 = 0$ के लिए:
$(2)^2 - 4(2) + 5 = 4 - 8 + 5 = 1 \neq 0$.
अतः,$x = 2$ मूल नहीं है।
$(D)$ $3x^2 - 6x - 2 = 0$ के लिए:
$3(2)^2 - 6(2) - 2 = 12 - 12 - 2 = -2 \neq 0$.
अतः,$x = 2$ मूल नहीं है।
इसलिए,सही समीकरण $2x^2 - 7x + 6 = 0$ है।

(B) चूंकि $\frac{1}{2}$ द्विघात समीकरण $x^{2}+kx-\frac{5}{4}=0$ का एक मूल है,इसलिए यह समीकरण को संतुष्ट करेगा।
समीकरण में $x = \frac{1}{2}$ रखने पर:
$(\frac{1}{2})^{2} + k(\frac{1}{2}) - \frac{5}{4} = 0$
$\frac{1}{4} + \frac{k}{2} - \frac{5}{4} = 0$
$\frac{1 + 2k - 5}{4} = 0$
$2k - 4 = 0$
$2k = 4$
$k = 2$

(C) द्विघात समीकरण $ax^2 + bx + c = 0$ के लिए,मूलों का योग $\frac{-b}{a}$ द्वारा दिया जाता है।
$(A)$ $2x^2 - 3x + 6 = 0$ के लिए,$a=2, b=-3$। मूलों का योग $= -(-3)/2 = 3/2 = 1.5$।
$(B)$ $\sqrt{2}x^2 - \frac{3}{\sqrt{2}}x + 1 = 0$ के लिए,$\sqrt{2}$ से गुणा करने पर $2x^2 - 3x + \sqrt{2} = 0$ प्राप्त होता है। यहाँ $a=2, b=-3$। मूलों का योग $= -(-3)/2 = 3/2 = 1.5$।
$(C)$ $-x^2 + 3x - 3 = 0$ के लिए,$a=-1, b=3$। मूलों का योग $= -(3)/(-1) = 3$।
$(D)$ $3x^2 - 3x + 3 = 0$ के लिए,$3$ से भाग देने पर $x^2 - x + 1 = 0$ प्राप्त होता है। यहाँ $a=1, b=-1$। मूलों का योग $= -(-1)/1 = 1$।
अतः,वह समीकरण जिसके मूलों का योग $3$ है,$-x^2 + 3x - 3 = 0$ है।

(D) दिया गया द्विघात समीकरण $2x^{2}-kx+k=0$ है।
इसे मानक रूप $ax^{2}+bx+c=0$ से तुलना करने पर,हमें $a=2$,$b=-k$ और $c=k$ प्राप्त होता है।
द्विघात समीकरण के मूल समान होने के लिए,विविक्तकर (discriminant) $D$ का मान $0$ होना चाहिए।
$D = b^{2}-4ac = 0$
मान रखने पर,$(-k)^{2}-4(2)(k) = 0$ प्राप्त होता है।
$k^{2}-8k = 0$
$k$ को उभयनिष्ठ लेने पर,$k(k-8) = 0$ प्राप्त होता है।
अतः,$k=0$ या $k=8$ है।
इस प्रकार,$k$ के अभीष्ट मान $0$ और $8$ हैं।

(A) दिया गया द्विघात समीकरण $9x^{2} + \frac{3}{4}x - \sqrt{2} = 0$ है।
पूर्ण वर्ग बनाने की विधि का उपयोग करने के लिए,हमें समीकरण को $(ax)^{2} + 2(ax)(b) + b^{2}$ के रूप में व्यक्त करना होगा।
हम समीकरण को $(3x)^{2} + 2(3x)(\frac{1}{8}) - \sqrt{2} = 0$ के रूप में लिख सकते हैं।
यहाँ,पद $b = \frac{1}{8}$ है।
पूर्ण वर्ग बनाने के लिए,हमें $b^{2} = (\frac{1}{8})^{2} = \frac{1}{64}$ को जोड़ना और घटाना होगा।
अतः,वह स्थिरांक जिसे जोड़ा और घटाया जाना चाहिए,वह $\frac{1}{64}$ है।

(B) दिया गया समीकरण $2x^{2} - \sqrt{5}x + 1 = 0$ है।
इसे मानक रूप $ax^{2} + bx + c = 0$ से तुलना करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$a = 2, b = -\sqrt{5}, c = 1$.
विविक्तकर $D$ का सूत्र $D = b^{2} - 4ac$ है।
मान रखने पर:
$D = (-\sqrt{5})^{2} - 4(2)(1) = 5 - 8 = -3$.
चूंकि विविक्तकर $D < 0$ है,इसलिए द्विघात समीकरण के कोई वास्तविक मूल नहीं हैं (अर्थात,इसके मूल काल्पनिक हैं)।

(C) द्विघात समीकरण $ax^{2}+bx+c=0$ के लिए,यदि विविक्तकर (discriminant) $D = b^{2}-4ac > 0$ हो,तो मूल भिन्न और वास्तविक होते हैं।
$(a)$ $2x^{2}-3\sqrt{2}x+\frac{9}{4}=0$ के लिए,$a=2, b=-3\sqrt{2}, c=\frac{9}{4}$ है।
$D = (-3\sqrt{2})^{2}-4(2)(\frac{9}{4}) = 18-18 = 0$। चूँकि $D=0$ है,इसलिए मूल वास्तविक और समान हैं।
$(b)$ $x^{2}+3x+2\sqrt{2}=0$ के लिए,$a=1, b=3, c=2\sqrt{2}$ है।
$D = (3)^{2}-4(1)(2\sqrt{2}) = 9-8\sqrt{2} < 0$। चूँकि $D < 0$ है,इसलिए मूल वास्तविक नहीं हैं।
$(c)$ $x^{2}+x-5=0$ के लिए,$a=1, b=1, c=-5$ है।
$D = (1)^{2}-4(1)(-5) = 1+20 = 21$। चूँकि $D>0$ है,इसलिए मूल भिन्न और वास्तविक हैं।
$(d)$ $5x^{2}-3x+1=0$ के लिए,$a=5, b=-3, c=1$ है।
$D = (-3)^{2}-4(5)(1) = 9-20 = -11 < 0$। चूँकि $D < 0$ है,इसलिए मूल वास्तविक नहीं हैं।
अतः,सही विकल्प $(c)$ है।

(D) यह निर्धारित करने के लिए कि क्या द्विघात समीकरण $ax^2 + bx + c = 0$ के वास्तविक मूल हैं,हम विविक्तकर (discriminant) $D = b^2 - 4ac$ की गणना करते हैं। यदि $D < 0$ है,तो समीकरण का कोई वास्तविक मूल नहीं होता है।
$A)$ $3x^2 + 4\sqrt{3}x + 4 = 0$ के लिए,$D = (4\sqrt{3})^2 - 4(3)(4) = 48 - 48 = 0$। चूंकि $D = 0$ है,इसके वास्तविक और समान मूल हैं।
$B)$ $x^2 - 4x - 3\sqrt{2} = 0$ के लिए,$D = (-4)^2 - 4(1)(-3\sqrt{2}) = 16 + 12\sqrt{2} > 0$। इसके वास्तविक और भिन्न मूल हैं।
$C)$ $x^2 + 4x - 3\sqrt{2} = 0$ के लिए,$D = (4)^2 - 4(1)(-3\sqrt{2}) = 16 + 12\sqrt{2} > 0$। इसके वास्तविक और भिन्न मूल हैं।
$D)$ $x^2 - 4x + 3\sqrt{2} = 0$ के लिए,$D = (-4)^2 - 4(1)(3\sqrt{2}) = 16 - 12\sqrt{2}$। चूंकि $\sqrt{2} \approx 1.414$,इसलिए $12\sqrt{2} \approx 16.968$। अतः,$D = 16 - 16.968 = -0.968 < 0$। इसलिए,इस समीकरण का कोई वास्तविक मूल नहीं है।

(A) दिया गया समीकरण $(x^{2}+1)^{2}-x^{2}=0$ है।
वर्ग का विस्तार करने पर: $x^{4}+1+2x^{2}-x^{2}=0$,जो सरल होकर $x^{4}+x^{2}+1=0$ हो जाता है।
माना $x^{2}=y$ है। चूँकि $x$ एक वास्तविक संख्या है,इसलिए $x^{2} \ge 0$,अर्थात $y \ge 0$ होगा।
समीकरण $y^{2}+y+1=0$ बन जाता है।
$ay^{2}+by+c=0$ से तुलना करने पर,हमें $a=1, b=1, c=1$ प्राप्त होता है।
विविक्तकर $D = b^{2}-4ac = (1)^{2}-4(1)(1) = 1-4 = -3$ है।
चूँकि $D < 0$ है,इसलिए $y$ में द्विघात समीकरण के कोई वास्तविक मूल नहीं हैं।
अतः,मूल समीकरण $(x^{2}+1)^{2}-x^{2}=0$ का कोई वास्तविक मूल नहीं है।

(NO) यह निर्धारित करने के लिए कि क्या समीकरण के वास्तविक मूल हैं,हम पहले इसे सरल करते हैं:
$(x-1)^{2}+2(x+1)=0$
$(x^{2}-2x+1)+2x+2=0$
$x^{2}+3=0$
अब,हम इसकी तुलना मानक द्विघात समीकरण $ax^{2}+bx+c=0$ से करते हैं,जहाँ $a=1, b=0, c=3$ है।
विविक्तकर $D$ का मान $D = b^{2}-4ac$ द्वारा दिया जाता है।
$D = (0)^{2}-4(1)(3) = -12$.
चूंकि विविक्तकर $D < 0$ है,इसलिए समीकरण का कोई वास्तविक मूल नहीं है।

(B) यह कथन असत्य है।
द्विघात समीकरण का सामान्य रूप $ax^2 + bx + c = 0$ पर विचार करें।
यदि $x$ का गुणांक शून्य है,तो $b = 0$ होगा,और समीकरण $ax^2 + c = 0$ बन जाएगा।
इस समीकरण के मूल $x^2 = -c/a$ द्वारा दिए जाते हैं,जिसका अर्थ है $x = \pm \sqrt{-c/a}$।
मूलों के वास्तविक होने के लिए,हमें $-c/a \geq 0$ की आवश्यकता है,जिसका अर्थ है $c/a \leq 0$।
यह तब होता है जब $a$ और $c$ के चिह्न विपरीत हों या यदि $c = 0$ हो।
उदाहरण के लिए,यदि $x^2 - 4 = 0$ है,तो $x^2 = 4$,इसलिए $x = \pm 2$,जो वास्तविक मूल हैं।
अतः,यह कथन असत्य है।

(N/A) दिया गया समीकरण $x^{2}-3x+4=0$ है।
इसकी तुलना मानक रूप $ax^{2}+bx+c=0$ से करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$a=1, b=-3, c=4$.
विविक्तकर $D$ का सूत्र $D = b^{2}-4ac$ है।
मान रखने पर:
$D = (-3)^{2} - 4(1)(4)$
$D = 9 - 16$
$D = -7$.
चूंकि $D < 0$ है,इसलिए द्विघात समीकरण $x^{2}-3x+4=0$ का कोई वास्तविक मूल नहीं है। अतः,इसके दो भिन्न वास्तविक मूल नहीं हैं।

(A) दिया गया द्विघात समीकरण $2 x^{2}+x-1=0$ है।
इसकी तुलना मानक रूप $a x^{2}+b x+c=0$ से करने पर,हमें $a=2$,$b=1$ और $c=-1$ प्राप्त होता है।
विविक्तकर $D$ का सूत्र $D = b^{2}-4 a c$ है।
मान रखने पर,$D = (1)^{2}-4(2)(-1) = 1+8 = 9$ प्राप्त होता है।
चूंकि $D > 0$ है,इसलिए द्विघात समीकरण के दो भिन्न वास्तविक मूल हैं।

(B) दिया गया द्विघात समीकरण $2 x^{2}-6 x+\frac{9}{2}=0$ है।
इसे मानक रूप $a x^{2}+b x+c=0$ से तुलना करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$a=2, b=-6, c=\frac{9}{2}$.
मूलों की प्रकृति निर्धारित करने के लिए,हम विविक्तकर (discriminant) $D = b^{2}-4ac$ की गणना करते हैं:
$D = (-6)^{2} - 4(2)(\frac{9}{2})$
$D = 36 - 36 = 0$.
चूंकि विविक्तकर $D = 0$ है,इसलिए द्विघात समीकरण के दो समान वास्तविक मूल हैं। अतः,इसके दो भिन्न वास्तविक मूल नहीं हैं।

(A) दिया गया द्विघात समीकरण $3 x^{2}-4 x+1=0$ है।
इसकी तुलना मानक रूप $a x^{2}+b x+c=0$ से करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$a=3, b=-4, c=1$.
विविक्तकर (Discriminant) $D$ का सूत्र $D = b^{2}-4ac$ है।
मान रखने पर:
$D = (-4)^{2} - 4(3)(1)$
$D = 16 - 12$
$D = 4$.
चूंकि $D > 0$ है,इसलिए द्विघात समीकरण के दो भिन्न वास्तविक मूल हैं।

(NO) दिया गया समीकरण $(x+4)^{2}-8x=0$ है।
पद का विस्तार करने पर: $x^{2}+16+8x-8x=0$ ($(a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}$ का उपयोग करते हुए)।
सरल करने पर: $x^{2}+16=0$.
मानक रूप $ax^{2}+bx+c=0$ में लिखने पर: $x^{2}+0x+16=0$.
$ax^{2}+bx+c=0$ से तुलना करने पर,हमें $a=1, b=0, c=16$ प्राप्त होता है।
विविक्तकर $D$ का सूत्र $D=b^{2}-4ac$ है।
मान रखने पर: $D=(0)^{2}-4(1)(16) = 0-64 = -64$.
चूंकि $D < 0$ है,इसलिए द्विघात समीकरण के कोई वास्तविक मूल नहीं हैं (इसके दो काल्पनिक मूल हैं)।

(A) दिया गया समीकरण $(x-\sqrt{2})^{2}-2(x+1)=0$ है।
समीकरण का विस्तार करने पर: $x^{2}-2\sqrt{2}x+2-2x-2=0$.
सरल करने पर: $x^{2}-(2+2\sqrt{2})x=0$.
इसे $ax^{2}+bx+c=0$ से तुलना करने पर,हमें $a=1, b=-(2+2\sqrt{2}), c=0$ प्राप्त होता है।
विविक्तकर $D = b^{2}-4ac = (-(2+2\sqrt{2}))^{2}-4(1)(0)$.
$D = (2+2\sqrt{2})^{2} = 4 + 8 + 8\sqrt{2} = 12+8\sqrt{2}$.
चूंकि $D > 0$ है,इसलिए इस द्विघात समीकरण के दो भिन्न वास्तविक मूल हैं।

(A) दिया गया द्विघात समीकरण $\sqrt{2} x^{2}-\frac{3}{\sqrt{2}} x+\frac{1}{\sqrt{2}}=0$ है।
इसे मानक रूप $ax^{2}+bx+c=0$ से तुलना करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$a=\sqrt{2}$,$b=-\frac{3}{\sqrt{2}}$,और $c=\frac{1}{\sqrt{2}}$.
विविक्तकर (Discriminant) $D$ का सूत्र $D = b^{2}-4ac$ है।
मान रखने पर:
$D = \left(-\frac{3}{\sqrt{2}}\right)^{2} - 4(\sqrt{2})\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)$
$D = \frac{9}{2} - 4$
$D = \frac{9-8}{2} = \frac{1}{2}$.
चूंकि $D = \frac{1}{2} > 0$ है,इसलिए विविक्तकर धनात्मक है।
अतः,द्विघात समीकरण $\sqrt{2} x^{2}-\frac{3}{\sqrt{2}} x+\frac{1}{\sqrt{2}}=0$ के दो भिन्न वास्तविक मूल हैं।

(NO) दिया गया समीकरण $x(1-x)-2=0$ है।
पदों का विस्तार करने पर,हमें $x-x^{2}-2=0$ प्राप्त होता है।
समीकरण को मानक रूप $ax^{2}+bx+c=0$ में व्यवस्थित करने पर,हमें $x^{2}-x+2=0$ प्राप्त होता है।
इसकी तुलना $ax^{2}+bx+c=0$ से करने पर,$a=1, b=-1, c=2$ प्राप्त होता है।
विविक्तकर $D$ का सूत्र $D=b^{2}-4ac$ है।
मान रखने पर,$D=(-1)^{2}-4(1)(2) = 1-8 = -7$ प्राप्त होता है।
चूंकि $D < 0$ है,इसलिए द्विघात समीकरण $x^{2}-x+2=0$ का कोई वास्तविक मूल नहीं है (इसके दो भिन्न काल्पनिक मूल हैं)।

(A) दिया गया समीकरण $(x-1)(x+2)+2=0$ है।
पदों का विस्तार करने पर,हमें $x^{2} + 2x - x - 2 + 2 = 0$ प्राप्त होता है।
सरल करने पर,$x^{2} + x = 0$ प्राप्त होता है।
इसे मानक रूप $ax^{2} + bx + c = 0$ से तुलना करने पर,$a = 1, b = 1, c = 0$ प्राप्त होता है।
विविक्तकर $D$ का सूत्र $D = b^{2} - 4ac$ है।
मान रखने पर,$D = (1)^{2} - 4(1)(0) = 1 - 0 = 1$ प्राप्त होता है।
चूंकि $D > 0$ है,इसलिए द्विघात समीकरण के दो भिन्न वास्तविक मूल हैं।

(A) दिया गया समीकरण $(x+1)(x-2)+x=0$ है।
पदों का विस्तार करने पर:
$x^2 - 2x + x - 2 + x = 0$
समीकरण को सरल करने पर:
$x^2 - 2 = 0$
इसे मानक रूप $ax^2 + bx + c = 0$ से तुलना करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$a = 1, b = 0, c = -2$
विविक्तकर $D$ का सूत्र $D = b^2 - 4ac$ है।
मान रखने पर:
$D = (0)^2 - 4(1)(-2) = 0 + 8 = 8$.
चूंकि $D > 0$ है,इसलिए इस द्विघात समीकरण के दो भिन्न वास्तविक मूल हैं।

(N/A) $(i)$ असत्य। $ax^{2} + bx + c = 0$ (जहाँ $a \neq 0$) के रूप वाले द्विघात समीकरण के ठीक दो मूल होते हैं,जो वास्तविक या सम्मिश्र हो सकते हैं।
$(ii)$ असत्य। यह आवश्यक नहीं है कि प्रत्येक द्विघात समीकरण का एक वास्तविक मूल हो। उदाहरण के लिए,समीकरण $x^{2} + 4 = 0$ का कोई वास्तविक मूल नहीं है क्योंकि $x^{2} = -4$,और किसी भी वास्तविक संख्या का वर्ग ऋणात्मक नहीं हो सकता है।

(A) $(i)$ सत्य। एक द्विघात समीकरण $ax^{2} + bx + c = 0$ के रूप में होता है जहाँ $a \neq 0$। बीजगणित के मूलभूत प्रमेय के अनुसार,$n$ घात वाले बहुपद के अधिकतम $n$ मूल होते हैं। चूँकि द्विघात समीकरण की घात $2$ है,इसलिए इसके अधिकतम $2$ मूल हो सकते हैं।
$(ii)$ सत्य। द्विघात समीकरण $ax^{2} + bx + c = 0$ के लिए,विविक्तकर (discriminant) $D = b^{2} - 4ac$ होता है। यदि $x^{2}$ का गुणांक $(a)$ और अचर पद $(c)$ विपरीत चिह्न के हैं,तो $ac < 0$ होगा। परिणामस्वरूप,$-4ac > 0$ होगा। चूँकि $b^{2} \geq 0$,इसलिए $D = b^{2} - 4ac > 0$ प्राप्त होता है। चूँकि विविक्तकर धनात्मक है,इसलिए द्विघात समीकरण के दो भिन्न वास्तविक मूल होते हैं।

(A) $(i)$ सत्य। द्विघात समीकरण $ax^{2} + bx + c = 0$ के लिए,विविक्तकर $D = b^{2} - 4ac$ होता है। दिया गया है कि $b = 0$,इसलिए $D = -4ac$ प्राप्त होता है। यदि $a$ और $c$ का चिह्न समान है,तो $ac > 0$ होगा,जिसका अर्थ है कि $D = -4ac < 0$। चूंकि विविक्तकर ऋणात्मक है,इसलिए समीकरण के कोई वास्तविक मूल नहीं हैं।
$(ii)$ असत्य। एक द्विघात समीकरण के ठीक दो मूल होते हैं (जो वास्तविक और भिन्न,वास्तविक और समान,या सम्मिश्र/काल्पनिक हो सकते हैं)। वास्तविक संख्याओं के संदर्भ में इसके "कम से कम" दो मूल होना आवश्यक नहीं है,और इसके दो से अधिक मूल नहीं हो सकते हैं।

(B) यह कथन असत्य है। पूर्णांक गुणांक वाले द्विघात समीकरण के मूल आवश्यक रूप से पूर्णांक नहीं होते हैं।
द्विघात समीकरण $2x^2 + x - 6 = 0$ पर विचार करें, जहाँ गुणांक $2, 1, \text{और } -6$ पूर्णांक हैं।
द्विघाती सूत्र $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ का उपयोग करने पर:
$x = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4(2)(-6)}}{2(2)}$
$x = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 48}}{4}$
$x = \frac{-1 \pm \sqrt{49}}{4}$
$x = \frac{-1 \pm 7}{4}$
इससे दो मूल प्राप्त होते हैं: $x_1 = \frac{6}{4} = 1.5$ और $x_2 = \frac{-8}{4} = -2$.
चूँकि $1.5$ एक पूर्णांक नहीं है, इसलिए यह दावा कि पूर्णांक गुणांक वाले द्विघात समीकरण के मूल पूर्णांक ही होते हैं, गलत है।

(A) हाँ,ऐसा द्विघात समीकरण अस्तित्व में है। द्विघात समीकरण $2x^2 + x - 4 = 0$ पर विचार करें। यहाँ,गुणांक $2, 1$ और $-4$ परिमेय संख्याएँ हैं।
द्विघाती सूत्र $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$x = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4(2)(-4)}}{2(2)}$
$x = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 32}}{4}$
$x = \frac{-1 \pm \sqrt{33}}{4}$
अतः मूल $\frac{-1 + \sqrt{33}}{4}$ और $\frac{-1 - \sqrt{33}}{4}$ हैं। चूँकि $\sqrt{33}$ एक अपरिमेय संख्या है,इसलिए दोनों मूल अपरिमेय हैं।

(C) हाँ,ऐसा द्विघात समीकरण अस्तित्व में है।
द्विघात समीकरण $\sqrt{3}x^2 - 7\sqrt{3}x + 12\sqrt{3} = 0$ पर विचार करें।
यहाँ,गुणांक $a = \sqrt{3}$,$b = -7\sqrt{3}$,और $c = 12\sqrt{3}$ हैं,जो सभी भिन्न अपरिमेय संख्याएँ हैं।
पूरे समीकरण को $\sqrt{3}$ से विभाजित करने पर,हमें $x^2 - 7x + 12 = 0$ प्राप्त होता है।
इस द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर,$(x - 3)(x - 4) = 0$ प्राप्त होता है।
अतः,मूल $x = 3$ और $x = 4$ हैं,जो दोनों परिमेय संख्याएँ हैं।

(B) यह निर्धारित करने के लिए कि क्या $0.2$ समीकरण $x^{2}-0.4=0$ का एक मूल है,हम समीकरण में $x = 0.2$ प्रतिस्थापित करते हैं।
बाएँ पक्ष $(LHS)$ में $x = 0.2$ रखने पर:
$(0.2)^{2} - 0.4 = 0.04 - 0.4 = -0.36$ प्राप्त होता है।
चूंकि परिणाम $-0.36$ है और $0$ नहीं है,इसलिए मान $0.2$ समीकरण को संतुष्ट नहीं करता है।
अतः,$0.2$ समीकरण $x^{2}-0.4=0$ का मूल नहीं है।

(A) दिया गया द्विघात समीकरण: $x^{2}+bx+c=0$ ....$(i)$
समीकरण $(i)$ में $b=0$ रखने पर:
$x^{2}+0(x)+c=0$
$x^{2}+c=0$
$x^{2}=-c$
चूंकि यह दिया गया है कि $c < 0$,मान लीजिए $c = -k$ जहाँ $k > 0$ है। तब:
$x^{2} = -(-k) = k$
$x = \pm \sqrt{k}$
अतः,मूल $\sqrt{k}$ और $-\sqrt{k}$ हैं।
ये मूल संख्यात्मक रूप से समान हैं (दोनों का परिमाण $\sqrt{k}$ है) और चिह्न में विपरीत हैं (एक धनात्मक और एक ऋणात्मक है)। इसलिए,यह कथन सत्य है।

(B) द्विघात समीकरण $ax^{2}+bx+c=0$ के लिए,मूल द्विघाती सूत्र $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$ द्वारा दिए जाते हैं।
यहाँ,$a=2$,$b=-\sqrt{5}$,और $c=-2$ है।
सबसे पहले,विविक्तकर (discriminant) $D = b^{2}-4ac$ की गणना करें:
$D = (-\sqrt{5})^{2} - 4 \times 2 \times (-2) = 5 + 16 = 21$.
अब,इन मानों को द्विघाती सूत्र में रखने पर:
$x = \frac{-(-\sqrt{5}) \pm \sqrt{21}}{2 \times 2} = \frac{\sqrt{5} \pm \sqrt{21}}{4}$.
अतः,मूल $\frac{\sqrt{5}+\sqrt{21}}{4}$ और $\frac{\sqrt{5}-\sqrt{21}}{4}$ हैं।

(D) $6x^{2} - \sqrt{2}x - 2 = 0$ के मूल ज्ञात करने के लिए,हम द्विघात बहुपद का गुणनखंडन करेंगे।
हमें ऐसी दो संख्याएँ चाहिए जिनका गुणनफल $6 \times (-2) = -12$ हो और योग $-\sqrt{2}$ हो।
ये संख्याएँ $-3\sqrt{2}$ और $2\sqrt{2}$ हैं।
$6x^{2} - 3\sqrt{2}x + 2\sqrt{2}x - 2 = 0$
$3x(2x - \sqrt{2}) + \sqrt{2}(2x - \sqrt{2}) = 0$
$(3x + \sqrt{2})(2x - \sqrt{2}) = 0$
प्रत्येक गुणनखंड को शून्य के बराबर रखने पर:
$3x + \sqrt{2} = 0 \implies x = -\frac{\sqrt{2}}{3}$
$2x - \sqrt{2} = 0 \implies x = \frac{\sqrt{2}}{2}$
अतः,मूल $-\frac{\sqrt{2}}{3}$ और $\frac{\sqrt{2}}{2}$ हैं।

(D) दिया गया समीकरण $2x^{2} - 3x - 5 = 0$ है।
इसे मानक रूप $ax^{2} + bx + c = 0$ से तुलना करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$a = 2, b = -3, c = -5$.
द्विघाती सूत्र $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^{2} - 4ac}}{2a}$ है।
मान रखने पर:
$x = \frac{-(-3) \pm \sqrt{(-3)^{2} - 4(2)(-5)}}{2(2)}$
$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 40}}{4}$
$x = \frac{3 \pm \sqrt{49}}{4}$
$x = \frac{3 \pm 7}{4}$.
दोनों मूलों की गणना करने पर:
$x_{1} = \frac{3 + 7}{4} = \frac{10}{4} = \frac{5}{2}$
$x_{2} = \frac{3 - 7}{4} = \frac{-4}{4} = -1$.
अतः,दिए गए समीकरण के मूल $\frac{5}{2}$ और $-1$ हैं।

(A) दिया गया समीकरण $5x^{2} + 13x + 8 = 0$ है।
मानक रूप $ax^{2} + bx + c = 0$ के साथ तुलना करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$a = 5, b = 13, c = 8$.
द्विघाती सूत्र $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^{2} - 4ac}}{2a}$ है।
मान रखने पर:
$x = \frac{-(13) \pm \sqrt{(13)^{2} - 4(5)(8)}}{2(5)}$
$x = \frac{-13 \pm \sqrt{169 - 160}}{10}$
$x = \frac{-13 \pm \sqrt{9}}{10}$
$x = \frac{-13 \pm 3}{10}$.
स्थिति $1$: $x = \frac{-13 + 3}{10} = \frac{-10}{10} = -1$.
स्थिति $2$: $x = \frac{-13 - 3}{10} = \frac{-16}{10} = -\frac{8}{5}$.
अतः,मूल $-1$ और $-\frac{8}{5}$ हैं।

(B) दिया गया समीकरण $-3x^{2} + 5x + 12 = 0$ है।
इसे मानक रूप $ax^{2} + bx + c = 0$ से तुलना करने पर,हमें $a = -3$,$b = 5$ और $c = 12$ प्राप्त होता है।
द्विघाती सूत्र $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^{2} - 4ac}}{2a}$ है।
मान रखने पर,$x = \frac{-(5) \pm \sqrt{(5)^{2} - 4(-3)(12)}}{2(-3)}$.
व्यंजक को सरल करने पर,$x = \frac{-5 \pm \sqrt{25 + 144}}{-6} = \frac{-5 \pm \sqrt{169}}{-6}$.
चूंकि $\sqrt{169} = 13$,इसलिए $x = \frac{-5 \pm 13}{-6}$ प्राप्त होता है।
धनात्मक चिह्न लेने पर: $x = \frac{-5 + 13}{-6} = \frac{8}{-6} = -\frac{4}{3}$.
ऋणात्मक चिह्न लेने पर: $x = \frac{-5 - 13}{-6} = \frac{-18}{-6} = 3$.
अतः,समीकरण के मूल $-\frac{4}{3}$ और $3$ हैं।

(C) दिया गया समीकरण $-x^{2}+7x-10=0$ है।
मानक रूप $ax^{2}+bx+c=0$ से तुलना करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$a = -1, b = 7, c = -10$.
द्विघाती सूत्र $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$ है।
मान रखने पर:
$x = \frac{-(7) \pm \sqrt{(7)^{2}-4(-1)(-10)}}{2(-1)}$
$x = \frac{-7 \pm \sqrt{49-40}}{-2}$
$x = \frac{-7 \pm \sqrt{9}}{-2}$
$x = \frac{-7 \pm 3}{-2}$.
दोनों मूलों की गणना करने पर:
$x_1 = \frac{-7 + 3}{-2} = \frac{-4}{-2} = 2$
$x_2 = \frac{-7 - 3}{-2} = \frac{-10}{-2} = 5$.
अतः,समीकरण के मूल $2$ और $5$ हैं।

(D) दिया गया समीकरण $x^{2}+2 \sqrt{2} x-6=0$ है।
इसे मानक रूप $ax^{2}+bx+c=0$ से तुलना करने पर,हमें $a=1, b=2 \sqrt{2}$ और $c=-6$ प्राप्त होता है।
द्विघाती सूत्र $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$ है।
मान रखने पर,$x = \frac{-(2 \sqrt{2}) \pm \sqrt{(2 \sqrt{2})^{2}-4(1)(-6)}}{2(1)}$.
$x = \frac{-2 \sqrt{2} \pm \sqrt{8+24}}{2} = \frac{-2 \sqrt{2} \pm \sqrt{32}}{2}$.
चूँकि $\sqrt{32} = 4 \sqrt{2}$,इसलिए $x = \frac{-2 \sqrt{2} \pm 4 \sqrt{2}}{2}$.
दोनों मूलों की गणना करने पर:
$x_1 = \frac{-2 \sqrt{2} + 4 \sqrt{2}}{2} = \frac{2 \sqrt{2}}{2} = \sqrt{2}$.
$x_2 = \frac{-2 \sqrt{2} - 4 \sqrt{2}}{2} = \frac{-6 \sqrt{2}}{2} = -3 \sqrt{2}$.
अतः,समीकरण के मूल $\sqrt{2}$ और $-3 \sqrt{2}$ हैं।

(A) दिया गया द्विघात समीकरण $x^{2}-3 \sqrt{5} x+10=0$ है।
इसे मानक रूप $ax^{2}+bx+c=0$ से तुलना करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$a=1, b=-3 \sqrt{5}, c=10$.
द्विघाती सूत्र $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$ है।
मान रखने पर:
$x = \frac{-(-3 \sqrt{5}) \pm \sqrt{(-3 \sqrt{5})^{2}-4(1)(10)}}{2(1)}$
$x = \frac{3 \sqrt{5} \pm \sqrt{45-40}}{2}$
$x = \frac{3 \sqrt{5} \pm \sqrt{5}}{2}$
स्थिति $1$: $x = \frac{3 \sqrt{5} + \sqrt{5}}{2} = \frac{4 \sqrt{5}}{2} = 2 \sqrt{5}$.
स्थिति $2$: $x = \frac{3 \sqrt{5} - \sqrt{5}}{2} = \frac{2 \sqrt{5}}{2} = \sqrt{5}$.
अतः,समीकरण के मूल $2 \sqrt{5}$ और $\sqrt{5}$ हैं।

(B) दिया गया समीकरण $\frac{1}{2} x^{2}-\sqrt{11} x+1=0$ है।
इसे $ax^{2}+bx+c=0$ से तुलना करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$a=\frac{1}{2}, b=-\sqrt{11}, c=1$.
द्विघाती सूत्र $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$ है।
मान रखने पर:
$x = \frac{-(-\sqrt{11}) \pm \sqrt{(-\sqrt{11})^{2}-4 \times \frac{1}{2} \times 1}}{2 \times \frac{1}{2}}$
$x = \frac{\sqrt{11} \pm \sqrt{11-2}}{1}$
$x = \sqrt{11} \pm \sqrt{9}$
$x = \sqrt{11} \pm 3$.
अतः,समीकरण के मूल $3+\sqrt{11}$ और $\sqrt{11}-3$ हैं।

(C) दिया गया समीकरण $2x^{2} + \frac{5}{3}x - 2 = 0$ है।
दोनों पक्षों को $3$ से गुणा करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$6x^{2} + 5x - 6 = 0$.
गुणनखंड करने के लिए,हम मध्य पद को इस प्रकार विभाजित करते हैं कि दो संख्याओं का गुणनफल $6 \times (-6) = -36$ हो और उनका योग $5$ हो। वे संख्याएँ $9$ और $-4$ हैं।
$6x^{2} + 9x - 4x - 6 = 0$
उभयनिष्ठ पद लेने पर:
$3x(2x + 3) - 2(2x + 3) = 0$
$(2x + 3)(3x - 2) = 0$
अब,प्रत्येक गुणनखंड को शून्य के बराबर रखने पर:
$2x + 3 = 0 \Rightarrow x = -\frac{3}{2}$
$3x - 2 = 0 \Rightarrow x = \frac{2}{3}$
अतः,समीकरण के मूल $-\frac{3}{2}$ और $\frac{2}{3}$ हैं।

(B) दिया गया समीकरण $\frac{2}{5} x^{2}-x-\frac{3}{5}=0$ है।
दोनों पक्षों को $5$ से गुणा करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$2x^{2}-5x-3=0$
गुणनखंड करने के लिए,हम मध्य पद $-5x$ को $-6x + x$ में विभाजित करते हैं:
$2x^{2}-6x+x-3=0$
पदों को समूह में रखने पर:
$2x(x-3)+1(x-3)=0$
$(x-3)$ को उभयनिष्ठ गुणनखंड के रूप में लेने पर:
$(x-3)(2x+1)=0$
प्रत्येक गुणनखंड को शून्य के बराबर रखने पर:
$x-3=0 \Rightarrow x=3$
$2x+1=0 \Rightarrow x=-\frac{1}{2}$
अतः,समीकरण के मूल $-\frac{1}{2}$ और $3$ हैं।

(A) दिया गया समीकरण $3 \sqrt{2} x^{2}-5 x-\sqrt{2}=0$ है।
गुणनखंड करने के लिए,हम मध्य पद $-5x$ को $-6x + x$ में विभाजित करते हैं ताकि उनका गुणनफल $(3 \sqrt{2}) \times (-\sqrt{2}) = -6$ हो।
$3 \sqrt{2} x^{2}-6 x+x-\sqrt{2}=0$
$3 \sqrt{2} x(x-\sqrt{2})+1(x-\sqrt{2})=0$
$(x-\sqrt{2})(3 \sqrt{2} x+1)=0$
प्रत्येक गुणनखंड को शून्य के बराबर रखने पर:
$x-\sqrt{2}=0 \Rightarrow x=\sqrt{2}$
$3 \sqrt{2} x+1=0 \Rightarrow x=-\frac{1}{3 \sqrt{2}}$.
हर का परिमेयकरण करने पर: $x = -\frac{1 \times \sqrt{2}}{3 \sqrt{2} \times \sqrt{2}} = -\frac{\sqrt{2}}{3 \times 2} = -\frac{\sqrt{2}}{6}$.
अतः,समीकरण के मूल $-\frac{\sqrt{2}}{6}$ और $\sqrt{2}$ हैं।

(B) दिया गया समीकरण $3x^{2} + 5\sqrt{5}x - 10 = 0$ है।
गुणनखंड करने के लिए,हम मध्य पद को इस प्रकार विभाजित करते हैं कि उनका गुणनफल $3 \times (-10) = -30$ हो और योग $5\sqrt{5}$ हो।
ये गुणनखंड $6\sqrt{5}$ और $-\sqrt{5}$ हैं,क्योंकि $(6\sqrt{5}) \times (-\sqrt{5}) = -6 \times 5 = -30$ और $6\sqrt{5} - \sqrt{5} = 5\sqrt{5}$ होता है।
$3x^{2} + 6\sqrt{5}x - \sqrt{5}x - 10 = 0$
$3x(x + 2\sqrt{5}) - \sqrt{5}(x + 2\sqrt{5}) = 0$
$(x + 2\sqrt{5})(3x - \sqrt{5}) = 0$
प्रत्येक गुणनखंड को शून्य के बराबर रखने पर:
$x + 2\sqrt{5} = 0 \Rightarrow x = -2\sqrt{5}$
$3x - \sqrt{5} = 0 \Rightarrow x = \frac{\sqrt{5}}{3}$
अतः,समीकरण के मूल $-2\sqrt{5}$ और $\frac{\sqrt{5}}{3}$ हैं।

(C) दिया गया समीकरण $21 x^{2}-2 x+\frac{1}{21}=0$ है।
इसे सरल बनाने के लिए,समीकरण के दोनों पक्षों को $21$ से गुणा करने पर:
$21(21 x^{2}-2 x+\frac{1}{21}) = 21(0)$
$441 x^{2}-42 x+1=0$
अब,मध्य पद को विभाजित करके गुणनखंड करने पर:
$441 x^{2}-21 x-21 x+1=0$
पदों का समूह बनाने पर:
$(441 x^{2}-21 x)-(21 x-1)=0$
$21 x(21 x-1)-1(21 x-1)=0$
$(21 x-1)$ को उभयनिष्ठ लेने पर:
$(21 x-1)(21 x-1)=0$
प्रत्येक गुणनखंड को शून्य के बराबर रखने पर:
$21 x-1=0 \Rightarrow x=\frac{1}{21}$
$21 x-1=0 \Rightarrow x=\frac{1}{21}$
अतः,समीकरण के मूल $\frac{1}{21}$ और $\frac{1}{21}$ हैं।

(A) दिया गया समीकरण: $6x^2 - 7x + 2 = 0$।
$ax^2 + bx + c = 0$ से तुलना करने पर, $a = 6, b = -7, c = 2$ प्राप्त होता है।
विविक्तकर $D = b^2 - 4ac = (-7)^2 - 4(6)(2) = 49 - 48 = 1$।
चूंकि $D > 0$, समीकरण के दो भिन्न वास्तविक मूल हैं।
पूर्ण वर्ग बनाने की विधि के लिए, $6$ से भाग देने पर: $x^2 - (7/6)x + 1/3 = 0$।
इसे $x^2 - 2(7/12)x = -1/3$ के रूप में लिखें।
दोनों पक्षों में $(7/12)^2$ जोड़ने पर: $x^2 - 2(7/12)x + (7/12)^2 = -1/3 + 49/144$।
$(x - 7/12)^2 = (-48 + 49) / 144 = 1/144$।
वर्गमूल लेने पर: $x - 7/12 = \pm 1/12$।
स्थिति $1$: $x = 7/12 + 1/12 = 8/12 = 2/3$।
स्थिति $2$: $x = 7/12 - 1/12 = 6/12 = 1/2$।
अतः, मूल $1/2$ और $2/3$ हैं।

(A) माना कि उसके वास्तविक अंक $x$ हैं।
प्रश्न के अनुसार,यदि उसने $10$ अंक अधिक प्राप्त किए होते,तो नए अंक $(x + 10)$ होते।
शर्त के अनुसार,इन अंकों का $9$ गुना उसके वास्तविक अंकों के वर्ग के बराबर है:
$9(x + 10) = x^2$
$9x + 90 = x^2$
द्विघात समीकरण बनाने के लिए पदों को व्यवस्थित करने पर:
$x^2 - 9x - 90 = 0$
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर:
$x^2 - 15x + 6x - 90 = 0$
$x(x - 15) + 6(x - 15) = 0$
$(x + 6)(x - 15) = 0$
इससे $x = -6$ या $x = 15$ प्राप्त होता है।
चूंकि अंक ऋणात्मक नहीं हो सकते,इसलिए $x = -6$ को छोड़ दिया जाता है।
अतः,अजीता द्वारा प्राप्त वास्तविक अंक $15$ हैं।

(B) माना ट्रेन की मूल औसत गति $x \, km/h$ है।
प्रश्न के अनुसार,पहले भाग के लिए लिया गया समय $\frac{63}{x} \, \text{घंटे}$ और दूसरे भाग के लिए $\frac{72}{x+6} \, \text{घंटे}$ है।
कुल समय $3 \, \text{घंटे}$ लगता है,इसलिए:
$\frac{63}{x} + \frac{72}{x+6} = 3$
पूरे समीकरण को $9$ से विभाजित करने पर:
$\frac{7}{x} + \frac{8}{x+6} = \frac{1}{3}$
हर को हटाने के लिए $3x(x+6)$ से गुणा करने पर:
$21(x+6) + 24x = x(x+6)$
$21x + 126 + 24x = x^2 + 6x$
$45x + 126 = x^2 + 6x$
$x^2 - 39x - 126 = 0$
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर:
$(x - 42)(x + 3) = 0$
इससे $x = 42$ या $x = -3$ प्राप्त होता है।
चूंकि गति ऋणात्मक नहीं हो सकती,इसलिए मूल औसत गति $42 \, km/h$ है।