Mix Examples - Quadratic Equations Questions in Hindi

(A) यह जाँचने के लिए कि क्या $x = -2\sqrt{2}$ एक हल है,$x$ के मान को द्विघात समीकरण $x^{2} + \sqrt{2}x - 4 = 0$ में प्रतिस्थापित करें।
बायाँ पक्ष $(LHS)$ $= (-2\sqrt{2})^{2} + \sqrt{2}(-2\sqrt{2}) - 4$
$= (4 \times 2) + (-2 \times 2) - 4$
$= 8 - 4 - 4$
$= 0$
चूँकि बायाँ पक्ष $(LHS)$ $=$ दायाँ पक्ष $(RHS)$ है,इसलिए दिया गया मान $x = -2\sqrt{2}$ द्विघात समीकरण का एक हल है।

(B) यह जाँचने के लिए कि क्या $x = \frac{1}{2}$ एक हल है,$x = \frac{1}{2}$ को द्विघात समीकरण $2x^2 - 5x + 3 = 0$ में प्रतिस्थापित करें।
बायाँ पक्ष $(LHS)$ $= 2(\frac{1}{2})^2 - 5(\frac{1}{2}) + 3$
$= 2(\frac{1}{4}) - \frac{5}{2} + 3$
$= \frac{1}{2} - \frac{5}{2} + 3$
$= -\frac{4}{2} + 3$
$= -2 + 3 = 1$
चूँकि $LHS$ $\neq$ $RHS$ (जहाँ $RHS$ $= 0$),इसलिए $x = \frac{1}{2}$ दिए गए द्विघात समीकरण का हल नहीं है।

यह जाँचने के लिए कि क्या $x = \frac{-2}{m+n}$ एक हल है, हम $x$ का मान द्विघात समीकरण में प्रतिस्थापित करेंगे।
दिया गया समीकरण:
$(m+n)^2 x^2 + (m+n)x - 2 = 0$
$x = \frac{-2}{m+n}$ रखने पर:
$(m+n)^2 \left(\frac{-2}{m+n}\right)^2 + (m+n)\left(\frac{-2}{m+n}\right) - 2 = 0$
$(m+n)^2 \cdot \frac{4}{(m+n)^2} + (m+n)\cdot \frac{-2}{m+n} - 2 = 0$
पदों को सरल करने पर:
$4 - 2 - 2 = 0$
$0 = 0$
चूँकि बायाँ पक्ष दाएँ पक्ष के बराबर है, इसलिए $x = \frac{-2}{m+n}$ दिए गए द्विघात समीकरण का एक हल है।

(B) यह जाँचने के लिए कि क्या $x=2$ एक हल है,दिए गए द्विघात समीकरण में $x=2$ प्रतिस्थापित करें: $(x-2)(x+3)+1=0$.
$x=2$ रखने पर:
$(2-2)(2+3)+1 = (0)(5)+1 = 0+1 = 1$.
चूँकि परिणाम $1$ है और $0$ नहीं है,इसलिए बायाँ पक्ष दाएँ पक्ष के बराबर नहीं है।
अतः,$x=2$ दिए गए द्विघात समीकरण का हल नहीं है।

(A) यह जाँचने के लिए कि क्या $x = -\frac{1}{2}$ एक हल है,इस मान को समीकरण के बाएँ पक्ष $(LHS)$ में प्रतिस्थापित करें।
$LHS$ = $\frac{1}{3 - 2(-\frac{1}{2})} + \frac{1}{5 + 2(-\frac{1}{2})}$
$LHS$ = $\frac{1}{3 - (-1)} + \frac{1}{5 + (-1)}$
$LHS$ = $\frac{1}{3 + 1} + \frac{1}{5 - 1}$
$LHS$ = $\frac{1}{4} + \frac{1}{4}$
$LHS$ = $\frac{2}{4} = \frac{1}{2}$
चूँकि $LHS$ = $RHS$ (जो $\frac{1}{2}$ है),इसलिए दिया गया मान $x = -\frac{1}{2}$ द्विघात समीकरण का एक हल है।

(A) यह जाँचने के लिए कि क्या $x = \frac{\sqrt{3}}{4}$ एक हल है,$x$ के मान को द्विघात समीकरण $4 \sqrt{3} x^{2} + 5 x - 2 \sqrt{3} = 0$ में प्रतिस्थापित करें।
बायाँ पक्ष = $4 \sqrt{3} \left( \frac{\sqrt{3}}{4} \right)^{2} + 5 \left( \frac{\sqrt{3}}{4} \right) - 2 \sqrt{3}$
बायाँ पक्ष = $4 \sqrt{3} \left( \frac{3}{16} \right) + \frac{5 \sqrt{3}}{4} - 2 \sqrt{3}$
बायाँ पक्ष = $\frac{3 \sqrt{3}}{4} + \frac{5 \sqrt{3}}{4} - 2 \sqrt{3}$
बायाँ पक्ष = $\frac{8 \sqrt{3}}{4} - 2 \sqrt{3}$
बायाँ पक्ष = $2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} = 0$
चूँकि बायाँ पक्ष = दायाँ पक्ष,इसलिए दिया गया मान $x = \frac{\sqrt{3}}{4}$ द्विघात समीकरण का एक हल है।

(A) यह जाँचने के लिए कि क्या $x = 2$ एक हल है,समीकरण के बाएँ पक्ष $(LHS)$ में $x = 2$ प्रतिस्थापित करें:
$LHS$ = $\frac{1}{2+4} - \frac{1}{2-7}$
$LHS$ = $\frac{1}{6} - \frac{1}{-5}$
$LHS$ = $\frac{1}{6} + \frac{1}{5}$
$LHS$ = $\frac{5+6}{30} = \frac{11}{30}$
चूँकि $LHS$ = $RHS$ $(\frac{11}{30})$ है,इसलिए $x = 2$ दिए गए द्विघात समीकरण का एक हल है।

(A) दिया गया समीकरण: $x + \frac{1}{x} = 3 \frac{1}{3}$.
मिश्रित भिन्न को विषम भिन्न में बदलने पर: $3 \frac{1}{3} = \frac{3 \times 3 + 1}{3} = \frac{10}{3}$.
अतः,समीकरण $x + \frac{1}{x} = \frac{10}{3}$ है।
समीकरण के बाएँ पक्ष $(LHS)$ में $x = \frac{1}{3}$ रखने पर:
$LHS$ $= \frac{1}{3} + \frac{1}{1/3} = \frac{1}{3} + 3$.
$LHS$ $= \frac{1 + 9}{3} = \frac{10}{3}$.
चूँकि $LHS$ $= \frac{10}{3}$ और $RHS$ $= \frac{10}{3}$ है,इसलिए $LHS$ $=$ $RHS$ है।
अतः,$x = \frac{1}{3}$ दिए गए द्विघात समीकरण का एक हल है।

(A) दिया गया द्विघात समीकरण $kx^{2} + 2x - 3 = 0$ है।
चूंकि $x = 2$ समीकरण का एक मूल है,इसलिए यह समीकरण को संतुष्ट करेगा।
समीकरण में $x = 2$ प्रतिस्थापित करने पर:
$k(2)^{2} + 2(2) - 3 = 0$
$k(4) + 4 - 3 = 0$
$4k + 1 = 0$
$4k = -1$
$k = -\frac{1}{4}$

(B) दिया गया द्विघात समीकरण $3x^{2} + 2kx - 3 = 0$ है।
चूंकि $x = -\frac{1}{2}$ समीकरण का एक मूल है,इसलिए यह समीकरण को संतुष्ट करेगा।
समीकरण में $x = -\frac{1}{2}$ रखने पर:
$3(-\frac{1}{2})^{2} + 2k(-\frac{1}{2}) - 3 = 0$
$3(\frac{1}{4}) - k - 3 = 0$
$\frac{3}{4} - k - 3 = 0$
$-k = 3 - \frac{3}{4}$
$-k = \frac{12 - 3}{4}$
$-k = \frac{9}{4}$
$k = -\frac{9}{4}$

(N/A) दिया गया द्विघात समीकरण $x^{2} - \sqrt{p}x + q = 0$ है।
चूंकि $x = -\sqrt{p}$ समीकरण का एक मूल है,इसलिए यह समीकरण को संतुष्ट करेगा।
समीकरण में $x = -\sqrt{p}$ रखने पर:
$(-\sqrt{p})^{2} - \sqrt{p}(-\sqrt{p}) + q = 0$
$p - (-\sqrt{p} \cdot \sqrt{p}) + q = 0$
$p - (-p) + q = 0$
$p + p + q = 0$
$2p + q = 0$
अतः,यह सिद्ध हुआ।

(N/A) दिया गया द्विघात समीकरण $px^{2} + qx + r = 0$ है।
चूंकि $x = -2$ इस समीकरण का एक मूल है,इसलिए यह समीकरण को संतुष्ट करेगा।
समीकरण में $x = -2$ प्रतिस्थापित करने पर:
$p(-2)^{2} + q(-2) + r = 0$
$p(4) - 2q + r = 0$
$4p - 2q + r = 0$
अतः,यह सिद्ध होता है कि $4p - 2q + r = 0$।

(A) माना $(x+2) = y$ है। इस मान को समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$y^{2} - 14y + 45 = 0$
गुणनखंड करने के लिए,हम ऐसी दो संख्याएँ ढूँढते हैं जिनका गुणनफल $45$ और योग $-14$ हो। ये संख्याएँ $-9$ और $-5$ हैं।
$y^{2} - 9y - 5y + 45 = 0$
$y(y - 9) - 5(y - 9) = 0$
$(y - 9)(y - 5) = 0$
अतः,$y = 9$ या $y = 5$ है।
अब,$y = x + 2$ वापस रखने पर:
स्थिति $1$: $x + 2 = 9 \implies x = 7$
स्थिति $2$: $x + 2 = 5 \implies x = 3$
इस प्रकार,हल $x = 3, 7$ है।

(B) माना $y = 2x + 1$ है। समीकरण $6y^2 = y + 5$ बन जाता है।
पदों को व्यवस्थित करने पर,हमें $6y^2 - y - 5 = 0$ प्राप्त होता है।
गुणनखंड करने के लिए,हम ऐसी दो संख्याएँ ढूँढते हैं जिनका गुणनफल $(6 \times -5) = -30$ हो और योग $-1$ हो।
ये संख्याएँ $-6$ और $5$ हैं।
अतः,$6y^2 - 6y + 5y - 5 = 0$।
$6y(y - 1) + 5(y - 1) = 0$।
$(6y + 5)(y - 1) = 0$।
इससे $y = 1$ या $y = -\frac{5}{6}$ प्राप्त होता है।
$y = 2x + 1$ वापस रखने पर:
स्थिति $1$: $2x + 1 = 1 \implies 2x = 0 \implies x = 0$।
स्थिति $2$: $2x + 1 = -\frac{5}{6} \implies 2x = -\frac{5}{6} - 1 = -\frac{11}{6} \implies x = -\frac{11}{12}$।
अतः,हल $x = 0$ और $x = -\frac{11}{12}$ हैं।

(C) दिया गया समीकरण: $x + 3 + \frac{2}{x} = 0$.
पूरे समीकरण को $x$ से गुणा करने पर (जहाँ $x \neq 0$):
$x^2 + 3x + 2 = 0$.
अब,मध्य पद को विभाजित करके द्विघात समीकरण का गुणनखंड कीजिए:
$x^2 + 2x + x + 2 = 0$.
$x(x + 2) + 1(x + 2) = 0$.
$(x + 1)(x + 2) = 0$.
प्रत्येक गुणनखंड को शून्य के बराबर रखने पर:
$x + 1 = 0 \implies x = -1$.
$x + 2 = 0 \implies x = -2$.
अतः,हल $x = -1, -2$ हैं।

(A) दिया गया समीकरण: $(x+1)^{2} + x^{2} = 221$
वर्ग का विस्तार करने पर: $(x^{2} + 2x + 1) + x^{2} = 221$
समान पदों को जोड़ने पर: $2x^{2} + 2x + 1 = 221$
दोनों पक्षों से $221$ घटाने पर: $2x^{2} + 2x - 220 = 0$
पूरे समीकरण को $2$ से विभाजित करने पर: $x^{2} + x - 110 = 0$
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर: $x^{2} + 11x - 10x - 110 = 0$
पदों को समूहित करने पर: $x(x + 11) - 10(x + 11) = 0$
$(x - 10)(x + 11) = 0$
अतः,$x - 10 = 0$ या $x + 11 = 0$
$x = 10$ या $x = -11$
इस प्रकार,हल $10, -11$ हैं।

(A) दिया गया समीकरण: $x - \frac{20}{x} = 1$
भिन्न को हटाने के लिए पूरे समीकरण को $x$ से गुणा करने पर: $x^2 - 20 = x$
समीकरण को मानक द्विघात रूप $ax^2 + bx + c = 0$ में व्यवस्थित करने पर: $x^2 - x - 20 = 0$
गुणनखंड करने के लिए,ऐसी दो संख्याएँ ज्ञात कीजिए जिनका गुणनफल $-20$ हो और योग $-1$ हो: ये संख्याएँ $-5$ और $4$ हैं।
मध्य पद को फिर से लिखने पर: $x^2 - 5x + 4x - 20 = 0$
पदों का समूह बनाने पर: $x(x - 5) + 4(x - 5) = 0$
उभयनिष्ठ गुणनखंड को बाहर निकालने पर: $(x - 5)(x + 4) = 0$
प्रत्येक गुणनखंड को शून्य के बराबर रखने पर: $x - 5 = 0$ या $x + 4 = 0$
अतः,हल $x = 5$ या $x = -4$ है।

(B) दिया गया समीकरण: $x^{2} + (x + 5)^{2} = 125$
$(x + 5)^{2}$ पद का विस्तार $(a + b)^{2} = a^{2} + 2ab + b^{2}$ सर्वसमिका का उपयोग करके करें:
$x^{2} + (x^{2} + 10x + 25) = 125$
समान पदों को जोड़ने पर:
$2x^{2} + 10x + 25 = 125$
दोनों पक्षों से $125$ घटाने पर:
$2x^{2} + 10x - 100 = 0$
समीकरण को सरल बनाने के लिए $2$ से भाग देने पर:
$x^{2} + 5x - 50 = 0$
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने के लिए ऐसी दो संख्याएँ ज्ञात करें जिनका गुणनफल $-50$ और योग $5$ हो:
ये संख्याएँ $10$ और $-5$ हैं:
$x^{2} + 10x - 5x - 50 = 0$
$x(x + 10) - 5(x + 10) = 0$
$(x - 5)(x + 10) = 0$
प्रत्येक गुणनखंड को शून्य के बराबर रखने पर:
$x - 5 = 0 \implies x = 5$
$x + 10 = 0 \implies x = -10$
अतः,हल $5, -10$ हैं।

(D) दिया गया समीकरण: $\frac{x}{x+1} + \frac{x+1}{x} = \frac{5}{2}$.
मान लीजिए $y = \frac{x}{x+1}$. तब समीकरण $y + \frac{1}{y} = \frac{5}{2}$ हो जाता है।
$2y$ से गुणा करने पर,$2y^2 + 2 = 5y$ प्राप्त होता है,जिसे सरल करने पर $2y^2 - 5y + 2 = 0$ मिलता है।
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर: $2y^2 - 4y - y + 2 = 0 \implies 2y(y - 2) - 1(y - 2) = 0$.
अतः,$(2y - 1)(y - 2) = 0$,जिससे $y = 1/2$ या $y = 2$ प्राप्त होता है।
स्थिति $1$: $\frac{x}{x+1} = \frac{1}{2} \implies 2x = x + 1 \implies x = 1$.
स्थिति $2$: $\frac{x}{x+1} = 2 \implies x = 2x + 2 \implies x = -2$.
अतः,हल समुच्चय $\{1, -2\}$ है।

(D) दिया गया समीकरण: $\frac{x+2}{x} + \frac{x}{x+2} = \frac{10}{3}$
लघुत्तम समापवर्त्य $(LCM)$ लेने पर: $\frac{(x+2)^2 + x^2}{x(x+2)} = \frac{10}{3}$
अंश का विस्तार करने पर: $\frac{x^2 + 4x + 4 + x^2}{x^2 + 2x} = \frac{10}{3}$
$\frac{2x^2 + 4x + 4}{x^2 + 2x} = \frac{10}{3}$
वज्र-गुणन करने पर: $3(2x^2 + 4x + 4) = 10(x^2 + 2x)$
$6x^2 + 12x + 12 = 10x^2 + 20x$
पदों को व्यवस्थित करने पर: $4x^2 + 8x - 12 = 0$
$4$ से भाग देने पर: $x^2 + 2x - 3 = 0$
गुणनखंड करने पर: $x^2 + 3x - x - 3 = 0$
$x(x+3) - 1(x+3) = 0$
$(x-1)(x+3) = 0$
अतः,$x = 1$ या $x = -3$ है।
हल समुच्चय $\{1, -3\}$ है।

(A) दिया गया समीकरण: $\frac{x+1}{x+2} + \frac{1}{x} = \frac{5}{4}$
बाईं ओर लघुत्तम समापवर्त्य $(LCM)$ लेने पर: $\frac{x(x+1) + 1(x+2)}{x(x+2)} = \frac{5}{4}$
$\frac{x^2 + x + x + 2}{x^2 + 2x} = \frac{5}{4}$
$\frac{x^2 + 2x + 2}{x^2 + 2x} = \frac{5}{4}$
वज्र-गुणन (Cross-multiplication) करने पर: $4(x^2 + 2x + 2) = 5(x^2 + 2x)$
$4x^2 + 8x + 8 = 5x^2 + 10x$
द्विघात समीकरण बनाने के लिए पदों को व्यवस्थित करने पर: $x^2 + 2x - 8 = 0$
द्विघात समीकरण का गुणनखंडन करने पर: $x^2 + 4x - 2x - 8 = 0$
$x(x+4) - 2(x+4) = 0$
$(x-2)(x+4) = 0$
अतः,$x = 2$ या $x = -4$ है।
हल समुच्चय $\{2, -4\}$ है।

(B) दिया गया समीकरण: $x + 2 - \frac{6}{x + 2} = 1$
माना $y = x + 2$ है। तब समीकरण होगा: $y - \frac{6}{y} = 1$
$y$ से गुणा करने पर: $y^2 - 6 = y$
मानक रूप में व्यवस्थित करने पर: $y^2 - y - 6 = 0$
गुणनखंड करने पर: $y^2 - 3y + 2y - 6 = 0$
$y(y - 3) + 2(y - 3) = 0$
$(y - 3)(y + 2) = 0$
अतः,$y = 3$ या $y = -2$ है।
अब $y = x + 2$ वापस रखने पर:
स्थिति $1$: $x + 2 = 3 \implies x = 1$
स्थिति $2$: $x + 2 = -2 \implies x = -4$
इस प्रकार,हल समुच्चय $\{1, -4\}$ है।

(C) दिया गया समीकरण: $\frac{x}{x-1} + \frac{x-1}{x} = \frac{25}{12}$
माना $y = \frac{x}{x-1}$,तब समीकरण $y + \frac{1}{y} = \frac{25}{12}$ हो जाता है।
$12y$ से गुणा करने पर,हमें $12y^2 + 12 = 25y$ प्राप्त होता है,जिसे $12y^2 - 25y + 12 = 0$ के रूप में लिखा जा सकता है।
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर: $12y^2 - 16y - 9y + 12 = 0 \implies 4y(3y - 4) - 3(3y - 4) = 0$.
अतः,$(4y - 3)(3y - 4) = 0$,जिससे $y = \frac{3}{4}$ या $y = \frac{4}{3}$ प्राप्त होता है।
स्थिति $1$: $\frac{x}{x-1} = \frac{3}{4} \implies 4x = 3x - 3 \implies x = -3$.
स्थिति $2$: $\frac{x}{x-1} = \frac{4}{3} \implies 3x = 4x - 4 \implies x = 4$.
अतः,हल समुच्चय $\{4, -3\}$ है।

(D) दिया गया समीकरण: $\frac{9}{x-1} - \frac{2}{x-3} = \frac{5}{x+1}$
बाईं ओर लघुत्तम समापवर्त्य $(LCM)$ लेने पर: $\frac{9(x-3) - 2(x-1)}{(x-1)(x-3)} = \frac{5}{x+1}$
$\frac{9x - 27 - 2x + 2}{x^2 - 4x + 3} = \frac{5}{x+1}$
$\frac{7x - 25}{x^2 - 4x + 3} = \frac{5}{x+1}$
वज्र गुणन (Cross-multiplication) करने पर: $(7x - 25)(x + 1) = 5(x^2 - 4x + 3)$
$7x^2 + 7x - 25x - 25 = 5x^2 - 20x + 15$
$7x^2 - 18x - 25 = 5x^2 - 20x + 15$
$2x^2 + 2x - 40 = 0$
$2$ से भाग देने पर: $x^2 + x - 20 = 0$
गुणनखंड करने पर: $x^2 + 5x - 4x - 20 = 0$
$x(x + 5) - 4(x + 5) = 0$
$(x - 4)(x + 5) = 0$
अतः,$x = 4$ या $x = -5$ है।
हल समुच्चय $\{-5, 4\}$ है।

(A) माना कि $y = \frac{x+1}{x-3}$ है। तब समीकरण $y + \frac{1}{y} = \frac{5}{2}$ बन जाता है।
$2y$ से गुणा करने पर,हमें $2y^2 + 2 = 5y$ प्राप्त होता है,जो $2y^2 - 5y + 2 = 0$ में सरल हो जाता है।
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर: $2y^2 - 4y - y + 2 = 0 \implies 2y(y - 2) - 1(y - 2) = 0$।
इससे $(2y - 1)(y - 2) = 0$ प्राप्त होता है,अतः $y = \frac{1}{2}$ या $y = 2$ है।
स्थिति $1$: $\frac{x+1}{x-3} = \frac{1}{2} \implies 2x + 2 = x - 3 \implies x = -5$।
स्थिति $2$: $\frac{x+1}{x-3} = 2 \implies x + 1 = 2x - 6 \implies x = 7$।
अतः,हल समुच्चय $\{-5, 7\}$ है।

(B) दिया गया समीकरण: $\frac{8}{x+5} = \frac{3}{x-1} + \frac{1}{x-5}$
सबसे पहले,दाईं ओर को सरल करें: $\frac{8}{x+5} = \frac{3(x-5) + 1(x-1)}{(x-1)(x-5)}$
$\frac{8}{x+5} = \frac{3x - 15 + x - 1}{x^2 - 6x + 5}$
$\frac{8}{x+5} = \frac{4x - 16}{x^2 - 6x + 5}$
वज्र-गुणन करने पर: $8(x^2 - 6x + 5) = (x+5)(4x - 16)$
$8x^2 - 48x + 40 = 4x^2 - 16x + 20x - 80$
$8x^2 - 48x + 40 = 4x^2 + 4x - 80$
$4x^2 - 52x + 120 = 0$
$4$ से भाग देने पर: $x^2 - 13x + 30 = 0$
गुणनखंड करने पर: $x^2 - 10x - 3x + 30 = 0$
$x(x - 10) - 3(x - 10) = 0$
$(x - 3)(x - 10) = 0$
अतः,$x = 3$ या $x = 10$।
हल समुच्चय $\{3, 10\}$ है।

(C) दिया गया समीकरण: $\frac{x}{x+1} + \frac{x+1}{x} = \frac{41}{20}$.
मान लीजिए $y = \frac{x}{x+1}$,तो समीकरण $y + \frac{1}{y} = \frac{41}{20}$ हो जाता है।
$20y$ से गुणा करने पर,$20y^2 + 20 = 41y$ प्राप्त होता है,जिसे $20y^2 - 41y + 20 = 0$ के रूप में लिखा जा सकता है।
द्विघात समीकरण का गुणनखंडन करने पर: $20y^2 - 16y - 25y + 20 = 0 \Rightarrow 4y(5y - 4) - 5(5y - 4) = 0$.
अतः,$(4y - 5)(5y - 4) = 0$,जिससे $y = 5/4$ या $y = 4/5$ प्राप्त होता है।
स्थिति $1$: $\frac{x}{x+1} = \frac{5}{4} \Rightarrow 4x = 5x + 5 \Rightarrow x = -5$.
स्थिति $2$: $\frac{x}{x+1} = \frac{4}{5} \Rightarrow 5x = 4x + 4 \Rightarrow x = 4$.
इस प्रकार,हल समुच्चय $\{4, -5\}$ है।

(D) मान लीजिए $y = \frac{x}{1-x}$ है। तब समीकरण $y + \frac{1}{y} = \frac{13}{6}$ बन जाता है।
$6y$ से गुणा करने पर,हमें $6y^2 + 6 = 13y$ प्राप्त होता है,जो $6y^2 - 13y + 6 = 0$ में सरल हो जाता है।
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर: $6y^2 - 9y - 4y + 6 = 0 \implies 3y(2y - 3) - 2(2y - 3) = 0$।
इससे $(3y - 2)(2y - 3) = 0$ प्राप्त होता है,अतः $y = \frac{2}{3}$ या $y = \frac{3}{2}$ है।
स्थिति $1$: $\frac{x}{1-x} = \frac{2}{3} \implies 3x = 2 - 2x \implies 5x = 2 \implies x = \frac{2}{5}$।
स्थिति $2$: $\frac{x}{1-x} = \frac{3}{2} \implies 2x = 3 - 3x \implies 5x = 3 \implies x = \frac{3}{5}$।
अतः,हल समुच्चय $\{\frac{2}{5}, \frac{3}{5}\}$ है।

(A) दिया गया समीकरण: $\frac{x+1}{x-1} + \frac{x-2}{x+2} = 3$
लघुत्तम समापवर्त्य $(LCM)$ लेने पर: $\frac{(x+1)(x+2) + (x-2)(x-1)}{(x-1)(x+2)} = 3$
अंश और हर का विस्तार करने पर: $\frac{(x^2 + 3x + 2) + (x^2 - 3x + 2)}{x^2 + x - 2} = 3$
अंश को सरल करने पर: $\frac{2x^2 + 4}{x^2 + x - 2} = 3$
वज्र गुणन (Cross-multiplication) करने पर: $2x^2 + 4 = 3(x^2 + x - 2)$
$2x^2 + 4 = 3x^2 + 3x - 6$
पदों को व्यवस्थित करके द्विघात समीकरण बनाने पर: $x^2 + 3x - 10 = 0$
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर: $x^2 + 5x - 2x - 10 = 0$
$x(x + 5) - 2(x + 5) = 0$
$(x - 2)(x + 5) = 0$
अतः,$x = 2$ या $x = -5$ है।
हल समुच्चय $\{-5, 2\}$ है।

(B) दिया गया समीकरण: $\frac{x+1}{x-1} - \frac{x-1}{x+1} = \frac{5}{x}$
बाईं ओर लघुत्तम समापवर्त्य $(LCM)$ लेने पर: $\frac{(x+1)^2 - (x-1)^2}{(x-1)(x+1)} = \frac{5}{x}$
अंश को सरल करने पर: $(x^2 + 2x + 1) - (x^2 - 2x + 1) = 4x$
हर को सरल करने पर: $(x-1)(x+1) = x^2 - 1$
अतः,$\frac{4x}{x^2 - 1} = \frac{5}{x}$
वज्र-गुणन (Cross-multiply) करने पर: $4x^2 = 5(x^2 - 1)$
$4x^2 = 5x^2 - 5$
$x^2 = 5$
$x = \pm\sqrt{5}$
इस प्रकार,हल समुच्चय $\{-\sqrt{5}, \sqrt{5}\}$ है।

(C) दिया गया समीकरण: $x^{2}+3x-5=0$.
पूर्ण वर्ग बनाने के लिए,$x$ के गुणांक के आधे का वर्ग जोड़ते और घटाते हैं,जो $(\frac{3}{2})^{2} = \frac{9}{4}$ है।
$x^{2}+3x+\frac{9}{4}-5-\frac{9}{4}=0$
$(x+\frac{3}{2})^{2} - \frac{20+9}{4} = 0$
$(x+\frac{3}{2})^{2} - \frac{29}{4} = 0$
$(x+\frac{3}{2})^{2} = (\frac{\sqrt{29}}{2})^{2}$
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर:
$x+\frac{3}{2} = \pm \frac{\sqrt{29}}{2}$
$x = -\frac{3}{2} \pm \frac{\sqrt{29}}{2}$
$x = \frac{-3 \pm \sqrt{29}}{2}$
अतः,हल $\frac{-3-\sqrt{29}}{2}$ और $\frac{-3+\sqrt{29}}{2}$ हैं।

(D) दिया गया समीकरण: $2x^2 - 7x + 3 = 0$
$x^2$ के गुणांक को $1$ बनाने के लिए पूरे समीकरण को $2$ से विभाजित करने पर:
$x^2 - \frac{7}{2}x + \frac{3}{2} = 0$
पूर्ण वर्ग बनाने के लिए,$x$ के गुणांक के आधे का वर्ग जोड़ने और घटाने पर,जो $(\frac{1}{2} \times \frac{7}{2})^2 = (\frac{7}{4})^2 = \frac{49}{16}$ है:
$x^2 - \frac{7}{2}x + \frac{49}{16} - \frac{49}{16} + \frac{3}{2} = 0$
$(x - \frac{7}{4})^2 - \frac{49}{16} + \frac{24}{16} = 0$
$(x - \frac{7}{4})^2 - \frac{25}{16} = 0$
$(x - \frac{7}{4})^2 = (\frac{5}{4})^2$
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर:
$x - \frac{7}{4} = \pm \frac{5}{4}$
स्थिति $1$: $x = \frac{7}{4} + \frac{5}{4} = \frac{12}{4} = 3$
स्थिति $2$: $x = \frac{7}{4} - \frac{5}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$
अतः,हल $x = 3$ या $x = \frac{1}{2}$ है।

(D) दिया गया समीकरण: $4 x^{2}+3 x+5=0$
$x^2$ के गुणांक को $1$ बनाने के लिए पूरे समीकरण को $4$ से विभाजित करने पर:
$x^{2} + \frac{3}{4}x + \frac{5}{4} = 0$
पूर्ण वर्ग बनाने के लिए,$x$ के गुणांक के आधे का वर्ग जोड़ने और घटाने पर,जो कि $(\frac{1}{2} \times \frac{3}{4})^2 = (\frac{3}{8})^2 = \frac{9}{64}$ है:
$x^{2} + \frac{3}{4}x + \frac{9}{64} - \frac{9}{64} + \frac{5}{4} = 0$
$(x + \frac{3}{8})^2 + \frac{-9 + 80}{64} = 0$
$(x + \frac{3}{8})^2 + \frac{71}{64} = 0$
$(x + \frac{3}{8})^2 = -\frac{71}{64}$
चूंकि किसी भी वास्तविक संख्या का वर्ग ऋणात्मक नहीं हो सकता है,इसलिए $x$ का कोई भी वास्तविक मान इस समीकरण को संतुष्ट नहीं करता है। अतः,समीकरण का कोई वास्तविक मूल नहीं है।

(B) दिया गया द्विघात समीकरण $x^{2}+10x+7=0$ है।
पूर्ण वर्ग बनाने के लिए,हम $(\frac{10}{2})^{2} = 25$ जोड़ेंगे और घटाएंगे:
$x^{2}+10x+25-25+7=0$
$(x+5)^{2}-18=0$
$(x+5)^{2} = 18$
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर:
$x+5 = \pm\sqrt{18}$
$x+5 = \pm 3\sqrt{2}$
$x = -5 \pm 3\sqrt{2}$
अतः,समीकरण के मूल $-5+3\sqrt{2}$ और $-5-3\sqrt{2}$ हैं।

(C) पूर्ण वर्ग बनाने की विधि से $25 x^{2}-30 x+3=0$ को हल करने के लिए,पहले अचर पद को दाईं ओर ले जाते हैं: $25 x^{2}-30 x = -3$.
पूरे समीकरण को $25$ से विभाजित करने पर: $x^{2} - \frac{30}{25} x = -\frac{3}{25}$,जो सरल होकर $x^{2} - \frac{6}{5} x = -\frac{3}{25}$ बनता है।
पूर्ण वर्ग बनाने के लिए,$(\frac{1}{2} \times x \text{ का गुणांक})^2 = (\frac{1}{2} \times -\frac{6}{5})^2 = (-\frac{3}{5})^2 = \frac{9}{25}$ को दोनों पक्षों में जोड़ने पर:
$x^{2} - \frac{6}{5} x + \frac{9}{25} = -\frac{3}{25} + \frac{9}{25}$.
इससे $(x - \frac{3}{5})^2 = \frac{6}{25}$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर: $x - \frac{3}{5} = \pm \frac{\sqrt{6}}{5}$.
अतः,$x = \frac{3}{5} \pm \frac{\sqrt{6}}{5}$,जिसका अर्थ है $x = \frac{3 \pm \sqrt{6}}{5}$.
इस प्रकार,समीकरण के मूल $\frac{3-\sqrt{6}}{5}$ और $\frac{3+\sqrt{6}}{5}$ हैं।

(D) पूर्ण वर्ग बनाने की विधि द्वारा द्विघात समीकरण $16 x^{2}-24 x-1=0$ को हल करने के लिए,सबसे पहले समीकरण को $16 x^{2}-24 x = 1$ के रूप में लिखते हैं।
पूरे समीकरण को $x^{2}$ के गुणांक $16$ से विभाजित करने पर:
$x^{2} - \frac{24}{16} x = \frac{1}{16}$
$x^{2} - \frac{3}{2} x = \frac{1}{16}$
अब,$x$ के गुणांक के आधे का वर्ग दोनों पक्षों में जोड़ते हैं। $x$ का गुणांक $-\frac{3}{2}$ है,इसलिए इसका आधा $-\frac{3}{4}$ है और इसका वर्ग $\frac{9}{16}$ है:
$x^{2} - \frac{3}{2} x + \frac{9}{16} = \frac{1}{16} + \frac{9}{16}$
इसे सरल करने पर:
$(x - \frac{3}{4})^{2} = \frac{10}{16}$
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर:
$x - \frac{3}{4} = \pm \sqrt{\frac{10}{16}}$
$x - \frac{3}{4} = \pm \frac{\sqrt{10}}{4}$
$x$ के लिए हल करने पर:
$x = \frac{3}{4} \pm \frac{\sqrt{10}}{4}$
$x = \frac{3 \pm \sqrt{10}}{4}$
अतः,दिए गए द्विघात समीकरण के मूल $\frac{3+\sqrt{10}}{4}$ और $\frac{3-\sqrt{10}}{4}$ हैं।

(A) दिया गया समीकरण: $3 y^{2}+7 y-20=0$
$y^{2}$ का गुणांक $1$ बनाने के लिए पूरे समीकरण को $3$ से विभाजित करने पर:
$y^{2}+\frac{7}{3} y-\frac{20}{3}=0$
पूर्ण वर्ग बनाने के लिए,$y$ के गुणांक के आधे का वर्ग जोड़ने और घटाने पर,जो कि $(\frac{1}{2} \times \frac{7}{3})^{2} = (\frac{7}{6})^{2} = \frac{49}{36}$ है:
$y^{2}+\frac{7}{3} y + \frac{49}{36} - \frac{49}{36} - \frac{20}{3} = 0$
$(y+\frac{7}{6})^{2} - (\frac{49}{36} + \frac{240}{36}) = 0$
$(y+\frac{7}{6})^{2} - \frac{289}{36} = 0$
$(y+\frac{7}{6})^{2} = (\frac{17}{6})^{2}$
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर:
$y+\frac{7}{6} = \pm \frac{17}{6}$
स्थिति $1$: $y = \frac{17}{6} - \frac{7}{6} = \frac{10}{6} = \frac{5}{3}$
स्थिति $2$: $y = -\frac{17}{6} - \frac{7}{6} = -\frac{24}{6} = -4$
अतः,समीकरण के मूल $-4$ और $\frac{5}{3}$ हैं।

(B) दिया गया समीकरण: $5x^{2}-4x-10=0$
$x^{2}$ का गुणांक $1$ बनाने के लिए पूरे समीकरण को $5$ से विभाजित करने पर:
$x^{2}-\frac{4}{5}x-2=0$
पूर्ण वर्ग बनाने के लिए,$x$ के गुणांक के आधे का वर्ग जोड़ने और घटाने पर,जो $(\frac{1}{2} \times \frac{4}{5})^{2} = (\frac{2}{5})^{2} = \frac{4}{25}$ है:
$x^{2}-\frac{4}{5}x + \frac{4}{25} - \frac{4}{25} - 2 = 0$
$(x-\frac{2}{5})^{2} - (\frac{4}{25} + 2) = 0$
$(x-\frac{2}{5})^{2} - (\frac{4+50}{25}) = 0$
$(x-\frac{2}{5})^{2} - \frac{54}{25} = 0$
$(x-\frac{2}{5})^{2} = \frac{54}{25}$
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर:
$x-\frac{2}{5} = \pm \sqrt{\frac{54}{25}} = \pm \frac{3\sqrt{6}}{5}$
$x = \frac{2}{5} \pm \frac{3\sqrt{6}}{5}$
$x = \frac{2 \pm 3\sqrt{6}}{5}$
अतः,द्विघात समीकरण के मूल $\frac{2-3\sqrt{6}}{5}$ और $\frac{2+3\sqrt{6}}{5}$ हैं।

(C) दिया गया द्विघात समीकरण $m^{2}-18m+81=0$ है।
इसे मानक रूप $a^{2}-2ab+b^{2}=(a-b)^{2}$ से तुलना करने पर,हम लिख सकते हैं:
$m^{2}-2(m)(9)+(9)^{2}=0$
इसे सरल करने पर:
$(m-9)^{2}=0$
अतः:
$(m-9)(m-9)=0$
प्रत्येक गुणनखंड को शून्य के बराबर रखने पर:
$m-9=0$ या $m-9=0$
$m$ के लिए हल करने पर:
$m=9$ या $m=9$
अतः,दिए गए द्विघात समीकरण के मूल $9$ और $9$ हैं।

(D) $x^{2}-8x+12=0$ को पूर्ण वर्ग बनाने की विधि से हल करने के लिए:
$1$. अचर पद को दाईं ओर ले जाएं: $x^{2}-8x = -12$
$2$. $x$ के गुणांक के आधे का वर्ग दोनों पक्षों में जोड़ें। $x$ का गुणांक $-8$ है, इसका आधा $-4$ है और इसका वर्ग $(-4)^{2} = 16$ है।
$3$. $x^{2}-8x+16 = -12+16$
$4$. बाईं ओर को पूर्ण वर्ग के रूप में लिखें: $(x-4)^{2} = 4$
$5$. दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर: $x-4 = \pm 2$
$6$. $x$ के लिए हल करने पर: $x = 4+2 = 6$ या $x = 4-2 = 2$.
अतः, मूल $2$ और $6$ हैं।

(A) दिया गया द्विघात समीकरण: $x^{2}+2x-2=0$
चरण $1$: अचर पद को दाईं ओर ले जाने पर: $x^{2}+2x=2$
चरण $2$: $x$ के गुणांक के आधे का वर्ग दोनों पक्षों में जोड़ने पर। $x$ का गुणांक $2$ है,इसलिए इसका आधा $1$ है और इसका वर्ग $1^{2}=1$ है। दोनों पक्षों में $1$ जोड़ने पर:
$x^{2}+2x+1=2+1$
चरण $3$: बाईं ओर को पूर्ण वर्ग के रूप में लिखने पर: $(x+1)^{2}=3$
चरण $4$: दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर: $x+1 = \pm\sqrt{3}$
चरण $5$: $x$ के लिए हल करने पर: $x = -1 \pm \sqrt{3}$
अतः,मूल $-1+\sqrt{3}$ और $-1-\sqrt{3}$ हैं।

(B) दिया गया समीकरण: $x^{2}-4x-8=0$
चरण $1$: अचर पद को दाईं ओर ले जाने पर: $x^{2}-4x=8$
चरण $2$: $x$ के गुणांक के आधे का वर्ग दोनों पक्षों में जोड़ने पर। $x$ का गुणांक $-4$ है,इसलिए इसका आधा $-2$ है और इसका वर्ग $(-2)^{2}=4$ है।
$x^{2}-4x+4=8+4$
चरण $3$: बाईं ओर को पूर्ण वर्ग के रूप में लिखने पर: $(x-2)^{2}=12$
चरण $4$: दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर: $x-2 = \pm\sqrt{12}$
$x-2 = \pm 2\sqrt{3}$
चरण $5$: $x$ के लिए हल करने पर: $x = 2 \pm 2\sqrt{3}$
अतः,मूल $2+2\sqrt{3}$ और $2-2\sqrt{3}$ हैं।

(A) दिया गया समीकरण: $4x^{2} + 20x + 23 = 0$.
पूरे समीकरण को $4$ से विभाजित करने पर: $x^{2} + 5x + \frac{23}{4} = 0$.
इसे इस प्रकार लिखने पर: $x^{2} + 5x = -\frac{23}{4}$.
$x$ के गुणांक के आधे का वर्ग (जो $(\frac{5}{2})^{2} = \frac{25}{4}$ है) दोनों पक्षों में जोड़ने पर: $x^{2} + 5x + \frac{25}{4} = -\frac{23}{4} + \frac{25}{4}$.
इसे सरल करने पर: $(x + \frac{5}{2})^{2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$.
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर: $x + \frac{5}{2} = \pm \sqrt{\frac{1}{2}} = \pm \frac{1}{\sqrt{2}} = \pm \frac{\sqrt{2}}{2}$.
अतः,$x = -\frac{5}{2} \pm \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{-5 \pm \sqrt{2}}{2}$.
इसलिए,मूल $\frac{-5+\sqrt{2}}{2}$ और $\frac{-5-\sqrt{2}}{2}$ हैं।

(A) दिया गया समीकरण: $4x^{2} + 4bx - (a^{2} - b^{2}) = 0$.
$4$ से भाग देने पर: $x^{2} + bx - \frac{a^{2}-b^{2}}{4} = 0$.
पूर्ण वर्ग बनाने के लिए $(\frac{b}{2})^{2}$ जोड़ने और घटाने पर: $x^{2} + bx + (\frac{b}{2})^{2} - (\frac{b}{2})^{2} - \frac{a^{2}-b^{2}}{4} = 0$.
$(x + \frac{b}{2})^{2} = \frac{b^{2}}{4} + \frac{a^{2}-b^{2}}{4} = \frac{a^{2}}{4}$.
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर: $x + \frac{b}{2} = \pm \frac{a}{2}$.
स्थिति $1$: $x = \frac{a-b}{2}$.
स्थिति $2$: $x = \frac{-a-b}{2} = -(\frac{a+b}{2})$.
अतः,मूल $-\left(\frac{a+b}{2}\right), \left(\frac{a-b}{2}\right)$ हैं।

(A) दिया गया समीकरण: $x^{2}-(\sqrt{3}+1) x+\sqrt{3}=0$.
पूर्ण वर्ग बनाने के लिए,हम $x$ के गुणांक के आधे का वर्ग,यानी $(\frac{\sqrt{3}+1}{2})^{2}$ जोड़ेंगे और घटाएंगे।
$x^{2}-(\sqrt{3}+1) x + (\frac{\sqrt{3}+1}{2})^{2} - (\frac{\sqrt{3}+1}{2})^{2} + \sqrt{3} = 0$.
$(x - \frac{\sqrt{3}+1}{2})^{2} = (\frac{\sqrt{3}+1}{2})^{2} - \sqrt{3}$.
$(x - \frac{\sqrt{3}+1}{2})^{2} = \frac{3+1+2\sqrt{3}}{4} - \sqrt{3} = \frac{4+2\sqrt{3}-4\sqrt{3}}{4} = \frac{4-2\sqrt{3}}{4} = \frac{(\sqrt{3}-1)^{2}}{4}$.
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर: $x - \frac{\sqrt{3}+1}{2} = \pm \frac{\sqrt{3}-1}{2}$.
स्थिति $1$: $x = \frac{\sqrt{3}+1 + \sqrt{3}-1}{2} = \frac{2\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}$.
स्थिति $2$: $x = \frac{\sqrt{3}+1 - (\sqrt{3}-1)}{2} = \frac{\sqrt{3}+1-\sqrt{3}+1}{2} = \frac{2}{2} = 1$.
अतः,मूल $\sqrt{3}$ और $1$ हैं।

(B) दिया गया समीकरण: $x^{2}-4 \sqrt{2} x+6=0$।
पूर्ण वर्ग बनाने के लिए,समीकरण को $x^{2}-2(x)(2 \sqrt{2}) = -6$ के रूप में लिखते हैं।
दोनों पक्षों में $(2 \sqrt{2})^{2} = 8$ जोड़ने पर: $x^{2}-2(x)(2 \sqrt{2}) + (2 \sqrt{2})^{2} = -6 + 8$।
यह सरल होकर $(x-2 \sqrt{2})^{2} = 2$ हो जाता है।
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर: $x-2 \sqrt{2} = \pm \sqrt{2}$।
स्थिति $1$: $x = 2 \sqrt{2} + \sqrt{2} = 3 \sqrt{2}$।
स्थिति $2$: $x = 2 \sqrt{2} - \sqrt{2} = \sqrt{2}$।
अतः,मूल $\sqrt{2}$ और $3 \sqrt{2}$ हैं।

(C) दिया गया समीकरण: $3x^2 + 11x + 10 = 0$.
$x^2$ के गुणांक को $1$ बनाने के लिए पूरे समीकरण को $3$ से विभाजित करने पर: $x^2 + \frac{11}{3}x + \frac{10}{3} = 0$.
अचर पद को दाईं ओर ले जाने पर: $x^2 + \frac{11}{3}x = -\frac{10}{3}$.
$x$ के गुणांक के आधे का वर्ग दोनों पक्षों में जोड़ने पर। $x$ का गुणांक $\frac{11}{3}$ है,इसलिए इसका आधा $\frac{11}{6}$ है। इसका वर्ग $(\frac{11}{6})^2 = \frac{121}{36}$ है।
$x^2 + \frac{11}{3}x + \frac{121}{36} = -\frac{10}{3} + \frac{121}{36}$.
$(x + \frac{11}{6})^2 = -\frac{120}{36} + \frac{121}{36} = \frac{1}{36}$.
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर: $x + \frac{11}{6} = \pm \frac{1}{6}$.
स्थिति $1$: $x + \frac{11}{6} = \frac{1}{6} \implies x = \frac{1}{6} - \frac{11}{6} = -\frac{10}{6} = -\frac{5}{3}$.
स्थिति $2$: $x + \frac{11}{6} = -\frac{1}{6} \implies x = -\frac{1}{6} - \frac{11}{6} = -\frac{12}{6} = -2$.
अतः,मूल $-\frac{5}{3}$ और $-2$ हैं।

(N/A) दिया गया समीकरण: $2x^{2} + x + 4 = 0$.
$x^{2}$ का गुणांक $1$ बनाने के लिए पूरे समीकरण को $2$ से विभाजित करने पर:
$x^{2} + \frac{1}{2}x + 2 = 0$.
समीकरण को $x^{2} + \frac{1}{2}x = -2$ के रूप में लिखें।
पूर्ण वर्ग बनाने के लिए,$x$ के गुणांक के आधे का वर्ग दोनों पक्षों में जोड़ें। $x$ का गुणांक $\frac{1}{2}$ है,इसलिए इसका आधा $\frac{1}{4}$ है। इसका वर्ग $(\frac{1}{4})^{2} = \frac{1}{16}$ है।
$x^{2} + \frac{1}{2}x + \frac{1}{16} = -2 + \frac{1}{16}$.
$(x + \frac{1}{4})^{2} = \frac{-32 + 1}{16} = -\frac{31}{16}$.
चूंकि किसी भी वास्तविक संख्या का वर्ग ऋणात्मक नहीं हो सकता है,इसलिए इस समीकरण के कोई वास्तविक मूल नहीं हैं।

(A) दिया गया समीकरण: $2x^{2} - 7x + 3 = 0$.
$x^{2}$ का गुणांक $1$ बनाने के लिए पूरे समीकरण को $2$ से विभाजित करने पर:
$x^{2} - \frac{7}{2}x + \frac{3}{2} = 0$.
अचर पद को दाईं ओर ले जाने पर:
$x^{2} - \frac{7}{2}x = -\frac{3}{2}$.
$x$ के गुणांक के आधे का वर्ग (जो $\frac{1}{2} \times \frac{7}{2} = \frac{7}{4}$ है) दोनों पक्षों में जोड़ने पर:
$x^{2} - \frac{7}{2}x + (\frac{7}{4})^{2} = -\frac{3}{2} + (\frac{7}{4})^{2}$.
$(x - \frac{7}{4})^{2} = -\frac{3}{2} + \frac{49}{16}$.
$(x - \frac{7}{4})^{2} = \frac{-24 + 49}{16} = \frac{25}{16}$.
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर:
$x - \frac{7}{4} = \pm \frac{5}{4}$.
स्थिति $1$: $x = \frac{7}{4} + \frac{5}{4} = \frac{12}{4} = 3$.
स्थिति $2$: $x = \frac{7}{4} - \frac{5}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$.
अतः,मूल $3$ और $\frac{1}{2}$ हैं।

(B) दिया गया द्विघात समीकरण: $x^{2}+8x+3=0$.
चरण $1$: अचर पद को दाईं ओर ले जाने पर: $x^{2}+8x = -3$.
चरण $2$: $x$ के गुणांक के आधे का वर्ग दोनों पक्षों में जोड़ने पर। $x$ का गुणांक $8$ है,इसलिए इसका आधा $4$ है और इसका वर्ग $4^{2} = 16$ है।
$x^{2}+8x+16 = -3+16$.
चरण $3$: बाईं ओर को पूर्ण वर्ग के रूप में लिखने पर: $(x+4)^{2} = 13$.
चरण $4$: दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर: $x+4 = \pm\sqrt{13}$.
चरण $5$: $x$ के लिए हल करने पर: $x = -4 \pm \sqrt{13}$.
अतः,मूल $-4+\sqrt{13}$ और $-4-\sqrt{13}$ हैं।