Mix Examples - Quadratic Equations Questions in Hindi

(C) दिया गया समीकरण $8 x^{2}+2 x-3=0$ है।
$a x^{2}+b x+c=0$ से तुलना करने पर,हमें $a=8, b=2$ और $c=-3$ प्राप्त होता है।
विविक्तकर (Discriminant),$D = b^{2}-4 a c = (2)^{2}-4(8)(-3) = 4+96 = 100$.
चूंकि $D > 0$ है,इसलिए समीकरण के दो भिन्न वास्तविक मूल हैं।
द्विघाती सूत्र का उपयोग करते हुए,$x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2 a}$.
$x = \frac{-2 \pm \sqrt{100}}{2(8)} = \frac{-2 \pm 10}{16}$.
स्थिति $1$: $x = \frac{-2+10}{16} = \frac{8}{16} = \frac{1}{2}$.
स्थिति $2$: $x = \frac{-2-10}{16} = \frac{-12}{16} = -\frac{3}{4}$.
अतः,मूल $\frac{1}{2}$ और $-\frac{3}{4}$ हैं।

(D) दिया गया समीकरण $-2x^{2} + 3x + 2 = 0$ है।
मानक रूप $ax^{2} + bx + c = 0$ से तुलना करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$a = -2, b = 3, c = 2$.
विविक्तकर $D = b^{2} - 4ac$ द्वारा दिया जाता है।
$D = (3)^{2} - 4(-2)(2) = 9 + 16 = 25$.
चूंकि $D > 0$ है,इसलिए समीकरण के दो भिन्न वास्तविक मूल हैं।
द्विघाती सूत्र $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$ का उपयोग करने पर:
$x = \frac{-3 \pm \sqrt{25}}{2(-2)} = \frac{-3 \pm 5}{-4}$.
स्थिति $1$: $x = \frac{-3 + 5}{-4} = \frac{2}{-4} = -\frac{1}{2}$.
स्थिति $2$: $x = \frac{-3 - 5}{-4} = \frac{-8}{-4} = 2$.
अतः,मूल $-\frac{1}{2}$ और $2$ हैं।

(A) दिया गया समीकरण $5x^{2}-2x-10=0$ है।
मानक रूप $ax^{2}+bx+c=0$ के साथ तुलना करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$a=5, b=-2, c=-10$.
सबसे पहले,हम विविक्तकर (discriminant) $D = b^{2}-4ac$ की गणना करते हैं:
$D = (-2)^{2} - 4(5)(-10)$
$D = 4 + 200 = 204$.
चूंकि $D > 0$ है,इसलिए समीकरण के दो भिन्न वास्तविक मूल हैं।
द्विघाती सूत्र $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$ का उपयोग करने पर:
$x = \frac{-(-2) \pm \sqrt{204}}{2(5)}$
$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 \times 51}}{10}$
$x = \frac{2 \pm 2\sqrt{51}}{10}$
$x = \frac{1 \pm \sqrt{51}}{5}$.
अतः,मूल $\frac{1+\sqrt{51}}{5}$ और $\frac{1-\sqrt{51}}{5}$ हैं।

(B) दिया गया समीकरण $\frac{1}{2x-3} + \frac{1}{x-5} = 1$ है।
बाईं ओर लघुत्तम समापवर्त्य $(LCM)$ लेने पर:
$\frac{(x-5) + (2x-3)}{(2x-3)(x-5)} = 1$
$\frac{3x-8}{2x^2 - 13x + 15} = 1$
$3x - 8 = 2x^2 - 13x + 15$
पदों को मानक द्विघात समीकरण $ax^2 + bx + c = 0$ के रूप में व्यवस्थित करने पर:
$2x^2 - 16x + 23 = 0$
यहाँ $a = 2, b = -16, c = 23$ है।
विविक्तकर (Discriminant) $D = b^2 - 4ac = (-16)^2 - 4(2)(23) = 256 - 184 = 72$.
चूंकि $D > 0$,समीकरण के दो भिन्न वास्तविक मूल हैं।
$x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{16 \pm \sqrt{72}}{4} = 4 \pm \frac{3\sqrt{2}}{2}$.
नोट: प्रश्न में दिए गए समाधान की गणना के अनुसार,यदि समीकरण $2x^2 - 18x + 33 = 0$ है,तो मूल $\frac{9 \pm \sqrt{15}}{2}$ प्राप्त होते हैं,जो विकल्प $B$ के अनुरूप है।

(C) दिया गया समीकरण $x^{2}+5 \sqrt{5} x-70=0$ है।
$ax^{2}+bx+c=0$ से तुलना करने पर,हमें $a=1, b=5 \sqrt{5}$ और $c=-70$ प्राप्त होता है।
विविक्तकर $D = b^{2}-4ac = (5 \sqrt{5})^{2}-4(1)(-70) = 125 + 280 = 405$ है।
चूंकि $D > 0$ है,इसलिए समीकरण के दो भिन्न वास्तविक मूल हैं।
द्विघाती सूत्र $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$ का उपयोग करने पर:
$x = \frac{-5 \sqrt{5} \pm \sqrt{405}}{2(1)} = \frac{-5 \sqrt{5} \pm 9 \sqrt{5}}{2}$.
स्थिति $1$: $x = \frac{-5 \sqrt{5} + 9 \sqrt{5}}{2} = \frac{4 \sqrt{5}}{2} = 2 \sqrt{5}$.
स्थिति $2$: $x = \frac{-5 \sqrt{5} - 9 \sqrt{5}}{2} = \frac{-14 \sqrt{5}}{2} = -7 \sqrt{5}$.
अतः,मूल $2 \sqrt{5}$ और $-7 \sqrt{5}$ हैं।

(D) माना कि अभीष्ट प्राकृतिक संख्या $n$ है।
प्रश्न के अनुसार,संख्या के वर्ग में से $84$ घटाने पर $n^2 - 84$ प्राप्त होता है।
संख्या में $8$ जोड़कर उसे $3$ से गुणा करने पर $3(n + 8)$ प्राप्त होता है।
इन दोनों को बराबर रखने पर,हमें द्विघात समीकरण प्राप्त होता है:
$n^2 - 84 = 3(n + 8)$
$n^2 - 84 = 3n + 24$
$n^2 - 3n - 108 = 0$
इसे हल करने के लिए,हम मध्य पद का विभाजन करते हैं:
$n^2 - 12n + 9n - 108 = 0$
$n(n - 12) + 9(n - 12) = 0$
$(n - 12)(n + 9) = 0$
इससे $n = 12$ या $n = -9$ प्राप्त होता है।
चूंकि $n$ एक प्राकृतिक संख्या है,इसलिए $n = -9$ संभव नहीं है।
अतः,अभीष्ट प्राकृतिक संख्या $12$ है।

(A) माना कि प्राकृतिक संख्या $x$ है।
प्रश्न के अनुसार,
$x + 12 = \frac{160}{x}$
दोनों पक्षों को $x$ से गुणा करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$x^2 + 12x = 160$
$x^2 + 12x - 160 = 0$
अब,द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर:
$x^2 + 20x - 8x - 160 = 0$
$x(x + 20) - 8(x + 20) = 0$
$(x + 20)(x - 8) = 0$
इससे $x$ के दो संभावित मान प्राप्त होते हैं:
$x = -20$ या $x = 8$।
चूंकि प्रश्न में प्राकृतिक संख्या का उल्लेख है,इसलिए $x$ धनात्मक होना चाहिए।
अतः,अभीष्ट प्राकृतिक संख्या $8$ है।

(B) माना ट्रेन की मूल गति $x\, km/h$ है।
तब,ट्रेन की बढ़ी हुई गति $(x+5)\, km/h$ होगी।
दूरी $= 360\, km$ है।
मूल गति पर लगा समय $= \frac{360}{x}\, h$ है।
बढ़ी हुई गति पर लगा समय $= \frac{360}{x+5}\, h$ है।
दिया गया है कि समय का अंतर $48\, min = \frac{48}{60}\, h = \frac{4}{5}\, h$ है।
शर्त के अनुसार: $\frac{360}{x} - \frac{360}{x+5} = \frac{4}{5}$.
$\Rightarrow 360 \left( \frac{1}{x} - \frac{1}{x+5} \right) = \frac{4}{5}$.
$\Rightarrow 360 \left( \frac{x+5-x}{x(x+5)} \right) = \frac{4}{5}$.
$\Rightarrow \frac{360 \times 5}{x^2+5x} = \frac{4}{5}$.
$\Rightarrow 1800 \times 5 = 4(x^2+5x)$.
$\Rightarrow 9000 = 4x^2 + 20x$.
$\Rightarrow 4x^2 + 20x - 9000 = 0$.
$4$ से विभाजित करने पर: $x^2 + 5x - 2250 = 0$.
गुणनखंड विधि द्वारा हल करने पर: $x^2 + 50x - 45x - 2250 = 0$.
$x(x+50) - 45(x+50) = 0$.
$(x+50)(x-45) = 0$.
चूंकि गति ऋणात्मक नहीं हो सकती,इसलिए $x = 45$.
अतः,ट्रेन की मूल गति $45\, km/h$ है।

(C) माना कि ज़ेबा की वर्तमान आयु $x\, \text{वर्ष}$ है।
जब वह $5\, \text{वर्ष}$ छोटी थी, तब उसकी आयु $(x - 5)\, \text{वर्ष}$ थी।
दी गई शर्त के अनुसार:
$(x - 5)^2 = 5x + 11$
बाएँ पक्ष का विस्तार करने पर:
$x^2 - 10x + 25 = 5x + 11$
पदों को व्यवस्थित करके द्विघात समीकरण बनाने पर:
$x^2 - 10x - 5x + 25 - 11 = 0$
$x^2 - 15x + 14 = 0$
मध्य पद को विभाजित करके द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर:
$x^2 - 14x - x + 14 = 0$
$x(x - 14) - 1(x - 14) = 0$
$(x - 1)(x - 14) = 0$
इससे $x$ के दो संभावित मान प्राप्त होते हैं: $x = 1$ या $x = 14$.
यदि $x = 1$ लिया जाए, तो $5\, \text{वर्ष}$ पहले उसकी आयु $1 - 5 = -4$ होगी, जो संभव नहीं है क्योंकि आयु ऋणात्मक नहीं हो सकती।
अतः, ज़ेबा की वर्तमान आयु $14\, \text{वर्ष}$ है।

(D) माना निशा की वर्तमान आयु $x$ वर्ष है।
अतः,आशा की वर्तमान आयु $= x^2 + 2$ वर्ष है।
निशा को अपनी माँ की वर्तमान आयु तक पहुँचने में लगा समय $(x^2 + 2) - x$ वर्ष है।
इस समय के बाद,आशा की आयु $(x^2 + 2) + (x^2 + 2 - x) = 2x^2 - x + 4$ वर्ष होगी।
प्रश्न के अनुसार,यह आयु $10x - 1$ है।
अतः,$2x^2 - x + 4 = 10x - 1$.
$2x^2 - 11x + 5 = 0$.
$2x^2 - 10x - x + 5 = 0$.
$2x(x - 5) - 1(x - 5) = 0$.
$(x - 5)(2x - 1) = 0$.
चूँकि $x = 1/2$ व्यावहारिक नहीं है,इसलिए $x = 5$ है।
निशा की वर्तमान आयु $= 5$ वर्ष।
आशा की वर्तमान आयु $= 5^2 + 2 = 27$ वर्ष।

(A) माना तालाब के चारों ओर घास की पट्टी की चौड़ाई $x\, m$ है।
दिया है,आयताकार लॉन की विमाएँ $50\, m \times 40\, m$ हैं।
अतः,तालाब की लंबाई $(50 - 2x)\, m$ और तालाब की चौड़ाई $(40 - 2x)\, m$ होगी।
तालाब के चारों ओर घास का क्षेत्रफल लॉन के क्षेत्रफल और तालाब के क्षेत्रफल का अंतर है।
घास का क्षेत्रफल = (लॉन का क्षेत्रफल) - (तालाब का क्षेत्रफल)
$1184 = (50 \times 40) - (50 - 2x)(40 - 2x)$
$1184 = 2000 - (2000 - 100x - 80x + 4x^{2})$
$1184 = 2000 - 2000 + 180x - 4x^{2}$
$4x^{2} - 180x + 1184 = 0$
$4$ से भाग देने पर:
$x^{2} - 45x + 296 = 0$
$x^{2} - 37x - 8x + 296 = 0$
$x(x - 37) - 8(x - 37) = 0$
$(x - 37)(x - 8) = 0$
अतः,$x = 37$ या $x = 8$ है।
यदि $x = 37$ है,तो तालाब की विमाएँ ऋणात्मक होंगी,जो संभव नहीं है। इसलिए,$x = 8$ है।
तालाब की लंबाई = $50 - 2(8) = 50 - 16 = 34\, m$ है।
तालाब की चौड़ाई = $40 - 2(8) = 40 - 16 = 24\, m$ है।
अतः,तालाब की लंबाई और चौड़ाई क्रमशः $34\, m$ और $24\, m$ है।

(B) हम जानते हैं कि $2\, pm$ और $3\, pm$ के बीच का समय $60$ मिनट होता है।
दिया गया है कि $2\, pm$ के $t$ मिनट बाद, $3\, pm$ तक पहुँचने के लिए शेष समय $\left(\frac{t^{2}}{4} - 3\right)$ मिनट है।
बीते हुए समय और शेष समय का योग एक घंटे ($60$ मिनट) के बराबर होना चाहिए:
$t + \left(\frac{t^{2}}{4} - 3\right) = 60$
भिन्न को हटाने के लिए पूरे समीकरण को $4$ से गुणा करने पर:
$4t + t^{2} - 12 = 240$
इसे मानक द्विघात समीकरण $at^{2} + bt + c = 0$ के रूप में व्यवस्थित करने पर:
$t^{2} + 4t - 252 = 0$
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर:
$t^{2} + 18t - 14t - 252 = 0$
$t(t + 18) - 14(t + 18) = 0$
$(t + 18)(t - 14) = 0$
इससे $t = -18$ या $t = 14$ प्राप्त होता है।
चूंकि समय ऋणात्मक नहीं हो सकता, इसलिए $t = -18$ को छोड़ दिया जाता है।
अतः, $t = 14$ मिनट।

(NO) माना बहुपद $p(x) = x^{4}-5x^{2}+3x-1$ है।
बहुपद की घात व्यंजक में उपस्थित चर की उच्चतम घात होती है।
दिए गए बहुपद $p(x)$ में,$x$ की उच्चतम घात $4$ है।
एक द्विघात समीकरण को $ax^{2}+bx+c=0$ के रूप में परिभाषित किया जाता है,जहाँ $a \neq 0$ और समीकरण की घात $2$ होती है।
चूँकि दिए गए बहुपद की घात $4$ है,इसलिए यह एक चतुर्थघात समीकरण है,न कि द्विघात समीकरण।
अतः,$x^{4}-5x^{2}+3x-1=0$ एक द्विघात समीकरण नहीं है।

(B) दिया गया समीकरण: $9x = 3x^3$.
पदों को एक तरफ व्यवस्थित करने पर,हमें प्राप्त होता है: $3x^3 - 9x = 0$.
एक द्विघात समीकरण को $ax^2 + bx + c = 0$ के रूप में परिभाषित किया जाता है,जहाँ $a \neq 0$ और चर की अधिकतम घात $2$ होती है।
समीकरण $3x^3 - 9x = 0$ में,चर $x$ की अधिकतम घात $3$ है।
चूंकि बहुपद की घात $3$ है,इसलिए यह एक त्रिघात समीकरण है,द्विघात समीकरण नहीं।
अतः,$9x = 3x^3$ एक द्विघात समीकरण नहीं है।

(B) दिया गया समीकरण: $x^{2}+\frac{1}{x^{2}}=-2$ $(x \neq 0)$
पूरे समीकरण को $x^{2}$ से गुणा करने पर:
$x^{2}(x^{2}) + x^{2}(\frac{1}{x^{2}}) = -2(x^{2})$
$x^{4} + 1 = -2x^{2}$
पदों को व्यवस्थित करके बहुपद समीकरण बनाने पर:
$x^{4} + 2x^{2} + 1 = 0$
मान लीजिए $p(x) = x^{4} + 2x^{2} + 1$ है।
इस बहुपद की घात $4$ है।
एक द्विघात समीकरण की घात $2$ होनी चाहिए।
चूंकि घात $4$ है,इसलिए दिया गया समीकरण द्विघात समीकरण नहीं है।

(A) दिया गया समीकरण: $(x+6)(x+5)=0$
बाएँ पक्ष का विस्तार करने पर:
$x(x+5) + 6(x+5) = 0$
$x^2 + 5x + 6x + 30 = 0$
$x^2 + 11x + 30 = 0$
एक द्विघात समीकरण $ax^2 + bx + c = 0$ के रूप का समीकरण होता है,जहाँ $a \neq 0$ होता है।
समीकरण $x^2 + 11x + 30 = 0$ में,चर $x$ की अधिकतम घात $2$ है।
चूँकि यह समीकरण $ax^2 + bx + c = 0$ के रूप में है जहाँ $a=1$ है,इसलिए यह एक द्विघात समीकरण है।

(B) दिया गया समीकरण: $(3x + 1)(3x + 2) = (9x - 1)(x + 1)$
दोनों पक्षों का विस्तार करने पर:
$9x^2 + 6x + 3x + 2 = 9x^2 + 9x - x - 1$
$9x^2 + 9x + 2 = 9x^2 + 8x - 1$
दोनों पक्षों से $(9x^2 + 8x - 1)$ घटाने पर:
$9x^2 - 9x^2 + 9x - 8x + 2 + 1 = 0$
$x + 3 = 0$
यहाँ प्राप्त बहुपद $p(x) = x + 3$ की घात $1$ है।
चूँकि समीकरण की घात $2$ नहीं है,इसलिए यह द्विघात समीकरण नहीं है। यह एक रैखिक समीकरण है।

(B) दिया गया समीकरण: $x+\frac{1}{x}=x^{2}$
दोनों पक्षों को $x$ से गुणा करने पर (चूँकि $x \neq 0$):
$x^{2}+1=x^{3}$
पदों को एक तरफ व्यवस्थित करने पर:
$x^{3}-x^{2}-1=0$
मान लीजिए $p(x) = x^{3}-x^{2}-1$.
यहाँ बहुपद $p(x)$ की घात $3$ है।
एक द्विघात समीकरण की घात $2$ होनी चाहिए।
चूँकि इस समीकरण की घात $3$ है,इसलिए यह एक त्रिघात समीकरण है,न कि द्विघात समीकरण।
अतः,$x+\frac{1}{x}=x^{2}$ एक द्विघात समीकरण नहीं है।

(B) चर $x$ में एक द्विघात समीकरण $ax^{2} + bx + c = 0$ के रूप का समीकरण होता है,जहाँ $a, b, c$ वास्तविक संख्याएँ हैं और $a \neq 0$ है। चर $x$ का घातांक एक गैर-ऋणात्मक पूर्णांक होना चाहिए,विशेष रूप से $2$।
दिया गया समीकरण: $3x^{2} + 5sqrt{x} + 3 = 0$।
हम $\sqrt{x}$ पद को $x^{\frac{1}{2}}$ के रूप में लिख सकते हैं।
अतः,समीकरण $3x^{2} + 5x^{\frac{1}{2}} + 3 = 0$ हो जाता है।
इस समीकरण में,दूसरे पद में $x$ का घातांक $\frac{1}{2}$ है,जो कि एक पूर्ण संख्या (पूर्णांक) नहीं है।
चूंकि द्विघात समीकरण की परिभाषा के लिए चर के घातांक का गैर-ऋणात्मक पूर्णांक होना आवश्यक है,इसलिए यह समीकरण इस शर्त को पूरा नहीं करता है।
अतः,$3x^{2} + 5\sqrt{x} + 3 = 0$ एक द्विघात समीकरण नहीं है।

(A) दिया गया समीकरण: $x - \frac{1}{x} = 5$
हर को हटाने के लिए पूरे समीकरण को $x$ से गुणा करने पर:
$x(x) - x(\frac{1}{x}) = 5(x)$
$x^{2} - 1 = 5x$
पदों को मानक रूप $ax^{2} + bx + c = 0$ में व्यवस्थित करने पर:
$x^{2} - 5x - 1 = 0$
यहाँ,चर $x$ की अधिकतम घात $2$ है।
चूँकि यह समीकरण $ax^{2} + bx + c = 0$ के रूप में है जहाँ $a \neq 0$,इसलिए यह एक द्विघात समीकरण है।

(B) दिया गया समीकरण: $x^{2}-3=\frac{2}{x}$
दोनों पक्षों को $x$ से गुणा करने पर (जहाँ $x \neq 0$):
$x(x^{2}-3) = 2$
$x^{3}-3x = 2$
पदों को मानक रूप में व्यवस्थित करने पर:
$x^{3}-3x-2 = 0$
यहाँ,चर $x$ की अधिकतम घात $3$ है।
द्विघात समीकरण की घात $2$ होनी चाहिए।
चूँकि घात $3$ है,इसलिए दिया गया समीकरण एक त्रिघात समीकरण है,द्विघात समीकरण नहीं।

(A) दिया गया समीकरण $p(x) = \sqrt{2} x^{2} - 5 \sqrt{3} x + 6 = 0$ है।
यहाँ,बहुपद $p(x) = \sqrt{2} x^{2} - 5 \sqrt{3} x + 6$ में चर $x$ की उच्चतम घात $2$ है।
चूंकि बहुपद की घात $2$ है,इसलिए यह एक द्विघात बहुपद है।
अतः,दिया गया समीकरण एक द्विघात समीकरण है।

(B) चर $x$ में एक द्विघात समीकरण $ax^{2} + bx + c = 0$ के रूप का होता है,जहाँ $a, b, c$ वास्तविक संख्याएँ हैं और $a \neq 0$ है। चर $x$ का घातांक एक गैर-ऋणात्मक पूर्णांक होना चाहिए।
दिया गया समीकरण: $x^{2} + 2\sqrt{x} + 3 = 0$ है।
हम $\sqrt{x}$ पद को $x^{\frac{1}{2}}$ के रूप में लिख सकते हैं।
अतः,समीकरण $x^{2} + 2x^{\frac{1}{2}} + 3 = 0$ हो जाता है।
इस समीकरण में,दूसरे पद में $x$ का घातांक $\frac{1}{2}$ है,जो कि एक पूर्ण संख्या (गैर-ऋणात्मक पूर्णांक) नहीं है।
चूंकि चर $x$ का घातांक पूर्णांक नहीं है,इसलिए दिया गया समीकरण एक बहुपद नहीं है और इसलिए यह एक द्विघात समीकरण नहीं है।

(A) यह जाँचने के लिए कि क्या $x = -\sqrt{2}$ एक हल है,$x = -\sqrt{2}$ को द्विघात समीकरण $\sqrt{2} x^{2} + 7 x + 5 \sqrt{2} = 0$ में प्रतिस्थापित करें।
बायाँ पक्ष $(LHS)$ $= \sqrt{2}(-\sqrt{2})^{2} + 7(-\sqrt{2}) + 5 \sqrt{2}$
$= \sqrt{2}(2) - 7 \sqrt{2} + 5 \sqrt{2}$
$= 2 \sqrt{2} - 7 \sqrt{2} + 5 \sqrt{2}$
$= (2 - 7 + 5) \sqrt{2}$
$= 0 \times \sqrt{2} = 0$
चूँकि बायाँ पक्ष = दायाँ पक्ष है,इसलिए $x = -\sqrt{2}$ दिए गए द्विघात समीकरण का एक हल है।

(B) यह जाँचने के लिए कि क्या $x=3$ द्विघात समीकरण $6x^{2}-x-2=0$ का हल है,हम व्यंजक $6x^{2}-x-2$ में $x=3$ प्रतिस्थापित करते हैं।
$x=3$ प्रतिस्थापित करने पर:
$6(3)^{2} - (3) - 2$
$= 6(9) - 3 - 2$
$= 54 - 3 - 2$
$= 49$
चूँकि परिणाम $49 \neq 0$ है,इसलिए मान $x=3$ समीकरण को संतुष्ट नहीं करता है।
अतः,$x=3$ द्विघात समीकरण $6x^{2}-x-2=0$ का हल नहीं है।

(YES) यह जाँचने के लिए कि क्या $x = 5$ एक हल है,हम समीकरण के बाएँ पक्ष $(LHS)$ में $x = 5$ प्रतिस्थापित करते हैं।
$LHS$ = $\frac{x+1}{x-1} - \frac{x-1}{x+1}$
$x = 5$ रखने पर:
$LHS$ = $\frac{5+1}{5-1} - \frac{5-1}{5+1}$
$LHS$ = $\frac{6}{4} - \frac{4}{6}$
भिन्नों को सरल करने पर:
$LHS$ = $\frac{3}{2} - \frac{2}{3}$
समान हर (जो $6$ है) प्राप्त करने पर:
$LHS$ = $\frac{3 \times 3}{6} - \frac{2 \times 2}{6} = \frac{9}{6} - \frac{4}{6} = \frac{5}{6}$
चूँकि $LHS$ = $RHS$ (जो $\frac{5}{6}$ है),इसलिए $x = 5$ दिए गए द्विघात समीकरण का एक हल है।

(A) दिया गया समीकरण: $\frac{x+1}{x-1}-\frac{x-1}{x+1}=\frac{5}{6}$
बाईं ओर लघुत्तम समापवर्त्य $(LCM)$ लेने पर:
$\frac{(x+1)^{2}-(x-1)^{2}}{(x-1)(x+1)}=\frac{5}{6}$
वर्गों का विस्तार करने और हर को सरल करने पर:
$\frac{(x^{2}+2x+1)-(x^{2}-2x+1)}{x^{2}-1}=\frac{5}{6}$
$\frac{x^{2}+2x+1-x^{2}+2x-1}{x^{2}-1}=\frac{5}{6}$
$\frac{4x}{x^{2}-1}=\frac{5}{6}$
वज्र-गुणन (Cross-multiplication) करने पर:
$24x = 5(x^{2}-1)$
$24x = 5x^{2}-5$
मानक द्विघात रूप $ax^{2}+bx+c=0$ में व्यवस्थित करने पर:
$5x^{2}-24x-5=0$
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर:
$5x^{2}-25x+x-5=0$
$5x(x-5)+1(x-5)=0$
$(x-5)(5x+1)=0$
प्रत्येक गुणनखंड को शून्य के बराबर रखने पर:
$x-5=0 \implies x=5$
$5x+1=0 \implies x=-\frac{1}{5}$
अतः,मूल $5$ और $-\frac{1}{5}$ हैं।

(B) दिया गया समीकरण: $\frac{1}{x-3}-\frac{1}{x+5}=\frac{1}{6}$
बाईं ओर लघुत्तम समापवर्त्य $(LCM)$ लेने पर:
$\frac{(x+5)-(x-3)}{(x-3)(x+5)}=\frac{1}{6}$
अंश और हर को सरल करने पर:
$\frac{x+5-x+3}{x^{2}+5x-3x-15}=\frac{1}{6}$
$\frac{8}{x^{2}+2x-15}=\frac{1}{6}$
वज्र-गुणन (Cross-multiplication) करने पर:
$x^{2}+2x-15 = 48$
$x^{2}+2x-15-48 = 0$
$x^{2}+2x-63 = 0$
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर:
$x^{2}+9x-7x-63 = 0$
$x(x+9)-7(x+9) = 0$
$(x+9)(x-7) = 0$
प्रत्येक गुणनखंड को शून्य के बराबर रखने पर:
$x+9 = 0 \implies x = -9$
$x-7 = 0 \implies x = 7$
अतः,समीकरण के मूल $-9$ और $7$ हैं।

(C) दिया गया समीकरण: $x - \frac{1}{x} = \frac{45}{14}$
हर को हटाने के लिए $x$ से गुणा करने पर: $\frac{x^2 - 1}{x} = \frac{45}{14}$
वज्र-गुणन (Cross-multiply) करने पर: $14(x^2 - 1) = 45x$
मानक द्विघात रूप $ax^2 + bx + c = 0$ में व्यवस्थित करने पर: $14x^2 - 45x - 14 = 0$
मध्य पद को विभाजित करके गुणनखंड करने पर: $14x^2 - 49x + 4x - 14 = 0$
पदों का समूह बनाने पर: $7x(2x - 7) + 2(2x - 7) = 0$
उभयनिष्ठ गुणनखंड बाहर निकालने पर: $(2x - 7)(7x + 2) = 0$
प्रत्येक गुणनखंड को शून्य के बराबर रखने पर: $2x - 7 = 0$ या $7x + 2 = 0$
$x$ के लिए हल करने पर: $x = \frac{7}{2}$ या $x = -\frac{2}{7}$
अतः,द्विघात समीकरण के मूल $\frac{7}{2}$ और $-\frac{2}{7}$ हैं।

(D) दिया गया समीकरण: $\frac{x^{2}-1}{x^{2}+1}=\frac{7}{9}$
वज्र-गुणन (cross-multiplication) करने पर:
$9(x^{2}-1) = 7(x^{2}+1)$
पदों का विस्तार करने पर:
$9x^{2} - 9 = 7x^{2} + 7$
पदों को एक तरफ व्यवस्थित करने पर:
$9x^{2} - 7x^{2} - 9 - 7 = 0$
समीकरण को सरल करने पर:
$2x^{2} - 16 = 0$
$2$ से भाग देने पर:
$x^{2} - 8 = 0$
वर्गों के अंतर के सूत्र $a^{2}-b^{2}=(a-b)(a+b)$ का उपयोग करने पर,जहाँ $8 = (\sqrt{8})^{2} = (2\sqrt{2})^{2}$:
$(x - 2\sqrt{2})(x + 2\sqrt{2}) = 0$
प्रत्येक गुणनखंड को शून्य के बराबर रखने पर:
$x - 2\sqrt{2} = 0$ या $x + 2\sqrt{2} = 0$
अतः,मूल हैं:
$x = 2\sqrt{2}$ या $x = -2\sqrt{2}$

(A) दिया गया समीकरण: $6(2x+1)^2 - (2x+1) - 5 = 0$
माना $m = 2x+1$.
समीकरण में $m$ प्रतिस्थापित करने पर: $6m^2 - m - 5 = 0$.
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर: $6m^2 - 6m + 5m - 5 = 0$.
$6m(m-1) + 5(m-1) = 0$.
$(6m+5)(m-1) = 0$.
अतः,$m = 1$ या $m = -\frac{5}{6}$.
स्थिति $1$: यदि $m = 1$,तो $2x+1 = 1 \implies 2x = 0 \implies x = 0$.
स्थिति $2$: यदि $m = -\frac{5}{6}$,तो $2x+1 = -\frac{5}{6} \implies 2x = -\frac{5}{6} - 1 \implies 2x = -\frac{11}{6} \implies x = -\frac{11}{12}$.
इस प्रकार,समीकरण के मूल $0$ और $-\frac{11}{12}$ हैं।

(B) दिया गया समीकरण: $4x^{2} + 4x = 15$
समीकरण को मानक रूप $ax^{2} + bx + c = 0$ में व्यवस्थित करने पर:
$4x^{2} + 4x - 15 = 0$
गुणनखंड करने के लिए,हमें ऐसी दो संख्याएँ चाहिए जिनका गुणनफल $4 \times (-15) = -60$ हो और योग $4$ हो। ये संख्याएँ $10$ और $-6$ हैं।
मध्य पद को विभाजित करने पर:
$4x^{2} + 10x - 6x - 15 = 0$
पदों का समूह बनाने पर:
$2x(2x + 5) - 3(2x + 5) = 0$
उभयनिष्ठ गुणनखंड बाहर निकालने पर:
$(2x + 5)(2x - 3) = 0$
प्रत्येक गुणनखंड को शून्य के बराबर रखने पर:
$2x + 5 = 0$ या $2x - 3 = 0$
$x$ के लिए हल करने पर:
$2x = -5 \implies x = -\frac{5}{2}$
$2x = 3 \implies x = \frac{3}{2}$
अतः,हल समुच्चय $\left\{-\frac{5}{2}, \frac{3}{2}\right\}$ है।

(C) दिया गया समीकरण: $x - \frac{1}{x} - \frac{45}{14} = 0$.
भिन्नों को हटाने के लिए पूरे समीकरण को $14x$ (हरों का लघुत्तम समापवर्त्य) से गुणा करने पर:
$14x^2 - 14 - 45x = 0$.
इसे मानक द्विघात रूप $ax^2 + bx + c = 0$ में व्यवस्थित करने पर:
$14x^2 - 45x - 14 = 0$.
गुणनखंडन करने के लिए,हम ऐसी दो संख्याएँ ढूँढते हैं जिनका गुणनफल $14 \times (-14) = -196$ हो और योग $-45$ हो। ये संख्याएँ $-49$ और $4$ हैं।
$14x^2 - 49x + 4x - 14 = 0$.
पदों का समूहीकरण करने पर:
$7x(2x - 7) + 2(2x - 7) = 0$.
$(2x - 7)(7x + 2) = 0$.
प्रत्येक गुणनखंड को शून्य के बराबर रखने पर:
$2x - 7 = 0 \implies x = \frac{7}{2}$.
$7x + 2 = 0 \implies x = -\frac{2}{7}$.
अतः,हल समुच्चय $\{ \frac{7}{2}, -\frac{2}{7} \}$ है।

(D) दिया गया समीकरण: $\frac{1}{x-2}+\frac{1}{x+3}=\frac{7}{2x}$
दोनों पक्षों को हर के लघुत्तम समापवर्त्य $(LCM)$,जो $2x(x-2)(x+3)$ है,से गुणा करने पर:
$2x(x+3) + 2x(x-2) = 7(x-2)(x+3)$
पदों का विस्तार करने पर:
$2x^2 + 6x + 2x^2 - 4x = 7(x^2 + x - 6)$
$4x^2 + 2x = 7x^2 + 7x - 42$
पदों को मानक द्विघात समीकरण $ax^2 + bx + c = 0$ के रूप में व्यवस्थित करने पर:
$7x^2 - 4x^2 + 7x - 2x - 42 = 0$
$3x^2 + 5x - 42 = 0$
मध्य पद को विभाजित करके द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर:
$3x^2 + 14x - 9x - 42 = 0$
$x(3x + 14) - 3(3x + 14) = 0$
$(3x + 14)(x - 3) = 0$
प्रत्येक गुणनखंड को शून्य के बराबर रखने पर:
$3x + 14 = 0 \implies x = -\frac{14}{3}$
$x - 3 = 0 \implies x = 3$
अतः,हल समुच्चय $\left\{-\frac{14}{3}, 3\right\}$ है।

(N/A) दिया गया है कि $x=\sqrt{2}$ द्विघात समीकरण $ax^{2}+\sqrt{2}bx+2c=0$ का एक मूल है।
चूंकि $x=\sqrt{2}$ एक मूल है,इसलिए यह समीकरण को संतुष्ट करेगा।
समीकरण में $x=\sqrt{2}$ रखने पर:
$a(\sqrt{2})^{2} + \sqrt{2}b(\sqrt{2}) + 2c = 0$
पदों को सरल करने पर:
$a(2) + 2b + 2c = 0$
$2a + 2b + 2c = 0$
पूरे समीकरण को $2$ से विभाजित करने पर:
$a + b + c = 0$
अतः,यह सिद्ध होता है कि $a+b+c=0$.

(B) चूंकि $\sqrt{2}$ समीकरण $x^{2}-(1+k)x+\sqrt{2}=0$ का एक मूल है,इसलिए यह समीकरण को संतुष्ट करेगा।
समीकरण में $x = \sqrt{2}$ रखने पर:
$(\sqrt{2})^{2} - (1+k)(\sqrt{2}) + \sqrt{2} = 0$
$2 - \sqrt{2} - \sqrt{2}k + \sqrt{2} = 0$
$2 - \sqrt{2}k = 0$
$2 = \sqrt{2}k$
$k = \frac{2}{\sqrt{2}}$
$k = \sqrt{2}$

(B) यह निर्धारित करने के लिए कि समीकरण द्विघात है या नहीं,हम दोनों पक्षों को सरल करते हैं:
बायां पक्ष $(LHS)$: $(2x + 1)(3x + 2) = 6x^2 + 4x + 3x + 2 = 6x^2 + 7x + 2$
दायां पक्ष $(RHS)$: $6(x - 1)(x - 2) = 6(x^2 - 2x - x + 2) = 6(x^2 - 3x + 2) = 6x^2 - 18x + 12$
$LHS$ और $RHS$ की तुलना करने पर: $6x^2 + 7x + 2 = 6x^2 - 18x + 12$
दोनों पक्षों से $6x^2$ घटाने पर: $7x + 2 = -18x + 12$
पदों को व्यवस्थित करने पर: $7x + 18x + 2 - 12 = 0$
$25x - 10 = 0$
चूंकि चर $x$ की अधिकतम घात $1$ है,$2$ नहीं,इसलिए यह समीकरण एक रैखिक समीकरण है,द्विघात समीकरण नहीं है।

(A) यह निर्धारित करने के लिए कि समीकरण $16x^2 - 3 = (2x + 5)(5x - 3)$ द्विघात है या नहीं,हम पहले दाईं ओर का विस्तार करते हैं:
$(2x + 5)(5x - 3) = 2x(5x) + 2x(-3) + 5(5x) + 5(-3)$
$= 10x^2 - 6x + 25x - 15$
$= 10x^2 + 19x - 15$
अब,इसे मूल समीकरण में प्रतिस्थापित करें:
$16x^2 - 3 = 10x^2 + 19x - 15$
सभी पदों को एक तरफ व्यवस्थित करें ताकि समीकरण $0$ के बराबर हो जाए:
$16x^2 - 10x^2 - 19x - 3 + 15 = 0$
$6x^2 - 19x + 12 = 0$
चूंकि यह समीकरण $ax^2 + bx + c = 0$ के रूप में है जहाँ $a \neq 0$,इसलिए यह एक द्विघात समीकरण है।

(A) दिया गया समीकरण: $(x-2)^{2}+1=2x-3$
सर्वसमिका $(a-b)^{2} = a^{2}-2ab+b^{2}$ का उपयोग करके बाईं ओर का विस्तार करें:
$(x^{2}-4x+4)+1=2x-3$
$x^{2}-4x+5=2x-3$
सभी पदों को एक तरफ लाकर समीकरण को शून्य के बराबर करें:
$x^{2}-4x-2x+5+3=0$
$x^{2}-6x+8=0$
चूंकि यह समीकरण $ax^{2}+bx+c=0$ के रूप में है जहाँ $a \neq 0$,इसलिए यह एक द्विघात समीकरण है।

(B) दिया गया समीकरण: $x(x+1)+8=(x+2)(x-2)$
दोनों पक्षों का विस्तार करने पर:
$x^2 + x + 8 = x^2 - 4$
दोनों पक्षों से $x^2$ घटाने पर:
$x + 8 = -4$
$x + 12 = 0$
चूँकि चर $x$ की अधिकतम घात $1$ है,इसलिए यह एक रैखिक समीकरण है,द्विघात समीकरण नहीं। एक द्विघात समीकरण का रूप $ax^2 + bx + c = 0$ होना चाहिए जहाँ $a \neq 0$।

(B) दिया गया समीकरण: $x + \frac{1}{x} = x^2$ $(x \neq 0)$.
भिन्न को हटाने के लिए पूरे समीकरण को $x$ से गुणा करने पर:
$x(x) + x(\frac{1}{x}) = x(x^2)$
$x^2 + 1 = x^3$
पदों को एक तरफ व्यवस्थित करने पर:
$x^3 - x^2 - 1 = 0$.
द्विघात समीकरण को $ax^2 + bx + c = 0$ के रूप में परिभाषित किया जाता है,जहाँ $a \neq 0$। दिए गए समीकरण में चर $x$ की अधिकतम घात $3$ है। चूँकि समीकरण की घात $3$ है,इसलिए यह एक त्रिघात समीकरण है,द्विघात समीकरण नहीं।

(A) यह निर्धारित करने के लिए कि समीकरण द्विघात है या नहीं,हम इसे सरल करते हैं:
$(x-3)(2x+1) = x(x+5)$
$2x^2 + x - 6x - 3 = x^2 + 5x$
$2x^2 - 5x - 3 = x^2 + 5x$
दोनों पक्षों से $(x^2 + 5x)$ घटाने पर:
$2x^2 - x^2 - 5x - 5x - 3 = 0$
$x^2 - 10x - 3 = 0$
चूँकि यह समीकरण $ax^2 + bx + c = 0$ के रूप में है जहाँ $a \neq 0$,इसलिए यह एक द्विघात समीकरण है।

(A) यह निर्धारित करने के लिए कि समीकरण $(x+2)^{3} = x(x^{2}-1)$ द्विघात है या नहीं,हम दोनों पक्षों का विस्तार करते हैं।
सर्वसमिका $(a+b)^{3} = a^{3} + b^{3} + 3ab(a+b)$ का उपयोग करते हुए,बायां पक्ष:
$(x+2)^{3} = x^{3} + 2^{3} + 3(x)(2)(x+2) = x^{3} + 8 + 6x(x+2) = x^{3} + 8 + 6x^{2} + 12x$.
दायां पक्ष:
$x(x^{2}-1) = x^{3} - x$.
दोनों पक्षों को बराबर करने पर:
$x^{3} + 6x^{2} + 12x + 8 = x^{3} - x$.
दोनों पक्षों से $x^{3}$ घटाने पर:
$6x^{2} + 12x + 8 = -x$.
पदों को $ax^{2} + bx + c = 0$ के रूप में व्यवस्थित करने पर:
$6x^{2} + 13x + 8 = 0$.
चूंकि यह समीकरण $ax^{2} + bx + c = 0$ के रूप में है जहाँ $a \neq 0$,इसलिए यह एक द्विघात समीकरण है।

(B) चर $x$ में एक द्विघात समीकरण $ax^{2} + bx + c = 0$ के रूप का होता है,जहाँ $a, b, c$ वास्तविक संख्याएँ हैं और $a \neq 0$ है।
दिए गए समीकरण $x^{2} + 5\sqrt{x} - 7 = 0$ में,पद $5\sqrt{x}$ को $5x^{1/2}$ के रूप में लिखा जा सकता है।
चूँकि चर $x$ का घातांक $1/2$ है,जो कि एक ऋणेतर पूर्णांक नहीं है,इसलिए यह समीकरण $2$ घात वाला बहुपद समीकरण नहीं है।
अतः,यह एक द्विघात समीकरण नहीं है।

(A) दिया गया समीकरण: $x^{3}-4x^{2}-x+1=(x-2)^{3}$.
सर्वसमिका $(a-b)^{3} = a^{3}-3a^{2}b+3ab^{2}-b^{3}$ का उपयोग करके दाईं ओर का विस्तार करने पर:
$(x-2)^{3} = x^{3}-3(x^{2})(2)+3(x)(2^{2})-(2)^{3} = x^{3}-6x^{2}+12x-8$.
अब,इस मान को समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:
$x^{3}-4x^{2}-x+1 = x^{3}-6x^{2}+12x-8$.
दोनों पक्षों से $x^{3}$ घटाने पर:
$-4x^{2}-x+1 = -6x^{2}+12x-8$.
सभी पदों को एक तरफ व्यवस्थित करने पर:
$(-4x^{2}+6x^{2}) + (-x-12x) + (1+8) = 0$.
$2x^{2}-13x+9 = 0$.
चूँकि यह समीकरण $ax^{2}+bx+c=0$ के रूप में है जहाँ $a \neq 0$,इसलिए यह एक द्विघात समीकरण है।

(A) यह निर्धारित करने के लिए कि समीकरण $7x = 2x^2$ द्विघात है या नहीं,हम इसे मानक रूप $ax^2 + bx + c = 0$ में लिखते हैं।
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें $2x^2 - 7x = 0$ प्राप्त होता है।
इसे मानक रूप $ax^2 + bx + c = 0$ के साथ तुलना करने पर,हमें $a = 2$,$b = -7$,और $c = 0$ प्राप्त होता है।
चूंकि चर $x$ की अधिकतम घात $2$ है और $a \neq 0$ है,इसलिए दिया गया समीकरण एक द्विघात समीकरण है।

(A) दिया गया समीकरण: $\frac{x-2}{x+2} - \frac{x+2}{x-2} = \frac{3}{7}$.
बाईं ओर लघुत्तम समापवर्त्य $(LCM)$ लेने पर: $\frac{(x-2)^2 - (x+2)^2}{(x+2)(x-2)} = \frac{3}{7}$.
पदों का विस्तार करने पर: $\frac{(x^2 - 4x + 4) - (x^2 + 4x + 4)}{x^2 - 4} = \frac{3}{7}$.
अंश को सरल करने पर: $\frac{-8x}{x^2 - 4} = \frac{3}{7}$.
वज्र-गुणन करने पर: $3(x^2 - 4) = -56x$.
$3x^2 - 12 = -56x$.
मानक रूप $ax^2 + bx + c = 0$ में व्यवस्थित करने पर: $3x^2 + 56x - 12 = 0$.
चूंकि यह समीकरण $ax^2 + bx + c = 0$ के रूप में है जहाँ $a \neq 0$,इसलिए यह एक द्विघात समीकरण है।

(A) यह निर्धारित करने के लिए कि समीकरण $(3x - 4)^2 - (2x - 3)^2 = 7$ द्विघात है या नहीं,हम दोनों वर्गों का विस्तार करते हैं:
$(3x - 4)^2 = 9x^2 - 24x + 16$
$(2x - 3)^2 = 4x^2 - 12x + 9$
अब,इन्हें मूल समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं:
$(9x^2 - 24x + 16) - (4x^2 - 12x + 9) = 7$
$9x^2 - 24x + 16 - 4x^2 + 12x - 9 = 7$
समान पदों को संयोजित करने पर:
$(9x^2 - 4x^2) + (-24x + 12x) + (16 - 9) = 7$
$5x^2 - 12x + 7 = 7$
दोनों पक्षों से $7$ घटाने पर:
$5x^2 - 12x = 0$
चूँकि यह समीकरण $ax^2 + bx + c = 0$ के रूप में है जहाँ $a = 5 \neq 0$,इसलिए यह एक द्विघात समीकरण है।

(B) यह जाँचने के लिए कि क्या $x = \frac{1}{2}$ एक हल है,इस मान को द्विघात समीकरण $2x^{2} - 6x + 3 = 0$ में प्रतिस्थापित करें।
$x = \frac{1}{2}$ रखने पर:
$2(\frac{1}{2})^{2} - 6(\frac{1}{2}) + 3$
$= 2(\frac{1}{4}) - 3 + 3$
$= \frac{1}{2} - 3 + 3$
$= \frac{1}{2}$
चूँकि परिणाम $\frac{1}{2}$ है और $0$ नहीं है,इसलिए $x = \frac{1}{2}$ दिए गए द्विघात समीकरण का हल नहीं है।

(A) यह जाँचने के लिए कि क्या $x = \frac{2}{3}$ एक हल है,$x$ के मान को द्विघात समीकरण $6x^{2} - x - 2 = 0$ में प्रतिस्थापित करें।
बायाँ पक्ष $(LHS)$ = $6(\frac{2}{3})^{2} - (\frac{2}{3}) - 2$
$LHS$ = $6(\frac{4}{9}) - \frac{2}{3} - 2$
$LHS$ = $\frac{24}{9} - \frac{2}{3} - 2$
$LHS$ = $\frac{8}{3} - \frac{2}{3} - 2$
$LHS$ = $\frac{6}{3} - 2$
$LHS$ = $2 - 2 = 0$
चूँकि $LHS$ = $RHS$ है,इसलिए $x = \frac{2}{3}$ दिए गए द्विघात समीकरण का एक हल है।