Textbook - Probability Questions in Hindi

(N/A) एक सिक्के को एक बार उछालने के प्रयोग में, संभावित परिणामों की कुल संख्या $2$ है $-$ चित $(H)$ और पट $(T).$
मान लीजिए $E$ 'चित प्राप्त करने' की घटना है। $E$ के अनुकूल परिणामों की संख्या $1$ है।
इसलिए, $P(E) = P(\text{चित}) = \frac{\text{E के अनुकूल परिणामों की संख्या}}{\text{सभी संभावित परिणामों की कुल संख्या}} = \frac{1}{2}.$
इसी प्रकार, यदि $F$ 'पट प्राप्त करने' की घटना है, तो $F$ के अनुकूल परिणामों की संख्या $1$ है।
इसलिए, $P(F) = P(\text{पट}) = \frac{1}{2}.$

(N/A) कृतिका थैले में देखे बिना एक गेंद बाहर निकालती है। चूंकि सभी गेंदें समान आकार की हैं,इसलिए यह समान रूप से संभावित है कि वह उनमें से कोई भी एक गेंद निकाल सकती है।
मान लीजिए $Y$ घटना 'निकाली गई गेंद पीली है',$B$ घटना 'निकाली गई गेंद नीली है',और $R$ घटना 'निकाली गई गेंद लाल है' को दर्शाती है।
कुल संभावित परिणामों की संख्या $= 3$.
$(i)$ घटना $Y$ के अनुकूल परिणामों की संख्या $= 1$.
अतः,$P(Y) = \frac{\text{अनुकूल परिणामों की संख्या}}{\text{कुल संभावित परिणामों की संख्या}} = \frac{1}{3}$.
$(ii)$ घटना $R$ के अनुकूल परिणामों की संख्या $= 1$.
अतः,$P(R) = \frac{1}{3}$.
$(iii)$ घटना $B$ के अनुकूल परिणामों की संख्या $= 1$.
अतः,$P(B) = \frac{1}{3}$.

(N/A) $(i)$ यहाँ,मान लीजिए $E$ '$4$ से बड़ी संख्या प्राप्त करने' की घटना है। संभावित परिणामों की कुल संख्या $6$ $(1, 2, 3, 4, 5, 6)$ है। $E$ के अनुकूल परिणाम $5$ और $6$ हैं। इसलिए,$E$ के अनुकूल परिणामों की संख्या $2$ है।
$P(E) = P(\text{4 से बड़ी संख्या}) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$.
$(ii)$ मान लीजिए $F$ '$4$ से छोटी या $4$ के बराबर संख्या प्राप्त करने' की घटना है。
संभावित परिणामों की कुल संख्या $6$ है。
घटना $F$ के अनुकूल परिणाम $1, 2, 3, 4$ हैं。
इसलिए,$F$ के अनुकूल परिणामों की संख्या $4$ है。
$P(F) = P(\text{4 से छोटी या 4 के बराबर संख्या}) = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$.

(A) अच्छी तरह से फेंटना समान रूप से संभावित परिणामों को सुनिश्चित करता है।
$(i)$ एक गड्डी में $4$ इक्के होते हैं। मान लीजिए $E$ घटना 'पत्ता एक इक्का है' है।
$E$ के अनुकूल परिणामों की संख्या $= 4$.
संभावित परिणामों की कुल संख्या $= 52$.
इसलिए,$P(E) = \frac{4}{52} = \frac{1}{13}$.
$(ii)$ मान लीजिए $F$ घटना 'निकाला गया पत्ता इक्का नहीं है' है।
घटना $F$ के अनुकूल परिणामों की संख्या $= 52 - 4 = 48$.
संभावित परिणामों की कुल संख्या $= 52$.
इसलिए,$P(F) = \frac{48}{52} = \frac{12}{13}$.

(C) मान लीजिए कि $S$ और $R$ क्रमशः वे घटनाएँ हैं जिनमें संगीता मैच जीतती है और रेश्मा मैच जीतती है।
संगीता के मैच जीतने की प्रायिकता $P(S) = 0.62$ है (दिया गया है)।
चूंकि घटनाएँ $S$ और $R$ पूरक घटनाएँ हैं,इसलिए रेश्मा के मैच जीतने की प्रायिकता $P(R) = 1 - P(S)$ होगी।
अतः,$P(R) = 1 - 0.62 = 0.38$।

(A) दो मित्रों में से,एक लड़की,मान लीजिए सविता का जन्मदिन वर्ष के किसी भी दिन हो सकता है। अब,हमीदा का जन्मदिन भी वर्ष के $365$ दिनों में से किसी भी दिन हो सकता है।
हम मानते हैं कि ये $365$ परिणाम समप्रायिक हैं।
$(i)$ यदि हमीदा का जन्मदिन सविता के जन्मदिन से अलग है,तो उसके जन्मदिन के लिए अनुकूल परिणामों की संख्या $365 - 1 = 364$ है।
अतः,$P(\text{हमीदा का जन्मदिन सविता के जन्मदिन से अलग हो}) = \frac{364}{365}$।
$(ii)$ $P(\text{सविता और हमीदा का जन्मदिन एक ही हो})$
$= 1 - P(\text{दोनों का जन्मदिन अलग-अलग हो})$
$= 1 - \frac{364}{365} \quad [P(\overline{E}) = 1 - P(E) \text{ का उपयोग करते हुए}]$
$= \frac{1}{365}$।

(A) कुल विद्यार्थियों की संख्या $= 40$.
$(i)$ लड़कियों की संख्या $= 25$.
लड़की के चुने जाने की प्रायिकता $= \frac{\text{लड़कियों की संख्या}}{\text{कुल विद्यार्थियों की संख्या}} = \frac{25}{40} = \frac{5}{8}$.
$(ii)$ लड़कों की संख्या $= 15$.
लड़के के चुने जाने की प्रायिकता $= \frac{\text{लड़कों की संख्या}}{\text{कुल विद्यार्थियों की संख्या}} = \frac{15}{40} = \frac{3}{8}$.

(A) यह कहना कि एक गेंद यादृच्छिक रूप से निकाली जाती है,इसका अर्थ है कि सभी गेंदों के निकलने की संभावना समान है।
कुल संभावित परिणामों की संख्या $= 3 + 2 + 4 = 9$ है।
माना $W$ घटना 'गेंद सफेद है' को दर्शाता है,$B$ घटना 'गेंद नीली है' को दर्शाता है और $R$ घटना 'गेंद लाल है' को दर्शाता है।
$(i)$ घटना $W$ के अनुकूल परिणामों की संख्या $2$ है।
अतः,$P(W) = \frac{2}{9}$।
$(ii)$ घटना $B$ के अनुकूल परिणामों की संख्या $3$ है।
अतः,$P(B) = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}$।
$(iii)$ घटना $R$ के अनुकूल परिणामों की संख्या $4$ है।
अतः,$P(R) = \frac{4}{9}$।
ध्यान दें कि $P(W) + P(B) + P(R) = \frac{2}{9} + \frac{3}{9} + \frac{4}{9} = \frac{9}{9} = 1$।

(C) हम 'चित' (head) के लिए $H$ और 'पट' (tail) के लिए $T$ लिखते हैं। जब दो सिक्कों को एक साथ उछाला जाता है,तो संभावित परिणाम $(H, H), (H, T), (T, H), (T, T)$ हैं,जो सभी समान रूप से संभावित हैं।
यहाँ $(H, H)$ का अर्थ है पहले सिक्के पर (मान लीजिए $Rs. 1$ पर) चित और दूसरे सिक्के पर (मान लीजिए $Rs. 2$ पर) चित। इसी प्रकार,$(H, T)$ का अर्थ है पहले सिक्के पर चित और दूसरे सिक्के पर पट,इत्यादि।
घटना $E$,'कम से कम एक चित' के लिए अनुकूल परिणाम $(H, H), (H, T)$ और $(T, H)$ हैं।
अतः,$E$ के अनुकूल परिणामों की संख्या $3$ है।
कुल संभावित परिणामों की संख्या $4$ है।
इसलिए,$P(E) = \frac{\text{अनुकूल परिणामों की संख्या}}{\text{कुल संभावित परिणामों की संख्या}} = \frac{3}{4}$.
अर्थात,हरप्रीत को कम से कम एक चित प्राप्त होने की प्रायिकता $3/4$ है।

(1/4) यहाँ,संभावित परिणाम $0$ और $2$ के बीच की सभी संख्याएँ हैं। यह संख्या रेखा पर $0$ से $2$ तक का भाग है।
मान लीजिए $E$ वह घटना है कि 'संगीत पहली आधी मिनट के भीतर बंद हो जाता है'।
$E$ के अनुकूल परिणाम संख्या रेखा पर $0$ से $\frac{1}{2}$ तक के बिंदु हैं।
$0$ से $2$ तक की कुल दूरी $2$ है,जबकि $E$ के अनुकूल दूरी $0$ से $\frac{1}{2}$ तक $\frac{1}{2}$ है।
चूंकि सभी परिणाम समान रूप से संभावित हैं,हम कह सकते हैं कि $2$ की कुल दूरी में से,घटना $E$ के अनुकूल दूरी $\frac{1}{2}$ है।
अतः,$P(E) = \frac{\text{घटना } E \text{ के अनुकूल दूरी}}{\text{कुल दूरी जिसमें परिणाम हो सकते हैं}} = \frac{\frac{1}{2}}{2} = \frac{1}{4}$.

(D) हेलीकॉप्टर के इस क्षेत्र में कहीं भी दुर्घटनाग्रस्त होने की संभावना समान है।
आयताकार क्षेत्र का कुल क्षेत्रफल $= (9 \times 4.5) \, km^2 = 40.5 \, km^2$ है।
झील एक आयत है जिसकी लंबाई $= (9 - 6) \, km = 3 \, km$ और चौड़ाई $= (4.5 - 2) \, km = 2.5 \, km$ है।
झील का क्षेत्रफल $= (3 \times 2.5) \, km^2 = 7.5 \, km^2$ है।
हेलीकॉप्टर के झील के अंदर दुर्घटनाग्रस्त होने की प्रायिकता,झील के क्षेत्रफल और कुल क्षेत्रफल के अनुपात द्वारा दी जाती है।
$P(\text{हेलीकॉप्टर झील में दुर्घटनाग्रस्त हुआ}) = \frac{\text{झील का क्षेत्रफल}}{\text{कुल क्षेत्रफल}} = \frac{7.5}{40.5} = \frac{75}{405} = \frac{5}{27}$.

(A) कार्टन में शर्ट की कुल संख्या $= 100$ है।
$(i)$ जिमी केवल अच्छी शर्ट स्वीकार करता है। अच्छी शर्ट की संख्या $= 88$ है।
अतः,शर्ट के जिमी को स्वीकार्य होने की प्रायिकता $= \frac{88}{100} = 0.88$ है।
$(ii)$ सुजाता केवल बड़ी खराबियों वाली शर्ट को अस्वीकार करती है। इसका अर्थ है कि वह अच्छी शर्ट और छोटी खराबियों वाली शर्ट को स्वीकार करती है।
सुजाता को स्वीकार्य शर्ट की संख्या $= 88 + 8 = 96$ है।
अतः,शर्ट के सुजाता को स्वीकार्य होने की प्रायिकता $= \frac{96}{100} = 0.96$ है।

(N/A) जब नीला पासा $1$ दर्शाता है,तो ग्रे पासा $1, 2, 3, 4, 5, 6$ में से कोई भी संख्या दर्शा सकता है। यही बात तब भी सत्य है जब नीला पासा $2, 3, 4, 5$ या $6$ दर्शाता है। प्रयोग के संभावित परिणाम नीचे दी गई तालिका में सूचीबद्ध हैं; प्रत्येक क्रमित युग्म में पहली संख्या नीले पासे पर आने वाली संख्या है और दूसरी संख्या ग्रे पासे पर आने वाली संख्या है।
ध्यान दें कि युग्म $(1, 4)$ युग्म $(4, 1)$ से भिन्न है।
अतः,संभावित परिणामों की कुल संख्या $= 6 \times 6 = 36$.
$(i)$ घटना "दो संख्याओं का योग $8$ है" जिसे $E$ द्वारा दर्शाया गया है,के अनुकूल परिणाम हैं: $(2, 6), (3, 5), (4, 4), (5, 3), (6, 2)$.
अर्थात,$E$ के अनुकूल परिणामों की संख्या $= 5$.
इसलिए,$P(E) = \frac{5}{36}$.
$(ii)$ जैसा कि आप देख सकते हैं,घटना $F$,"दो संख्याओं का योग $13$ है" के लिए कोई अनुकूल परिणाम नहीं है।
इसलिए,$P(F) = \frac{0}{36} = 0$.
$(iii)$ जैसा कि आप देख सकते हैं,सभी परिणाम घटना $G$,"दो संख्याओं का योग $\leq 12$ है" के लिए अनुकूल हैं।
इसलिए,$P(G) = \frac{36}{36} = 1$.

(A) $(i)$ किसी घटना $E$ और उसकी पूरक घटना 'नहीं $E$' की प्रायिकताओं का योग सदैव $1$ होता है। अतः,$P(E) + P(\text{नहीं } E) = 1$.
$(ii)$ उस घटना की प्रायिकता जो घटित नहीं हो सकती,$0$ है। ऐसी घटना को असंभव घटना कहा जाता है।
$(iii)$ उस घटना की प्रायिकता जिसका घटित होना निश्चित है,$1$ है। ऐसी घटना को निश्चित घटना कहा जाता है।

(N/A) $(i)$ किसी प्रयोग की सभी प्रारंभिक घटनाओं की प्रायिकताओं का योग $1$ होता है।
$(ii)$ किसी घटना $E$ की प्रायिकता इस प्रकार होती है कि $0 \le P(E) \le 1$। अतः,किसी घटना की प्रायिकता $0$ से बड़ी या उसके बराबर और $1$ से छोटी या उसके बराबर होती है।

(III, IV) $(i)$ यह एक समप्रायिक घटना नहीं है क्योंकि परिणाम कार की यांत्रिक स्थिति पर निर्भर करता है। कार के चलने की प्रायिकता और न चलने की प्रायिकता का समान होना आवश्यक नहीं है।
$(ii)$ यह एक समप्रायिक घटना नहीं है क्योंकि परिणाम खिलाड़ी के कौशल और अभ्यास पर निर्भर करता है,जो हर प्रयास के लिए समान नहीं होते हैं।
$(iii)$ यह एक समप्रायिक घटना है क्योंकि यहाँ केवल दो ही संभावित परिणाम हैं (सही या गलत),और बिना किसी पूर्व ज्ञान के,प्रत्येक के होने की संभावना समान है।
$(iv)$ यह एक समप्रायिक घटना है क्योंकि बच्चे के लड़का या लड़की होने की जैविक प्रायिकता $50\%$ मानी जाती है,जिसमें किसी अन्य बाहरी कारक का प्रभाव नहीं होता है।

(B) जब हम एक सिक्का उछालते हैं,तो संभावित परिणाम केवल दो होते हैं,चित (Head) या पट (Tail),जो समान रूप से संभावित परिणाम हैं।
चूंकि चित आने की प्रायिकता $1/2$ है और पट आने की प्रायिकता भी $1/2$ है,इसलिए एक व्यक्तिगत उछाल का परिणाम पूरी तरह से अप्रत्याशित और निष्पक्ष होता है।
इसलिए,सिक्का उछालना यह तय करने का एक निष्पक्ष तरीका माना जाता है कि किस टीम को गेंद मिलेगी।

(D) किसी घटना $E$ की प्रायिकता $P(E)$ हमेशा $0 \le P(E) \le 1$ के बीच होती है।
इसका अर्थ है कि किसी घटना की प्रायिकता कभी भी ऋणात्मक नहीं हो सकती और $1$ से अधिक नहीं हो सकती है।
दिए गए विकल्पों की तुलना करने पर:
$(A)$ $2/3 \approx 0.66$,जो $0$ और $1$ के बीच है।
$(B)$ $0.7$,$0$ और $1$ के बीच है।
$(C)$ $15 \% = 0.15$,जो $0$ और $1$ के बीच है।
$(D)$ $-1.5$,$0$ से कम है।
अतः,$-1.5$ किसी घटना की प्रायिकता नहीं हो सकती है।

(A) हम जानते हैं कि किसी घटना की प्रायिकता और उसकी पूरक घटना की प्रायिकता का योग $1$ होता है।
$P(E) + P(\text{not } E) = 1$
दिया गया है कि $P(E) = 0.05$ है।
इसलिए,$P(\text{not } E) = 1 - P(E)$
$P(\text{not } E) = 1 - 0.05$
$P(\text{not } E) = 0.95$
अतः,'$E$ नहीं' की प्रायिकता $0.95$ है।

(A) $(i)$ थैले में केवल नींबू के स्वाद वाली कैंडी हैं। इसमें संतरे के स्वाद वाली कोई कैंडी नहीं है। इसका अर्थ है कि हर बार वह केवल नींबू के स्वाद वाली कैंडी ही निकालेगी। इसलिए,मालिनी द्वारा संतरे के स्वाद वाली कैंडी निकालने की घटना एक असंभव घटना है।
अतः,$P(\text{संतरे के स्वाद वाली कैंडी}) = 0$.
$(ii)$ चूंकि थैले में नींबू के स्वाद वाली कैंडी हैं,मालिनी केवल नींबू के स्वाद वाली कैंडी ही निकालेगी। इसलिए,मालिनी द्वारा नींबू के स्वाद वाली कैंडी निकालने की घटना एक निश्चित घटना है।
अतः,$P(\text{नींबू के स्वाद वाली कैंडी}) = 1$.

(C) मान लीजिए $E$ वह घटना है कि $2$ छात्रों का जन्मदिन एक ही है।
मान लीजिए $\bar{E}$ वह घटना है कि $2$ छात्रों का जन्मदिन एक ही नहीं है।
यह दिया गया है कि $P(\bar{E}) = 0.992$ है।
हम जानते हैं कि पूरक घटनाओं की प्रायिकताओं का योग $1$ होता है,इसलिए $P(E) + P(\bar{E}) = 1$ है।
अतः,$P(E) = 1 - P(\bar{E})$ है।
$P(E) = 1 - 0.992 = 0.008$।

(A) $(i)$ थैले में गेंदों की कुल संख्या $= 3 + 5 = 8$ है।
लाल गेंद निकालने की प्रायिकता का सूत्र है: $P(\text{लाल}) = \frac{\text{अनुकूल परिणामों की संख्या}}{\text{कुल संभावित परिणामों की संख्या}}$.
$P(\text{लाल}) = \frac{3}{8}$.
$(ii)$ लाल गेंद न होने की प्रायिकता, लाल गेंद होने की प्रायिकता की पूरक घटना है।
$P(\text{लाल नहीं}) = 1 - P(\text{लाल})$.
$P(\text{लाल नहीं}) = 1 - \frac{3}{8} = \frac{8 - 3}{8} = \frac{5}{8}$.

(A) कंचों की कुल संख्या $= 5 + 8 + 4 = 17$.
$(i)$ लाल कंचों की संख्या $= 5$.
लाल कंचा प्राप्त करने की प्रायिकता $= \frac{\text{अनुकूल परिणामों की संख्या}}{\text{कुल संभावित परिणामों की संख्या}} = \frac{5}{17}$.
$(ii)$ सफेद कंचों की संख्या $= 8$.
सफेद कंचा प्राप्त करने की प्रायिकता $= \frac{\text{अनुकूल परिणामों की संख्या}}{\text{कुल संभावित परिणामों की संख्या}} = \frac{8}{17}$.
$(iii)$ हरे कंचों की संख्या $= 4$.
हरा कंचा प्राप्त करने की प्रायिकता $= \frac{4}{17}$.
हरा कंचा न प्राप्त करने की प्रायिकता $= 1 - P(\text{हरा}) = 1 - \frac{4}{17} = \frac{13}{17}$.

(A) पिग्गी बैंक में सिक्कों की कुल संख्या $= 100 + 50 + 20 + 10 = 180$.
$(i)$ $50\, p$ के सिक्कों की संख्या $= 100$.
$50\, p$ का सिक्का प्राप्त करने की प्रायिकता $= \frac{\text{अनुकूल परिणामों की संख्या}}{\text{कुल संभावित परिणामों की संख्या}} = \frac{100}{180} = \frac{5}{9}$.
$(ii)$ $Rs.\, 5$ के सिक्कों की संख्या $= 10$.
$Rs.\, 5$ का सिक्का प्राप्त करने की प्रायिकता $= \frac{10}{180} = \frac{1}{18}$.
$Rs.\, 5$ का सिक्का न प्राप्त करने की प्रायिकता $= 1 - P(Rs.\, 5 \text{ का सिक्का प्राप्त करना}) = 1 - \frac{1}{18} = \frac{17}{18}$.

(C) टंकी में मछलियों की कुल संख्या $=$ नर मछलियों की संख्या $+$ मादा मछलियों की संख्या
$= 5 + 8 = 13$
नर मछली प्राप्त करने की प्रायिकता $= \frac{\text{अनुकूल परिणामों की संख्या}}{\text{कुल संभावित परिणामों की संख्या}}$
$= \frac{5}{13}$

(N/A) कुल संभावित परिणामों की संख्या $8$ है (अर्थात,$1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8$)।
$(i)$ $8$ प्राप्त करने के लिए अनुकूल परिणामों की संख्या $1$ है।
प्रायिकता $= \frac{\text{अनुकूल परिणामों की संख्या}}{\text{कुल संभावित परिणामों की संख्या}} = \frac{1}{8}$।
$(ii)$ विषम संख्याएँ $1, 3, 5, 7$ हैं। अनुकूल परिणामों की संख्या $4$ है।
प्रायिकता $= \frac{4}{8} = \frac{1}{2}$।
$(iii)$ $2$ से बड़ी संख्याएँ $3, 4, 5, 6, 7, 8$ हैं। अनुकूल परिणामों की संख्या $6$ है।
प्रायिकता $= \frac{6}{8} = \frac{3}{4}$।
$(iv)$ सभी संख्याएँ $1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8$,$9$ से छोटी हैं। अनुकूल परिणामों की संख्या $8$ है।
प्रायिकता $= \frac{8}{8} = 1$।

(N/A) जब एक निष्पक्ष पासे को फेंका जाता है,तो सभी संभावित परिणामों का समुच्चय $S = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ होता है।
संभावित परिणामों की कुल संख्या $n(S) = 6$ है।
$(i)$ पासे पर अभाज्य संख्याएँ $\{2, 3, 5\}$ हैं।
अनुकूल परिणामों की संख्या $3$ है।
प्रायिकता $P(\text{अभाज्य}) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$ है।
$(ii)$ $2$ और $6$ के बीच स्थित संख्याएँ $\{3, 4, 5\}$ हैं।
अनुकूल परिणामों की संख्या $3$ है।
प्रायिकता $P(2 \text{ और } 6 \text{ के बीच की संख्या}) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$ है।
$(iii)$ पासे पर विषम संख्याएँ $\{1, 3, 5\}$ हैं।
अनुकूल परिणामों की संख्या $3$ है।
प्रायिकता $P(\text{विषम}) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$ है।

(A-D) अच्छी तरह से फेंटी गई ताश की गड्डी में कुल पत्तों की संख्या $= 52$.
$(i)$ लाल रंग के राजाओं की कुल संख्या $= 2$ (पान का राजा और ईंट का राजा)।
$P(\text{लाल रंग का राजा}) = \frac{2}{52} = \frac{1}{26}$.
$(ii)$ फेस कार्ड (राजा,रानी और गुलाम) की कुल संख्या $= 3 \times 4 = 12$.
$P(\text{फेस कार्ड}) = \frac{12}{52} = \frac{3}{13}$.
$(iii)$ लाल रंग के फेस कार्ड (पान और ईंट) की कुल संख्या $= 3 + 3 = 6$.
$P(\text{लाल रंग का फेस कार्ड}) = \frac{6}{52} = \frac{3}{26}$.
$(iv)$ पान के गुलाम की कुल संख्या $= 1$.
$P(\text{पान का गुलाम}) = \frac{1}{52}$.
$(v)$ हुकुम के पत्तों की कुल संख्या $= 13$.
$P(\text{हुकुम का पत्ता}) = \frac{13}{52} = \frac{1}{4}$.
$(vi)$ ईंट की बेगम की कुल संख्या $= 1$.
$P(\text{ईंट की बेगम}) = \frac{1}{52}$.

(A) $(i)$ कार्डों की कुल संख्या $= 5$.
बेगमों की कुल संख्या $= 1$.
$P(\text{बेगम प्राप्त करना}) = \frac{\text{अनुकूल परिणामों की संख्या}}{\text{कुल संभावित परिणामों की संख्या}} = \frac{1}{5}$.
$(ii)$ जब बेगम को निकाल कर अलग रख दिया जाता है,तो शेष कार्डों की कुल संख्या $4$ होगी。
$(a)$ इक्कों की कुल संख्या $= 1$.
$P(\text{इक्का प्राप्त करना}) = \frac{1}{4}$.
$(b)$ चूंकि बेगम पहले ही निकाली जा चुकी है,इसलिए शेष बेगमों की संख्या $0$ है。
$P(\text{बेगम प्राप्त करना}) = \frac{0}{4} = 0$.

(A) पेनों की कुल संख्या $= 12 + 132 = 144$.
अच्छे पेनों की कुल संख्या $= 132$.
किसी घटना की प्रायिकता $P$ का सूत्र इस प्रकार है:
$P(\text{घटना}) = \frac{\text{अनुकूल परिणामों की संख्या}}{\text{कुल संभावित परिणामों की संख्या}}$.
अतः,एक अच्छा पेन प्राप्त करने की प्रायिकता है:
$P(\text{अच्छा पेन}) = \frac{132}{144}$.
अंश और हर दोनों को $12$ से विभाजित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$P(\text{अच्छा पेन}) = \frac{11}{12}$.

(C) $(i)$ बल्बों की कुल संख्या $= 20$.
खराब बल्बों की कुल संख्या $= 4$.
$P(\text{खराब बल्ब}) = \frac{\text{अनुकूल परिणामों की संख्या}}{\text{कुल संभावित परिणामों की संख्या}} = \frac{4}{20} = \frac{1}{5}$.
$(ii)$ एक सही बल्ब निकालने के बाद,शेष बल्बों की कुल संख्या $= 20 - 1 = 19$.
शेष सही बल्बों की संख्या $= (20 - 4) - 1 = 15$.
$P(\text{सही बल्ब}) = \frac{\text{सही बल्बों की संख्या}}{\text{शेष कुल बल्ब}} = \frac{15}{19}$.

(N/A) कुल डिस्क की संख्या $= 90$ है।
$(i)$ $1$ से $90$ तक दो अंकों की संख्याएँ $10, 11, \dots, 90$ हैं। कुल संख्या $90 - 9 = 81$ है।
$P(\text{दो अंकों की संख्या}) = \frac{81}{90} = \frac{9}{10}$।
$(ii)$ $1$ से $90$ के बीच पूर्ण वर्ग संख्याएँ $1^2=1, 2^2=4, 3^2=9, 4^2=16, 5^2=25, 6^2=36, 7^2=49, 8^2=64, 9^2=81$ हैं। कुल संख्या $9$ है।
$P(\text{पूर्ण वर्ग संख्या}) = \frac{9}{90} = \frac{1}{10}$।
$(iii)$ $1$ से $90$ के बीच $5$ से विभाज्य संख्याएँ $5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, 50, 55, 60, 65, 70, 75, 80, 85, 90$ हैं। कुल संख्या $18$ है।
$P(5 \text{ से विभाज्य संख्या}) = \frac{18}{90} = \frac{1}{5}$।

(N/A) पासे पर कुल संभावित परिणामों की संख्या $6$ है (क्योंकि $6$ फलक हैं)।
$(i)$ $A$ अक्षर वाले फलकों की संख्या $2$ है।
अतः,$A$ प्राप्त करने की प्रायिकता $P(A) = \frac{\text{अनुकूल परिणामों की संख्या}}{\text{कुल संभावित परिणामों की संख्या}} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$ है।
(ii) $D$ अक्षर वाले फलकों की संख्या $1$ है।
अतः,$D$ प्राप्त करने की प्रायिकता $P(D) = \frac{\text{अनुकूल परिणामों की संख्या}}{\text{कुल संभावित परिणामों की संख्या}} = \frac{1}{6}$ है।

(N/A) आयताकार क्षेत्र का क्षेत्रफल $= \text{लंबाई} \times \text{चौड़ाई} = 3 \, m \times 2 \, m = 6 \, m^2$ है।
वृत्त का व्यास $1 \, m$ है, इसलिए इसकी त्रिज्या $r = \frac{1}{2} \, m$ है।
वृत्त का क्षेत्रफल $= \pi r^2 = \pi \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{\pi}{4} \, m^2$ है।
पासे के वृत्त के अंदर गिरने की प्रायिकता, वृत्त के क्षेत्रफल और आयत के कुल क्षेत्रफल का अनुपात है:
$P(\text{वृत्त के अंदर गिरने की प्रायिकता}) = \frac{\text{वृत्त का क्षेत्रफल}}{\text{आयत का क्षेत्रफल}} = \frac{\frac{\pi}{4}}{6} = \frac{\pi}{24}$.

(A) पेन की कुल संख्या $= 144$
खराब पेन की कुल संख्या $= 20$
अच्छे पेन की कुल संख्या $= 144 - 20 = 124$
$(i)$ अच्छा पेन मिलने की प्रायिकता (नूरी पेन खरीदेगी) $= \frac{124}{144} = \frac{31}{36}$
$(ii)$ खराब पेन मिलने की प्रायिकता (नूरी पेन नहीं खरीदेगी) $= \frac{20}{144} = \frac{5}{36}$ या $1 - \frac{31}{36} = \frac{5}{36}$

(N/A) $(i)$ जब दो पासे फेंके जाते हैं,तो कुल संभावित परिणामों की संख्या $6 \times 6 = 36$ होती है। योग और उनकी संबंधित प्रायिकताओं की गणना इस प्रकार है:
- योग $= 2$: $(1,1) \rightarrow \frac{1}{36}$
- योग $= 3$: $(1,2), (2,1) \rightarrow \frac{2}{36}$
- योग $= 4$: $(1,3), (3,1), (2,2) \rightarrow \frac{3}{36}$
- योग $= 5$: $(1,4), (4,1), (2,3), (3,2) \rightarrow \frac{4}{36}$
- योग $= 6$: $(1,5), (5,1), (2,4), (4,2), (3,3) \rightarrow \frac{5}{36}$
- योग $= 7$: $(1,6), (6,1), (2,5), (5,2), (3,4), (4,3) \rightarrow \frac{6}{36}$
- योग $= 8$: $(2,6), (6,2), (3,5), (5,3), (4,4) \rightarrow \frac{5}{36}$
- योग $= 9$: $(3,6), (6,3), (4,5), (5,4) \rightarrow \frac{4}{36}$
- योग $= 10$: $(4,6), (6,4), (5,5) \rightarrow \frac{3}{36}$
- योग $= 11$: $(5,6), (6,5) \rightarrow \frac{2}{36}$
- योग $= 12$: $(6,6) \rightarrow \frac{1}{36}$
$(ii)$ नहीं,मैं छात्र के तर्क से सहमत नहीं हूँ। परिणाम $2, 3, \dots, 12$ समान रूप से संभावित नहीं हैं क्योंकि प्रत्येक योग प्राप्त करने के तरीकों की संख्या अलग-अलग है। उदाहरण के लिए,योग $2$ प्राप्त करने का केवल $1$ तरीका है,लेकिन योग $7$ प्राप्त करने के $6$ तरीके हैं।

(C) सिक्के को $3$ बार उछालने पर संभावित परिणाम इस प्रकार हैं:
$(HHH, HHT, HTH, HTT, THH, THT, TTH, TTT)$
कुल संभावित परिणामों की संख्या $= 8$ है।
हनीफ जीतता है यदि सभी उछालों में समान परिणाम मिलते हैं,जो $(HHH)$ या $(TTT)$ हैं।
जीतने के लिए अनुकूल परिणामों की संख्या $= 2$ है।
जीतने की प्रायिकता $P(\text{Win}) = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}$ है।
चूंकि किसी घटना और उसके पूरक की प्रायिकता का योग $1$ होता है,इसलिए हारने की प्रायिकता:
$P(\text{Lose}) = 1 - P(\text{Win}) = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$ है।

(A) कुल संभावित परिणामों की संख्या $= 6 \times 6 = 36$ है।
$(i)$ मान लीजिए $E$ वह घटना है कि $5$ कम से कम एक बार आता है। वे परिणाम जिनमें $5$ आता है,वे हैं: $(5,1), (5,2), (5,3), (5,4), (5,5), (5,6), (1,5), (2,5), (3,5), (4,5), (6,5)$।
घटना $E$ के लिए अनुकूल परिणामों की संख्या $= 11$ है।
$5$ के कम से कम एक बार आने की प्रायिकता $P(E) = \frac{11}{36}$ है।
$5$ के किसी भी बार न आने की प्रायिकता $P(\text{not } E) = 1 - P(E) = 1 - \frac{11}{36} = \frac{25}{36}$ होगी।
$(ii)$ $5$ के कम से कम एक बार आने की प्रायिकता $P(E) = \frac{11}{36}$ है।

(A) $(i)$ $\text{गलत}$
जब दो सिक्कों को उछाला जाता है,तो संभावित परिणाम $(H, H), (H, T), (T, H),$ और $(T, T)$ होते हैं।
यह देखा जा सकता है कि प्रत्येक का एक (एक चित और एक पट) प्राप्त करने के दो तरीके हैं: $(H, T)$ और $(T, H)$।
इसलिए,दो चित प्राप्त करने की प्रायिकता $\frac{1}{4}$ है,दो पट प्राप्त करने की प्रायिकता $\frac{1}{4}$ है,और प्रत्येक का एक प्राप्त करने की प्रायिकता $\frac{2}{4} = \frac{1}{2}$ है।
अतः,इन परिणामों में से प्रत्येक के लिए प्रायिकता $\frac{1}{3}$ नहीं है।
$(ii)$ $\text{सही}$
जब एक पासा फेंका जाता है,तो संभावित परिणाम $1, 2, 3, 4, 5,$ और $6$ होते हैं। इनमें से $1, 3, 5$ $\text{विषम}$ संख्याएँ हैं और $2, 4, 6$ $\text{सम}$ संख्याएँ हैं।
चूंकि कुल $6$ परिणामों में से $3$ विषम संख्याएँ हैं,इसलिए एक विषम संख्या प्राप्त करने की प्रायिकता $\frac{3}{6} = \frac{1}{2}$ है।

(A) कुल $5$ दिन हैं (मंगलवार,बुधवार,गुरुवार,शुक्रवार,शनिवार)। श्याम $5$ तरीकों से दुकान पर जा सकता है और एकता भी $5$ तरीकों से जा सकती है।
अतः,कुल परिणामों की संख्या $= 5 \times 5 = 25$ है।
$(i)$ वे एक ही दिन $5$ तरीकों से पहुँच सकते हैं: $(T, T), (W, W), (Th, Th), (F, F), (S, S)$।
$P(\text{एक ही दिन}) = \frac{5}{25} = \frac{1}{5}$।
$(ii)$ वे लगातार दिनों पर $8$ तरीकों से पहुँच सकते हैं: $(T, W), (W, Th), (Th, F), (F, S), (W, T), (Th, W), (F, Th), (S, F)$।
$P(\text{लगातार दिन}) = \frac{8}{25}$।
$(iii)$ $P(\text{अलग-अलग दिन}) = 1 - P(\text{एक ही दिन}) = 1 - \frac{1}{5} = \frac{4}{5}$।

(N/A) जब दो पासे फेंके जाते हैं तो कुल संभावित परिणामों की संख्या $6 \times 6 = 36$ होती है।
$(i)$ वे परिणाम जहाँ योग सम है:
$2, 2, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 6, 6, 6, 6, 8, 8, 8, 8, 12$ (सभी घटनाओं की गणना करते हुए)।
सम योग वाले परिणामों की कुल संख्या $= 18$ है।
$P(\text{सम योग}) = \frac{18}{36} = \frac{1}{2}$।
$(ii)$ वे परिणाम जहाँ योग $6$ है:
$(3, 3), (3, 3), (3, 3), (3, 3)$ (तालिका के अनुसार)।
योग $6$ वाले परिणामों की कुल संख्या $= 4$ है।
$P(\text{योग } 6) = \frac{4}{36} = \frac{1}{9}$।
$(iii)$ वे परिणाम जहाँ योग कम से कम $6$ (अर्थात $\ge 6$) है:
$6, 6, 6, 6, 7, 7, 8, 8, 8, 8, 9, 9, 9, 9, 12$।
कम से कम $6$ योग वाले परिणामों की कुल संख्या $= 15$ है।
$P(\text{योग कम से कम } 6) = \frac{15}{36} = \frac{5}{12}$।

(C) माना नीली गेंदों की संख्या $x$ है।
लाल गेंदों की संख्या $= 5$.
कुल गेंदों की संख्या $= x + 5$.
लाल गेंद निकालने की प्रायिकता,$P(\text{Red}) = \frac{5}{x + 5}$.
नीली गेंद निकालने की प्रायिकता,$P(\text{Blue}) = \frac{x}{x + 5}$.
प्रश्न के अनुसार,नीली गेंद निकालने की प्रायिकता लाल गेंद निकालने की प्रायिकता की दोगुनी है:
$P(\text{Blue}) = 2 \times P(\text{Red})$
$\frac{x}{x + 5} = 2 \times \left( \frac{5}{x + 5} \right)$
चूंकि $x + 5 \neq 0$,इसलिए दोनों पक्षों को $(x + 5)$ से गुणा करने पर:
$x = 2 \times 5$
$x = 10$.
अतः,थैले में नीली गेंदों की संख्या $10$ है।

(3) कुल गेंदों की संख्या $= 12$.
काली गेंदों की कुल संख्या $= x$.
काली गेंद निकालने की प्रायिकता $P_1 = \frac{x}{12}$ है।
यदि $6$ और काली गेंदें डाली जाती हैं,तो गेंदों की नई कुल संख्या $= 12 + 6 = 18$.
काली गेंदों की नई संख्या $= x + 6$.
काली गेंद निकालने की नई प्रायिकता $P_2 = \frac{x+6}{18}$ है।
प्रश्न में दी गई शर्त के अनुसार,$P_2 = 2 \times P_1$.
अतः,$\frac{x+6}{18} = 2 \times \frac{x}{12}$.
$\frac{x+6}{18} = \frac{x}{6}$.
दोनों पक्षों को $18$ से गुणा करने पर,हमें $x + 6 = 3x$ प्राप्त होता है।
$2x = 6$,जिससे $x = 3$ प्राप्त होता है।

(B) कुल कंचों की संख्या $= 24$ है।
मान लीजिए कि हरे कंचों की संख्या $x$ है।
तब,नीले कंचों की संख्या $= 24 - x$ होगी।
हरा कंचा निकालने की प्रायिकता $P(\text{Green}) = \frac{\text{हरे कंचों की संख्या}}{\text{कुल कंचों की संख्या}} = \frac{x}{24}$ है।
प्रश्न में दी गई शर्त के अनुसार,$P(\text{Green}) = \frac{2}{3}$ है।
अतः,$\frac{x}{24} = \frac{2}{3}$।
दोनों पक्षों को $24$ से गुणा करने पर,$x = \frac{2}{3} \times 24 = 16$ प्राप्त होता है।
इस प्रकार,हरे कंचों की संख्या $16$ है।
इसलिए,नीले कंचों की संख्या $= 24 - 16 = 8$ है।