Mix Examples - Probability Questions in Hindi

(B) जो घटना घटित नहीं हो सकती,उसे असंभव घटना कहा जाता है।
असंभव घटना की प्रायिकता हमेशा $0$ होती है।

(C) किसी भी घटना $E$ की प्रायिकता,जिसे $P(E)$ द्वारा दर्शाया जाता है,हमेशा $0 \le P(E) \le 1$ की शर्त को पूरा करती है।
चूंकि $17/16 = 1.0625$,जो $1$ से अधिक है,इसलिए यह किसी घटना की प्रायिकता नहीं हो सकती है।
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(D) ऐसी घटना जिसके घटित होने की संभावना बहुत कम हो,उसकी प्रायिकता $0$ के सबसे निकट होती है।
दिए गए विकल्पों की तुलना करने पर:
$0.1 > 0.01 > 0.001 > 0.0001$।
दिए गए विकल्पों में से,$0.0001$ सबसे छोटा मान है और यह $0$ के सबसे निकट है।

(A) किसी घटना की प्रायिकता और उसकी पूरक घटना की प्रायिकता का योग सदैव $1$ होता है।
मान लीजिए $E$ एक घटना है और $E'$ उसकी पूरक घटना है।
अतः,$P(E) + P(E') = 1$ होता है।
दिया गया है कि घटना की प्रायिकता $p$ है,अर्थात $P(E) = p$ है।
इस मान को समीकरण में रखने पर,हमें प्राप्त होता है $p + P(E') = 1$।
इसलिए,उसकी पूरक घटना की प्रायिकता $P(E') = 1 - p$ होगी।

(B) किसी भी घटना $E$ की प्रायिकता,जिसे $P(E)$ द्वारा दर्शाया जाता है,हमेशा $0 \le P(E) \le 1$ की सीमा में होती है।
जब इसे प्रतिशत के रूप में व्यक्त किया जाता है,तो प्रायिकता की सीमा $0\% \le P(E) \le 100\%$ हो जाती है।
अतः,किसी विशेष घटना की प्रायिकता,जब प्रतिशत के रूप में व्यक्त की जाती है,तो वह कभी भी $0\%$ से कम नहीं हो सकती है।

(C) किसी घटना $A$ की प्रायिकता,जिसे $P(A)$ द्वारा दर्शाया जाता है,को अनुकूल परिणामों की संख्या और कुल संभावित परिणामों की संख्या के अनुपात के रूप में परिभाषित किया जाता है।
चूंकि अनुकूल परिणामों की संख्या कभी भी ऋणात्मक नहीं हो सकती है और यह कुल संभावित परिणामों की संख्या से अधिक नहीं हो सकती है,इसलिए $P(A)$ का मान $0 \leq P(A) \leq 1$ की शर्त को पूरा करता है।

(D) ताश की एक मानक गड्डी में कुल $52$ पत्ते होते हैं।
फेस कार्ड (face cards) का अर्थ है राजा,रानी और गुलाम।
गड्डी में $4$ प्रकार के सूट होते हैं: पान (Hearts),ईंट (Diamonds),हुकुम (Spades) और चिड़ी (Clubs)।
पान और ईंट लाल रंग के सूट हैं,जबकि हुकुम और चिड़ी काले रंग के सूट हैं।
प्रत्येक सूट में $3$ फेस कार्ड होते हैं।
इसलिए,लाल रंग के फेस कार्ड की कुल संख्या $3$ (पान) $+ 3$ (ईंट) $= 6$ है।
प्रायिकता की गणना के लिए सूत्र: प्रायिकता $= \frac{\text{अनुकूल परिणामों की संख्या}}{\text{कुल परिणामों की संख्या}}$.
प्रायिकता $= \frac{6}{52}$.
भिन्न को सरल करने पर,हमें $\frac{3}{26}$ प्राप्त होता है।

(A) एक सामान्य वर्ष में $365$ दिन होते हैं,जो $52$ सप्ताह और $1$ अतिरिक्त दिन के बराबर है।
यह अतिरिक्त दिन सप्ताह के $7$ दिनों में से कोई भी एक हो सकता है: रविवार,सोमवार,मंगलवार,बुधवार,गुरुवार,शुक्रवार या शनिवार।
वर्ष में $53$ रविवार होने के लिए,यह अतिरिक्त दिन रविवार होना चाहिए।
चूंकि कुल $7$ संभावित परिणामों में से $1$ अनुकूल परिणाम (रविवार) है,इसलिए प्रायिकता $\frac{1}{7}$ है।

(B) जब एक पासा फेंका जाता है,तो कुल संभावित परिणामों की संख्या $6$ होती है,जो $\{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ हैं।
पासे पर विषम संख्याएँ $\{1, 3, 5\}$ हैं।
$3$ से कम विषम संख्या केवल $\{1\}$ है।
इसलिए,अनुकूल परिणामों की संख्या $1$ है।
घटना की प्रायिकता का सूत्र है: $\text{प्रायिकता} = \frac{\text{अनुकूल परिणामों की संख्या}}{\text{कुल परिणामों की संख्या}}$.
अतः,अभीष्ट प्रायिकता $= \frac{1}{6}$ है।

(C) ताश की एक मानक गड्डी में कुल $52$ पत्ते होते हैं।
इसमें पान का इक्का (ace of hearts) केवल $1$ ही होता है।
घटना $E$ को इस प्रकार परिभाषित किया गया है कि निकाला गया पत्ता पान का इक्का नहीं है।
$E$ के अनुकूल परिणामों की संख्या ज्ञात करने के लिए,हम कुल पत्तों की संख्या में से पान के इक्के की संख्या को घटाते हैं।
अनुकूल परिणामों की संख्या = कुल पत्ते - पान के इक्के की संख्या
अनुकूल परिणामों की संख्या = $52 - 1 = 51$.

(D) यहाँ,अंडों की कुल संख्या $= 400$ है।
खराब अंडा प्राप्त करने की प्रायिकता $= 0.035$ है।
हम जानते हैं कि,$\text{प्रायिकता} = \frac{\text{अनुकूल परिणामों की संख्या}}{\text{कुल परिणामों की संख्या}}$.
अतः,$\frac{\text{खराब अंडों की संख्या}}{400} = 0.035$.
खराब अंडों की संख्या $= 0.035 \times 400$.
खराब अंडों की संख्या $= 14$ है।

(A) दिया गया है कि,बेचे गए कुल टिकटों की संख्या $= 6000$ है।
माना कि उसके द्वारा खरीदे गए टिकटों की संख्या $x$ है।
प्रथम पुरस्कार जीतने की प्रायिकता,उसके द्वारा खरीदे गए टिकटों की संख्या और बेचे गए कुल टिकटों की संख्या का अनुपात होती है।
अतः,$\frac{x}{6000} = 0.08$ है।
दोनों पक्षों को $6000$ से गुणा करने पर,हमें प्राप्त होता है $x = 0.08 \times 6000$।
$x = 480$।
अतः,उसने $480$ टिकट खरीदे हैं।

(B) थैले में कुल टिकटों की संख्या $40$ है,इसलिए कुल संभावित परिणामों की संख्या $40$ है।
$1$ से $40$ तक की संख्याओं में $5$ के गुणज निम्नलिखित हैं: $5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40$।
इनकी गणना करने पर,हमें कुल $8$ टिकटें प्राप्त होती हैं।
अतः,अनुकूल परिणामों की संख्या $8$ है।
प्रायिकता का सूत्र है: $P(E) = \frac{\text{अनुकूल परिणामों की संख्या}}{\text{कुल संभावित परिणामों की संख्या}}$।
मान रखने पर,हमें प्राप्त होता है: $P(E) = \frac{8}{40} = \frac{1}{5}$।

(C) $1$ से $100$ तक की संख्या चुनने पर कुल संभावित परिणामों की संख्या $100$ है।
$1$ से $100$ के बीच की अभाज्य संख्याएँ हैं: $2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97$.
इनकी गणना करने पर,कुल $25$ अभाज्य संख्याएँ प्राप्त होती हैं।
प्रायिकता का सूत्र है: $P(E) = \frac{\text{अनुकूल परिणामों की संख्या}}{\text{कुल संभावित परिणामों की संख्या}}$.
अतः,अभीष्ट प्रायिकता $\frac{25}{100} = \frac{1}{4}$ है।

(D) कुल छात्रों की संख्या $= 23$.
हाउस $A, B$ और $C$ में छात्रों की संख्या $= 4 + 8 + 5 = 17$.
हाउस $A, B$ या $C$ में न होने वाले छात्रों की संख्या (अर्थात हाउस $D$ और $E$ से) $= 23 - 17 = 6$.
वैकल्पिक रूप से,हाउस $D$ से छात्र $= 2$,और हाउस $E$ से छात्र $= 23 - (4 + 8 + 5 + 2) = 23 - 19 = 4$. कुल $= 2 + 4 = 6$.
चुने गए छात्र के हाउस $A, B$ या $C$ से न होने की प्रायिकता $= \frac{\text{अनुकूल परिणामों की संख्या}}{\text{कुल परिणामों की संख्या}} = \frac{6}{23}$.

(B) यह कथन असत्य है।
प्रत्येक परिणाम की प्रायिकता $\frac{1}{2}$ तभी होती है जब दोनों परिणाम समसंभावित (equally likely) हों।
उदाहरण के लिए,यदि आप एक पक्षपाती सिक्के को उछालते हैं,तो चित या पट आने की प्रायिकता आवश्यक रूप से $\frac{1}{2}$ नहीं होती है,भले ही वहां केवल दो ही संभावित परिणाम हों।

(B) नहीं,यह कथन गलत है क्योंकि परिणाम समान रूप से संभावित (equally likely) नहीं हैं।
औचित्य:
तीन बच्चों वाले परिवार के लिए,प्रतिदर्श समष्टि $S$ में $2^3 = 8$ समान रूप से संभावित परिणाम हैं: $S = \{BBB, BBG, BGB, GBB, BGG, GBG, GGB, GGG\}$,जहाँ $B$ लड़के को और $G$ लड़की को दर्शाता है।
मान लीजिए $X$ लड़कियों की संख्या है। $X$ के संभावित मान $0, 1, 2, 3$ हैं।
- $P(X=0) = P(\{BBB\}) = \frac{1}{8}$
- $P(X=1) = P(\{BBG, BGB, GBB\}) = \frac{3}{8}$
- $P(X=2) = P(\{BGG, GBG, GGB\}) = \frac{3}{8}$
- $P(X=3) = P(\{GGG\}) = \frac{1}{8}$
चूँकि प्रायिकताएँ क्रमशः $\frac{1}{8}, \frac{3}{8}, \frac{3}{8}, \text{ और } \frac{1}{8}$ हैं,इसलिए वे $\frac{1}{4}$ के बराबर नहीं हैं।

(N/A) नहीं,परिणाम समान रूप से संभावित नहीं हैं।
दी गई आकृति में,वृत्त को तीन क्षेत्रों $1, 2$ और $3$ में विभाजित किया गया है।
क्षेत्र $3$ वृत्त का आधा भाग ($180^{\circ}$ क्षेत्रफल) घेरता है,जबकि क्षेत्र $1$ और $2$ प्रत्येक वृत्त का एक-चौथाई भाग ($90^{\circ}$ क्षेत्रफल) घेरते हैं।
चूंकि क्षेत्रों का क्षेत्रफल समान नहीं है,इसलिए तीर के प्रत्येक क्षेत्र पर रुकने की प्रायिकता समान नहीं है।
अतः,परिणाम $1, 2$ और $3$ समान रूप से संभावित नहीं हैं।

(B) अपूर्व दो पासों को एक बार फेंकता है।
कुल परिणामों की संख्या $= 6 \times 6 = 36$ है।
गुणनफल $36$ प्राप्त करने का एकमात्र तरीका $(6, 6)$ है।
अनुकूल परिणामों की संख्या $= 1$ है।
अपूर्व के लिए प्रायिकता $= \frac{1}{36}$ है।
पीहू एक पासा फेंकती है।
कुल परिणामों की संख्या $= 6$ है।
वर्ग $36$ प्राप्त करने का एकमात्र तरीका $6$ आना है $(6^2 = 36)$।
अनुकूल परिणामों की संख्या $= 1$ है।
पीहू के लिए प्रायिकता $= \frac{1}{6} = \frac{6}{36}$ है।
प्रायिकताओं की तुलना करने पर,$\frac{6}{36} > \frac{1}{36}$ है।
अतः,पीहू के पास $36$ प्राप्त करने की बेहतर संभावना है।

(A) सिक्का उछालने पर कुल संभावित परिणामों की संख्या $2$ है (चित और पट)।
चूंकि सिक्का निष्पक्ष है,इसलिए दोनों परिणाम समान रूप से संभावित हैं।
किसी घटना $E$ की प्रायिकता का सूत्र है: $P(E) = \frac{\text{अनुकूल परिणामों की संख्या}}{\text{कुल संभावित परिणामों की संख्या}}$.
चित के लिए: $P(H) = \frac{1}{2}$।
पट के लिए: $P(T) = \frac{1}{2}$।
अतः,प्रत्येक परिणाम की प्रायिकता $\frac{1}{2}$ है क्योंकि ये समान रूप से संभावित घटनाएं हैं।

(B) नहीं,यह सही नहीं है।
जब एक निष्पक्ष पासा फेंका जाता है,तो कुल संभावित परिणामों की संख्या $6$ होती है,जो ${1, 2, 3, 4, 5, 6}$ हैं।
$1$ प्राप्त करने की प्रायिकता $P(1) = \frac{\text{अनुकूल परिणामों की संख्या}}{\text{कुल परिणामों की संख्या}} = \frac{1}{6}$ है।
'$1$ नहीं' प्राप्त करने की प्रायिकता $P(\text{not } 1) = 1 - P(1) = 1 - \frac{1}{6} = \frac{5}{6}$ है।
चूंकि $\frac{1}{6} \neq \frac{5}{6}$,इसलिए छात्र का यह दावा कि प्रत्येक प्रायिकता $\frac{1}{2}$ है,गलत है।

$(D)$ जब तीन सिक्कों को एक साथ उछाला जाता है,तो कुल संभावित परिणामों की संख्या $2^3 = 8$ होती है。
ये परिणाम हैं: $(HHH), (HHT), (HTH), (THH), (HTT), (THT), (TTH), (TTT)\text{।}$
$\text{इनमें से प्रत्येक } 8 \text{ परिणाम समसंभाव्य हैं।}$
$'\text{शून्य चित}' \text{ प्राप्त करने की घटना केवल एक परिणाम के अनुरूप है}: (TTT)$।
इसलिए,शून्य चित प्राप्त करने की प्रायिकता $\frac{1}{8}$ है।
यह निष्कर्ष कि प्रायिकता $\frac{1}{4}$ है,गलत है क्योंकि यह मानता है कि चार परिणाम (शून्य चित,$1$ चित,$2$ चित,$3$ चित) समसंभाव्य हैं,जो कि सत्य नहीं है।

(N/A) नहीं,हम यह नहीं कह सकते कि चित आने की प्रायिकता $1$ है।
जब एक निष्पक्ष सिक्के को उछाला जाता है,तो दो संभावित परिणाम (चित और पट) समान रूप से संभावित होते हैं।
एक सिक्के को एक बार उछालने पर चित आने की प्रायिकता $P(\text{Head}) = \frac{1}{2}$ होती है।
भले ही सिक्का लगातार $6$ बार चित दिखाए,प्रत्येक उछाल एक स्वतंत्र घटना है।
पिछले परिणामों की परवाह किए बिना,प्रत्येक व्यक्तिगत उछाल के लिए चित आने की प्रायिकता $\frac{1}{2}$ ही रहती है।

(N/A) अगली उछाल का परिणाम पट (tail) हो भी सकता है और नहीं भी। इसका कारण यह है कि सिक्के को उछालना एक यादृच्छिक प्रयोग है,जिसमें चित (head) या पट (tail) आने की संभावना समान होती है। प्रत्येक उछाल एक स्वतंत्र घटना है,जिसका अर्थ है कि पिछली उछालों का परिणाम अगली उछाल के परिणाम को प्रभावित नहीं करता है। इसलिए,अगली उछाल में पट (tail) आने की प्रायिकता $1/2$ ही बनी रहती है।

(N/A) नहीं,सिक्के के प्रत्येक उछाल का परिणाम एक स्वतंत्र घटना है। जब हम एक निष्पक्ष सिक्के को उछालते हैं,तो चित या पट प्राप्त करने की प्रायिकता समान होती है,अर्थात $P(\text{Head}) = \frac{1}{2}$ और $P(\text{Tail}) = \frac{1}{2}$। चूंकि सिक्के को पिछले परिणामों की कोई याददाश्त नहीं होती है,इसलिए $4$ थे उछाल में पट आने की प्रायिकता $\frac{1}{2}$ ही रहती है,जो किसी भी अन्य उछाल के समान है। इसलिए,पट आने की अधिक संभावना की अपेक्षा करने का कोई कारण नहीं है।

(A) हम जानते हैं कि $1$ से $100$ के बीच आधी संख्याएँ सम हैं और आधी विषम हैं। विशेष रूप से,$50$ संख्याएँ $(2, 4, 6, 8, \dots, 96, 98, 100)$ सम हैं और $50$ संख्याएँ $(1, 3, 5, 7, \dots, 97, 99)$ विषम हैं।
चूँकि कुल पर्चियों की संख्या $100$ है,सम संख्या के लिए अनुकूल परिणामों की संख्या $50$ है,और विषम संख्या के लिए भी अनुकूल परिणामों की संख्या $50$ है।
सम संख्या प्राप्त करने की प्रायिकता $= \frac{\text{सम पर्चियों की संख्या}}{\text{कुल पर्चियों की संख्या}} = \frac{50}{100} = \frac{1}{2}$.
विषम संख्या प्राप्त करने की प्रायिकता $= \frac{\text{विषम पर्चियों की संख्या}}{\text{कुल पर्चियों की संख्या}} = \frac{50}{100} = \frac{1}{2}$.
चूँकि दोनों घटनाओं के लिए अनुकूल परिणामों की संख्या समान है,इसलिए वे समप्रायिक (equally likely) हैं और प्रत्येक की प्रायिकता वास्तव में $\frac{1}{2}$ है।

(A) जब दो पासों को एक साथ फेंका जाता है,तो कुल संभावित परिणामों की संख्या $6 \times 6 = 36$ होती है।
$(i)$ मान लीजिए $E_1$ दोनों पासों पर समान संख्या प्राप्त करने की घटना है।
अनुकूल परिणाम $(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4), (5, 5), (6, 6)$ हैं।
अनुकूल परिणामों की संख्या $= 6$ है।
प्रायिकता $P(E_1) = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}$ है।
$(ii)$ मान लीजिए $E_2$ दोनों पासों पर अलग-अलग संख्या प्राप्त करने की घटना है।
यह घटना $E_1$ की पूरक घटना है।
अनुकूल परिणामों की संख्या $= 36 - 6 = 30$ है।
प्रायिकता $P(E_2) = \frac{30}{36} = \frac{5}{6}$ है।

(A-D) जब दो पासे एक साथ फेंके जाते हैं,तो कुल संभावित परिणामों की संख्या $6 \times 6 = 36$ होती है।
$(i)$ पासों पर आने वाली संख्याओं का योग $7$ है। अनुकूल परिणाम $(1, 6), (2, 5), (3, 4), (4, 3), (5, 2), (6, 1)$ हैं।
अनुकूल परिणामों की संख्या $= 6$.
$\text{प्रायिकता} = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}$.
$(ii)$ पासों पर आने वाली संख्याओं का योग एक अभाज्य संख्या है। संभावित अभाज्य योग $2, 3, 5, 7, 11$ हैं।
- योग $= 2: (1, 1) \rightarrow 1$ परिणाम
- योग $= 3: (1, 2), (2, 1) \rightarrow 2$ परिणाम
- योग $= 5: (1, 4), (2, 3), (3, 2), (4, 1) \rightarrow 4$ परिणाम
- योग $= 7: (1, 6), (2, 5), (3, 4), (4, 3), (5, 2), (6, 1) \rightarrow 6$ परिणाम
- योग $= 11: (5, 6), (6, 5) \rightarrow 2$ परिणाम
कुल अनुकूल परिणाम $= 1 + 2 + 4 + 6 + 2 = 15$.
$\text{प्रायिकता} = \frac{15}{36} = \frac{5}{12}$.
$(iii)$ पासों पर आने वाली संख्याओं का योग $1$ है। चूंकि दो पासों का न्यूनतम योग $1 + 1 = 2$ होता है,इसलिए $1$ का योग प्राप्त करना असंभव है।
अनुकूल परिणामों की संख्या $= 0$.
$\text{प्रायिकता} = \frac{0}{36} = 0$.

(N/A) दो पासों को फेंकने पर कुल संभावित परिणामों की संख्या $6 \times 6 = 36$ है।
$(i)$ गुणनफल $6$ होने के लिए,संभावित परिणाम $(1, 6), (2, 3), (3, 2), (6, 1)$ हैं।
अनुकूल परिणामों की संख्या $= 4$ है।
प्रायिकता $= \frac{4}{36} = \frac{1}{9}$ है।
$(ii)$ गुणनफल $12$ होने के लिए,संभावित परिणाम $(2, 6), (3, 4), (4, 3), (6, 2)$ हैं।
अनुकूल परिणामों की संख्या $= 4$ है।
प्रायिकता $= \frac{4}{36} = \frac{1}{9}$ है।
$(iii)$ गुणनफल $7$ होने के लिए कोई संभावित परिणाम नहीं है,क्योंकि $7$ एक अभाज्य संख्या है और इसे $1$ से $6$ तक की दो संख्याओं के गुणनफल के रूप में प्राप्त नहीं किया जा सकता है।
अनुकूल परिणामों की संख्या $= 0$ है।
प्रायिकता $= \frac{0}{36} = 0$ है।

(C) जब दो पासे फेंके जाते हैं,तो कुल संभावित परिणामों की संख्या $6 \times 6 = 36$ होती है।
हमें उन परिणामों को खोजना है जहाँ दोनों संख्याओं का गुणनफल $9$ से कम हो।
अनुकूल परिणाम इस प्रकार हैं:
पहले पासे पर $1$ होने पर: $(1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (1,6)$ (गुणनफल: $1, 2, 3, 4, 5, 6$)
पहले पासे पर $2$ होने पर: $(2,1), (2,2), (2,3), (2,4)$ (गुणनफल: $2, 4, 6, 8$)
पहले पासे पर $3$ होने पर: $(3,1), (3,2)$ (गुणनफल: $3, 6$)
पहले पासे पर $4$ होने पर: $(4,1), (4,2)$ (गुणनफल: $4, 8$)
पहले पासे पर $5$ होने पर: $(5,1)$ (गुणनफल: $5$)
पहले पासे पर $6$ होने पर: $(6,1)$ (गुणनफल: $6$)
इनकी गणना करने पर,हमारे पास $6 + 4 + 2 + 2 + 1 + 1 = 16$ अनुकूल परिणाम हैं।
प्रायिकता $= \frac{\text{अनुकूल परिणामों की संख्या}}{\text{कुल परिणामों की संख्या}} = \frac{16}{36} = \frac{4}{9}$.

(N/A) कुल परिणामों की संख्या $= 6 \times 6 = 36$.
$(i)$ घटना $E_1$ (योग $= 2$): परिणाम $\{(1, 1), (1, 1)\}$ हैं। $n(E_1) = 2$. $P(E_1) = \frac{2}{36} = \frac{1}{18}$.
$(ii)$ घटना $E_2$ (योग $= 3$): परिणाम $\{(1, 2), (1, 2), (2, 1), (2, 1)\}$ हैं। $n(E_2) = 4$. $P(E_2) = \frac{4}{36} = \frac{1}{9}$.
$(iii)$ घटना $E_3$ (योग $= 4$): परिणाम $\{(1, 3), (1, 3), (2, 2), (2, 2), (3, 1), (3, 1)\}$ हैं। $n(E_3) = 6$. $P(E_3) = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}$.
$(iv)$ घटना $E_4$ (योग $= 5$): परिणाम $\{(2, 3), (2, 3), (3, 2), (3, 2), (4, 1), (4, 1)\}$ हैं। $n(E_4) = 6$. $P(E_4) = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}$.
$(v)$ घटना $E_5$ (योग $= 6$): परिणाम $\{(3, 3), (3, 3), (4, 2), (4, 2), (5, 1), (5, 1)\}$ हैं। $n(E_5) = 6$. $P(E_5) = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}$.
$(vi)$ घटना $E_6$ (योग $= 7$): परिणाम $\{(4, 3), (4, 3), (5, 2), (5, 2), (6, 1), (6, 1)\}$ हैं। $n(E_6) = 6$. $P(E_6) = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}$.
$(vii)$ घटना $E_7$ (योग $= 8$): परिणाम $\{(5, 3), (5, 3), (6, 2), (6, 2)\}$ हैं। $n(E_7) = 4$. $P(E_7) = \frac{4}{36} = \frac{1}{9}$.
$(viii)$ घटना $E_8$ (योग $= 9$): परिणाम $\{(6, 3), (6, 3)\}$ हैं। $n(E_8) = 2$. $P(E_8) = \frac{2}{36} = \frac{1}{18}$.

(A) जब एक सिक्के को $2$ बार उछाला जाता है,तो संभावित परिणाम इस प्रकार हैं:
$S = \{(H, H), (H, T), (T, H), (T, T)\}$
अतः,कुल परिणामों की संख्या $n(S) = 4$ है।
मान लीजिए $E$ अधिकतम एक चित प्राप्त करने की घटना है।
इसका अर्थ है शून्य चित या एक चित प्राप्त करना।
घटना $E$ के अनुकूल परिणाम $\{(T, T), (H, T), (T, H)\}$ हैं।
अतः,अनुकूल परिणामों की संख्या $n(E) = 3$ है।
घटना $E$ की प्रायिकता $P(E) = \frac{n(E)}{n(S)}$ द्वारा दी जाती है।
इस प्रकार,$P(E) = \frac{3}{4}$।

(B) एक सिक्के को $3$ बार उछालने पर प्रतिदर्श समष्टि $S$ इस प्रकार है:
$S = \{(HHH), (HHT), (HTH), (HTT), (THH), (THT), (TTH), (TTT)\}$
कुल संभावित परिणामों की संख्या $n(S) = 8$ है।
$(i)$ मान लीजिए $E_1$ सभी चित प्राप्त करने की घटना है।
$E_1 = \{(HHH)\}$
अनुकूल परिणामों की संख्या $n(E_1) = 1$ है।
प्रायिकता $P(E_1) = \frac{n(E_1)}{n(S)} = \frac{1}{8}$ है।
$(ii)$ मान लीजिए $E_2$ कम से कम $2$ चित प्राप्त करने की घटना है।
$E_2 = \{(HHH), (HHT), (HTH), (THH)\}$
अनुकूल परिणामों की संख्या $n(E_2) = 4$ है।
प्रायिकता $P(E_2) = \frac{n(E_2)}{n(S)} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}$ है।

(C) दो पासों को एक साथ फेंकने पर प्रतिदर्श समष्टि (sample space) में कुल परिणामों की संख्या $n(S) = 6 \times 6 = 36$ है।
माना $E$ वह घटना है जिसमें संख्याओं का अंतर $2$ है।
अनुकूल परिणाम हैं:
$E = \{(1, 3), (2, 4), (3, 5), (4, 6), (3, 1), (4, 2), (5, 3), (6, 4)\}$.
अतः,अनुकूल परिणामों की संख्या $n(E) = 8$ है।
घटना $E$ की प्रायिकता $P(E) = \frac{n(E)}{n(S)}$ द्वारा दी जाती है।
$P(E) = \frac{8}{36} = \frac{2}{9}$.

(N/A) थैले में गेंदों की कुल संख्या $10 + 5 + 7 = 22$ है।
अतः,कुल संभावित परिणामों की संख्या $n(S) = 22$ है।
$(i)$ मान लीजिए $E_1$ लाल गेंद निकालने की घटना है। लाल गेंदों की संख्या $n(E_1) = 10$ है।
इसलिए,प्रायिकता $P(E_1) = \frac{n(E_1)}{n(S)} = \frac{10}{22} = \frac{5}{11}$ है।
$(ii)$ मान लीजिए $E_2$ हरी गेंद निकालने की घटना है। हरी गेंदों की संख्या $n(E_2) = 7$ है।
इसलिए,प्रायिकता $P(E_2) = \frac{n(E_2)}{n(S)} = \frac{7}{22}$ है।
$(iii)$ मान लीजिए $E_3$ नीली गेंद न निकालने की घटना है। इसका अर्थ है कि या तो लाल या हरी गेंद निकाली गई है।
अनुकूल परिणामों की संख्या $n(E_3) = 10 + 7 = 17$ है।
इसलिए,प्रायिकता $P(E_3) = \frac{n(E_3)}{n(S)} = \frac{17}{22}$ है।

(A) ताश की गड्डी में कुल पत्तों की संख्या = $52$ है।
चिड़ी के राजा,रानी और गुलाम को हटाने के बाद,शेष पत्तों की संख्या $n(S) = 52 - 3 = 49$ है।
$(i)$ मान लीजिए $E_1$ पान (heart) का पत्ता प्राप्त करने की घटना है।
चूंकि एक गड्डी में $13$ पान के पत्ते होते हैं और उनमें से कोई भी नहीं निकाला गया है,इसलिए $n(E_1) = 13$ है।
अतः,प्रायिकता $P(E_1) = \frac{n(E_1)}{n(S)} = \frac{13}{49}$ है।
$(ii)$ मान लीजिए $E_2$ एक राजा प्राप्त करने की घटना है।
एक गड्डी में $4$ राजा होते हैं। चूंकि चिड़ी का राजा निकाल दिया गया है,इसलिए शेष राजाओं की संख्या $n(E_2) = 4 - 1 = 3$ है।
अतः,प्रायिकता $P(E_2) = \frac{n(E_2)}{n(S)} = \frac{3}{49}$ है।

(A) $(i)$ मान लीजिए $E_1$ चिड़ी का पत्ता प्राप्त करने की घटना है।
शेष कुल पत्ते $= 52 - 3 = 49$.
शेष चिड़ी के पत्तों की संख्या $= 13 - 3 = 10$.
$\therefore$ प्रायिकता $= \frac{10}{49}$.
$(ii)$ मान लीजिए $E_2$ पान का दहला प्राप्त करने की घटना है।
गड्डी में पान का दहला केवल एक ही होता है।
$\therefore$ प्रायिकता $= \frac{1}{49}$.

(N/A) ताश की गड्डी में कुल पत्ते = $52$.
गुलाम = $4$,बेगम = $4$,बादशाह = $4$. कुल निकाले गए पत्ते = $4 + 4 + 4 = 12$.
शेष पत्ते $n(S) = 52 - 12 = 40$.
$(i)$ मान लीजिए $E_1$ वह घटना है जिसमें $7$ मान वाला पत्ता प्राप्त होता है। ऐसे कुल $4$ पत्ते हैं (प्रत्येक सूट का एक)।
$P(E_1) = \frac{n(E_1)}{n(S)} = \frac{4}{40} = \frac{1}{10}$.
$(ii)$ मान लीजिए $E_2$ वह घटना है जिसमें $7$ से अधिक मान वाला पत्ता प्राप्त होता है। संभावित मान $8, 9, 10$ हैं। कुल $3$ मान हैं,और प्रत्येक के $4$ सूट हैं,इसलिए $n(E_2) = 3 \times 4 = 12$.
$P(E_2) = \frac{n(E_2)}{n(S)} = \frac{12}{40} = \frac{3}{10}$.
$(iii)$ मान लीजिए $E_3$ वह घटना है जिसमें $7$ से कम मान वाला पत्ता प्राप्त होता है। संभावित मान $1, 2, 3, 4, 5, 6$ हैं। कुल $6$ मान हैं,और प्रत्येक के $4$ सूट हैं,इसलिए $n(E_3) = 6 \times 4 = 24$.
$P(E_3) = \frac{n(E_3)}{n(S)} = \frac{24}{40} = \frac{3}{5}$.

(D) $0$ और $100$ के बीच पूर्णांकों की कुल संख्या $99$ है (अर्थात ${1, 2, 3, \dots, 99}$)।
$n(S) = 99$
$(i)$ मान लीजिए $E_1$ एक ऐसा पूर्णांक चुनने की घटना है जो $7$ से विभाज्य है।
$0$ और $100$ के बीच $7$ के गुणज ${7, 14, 21, 28, 35, 42, 49, 56, 63, 70, 77, 84, 91, 98}$ हैं।
$n(E_1) = 14$
$P(E_1) = \frac{n(E_1)}{n(S)} = \frac{14}{99}$
$(ii)$ मान लीजिए $E_2$ एक ऐसा पूर्णांक चुनने की घटना है जो $7$ से विभाज्य नहीं है।
$n(E_2) = n(S) - n(E_1) = 99 - 14 = 85$
$P(E_2) = \frac{n(E_2)}{n(S)} = \frac{85}{99}$

(A) $2$ से $101$ तक की संख्याओं के लिए कुल परिणामों की संख्या $n(S) = 101 - 2 + 1 = 100$ है।
$(i)$ मान लीजिए $E_1$ एक सम संख्या वाला कार्ड चुनने की घटना है। सम संख्याएँ $\{2, 4, 6, \dots, 100\}$ हैं।
यह एक समांतर श्रेणी है जहाँ $a = 2$,$d = 2$ और $l = 100$ है।
सूत्र $l = a + (n - 1)d$ का उपयोग करने पर,$100 = 2 + (n - 1)2$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $98 = 2(n - 1)$,इसलिए $n - 1 = 49$,और $n = 50$ है।
अतः,$n(E_1) = 50$ है।
प्रायिकता $P(E_1) = \frac{n(E_1)}{n(S)} = \frac{50}{100} = \frac{1}{2}$ है।
$(ii)$ मान लीजिए $E_2$ एक पूर्ण वर्ग संख्या वाला कार्ड चुनने की घटना है।
$2$ और $101$ के बीच पूर्ण वर्ग संख्याएँ $\{4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100\}$ हैं।
ये $\{2^2, 3^2, 4^2, 5^2, 6^2, 7^2, 8^2, 9^2, 10^2\}$ के अनुरूप हैं।
अतः,$n(E_2) = 9$ है।
प्रायिकता $P(E_2) = \frac{n(E_2)}{n(S)} = \frac{9}{100}$ है।

(B) हम जानते हैं कि अंग्रेजी वर्णमाला में $5$ स्वर और $21$ व्यंजन होते हैं,जिससे कुल $26$ अक्षर बनते हैं।
कुल संभावित परिणामों की संख्या $n(S) = 26$ है।
मान लीजिए $E$ अंग्रेजी वर्णमाला से एक व्यंजन चुनने की घटना है।
व्यंजनों का समूह ${b, c, d, f, g, h, j, k, l, m, n, p, q, r, s, t, v, w, x, y, z}$ है।
इसलिए,अनुकूल परिणामों की संख्या $n(E) = 21$ है।
किसी घटना की प्रायिकता $P(E) = \frac{n(E)}{n(S)}$ द्वारा दी जाती है।
अतः,अभीष्ट प्रायिकता $\frac{21}{26}$ है।

(C) बॉक्स में कुल सीलबंद लिफाफों की संख्या,$n(S) = 1000$ है।
नकद पुरस्कार वाले लिफाफों की संख्या $= 10 + 100 + 200 = 310$ है।
बिना किसी नकद पुरस्कार वाले लिफाफों की संख्या,$n(E) = 1000 - 310 = 690$ है।
लिफाफे में कोई नकद पुरस्कार न होने की प्रायिकता $P(E)$ अनुकूल परिणामों की संख्या और कुल परिणामों की संख्या के अनुपात द्वारा दी जाती है।
$P(E) = \frac{n(E)}{n(S)} = \frac{690}{1000} = 0.69$।

(D) तीसरे बॉक्स में पर्चियों की कुल संख्या,$n(S) = 25 + 50 = 75$.
दी गई जानकारी के अनुसार:
बॉक्स $A$ में $Rs. 1$ अंकित पर्चियों की संख्या $= 19$.
बॉक्स $A$ में $Rs. 5$ अंकित पर्चियों की संख्या $= 25 - 19 = 6$.
बॉक्स $B$ में $Rs. 1$ अंकित पर्चियों की संख्या $= 45$.
बॉक्स $B$ में $Rs. 13$ अंकित पर्चियों की संख्या $= 50 - 45 = 5$.
$Rs. 1$ के अलावा अन्य राशि अंकित कुल पर्चियों की संख्या $= 6 + 5 = 11$.
अतः,अभीष्ट प्रायिकता $= \frac{\text{Rs. 1 के अलावा अन्य राशि अंकित पर्चियों की संख्या}}{\text{पर्चियों की कुल संख्या}} = \frac{11}{75}$.

(N/A) बल्बों की कुल संख्या, $n(S) = 24$.
खराब बल्बों की संख्या $= 6$.
अच्छे (खराब न होने वाले) बल्बों की संख्या $= 24 - 6 = 18$.
भाग $1$: बल्ब के खराब न होने की प्रायिकता:
$P(\text{खराब नहीं}) = \frac{\text{अच्छे बल्बों की संख्या}}{\text{बल्बों की कुल संख्या}} = \frac{18}{24} = \frac{3}{4}$.
भाग $2$: यदि चुना गया पहला बल्ब खराब है और उसे प्रतिस्थापित नहीं किया जाता है:
शेष बल्बों की कुल संख्या $= 24 - 1 = 23$.
शेष खराब बल्बों की संख्या $= 6 - 1 = 5$.
दूसरे बल्ब के खराब होने की प्रायिकता $= \frac{\text{शेष खराब बल्ब}}{\text{शेष कुल बल्ब}} = \frac{5}{23}$.

(N/A) कुल टुकड़ों की संख्या $= 8 \text{ त्रिभुज} + 10 \text{ वर्ग} = 18$.
$(i)$ खोया हुआ टुकड़ा त्रिभुज होने की प्रायिकता $= \frac{8}{18} = \frac{4}{9}$.
$(ii)$ खोया हुआ टुकड़ा वर्ग होने की प्रायिकता $= \frac{10}{18} = \frac{5}{9}$.
$(iii)$ नीले वर्गों की संख्या $= 6$. खोया हुआ टुकड़ा नीला वर्ग होने की प्रायिकता $= \frac{6}{18} = \frac{1}{3}$.
$(iv)$ लाल त्रिभुजों की संख्या $= 8 - 3 = 5$. खोया हुआ टुकड़ा लाल त्रिभुज होने की प्रायिकता $= \frac{5}{18}$.

(A) एक सिक्के को $3$ बार उछालने पर कुल संभावित परिणाम:
$S = \{(HHH), (TTT), (HTT), (THT), (TTH), (THH), (HTH), (HHT)\}$
$\therefore n(S) = 8$
$(i)$ मान लीजिए $E_1$ वह घटना है जिसमें श्वेता प्रवेश शुल्क खो देती है।
यह तब होता है जब उसे शून्य चित मिलते हैं (अर्थात $TTT$)।
$E_1 = \{(TTT)\}$,इसलिए $n(E_1) = 1$.
$P(E_1) = \frac{n(E_1)}{n(S)} = \frac{1}{8}$.
$(ii)$ मान लीजिए $E_2$ वह घटना है जिसमें श्वेता को प्रवेश शुल्क का दोगुना मिलता है।
यह तब होता है जब उसे $3$ चित मिलते हैं (अर्थात $HHH$)।
$E_2 = \{(HHH)\}$,इसलिए $n(E_2) = 1$.
$P(E_2) = \frac{n(E_2)}{n(S)} = \frac{1}{8}$.
$(iii)$ मान लीजिए $E_3$ वह घटना है जिसमें श्वेता को उसका प्रवेश शुल्क वापस मिल जाता है।
यह तब होता है जब उसे एक या दो चित मिलते हैं।
$E_3 = \{(HTT), (THT), (TTH), (HHT), (HTH), (THH)\}$,इसलिए $n(E_3) = 6$.
$P(E_3) = \frac{n(E_3)}{n(S)} = \frac{6}{8} = \frac{3}{4}$.

(C) दिया गया है कि एक पासे के छह फलकों पर ${0, 1, 1, 1, 6, 6}$ अंकित हैं।
कुल प्रतिदर्श समष्टि,$n(S) = 6^2 = 36$.
$(i)$ संभावित योग दोनों पासों पर प्राप्त अंकों को जोड़कर प्राप्त किए जाते हैं:
$0+0=0, 0+1=1, 0+6=6, 1+1=2, 1+6=7, 6+6=12$.
अतः,संभावित अलग-अलग योग ${0, 1, 2, 6, 7, 12}$ हैं। कुल $6$ संभावित योग हैं।
$(ii)$ मान लीजिए $E$ योग $7$ प्राप्त करने की घटना है।
वे युग्म $(d_1, d_2)$ जिनका योग $7$ है,वे हैं:
$(1, 6)$ कुल $3 \times 2 = 6$ बार आता है।
$(6, 1)$ कुल $2 \times 3 = 6$ बार आता है।
कुल अनुकूल परिणाम $n(E) = 6 + 6 = 12$.
$P(E) = \frac{n(E)}{n(S)} = \frac{12}{36} = \frac{1}{3}$.

(N/A) दिया गया है,मोबाइल फोन की कुल संख्या $n(S) = 48$ है।
$(i)$ मान लीजिए $E_{1}$ वह घटना है कि वर्णिका मोबाइल फोन खरीदेगी।
वर्णिका केवल तभी खरीदेगी यदि वह अच्छा मोबाइल है।
इसलिए,$n(E_{1}) = 42$.
$P(E_{1}) = \frac{n(E_{1})}{n(S)} = \frac{42}{48} = \frac{7}{8}$.
$(ii)$ मान लीजिए $E_{2}$ वह घटना है कि व्यापारी मोबाइल फोन खरीदेगा।
व्यापारी केवल तभी खरीदेगा यदि उसमें कोई बड़ी खराबी न हो।
इसका अर्थ है कि व्यापारी $42$ अच्छे फोन और $3$ मामूली खराबी वाले फोन खरीदेगा।
इसलिए,$n(E_{2}) = 42 + 3 = 45$.
$P(E_{2}) = \frac{n(E_{2})}{n(S)} = \frac{45}{48} = \frac{15}{16}$.

(A) दिया गया है कि थैले में गेंदों की कुल संख्या $= 24$ है।
लाल गेंदों की संख्या $= x$,सफेद गेंदों की संख्या $= 2x$ और नीली गेंदों की संख्या $= 3x$ है।
शर्त के अनुसार,$x + 2x + 3x = 24$ है।
$6x = 24$,जिससे $x = 4$ प्राप्त होता है।
अतः,लाल गेंदों की संख्या $= 4$,सफेद गेंदों की संख्या $= 2 \times 4 = 8$ और नीली गेंदों की संख्या $= 3 \times 4 = 12$ है।
कुल संभावित परिणामों की संख्या $n(S) = 24$ है।
$(i)$ मान लीजिए $E_1$ लाल न होने वाली गेंद चुनने की घटना है। इसका अर्थ है कि गेंद सफेद या नीली हो सकती है।
$n(E_1) = \text{सफेद गेंदों की संख्या} + \text{नीली गेंदों की संख्या} = 8 + 12 = 20$ है।
अभीष्ट प्रायिकता $P(E_1) = \frac{n(E_1)}{n(S)} = \frac{20}{24} = \frac{5}{6}$ है।
$(ii)$ मान लीजिए $E_2$ सफेद गेंद चुनने की घटना है।
$n(E_2) = \text{सफेद गेंदों की संख्या} = 8$ है।
अभीष्ट प्रायिकता $P(E_2) = \frac{n(E_2)}{n(S)} = \frac{8}{24} = \frac{1}{3}$ है।

(A) बॉक्स में कार्डों की कुल संख्या $n(S) = 1000$ है।
$(i)$ मान लीजिए $E_1$ वह घटना है कि पहला खिलाड़ी पुरस्कार जीतता है। यह तब होता है यदि खिलाड़ी $500$ से बड़ी पूर्ण वर्ग संख्या चुनता है।
$1$ से $1000$ के बीच पूर्ण वर्ग संख्याएँ $1^2, 2^2, \dots, 31^2 = 961$ हैं।
$500$ से बड़ी पूर्ण वर्ग संख्याएँ $23^2=529, 24^2=576, 25^2=625, 26^2=676, 27^2=729, 28^2=784, 29^2=841, 30^2=900, 31^2=961$ हैं।
ऐसे कुल $9$ कार्ड हैं।
अतः, $n(E_1) = 9$ है।
पहले खिलाड़ी के जीतने की प्रायिकता $P(E_1) = \frac{n(E_1)}{n(S)} = \frac{9}{1000} = 0.009$ है।
$(ii)$ यदि पहला खिलाड़ी जीत चुका है, तो एक कार्ड ($500$ से बड़ी पूर्ण वर्ग संख्या) बॉक्स से हटा दिया जाता है।
शेष कार्डों की संख्या $n(S') = 1000 - 1 = 999$ है।
$500$ से बड़ी शेष पूर्ण वर्ग संख्याओं की संख्या $n(E_2) = 9 - 1 = 8$ है।
यदि पहला खिलाड़ी जीत चुका है, तो दूसरे खिलाड़ी के जीतने की प्रायिकता $P(E_2|E_1) = \frac{n(E_2)}{n(S')} = \frac{8}{999}$ है।