Mix Examples - Probability Questions in Hindi

(A) जब दो संतुलित पासे फेंके जाते हैं,तो कुल संभावित परिणामों की संख्या $6 \times 6 = 36$ होती है।
वे परिणाम जिनमें दोनों पासों पर संख्याएँ समान हैं: $(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4), (5, 5), (6, 6)$ हैं।
ऐसे कुल $6$ अनुकूल परिणाम हैं।
समान संख्या प्राप्त करने की प्रायिकता $P$,अनुकूल परिणामों और कुल परिणामों का अनुपात है:
$P = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}$.

(B) पेंचों की कुल संख्या = $500$।
खराब पेंचों की संख्या = $80$।
खराब न होने वाले पेंचों की संख्या = $500 - 80 = 420$।
खराब न होने वाले पेंच को चुनने की प्रायिकता,खराब न होने वाले पेंचों की संख्या और पेंचों की कुल संख्या का अनुपात है।
प्रायिकता = $\frac{\text{खराब न होने वाले पेंचों की संख्या}}{\text{पेंचों की कुल संख्या}} = \frac{420}{500}$।
भिन्न को सरल करने पर: $\frac{420}{500} = \frac{42}{50} = \frac{21}{25}$।
अतः,प्रायिकता $\frac{21}{25}$ है।

(C) डिब्बे में कुल पर्चियों की संख्या $n(S) = 20$ है।
पर्चियों पर $1$ से $20$ तक की संख्याएँ अंकित हैं।
$1$ और $20$ के बीच की विषम संख्याएँ $1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19$ हैं।
विषम संख्या वाली पर्चियों की संख्या $n(E) = 10$ है।
विषम संख्या वाली पर्ची निकालने की प्रायिकता $P(E)$ का सूत्र $P(E) = \frac{n(E)}{n(S)}$ है।
मान रखने पर,हमें $P(E) = \frac{10}{20} = \frac{1}{2}$ प्राप्त होता है।

(D) कुल परिणामों की संख्या $20$ है (क्योंकि पर्चियाँ $1$ से $20$ तक क्रमांकित हैं)।
$1$ से $20$ के बीच अभाज्य संख्याएँ हैं: $2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19$।
अनुकूल परिणामों की संख्या $8$ है।
अभाज्य संख्या प्राप्त करने की प्रायिकता $P$,अनुकूल परिणामों और कुल परिणामों का अनुपात है।
$P = \frac{8}{20} = \frac{2}{5}$।

(A) बॉक्स में कुल पर्चियों की संख्या = $20$.
अतः,कुल संभावित परिणामों की संख्या = $20$.
$1$ से $20$ के बीच $5$ के गुणज $5, 10, 15, 20$ हैं।
अनुकूल परिणामों की संख्या = $4$.
घटना की प्रायिकता का सूत्र है: $P(E) = \frac{\text{अनुकूल परिणामों की संख्या}}{\text{कुल संभावित परिणामों की संख्या}}$.
इसलिए,$P(E) = \frac{4}{20} = \frac{1}{5}$.

(B) जब एक निष्पक्ष सिक्के को $3$ बार उछाला जाता है,तो कुल संभावित परिणामों की संख्या $2^3 = 8$ होती है।
प्रतिदर्श समष्टि (sample space) $S$ इस प्रकार है:
$S = \{HHH, HHT, HTH, THH, HTT, THT, TTH, TTT\}$.
घटना $A$ को ठीक $2$ चित प्राप्त करने के रूप में परिभाषित किया गया है।
घटना $A$ के लिए अनुकूल परिणाम $\{HHT, HTH, THH\}$ हैं।
अनुकूल परिणामों की संख्या $n(A) = 3$ है।
अतः,प्रायिकता $P(A) = \frac{n(A)}{n(S)} = \frac{3}{8}$ है।

(C) जब एक निष्पक्ष सिक्के को तीन बार उछाला जाता है,तो कुल संभावित परिणामों की संख्या $2^3 = 8$ होती है।
प्रतिदर्श समष्टि $S$ इस प्रकार है: $S = \{HHH, HHT, HTH, THH, HTT, THT, TTH, TTT\}$।
घटना $B$ को कम से कम $2$ चित प्राप्त होने के रूप में परिभाषित किया गया है।
घटना $B$ के लिए अनुकूल परिणाम हैं: $\{HHH, HHT, HTH, THH\}$।
अनुकूल परिणामों की संख्या $n(B) = 4$ है।
घटना $B$ की प्रायिकता $P(B) = \frac{n(B)}{n(S)} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}$ है।

(D) जब एक निष्पक्ष सिक्के को तीन बार उछाला जाता है,तो प्रतिदर्श समष्टि (sample space) $S$ इस प्रकार है:
$S = \{HHH, HHT, HTH, THH, HTT, THT, TTH, TTT\}$
कुल परिणामों की संख्या $n(S) = 8$ है।
घटना $C$ को अधिकतम $2$ चित प्राप्त होने के रूप में परिभाषित किया गया है।
इसका अर्थ है कि हमें $0, 1,$ या $2$ चित मिल सकते हैं।
घटना $C$ के अनुकूल परिणाम हैं:
$0$ चित: ${TTT}$
$1$ चित: ${HTT, THT, TTH}$
$2$ चित: ${HHT, HTH, THH}$
अनुकूल परिणामों की कुल संख्या $n(C) = 1 + 3 + 3 = 7$ है।
वैकल्पिक रूप से,केवल एक परिणाम ${HHH}$ (जिसमें $3$ चित हैं) इसमें शामिल नहीं है।
अतः,$P(C) = \frac{n(C)}{n(S)} = \frac{7}{8}$.

(A) बॉक्स में बोर्डों की कुल संख्या = $50$ है।
अतः,कुल संभावित परिणामों की संख्या = $50$ है।
माना $E$ एक ऐसे बोर्ड को चुनने की घटना है जिस पर अंकित संख्या $11$ का गुणज है।
$1$ से $50$ के बीच $11$ के गुणज $11, 22, 33,$ और $44$ हैं।
अनुकूल परिणामों की संख्या = $4$ है।
प्रायिकता $P(E)$ का सूत्र है: $P(E) = \frac{\text{अनुकूल परिणामों की संख्या}}{\text{कुल परिणामों की संख्या}}$.
$P(E) = \frac{4}{50} = \frac{2}{25}$.

(B) कुल परिणामों की संख्या $50$ है (क्योंकि तख्तियों पर $1$ से $50$ तक की संख्याएँ अंकित हैं)।
$1$ से $50$ के बीच अभाज्य संख्याएँ हैं: $2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47$।
इनकी गणना करने पर,हमें कुल $15$ अभाज्य संख्याएँ प्राप्त होती हैं।
अभाज्य संख्या चुनने की प्रायिकता $P$,अनुकूल परिणामों और कुल परिणामों का अनुपात है:
$P = \frac{15}{50} = \frac{3}{10}$।

(C) कुल बोर्डों की संख्या = $50$।
$1$ से $50$ के बीच $10$ के गुणज हैं: $10, 20, 30, 40, 50$।
अनुकूल परिणामों की संख्या = $5$।
प्रायिकता = $\frac{\text{अनुकूल परिणामों की संख्या}}{\text{कुल परिणामों की संख्या}} = \frac{5}{50} = \frac{1}{10}$।

(D) बक्से में गेंदों की कुल संख्या = $5$ (सफेद) + $7$ (लाल) + $4$ (काली) + $2$ (नीली) = $18$.
अनुकूल परिणामों की संख्या (काली या सफेद गेंद चुनना) = $5$ (सफेद) + $4$ (काली) = $9$.
काली या सफेद गेंद चुनने की प्रायिकता $P$, अनुकूल परिणामों और कुल परिणामों के अनुपात द्वारा दी जाती है।
$P = \frac{9}{18} = \frac{1}{2}$.

(A) डिब्बे में गेंदों की कुल संख्या सभी रंगों की गेंदों का योग है:
कुल गेंदें $= 5 + 7 + 4 + 2 = 18$।
लाल गेंदों की संख्या $7$ है।
लाल गेंद चुनने की प्रायिकता लाल गेंदों की संख्या और गेंदों की कुल संख्या का अनुपात है:
$P(\text{लाल}) = \frac{\text{लाल गेंदों की संख्या}}{\text{कुल गेंदों की संख्या}} = \frac{7}{18}$।

(B) गेंदों की कुल संख्या = $5 + 7 + 4 + 2 = 18$.
नीली गेंदों की संख्या = $2$.
नीली गेंद चुनने की प्रायिकता $P(\text{Blue}) = \frac{\text{नीली गेंदों की संख्या}}{\text{गेंदों की कुल संख्या}} = \frac{2}{18} = \frac{1}{9}$.
प्रायिकता कि गेंद नीली नहीं है,$P(\text{Not Blue}) = 1 - P(\text{Blue})$ द्वारा दी जाती है।
$P(\text{Not Blue}) = 1 - \frac{1}{9} = \frac{8}{9}$.

(C) $1$. सबसे पहले,वर्गाकार बोर्ड का क्षेत्रफल ज्ञात करें: $\text{वर्ग का क्षेत्रफल} = \text{भुजा}^2 = 20 \, cm \times 20 \, cm = 400 \, cm^2$.
$2$. इसके बाद,त्रिभुज का प्रकार पहचानें। चूँकि $5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169 = 13^2$,यह एक समकोण त्रिभुज है।
$3$. त्रिकोणीय लक्ष्य का क्षेत्रफल ज्ञात करें: $\text{त्रिभुज का क्षेत्रफल} = \frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ऊँचाई} = \frac{1}{2} \times 5 \, cm \times 12 \, cm = 30 \, cm^2$.
$4$. डार्ट के लक्ष्य पर लगने की प्रायिकता $P$,लक्ष्य के क्षेत्रफल और बोर्ड के क्षेत्रफल का अनुपात है: $P = \frac{\text{त्रिभुज का क्षेत्रफल}}{\text{वर्ग का क्षेत्रफल}} = \frac{30}{400} = \frac{3}{40}$.

(D) एक-अंकीय प्राकृतिक संख्याओं का समुच्चय $S = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}$ है।
कुल परिणामों की संख्या $n(S) = 9$ है।
इनमें सम संख्याओं का समुच्चय $E = \{2, 4, 6, 8\}$ है।
अनुकूल परिणामों की संख्या $n(E) = 4$ है।
प्रायिकता $P(E) = \frac{n(E)}{n(S)} = \frac{4}{9}$ है।

(A) एक-अंकीय प्राकृतिक संख्याओं का समुच्चय $S = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}$ है।
कुल परिणामों की संख्या $n(S) = 9$ है।
इनमें $3$ के गुणज $E = \{3, 6, 9\}$ हैं।
अनुकूल परिणामों की संख्या $n(E) = 3$ है।
प्रायिकता $P(E)$ का सूत्र $P(E) = \frac{n(E)}{n(S)}$ है।
अतः,$P(E) = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}$।

(B) जब एक संतुलित पासे को फेंका जाता है,तो कुल संभावित परिणाम $S = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ होते हैं,इसलिए कुल परिणामों की संख्या $n(S) = 6$ है।
पासे के फलकों पर $3$ के गुणज $3$ और $6$ हैं।
माना $E$ एक $3$ का गुणज प्राप्त करने की घटना है। तब $E = \{3, 6\}$,इसलिए अनुकूल परिणामों की संख्या $n(E) = 2$ है।
प्रायिकता $P(E)$ का सूत्र $P(E) = \frac{n(E)}{n(S)}$ है।
$P(E) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$.
अतः,$3$ का गुणज प्राप्त करने की प्रायिकता $\frac{1}{3}$ है।

(C) जब एक संतुलित पासे को फेंका जाता है तो कुल संभावित परिणामों की संख्या $6$ होती है,जो $\{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ हैं।
मान लीजिए $E$,$4$ से बड़ी संख्या प्राप्त करने की घटना है।
पासे पर $4$ से बड़ी संख्याएँ $5$ और $6$ हैं।
अतः,अनुकूल परिणामों की संख्या $2$ है।
प्रायिकता $P(E)$ अनुकूल परिणामों की संख्या और कुल संभावित परिणामों की संख्या के अनुपात द्वारा दी जाती है।
$P(E) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$.

(D) एक सामान्य वर्ष में $365$ दिन होते हैं।
$365$ दिन $= 52$ सप्ताह और $1$ अतिरिक्त दिन।
$52$ सप्ताह में $52$ शुक्रवार होते हैं।
वर्ष में $53$ शुक्रवार होने के लिए,शेष $1$ अतिरिक्त दिन का शुक्रवार होना आवश्यक है।
अतिरिक्त दिन के लिए संभावित परिणाम हैं: {सोमवार,मंगलवार,बुधवार,गुरुवार,शुक्रवार,शनिवार,रविवार}।
कुल परिणामों की संख्या $= 7$।
अनुकूल परिणामों की संख्या (शुक्रवार) $= 1$।
अतः,प्रायिकता $= \frac{\text{अनुकूल परिणामों की संख्या}}{\text{कुल परिणामों की संख्या}} = \frac{1}{7}$।

(A) दिसंबर के महीने में $31$ दिन होते हैं।
$31$ दिनों में $4$ पूर्ण सप्ताह और $3$ अतिरिक्त दिन होते हैं $(31 = 7 \times 4 + 3)$।
ये $3$ अतिरिक्त दिन निम्नलिखित संयोजनों में से कोई भी हो सकते हैं: (रविवार,सोमवार,मंगलवार),(सोमवार,मंगलवार,बुधवार),(मंगलवार,बुधवार,गुरुवार),(बुधवार,गुरुवार,शुक्रवार),(गुरुवार,शुक्रवार,शनिवार),(शुक्रवार,शनिवार,रविवार),या (शनिवार,रविवार,सोमवार)।
इन $7$ संभावित परिणामों में से,शनिवार वाले संयोजन हैं: (गुरुवार,शुक्रवार,शनिवार),(शुक्रवार,शनिवार,रविवार),और (शनिवार,रविवार,सोमवार)।
कुल $7$ संभावनाओं में से $3$ अनुकूल परिणाम हैं।
अतः,प्रायिकता $\frac{3}{7}$ है।

(B) एक सामान्य वर्ष के फरवरी महीने में $28$ दिन होते हैं।
$28$ दिनों में ठीक $4$ सप्ताह होते हैं ($4 \times 7 = 28$ दिन)।
इसलिए,एक सामान्य वर्ष के फरवरी महीने में सप्ताह का प्रत्येक दिन ठीक $4$ बार आता है।
चूंकि इसमें कोई अतिरिक्त दिन नहीं होता है,इसलिए $5$ बुधवार होना असंभव है।
अतः,इसकी प्रायिकता $0$ है।

(C) एक लीप वर्ष में फरवरी के महीने में $29$ दिन होते हैं।
$29$ दिनों में $4$ पूर्ण सप्ताह और $1$ अतिरिक्त दिन होता है $(29 = 4 \times 7 + 1)$।
इन $4$ सप्ताहों में $4$ मंगलवार,$4$ बुधवार,$4$ गुरुवार,$4$ शुक्रवार,$4$ शनिवार,$4$ रविवार और $4$ सोमवार शामिल होते हैं।
शेष $1$ अतिरिक्त दिन सप्ताह के $7$ दिनों में से कोई भी हो सकता है: {सोमवार,मंगलवार,बुधवार,गुरुवार,शुक्रवार,शनिवार,रविवार}।
फरवरी में $5$ मंगलवार होने के लिए,यह अतिरिक्त दिन मंगलवार होना चाहिए।
कुल $7$ संभावित परिणामों में से केवल $1$ अनुकूल परिणाम (मंगलवार) है।
अतः,प्रायिकता $\frac{1}{7}$ है।

(D) किसी घटना और उसकी पूरक घटना की प्रायिकता का योग सदैव $1$ होता है।
यहाँ $P(A) = 0.54$ दिया गया है।
हम जानते हैं कि $P(A) + P(\overline{A}) = 1$ होता है।
अतः,$P(\overline{A}) = 1 - P(A)$.
$P(\overline{A}) = 1 - 0.54 = 0.46$।

(A) हम जानते हैं कि किसी भी घटना $B$ के लिए,घटना की प्रायिकता और उसके पूरक की प्रायिकता का योग $1$ होता है।
$P(B) + P(\overline{B}) = 1$
दिया गया है कि $P(\overline{B}) = 0.81$ है।
मान रखने पर,हमें प्राप्त होता है:
$P(B) + 0.81 = 1$
$P(B) = 1 - 0.81$
$P(B) = 0.19$

(B) किसी घटना और उसकी पूरक घटना की प्रायिकता का योग हमेशा $1$ होता है।
दिया गया है कि $P(C) = \frac{2}{5}$।
हम जानते हैं कि $P(C) + P(\bar{C}) = 1$।
अतः,$P(\bar{C}) = 1 - P(C)$।
$P(\bar{C}) = 1 - \frac{2}{5} = \frac{5 - 2}{5} = \frac{3}{5}$।

(C) किसी घटना और उसकी पूरक घटना की प्रायिकता का योग सदैव $1$ होता है।
अर्थात,$P(D) + P(\overline{D}) = 1$ होता है।
दिया गया है कि $P(\overline{D}) = \frac{6}{17}$,इस मान को समीकरण में रखने पर:
$P(D) + \frac{6}{17} = 1$
$P(D) = 1 - \frac{6}{17}$
$P(D) = \frac{17 - 6}{17}$
$P(D) = \frac{11}{17}$

(D) अप्रैल के महीने में $30$ दिन होते हैं।
$30$ दिनों में $4$ पूर्ण सप्ताह और $2$ अतिरिक्त दिन होते हैं।
$4 \times 7 = 28$ दिन।
$30 - 28 = 2$ दिन शेष बचते हैं।
ये $2$ अतिरिक्त दिन निम्नलिखित जोड़ों में से कोई भी हो सकते हैं: (रविवार,सोमवार),(सोमवार,मंगलवार),(मंगलवार,बुधवार),(बुधवार,गुरुवार),(गुरुवार,शुक्रवार),(शुक्रवार,शनिवार),या (शनिवार,रविवार)।
इन $2$ अतिरिक्त दिनों के लिए कुल $7$ संभावित परिणाम हैं।
महीने में $5$ शुक्रवार होने के लिए,$2$ अतिरिक्त दिनों में शुक्रवार का होना आवश्यक है।
अनुकूल परिणाम (गुरुवार,शुक्रवार) और (शुक्रवार,शनिवार) हैं।
इस प्रकार,$2$ अनुकूल परिणाम प्राप्त होते हैं।
अतः,प्रायिकता = $\frac{\text{अनुकूल परिणामों की संख्या}}{\text{कुल परिणामों की संख्या}} = \frac{2}{7}$।

(A) अप्रैल के महीने में $30$ दिन होते हैं।
$30$ दिनों में $4$ पूर्ण सप्ताह और $2$ अतिरिक्त दिन होते हैं $(30 = 7 \times 4 + 2)$।
ये $2$ अतिरिक्त दिन निम्नलिखित जोड़ों में से कोई भी हो सकते हैं: (रविवार,सोमवार),(सोमवार,मंगलवार),(मंगलवार,बुधवार),(बुधवार,गुरुवार),(गुरुवार,शुक्रवार),(शुक्रवार,शनिवार) या (शनिवार,रविवार)।
इन $2$ अतिरिक्त दिनों के लिए कुल $7$ संभावित परिणाम हैं।
महीने में $5$ रविवार होने के लिए,$2$ अतिरिक्त दिनों में से एक रविवार होना आवश्यक है।
अनुकूल परिणाम (रविवार,सोमवार) और (शनिवार,रविवार) हैं।
कुल $7$ संभावनाओं में से $2$ अनुकूल परिणाम हैं।
अतः,प्रायिकता $2/7$ है।

(B) $100$ अंकों की परीक्षा में,एक छात्र $0$ से $100$ तक अंक प्राप्त कर सकता है।
कुल संभावित परिणामों की संख्या = $100 - 0 + 1 = 101$।
हमें $60$ से अधिक और $66$ से कम अंक प्राप्त करने की प्रायिकता ज्ञात करनी है।
संभावित अंक $61, 62, 63, 64, 65$ हैं।
अनुकूल परिणामों की संख्या = $5$।
प्रायिकता = $\frac{\text{अनुकूल परिणामों की संख्या}}{\text{कुल संभावित परिणामों की संख्या}} = \frac{5}{101}$।

(C) सूर्य का पश्चिम में अस्त होना एक 'निश्चित घटना' है।
परिभाषा के अनुसार,एक निश्चित घटना की प्रायिकता हमेशा $1$ होती है।

(D) ताश की एक अच्छी तरह से फेंटी गई गड्डी में कुल पत्तों की संख्या $52$ है।
$52$ पत्तों की एक मानक गड्डी में $4$ गुलाम (jacks) होते हैं (प्रत्येक सूट के लिए एक: पान,ईंट,चिड़ी और हुकुम)।
किसी घटना की प्रायिकता $P$ का सूत्र है: $P = \frac{\text{अनुकूल परिणामों की संख्या}}{\text{कुल संभावित परिणामों की संख्या}}$.
यहाँ,अनुकूल परिणामों की संख्या (गुलाम निकालना) $4$ है।
कुल संभावित परिणामों की संख्या $52$ है।
अतः,प्रायिकता $P = \frac{4}{52} = \frac{1}{13}$ है।

(A) जब एक संतुलित पासे को फेंका जाता है,तो कुल संभावित परिणाम $S = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ होते हैं।
कुल परिणामों की संख्या $n(S) = 6$ है।
मान लीजिए $E$,$3$ से छोटी संख्या प्राप्त करने की घटना है।
अनुकूल परिणाम $E = \{1, 2\}$ हैं।
अनुकूल परिणामों की संख्या $n(E) = 2$ है।
प्रायिकता $P(E)$ का सूत्र $P(E) = \frac{n(E)}{n(S)}$ है।
अतः,$P(E) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$.

(B) हम जानते हैं कि किसी घटना और उसकी पूरक घटना की प्रायिकता का योग $1$ होता है,अर्थात $P(A) + P(\bar{A}) = 1$.
दिए गए अनुपात $P(A) : P(\bar{A}) = 3 : 2$ के अनुसार,मान लीजिए $P(A) = 3x$ और $P(\bar{A}) = 2x$ है।
इन मानों को समीकरण में रखने पर: $3x + 2x = 1$.
$5x = 1$,जिससे $x = \frac{1}{5}$ प्राप्त होता है।
अतः,$P(A) = 3x = 3 \times \frac{1}{5} = \frac{3}{5}$।

(C) हम जानते हैं कि किसी भी घटना $A$ के लिए,घटना की प्रायिकता और उसकी पूरक घटना की प्रायिकता का योग $1$ होता है,अर्थात $P(A) + P(\overline{A}) = 1$।
दिए गए अनुपात $P(A) : P(\overline{A}) = 4 : 1$ से,हम मान सकते हैं कि $P(A) = 4x$ और $P(\overline{A}) = 1x$,जहाँ $x$ एक स्थिरांक है।
इन मानों को योग समीकरण में रखने पर: $4x + 1x = 1$।
$5x = 1$,जिससे हमें $x = \frac{1}{5}$ प्राप्त होता है।
अतः,$P(\overline{A}) = 1x = 1 \times \frac{1}{5} = \frac{1}{5}$।

(C) जब एक निष्पक्ष सिक्के को एक बार उछाला जाता है,तो संभावित परिणाम चित $(H)$ और पट $(T)$ होते हैं।
जब उसी सिक्के को दो बार उछाला जाता है,तो प्रतिदर्श समष्टि $S$ सभी संभावित परिणामों के क्रमित युग्मों का समुच्चय होता है।
$S = \{(H, H), (H, T), (T, H), (T, T)\}$.
इनकी गणना करने पर,हम पाते हैं कि कुल $4$ संभावित परिणाम हैं।
अतः,कुल परिणामों की संख्या $4$ है।

(B) जब एक निष्पक्ष सिक्के को दो बार उछाला जाता है,तो प्रतिदर्श समष्टि (sample space) $S$ इस प्रकार है: $S = \{HH, HT, TH, TT\}$.
कुल संभावित परिणामों की संख्या $n = 4$ है।
मान लीजिए कि $A$ दो चित प्राप्त करने की घटना है। अनुकूल परिणाम केवल $HH$ है।
अनुकूल परिणामों की संख्या $m = 1$ है।
घटना $A$ की प्रायिकता का सूत्र $P(A) = \frac{m}{n}$ है।
अतः,$P(A) = \frac{1}{4}$।

(D) एक संतुलित पासे को एक बार फेंकने पर कुल संभावित परिणामों की संख्या $n = 6$ है,जो $\{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ हैं।
मान लीजिए $A$ सम संख्या प्राप्त करने की घटना है। घटना $A$ के लिए अनुकूल परिणाम $\{2, 4, 6\}$ हैं।
अतः,अनुकूल परिणामों की संख्या $m = 3$ है।
घटना $A$ की प्रायिकता $P(A) = \frac{m}{n} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$ है।

(C) एक मानक संतुलित पासे में $1$ से $6$ तक की संख्याएँ अंकित होती हैं।
चूंकि पासे के किसी भी फलक पर संख्या $7$ मौजूद नहीं है,इसलिए एक बार फेंकने पर $7$ प्राप्त करना एक असंभव घटना है।
जो घटना घटित नहीं हो सकती,उसे असंभव घटना कहा जाता है और इसकी प्रायिकता हमेशा $0$ होती है।
अतः,अभीष्ट प्रायिकता $0$ है।

(C) ताश की एक अच्छी तरह से फेंटी गई गड्डी में कुल पत्तों की संख्या $n = 52$ है।
तस्वीर वाला पत्ता (face card) का अर्थ है राजा,रानी या गुलाम। एक गड्डी में $4$ राजा,$4$ रानी और $4$ गुलाम होते हैं।
इसलिए,तस्वीर वाला पत्ता निकालने के लिए अनुकूल परिणामों की कुल संख्या $m = 4 + 4 + 4 = 12$ है।
तस्वीर वाला पत्ता निकालने की प्रायिकता $P(A)$ अनुकूल परिणामों और कुल परिणामों के अनुपात द्वारा दी जाती है:
$P(A) = \frac{m}{n} = \frac{12}{52} = \frac{3}{13}$.

(B) $52$ ताश के पत्तों की एक अच्छी तरह से फेंटी गई गड्डी में कुल संभावित परिणामों की संख्या $n = 52$ है।
मान लीजिए कि घटना $A$ वह घटना है जिसमें निकाला गया पत्ता एक इक्का है।
चूंकि $52$ पत्तों की एक मानक गड्डी में $4$ इक्के होते हैं,इसलिए अनुकूल परिणामों की संख्या $m = 4$ है।
किसी घटना की प्रायिकता का सूत्र $P(A) = \frac{\text{अनुकूल परिणामों की संख्या}}{\text{कुल संभावित परिणामों की संख्या}} = \frac{m}{n}$ होता है।
अतः,$P(A) = \frac{4}{52} = \frac{1}{13}$।

(C) $52$ ताश के पत्तों की एक अच्छी तरह से फेंटी गई गड्डी से एक पत्ता निकालने पर कुल संभावित परिणामों की संख्या $n = 52$ है।
ताश की एक मानक गड्डी में दो काले रंग के सूट होते हैं: हुकुम (Spades) और चिड़ी (Clubs)।
प्रत्येक सूट में $13$ पत्ते होते हैं,इसलिए काले पत्तों की कुल संख्या $13 + 13 = 26$ है।
मान लीजिए कि घटना $A$ वह घटना है जिसमें निकाला गया पत्ता काले रंग का है।
घटना $A$ के लिए अनुकूल परिणामों की संख्या $m = 26$ है।
प्रायिकता $P(A)$ अनुकूल परिणामों और कुल परिणामों के अनुपात द्वारा दी जाती है:
$P(A) = \frac{m}{n} = \frac{26}{52} = \frac{1}{2}$.

(D) ताश की गड्डी में कुल पत्तों की संख्या $n = 52$ है।
तस्वीर वाला पत्ता (picture card) का अर्थ है गुलाम,बेगम या बादशाह। प्रत्येक के $4$ पत्ते होते हैं,इसलिए कुल तस्वीर वाले पत्तों की संख्या $3 \times 4 = 12$ है।
मान लीजिए कि घटना $A$ वह घटना है जिसमें निकाला गया पत्ता तस्वीर वाला पत्ता नहीं है।
अनुकूल परिणामों की संख्या $m$ कुल पत्तों में से तस्वीर वाले पत्तों को घटाकर प्राप्त की जाती है:
$m = 52 - 12 = 40$.
प्रायिकता $P(A)$ अनुकूल परिणामों और कुल परिणामों का अनुपात है:
$P(A) = \frac{m}{n} = \frac{40}{52}$.
अंश और हर को $4$ से विभाजित करने पर:
$P(A) = \frac{10}{13}$.

(C) $52$ ताश के पत्तों की एक मानक गड्डी में $4$ सूट होते हैं,जिनमें से प्रत्येक में $13$ पत्ते होते हैं।
ईंट (Diamonds) के पत्तों की संख्या $13$ है।
ईंट न होने वाले पत्तों की संख्या $52 - 13 = 39$ है।
किसी घटना की प्रायिकता अनुकूल परिणामों की संख्या और कुल संभावित परिणामों की संख्या का अनुपात होती है।
$\text{प्रायिकता (ईंट नहीं)} = \frac{\text{ईंट न होने वाले पत्तों की संख्या}}{\text{कुल पत्तों की संख्या}} = \frac{39}{52}$.
अंश और हर को $13$ से विभाजित करने पर,हमें $\frac{39 \div 13}{52 \div 13} = \frac{3}{4}$ प्राप्त होता है।

(B) $52$ ताश के पत्तों की एक मानक गड्डी में $4$ प्रकार के सूट होते हैं: पान (Hearts),ईंट (Diamonds),चिड़ी (Clubs) और हुकुम (Spades)।
पान और ईंट लाल रंग के सूट हैं,जबकि चिड़ी और हुकुम काले रंग के सूट हैं।
प्रत्येक सूट में ठीक एक इक्का होता है।
इसलिए,लाल रंग के इक्कों की संख्या $2$ है (एक पान का इक्का और एक ईंट का इक्का)।
कुल संभावित परिणामों की संख्या $52$ है।
अनुकूल परिणामों की संख्या $2$ है।
प्रायिकता $= \frac{\text{अनुकूल परिणामों की संख्या}}{\text{कुल परिणामों की संख्या}} = \frac{2}{52} = \frac{1}{26}$.

(A) $52$ ताश के पत्तों की एक मानक गड्डी में $4$ इक्के होते हैं।
इसलिए,इक्का न होने वाले पत्तों की संख्या $52 - 4 = 48$ है।
इक्का न होने वाले पत्ते को निकालने की प्रायिकता अनुकूल परिणामों की संख्या और कुल संभावित परिणामों की संख्या का अनुपात है।
$\text{प्रायिकता} = \frac{\text{इक्का न होने वाले पत्तों की संख्या}}{\text{कुल पत्तों की संख्या}} = \frac{48}{52}$.
अंश और हर को $4$ से विभाजित करने पर,हमें $\frac{48 \div 4}{52 \div 4} = \frac{12}{13}$ प्राप्त होता है।

(C) एक संतुलित पासे को एक बार फेंकने पर प्राप्त परिणामों की संख्या $6$ है (अर्थात $1, 2, 3, 4, 5, 6$)।
जब पासे को दूसरी बार फेंका जाता है,तो पहली बार के $6$ परिणामों में से प्रत्येक परिणाम दूसरी बार के $6$ परिणामों के साथ जुड़ सकता है।
अतः,एक संतुलित पासे को दो बार फेंकने के प्रयोग में कुल परिणामों की संख्या $6 \times 6 = 36$ है।

(D) जब एक संतुलित पांसा फेंका जाता है,तो संभावित परिणाम ${1, 2, 3, 4, 5, 6}$ होते हैं,जिसका अर्थ है कि $6$ संभावित परिणाम हैं।
जब दो संतुलित पांसों को एक साथ फेंका जाता है,तो कुल परिणामों की संख्या प्रत्येक पांसे के परिणामों को गुणा करके प्राप्त की जाती है।
कुल परिणामों की संख्या $= 6 \times 6 = 36$।

(A) जब दो संतुलित पासों को एक साथ फेंका जाता है,तो कुल संभावित परिणामों की संख्या $6 \times 6 = 36$ होती है।
मान लीजिए $E$ वह घटना है जिसमें पासों पर आए अंकों का योग $2$ है।
योग $2$ प्राप्त करने वाला एकमात्र परिणाम $(1, 1)$ है।
अतः,अनुकूल परिणामों की संख्या $m = 1$ है।
घटना $E$ की प्रायिकता का सूत्र है: $P(E) = \frac{\text{अनुकूल परिणामों की संख्या}}{\text{कुल संभावित परिणामों की संख्या}}$.
इस प्रकार,$P(E) = \frac{1}{36}$।

(C) जब दो संतुलित पासों को एक साथ फेंका जाता है,तो कुल संभावित परिणामों की संख्या $6 \times 6 = 36$ होती है।
मान लीजिए $A$ वह घटना है कि दोनों पासों पर संख्याओं का योग $4$ है।
इस घटना के लिए अनुकूल परिणाम $(1, 3), (2, 2),$ और $(3, 1)$ हैं।
अतः,अनुकूल परिणामों की संख्या $m = 3$ है।
घटना $A$ की प्रायिकता का सूत्र $P(A) = \frac{\text{अनुकूल परिणामों की संख्या}}{\text{कुल परिणामों की संख्या}}$ है।
$P(A) = \frac{3}{36} = \frac{1}{12}$.