Mix Examples - Probability Questions in Hindi

(C) एक निष्पक्ष पासे को फेंकने के प्रयोग में,संभावित सभी समप्रायिक परिणाम $1, 2, 3, 4, 5$ और $6$ हैं।
माना घटना $A$ 'पासे पर $2$ प्राप्त करने' की घटना है। तब,घटना $A$ के अनुकूल परिणामों की संख्या केवल $1$ है।
$\therefore P(A) = \text{P(पासे पर } 2 \text{ प्राप्त करना)}$
$= \frac{\text{घटना } A \text{ के अनुकूल परिणामों की संख्या}}{\text{सभी संभावित परिणामों की कुल संख्या}}$
$= \frac{1}{6}$
अतः,पासे पर संख्या $2$ प्राप्त करने की प्रायिकता $\frac{1}{6}$ है।

(D) एक संतुलित पासे को एक बार फेंकने के प्रयोग में छह प्रारंभिक परिणाम होते हैं: $1, 2, 3, 4, 5, 6$.
माना घटना $A$ है: 'पासे पर प्राप्त संख्या एक अभाज्य संख्या है'।
यहाँ अभाज्य संख्याएँ $2, 3, 5$ हैं।
अतः,घटना $A$ के अनुकूल परिणामों की संख्या $3$ है।
कुल संभावित परिणामों की संख्या $6$ है।
इसलिए,घटना $A$ की प्रायिकता $P(A) = \frac{\text{अनुकूल परिणामों की संख्या}}{\text{कुल संभावित परिणामों की संख्या}} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$.
अतः,पासे पर एक अभाज्य संख्या प्राप्त करने की प्रायिकता $\frac{1}{2}$ है।

(A) एक संतुलित पासे को एक बार फेंकने के प्रयोग में छह प्रारंभिक परिणाम होते हैं: $1, 2, 3, 4, 5, 6$.
माना घटना $A$ है: 'पासे पर आने वाली संख्या $4$ से बड़ी है।'
घटना $A$ के अनुकूल परिणाम $5$ और $6$ हैं।
अतः,घटना $A$ के अनुकूल परिणामों की संख्या $2$ है।
$\therefore P(A) = P(\text{पासे पर आने वाली संख्या } 4 \text{ \text{से बड़ी है}}) = \frac{\text{घटना } A \text{ \text{के अनुकूल परिणामों की संख्या}}}{\text{कुल संभावित परिणामों की संख्या}}$.
$P(A) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$.
इस प्रकार,$4$ से बड़ी संख्या प्राप्त करने की प्रायिकता $\frac{1}{3}$ है।

(B) एक संतुलित पासे को एक बार फेंकने के प्रयोग में छह प्रारंभिक परिणाम होते हैं: $1, 2, 3, 4, 5, 6$।
माना घटना $B$: 'पासे पर आने वाली संख्या $4$ से छोटी है।'
घटना $B$ के अनुकूल परिणाम $1, 2$ और $3$ हैं।
अतः,घटना $B$ के अनुकूल परिणामों की संख्या $3$ है।
इसलिए,प्रायिकता $P(B)$ इस प्रकार है:
$P(B) = \frac{B \text{ के अनुकूल परिणामों की संख्या}}{\text{कुल संभावित परिणामों की संख्या}}$
$P(B) = \frac{3}{6}$
$P(B) = \frac{1}{2}$
इस प्रकार,$4$ से छोटी संख्या प्राप्त करने की प्रायिकता $\frac{1}{2}$ है।

(C) $52$ ताश के पत्तों की एक अच्छी तरह से फेंटी गई गड्डी से यादृच्छिक रूप से एक पत्ता निकालने के प्रयोग में,
कुल प्रारंभिक परिणामों की संख्या $52$ है।
मान लीजिए घटना $A$ है: "निकाला गया पत्ता सात (seven) है।"
घटना $A$ के अनुकूल परिणामों की संख्या $4$ है,क्योंकि ताश की गड्डी में कुल $4$ सात होते हैं (प्रत्येक सूट में एक)।
अतः,प्रायिकता $P(A)$ अनुकूल परिणामों और कुल परिणामों का अनुपात है:
$P(A) = \frac{4}{52} = \frac{1}{13}$.
इस प्रकार,निकाले गए पत्ते के सात होने की प्रायिकता $\frac{1}{13}$ है।

(D) $52$ ताश के पत्तों की एक अच्छी तरह से फेंटी गई गड्डी में से एक पत्ता यादृच्छिक रूप से चुनने के प्रयोग में,कुल प्रारंभिक परिणामों की संख्या $52$ है।
मान लीजिए घटना $B$ है: "चुना गया पत्ता हुकुम का है।"
घटना $B$ के अनुकूल परिणामों की संख्या $13$ है,क्योंकि ताश की गड्डी में हुकुम के $13$ पत्ते होते हैं।
अतः,प्रायिकता $P(B)$ इस प्रकार है:
$P(B) = \frac{\text{अनुकूल परिणामों की संख्या}}{\text{कुल परिणामों की संख्या}} = \frac{13}{52} = \frac{1}{4}$.
इस प्रकार,चुने गए पत्ते के हुकुम का होने की प्रायिकता $\frac{1}{4}$ है।

(A) $52$ ताश के पत्तों की एक अच्छी तरह से फेंटी गई गड्डी में से एक पत्ता यादृच्छिक रूप से चुनने के प्रयोग में,कुल प्रारंभिक परिणामों की संख्या $52$ है।
माना घटना $C$ वह घटना है जिसमें चुना गया पत्ता काले रंग का (black suit) है।
$52$ पत्तों की गड्डी में दो काले रंग के सूट होते हैं: हुकुम (Spades - $13$ पत्ते) और चिड़ी (Clubs - $13$ पत्ते)।
इसलिए,घटना $C$ के अनुकूल परिणामों की संख्या $13 + 13 = 26$ है।
घटना $C$ की प्रायिकता $P(C) = \frac{\text{अनुकूल परिणामों की संख्या}}{\text{कुल परिणामों की संख्या}}$ द्वारा दी जाती है।
$P(C) = \frac{26}{52} = \frac{1}{2}$.
अतः,चुने गए पत्ते के काले रंग का होने की प्रायिकता $1/2$ है।

(B) $52$ ताश के पत्तों की एक अच्छी तरह से फेंटी गई गड्डी में से एक पत्ता यादृच्छिक रूप से चुनने के प्रयोग में,कुल प्रारंभिक परिणामों की संख्या $52$ है।
मान लीजिए घटना $D$ वह घटना है जिसमें चुना गया पत्ता राजा नहीं है।
मान लीजिए घटना $\bar{D}$ वह घटना है जिसमें चुना गया पत्ता राजा है।
घटना $\bar{D}$ के अनुकूल परिणामों की संख्या $4$ है,क्योंकि ताश की गड्डी में $4$ राजा होते हैं।
इसलिए,$P(\bar{D}) = \frac{4}{52} = \frac{1}{13}$।
पूरक घटना के नियम का उपयोग करते हुए,$P(D) = 1 - P(\bar{D})$।
इसलिए,$P(D) = 1 - \frac{1}{13} = \frac{12}{13}$।
अतः,इस बात की प्रायिकता कि चुना गया पत्ता राजा नहीं है,$\frac{12}{13}$ है।

(C) $52$ ताश के पत्तों की एक अच्छी तरह से फेंटी गई गड्डी में से एक पत्ता यादृच्छिक रूप से चुनने के प्रयोग में,कुल प्रारंभिक परिणामों की संख्या $52$ है।
मान लीजिए घटना $E$: 'चुना गया पत्ता पान की बेगम है।'
घटना $E$ के अनुकूल परिणामों की संख्या $1$ है,क्योंकि ताश की गड्डी में पान की बेगम केवल एक ही होती है।
घटना की प्रायिकता का सूत्र है: $P(E) = \frac{\text{अनुकूल परिणामों की संख्या}}{\text{कुल संभावित परिणामों की संख्या}}$.
अतः,$P(E) = \frac{1}{52}$.
इस प्रकार,चुने गए पत्ते के पान की बेगम होने की प्रायिकता $\frac{1}{52}$ है।

(D) जब दो निष्पक्ष पासों को फेंका जाता है,तो कुल संभावित परिणामों की संख्या $6 \times 6 = 36$ होती है। प्रतिदर्श समष्टि $S$ इस प्रकार है:
$S = \{(1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (1,6), (2,1), (2,2), (2,3), (2,4), (2,5), (2,6), (3,1), (3,2), (3,3), (3,4), (3,5), (3,6), (4,1), (4,2), (4,3), (4,4), (4,5), (4,6), (5,1), (5,2), (5,3), (5,4), (5,5), (5,6), (6,1), (6,2), (6,3), (6,4), (6,5), (6,6)\}$
मान लीजिए $A$ वह घटना है कि दो पासों पर संख्याओं का योग $8$ है।
घटना $A$ के अनुकूल परिणाम $(2,6), (3,5), (4,4), (5,3), (6,2)$ हैं।
अनुकूल परिणामों की संख्या $n(A) = 5$ है।
घटना $A$ की प्रायिकता $P(A) = \frac{n(A)}{n(S)} = \frac{5}{36}$ द्वारा दी जाती है।

(A) जब दो निष्पक्ष पासों को फेंका जाता है,तो प्रतिदर्श समष्टि $S$ में सभी संभावित क्रमित युग्म $(x, y)$ शामिल होते हैं जहाँ $x, y \in \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$।
कुल प्राथमिक परिणामों की संख्या $6 \times 6 = 36$ है।
प्रतिदर्श समष्टि इस प्रकार है:
$S = \{(1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (1,6), (2,1), (2,2), (2,3), (2,4), (2,5), (2,6), (3,1), (3,2), (3,3), (3,4), (3,5), (3,6), (4,1), (4,2), (4,3), (4,4), (4,5), (4,6), (5,1), (5,2), (5,3), (5,4), (5,5), (5,6), (6,1), (6,2), (6,3), (6,4), (6,5), (6,6)\}$
मान लीजिए $B$ वह घटना है कि दोनों पासों पर संख्याओं का योग $4$ है।
घटना $B$ के अनुकूल परिणाम $(1,3), (2,2), (3,1)$ हैं।
अनुकूल परिणामों की संख्या $n(B) = 3$ है।
घटना $B$ की प्रायिकता $P(B) = \frac{n(B)}{n(S)} = \frac{3}{36} = \frac{1}{12}$ द्वारा प्राप्त होती है।

(B) जब दो निष्पक्ष पासों को फेंका जाता है,तो कुल संभावित परिणामों की संख्या $6 \times 6 = 36$ होती है। प्रतिदर्श समष्टि $S$ इस प्रकार है:
$S = \{(1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (1,6), (2,1), (2,2), (2,3), (2,4), (2,5), (2,6), (3,1), (3,2), (3,3), (3,4), (3,5), (3,6), (4,1), (4,2), (4,3), (4,4), (4,5), (4,6), (5,1), (5,2), (5,3), (5,4), (5,5), (5,6), (6,1), (6,2), (6,3), (6,4), (6,5), (6,6)\}$
माना घटना $C$ वह घटना है जिसमें दोनों पासों पर आई संख्याओं का योग $9$ से अधिक है। इसका अर्थ है कि योग $10, 11$ या $12$ हो सकता है।
घटना $C$ के अनुकूल परिणाम निम्नलिखित हैं:
योग $= 10: (4,6), (5,5), (6,4)$
योग $= 11: (5,6), (6,5)$
योग $= 12: (6,6)$
अतः,अनुकूल परिणामों की संख्या $n(C) = 3 + 2 + 1 = 6$ है।
घटना $C$ की प्रायिकता $P(C) = \frac{n(C)}{n(S)} = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}$ है।

(C) जब दो निष्पक्ष पासों को फेंका जाता है,तो प्रतिदर्श समष्टि $S$ में $6 \times 6 = 36$ संभावित परिणाम होते हैं:
$S = \{(1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (1,6), (2,1), (2,2), (2,3), (2,4), (2,5), (2,6), (3,1), (3,2), (3,3), (3,4), (3,5), (3,6), (4,1), (4,2), (4,3), (4,4), (4,5), (4,6), (5,1), (5,2), (5,3), (5,4), (5,5), (5,6), (6,1), (6,2), (6,3), (6,4), (6,5), (6,6)\}$
कुल परिणामों की संख्या $n(S) = 36$ है।
मान लीजिए $E$ वह घटना है कि दोनों पासों पर आई संख्याओं का योग $5$ से कम है।
$5$ से कम संभावित योग $2, 3,$ और $4$ हो सकते हैं।
घटना $E$ के अनुकूल परिणाम इस प्रकार हैं:
योग $= 2: (1,1)$
योग $= 3: (1,2), (2,1)$
योग $= 4: (1,3), (2,2), (3,1)$
अतः,अनुकूल परिणामों की संख्या $n(E) = 1 + 2 + 3 = 6$ है।
प्रायिकता $P(E) = \frac{n(E)}{n(S)} = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}$.

(D) जब दो निष्पक्ष पासों को फेंका जाता है,तो संभावित परिणामों की कुल संख्या $6 \times 6 = 36$ होती है। प्रतिदर्श समष्टि $S$ इस प्रकार है:
$S = \{(1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (1,6), (2,1), (2,2), (2,3), (2,4), (2,5), (2,6), (3,1), (3,2), (3,3), (3,4), (3,5), (3,6), (4,1), (4,2), (4,3), (4,4), (4,5), (4,6), (5,1), (5,2), (5,3), (5,4), (5,5), (5,6), (6,1), (6,2), (6,3), (6,4), (6,5), (6,6)\}$
मान लीजिए $E$ वह घटना है कि दोनों पासों पर संख्याओं का योग $3$ या $4$ का गुणज है। संभावित योग $2$ से $12$ तक हैं। $3$ के गुणज $3, 6, 9, 12$ हैं। $4$ के गुणज $4, 8, 12$ हैं।
अतः,हमें योग $\{3, 4, 6, 8, 9, 12\}$ समुच्चय में चाहिए।
योग $3$ वाले परिणाम: $(1,2), (2,1)$
योग $4$ वाले परिणाम: $(1,3), (2,2), (3,1)$
योग $6$ वाले परिणाम: $(1,5), (2,4), (3,3), (4,2), (5,1)$
योग $8$ वाले परिणाम: $(2,6), (3,5), (4,4), (5,3), (6,2)$
योग $9$ वाले परिणाम: $(3,6), (4,5), (5,4), (6,3)$
योग $12$ वाले परिणाम: $(6,6)$
कुल अनुकूल परिणाम = $2 + 3 + 5 + 5 + 4 + 1 = 20$.
प्रायिकता $P(E) = \frac{\text{अनुकूल परिणामों की संख्या}}{\text{कुल परिणामों की संख्या}} = \frac{20}{36} = \frac{5}{9}$.

(A) जब दो निष्पक्ष पासों को फेंका जाता है,तो कुल संभावित परिणामों की संख्या $6 \times 6 = 36$ होती है। प्रतिदर्श समष्टि $S$ इस प्रकार है:
$S = \{(1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (1,6), (2,1), (2,2), (2,3), (2,4), (2,5), (2,6), (3,1), (3,2), (3,3), (3,4), (3,5), (3,6), (4,1), (4,2), (4,3), (4,4), (4,5), (4,6), (5,1), (5,2), (5,3), (5,4), (5,5), (5,6), (6,1), (6,2), (6,3), (6,4), (6,5), (6,6)\}$
हमें चाहिए कि दोनों पासों पर आई संख्याओं का योग $3$ और $4$ दोनों का गुणज हो। $3$ और $4$ का लघुत्तम समापवर्त्य $(LCM)$ $12$ है। अतः,हम उन परिणामों की तलाश कर रहे हैं जहाँ योग $12$ हो।
एकमात्र परिणाम जहाँ योग $12$ है,वह $(6,6)$ है।
अनुकूल परिणामों की संख्या $= 1$.
प्रायिकता $P(E) = \frac{\text{अनुकूल परिणामों की संख्या}}{\text{कुल परिणामों की संख्या}} = \frac{1}{36}$.

(B) जब दो निष्पक्ष पासों को फेंका जाता है,तो कुल संभावित परिणामों की संख्या $6 \times 6 = 36$ होती है। प्रतिदर्श समष्टि $S$ इस प्रकार है:
$S = \{(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (2, 6), (3, 1), (3, 2), (3, 3), (3, 4), (3, 5), (3, 6), (4, 1), (4, 2), (4, 3), (4, 4), (4, 5), (4, 6), (5, 1), (5, 2), (5, 3), (5, 4), (5, 5), (5, 6), (6, 1), (6, 2), (6, 3), (6, 4), (6, 5), (6, 6)\}$
मान लीजिए $E$ वह घटना है कि दोनों पासों पर आई संख्याओं का योग एक अभाज्य संख्या है। संभावित अभाज्य योग $2, 3, 5, 7,$ और $11$ हैं।
घटना $E$ के अनुकूल परिणाम इस प्रकार हैं:
योग $= 2: (1, 1)$
योग $= 3: (1, 2), (2, 1)$
योग $= 5: (1, 4), (2, 3), (3, 2), (4, 1)$
योग $= 7: (1, 6), (2, 5), (3, 4), (4, 3), (5, 2), (6, 1)$
योग $= 11: (5, 6), (6, 5)$
अनुकूल परिणामों की कुल संख्या $= 1 + 2 + 4 + 6 + 2 = 15$.
अतः,प्रायिकता $P(E) = \frac{\text{अनुकूल परिणामों की संख्या}}{\text{कुल परिणामों की संख्या}} = \frac{15}{36} = \frac{5}{12}$.

(C) जब दो निष्पक्ष पासों को फेंका जाता है,तो कुल संभावित परिणामों की संख्या $6 \times 6 = 36$ होती है।
संभावित परिणाम इस प्रकार हैं:
$(1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (1,6)$
$(2,1), (2,2), (2,3), (2,4), (2,5), (2,6)$
$(3,1), (3,2), (3,3), (3,4), (3,5), (3,6)$
$(4,1), (4,2), (4,3), (4,4), (4,5), (4,6)$
$(5,1), (5,2), (5,3), (5,4), (5,5), (5,6)$
$(6,1), (6,2), (6,3), (6,4), (6,5), (6,6)$
मान लीजिए $H$ वह घटना है कि दोनों पासों पर आई संख्याओं का योग $18$ का एक गुणनखंड है। $18$ के गुणनखंड $1, 2, 3, 6, 9, 18$ हैं। चूंकि न्यूनतम योग $2$ और अधिकतम योग $12$ है,इसलिए $18$ के गुणनखंड होने वाले संभावित योग $2, 3, 6, 9$ हैं।
प्रत्येक योग के लिए अनुकूल परिणाम:
योग $= 2: (1,1)$
योग $= 3: (1,2), (2,1)$
योग $= 6: (1,5), (2,4), (3,3), (4,2), (5,1)$
योग $= 9: (3,6), (4,5), (5,4), (6,3)$
अनुकूल परिणामों की कुल संख्या $= 1 + 2 + 5 + 4 = 12$.
प्रायिकता $P(H) = \frac{\text{अनुकूल परिणामों की संख्या}}{\text{कुल परिणामों की संख्या}} = \frac{12}{36} = \frac{1}{3}$.

(D) दो निष्पक्ष पासों को फेंकने के प्रयोग के लिए प्रतिदर्श समष्टि $S$ उन सभी संभावित क्रमित युग्मों $(x, y)$ का समुच्चय है जहाँ $x, y \in \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ है।
कुल $6 \times 6 = 36$ संभावित परिणाम हैं:
$S = \{(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (2, 6), (3, 1), (3, 2), (3, 3), (3, 4), (3, 5), (3, 6), (4, 1), (4, 2), (4, 3), (4, 4), (4, 5), (4, 6), (5, 1), (5, 2), (5, 3), (5, 4), (5, 5), (5, 6), (6, 1), (6, 2), (6, 3), (6, 4), (6, 5), (6, 6)\}$
मान लीजिए $E$ वह घटना है कि दो पासों पर संख्याओं का योग $13$ से कम है।
न्यूनतम योग $1 + 1 = 2$ है और अधिकतम योग $6 + 6 = 12$ है।
चूंकि अधिकतम संभावित योग $12$ है,जो हमेशा $13$ से कम होता है,प्रतिदर्श समष्टि का प्रत्येक परिणाम इस शर्त को पूरा करता है।
अतः,$E = S$ और अनुकूल परिणामों की संख्या $36$ है।
प्रायिकता $P(E) = \frac{\text{अनुकूल परिणामों की संख्या}}{\text{कुल परिणामों की संख्या}} = \frac{36}{36} = 1$.
इसलिए,प्रायिकता $1$ है।

(A) दो निष्पक्ष पासों को फेंकने के प्रयोग में सभी संभावित परिणाम इस प्रकार हैं:
$(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6)$
$(2, 1), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (2, 6)$
$(3, 1), (3, 2), (3, 3), (3, 4), (3, 5), (3, 6)$
$(4, 1), (4, 2), (4, 3), (4, 4), (4, 5), (4, 6)$
$(5, 1), (5, 2), (5, 3), (5, 4), (5, 5), (5, 6)$
$(6, 1), (6, 2), (6, 3), (6, 4), (6, 5), (6, 6)$
अतः,कुल प्रारंभिक परिणामों की संख्या $36$ है।
माना घटना $J$ है: 'दोनों पासों पर संख्याओं का योग $2$ से कम है।'
दो पासों पर संख्याओं का न्यूनतम योग $1 + 1 = 2$ होता है।
चूंकि दो पासों पर संख्याओं का योग हमेशा $2$ से $12$ के बीच होता है,इसलिए यह कभी भी $2$ से कम नहीं हो सकता।
अतः,घटना $J$ एक असंभव घटना है।
असंभव घटना की प्रायिकता $0$ होती है।
इसलिए,$P(J) = 0$.

(B) $20$ बल्बों वाले कार्टन से यादृच्छिक रूप से एक बल्ब चुनने के प्रयोग में कुल प्रारंभिक परिणामों की संख्या $20$ है।
कार्टन में बल्बों की कुल संख्या $= 20$.
कार्टन में खराब बल्बों की संख्या $= 4$.
इसलिए,कार्टन में सही (खराब न होने वाले) बल्बों की संख्या $= 20 - 4 = 16$.
मान लीजिए घटना $A$ वह घटना है जिसमें यादृच्छिक रूप से चुना गया बल्ब सही है।
घटना $A$ के अनुकूल परिणामों की संख्या $= 16$.
घटना $A$ की प्रायिकता $P(A) = \frac{\text{अनुकूल परिणामों की संख्या}}{\text{कुल परिणामों की संख्या}}$ द्वारा दी जाती है।
$P(A) = \frac{16}{20} = \frac{4}{5}$.
अतः,यादृच्छिक रूप से चुने गए बल्ब के सही होने की प्रायिकता $\frac{4}{5}$ है।

(C) बक्से में गेंदों की कुल संख्या $= 5 + 8 + 4 = 17$.
अतः,बक्से से एक गेंद निकालने के प्रयोग में कुल संभावित परिणामों की संख्या $= 17$.
मान लीजिए घटना $A$ वह घटना है कि निकाली गई गेंद लाल है।
बक्से में $5$ लाल गेंदें हैं।
अतः,घटना $A$ के अनुकूल परिणामों की संख्या $= 5$.
किसी घटना की प्रायिकता का सूत्र है: $P(A) = \frac{\text{अनुकूल परिणामों की संख्या}}{\text{कुल संभावित परिणामों की संख्या}}$.
इस प्रकार,$P(A) = \frac{5}{17}$.

(D) बक्से में गेंदों की कुल संख्या $= 5 + 8 + 4 = 17$.
अतः,बक्से से एक गेंद निकालने के प्रयोग में कुल प्रारंभिक परिणामों की संख्या $= 17$.
मान लीजिए घटना $B$ है: 'निकाली गई गेंद सफेद है'।
बक्से में $8$ सफेद गेंदें हैं।
अतः,घटना $B$ के अनुकूल परिणामों की संख्या $= 8$.
किसी घटना की प्रायिकता का सूत्र है: $P(E) = \frac{\text{अनुकूल परिणामों की संख्या}}{\text{कुल संभावित परिणामों की संख्या}}$.
इस प्रकार,$P(B) = \frac{8}{17}$.

(A) बक्से में गेंदों की कुल संख्या $= 5 + 8 + 4 = 17$.
इसलिए,बक्से से एक गेंद निकालने के प्रयोग में कुल संभावित परिणामों की संख्या $= 17$.
माना घटना $C$ वह घटना है कि निकाली गई गेंद हरी नहीं है।
माना घटना $\overline{C}$ वह घटना है कि निकाली गई गेंद हरी है।
बक्से में $4$ हरी गेंदें हैं।
इसलिए,घटना $\overline{C}$ के अनुकूल परिणामों की संख्या $= 4$.
अतः,$P(\overline{C}) = \frac{4}{17}$.
पूरक घटनाओं के गुण का उपयोग करते हुए,$P(C) = 1 - P(\overline{C})$.
इसलिए,$P(C) = 1 - \frac{4}{17} = \frac{17 - 4}{17} = \frac{13}{17}$.

(B) किसी भी वर्ष में जुलाई के महीने में $31$ दिन होते हैं।
ये $31$ दिन $4$ पूर्ण सप्ताह और $3$ अतिरिक्त दिनों से मिलकर बने होते हैं।
अतः,सप्ताह का प्रत्येक दिन कम से कम $4$ बार अवश्य आएगा।
शेष $3$ दिन निम्नलिखित $7$ संभावित त्रिकों में से कोई भी हो सकते हैं:
$1$. (रविवार,सोमवार,मंगलवार)
$2$. (सोमवार,मंगलवार,बुधवार)
$3$. (मंगलवार,बुधवार,गुरुवार)
$4$. (बुधवार,गुरुवार,शुक्रवार)
$5$. (गुरुवार,शुक्रवार,शनिवार)
$6$. (शुक्रवार,शनिवार,रविवार)
$7$. (शनिवार,रविवार,सोमवार)
कुल प्रारंभिक परिणामों की संख्या $= 7$ है।
वे परिणाम जिनमें रविवार शामिल है:
$1$. (रविवार,सोमवार,मंगलवार)
$6$. (शुक्रवार,शनिवार,रविवार)
$7$. (शनिवार,रविवार,सोमवार)
अनुकूल परिणामों की संख्या $= 3$ है।
अतः,अभीष्ट प्रायिकता $= \frac{\text{अनुकूल परिणामों की संख्या}}{\text{कुल परिणामों की संख्या}} = \frac{3}{7}$.

(C) एक लीप वर्ष में $366$ दिन होते हैं,जो $52$ पूर्ण सप्ताह और $2$ अतिरिक्त दिनों के बराबर होते हैं।
चूंकि $52$ सप्ताह में $52$ गुरुवार होते हैं,इसलिए $53$वें गुरुवार का होना शेष $2$ दिनों पर निर्भर करता है।
इन $2$ दिनों के लिए संभावित जोड़े हैं:
(रविवार,सोमवार),(सोमवार,मंगलवार),(मंगलवार,बुधवार),(बुधवार,गुरुवार),(गुरुवार,शुक्रवार),(शुक्रवार,शनिवार),(शनिवार,रविवार)।
कुल संभावित परिणामों की संख्या $7$ है।
वे परिणाम जिनमें गुरुवार शामिल है,वे (बुधवार,गुरुवार) और (गुरुवार,शुक्रवार) हैं।
अतः,अनुकूल परिणामों की संख्या $2$ है।
प्रायिकता = $\frac{\text{अनुकूल परिणामों की संख्या}}{\text{कुल परिणामों की संख्या}} = \frac{2}{7}$।

(D) आयत का क्षेत्रफल $=$ लंबाई $\times$ चौड़ाई
$= 28 \, cm \times 22 \, cm = 616 \, cm^2$
वृत्त के लिए,त्रिज्या $r = 7 \, cm$
वृत्त का क्षेत्रफल $= \pi r^2 = \frac{22}{7} \times 7 \times 7 = 154 \, cm^2$
आयत पर गिरने वाली गेंद के वृत्त पर गिरने की प्रायिकता,वृत्त के क्षेत्रफल और आयत के क्षेत्रफल के अनुपात द्वारा दी जाती है।
अभीष्ट प्रायिकता $= \frac{\text{वृत्त का क्षेत्रफल}}{\text{आयत का क्षेत्रफल}}$
$= \frac{154}{616} = \frac{1}{4}$
अतः,प्रायिकता $\frac{1}{4}$ है।

(A) तीन संतुलित सिक्कों को एक साथ उछालने के प्रयोग में,प्रतिदर्श समष्टि $S$ में निम्नलिखित प्रारंभिक परिणाम होते हैं:
$S = \{(HHH), (HHT), (HTH), (THH), (HTT), (THT), (TTH), (TTT)\}$
जहाँ $H$ चित (head) को और $T$ पट (tail) को दर्शाता है।
कुल प्रारंभिक परिणामों की संख्या $= 8$ है।
माना घटना $A$ कम से कम दो चित प्राप्त करने की घटना है (अर्थात $2$ या $3$ चित)।
घटना $A$ के अनुकूल परिणाम हैं: $(HHH), (HHT), (HTH), (THH)$।
अनुकूल परिणामों की संख्या $= 4$ है।
घटना $A$ की प्रायिकता $P(A) = \frac{\text{अनुकूल परिणामों की संख्या}}{\text{कुल परिणामों की संख्या}}$ द्वारा दी जाती है।
$P(A) = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}$।
अतः,कम से कम दो चित प्राप्त करने की प्रायिकता $\frac{1}{2}$ है।

(B) जब एक संतुलित पासा फेंका जाता है,तो कुल संभावित परिणाम $S = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ होते हैं,इसलिए कुल परिणामों की संख्या $n(S) = 6$ है।
मान लीजिए $E$ पासे पर सम संख्या आने की घटना है।
पासे पर सम संख्याएँ $\{2, 4, 6\}$ हैं,इसलिए अनुकूल परिणामों की संख्या $n(E) = 3$ है।
घटना $E$ की प्रायिकता $P(E) = \frac{n(E)}{n(S)} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$ द्वारा दी जाती है।

(C) जब एक संतुलित पासा फेंका जाता है,तो प्रतिदर्श समष्टि $S = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ होती है।
कुल संभावित परिणामों की संख्या $n(S) = 6$ है।
माना $E$ वह घटना है जिसमें पासे पर आने वाली संख्या $3$ का गुणज है।
प्रतिदर्श समष्टि में $3$ के गुणज $3$ और $6$ हैं।
अतः,अनुकूल परिणाम $E = \{3, 6\}$ हैं।
अनुकूल परिणामों की संख्या $n(E) = 2$ है।
प्रायिकता $P(E)$ का सूत्र $P(E) = \frac{n(E)}{n(S)}$ है।
मान रखने पर,$P(E) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$ प्राप्त होता है।

(D) जब एक संतुलित पासा फेंका जाता है,तो कुल संभावित परिणाम $S = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ होते हैं।
अतः,कुल परिणामों की संख्या $n(S) = 6$ है।
माना $E$ वह घटना है कि पासे पर आने वाली संख्या $3$ से छोटी है।
अनुकूल परिणाम $E = \{1, 2\}$ हैं।
अतः,अनुकूल परिणामों की संख्या $n(E) = 2$ है।
प्रायिकता $P(E)$ का सूत्र $P(E) = \frac{n(E)}{n(S)}$ है।
$P(E) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$.

(A) जब दो पासे फेंके जाते हैं,तो कुल संभावित परिणामों की संख्या $6 \times 6 = 36$ होती है।
मान लीजिए परिणाम $(x, y)$ हैं जहाँ $x$ और $y$ क्रमशः पहले और दूसरे पासे पर आई संख्याएँ हैं।
योग $(x + y)$ सम होगा यदि:
$1.$ $x$ और $y$ दोनों विषम हों: $x$ के लिए $3$ विकल्प $(1, 3, 5)$ और $y$ के लिए $3$ विकल्प $(1, 3, 5)$ हैं। कुल परिणाम = $3 \times 3 = 9$.
$2.$ $x$ और $y$ दोनों सम हों: $x$ के लिए $3$ विकल्प $(2, 4, 6)$ और $y$ के लिए $3$ विकल्प $(2, 4, 6)$ हैं। कुल परिणाम = $3 \times 3 = 9$.
कुल अनुकूल परिणाम = $9 + 9 = 18$.
प्रायिकता = $\frac{\text{अनुकूल परिणाम}}{\text{कुल परिणाम}} = \frac{18}{36} = \frac{1}{2}$.

(B) जब दो संतुलित पासे फेंके जाते हैं,तो कुल संभावित परिणामों की संख्या $6 \times 6 = 36$ होती है।
दोनों पासों पर संख्याओं का योग विषम तब होता है जब एक पासे पर सम संख्या और दूसरे पर विषम संख्या हो।
मान लीजिए $E$ वह घटना है कि योग विषम है।
(विषम,सम) के लिए संभावित परिणाम: $(1,2), (1,4), (1,6), (3,2), (3,4), (3,6), (5,2), (5,4), (5,6)$ (कुल $9$ परिणाम)।
(सम,विषम) के लिए संभावित परिणाम: $(2,1), (2,3), (2,5), (4,1), (4,3), (4,5), (6,1), (6,3), (6,5)$ (कुल $9$ परिणाम)।
कुल अनुकूल परिणाम = $9 + 9 = 18$।
प्रायिकता $P(E) = \frac{\text{अनुकूल परिणाम}}{\text{कुल परिणाम}} = \frac{18}{36} = \frac{1}{2}$।

(C) जब दो संतुलित पासे फेंके जाते हैं,तो कुल संभावित परिणामों की संख्या $6 \times 6 = 36$ होती है।
माना $S$ दोनों पासों पर संख्याओं का योग है। $S$ के संभावित मान $2$ से $12$ तक हैं।
इस सीमा में $5$ के गुणज $5$ और $10$ हैं।
हम उन युग्मों $(d_1, d_2)$ की पहचान करते हैं जिनका योग ये मान हैं:
$S = 5$ के लिए: $(1, 4), (2, 3), (3, 2), (4, 1)$ (कुल $4$ परिणाम)।
$S = 10$ के लिए: $(4, 6), (5, 5), (6, 4)$ (कुल $3$ परिणाम)।
अनुकूल परिणामों की कुल संख्या $4 + 3 = 7$ है।
अतः,प्रायिकता $P = \frac{\text{अनुकूल परिणाम}}{\text{कुल परिणाम}} = \frac{7}{36}$।

(D) जब दो संतुलित पासे फेंके जाते हैं,तो कुल संभावित परिणामों की संख्या $6 \times 6 = 36$ होती है।
दोनों पासों पर संख्याओं का योग $2$ से $12$ के बीच होता है।
$6$ के गुणज वाले योग $6$ और $12$ हैं।
योग $6$ प्राप्त करने के लिए संभावित परिणाम $(1, 5), (2, 4), (3, 3), (4, 2), (5, 1)$ हैं। ऐसे कुल $5$ परिणाम हैं।
योग $12$ प्राप्त करने के लिए केवल एक संभावित परिणाम $(6, 6)$ है। ऐसा $1$ परिणाम है।
कुल अनुकूल परिणाम = $5 + 1 = 6$.
प्रायिकता = $\frac{\text{अनुकूल परिणामों की संख्या}}{\text{कुल परिणामों की संख्या}} = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}$.

(A) जब दो संतुलित पासे फेंके जाते हैं,तो कुल संभावित परिणामों की संख्या $6 \times 6 = 36$ होती है।
हमें वह प्रायिकता ज्ञात करनी है कि दोनों पासों पर संख्याओं का योग $8$ से अधिक हो।
$8$ से अधिक संभावित योग $9, 10, 11$ और $12$ हैं।
इन योगों को प्राप्त करने वाले परिणाम इस प्रकार हैं:
योग $= 9: (3, 6), (4, 5), (5, 4), (6, 3)$ ($4$ परिणाम)
योग $= 10: (4, 6), (5, 5), (6, 4)$ ($3$ परिणाम)
योग $= 11: (5, 6), (6, 5)$ ($2$ परिणाम)
योग $= 12: (6, 6)$ ($1$ परिणाम)
कुल अनुकूल परिणाम $= 4 + 3 + 2 + 1 = 10$.
प्रायिकता $= \frac{\text{अनुकूल परिणामों की संख्या}}{\text{कुल परिणामों की संख्या}} = \frac{10}{36} = \frac{5}{18}$.

(B) जब दो संतुलित पासे फेंके जाते हैं,तो कुल संभावित परिणामों की संख्या $6 \times 6 = 36$ होती है।
हमें वह प्रायिकता ज्ञात करनी है कि दोनों पासों पर संख्याओं का योग $7$ से कम हो।
वे संभावित परिणाम जिनका योग $7$ से कम है,इस प्रकार हैं:
योग $= 2$: $(1, 1)$ ($1$ परिणाम)
योग $= 3$: $(1, 2), (2, 1)$ ($2$ परिणाम)
योग $= 4$: $(1, 3), (2, 2), (3, 1)$ ($3$ परिणाम)
योग $= 5$: $(1, 4), (2, 3), (3, 2), (4, 1)$ ($4$ परिणाम)
योग $= 6$: $(1, 5), (2, 4), (3, 3), (4, 2), (5, 1)$ ($5$ परिणाम)
कुल अनुकूल परिणाम $= 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15$.
प्रायिकता $= \frac{\text{अनुकूल परिणामों की संख्या}}{\text{कुल परिणामों की संख्या}} = \frac{15}{36}$.
अंश और हर को $3$ से विभाजित करने पर,हमें $\frac{15 \div 3}{36 \div 3} = \frac{5}{12}$ प्राप्त होता है।

(C) अच्छी तरह से फेंटी गई ताश की गड्डी में कुल पत्तों की संख्या $52$ है।
इसलिए,कुल संभावित परिणामों की संख्या $n(S) = 52$ है।
ताश की एक मानक गड्डी में $4$ रानियाँ होती हैं (प्रत्येक सूट के लिए एक: पान,ईंट,चिड़ी और हुकुम)।
इसलिए,रानी प्राप्त करने के अनुकूल परिणामों की संख्या $n(E) = 4$ है।
घटना $E$ की प्रायिकता $P(E)$ का सूत्र इस प्रकार है:
$P(E) = \frac{n(E)}{n(S)}$
मान रखने पर:
$P(E) = \frac{4}{52} = \frac{1}{13}$
अतः,रानी निकालने की प्रायिकता $\frac{1}{13}$ है।

(D) ताश की एक अच्छी तरह से फेंटी गई गड्डी में कुल पत्तों की संख्या $52$ है।
फेस कार्ड वे पत्ते होते हैं जिन पर चेहरे बने होते हैं,जो राजा (King),रानी (Queen) और गुलाम (Jack) हैं।
प्रत्येक सूट में $3$ फेस कार्ड होते हैं (एक राजा,एक रानी और एक गुलाम)।
चूंकि एक गड्डी में $4$ सूट होते हैं (पान,ईंट,चिड़ी और हुकुम),इसलिए फेस कार्ड की कुल संख्या $4 \times 3 = 12$ है।
फेस कार्ड निकालने की प्रायिकता अनुकूल परिणामों की संख्या और कुल संभावित परिणामों की संख्या का अनुपात है।
प्रायिकता $P = \frac{\text{फेस कार्ड की संख्या}}{\text{कुल पत्तों की संख्या}} = \frac{12}{52}$।
अंश और हर को $4$ से विभाजित करने पर,हमें $P = \frac{3}{13}$ प्राप्त होता है।

(A) ताश की एक अच्छी तरह से फेंटी गई गड्डी में कुल पत्तों की संख्या $52$ है।
ताश की गड्डी में $4$ प्रकार के सूट होते हैं: पान (hearts),ईंट (diamonds),चिड़ी (clubs) और हुकुम (spades)।
प्रत्येक सूट में $13$ पत्ते होते हैं।
इसलिए,ईंट के पत्तों की संख्या $13$ है।
ईंट का पत्ता निकालने की प्रायिकता अनुकूल परिणामों की संख्या और कुल संभावित परिणामों की संख्या का अनुपात है।
प्रायिकता $P = \frac{\text{ईंट के पत्तों की संख्या}}{\text{कुल पत्तों की संख्या}} = \frac{13}{52} = \frac{1}{4}$.

(B) ताश की एक अच्छी तरह से फेंटी गई गड्डी में कुल पत्तों की संख्या $n(S) = 52$ है।
ताश की गड्डी में दो काले रंग के सूट होते हैं: हुकुम और चिड़ी।
प्रत्येक सूट में ठीक एक राजा होता है।
इसलिए,काले रंग के राजाओं की संख्या $n(E) = 2$ है (एक हुकुम का राजा और एक चिड़ी का राजा)।
काले रंग का राजा निकालने की प्रायिकता $P(E)$ सूत्र $P(E) = \frac{n(E)}{n(S)}$ द्वारा दी जाती है।
मान रखने पर,हमें $P(E) = \frac{2}{52} = \frac{1}{26}$ प्राप्त होता है।

(C) $50$ अंकों की परीक्षा में,एक छात्र द्वारा प्राप्त किए जा सकने वाले संभावित अंक $0$ से $50$ तक हैं।
संभावित परिणामों की कुल संख्या = $50 - 0 + 1 = 51$.
छात्र $0, 1, 2, \dots, 50$ में से कोई भी पूर्णांक अंक प्राप्त कर सकता है।
अनुकूल परिणाम $30$ अंक या $35$ अंक प्राप्त करना है।
अनुकूल परिणामों की संख्या = $2$ (विशेष रूप से $30$ और $35$ अंक)।
प्रायिकता = $\frac{\text{अनुकूल परिणामों की संख्या}}{\text{संभावित परिणामों की कुल संख्या}} = \frac{2}{51}$.

(D) कक्षा में छात्रों की कुल संख्या = $35 \text{ (लड़के)} + 25 \text{ (लड़कियाँ)} = 60$.
अनुकूल परिणामों की संख्या (एक लड़की का चयन) = $25$.
किसी घटना की प्रायिकता $P$ का सूत्र है: $P(\text{लड़की}) = \frac{\text{लड़कियों की संख्या}}{\text{छात्रों की कुल संख्या}}$.
$P(\text{लड़की}) = \frac{25}{60}$.
अंश और हर को $5$ से विभाजित करने पर, हमें प्राप्त होता है: $P(\text{लड़की}) = \frac{5}{12}$.

(A) खराब बॉलपेन की कुल संख्या = $12$.
अच्छे (बिना खराब) बॉलपेन की कुल संख्या = $132$.
ढेर में बॉलपेन की कुल संख्या = $12 + 132 = 144$.
खराब बॉलपेन चुनने की प्रायिकता खराब बॉलपेन की संख्या और कुल बॉलपेन की संख्या का अनुपात है。
$P(\text{खराब}) = \frac{\text{खराब बॉलपेन की संख्या}}{\text{कुल बॉलपेन की संख्या}} = \frac{12}{144} = \frac{1}{12}$.
अतः,प्रायिकता $\frac{1}{12}$ है。

(A) चाय के पैकेटों की कुल संख्या = $50$ है।
वजन में कम पैकेटों की संख्या = $5$ है।
किसी घटना $E$ की प्रायिकता $P(E)$ का सूत्र है: $P(E) = \frac{\text{अनुकूल परिणामों की संख्या}}{\text{कुल संभावित परिणामों की संख्या}}$.
यहाँ, अनुकूल परिणाम वजन में कम पैकेट का चयन करना है।
इसलिए, $P(\text{वजन में कम}) = \frac{5}{50} = \frac{1}{10} = 0.1$ है।
अतः, वजन में कम पैकेट चुने जाने की प्रायिकता $0.1$ है।

(B) गेंदों की कुल संख्या = $5 + 7 + 4 + 2 = 18$.
मान लीजिए $E$ सफेद या नीली गेंद चुनने की घटना है।
सफेद गेंदों की संख्या = $5$.
नीली गेंदों की संख्या = $2$.
अनुकूल परिणामों की संख्या = $5 + 2 = 7$.
प्रायिकता $P(E) = \frac{\text{अनुकूल परिणामों की संख्या}}{\text{कुल परिणामों की संख्या}} = \frac{7}{18}$.

(A) गेंदों की कुल संख्या $= 5 + 7 + 4 + 2 = 18$.
लाल गेंदों की संख्या $= 7$.
काली गेंदों की संख्या $= 4$.
अनुकूल परिणामों की संख्या (लाल या काली) $= 7 + 4 = 11$.
प्रायिकता $= \frac{\text{अनुकूल परिणामों की संख्या}}{\text{कुल परिणामों की संख्या}} = \frac{11}{18}$.

(D) गेंदों की कुल संख्या = $5 + 7 + 4 + 2 = 18$.
सफेद गेंदों की संख्या = $5$.
सफेद न होने वाली गेंदों की संख्या = कुल गेंदें - सफेद गेंदें = $18 - 5 = 13$.
सफेद न होने वाली गेंद चुनने की प्रायिकता = $\frac{\text{सफेद न होने वाली गेंदों की संख्या}}{\text{गेंदों की कुल संख्या}} = \frac{13}{18}$.

(A) गेंदों की कुल संख्या = $5 + 7 + 4 + 2 = 18$.
सफेद गेंदों की संख्या = $5$.
काली गेंदों की संख्या = $4$.
ऐसी गेंदों की संख्या जो न तो सफेद हैं और न ही काली = कुल गेंदें - (सफेद गेंदें + काली गेंदें) = $18 - (5 + 4) = 18 - 9 = 9$.
जो गेंदें न तो सफेद हैं और न ही काली,वे लाल और नीली गेंदें हैं,जिनकी संख्या $7 + 2 = 9$ है।
प्रायिकता = $\frac{\text{अनुकूल परिणामों की संख्या}}{\text{कुल परिणामों की संख्या}} = \frac{9}{18} = \frac{1}{2}$.

(B) जब दो पासे फेंके जाते हैं,तो कुल संभावित परिणामों की संख्या $6 \times 6 = 36$ होती है।
हमें वह प्रायिकता ज्ञात करनी है कि दोनों पासों पर संख्याओं का योग $S$ का मान $5$ और $9$ के बीच हो,जिसका अर्थ है $5 < S < 9$।
इसका तात्पर्य है कि योग $S$ का मान $6, 7,$ या $8$ हो सकता है।
- $S = 6$ के लिए,संभावित परिणाम $(1, 5), (2, 4), (3, 3), (4, 2), (5, 1)$ हैं,जो कुल $5$ परिणाम हैं।
- $S = 7$ के लिए,संभावित परिणाम $(1, 6), (2, 5), (3, 4), (4, 3), (5, 2), (6, 1)$ हैं,जो कुल $6$ परिणाम हैं।
- $S = 8$ के लिए,संभावित परिणाम $(2, 6), (3, 5), (4, 4), (5, 3), (6, 2)$ हैं,जो कुल $5$ परिणाम हैं।
कुल अनुकूल परिणाम = $5 + 6 + 5 = 16$।
प्रायिकता = $\frac{\text{अनुकूल परिणाम}}{\text{कुल परिणाम}} = \frac{16}{36} = \frac{4}{9}$।

(C) जब दो संतुलित पासे फेंके जाते हैं,तो कुल संभावित परिणामों की संख्या $6 \times 6 = 36$ होती है।
दोनों पासों पर संख्याओं का गुणनफल विषम होने के लिए,दोनों संख्याओं का विषम होना आवश्यक है।
पासे पर विषम संख्याएँ $\{1, 3, 5\}$ हैं।
अतः,अनुकूल परिणामों की संख्या $3 \times 3 = 9$ है।
अनुकूल परिणाम हैं: $(1,1), (1,3), (1,5), (3,1), (3,3), (3,5), (5,1), (5,3), (5,5)$।
प्रायिकता $P$ अनुकूल परिणामों और कुल परिणामों का अनुपात है:
$P = \frac{9}{36} = \frac{1}{4}$।