एक मेले में, $1$ से $1000$ तक की संख्या वाले कार्ड, एक कार्ड पर एक संख्या, एक बॉक्स में रखे गए हैं। प्रत्येक खिलाड़ी यादृच्छिक रूप से एक कार्ड चुनता है और उस कार्ड को वापस नहीं रखा जाता है। यदि चुने गए कार्ड पर $500$ से बड़ी पूर्ण वर्ग संख्या है, तो खिलाड़ी पुरस्कार जीतता है। क्या प्रायिकता है कि:
$(i)$ पहला खिलाड़ी पुरस्कार जीतता है?
$(ii)$ दूसरा खिलाड़ी पुरस्कार जीतता है, यदि पहला जीत चुका है?

(A) बॉक्स में कार्डों की कुल संख्या $n(S) = 1000$ है।
$(i)$ मान लीजिए $E_1$ वह घटना है कि पहला खिलाड़ी पुरस्कार जीतता है। यह तब होता है यदि खिलाड़ी $500$ से बड़ी पूर्ण वर्ग संख्या चुनता है।
$1$ से $1000$ के बीच पूर्ण वर्ग संख्याएँ $1^2, 2^2, \dots, 31^2 = 961$ हैं।
$500$ से बड़ी पूर्ण वर्ग संख्याएँ $23^2=529, 24^2=576, 25^2=625, 26^2=676, 27^2=729, 28^2=784, 29^2=841, 30^2=900, 31^2=961$ हैं।
ऐसे कुल $9$ कार्ड हैं।
अतः, $n(E_1) = 9$ है।
पहले खिलाड़ी के जीतने की प्रायिकता $P(E_1) = \frac{n(E_1)}{n(S)} = \frac{9}{1000} = 0.009$ है।
$(ii)$ यदि पहला खिलाड़ी जीत चुका है, तो एक कार्ड ($500$ से बड़ी पूर्ण वर्ग संख्या) बॉक्स से हटा दिया जाता है।
शेष कार्डों की संख्या $n(S') = 1000 - 1 = 999$ है।
$500$ से बड़ी शेष पूर्ण वर्ग संख्याओं की संख्या $n(E_2) = 9 - 1 = 8$ है।
यदि पहला खिलाड़ी जीत चुका है, तो दूसरे खिलाड़ी के जीतने की प्रायिकता $P(E_2|E_1) = \frac{n(E_2)}{n(S')} = \frac{8}{999}$ है।