Textbook - Pair of Linear Equations in Two Variables Questions in Gujarati

(N/A) આપેલા સમીકરણો:
$1) 3x - 5y = 4$
$2) 9x - 2y = 7$
લોપની રીત:
સમીકરણ $(1)$ ને $3$ વડે ગુણતા:
$9x - 15y = 12$ $(3)$
સમીકરણ $(3)$ માંથી સમીકરણ $(2)$ બાદ કરતા:
$(9x - 15y) - (9x - 2y) = 12 - 7$
$-13y = 5$
$y = -5/13$
$y = -5/13$ ની કિંમત સમીકરણ $(1)$ માં મૂકતા:
$3x - 5(-5/13) = 4$
$3x + 25/13 = 4$
$3x = 4 - 25/13 = (52 - 25)/13 = 27/13$
$x = 9/13$
આદેશની રીત:
સમીકરણ $(1)$ પરથી,$3x = 5y + 4$,તેથી $x = (5y + 4)/3$.
આ કિંમત સમીકરણ $(2)$ માં મૂકતા:
$9((5y + 4)/3) - 2y = 7$
$3(5y + 4) - 2y = 7$
$15y + 12 - 2y = 7$
$13y = -5$
$y = -5/13$
તેથી $x = (5(-5/13) + 4)/3 = (-25/13 + 52/13)/3 = (27/13)/3 = 9/13$.
આમ,ઉકેલ $x = 9/13$ અને $y = -5/13$ છે.

(X=2, Y=-3) આપેલ સમીકરણો:
$(1)$ $\frac{x}{2} + \frac{2y}{3} = -1$
$(2)$ $x - \frac{y}{3} = 3$
સમીકરણ $(1)$ ને $6$ વડે ગુણીને સાદું રૂપ આપતા: $3x + 4y = -6$ $(3)$
સમીકરણ $(2)$ ને $3$ વડે ગુણીને સાદું રૂપ આપતા: $3x - y = 9$ $(4)$
લોપની રીત:
સમીકરણ $(3)$ માંથી $(4)$ બાદ કરતા: $(3x + 4y) - (3x - y) = -6 - 9$
$5y = -15 \implies y = -3$
$y = -3$ ને સમીકરણ $(4)$ માં મૂકતા: $3x - (-3) = 9 \implies 3x + 3 = 9 \implies 3x = 6 \implies x = 2$
આદેશની રીત:
સમીકરણ $(4)$ પરથી,$y = 3x - 9$
આ કિંમત સમીકરણ $(3)$ માં મૂકતા: $3x + 4(3x - 9) = -6$
$3x + 12x - 36 = -6 \implies 15x = 30 \implies x = 2$
$x = 2$ ને $y = 3x - 9$ માં મૂકતા: $y = 3(2) - 9 = 6 - 9 = -3$
અંતિમ ઉકેલ: $x = 2, y = -3$.

(N/A) ધારો કે અપૂર્ણાંક $\frac{x}{y}$ છે.
આપેલ માહિતી મુજબ:
$\frac{x+1}{y-1} = 1 \implies x+1 = y-1 \implies x-y = -2$ $...(1)$
$\frac{x}{y+1} = \frac{1}{2} \implies 2x = y+1 \implies 2x-y = 1$ $...(2)$
સમીકરણ $(2)$ માંથી સમીકરણ $(1)$ બાદ કરતા,આપણને મળે છે:
$(2x-y) - (x-y) = 1 - (-2)$
$2x - y - x + y = 1 + 2$
$x = 3$ $...(3)$
$x$ ની કિંમત સમીકરણ $(1)$ માં મૂકતા:
$3 - y = -2$
$-y = -2 - 3$
$-y = -5$
$y = 5$
તેથી,અપૂર્ણાંક $\frac{3}{5}$ છે.

(N/A) ધારો કે નૂરીની હાલની ઉંમર $x$ વર્ષ છે અને સોનુની હાલની ઉંમર $y$ વર્ષ છે.
આપેલ માહિતી મુજબ:
પાંચ વર્ષ પહેલાં,નૂરીની ઉંમર $(x-5)$ હતી અને સોનુની ઉંમર $(y-5)$ હતી.
$(x-5) = 3(y-5)$
$x - 5 = 3y - 15$
$x - 3y = -10$ $...(1)$
દસ વર્ષ પછી,નૂરીની ઉંમર $(x+10)$ હશે અને સોનુની ઉંમર $(y+10)$ હશે.
$(x+10) = 2(y+10)$
$x + 10 = 2y + 20$
$x - 2y = 10$ $...(2)$
સમીકરણ $(2)$ માંથી સમીકરણ $(1)$ બાદ કરતાં:
$(x - 2y) - (x - 3y) = 10 - (-10)$
$x - 2y - x + 3y = 10 + 10$
$y = 20$
$y = 20$ ની કિંમત સમીકરણ $(1)$ માં મૂકતા:
$x - 3(20) = -10$
$x - 60 = -10$
$x = 50$
આમ,નૂરીની હાલની ઉંમર $50$ વર્ષ છે અને સોનુની હાલની ઉંમર $20$ વર્ષ છે.

(A) ધારો કે એકમનો અંક $x$ છે અને દશકનો અંક $y$ છે. તેથી,સંખ્યા $10y + x$ થશે.
પ્રથમ શરત મુજબ,અંકોનો સરવાળો $9$ છે:
$x + y = 9$ $...(1)$
બીજી શરત મુજબ,સંખ્યાના $9$ ગણા એ અંકોની અદલાબદલી કરવાથી મળતી સંખ્યાના $2$ ગણા છે:
$9(10y + x) = 2(10x + y)$
$90y + 9x = 20x + 2y$
$88y - 11x = 0$
$11$ વડે ભાગતા,આપણને મળે:
$8y - x = 0$ અથવા $-x + 8y = 0$ $...(2)$
સમીકરણ $(1)$ અને $(2)$ નો સરવાળો કરતા:
$(x + y) + (-x + 8y) = 9 + 0$
$9y = 9$
$y = 1$
$y = 1$ ની કિંમત સમીકરણ $(1)$ માં મૂકતા:
$x + 1 = 9$
$x = 8$
તેથી,સંખ્યા $10y + x = 10(1) + 8 = 18$ છે.

(A) ધારો કે ₹ $50$ ની નોટોની સંખ્યા $x$ છે અને ₹ $100$ ની નોટોની સંખ્યા $y$ છે.
આપેલ માહિતી મુજબ:
$1$. નોટોની કુલ સંખ્યા $25$ છે,તેથી $x + y = 25$ $...(1)$
$2$. નોટોનું કુલ મૂલ્ય ₹ $2000$ છે,તેથી $50x + 100y = 2000$ $...(2)$
લોપની રીતનો ઉપયોગ કરવા માટે,સમીકરણ $(1)$ ને $50$ વડે ગુણો:
$50x + 50y = 1250$ $...(3)$
સમીકરણ $(2)$ માંથી સમીકરણ $(3)$ બાદ કરતા:
$(50x + 100y) - (50x + 50y) = 2000 - 1250$
$50y = 750$
$y = 15$
$y = 15$ ની કિંમત સમીકરણ $(1)$ માં મૂકતા:
$x + 15 = 25$
$x = 10$
આમ,મીનાએ ₹ $50$ ની $10$ નોટો અને ₹ $100$ ની $15$ નોટો મેળવી.

(N/A) ધારો કે પ્રથમ ત્રણ દિવસ માટેનું નિશ્ચિત ભાડું $Rs$ $x$ છે અને ત્યારબાદના દરેક દિવસનું વધારાનું ભાડું $Rs$ $y$ છે.
આપેલ માહિતી મુજબ:
સરિતા માટે: પુસ્તક $7$ દિવસ રાખવામાં આવ્યું હતું. જેમાં $3$ દિવસ નિશ્ચિત અને $4$ દિવસ વધારાના છે. તેથી,$x + 4y = 27$ $...(1)$
સુસી માટે: પુસ્તક $5$ દિવસ રાખવામાં આવ્યું હતું. જેમાં $3$ દિવસ નિશ્ચિત અને $2$ દિવસ વધારાના છે. તેથી,$x + 2y = 21$ $...(2)$
સમીકરણ $(1)$ માંથી સમીકરણ $(2)$ બાદ કરતા:
$(x + 4y) - (x + 2y) = 27 - 21$
$2y = 6$
$y = 3$ $...(3)$
$y = 3$ ની કિંમત સમીકરણ $(1)$ માં મૂકતા:
$x + 4(3) = 27$
$x + 12 = 27$
$x = 15$
આમ,નિશ્ચિત ભાડું $Rs$ $15$ છે અને દરેક વધારાના દિવસનું ભાડું $Rs$ $3$ છે.

(N/A) ધારો કે બેંગલુરુના બસ સ્ટેન્ડથી મલ્લેશ્વરમનું ભાડું ₹ $x$ છે અને યશવંતપુરનું ભાડું ₹ $y$ છે. આપેલી માહિતી મુજબ,આપણી પાસે છે:
$2x + 3y = 46$,એટલે કે $2x + 3y - 46 = 0$ $...(1)$
$3x + 5y = 74$,એટલે કે $3x + 5y - 74 = 0$ $...(2)$
ચોકડી ગુણાકારની રીતનો ઉપયોગ કરીને સમીકરણો ઉકેલવા માટે,આપણે સહગુણકોનો ઉપયોગ નીચે મુજબ કરીએ છીએ:
$\frac{x}{(3)(-74) - (5)(-46)} = \frac{y}{(-46)(3) - (-74)(2)} = \frac{1}{(2)(5) - (3)(3)}$
એટલે કે,$\frac{x}{-222 + 230} = \frac{y}{-138 + 148} = \frac{1}{10 - 9}$
એટલે કે,$\frac{x}{8} = \frac{y}{10} = \frac{1}{1}$
આમ,$\frac{x}{8} = 1$ અને $\frac{y}{10} = 1$,જે $x = 8$ અને $y = 10$ આપે છે.
તેથી,બેંગલુરુના બસ સ્ટેન્ડથી મલ્લેશ્વરમનું ભાડું ₹ $8$ છે અને યશવંતપુરનું ભાડું ₹ $10$ છે.

(B) આપેલ સમીકરણો $4x + py + 8 = 0$ અને $2x + 2y + 2 = 0$ છે.
તેને પ્રમાણિત સ્વરૂપ $a_{1}x + b_{1}y + c_{1} = 0$ અને $a_{2}x + b_{2}y + c_{2} = 0$ સાથે સરખાવતા,આપણને મળે છે:
$a_{1} = 4, b_{1} = p, c_{1} = 8$
$a_{2} = 2, b_{2} = 2, c_{2} = 2$
સુરેખ સમીકરણ યુગ્મને અનન્ય ઉકેલ હોય તે માટેની શરત $\frac{a_{1}}{a_{2}} \neq \frac{b_{1}}{b_{2}}$ છે.
કિંમતો મૂકતા,$\frac{4}{2} \neq \frac{p}{2}$ મળે.
આનું સાદું રૂપ આપતા $2 \neq \frac{p}{2}$ થાય.
બંને બાજુ $2$ વડે ગુણતા,$p \neq 4$ મળે.
આમ,$4$ સિવાયની $p$ ની તમામ વાસ્તવિક કિંમતો માટે,સમીકરણ યુગ્મને અનન્ય ઉકેલ મળે છે.

(A) સુરેખ સમીકરણોની જોડી $a_1x + b_1y + c_1 = 0$ અને $a_2x + b_2y + c_2 = 0$ ને અનંત ઉકેલો હોય તે માટેની શરત $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2}$ છે.
આપેલ સમીકરણો $kx + 3y - (k - 3) = 0$ અને $12x + ky - k = 0$ છે.
અહીં,$a_1 = k, b_1 = 3, c_1 = -(k - 3)$ અને $a_2 = 12, b_2 = k, c_2 = -k$ છે.
શરત લાગુ પાડતા: $\frac{k}{12} = \frac{3}{k} = \frac{-(k - 3)}{-k}$.
$\frac{k}{12} = \frac{3}{k}$ પરથી,આપણને $k^2 = 36$ મળે છે,તેથી $k = \pm 6$.
$\frac{3}{k} = \frac{k - 3}{k}$ પરથી,આપણને $3k = k(k - 3) \implies 3k = k^2 - 3k \implies k^2 - 6k = 0 \implies k(k - 6) = 0$ મળે છે. આમ,$k = 0$ અથવા $k = 6$.
બંને શરતોનું પાલન કરતું સામાન્ય મૂલ્ય $k = 6$ છે.

(B) આપેલ સમીકરણો:
$x - 3y - 3 = 0$ ... $(1)$
$3x - 9y - 2 = 0$ ... $(2)$
આ સમીકરણોને પ્રમાણિત સ્વરૂપ $a_1x + b_1y + c_1 = 0$ અને $a_2x + b_2y + c_2 = 0$ સાથે સરખાવતા:
$a_1 = 1, b_1 = -3, c_1 = -3$
$a_2 = 3, b_2 = -9, c_2 = -2$
હવે,ગુણોત્તરની ગણતરી કરતા:
$\frac{a_1}{a_2} = \frac{1}{3}$
$\frac{b_1}{b_2} = \frac{-3}{-9} = \frac{1}{3}$
$\frac{c_1}{c_2} = \frac{-3}{-2} = \frac{3}{2}$
અહીં $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} \neq \frac{c_1}{c_2}$ હોવાથી,આ સમીકરણો દ્વારા દર્શાવતી રેખાઓ એકબીજાને સમાંતર છે.
તેથી,આ સમીકરણોનો કોઈ ઉકેલ નથી.

(A) આપેલ સમીકરણો:
$2x + y - 5 = 0$
$3x + 2y - 8 = 0$
$a_1x + b_1y + c_1 = 0$ અને $a_2x + b_2y + c_2 = 0$ સાથે સરખાવતા:
$a_1 = 2, b_1 = 1, c_1 = -5$
$a_2 = 3, b_2 = 2, c_2 = -8$
ગુણોત્તરની ગણતરી કરતા:
$\frac{a_1}{a_2} = \frac{2}{3}, \quad \frac{b_1}{b_2} = \frac{1}{2}, \quad \frac{c_1}{c_2} = \frac{-5}{-8} = \frac{5}{8}$
અહીં $\frac{a_1}{a_2} \neq \frac{b_1}{b_2}$ હોવાથી,સમીકરણ યુગ્મને અનન્ય ઉકેલ છે.
ચોકડી ગુણાકારની રીતનો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{x}{b_1c_2 - b_2c_1} = \frac{y}{c_1a_2 - c_2a_1} = \frac{1}{a_1b_2 - a_2b_1}$
$\frac{x}{(1)(-8) - (2)(-5)} = \frac{y}{(-5)(3) - (-8)(2)} = \frac{1}{(2)(2) - (3)(1)}$
$\frac{x}{-8 + 10} = \frac{y}{-15 + 16} = \frac{1}{4 - 3}$
$\frac{x}{2} = \frac{y}{1} = \frac{1}{1}$
આમ,$x = 2$ અને $y = 1$ મળે છે.

(D) આપેલ સમીકરણો:
$3x - 5y - 20 = 0$ --- $(1)$
$6x - 10y - 40 = 0$ --- $(2)$
આ સમીકરણોને પ્રમાણિત સ્વરૂપ $a_1x + b_1y + c_1 = 0$ અને $a_2x + b_2y + c_2 = 0$ સાથે સરખાવતા:
$a_1 = 3, b_1 = -5, c_1 = -20$
$a_2 = 6, b_2 = -10, c_2 = -40$
હવે,ગુણોત્તરની ગણતરી કરતા:
$\frac{a_1}{a_2} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$
$\frac{b_1}{b_2} = \frac{-5}{-10} = \frac{1}{2}$
$\frac{c_1}{c_2} = \frac{-20}{-40} = \frac{1}{2}$
અહીં $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2}$ હોવાથી,રેખાઓ સંપાતી છે.
તેથી,આ સુરેખ સમીકરણ યુગ્મને અનંત ઉકેલો મળે છે.

(A) આપેલ સમીકરણો:
$x - 3y - 7 = 0$ ... $(1)$
$3x - 3y - 15 = 0$ ... $(2)$
$a_1x + b_1y + c_1 = 0$ અને $a_2x + b_2y + c_2 = 0$ સાથે સરખાવતા:
$a_1 = 1, b_1 = -3, c_1 = -7$
$a_2 = 3, b_2 = -3, c_2 = -15$
ગુણોત્તરની ગણતરી:
$\frac{a_1}{a_2} = \frac{1}{3}, \quad \frac{b_1}{b_2} = \frac{-3}{-3} = 1, \quad \frac{c_1}{c_2} = \frac{-7}{-15} = \frac{7}{15}$
અહીં $\frac{a_1}{a_2} \neq \frac{b_1}{b_2}$ (એટલે કે $\frac{1}{3} \neq 1$) હોવાથી,સમીકરણ યુગ્મને અનન્ય ઉકેલ છે.
ચોકડી ગુણાકારની રીતનો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{x}{b_1c_2 - b_2c_1} = \frac{y}{c_1a_2 - c_2a_1} = \frac{1}{a_1b_2 - a_2b_1}$
$\frac{x}{(-3)(-15) - (-3)(-7)} = \frac{y}{(-7)(3) - (-15)(1)} = \frac{1}{(1)(-3) - (3)(-3)}$
$\frac{x}{45 - 21} = \frac{y}{-21 + 15} = \frac{1}{-3 + 9}$
$\frac{x}{24} = \frac{y}{-6} = \frac{1}{6}$
$x$ માટે: $\frac{x}{24} = \frac{1}{6} \implies x = \frac{24}{6} = 4$
$y$ માટે: $\frac{y}{-6} = \frac{1}{6} \implies y = \frac{-6}{6} = -1$
આમ,અનન્ય ઉકેલ $x = 4, y = -1$ છે.

(A) આપેલ સમીકરણો નીચે મુજબ છે:
$2x + 3y - 7 = 0$
$(a-b)x + (a+b)y - (3a + b - 2) = 0$
સુરેખ સમીકરણ યુગ્મ $\frac{a_1}{a_2}x + \frac{b_1}{b_2}y + \frac{c_1}{c_2} = 0$ ને અનંત ઉકેલો હોય તે માટેની શરત $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2}$ છે.
અહીં,$\frac{a_1}{a_2} = \frac{2}{a-b}$,$\frac{b_1}{b_2} = \frac{3}{a+b}$,અને $\frac{c_1}{c_2} = \frac{-7}{-(3a+b-2)} = \frac{7}{3a+b-2}$ છે.
ગુણોત્તરને સરખાવતા:
$1) \frac{2}{a-b} = \frac{3}{a+b} \implies 2a + 2b = 3a - 3b \implies a - 5b = 0 \implies a = 5b$ (સમીકરણ $1$)
$2) \frac{2}{a-b} = \frac{7}{3a+b-2} \implies 6a + 2b - 4 = 7a - 7b \implies a - 9b = -4$ (સમીકરણ $2$)
સમીકરણ $2$ માં $a = 5b$ મૂકતા:
$5b - 9b = -4 \implies -4b = -4 \implies b = 1$.
હવે,$b = 1$ ને $a = 5b$ માં મૂકતા:
$a = 5(1) = 5$.
આમ,$a = 5$ અને $b = 1$ એ માંગેલી કિંમતો છે.

(B) આપેલ સમીકરણોને પ્રમાણિત સ્વરૂપમાં લખતા:
$3x + y - 1 = 0$
$(2k - 1)x + (k - 1)y - (2k + 1) = 0$
અહીં,$a_1 = 3, b_1 = 1, c_1 = -1$ અને $a_2 = 2k - 1, b_2 = k - 1, c_2 = -(2k + 1)$ છે.
સુરેખ સમીકરણોની જોડને કોઈ ઉકેલ ન હોય તેની શરત છે:
$\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} \neq \frac{c_1}{c_2}$
તેથી,$\frac{3}{2k - 1} = \frac{1}{k - 1} \neq \frac{-1}{-(2k + 1)}$
$\frac{3}{2k - 1} = \frac{1}{k - 1}$ લેતા:
$3(k - 1) = 1(2k - 1)$
$3k - 3 = 2k - 1$
$3k - 2k = -1 + 3$
$k = 2$
આમ,$k = 2$ માટે આપેલ સમીકરણોની જોડને કોઈ ઉકેલ નથી.

(A) આપેલ સમીકરણો:
$8x + 5y = 9$ $...(i)$
$3x + 2y = 4$ $...(ii)$
આદેશની રીત:
સમીકરણ $(ii)$ પરથી:
$3x = 4 - 2y \implies x = \frac{4 - 2y}{3}$ $...(iii)$
$(iii)$ ની કિંમત $(i)$ માં મૂકતા:
$8(\frac{4 - 2y}{3}) + 5y = 9$
$32 - 16y + 15y = 27$
$-y = 27 - 32$
$-y = -5 \implies y = 5$
$y = 5$ ની કિંમત $(iii)$ માં મૂકતા:
$x = \frac{4 - 2(5)}{3} = \frac{4 - 10}{3} = \frac{-6}{3} = -2$
આમ,$x = -2, y = 5$.
ચોકડી ગુણાકારની રીત:
$8x + 5y - 9 = 0$
$3x + 2y - 4 = 0$
સૂત્ર $\frac{x}{b_1c_2 - b_2c_1} = \frac{y}{c_1a_2 - c_2a_1} = \frac{1}{a_1b_2 - a_2b_1}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{x}{(5)(-4) - (2)(-9)} = \frac{y}{(-9)(3) - (-4)(8)} = \frac{1}{(8)(2) - (3)(5)}$
$\frac{x}{-20 + 18} = \frac{y}{-27 + 32} = \frac{1}{16 - 15}$
$\frac{x}{-2} = \frac{y}{5} = \frac{1}{1}$
$x = -2, y = 5$.

(N/A) ધારો કે હોસ્ટેલનો નિશ્ચિત માસિક ખર્ચ $x$ છે અને પ્રતિ દિવસ ભોજનનો ખર્ચ $y$ છે.
આપેલ માહિતી મુજબ:
વિદ્યાર્થી $A$ માટે: $x + 20y = 1000$ $...(1)$
વિદ્યાર્થી $B$ માટે: $x + 26y = 1180$ $...(2)$
સમીકરણ $(2)$ માંથી સમીકરણ $(1)$ બાદ કરતા:
$(x + 26y) - (x + 20y) = 1180 - 1000$
$6y = 180$
$y = 30$
$y = 30$ ની કિંમત સમીકરણ $(1)$ માં મૂકતા:
$x + 20(30) = 1000$
$x + 600 = 1000$
$x = 400$
આમ,હોસ્ટેલનો નિશ્ચિત માસિક ખર્ચ ₹ $400$ છે અને પ્રતિ દિવસ ભોજનનો ખર્ચ ₹ $30$ છે.

(A) ધારો કે અપૂર્ણાંક $\frac{x}{y}$ છે.
આપેલ માહિતી મુજબ:
$\frac{x-1}{y} = \frac{1}{3} \implies 3x - y = 3$ $...(1)$
$\frac{x}{y+8} = \frac{1}{4} \implies 4x - y = 8$ $...(2)$
સમીકરણ $(2)$ માંથી સમીકરણ $(1)$ બાદ કરતા,આપણને મળે છે:
$(4x - y) - (3x - y) = 8 - 3$
$x = 5$
$x$ ની કિંમત સમીકરણ $(1)$ માં મૂકતા:
$3(5) - y = 3$
$15 - y = 3$
$y = 12$
આમ,અપૂર્ણાંક $\frac{5}{12}$ છે.

(20) ધારો કે સાચા જવાબોની સંખ્યા $x$ છે અને ખોટા જવાબોની સંખ્યા $y$ છે.
આપેલ માહિતી મુજબ:
પ્રથમ કિસ્સા માટે: $3x - y = 40$ $...(1)$
બીજા કિસ્સા માટે: $4x - 2y = 50$
બીજા સમીકરણને $2$ વડે ભાગતા,આપણને મળે છે: $2x - y = 25$ $...(2)$
સમીકરણ $(1)$ માંથી સમીકરણ $(2)$ બાદ કરતા:
$(3x - y) - (2x - y) = 40 - 25$
$x = 15$
$x = 15$ ની કિંમત સમીકરણ $(2)$ માં મૂકતા:
$2(15) - y = 25$
$30 - y = 25$
$y = 5$
તેથી,સાચા જવાબોની સંખ્યા $15$ છે અને ખોટા જવાબોની સંખ્યા $5$ છે.
કુલ પ્રશ્નોની સંખ્યા $= x + y = 15 + 5 = 20$.

(A) ધારો કે પ્રથમ કારની ઝડપ $u \ km/h$ અને બીજી કારની ઝડપ $v \ km/h$ છે.
જ્યારે કાર સમાન દિશામાં મુસાફરી કરે છે,ત્યારે તેમની સાપેક્ષ ઝડપ $(u - v) \ km/h$ થાય છે. તેઓ $5 \ \text{કલાક}$ માં $100 \ km$ અંતર કાપીને મળે છે,તેથી:
$5(u - v) = 100 \Rightarrow u - v = 20 \quad \dots(1)$
જ્યારે કાર એકબીજાની વિરુદ્ધ દિશામાં (એકબીજા તરફ) મુસાફરી કરે છે,ત્યારે તેમની સાપેક્ષ ઝડપ $(u + v) \ km/h$ થાય છે. તેઓ $1 \ \text{કલાક}$ માં $100 \ km$ અંતર કાપીને મળે છે,તેથી:
$1(u + v) = 100 \Rightarrow u + v = 100 \quad \dots(2)$
સમીકરણ $(1)$ અને $(2)$ નો સરવાળો કરતા:
$(u - v) + (u + v) = 20 + 100$
$2u = 120 \Rightarrow u = 60 \ km/h$
$u = 60$ ની કિંમત સમીકરણ $(2)$ માં મૂકતા:
$60 + v = 100 \Rightarrow v = 40 \ km/h$
આમ,પ્રથમ કારની ઝડપ $60 \ km/h$ અને બીજી કારની ઝડપ $40 \ km/h$ છે.

(A) ધારો કે લંબચોરસની લંબાઈ $x$ એકમ અને પહોળાઈ $y$ એકમ છે.
ક્ષેત્રફળ $= x y$
પ્રથમ શરત મુજબ:
$(x - 5)(y + 3) = xy - 9$
$xy + 3x - 5y - 15 = xy - 9$
$3x - 5y = 6$ ...$(1)$
બીજી શરત મુજબ:
$(x + 3)(y + 2) = xy + 67$
$xy + 2x + 3y + 6 = xy + 67$
$2x + 3y = 61$ ...$(2)$
ચોકડી ગુણાકારની રીતનો ઉપયોગ કરીને સમીકરણ $(1)$ અને $(2)$ ઉકેલતા:
$\frac{x}{(-5)(-61) - (3)(-6)} = \frac{y}{(-6)(2) - (-61)(3)} = \frac{1}{(3)(3) - (-5)(2)}$
$\frac{x}{305 + 18} = \frac{y}{-12 + 183} = \frac{1}{9 + 10}$
$\frac{x}{323} = \frac{y}{171} = \frac{1}{19}$
$x = \frac{323}{19} = 17$
$y = \frac{171}{19} = 9$
આમ,લંબાઈ $17$ એકમ અને પહોળાઈ $9$ એકમ છે.

(N/A) આપેલ સમીકરણોની જોડીને આ રીતે લખીએ:
$2\left(\frac{1}{x}\right) + 3\left(\frac{1}{y}\right) = 13$ $...(1)$
$5\left(\frac{1}{x}\right) - 4\left(\frac{1}{y}\right) = -2$ $...(2)$
આ સમીકરણો પ્રમાણિત સ્વરૂપ $ax + by + c = 0$ માં નથી. જો આપણે $\frac{1}{x} = p$ અને $\frac{1}{y} = q$ આદેશ લઈએ,તો સમીકરણ $(1)$ અને $(2)$ પરથી આપણને મળે:
$2p + 3q = 13$ $...(3)$
$5p - 4q = -2$ $...(4)$
હવે,આ સમીકરણોને લોપની રીતથી ઉકેલીએ. સમીકરણ $(3)$ ને $4$ વડે અને સમીકરણ $(4)$ ને $3$ વડે ગુણતા:
$8p + 12q = 52$ $...(5)$
$15p - 12q = -6$ $...(6)$
સમીકરણ $(5)$ અને $(6)$ નો સરવાળો કરતા:
$23p = 46 \implies p = 2$
$p = 2$ ની કિંમત સમીકરણ $(3)$ માં મૂકતા:
$2(2) + 3q = 13 \implies 4 + 3q = 13 \implies 3q = 9 \implies q = 3$
આપણે જાણીએ છીએ કે $p = \frac{1}{x}$ અને $q = \frac{1}{y}$,તેથી:
$\frac{1}{x} = 2 \implies x = \frac{1}{2}$
$\frac{1}{y} = 3 \implies y = \frac{1}{3}$
આમ,ઉકેલ $x = \frac{1}{2}$ અને $y = \frac{1}{3}$ છે.

(A) ધારો કે $\frac{1}{x-1} = p$ અને $\frac{1}{y-2} = q$ છે. તો આપેલા સમીકરણો નીચે મુજબ લખી શકાય:
$5p + q = 2$ $...(1)$
$6p - 3q = 1$ $...(2)$
આને ઉકેલવા માટે,સમીકરણ $(1)$ ને $3$ વડે ગુણો:
$15p + 3q = 6$ $...(3)$
સમીકરણ $(2)$ અને $(3)$ નો સરવાળો કરતા:
$(6p - 3q) + (15p + 3q) = 1 + 6$
$21p = 7$
$p = \frac{7}{21} = \frac{1}{3}$
$p = \frac{1}{3}$ ને સમીકરણ $(1)$ માં મૂકતા:
$5(\frac{1}{3}) + q = 2$
$\frac{5}{3} + q = 2$
$q = 2 - \frac{5}{3} = \frac{6-5}{3} = \frac{1}{3}$
હવે,$p$ અને $q$ ની કિંમતો પાછી મૂકતા:
$\frac{1}{x-1} = \frac{1}{3} \implies x-1 = 3 \implies x = 4$
$\frac{1}{y-2} = \frac{1}{3} \implies y-2 = 3 \implies y = 5$
આમ,ઉકેલ $x = 4, y = 5$ છે.

(N/A) ધારો કે સ્થિર પાણીમાં હોડીની ઝડપ $x\, km/h$ છે અને પ્રવાહની ઝડપ $y\, km/h$ છે.
તેથી પ્રવાહની દિશામાં હોડીની ઝડપ $= (x+y)\, km/h$ અને પ્રવાહની સામે હોડીની ઝડપ $= (x-y)\, km/h$ થાય.
સૂત્ર $\text{સમય} = \frac{\text{અંતર}}{\text{ઝડપ}}$ નો ઉપયોગ કરતા.
પ્રથમ કિસ્સામાં,$30\, km$ પ્રવાહની સામે અને $44\, km$ પ્રવાહની દિશામાં કુલ $10\, \text{કલાક}$ લાગે છે:
$\frac{30}{x-y} + \frac{44}{x+y} = 10 \quad ...(1)$
બીજા કિસ્સામાં,$40\, km$ પ્રવાહની સામે અને $55\, km$ પ્રવાહની દિશામાં કુલ $13\, \text{કલાક}$ લાગે છે:
$\frac{40}{x-y} + \frac{55}{x+y} = 13 \quad ...(2)$
ધારો કે $\frac{1}{x-y} = u$ અને $\frac{1}{x+y} = v \quad ...(3)$
આ કિંમતો સમીકરણ $(1)$ અને $(2)$ માં મૂકતા:
$30u + 44v = 10 \quad ...(4)$
$40u + 55v = 13 \quad ...(5)$
લોપની રીતનો ઉપયોગ કરીને ઉકેલતા:
સમીકરણ $(4)$ ને $4$ વડે અને $(5)$ ને $3$ વડે ગુણતા:
$120u + 176v = 40$
$120u + 165v = 39$
બાદબાકી કરતા: $11v = 1 \implies v = \frac{1}{11}.$
$v = \frac{1}{11}$ ને સમીકરણ $(4)$ માં મૂકતા:
$30u + 44(\frac{1}{11}) = 10 \implies 30u + 4 = 10 \implies 30u = 6 \implies u = \frac{1}{5}.$
હવે,$\frac{1}{x-y} = \frac{1}{5} \implies x-y = 5$ અને $\frac{1}{x+y} = \frac{1}{11} \implies x+y = 11.$
બંનેનો સરવાળો કરતા: $2x = 16 \implies x = 8.$
બંનેની બાદબાકી કરતા: $2y = 6 \implies y = 3.$
આમ,સ્થિર પાણીમાં હોડીની ઝડપ $8\, km/h$ અને પ્રવાહની ઝડપ $3\, km/h$ છે.

(X=1/2, Y=1/3) આપેલ સમીકરણો:
$\frac{1}{2x} + \frac{1}{3y} = 2$ ...$(1)$
$\frac{1}{3x} + \frac{1}{2y} = \frac{13}{6}$ ...$(2)$
ધારો કે $\frac{1}{x} = p$ અને $\frac{1}{y} = q$. આ કિંમતો સમીકરણોમાં મૂકતા:
$\frac{p}{2} + \frac{q}{3} = 2 \Rightarrow 3p + 2q = 12$ ...$(3)$
$\frac{p}{3} + \frac{q}{2} = \frac{13}{6} \Rightarrow 2p + 3q = 13$ ...$(4)$
સમીકરણ $(3)$ ને $3$ વડે અને સમીકરણ $(4)$ ને $2$ વડે ગુણતા:
$9p + 6q = 36$ ...$(5)$
$4p + 6q = 26$ ...$(6)$
સમીકરણ $(5)$ માંથી $(6)$ બાદ કરતા:
$(9p - 4p) + (6q - 6q) = 36 - 26$
$5p = 10 \Rightarrow p = 2$
$p = 2$ ની કિંમત સમીકરણ $(3)$ માં મૂકતા:
$3(2) + 2q = 12$
$6 + 2q = 12 \Rightarrow 2q = 6 \Rightarrow q = 3$
હવે,$p = \frac{1}{x} = 2$ હોવાથી,$x = \frac{1}{2}$ મળે.
અને $q = \frac{1}{y} = 3$ હોવાથી,$y = \frac{1}{3}$ મળે.

(X=4, Y=9) ધારો કે $\frac{1}{\sqrt{x}} = p$ અને $\frac{1}{\sqrt{y}} = q$.
આ કિંમતો આપેલા સમીકરણોમાં મૂકતા,આપણને મળે છે:
$2p + 3q = 2$ $...(1)$
$4p - 9q = -1$ $...(2)$
$q$ નો લોપ કરવા માટે,સમીકરણ $(1)$ ને $3$ વડે ગુણતા:
$6p + 9q = 6$ $...(3)$
સમીકરણ $(2)$ અને $(3)$ નો સરવાળો કરતા:
$(4p - 9q) + (6p + 9q) = -1 + 6$
$10p = 5$
$p = \frac{5}{10} = \frac{1}{2}$
$p = \frac{1}{2}$ ની કિંમત સમીકરણ $(1)$ માં મૂકતા:
$2(\frac{1}{2}) + 3q = 2$
$1 + 3q = 2$
$3q = 1$
$q = \frac{1}{3}$
હવે,$x$ અને $y$ માટે ઉકેલતા:
$p = \frac{1}{\sqrt{x}} = \frac{1}{2} \implies \sqrt{x} = 2 \implies x = 4$
$q = \frac{1}{\sqrt{y}} = \frac{1}{3} \implies \sqrt{y} = 3 \implies y = 9$
આમ,ઉકેલ $x = 4, y = 9$ છે.

(A) આપેલ સમીકરણો:
$\frac{4}{x} + 3y = 14$ $...(1)$
$\frac{3}{x} - 4y = 23$ $...(2)$
ધારો કે $\frac{1}{x} = p$. આ કિંમત સમીકરણોમાં મૂકતા:
$4p + 3y = 14$ $...(3)$
$3p - 4y = 23$ $...(4)$
લોપની રીતનો ઉપયોગ કરતા,સમીકરણ $(3)$ ને $4$ વડે અને સમીકરણ $(4)$ ને $3$ વડે ગુણતા:
$16p + 12y = 56$ $...(5)$
$9p - 12y = 69$ $...(6)$
સમીકરણ $(5)$ અને $(6)$ નો સરવાળો કરતા:
$25p = 125$
$p = 5$
અહીં $p = \frac{1}{x}$ હોવાથી,$\frac{1}{x} = 5$,જેનો અર્થ છે કે $x = \frac{1}{5}$.
$p = 5$ ની કિંમત સમીકરણ $(3)$ માં મૂકતા:
$4(5) + 3y = 14$
$20 + 3y = 14$
$3y = 14 - 20$
$3y = -6$
$y = -2$
આમ,ઉકેલ $x = \frac{1}{5}$ અને $y = -2$ છે.

(A) ધારો કે $u = \frac{1}{x-1}$ અને $v = \frac{1}{y-2}$.
આ કિંમતો આપેલા સમીકરણોમાં મૂકતા:
$5u + v = 2$ --- $(1)$
$6u - 3v = 1$ --- $(2)$
$v$ નો લોપ કરવા માટે સમીકરણ $(1)$ ને $3$ વડે ગુણતા:
$15u + 3v = 6$ --- $(3)$
સમીકરણ $(2)$ અને $(3)$ નો સરવાળો કરતા:
$(6u - 3v) + (15u + 3v) = 1 + 6$
$21u = 7$
$u = \frac{7}{21} = \frac{1}{3}$
$u = \frac{1}{3}$ ની કિંમત સમીકરણ $(1)$ માં મૂકતા:
$5(\frac{1}{3}) + v = 2$
$\frac{5}{3} + v = 2$
$v = 2 - \frac{5}{3} = \frac{6-5}{3} = \frac{1}{3}$
હવે,$u$ અને $v$ ની મૂળ કિંમતો પાછી મૂકતા:
$\frac{1}{x-1} = \frac{1}{3} \implies x-1 = 3 \implies x = 4$
$\frac{1}{y-2} = \frac{1}{3} \implies y-2 = 3 \implies y = 5$
આમ,ઉકેલ $x = 4, y = 5$ છે.

(A) આપેલ સમીકરણો:
$1$) $\frac{7x - 2y}{xy} = 5$
$2$) $\frac{8x + 7y}{xy} = 15$
પગલું $1$: અંશના દરેક પદને છેદ $xy$ વડે ભાગીને સમીકરણોને સરળ બનાવો:
સમીકરણ $(1)$ આ મુજબ બનશે: $\frac{7x}{xy} - \frac{2y}{xy} = 5 \implies \frac{7}{y} - \frac{2}{x} = 5$
સમીકરણ $(2)$ આ મુજબ બનશે: $\frac{8x}{xy} + \frac{7y}{xy} = 15 \implies \frac{8}{y} + \frac{7}{x} = 15$
પગલું $2$: ધારો કે $u = \frac{1}{x}$ અને $v = \frac{1}{y}$. સમીકરણો આ મુજબ બનશે:
$(i)$ $-2u + 7v = 5$
(ii) $7u + 8v = 15$
પગલું $3$: લોપની રીતનો ઉપયોગ કરીને સુરેખ સમીકરણોની સિસ્ટમને ઉકેલો.
સમીકરણ $(i)$ ને $7$ વડે અને (ii) ને $2$ વડે ગુણતા:
$-14u + 49v = 35$
$14u + 16v = 30$
બંને સમીકરણોનો સરવાળો કરતા: $65v = 65 \implies v = 1$.
પગલું $4$: $v = 1$ ની કિંમત $(i)$ માં મૂકતા:
$-2u + 7(1) = 5 \implies -2u = -2 \implies u = 1$.
પગલું $5$: $x$ અને $y$ શોધો:
$u = \frac{1}{x} = 1 \implies x = 1$.
$v = \frac{1}{y} = 1 \implies y = 1$.
અંતિમ જવાબ: $x = 1, y = 1$.

(A) આપેલ સમીકરણો:
$(1)$ $6x + 3y = 6xy$
$(2)$ $2x + 4y = 5xy$
બંને સમીકરણોને $xy$ વડે ભાગતા:
$(1)$ પરથી: $\frac{6x}{xy} + \frac{3y}{xy} = \frac{6xy}{xy} \implies \frac{6}{y} + \frac{3}{x} = 6$
$(2)$ પરથી: $\frac{2x}{xy} + \frac{4y}{xy} = \frac{5xy}{xy} \implies \frac{2}{y} + \frac{4}{x} = 5$
ધારો કે $u = \frac{1}{x}$ અને $v = \frac{1}{y}$. સમીકરણો નીચે મુજબ બનશે:
$(3)$ $3u + 6v = 6$
$(4)$ $4u + 2v = 5$
$v$ નો લોપ કરવા માટે સમીકરણ $(4)$ ને $3$ વડે ગુણતા:
$12u + 6v = 15$ $(5)$
સમીકરણ $(5)$ માંથી $(3)$ બાદ કરતા:
$(12u + 6v) - (3u + 6v) = 15 - 6$
$9u = 9 \implies u = 1$
$u = 1$ ને સમીકરણ $(3)$ માં મૂકતા:
$3(1) + 6v = 6 \implies 6v = 3 \implies v = \frac{1}{2}$
તેથી,$u = \frac{1}{x} = 1 \implies x = 1$
અને $v = \frac{1}{y} = \frac{1}{2} \implies y = 2$
આમ,ઉકેલ $(x, y) = (1, 2)$ છે.

(X=3, Y=2) ધારો કે $u = \frac{1}{x+y}$ અને $v = \frac{1}{x-y}$.
સમીકરણો નીચે મુજબ બનશે:
$10u + 2v = 4$ --- $(1)$
$15u - 5v = -2$ --- $(2)$
$v$ નો લોપ કરવા માટે સમીકરણ $(1)$ ને $5$ વડે અને સમીકરણ $(2)$ ને $2$ વડે ગુણતા:
$50u + 10v = 20$
$30u - 10v = -4$
આ સમીકરણોનો સરવાળો કરતા: $80u = 16$,તેથી $u = \frac{16}{80} = \frac{1}{5}$.
$u = \frac{1}{5}$ ની કિંમત સમીકરણ $(1)$ માં મૂકતા:
$10(\frac{1}{5}) + 2v = 4 \implies 2 + 2v = 4 \implies 2v = 2 \implies v = 1$.
હવે,$\frac{1}{x+y} = \frac{1}{5} \implies x+y = 5$ --- $(3)$
અને $\frac{1}{x-y} = 1 \implies x-y = 1$ --- $(4)$
સમીકરણ $(3)$ અને $(4)$ નો સરવાળો કરતા: $2x = 6 \implies x = 3$.
સમીકરણ $(3)$ માંથી $(4)$ બાદ કરતા: $2y = 4 \implies y = 2$.
આમ,ઉકેલ $x = 3$ અને $y = 2$ છે.

(N/A) ધારો કે $u = \frac{1}{3x+y}$ અને $v = \frac{1}{3x-y}$.
આ કિંમતો આપેલા સમીકરણોમાં મૂકતા:
$u + v = \frac{3}{4}$ --- $(1)$
$\frac{1}{2}u - \frac{1}{2}v = -\frac{1}{8}$ --- $(2)$
સમીકરણ $(2)$ ને $2$ વડે ગુણતા:
$u - v = -\frac{1}{4}$ --- $(3)$
સમીકરણ $(1)$ અને $(3)$ નો સરવાળો કરતા:
$(u + v) + (u - v) = \frac{3}{4} - \frac{1}{4}$
$2u = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$
$u = \frac{1}{4}$
$u = \frac{1}{4}$ ની કિંમત સમીકરણ $(1)$ માં મૂકતા:
$\frac{1}{4} + v = \frac{3}{4}$
$v = \frac{3}{4} - \frac{1}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$
હવે,$x$ અને $y$ માટે ઉકેલતા:
$3x+y = \frac{1}{u} = 4$ --- $(4)$
$3x-y = \frac{1}{v} = 2$ --- $(5)$
$(4)$ અને $(5)$ નો સરવાળો કરતા:
$6x = 6 \implies x = 1$
$x = 1$ ની કિંમત $(4)$ માં મૂકતા:
$3(1) + y = 4 \implies y = 1$
આમ,ઉકેલ $x = 1, y = 1$ છે.

(A) ધારો કે રીતુની સ્થિર પાણીમાં ઝડપ $x\, \text{કિમી/કલાક}$ છે અને પ્રવાહની ઝડપ $y\, \text{કિમી/કલાક}$ છે.
તરતી વખતે રીતુની ઝડપ:
પ્રવાહની વિરુદ્ધ દિશામાં (Upstream) $= (x - y)\, \text{કિમી/કલાક}$
પ્રવાહની દિશામાં (Downstream) $= (x + y)\, \text{કિમી/કલાક}$
પ્રશ્ન મુજબ:
પ્રવાહની દિશામાં: $2(x + y) = 20 \Rightarrow x + y = 10$ $...(1)$
પ્રવાહની વિરુદ્ધ દિશામાં: $2(x - y) = 4 \Rightarrow x - y = 2$ $...(2)$
સમીકરણ $(1)$ અને $(2)$ નો સરવાળો કરતા:
$(x + y) + (x - y) = 10 + 2$
$2x = 12 \Rightarrow x = 6$
સમીકરણ $(1)$ માં $x = 6$ મુકતા:
$6 + y = 10 \Rightarrow y = 4$
આમ, રીતુની સ્થિર પાણીમાં ઝડપ $6\, \text{કિમી/કલાક}$ છે અને પ્રવાહની ઝડપ $4\, \text{કિમી/કલાક}$ છે.

(A) ધારો કે એક સ્ત્રીને કામ પૂરું કરતા લાગતા દિવસો $x$ છે અને એક પુરુષને લાગતા દિવસો $y$ છે.
તેથી,એક સ્ત્રી દ્વારા $1$ દિવસમાં થયેલું કામ $= \frac{1}{x}$.
એક પુરુષ દ્વારા $1$ દિવસમાં થયેલું કામ $= \frac{1}{y}$.
પ્રશ્ન મુજબ:
$4(\frac{2}{x} + \frac{5}{y}) = 1 \Rightarrow \frac{2}{x} + \frac{5}{y} = \frac{1}{4}$ $(i)$
$3(\frac{3}{x} + \frac{6}{y}) = 1 \Rightarrow \frac{3}{x} + \frac{6}{y} = \frac{1}{3}$ $(ii)$
ધારો કે $\frac{1}{x} = p$ અને $\frac{1}{y} = q$. આ કિંમતો સમીકરણમાં મૂકતા:
$2p + 5q = \frac{1}{4} \Rightarrow 8p + 20q = 1$ $(iii)$
$3p + 6q = \frac{1}{3} \Rightarrow 9p + 18q = 1$ $(iv)$
ચોકડી ગુણાકારની રીતનો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{p}{-20 + 18} = \frac{q}{9 - 8} = \frac{1}{144 - 180}$
$\frac{p}{-2} = \frac{q}{-1} = \frac{1}{-36}$
$p = \frac{1}{18}$ અને $q = \frac{1}{36}$.
તેથી,$x = 18$ અને $y = 36$.
આમ,$1$ સ્ત્રીને કામ પૂરું કરતા $18$ દિવસ અને $1$ પુરુષને $36$ દિવસ લાગે છે.

(N/A) ધારો કે ટ્રેનની ઝડપ $u \ km/h$ અને બસની ઝડપ $v \ km/h$ છે.
આપેલ માહિતી મુજબ:
કિસ્સો $1$: $60 \ km$ ટ્રેન દ્વારા અને $240 \ km$ બસ દ્વારા મુસાફરી કરવા માટે લાગતો સમય = $4 \ \text{કલાક}$.
$\frac{60}{u} + \frac{240}{v} = 4 \quad ...(1)$
કિસ્સો $2$: $100 \ km$ ટ્રેન દ્વારા અને $200 \ km$ બસ દ્વારા મુસાફરી કરવા માટે લાગતો સમય = $4 \ \text{કલાક }+ 10 \ \text{મિનિટ }= 4 + \frac{10}{60} = 4 + \frac{1}{6} = \frac{25}{6} \ \text{કલાક}$.
$\frac{100}{u} + \frac{200}{v} = \frac{25}{6} \quad ...(2)$
ધારો કે $\frac{1}{u} = p$ અને $\frac{1}{v} = q$. સમીકરણો નીચે મુજબ બનશે:
$60p + 240q = 4 \quad ...(3)$
$100p + 200q = \frac{25}{6} \implies 600p + 1200q = 25 \quad ...(4)$
સમીકરણ $(3)$ ને $10$ વડે ગુણતા:
$600p + 2400q = 40 \quad ...(5)$
સમીકરણ $(5)$ માંથી $(4)$ બાદ કરતા:
$(600p + 2400q) - (600p + 1200q) = 40 - 25$
$1200q = 15 \implies q = \frac{15}{1200} = \frac{1}{80}$
$q = \frac{1}{80}$ ની કિંમત સમીકરણ $(3)$ માં મૂકતા:
$60p + 240(\frac{1}{80}) = 4$
$60p + 3 = 4 \implies 60p = 1 \implies p = \frac{1}{60}$
તેથી,$p = \frac{1}{u} = \frac{1}{60}$ અને $q = \frac{1}{v} = \frac{1}{80}$ હોવાથી:
$u = 60 \ km/h$ અને $v = 80 \ km/h$.
આમ,ટ્રેનની ઝડપ $60 \ km/h$ અને બસની ઝડપ $80 \ km/h$ છે.

(A-D) ધારો કે અનીની ઉંમર $x$ વર્ષ છે અને બિજુની ઉંમર $y$ વર્ષ છે.
આપેલ છે કે તેમની ઉંમરનો તફાવત $3\, \text{વર્ષ}$ છે,તેથી બે કિસ્સાઓ શક્ય છે:
કિસ્સો $I$: $x - y = 3$ અથવા કિસ્સો $II$: $y - x = 3$.
અનીના પિતા ધરમની ઉંમર $= 2x$ વર્ષ.
બિજુની બહેન કેથીની ઉંમર $= y/2$ વર્ષ.
ધરમ અને કેથીની ઉંમરનો તફાવત $30\, \text{વર્ષ}$ છે,તેથી $2x - y/2 = 30,$ જેનું સાદું રૂપ $4x - y = 60$ થાય છે.
કિસ્સો $I$: $x - y = 3$ અને $4x - y = 60$.
બીજા સમીકરણમાંથી પ્રથમ સમીકરણ બાદ કરતાં: $(4x - y) - (x - y) = 60 - 3 \implies 3x = 57 \implies x = 19$.
તેથી $y = 19 - 3 = 16$.
કિસ્સો $II$: $y - x = 3 \implies y = x + 3$.
$4x - y = 60$ માં કિંમત મૂકતા: $4x - (x + 3) = 60 \implies 3x = 63 \implies x = 21$.
તેથી $y = 21 + 3 = 24$.
આમ,અની અને બિજુની ઉંમર કાં તો $(19, 16)$ વર્ષ અથવા $(21, 24)$ વર્ષ છે.

(A) ધારો કે બે મિત્રો પાસે રહેલી મૂડી અનુક્રમે $Rs$ $x$ અને $Rs$ $y$ છે.
પ્રથમ શરત મુજબ: "મિત્ર,મને સો આપ! તો હું તારા કરતાં બમણો ધનવાન બની જઈશ."
$x + 100 = 2(y - 100)$
$x + 100 = 2y - 200$
$x - 2y = -300$ $...(i)$
બીજી શરત મુજબ: "જો તું મને દસ આપીશ,તો હું તારા કરતાં છ ગણો ધનવાન બની જઈશ."
$6(x - 10) = y + 10$
$6x - 60 = y + 10$
$6x - y = 70$ $...(ii)$
આ સમીકરણો ઉકેલવા માટે,સમીકરણ $(ii)$ ને $2$ વડે ગુણતા:
$12x - 2y = 140$ $...(iii)$
સમીકરણ $(iii)$ માંથી સમીકરણ $(i)$ બાદ કરતા:
$(12x - 2y) - (x - 2y) = 140 - (-300)$
$11x = 440$
$x = 40$
$x = 40$ ની કિંમત સમીકરણ $(i)$ માં મૂકતા:
$40 - 2y = -300$
$-2y = -340$
$y = 170$
આમ,તેમની પાસે રહેલી મૂડી અનુક્રમે $Rs$ $40$ અને $Rs$ $170$ છે.

(A) ધારો કે ટ્રેનની ઝડપ $x\, km/h$ છે અને લાગતો સમય $t\, \text{કલાક}$ છે. અંતર $d = xt$ $...(i)$.
પ્રથમ શરત મુજબ,જો ઝડપ $(x + 10)\, km/h$ હોય,તો સમય $(t - 2)\, \text{કલાક}$ લાગે છે:
$(x + 10)(t - 2) = d$
$xt - 2x + 10t - 20 = d$
$d = xt$ હોવાથી,$-2x + 10t = 20$,અથવા $-x + 5t = 10$ $...(ii)$.
બીજી શરત મુજબ,જો ઝડપ $(x - 10)\, km/h$ હોય,તો સમય $(t + 3)\, \text{કલાક}$ લાગે છે:
$(x - 10)(t + 3) = d$
$xt + 3x - 10t - 30 = d$
$d = xt$ હોવાથી,$3x - 10t = 30$ $...(iii)$.
સમીકરણ $(ii)$ ને $2$ વડે ગુણતા,$-2x + 10t = 20$ $...(iv)$ મળે છે.
$(iii)$ અને $(iv)$ નો સરવાળો કરતા:
$(3x - 10t) + (-2x + 10t) = 30 + 20$
$x = 50\, km/h$.
સમીકરણ $(ii)$ માં $x = 50$ મુકતા:
$-50 + 5t = 10$
$5t = 60$
$t = 12\, \text{કલાક}$.
અંતર $d = xt = 50 \times 12 = 600\, km$.

(36) ધારો કે હારની સંખ્યા $x$ છે અને એક હારમાં વિદ્યાર્થીઓની સંખ્યા $y$ છે.
વર્ગમાં કુલ વિદ્યાર્થીઓની સંખ્યા $= x \times y = xy$.
પ્રથમ શરત મુજબ:
જો દરેક હારમાં $3$ વિદ્યાર્થીઓ વધારે હોય,તો $1$ હાર ઓછી થાય છે.
$(x - 1)(y + 3) = xy$
$xy + 3x - y - 3 = xy$
$3x - y = 3$ $...(i)$
બીજી શરત મુજબ:
જો દરેક હારમાં $3$ વિદ્યાર્થીઓ ઓછા હોય,તો $2$ હાર વધારે થાય છે.
$(x + 2)(y - 3) = xy$
$xy - 3x + 2y - 6 = xy$
$-3x + 2y = 6$ $...(ii)$
સમીકરણ $(i)$ અને સમીકરણ $(ii)$ નો સરવાળો કરતા:
$(3x - y) + (-3x + 2y) = 3 + 6$
$y = 9$
સમીકરણ $(i)$ માં $y = 9$ મૂકતા:
$3x - 9 = 3$
$3x = 12$
$x = 4$
કુલ વિદ્યાર્થીઓની સંખ્યા $= xy = 4 \times 9 = 36$.

(A) આપેલ છે કે,$\angle C = 3 \angle B = 2(\angle A + \angle B)$.
$3 \angle B = 2(\angle A + \angle B)$ પરથી,આપણને $3 \angle B = 2 \angle A + 2 \angle B$ મળે છે,જેનું સાદું રૂપ આપતા $\angle B = 2 \angle A$ અથવા $2 \angle A - \angle B = 0 \dots (i)$ મળે છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે ત્રિકોણના ત્રણેય ખૂણાઓનો સરવાળો $180^{\circ}$ થાય છે,તેથી $\angle A + \angle B + \angle C = 180^{\circ}$.
$\angle C = 3 \angle B$ હોવાથી,આ કિંમત સરવાળામાં મૂકતા: $\angle A + \angle B + 3 \angle B = 180^{\circ}$,જે $\angle A + 4 \angle B = 180^{\circ} \dots (ii)$ આપે છે.
સમીકરણ $(i)$ ને $4$ વડે ગુણતા,આપણને $8 \angle A - 4 \angle B = 0 \dots (iii)$ મળે છે.
સમીકરણ $(ii)$ અને $(iii)$ નો સરવાળો કરતા,$9 \angle A = 180^{\circ}$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $\angle A = 20^{\circ}$.
$\angle A = 20^{\circ}$ ને સમીકરણ $(ii)$ માં મૂકતા,$20^{\circ} + 4 \angle B = 180^{\circ}$ મળે છે,તેથી $4 \angle B = 160^{\circ}$,જે $\angle B = 40^{\circ}$ આપે છે.
અંતે,$\angle C = 3 \angle B = 3 \times 40^{\circ} = 120^{\circ}$.
આમ,ખૂણાઓ $\angle A = 20^{\circ}$,$\angle B = 40^{\circ}$ અને $\angle C = 120^{\circ}$ છે.

(N/A) સમીકરણ $5x - y = 5$ માટે,આપણે $y = 5x - 5$ લખી શકીએ છીએ. ઉકેલનું કોષ્ટક નીચે મુજબ છે:

$x$	$0$	$1$	$2$
$y$	$-5$	$0$	$5$

સમીકરણ $3x - y = 3$ માટે,આપણે $y = 3x - 3$ લખી શકીએ છીએ. ઉકેલનું કોષ્ટક નીચે મુજબ છે:

$x$	$0$	$1$	$2$
$y$	$-3$	$0$	$3$

આ બિંદુઓને આલેખ પર દર્શાવતા,આપણને બે રેખાઓ મળે છે જે $(1, 0)$ બિંદુએ છેદે છે.
આ ત્રિકોણ આ બે રેખાઓ અને $y$-અક્ષ (જ્યાં $x = 0$ છે) દ્વારા બને છે.
ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓ એ બે રેખાઓનું છેદબિંદુ $(1, 0)$ અને દરેક રેખા $y$-અક્ષને જ્યાં છેદે છે તે બિંદુઓ $(0, -3)$ અને $(0, -5)$ છે.
આમ,શિરોબિંદુઓના યામ $(1, 0)$,$(0, -3)$ અને $(0, -5)$ છે.

(N/A) આપેલા સમીકરણો:
$px + qy = p - q \quad \dots(1)$
$qx - py = p + q \quad \dots(2)$
$y$ નો લોપ કરવા માટે,સમીકરણ $(1)$ ને $p$ વડે અને સમીકરણ $(2)$ ને $q$ વડે ગુણતા:
$p(px + qy) = p(p - q) \implies p^2x + pqy = p^2 - pq \quad \dots(3)$
$q(qx - py) = q(p + q) \implies q^2x - pqy = pq + q^2 \quad \dots(4)$
સમીકરણ $(3)$ અને $(4)$ નો સરવાળો કરતા:
$(p^2x + pqy) + (q^2x - pqy) = (p^2 - pq) + (pq + q^2)$
$p^2x + q^2x = p^2 + q^2$
$x(p^2 + q^2) = p^2 + q^2$
$x = \frac{p^2 + q^2}{p^2 + q^2} = 1$
$x = 1$ ની કિંમત સમીકરણ $(1)$ માં મૂકતા:
$p(1) + qy = p - q$
$p + qy = p - q$
$qy = -q$
$y = -1$
આમ,ઉકેલ $x = 1$ અને $y = -1$ છે.

(N/A) $ax + by = c \dots(1)$
$bx + ay = 1 + c \dots(2)$
સમીકરણ $(1)$ ને $a$ વડે અને સમીકરણ $(2)$ ને $b$ વડે ગુણતા,આપણને મળે છે:
$a^2x + aby = ac \dots(3)$
$b^2x + aby = b + bc \dots(4)$
સમીકરણ $(3)$ માંથી સમીકરણ $(4)$ બાદ કરતા:
$(a^2 - b^2)x = ac - bc - b$
$x = \frac{c(a - b) - b}{a^2 - b^2}$
$x$ ની કિંમત સમીકરણ $(1)$ માં મૂકતા:
$a \left[ \frac{c(a - b) - b}{a^2 - b^2} \right] + by = c$
$by = c - \frac{ac(a - b) - ab}{a^2 - b^2}$
$by = \frac{c(a^2 - b^2) - (a^2c - abc - ab)}{a^2 - b^2}$
$by = \frac{a^2c - b^2c - a^2c + abc + ab}{a^2 - b^2}$
$by = \frac{abc - b^2c + ab}{a^2 - b^2}$
$by = \frac{bc(a - b) + ab}{a^2 - b^2}$
$y = \frac{c(a - b) + a}{a^2 - b^2}$

આપેલ સમીકરણો:
$(a-b)x + (a+b)y = a^2 - 2ab - b^2 \dots(1)$
$(a+b)(x+y) = a^2 + b^2 \dots(2)$
સમીકરણ $(2)$ નું વિસ્તરણ કરતા:
$(a+b)x + (a+b)y = a^2 + b^2 \dots(3)$
સમીકરણ $(1)$ માંથી સમીકરણ $(3)$ બાદ કરતા:
$[(a-b)x + (a+b)y] - [(a+b)x + (a+b)y] = (a^2 - 2ab - b^2) - (a^2 + b^2)$
$(a-b-a-b)x = -2ab - 2b^2$
$-2bx = -2b(a+b)$
$x = a+b$
$x = a+b$ ની કિંમત સમીકરણ $(1)$ માં મુકતા:
$(a-b)(a+b) + (a+b)y = a^2 - 2ab - b^2$
$a^2 - b^2 + (a+b)y = a^2 - 2ab - b^2$
$(a+b)y = -2ab$
$y = \frac{-2ab}{a+b}$

(N/A) આપેલા સમીકરણો:
$(1)$ $152x - 378y = -74$
$(2)$ $-378x + 152y = -604$
પગલું $1$: બંને સમીકરણોનો સરવાળો કરતા:
$(152x - 378x) + (-378y + 152y) = -74 - 604$
$-226x - 226y = -678$
$-226$ વડે ભાગતા:
$x + y = 3$ --- $(3)$
પગલું $2$: સમીકરણ $(1)$ માંથી સમીકરણ $(2)$ બાદ કરતા:
$(152x - (-378x)) + (-378y - 152y) = -74 - (-604)$
$530x - 530y = 530$
$530$ વડે ભાગતા:
$x - y = 1$ --- $(4)$
પગલું $3$: સમીકરણ $(3)$ અને $(4)$ ને ઉકેલતા:
$(3)$ અને $(4)$ નો સરવાળો કરતા: $2x = 4 \implies x = 2$
$(3)$ માંથી $(4)$ બાદ કરતા: $2y = 2 \implies y = 1$
આમ,ઉકેલ $x = 2, y = 1$ છે.

(A) આપેલ સમીકરણો:
$\frac{x}{a} - \frac{y}{b} = 0 \implies bx - ay = 0 \quad \dots(1)$
$ax + by = a^2 + b^2 \quad \dots(2)$
લોપની રીતનો ઉપયોગ કરવા માટે,સમીકરણ $(1)$ ને $b$ વડે અને સમીકરણ $(2)$ ને $a$ વડે ગુણતા:
$b^2x - aby = 0 \quad \dots(3)$
$a^2x + aby = a(a^2 + b^2) = a^3 + ab^2 \quad \dots(4)$
સમીકરણ $(3)$ અને $(4)$ નો સરવાળો કરતા:
$(b^2x - aby) + (a^2x + aby) = 0 + a^3 + ab^2$
$x(a^2 + b^2) = a(a^2 + b^2)$
$x = a$
$x = a$ ની કિંમત સમીકરણ $(1)$ માં મુકતા:
$b(a) - ay = 0$
$ab - ay = 0$
$ay = ab$
$y = b$
આમ,ઉકેલ $x = a$ અને $y = b$ છે.

(N/A) આપણે જાણીએ છીએ કે ચક્રીય ચતુષ્કોણમાં સામસામેના ખૂણાઓના માપનો સરવાળો $180^{\circ}$ થાય છે.
તેથી,$\angle A + \angle C = 180^{\circ}$.
$(4y + 20) + (-4x) = 180$
$-4x + 4y = 160$
$-x + y = 40$ $...(i)$
તે જ રીતે,$\angle B + \angle D = 180^{\circ}$.
$(3y - 5) + (-7x + 5) = 180$
$-7x + 3y = 180$ $...(ii)$
સમીકરણ $(i)$ ને $3$ વડે ગુણતા,આપણને મળે છે:
$-3x + 3y = 120$ $...(iii)$
સમીકરણ $(ii)$ માંથી સમીકરણ $(iii)$ બાદ કરતા:
$(-7x + 3y) - (-3x + 3y) = 180 - 120$
$-4x = 60$
$x = -15$
સમીકરણ $(i)$ માં $x = -15$ મુકતા:
$-(-15) + y = 40$
$15 + y = 40$
$y = 25$
હવે,ખૂણાઓના માપ:
$\angle A = 4y + 20 = 4(25) + 20 = 120^{\circ}$
$\angle B = 3y - 5 = 3(25) - 5 = 70^{\circ}$
$\angle C = -4x = -4(-15) = 60^{\circ}$
$\angle D = -7x + 5 = -7(-15) + 5 = 110^{\circ}$