Mix Examples - Introduction to Trigonometry Questions in Gujarati

(D) કાટકોણ ત્રિકોણ $\Delta ABC$ માં જ્યાં $\angle A = 90^\circ$ છે:
ખૂણા $C$ માટે,સામેની બાજુ $AB = 5$ છે અને પાસેની બાજુ $AC = 12$ છે. કર્ણ $BC = 13$ છે.
ત્રિકોણમિતીય ગુણોત્તરનો ઉપયોગ કરતા:
$\sin C = \frac{\text{સામેની બાજુ}}{\text{કર્ણ}} = \frac{AB}{BC} = \frac{5}{13}$
$\cos C = \frac{\text{પાસેની બાજુ}}{\text{કર્ણ}} = \frac{AC}{BC} = \frac{12}{13}$
તેથી,$\sin C + \cos C = \frac{5}{13} + \frac{12}{13} = \frac{5 + 12}{13} = \frac{17}{13}$.

(A) $\Delta ABC$ માં,$m \angle B = 90^{\circ}$,તેથી $\overline{AC}$ એ કર્ણ છે.
આપેલ છે કે $BC = 3$ અને $AC = 5$.
પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ: $AB^{2} + BC^{2} = AC^{2}$.
$AB^{2} + 3^{2} = 5^{2}$
$AB^{2} + 9 = 25$
$AB^{2} = 25 - 9 = 16$
$AB = \sqrt{16} = 4$.
હવે,$\tan A = \frac{\text{સામેની બાજુ}}{\text{પાસેની બાજુ}} = \frac{BC}{AB}$.
$\tan A = \frac{3}{4}$.

(B) આપણને આપેલ છે કે $\operatorname{cosec} A = \sqrt{10}$.
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ મુજબ,$\sin A$ એ $\operatorname{cosec} A$ નો વ્યસ્ત છે,તેથી $\sin A = \frac{1}{\operatorname{cosec} A}$ થાય.
આ કિંમત મૂકતા,આપણને $\sin A = \frac{1}{\sqrt{10}}$ મળે છે.

(D) આપેલ સમીકરણ: $5 \cos A = 4 \sin A$.
$\tan A$ શોધવા માટે,આપણે જાણીએ છીએ કે $\tan A = \frac{\sin A}{\cos A}$.
સમીકરણની બંને બાજુને $\cos A$ વડે ભાગતા:
$\frac{5 \cos A}{\cos A} = \frac{4 \sin A}{\cos A}$
$5 = 4 \tan A$
હવે,બંને બાજુને $4$ વડે ભાગતા:
$\tan A = \frac{5}{4}$.

(C) આપેલ છે કે,$\tan \theta = \frac{4}{3}$.
પદાવલિ $\frac{5 \sin \theta + 2 \cos \theta}{3 \sin \theta - \cos \theta}$ ની કિંમત શોધવા માટે,અંશ અને છેદ બંનેને $\cos \theta$ વડે ભાગતા (જ્યાં $\cos \theta \neq 0$):
$= \frac{\frac{5 \sin \theta}{\cos \theta} + \frac{2 \cos \theta}{\cos \theta}}{\frac{3 \sin \theta}{\cos \theta} - \frac{\cos \theta}{\cos \theta}}$
$= \frac{5 \tan \theta + 2}{3 \tan \theta - 1}$
હવે $\tan \theta = \frac{4}{3}$ ની કિંમત મૂકતા:
$= \frac{5(\frac{4}{3}) + 2}{3(\frac{4}{3}) - 1}$
$= \frac{\frac{20}{3} + 2}{4 - 1}$
$= \frac{\frac{20 + 6}{3}}{3}$
$= \frac{26}{3 \times 3} = \frac{26}{9}$.

(C) આપણે જાણીએ છીએ કે સેકન્ટ અને કોસાઇન માટેનું ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $\sec \theta = \frac{1}{\cos \theta}$ છે.
આપેલ છે કે $\sec \theta = \frac{13}{5}$.
તેથી,$\cos \theta = \frac{1}{\sec \theta} = \frac{1}{\frac{13}{5}} = \frac{5}{13}$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(A) આપેલ છે કે $3 \cot \theta = 4$,તેથી $\cot \theta = \frac{4}{3}$ મળે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\tan \theta = \frac{1}{\cot \theta}$,તેથી $\tan \theta = \frac{3}{4}$ થાય.
હવે,$\tan \theta$ ની કિંમત પદાવલિમાં મૂકતા:
$\frac{1 - \tan^2 \theta}{1 + \tan^2 \theta} = \frac{1 - (\frac{3}{4})^2}{1 + (\frac{3}{4})^2}$
$= \frac{1 - \frac{9}{16}}{1 + \frac{9}{16}}$
$= \frac{\frac{16 - 9}{16}}{\frac{16 + 9}{16}}$
$= \frac{7}{25}$.

(D) $0^{\circ} < \theta < 90^{\circ}$ માટે:
$1$. $\cos \theta$ ની કિંમત $0$ અને $1$ ની વચ્ચે હોય છે $(0 < \cos \theta < 1)$. તેથી,$\cos \theta > 1$ ખોટું છે.
$2$. $\operatorname{cosec} \theta$ ની કિંમત હંમેશા $1$ કરતા મોટી હોય છે $(\operatorname{cosec} \theta > 1)$. તેથી,$\operatorname{cosec} \theta < 1$ ખોટું છે.
$3$. પ્રથમ ચરણમાં $\tan \theta$ ની કિંમત હંમેશા ધન હોય છે $(\tan \theta > 0)$. તેથી,$\tan \theta < 0$ ખોટું છે.
$4$. $0^{\circ} < \theta < 90^{\circ}$ માટે $\sec \theta$ ની કિંમત હંમેશા $1$ કરતા મોટી હોય છે $(\sec \theta > 1)$. તેથી,$\sec \theta > 1$ સાચું છે.
આમ,વિકલ્પ $D$ સાચો છે.

(A) આપેલ છે કે $\sin \theta = \frac{1}{2}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે ત્રિકોણમિતીય કોષ્ટક મુજબ $\sin 30^\circ = \frac{1}{2}$ થાય છે.
બંને બાજુ સરખાવતા,આપણને $\theta = 30^\circ$ મળે છે.

(B) આપેલ છે કે $\cos \theta = \frac{1}{\sqrt{2}}.$
ત્રિકોણમિતીય કોષ્ટક મુજબ,આપણે જાણીએ છીએ કે $\cos 45^\circ = \frac{1}{\sqrt{2}}.$
બંને બાજુ સરખાવતા,આપણને $\theta = 45^\circ$ મળે છે.

(C) આપેલ છે કે $\tan \theta = \sqrt{3}$.
ત્રિકોણમિતીય કોષ્ટક પરથી આપણે જાણીએ છીએ કે $\tan 60^\circ = \sqrt{3}$ થાય છે.
બંને બાજુ સરખાવતા,આપણને $\theta = 60^\circ$ મળે છે.

(C) આપેલ છે કે $\operatorname{cosec} \theta = \frac{2}{\sqrt{3}}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\operatorname{cosec} \theta = \frac{1}{\sin \theta}$,તેથી $\sin \theta = \frac{1}{\operatorname{cosec} \theta} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
ત્રિકોણમિતીય પ્રમાણિત મૂલ્યો પરથી આપણે જાણીએ છીએ કે $\sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
બંને બાજુ સરખાવતા,આપણને $\theta = 60^\circ$ મળે છે.

(A) આપેલ છે કે $\sec \theta = 1$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\sec \theta = \frac{1}{\cos \theta}$.
તેથી,$\frac{1}{\cos \theta} = 1$,જેનો અર્થ છે કે $\cos \theta = 1$.
કારણ કે $\cos 0^{\circ} = 1$ થાય છે,તેથી $\theta = 0^{\circ}$ મળે છે.

(C) આપણે ત્રિકોણમિતીય મૂલ્યો જાણીએ છીએ: $\sin 60^{\circ} = \frac{\sqrt{3}}{2}$,$\sin 45^{\circ} = \frac{1}{\sqrt{2}}$,$\cos 60^{\circ} = \frac{1}{2}$,અને $\cos 45^{\circ} = \frac{1}{\sqrt{2}}$.
આ કિંમતોને પદાવલિમાં મૂકતા:
$\sin 60^{\circ} \sin 45^{\circ} + \cos 60^{\circ} \cos 45^{\circ} = \left( \frac{\sqrt{3}}{2} \right) \left( \frac{1}{\sqrt{2}} \right) + \left( \frac{1}{2} \right) \left( \frac{1}{\sqrt{2}} \right)$
$= \frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{2}} + \frac{1}{2\sqrt{2}}$
$= \frac{\sqrt{3} + 1}{2\sqrt{2}}$
છેદનું સંમેયીકરણ કરવા માટે,અંશ અને છેદને $\sqrt{2}$ વડે ગુણતા:
$= \frac{(\sqrt{3} + 1) \times \sqrt{2}}{2\sqrt{2} \times \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{2 \times 2} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$.

(D) આપણે ત્રિકોણમિતીય મૂલ્યો જાણીએ છીએ: $\sin 60^{\circ} = \frac{\sqrt{3}}{2}$,$\cos 30^{\circ} = \frac{\sqrt{3}}{2}$,$\sin 30^{\circ} = \frac{1}{2}$,અને $\cos 60^{\circ} = \frac{1}{2}$.
આ કિંમતોને પદાવલિમાં મૂકતા:
$\frac{\sin 60^{\circ} + \cos 30^{\circ}}{1 + \sin 30^{\circ} + \cos 60^{\circ}} = \frac{\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}}{1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{2}}$
$= \frac{\frac{2\sqrt{3}}{2}}{1 + 1}$
$= \frac{\sqrt{3}}{2}$

(B) આપેલ સમીકરણ: $\sin x = \sin 60^{\circ} \cdot \cos 30^{\circ} - \cos 60^{\circ} \cdot \sin 30^{\circ}$.
ત્રિકોણમિતીય મૂલ્યોનો ઉપયોગ કરતા: $\sin 60^{\circ} = \frac{\sqrt{3}}{2}$,$\cos 30^{\circ} = \frac{\sqrt{3}}{2}$,$\cos 60^{\circ} = \frac{1}{2}$,અને $\sin 30^{\circ} = \frac{1}{2}$.
આ કિંમતો સમીકરણમાં મૂકતા:
$\sin x = \left( \frac{\sqrt{3}}{2} \right) \cdot \left( \frac{\sqrt{3}}{2} \right) - \left( \frac{1}{2} \right) \cdot \left( \frac{1}{2} \right)$
$\sin x = \frac{3}{4} - \frac{1}{4}$
$\sin x = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$
આપણે જાણીએ છીએ કે $\sin 30^{\circ} = \frac{1}{2}$,તેથી $\sin x = \sin 30^{\circ}$.
આમ,$x = 30^{\circ}$.

(D) આપેલ છે કે $\cot \theta = \frac{a}{b}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\cot \theta = \frac{\cos \theta}{\sin \theta}$,તેથી $\frac{\cos \theta}{\sin \theta} = \frac{a}{b}$.
$\frac{\cos \theta - \sin \theta}{\cos \theta + \sin \theta}$ ની કિંમત શોધવા માટે,અંશ અને છેદ બંનેને $\sin \theta$ વડે ભાગતા:
$\frac{\frac{\cos \theta}{\sin \theta} - \frac{\sin \theta}{\sin \theta}}{\frac{\cos \theta}{\sin \theta} + \frac{\sin \theta}{\sin \theta}} = \frac{\cot \theta - 1}{\cot \theta + 1}$.
$\cot \theta = \frac{a}{b}$ મૂકતા:
$\frac{\frac{a}{b} - 1}{\frac{a}{b} + 1} = \frac{\frac{a-b}{b}}{\frac{a+b}{b}} = \frac{a-b}{a+b}$.

(B) આપેલ પદાવલિ: $2 \sin ^{2} 30^{\circ} \cot 30^{\circ}-3 \cos ^{2} 60^{\circ} \sec ^{2} 30^{\circ}$
ત્રિકોણમિતીય મૂલ્યો મૂકતા: $\sin 30^{\circ} = \frac{1}{2}$,$\cot 30^{\circ} = \sqrt{3}$,$\cos 60^{\circ} = \frac{1}{2}$,$\sec 30^{\circ} = \frac{2}{\sqrt{3}}$.
$= 2 \left(\frac{1}{2}\right)^{2} (\sqrt{3}) - 3 \left(\frac{1}{2}\right)^{2} \left(\frac{2}{\sqrt{3}}\right)^{2}$
$= 2 \times \frac{1}{4} \times \sqrt{3} - 3 \times \frac{1}{4} \times \frac{4}{3}$
$= \frac{\sqrt{3}}{2} - 1$
$= \frac{\sqrt{3}-2}{2}$

(D) આપેલ છે કે $\cos \theta = \sin \theta.$
બંને બાજુ $\cos \theta$ વડે ભાગતા,આપણને મળે $\frac{\cos \theta}{\cos \theta} = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}.$
તેથી,$1 = \tan \theta.$
$\theta$ લઘુકોણ હોવાથી,$\theta = 45^{\circ}.$
હવે,$2 \tan^{2} \theta + \sin^{2} \theta + 1$ માં $\theta = 45^{\circ}$ મૂકતા,
$2 \tan^{2} 45^{\circ} + \sin^{2} 45^{\circ} + 1 = 2(1)^{2} + (\frac{1}{\sqrt{2}})^{2} + 1.$
$= 2(1) + \frac{1}{2} + 1.$
$= 3 + \frac{1}{2} = \frac{7}{2}.$

(B) $0^{\circ} < \theta < 90^{\circ}$ ના અંતરાલમાં:
$1$. જેમ $\theta$ નું મૂલ્ય $0^{\circ}$ થી $90^{\circ}$ સુધી વધે છે,તેમ $\sin \theta$ નું મૂલ્ય $0$ થી $1$ સુધી વધે છે.
$2$. જેમ $\theta$ નું મૂલ્ય $0^{\circ}$ થી $90^{\circ}$ સુધી વધે છે,તેમ $\cos \theta$ નું મૂલ્ય $1$ થી $0$ સુધી ઘટે છે.
$3$. જેમ $\theta$ નું મૂલ્ય $0^{\circ}$ થી $90^{\circ}$ સુધી વધે છે,તેમ $\operatorname{cosec} \theta$ નું મૂલ્ય $\infty$ થી $1$ સુધી ઘટે છે.
$4$. જેમ $\theta$ નું મૂલ્ય $0^{\circ}$ થી $90^{\circ}$ સુધી વધે છે,તેમ $\cot \theta$ નું મૂલ્ય $\infty$ થી $0$ સુધી ઘટે છે.
તેથી,આપેલા વિકલ્પોમાંથી માત્ર $\sin \theta$ નું મૂલ્ય $\theta$ વધવાની સાથે વધે છે.

(A) ત્રિકોણમિતિમાં,કોટિકોણના ત્રિકોણમિતીય ગુણોત્તર નીચે મુજબ વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે:
$\sin (90^\circ - \theta) = \cos \theta$
$\cos (90^\circ - \theta) = \sin \theta$
$\tan (90^\circ - \theta) = \cot \theta$
$\cot (90^\circ - \theta) = \tan \theta$
$\sec (90^\circ - \theta) = \operatorname{cosec} \theta$
$\operatorname{cosec} (90^\circ - \theta) = \sec \theta$
તેથી,કોટિકોણ માટેના પ્રમાણિત ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ મુજબ,$\sin (90^\circ - \theta) = \cos \theta$ થાય છે.

(B) ત્રિકોણમિતિમાં,કોટિકોણના નિત્યસમ મુજબ,$(90^\circ - \theta)$ ખૂણા માટેના ત્રિકોણમિતીય વિધેયો એ $\theta$ ના સહ-વિધેયો સાથે સંબંધિત છે.
ચોક્કસ રીતે,સેકન્ટ (secant) વિધેય માટે,નિત્યસમ $\sec (90^\circ - \theta) = \operatorname{cosec} \theta$ છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(B) ત્રિકોણમિતિમાં,કોટિકોણના ત્રિકોણમિતીય ગુણોત્તરો નીચે મુજબ વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે:
$\sin (90^\circ - \theta) = \cos \theta$
$\cos (90^\circ - \theta) = \sin \theta$
$\tan (90^\circ - \theta) = \cot \theta$
$\cot (90^\circ - \theta) = \tan \theta$
$\sec (90^\circ - \theta) = \operatorname{cosec} \theta$
$\operatorname{cosec} (90^\circ - \theta) = \sec \theta$
તેથી,$\tan (90^\circ - \theta) = \cot \theta$ થાય છે.

(B) આપણે કોટિકોણ માટે ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ જાણીએ છીએ: $\cos \theta = \sin(90^{\circ} - \theta)$.
આ નિત્યસમમાં $\theta = 35^{\circ}$ મૂકતા:
$\cos 35^{\circ} = \sin(90^{\circ} - 35^{\circ})$.
$\cos 35^{\circ} = \sin 55^{\circ}$.

(B) આપણે જાણીએ છીએ કે કોટિકોણ માટે ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $\operatorname{cosec} \theta = \sec(90^{\circ} - \theta)$ છે.
આ નિત્યસમમાં $\theta = 40^{\circ}$ મૂકતા:
$\operatorname{cosec} 40^{\circ} = \sec(90^{\circ} - 40^{\circ})$
$\operatorname{cosec} 40^{\circ} = \sec 50^{\circ}$

(C) આપણે કોટિકોણના ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ જાણીએ છીએ: $\sin(90^{\circ} - A) = \cos A$ અને $\cos(90^{\circ} - A) = \sin A$.
આપેલ સમીકરણ: $\sin 70^{\circ} = \cos \theta$.
આપણે $\sin 70^{\circ}$ ને $\cos(90^{\circ} - 70^{\circ})$ તરીકે લખી શકીએ છીએ.
તેથી,$\cos(90^{\circ} - 70^{\circ}) = \cos \theta$.
આનું સાદું રૂપ આપતા $\cos 20^{\circ} = \cos \theta$ મળે છે.
ખૂણાઓની સરખામણી કરતા,આપણને $\theta = 20^{\circ}$ મળે છે.

(C) આપણે કોટિકોણના ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમનો ઉપયોગ કરીએ છીએ: $\cos \theta = \sin(90^{\circ} - \theta)$ અને $\sin \theta = \cos(90^{\circ} - \theta)$.
પ્રથમ પદ માટે: $\cos 50^{\circ} = \sin(90^{\circ} - 50^{\circ}) = \sin 40^{\circ}$.
તેથી,$\frac{\cos 50^{\circ}}{\sin 40^{\circ}} = \frac{\sin 40^{\circ}}{\sin 40^{\circ}} = 1$.
બીજા પદ માટે: $\cos 75^{\circ} = \sin(90^{\circ} - 75^{\circ}) = \sin 15^{\circ}$.
તેથી,$\frac{\sin 15^{\circ}}{\cos 75^{\circ}} = \frac{\sin 15^{\circ}}{\sin 15^{\circ}} = 1$.
બંને પરિણામોનો સરવાળો કરતા: $1 + 1 = 2$.

(A) આપેલ છે કે $\sin \theta + \sin^2 \theta = 1$.
આને આપણે $\sin \theta = 1 - \sin^2 \theta$ તરીકે લખી શકીએ.
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણે જાણીએ છીએ કે $1 - \sin^2 \theta = \cos^2 \theta$.
તેથી,$\sin \theta = \cos^2 \theta$.
હવે,આપણે $\cos^2 \theta + \cos^4 \theta$ ની કિંમત શોધવાની છે.
આ પદમાં $\cos^2 \theta = \sin \theta$ મૂકતા:
$\cos^2 \theta + \cos^4 \theta = \sin \theta + (\cos^2 \theta)^2$.
કારણ કે $\cos^2 \theta = \sin \theta$,તેથી $(\cos^2 \theta)^2 = \sin^2 \theta$.
આમ,પદ $\sin \theta + \sin^2 \theta$ બને છે.
આપેલ છે કે $\sin \theta + \sin^2 \theta = 1$,તેથી અંતિમ જવાબ $1$ છે.

(A) આપેલ પદાવલિ $\sin 60^{\circ} \cdot \cos 30^{\circ} + \cos 60^{\circ} \cdot \sin 30^{\circ}$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે ત્રિકોણમિતીય મૂલ્યો: $\sin 60^{\circ} = \frac{\sqrt{3}}{2}$,$\cos 30^{\circ} = \frac{\sqrt{3}}{2}$,$\cos 60^{\circ} = \frac{1}{2}$,અને $\sin 30^{\circ} = \frac{1}{2}$ છે.
આ મૂલ્યોને પદાવલિમાં મૂકતા:
$= (\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}) + (\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2})$
$= \frac{3}{4} + \frac{1}{4}$
$= \frac{4}{4} = 1$.
વૈકલ્પિક રીતે,નિત્યસમ $\sin(A + B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $A = 60^{\circ}$ અને $B = 30^{\circ}$ છે:
$= \sin(60^{\circ} + 30^{\circ}) = \sin 90^{\circ} = 1$.

(D) આપણે જાણીએ છીએ કે $\sec \theta = \frac{1}{\cos \theta}$ અને $\operatorname{cosec} \theta = \frac{1}{\sin \theta}$ થાય છે.
વળી,$\sin(90^{\circ} - \theta) = \cos \theta$ અને $\cos(90^{\circ} - \theta) = \sin \theta$ થાય છે.
આપેલ પદાવલિ: $\sec 55^{\circ} \cdot \sin 35^{\circ} + \cos 35^{\circ} \cdot \operatorname{cosec} 55^{\circ}$.
$55^{\circ}$ ને $(90^{\circ} - 35^{\circ})$ તરીકે લખતા:
$= \sec(90^{\circ} - 35^{\circ}) \cdot \sin 35^{\circ} + \cos 35^{\circ} \cdot \operatorname{cosec}(90^{\circ} - 35^{\circ})$
$= \operatorname{cosec} 35^{\circ} \cdot \sin 35^{\circ} + \cos 35^{\circ} \cdot \sec 35^{\circ}$
કારણ કે $\operatorname{cosec} 35^{\circ} = \frac{1}{\sin 35^{\circ}}$ અને $\sec 35^{\circ} = \frac{1}{\cos 35^{\circ}}$ હોવાથી:
$= \left(\frac{1}{\sin 35^{\circ}}\right) \cdot \sin 35^{\circ} + \cos 35^{\circ} \cdot \left(\frac{1}{\cos 35^{\circ}}\right)$
$= 1 + 1 = 2$.

(D) આપેલ પદાવલિ: $(1-\cos \theta)(1+\cos \theta)$.
બીજગણિતીય નિત્યસમ $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$ નો ઉપયોગ કરતા:
$(1-\cos \theta)(1+\cos \theta) = 1^2 - \cos^2 \theta = 1 - \cos^2 \theta$.
મૂળભૂત ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ મુજબ,આપણે $1 - \cos^2 \theta = \sin^2 \theta$ લખી શકીએ છીએ.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(C) આપણે જાણીએ છીએ કે $\sin(90^{\circ} - \theta) = \cos \theta$.
તેથી,$\sin 80^{\circ} = \sin(90^{\circ} - 10^{\circ}) = \cos 10^{\circ}$.
આ કિંમતને આપેલ પદાવલિમાં મૂકતા:
$(\cos 10^{\circ} + \cos 10^{\circ})(\cos 10^{\circ} - \cos 10^{\circ})$
$= (2 \cos 10^{\circ})(0)$
$= 0$.

(C) આપેલ સમીકરણ: $\tan ^{2} \theta = \sin ^{2} \theta + \cos ^{2} \theta$.
આપણે જાણીએ છીએ કે મૂળભૂત ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ: $\sin ^{2} \theta + \cos ^{2} \theta = 1$ છે.
આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા,આપણને મળે છે: $\tan ^{2} \theta = 1$.
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા: $\tan \theta = 1$ (લઘુકોણ માટે).
આપણે જાણીએ છીએ કે $\tan 45^{\circ} = 1$,તેથી $\theta = 45^{\circ}$.

(D) આપણે ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમનું વિશ્લેષણ કરીએ:
$1$. $\cos \theta = \frac{1}{\sec \theta}$ ($c$ સાથે જોડાય છે)
$2$. $\tan \theta = \frac{1}{\cot \theta}$ ($d$ સાથે જોડાય છે)
$3$. $\cot \theta = \frac{\cos \theta}{\sin \theta}$ ($a$ સાથે જોડાય છે)
$4$. $\sin \theta = \frac{1}{\csc \theta}$ ($b$ સાથે જોડાય છે)
આમ,સાચી જોડી $(1-c), (2-d), (3-a), (4-b)$ છે.

(A) કોટીકોણના ત્રિકોણમિતીય ગુણોત્તરનો ઉપયોગ કરતા:
$1$. $\cos(90^\circ - \theta) = \sin \theta$. તેથી,$1$ એ $b$ સાથે જોડાય છે.
$2$. $\cot(90^\circ - \theta) = \tan \theta$. તેથી,$2$ એ $d$ સાથે જોડાય છે.
$3$. $\operatorname{cosec}(90^\circ - \theta) = \sec \theta$. તેથી,$3$ એ $a$ સાથે જોડાય છે.
આમ,સાચી જોડ $(1-b), (2-d), (3-a)$ છે.

(D) આપણે જાણીએ છીએ કે $\tan \theta = \cot(90^{\circ} - \theta)$.
આ નિત્યસમનો ઉપયોગ કરતા:
$\tan 48^{\circ} = \tan(90^{\circ} - 42^{\circ}) = \cot 42^{\circ}$
$\tan 67^{\circ} = \tan(90^{\circ} - 23^{\circ}) = \cot 23^{\circ}$
હવે,આ કિંમતોને પદાવલિમાં મૂકતા:
$\tan 23^{\circ} \tan 42^{\circ} \tan 48^{\circ} \tan 67^{\circ} = \tan 23^{\circ} \tan 42^{\circ} \cot 42^{\circ} \cot 23^{\circ}$
પદોને ગોઠવતા:
$= (\tan 23^{\circ} \cot 23^{\circ}) \times (\tan 42^{\circ} \cot 42^{\circ})$
કારણ કે $\tan \theta \times \cot \theta = 1$ હોવાથી:
$= 1 \times 1 = 1$

(D) આપેલ છે: $\sec 4A = \operatorname{cosec}(A - 20^\circ)$
આપણે જાણીએ છીએ કે $\sec \theta = \operatorname{cosec}(90^\circ - \theta)$.
તેથી,$\operatorname{cosec}(90^\circ - 4A) = \operatorname{cosec}(A - 20^\circ)$.
ખૂણાઓને સરખાવતા: $90^\circ - 4A = A - 20^\circ$.
પદોને ગોઠવતા: $90^\circ + 20^\circ = A + 4A$.
$110^\circ = 5A$.
$A = \frac{110^\circ}{5} = 22^\circ$.

(B) આપેલ છે કે $A+B+C=180^{\circ}$.
આપણે $A+B = 180^{\circ}-C$ લખી શકીએ.
બંને બાજુ $2$ વડે ભાગતા,આપણને $\frac{A+B}{2} = \frac{180^{\circ}-C}{2} = 90^{\circ}-\frac{C}{2}$ મળે છે.
હવે,બંને બાજુ ટેન્જન્ટ લેતા: $\tan \left(\frac{A+B}{2}\right) = \tan \left(90^{\circ}-\frac{C}{2}\right)$.
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $\tan(90^{\circ}-\theta) = \cot \theta$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $\tan \left(\frac{A+B}{2}\right) = \cot \frac{C}{2}$ મળે છે.

(D) આપણે જાણીએ છીએ કે $\sin(90^{\circ}-A) = \cos A$.
તેથી,$\sin(50^{\circ}+\theta) = \cos(90^{\circ}-(50^{\circ}+\theta))$.
$= \cos(90^{\circ}-50^{\circ}-\theta) = \cos(40^{\circ}-\theta)$.
આ કિંમતને મૂળ પદાવલિમાં મૂકતા:
$\cos(40^{\circ}-\theta) - \sin(50^{\circ}+\theta) = \cos(40^{\circ}-\theta) - \cos(40^{\circ}-\theta) = 0$.

(C) આપણે જાણીએ છીએ કે $\cos(90^{\circ}-\theta) = \sin \theta$ અને $\sin(90^{\circ}-\theta) = \cos \theta$.
તેથી,$\cos^{2} 50^{\circ} = \cos^{2}(90^{\circ}-40^{\circ}) = \sin^{2} 40^{\circ}$.
તે જ રીતે,$\sin^{2} 50^{\circ} = \sin^{2}(90^{\circ}-40^{\circ}) = \cos^{2} 40^{\circ}$.
આ કિંમતોને પદાવલિમાં મૂકતા:
$\frac{\cos^{2} 40^{\circ} + \sin^{2} 40^{\circ}}{\sin^{2} 40^{\circ} + \cos^{2} 40^{\circ}}$.
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $\sin^{2} \theta + \cos^{2} \theta = 1$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે:
$\frac{1}{1} = 1$.

(A) આપેલ પદાવલિ: $\sin 48^{\circ} \sec 42^{\circ} + \cos 48^{\circ} \operatorname{cosec} 42^{\circ}$
કોટીકોણના નિત્યસમનો ઉપયોગ કરતા: $\sin(90^{\circ} - \theta) = \cos \theta$ અને $\cos(90^{\circ} - \theta) = \sin \theta$.
આપણે લખી શકીએ:
$\sin 48^{\circ} = \sin(90^{\circ} - 42^{\circ}) = \cos 42^{\circ}$
$\cos 48^{\circ} = \cos(90^{\circ} - 42^{\circ}) = \sin 42^{\circ}$
આ કિંમતોને પદાવલિમાં મૂકતા:
$= \cos 42^{\circ} \sec 42^{\circ} + \sin 42^{\circ} \operatorname{cosec} 42^{\circ}$
કારણ કે $\cos \theta \sec \theta = 1$ અને $\sin \theta \operatorname{cosec} \theta = 1$ હોવાથી:
$= 1 + 1 = 2$

(A) આપણે કોટિકોણના ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમનો ઉપયોગ કરીશું:
$\cos (90^{\circ}- A ) = \sin A$
$\sin (90^{\circ}- A ) = \cos A$
$\tan (90^{\circ}- A ) = \cot A$
આ કિંમતોને પદાવલિમાં મૂકતા:
$\frac{\cos (90^{\circ}- A ) \sin (90^{\circ}- A )}{\tan (90^{\circ}- A )} = \frac{\sin A \cdot \cos A}{\cot A}$
કારણ કે $\cot A = \frac{\cos A}{\sin A}$,તેથી:
$= \frac{\sin A \cdot \cos A}{\frac{\cos A}{\sin A}}$
$= \sin A \cdot \cos A \cdot \frac{\sin A}{\cos A}$
$= \sin A \cdot \sin A = \sin ^{2} A$

(C) આપેલ છે કે $\sin 3 \theta = \cos (\theta - 26^{\circ})$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\sin A = \cos (90^{\circ} - A)$.
તેથી,$\cos (90^{\circ} - 3 \theta) = \cos (\theta - 26^{\circ})$.
ખૂણાઓને સરખાવતા,આપણને મળે છે $90^{\circ} - 3 \theta = \theta - 26^{\circ}$.
પદોને ગોઠવતા,$90^{\circ} + 26^{\circ} = \theta + 3 \theta$.
$116^{\circ} = 4 \theta$.
$\theta = \frac{116^{\circ}}{4} = 29^{\circ}$.
આમ,$\theta$ ની કિંમત $29^{\circ}$ છે.

(A) આપેલ છે કે $\sin \theta = \cos 30$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\cos 30 = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
તેથી,$\sin \theta = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
કારણ કે $\sin 60 = \frac{\sqrt{3}}{2}$,તેથી $\theta = 60$ મળે.
હવે,પદાવલિ $2 \tan^2 \theta - 1$ માં $\theta = 60$ મૂકતા:
$2 \tan^2 60 - 1 = 2(\sqrt{3})^2 - 1$.
$= 2(3) - 1 = 6 - 1 = 5$.

(C) આપેલ છે કે $\tan A = \cot B$.
આપણે જાણીએ છીએ કે ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $\cot B = \tan(90^\circ - B)$ થાય છે.
આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા,આપણને $\tan A = \tan(90^\circ - B)$ મળે છે.
ખૂણાઓની સરખામણી કરતા,$A = 90^\circ - B$ મળે.
પદોને ગોઠવતા,$A + B = 90^\circ$ થાય છે.

(A) આપેલ છે કે $\sec 2A = \operatorname{cosec}(A - 42^\circ)$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\sec \theta = \operatorname{cosec}(90^\circ - \theta)$.
તેથી,$\sec 2A = \operatorname{cosec}(90^\circ - 2A)$.
આ કિંમત આપેલ સમીકરણમાં મૂકતા:
$\operatorname{cosec}(90^\circ - 2A) = \operatorname{cosec}(A - 42^\circ)$.
ખૂણાઓને સરખાવતા:
$90^\circ - 2A = A - 42^\circ$.
$A$ માટે પદોને ગોઠવતા:
$90^\circ + 42^\circ = A + 2A$.
$132^\circ = 3A$.
$A = \frac{132^\circ}{3} = 44^\circ$.

(D) આપેલ છે કે $\sec \theta = \operatorname{cosec} 60^\circ$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\operatorname{cosec} A = \sec(90^\circ - A)$.
તેથી,$\sec \theta = \sec(90^\circ - 60^\circ) = \sec 30^\circ$.
બંને બાજુ સરખાવતા,આપણને $\theta = 30^\circ$ મળે છે.
હવે,$2 \cos^2 \theta - 1$ પદાવલિમાં $\theta = 30^\circ$ મૂકતા:
$2 \cos^2 30^\circ - 1 = 2 \left( \frac{\sqrt{3}}{2} \right)^2 - 1$.
$= 2 \left( \frac{3}{4} \right) - 1$.
$= \frac{3}{2} - 1 = \frac{1}{2}$.

(D) આપેલ પદાવલિ: $2 \sin ^{2} \theta+4 \sec ^{2} \theta+5 \cot ^{2} \theta+2 \cos ^{2} \theta-4 \tan ^{2} \theta-5 \operatorname{cosec}^{2} \theta$
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમનો ઉપયોગ કરીને પદોને ગોઠવતા:
$= 2(\sin ^{2} \theta + \cos ^{2} \theta) + 4(\sec ^{2} \theta - \tan ^{2} \theta) - 5(\operatorname{cosec}^{2} \theta - \cot ^{2} \theta)$
મૂળભૂત ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમનો ઉપયોગ કરતા:
$1) \sin ^{2} \theta + \cos ^{2} \theta = 1$
$2) \sec ^{2} \theta - \tan ^{2} \theta = 1$
$3) \operatorname{cosec}^{2} \theta - \cot ^{2} \theta = 1$
આ કિંમતો પદાવલિમાં મૂકતા:
$= 2(1) + 4(1) - 5(1)$
$= 2 + 4 - 5$
$= 1$

(B) આપેલ છે કે $\operatorname{cosec} \theta = \sqrt{2}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\operatorname{cosec} 45^{\circ} = \sqrt{2}$,તેથી $\theta = 45^{\circ}$.
હવે,આપણે $\tan \theta$ ની કિંમત શોધવાની છે.
$\tan \theta = \tan 45^{\circ}$.
કારણ કે $\tan 45^{\circ} = 1$,તેથી $\tan \theta$ ની કિંમત $1$ છે.

(A) આપણે જાણીએ છીએ કે ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ: $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$.
તેથી,$\sin^2 \theta = 1 - \cos^2 \theta$.
$\cos \theta = \frac{b}{\sqrt{a^2 + b^2}}$ ની કિંમત મૂકતા:
$\sin^2 \theta = 1 - \left( \frac{b}{\sqrt{a^2 + b^2}} \right)^2 = 1 - \frac{b^2}{a^2 + b^2}$.
લસાઅ લેતા:
$\sin^2 \theta = \frac{(a^2 + b^2) - b^2}{a^2 + b^2} = \frac{a^2}{a^2 + b^2}$.
અહીં $0 < \theta < 90^\circ$ હોવાથી,$\sin \theta$ ધન રહેશે.
આમ,$\sin \theta = \sqrt{\frac{a^2}{a^2 + b^2}} = \frac{a}{\sqrt{a^2 + b^2}}$.