Mix Examples - Introduction to Trigonometry Questions in Gujarati

(D) આપેલ છે કે $\sin \theta = \frac{3}{5}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\cos^2 \theta = 1 - \sin^2 \theta$.
$\cos^2 \theta = 1 - \left(\frac{3}{5}\right)^2 = 1 - \frac{9}{25} = \frac{16}{25}$.
તેથી,$\cos \theta = \sqrt{\frac{16}{25}} = \frac{4}{5}$.
હવે,$\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta} = \frac{3/5}{4/5} = \frac{3}{4}$.

(C) આપેલ છે કે $\sec \theta = \frac{5}{3}$.
આપણે ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $\tan^2 \theta = \sec^2 \theta - 1$ નો ઉપયોગ કરીશું.
$\sec \theta$ ની કિંમત મૂકતા:
$\tan^2 \theta = \left(\frac{5}{3}\right)^2 - 1$
$\tan^2 \theta = \frac{25}{9} - 1$
$\tan^2 \theta = \frac{25 - 9}{9} = \frac{16}{9}$
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા:
$\tan \theta = \sqrt{\frac{16}{9}} = \frac{4}{3}$.

(A) આપણે જાણીએ છીએ કે $\frac{1}{\cos ^{2} \theta} = \sec ^{2} \theta$ અને $\frac{1}{\cot ^{2} \theta} = \tan ^{2} \theta$ થાય છે.
આ કિંમતોને પદાવલિમાં મૂકતા,આપણને $\sec ^{2} \theta - \tan ^{2} \theta$ મળે છે.
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $1 + \tan ^{2} \theta = \sec ^{2} \theta$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $\sec ^{2} \theta - \tan ^{2} \theta = 1$ મળે છે.

(B) આપણે ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ જાણીએ છીએ:
$1 + \tan^{2} \theta = \sec^{2} \theta$ અને $1 - \cos^{2} \theta = \sin^{2} \theta$.
આ કિંમતો પદાવલિમાં મૂકતા:
$(1 + \tan^{2} \theta)(1 - \cos^{2} \theta) = \sec^{2} \theta \cdot \sin^{2} \theta$.
કારણ કે $\sec \theta = \frac{1}{\cos \theta}$,તેથી:
$\sec^{2} \theta \cdot \sin^{2} \theta = \frac{1}{\cos^{2} \theta} \cdot \sin^{2} \theta = \frac{\sin^{2} \theta}{\cos^{2} \theta} = \tan^{2} \theta$.

(A) આપેલ સમીકરણો:
$a \sin \theta = 3$ --- $(1)$
$a \cos \theta = 4$ --- $(2)$
બંને સમીકરણોનો વર્ગ કરતા:
$(a \sin \theta)^2 = 3^2 \implies a^2 \sin^2 \theta = 9$ --- $(3)$
$(a \cos \theta)^2 = 4^2 \implies a^2 \cos^2 \theta = 16$ --- $(4)$
સમીકરણ $(3)$ અને $(4)$ નો સરવાળો કરતા:
$a^2 \sin^2 \theta + a^2 \cos^2 \theta = 9 + 16$
$a^2 (\sin^2 \theta + \cos^2 \theta) = 25$
આપણે જાણીએ છીએ કે $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$,તેથી:
$a^2 (1) = 25$
$a^2 = 25$
અહીં $a > 0$ હોવાથી,ધન વર્ગમૂળ લેતા:
$a = 5$.

(B) આપેલ સમીકરણ: $\sin 5 \theta = \cos 5 \theta$
બંને બાજુ $\cos 5 \theta$ વડે ભાગતા (ધારો કે $\cos 5 \theta \neq 0$):
$\frac{\sin 5 \theta}{\cos 5 \theta} = 1$
$\tan 5 \theta = 1$
આપણે જાણીએ છીએ કે $\tan 45^{\circ} = 1$,તેથી:
$5 \theta = 45^{\circ}$
$\theta = \frac{45^{\circ}}{5} = 9^{\circ}$
આમ,$\theta$ ની કિંમત $9$ છે.

(C) આપેલ છે કે $\cos \theta = \frac{15}{17}$.
નિત્યસમ $\sin^2 \theta = 1 - \cos^2 \theta$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\sin^2 \theta = 1 - \left(\frac{15}{17}\right)^2 = 1 - \frac{225}{289} = \frac{289 - 225}{289} = \frac{64}{289}$.
તેથી,$\sin \theta = \sqrt{\frac{64}{289}} = \frac{8}{17}$.
હવે,$\operatorname{cosec} \theta = \frac{1}{\sin \theta} = \frac{17}{8}$ અને $\cot \theta = \frac{\cos \theta}{\sin \theta} = \frac{15/17}{8/17} = \frac{15}{8}$.
અંતે,$\operatorname{cosec} \theta + \cot \theta = \frac{17}{8} + \frac{15}{8} = \frac{32}{8} = 4$.

(D) આપણે જાણીએ છીએ કે $\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}$ અને $\cot \theta = \frac{\cos \theta}{\sin \theta}$ થાય છે.
આ કિંમતોને પદાવલિમાં મૂકતા: $\tan \theta + \cot \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta} + \frac{\cos \theta}{\sin \theta}$.
છેદ સમાન કરતા: $\frac{\sin^2 \theta + \cos^2 \theta}{\sin \theta \cos \theta}$ મળે.
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ નો ઉપયોગ કરતા: $\frac{1}{\sin \theta \cos \theta}$ મળે.
આમ,$\frac{1}{\sin \theta} = \operatorname{cosec} \theta$ અને $\frac{1}{\cos \theta} = \sec \theta$ હોવાથી,પદાવલિનું સાદું રૂપ $\operatorname{cosec} \theta \cdot \sec \theta$ થાય છે.

(B) આપેલ પદાવલિ: $(\sin \theta + \cos \theta)^2 + (\sin \theta - \cos \theta)^2$.
બીજગણિતના નિત્યસમ $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ અને $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$ નો ઉપયોગ કરીને વિસ્તરણ કરતા:
$= (\sin^2 \theta + 2 \sin \theta \cos \theta + \cos^2 \theta) + (\sin^2 \theta - 2 \sin \theta \cos \theta + \cos^2 \theta)$.
સમાન પદોને ભેગા કરતા,$2 \sin \theta \cos \theta$ અને $-2 \sin \theta \cos \theta$ ઉડી જશે:
$= \sin^2 \theta + \cos^2 \theta + \sin^2 \theta + \cos^2 \theta$.
$= 2 \sin^2 \theta + 2 \cos^2 \theta$.
$= 2(\sin^2 \theta + \cos^2 \theta)$.
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ હોવાથી,આ કિંમત મૂકતા:
$= 2(1) = 2$.

(C) આપણે જાણીએ છીએ કે નિત્યસમ $\sec^{2} \theta = 1 + \tan^{2} \theta$ છે.
આપેલ કિંમત મૂકતા: $\sec^{2} \theta = 1 + (\frac{5}{12})^{2}$.
$\sec^{2} \theta = 1 + \frac{25}{144} = \frac{144 + 25}{144} = \frac{169}{144}$.
વર્ગમૂળ લેતા,$\sec \theta = \frac{13}{12}$ મળે.
કારણ કે $\cos \theta = \frac{1}{\sec \theta}$,તેથી $\cos \theta = \frac{12}{13}$ થાય.

(C) આપેલ છે કે $A = 30^{\circ}$.
આપણે $\cos 2A$ ની કિંમત શોધવાની છે.
પદાવલિમાં $A$ ની કિંમત મૂકતા:
$\cos 2A = \cos(2 \times 30^{\circ})$
$\cos 2A = \cos 60^{\circ}$
આપણે જાણીએ છીએ કે $\cos 60^{\circ} = \frac{1}{2}$,તેથી જવાબ $\frac{1}{2}$ છે.

(B) આપણે કોટિકોણ માટેના ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ જાણીએ છીએ: $\tan \theta = \cot(90^{\circ} - \theta)$.
આ નિત્યસમમાં $\theta = 15^{\circ}$ મૂકતા,આપણને મળે છે:
$\tan 15^{\circ} = \cot(90^{\circ} - 15^{\circ})$.
$\tan 15^{\circ} = \cot 75^{\circ}$.
તેથી,$\tan 15^{\circ}$ ની કિંમત $\cot 75^{\circ}$ ની કિંમત જેટલી છે.

(A) આપણે મૂળભૂત ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ જાણીએ છીએ: $\sin ^{2} A + \cos ^{2} A = 1$.
આપેલ સમીકરણ $\sin ^{2} 35^{\circ} + \cos ^{2} \theta = 1$ ને નિત્યસમ $\sin ^{2} A + \cos ^{2} A = 1$ સાથે સરખાવતા,આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે સરવાળો $1$ થવા માટે ખૂણા સમાન હોવા જોઈએ.
તેથી,$\theta = 35^{\circ}$.

(B) આપણે જાણીએ છીએ કે કોટિકોણના ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ મુજબ $\cos (90^\circ - \theta) = \sin \theta$ થાય છે.
આ કિંમત આપેલ પદમાં મૂકતા:
$\sin \theta \cdot \cos (90^\circ - \theta) = \sin \theta \cdot \sin \theta$.
તેથી,આ પદનું સાદું રૂપ $\sin^2 \theta$ મળે છે.

(B) આપેલ સમીકરણ: $\tan ^{2} \theta = \sin ^{2} \theta + \cos ^{2} \theta$
આપણે જાણીએ છીએ કે મૂળભૂત ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ: $\sin ^{2} \theta + \cos ^{2} \theta = 1$
આ નિત્યસમનો ઉપયોગ સમીકરણમાં કરતા,આપણને મળે છે: $\tan ^{2} \theta = 1$
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા અને $0 < \theta < 90^{\circ}$ (જ્યાં $\tan \theta$ ધન છે) ને ધ્યાનમાં લેતા: $\tan \theta = 1$
કારણ કે $\tan 45^{\circ} = 1$,તેથી $\theta = 45^{\circ}$ થાય.

(B) આપેલ સમીકરણ $\sin ^{2}(3 x+30^{\circ})+\cos ^{2}(2 x+45^{\circ})=1$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે મૂળભૂત ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $\sin ^{2} \theta+\cos ^{2} \theta=1$ છે.
આપેલ સમીકરણને નિત્યસમ સાથે સરખાવતા,આપણને $3 x+30^{\circ} = 2 x+45^{\circ}$ મળે છે.
બંને બાજુથી $2x$ બાદ કરતા,$x+30^{\circ} = 45^{\circ}$ મળે છે.
બંને બાજુથી $30^{\circ}$ બાદ કરતા,$x = 15^{\circ}$ મળે છે.

(A) આપણે જાણીએ છીએ કે ત્રિકોણમિતીય મૂલ્યો: $\sin 60^{\circ} = \frac{\sqrt{3}}{2}$,$\tan 45^{\circ} = 1$,$\cos 30^{\circ} = \frac{\sqrt{3}}{2}$,અને $\cot 90^{\circ} = 0$ છે.
આ મૂલ્યોને પદાવલિમાં મૂકતા:
$\sin^{2} 60^{\circ} - \tan 45^{\circ} + \cos^{2} 30^{\circ} - \cot 90^{\circ} = \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^{2} - 1 + \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^{2} - 0$
$= \frac{3}{4} - 1 + \frac{3}{4} - 0$
$= \frac{3}{4} + \frac{3}{4} - 1$
$= \frac{6}{4} - 1 = \frac{3}{2} - 1 = \frac{1}{2}$.

(D) આપણે કોટિકોણના ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ જાણીએ છીએ: $\tan(90^\circ - A) = \cot A$ અને $\sec(90^\circ - A) = \operatorname{cosec} A$.
પ્રથમ,પદ $\tan(65^\circ - \theta)$ ને ધ્યાનમાં લો:
$\tan(65^\circ - \theta) = \cot(90^\circ - (65^\circ - \theta)) = \cot(25^\circ + \theta)$.
ત્યારબાદ,પદ $\sec(55^\circ - \theta)$ ને ધ્યાનમાં લો:
$\sec(55^\circ - \theta) = \operatorname{cosec}(90^\circ - (55^\circ - \theta)) = \operatorname{cosec}(35^\circ + \theta)$.
હવે,આ કિંમતોને આપેલ પદાવલિમાં મૂકતા:
$\tan(65^\circ - \theta) - \cot(25^\circ + \theta) - \sec(55^\circ - \theta) + \operatorname{cosec}(35^\circ + \theta)$
$= \cot(25^\circ + \theta) - \cot(25^\circ + \theta) - \operatorname{cosec}(35^\circ + \theta) + \operatorname{cosec}(35^\circ + \theta)$
$= 0$.

(B) આપેલ પદાવલિ: $8 \sin^{2} 45^{\circ} - 2 \tan^{2} 60^{\circ} + 3 \cot^{2} 30^{\circ} - 2 \cos^{2} 45^{\circ}$
ત્રિકોણમિતીય મૂલ્યો મૂકતા:
$\sin 45^{\circ} = \frac{1}{\sqrt{2}}$,$\tan 60^{\circ} = \sqrt{3}$,$\cot 30^{\circ} = \sqrt{3}$,$\cos 45^{\circ} = \frac{1}{\sqrt{2}}$
$= 8 \left( \frac{1}{\sqrt{2}} \right)^{2} - 2 (\sqrt{3})^{2} + 3 (\sqrt{3})^{2} - 2 \left( \frac{1}{\sqrt{2}} \right)^{2}$
$= 8 \left( \frac{1}{2} \right) - 2 (3) + 3 (3) - 2 \left( \frac{1}{2} \right)$
$= 4 - 6 + 9 - 1$
$= 6$

(C) આપણે જાણીએ છીએ કે $\frac{1}{\cos \theta} = \sec \theta$ થાય.
તેથી,$\frac{1}{\cos ^{2} \theta} = \sec ^{2} \theta$ થાય.
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $1 + \tan ^{2} \theta = \sec ^{2} \theta$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણે લખી શકીએ કે $\sec ^{2} \theta - 1 = \tan ^{2} \theta$.
આમ,$\frac{1}{\cos ^{2} \theta} - 1 = \tan ^{2} \theta$ થાય.

(B) આપણે જાણીએ છીએ કે $\frac{1}{\sin \theta} = \operatorname{cosec} \theta$ થાય છે.
તેથી,$\frac{1}{\sin ^{2} \theta} = \operatorname{cosec}^{2} \theta$ થાય.
આ કિંમત પદાવલિમાં મૂકતા: $\operatorname{cosec}^{2} \theta - 1$.
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $1 + \cot^{2} \theta = \operatorname{cosec}^{2} \theta$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $\operatorname{cosec}^{2} \theta - 1 = \cot^{2} \theta$ મળે છે.

(A) આપણે મૂળભૂત ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ જાણીએ છીએ: $\sec ^{2} \theta - \tan ^{2} \theta = 1$.
$\tan ^{2} \theta - \sec ^{2} \theta$ ની કિંમત શોધવા માટે,આપણે નિત્યસમને $-1$ વડે ગુણી શકીએ છીએ.
$-1 \times (\sec ^{2} \theta - \tan ^{2} \theta) = -1 \times 1$.
તેથી,$\tan ^{2} \theta - \sec ^{2} \theta = -1$.

(B) આપણે જાણીએ છીએ કે બીજગણિતીય નિત્યસમ $a^{2}-b^{2}=(a-b)(a+b)$ છે.
આ નિત્યસમનો ઉપયોગ $\sec ^{4} \theta-\tan ^{4} \theta$ પદાવલિમાં કરતા,આપણને મળે છે:
$\sec ^{4} \theta-\tan ^{4} \theta = (\sec ^{2} \theta - \tan ^{2} \theta)(\sec ^{2} \theta + \tan ^{2} \theta)$.
ત્રિકોણમિતીય મૂળભૂત નિત્યસમ મુજબ,આપણે જાણીએ છીએ કે $\sec ^{2} \theta - \tan ^{2} \theta = 1$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$\sec ^{4} \theta - \tan ^{4} \theta = (1) \times \left(\frac{13}{12}\right) = \frac{13}{12}$.

(C) આપેલ છે કે $\tan \theta = 1$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\tan 45^{\circ} = 1$,તેથી $\theta = 45^{\circ}$ થાય.
હવે,$\theta = 45^{\circ}$ ની કિંમત $\sin \theta \cdot \cos \theta$ માં મૂકતા:
$\sin 45^{\circ} \cdot \cos 45^{\circ} = \left( \frac{1}{\sqrt{2}} \right) \cdot \left( \frac{1}{\sqrt{2}} \right) = \frac{1}{2}$.

(D) આપણને પદાવલિ $\frac{\sec \theta-1}{\sec \theta+1}$ આપેલી છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\sec \theta = \frac{1}{\cos \theta}$,તેથી અંશ અને છેદને $\cos \theta$ વડે ગુણતા:
$\frac{\sec \theta-1}{\sec \theta+1} = \frac{(\sec \theta-1) \cdot \cos \theta}{(\sec \theta+1) \cdot \cos \theta}$
$= \frac{\sec \theta \cdot \cos \theta - \cos \theta}{\sec \theta \cdot \cos \theta + \cos \theta}$
$= \frac{1 - \cos \theta}{1 + \cos \theta}$ (કારણ કે $\sec \theta \cdot \cos \theta = 1$)
આમ,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(D) આપણે જાણીએ છીએ કે $\cot \theta = \frac{1}{\tan \theta}$ થાય છે.
આ કિંમતને પદાવલિમાં મૂકતા,આપણને મળે છે:
$\cot \theta \cdot \tan \theta = \left( \frac{1}{\tan \theta} \right) \cdot \tan \theta = 1$.

(C) આપેલ સમીકરણ: $\cos \theta = \sin 5 \theta$
આપણે જાણીએ છીએ કે $\sin(90^{\circ} - A) = \cos A$,તેથી $\sin 5 \theta = \cos(90^{\circ} - 5 \theta)$ થાય.
આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા: $\cos \theta = \cos(90^{\circ} - 5 \theta)$.
લઘુકોણ માટે કોસાઈન વિધેય એક-એક હોવાથી,આપણે ખૂણાઓને સરખાવી શકીએ:
$\theta = 90^{\circ} - 5 \theta$
$\theta + 5 \theta = 90^{\circ}$
$6 \theta = 90^{\circ}$
$\theta = \frac{90^{\circ}}{6} = 15^{\circ}$.

(A) આપેલ પદાવલિ: $\sin^{2} 30^{\circ} - \tan 45^{\circ} + \cos^{2} 60^{\circ} - \cot 90^{\circ}$
ત્રિકોણમિતીય કિંમતો મૂકતા:
$\sin 30^{\circ} = \frac{1}{2}$,$\tan 45^{\circ} = 1$,$\cos 60^{\circ} = \frac{1}{2}$,અને $\cot 90^{\circ} = 0$
આ કિંમતોને પદાવલિમાં મૂકતા:
$= (\frac{1}{2})^{2} - 1 + (\frac{1}{2})^{2} - 0$
$= \frac{1}{4} - 1 + \frac{1}{4}$
$= \frac{2}{4} - 1$
$= \frac{1}{2} - 1$
$= -\frac{1}{2}$

(D) આપેલ સમીકરણ: $\tan 7 \theta \cdot \tan 3 \theta = 1$
આપણે જાણીએ છીએ કે $\tan 3 \theta = \frac{1}{\cot 3 \theta}$,તેથી $\tan 7 \theta = \frac{1}{\tan 3 \theta} = \cot 3 \theta$.
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $\cot \alpha = \tan(90^{\circ} - \alpha)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\tan 7 \theta = \tan(90^{\circ} - 3 \theta)$
ખૂણાઓને સરખાવતા:
$7 \theta = 90^{\circ} - 3 \theta$
બંને બાજુ $3 \theta$ ઉમેરતા:
$10 \theta = 90^{\circ}$
$10$ વડે ભાગતા:
$\theta = 9^{\circ}$

(C) આપેલ પદાવલિ: $\tan 5^{\circ} \cdot \tan 25^{\circ} \cdot \tan 45^{\circ} \cdot \tan 65^{\circ} \cdot \tan 85^{\circ}$
આપણે જાણીએ છીએ કે $\tan 45^{\circ} = 1$ અને $\tan(90^{\circ} - \theta) = \cot \theta$ થાય છે.
આ કિંમતો મૂકતા:
$= \tan 5^{\circ} \cdot \tan 25^{\circ} \cdot 1 \cdot \tan(90^{\circ} - 25^{\circ}) \cdot \tan(90^{\circ} - 5^{\circ})$
$= \tan 5^{\circ} \cdot \tan 25^{\circ} \cdot 1 \cdot \cot 25^{\circ} \cdot \cot 5^{\circ}$
કારણ કે $\tan \theta \cdot \cot \theta = 1$ થાય છે,તેથી પદોને જૂથમાં ગોઠવતા:
$= (\tan 5^{\circ} \cdot \cot 5^{\circ}) \cdot (\tan 25^{\circ} \cdot \cot 25^{\circ}) \cdot 1$
$= 1 \cdot 1 \cdot 1 = 1$

(A) આપણે જાણીએ છીએ કે $\sin(90^{\circ} - \theta) = \cos \theta$.
તેથી,$\sin 75^{\circ} = \sin(90^{\circ} - 15^{\circ}) = \cos 15^{\circ}$.
આ કિંમત પદાવલિમાં મૂકતા:
$\sin^{2} 15^{\circ} + \sin^{2} 75^{\circ} = \sin^{2} 15^{\circ} + (\cos 15^{\circ})^{2}$
$= \sin^{2} 15^{\circ} + \cos^{2} 15^{\circ}$.
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $\sin^{2} \theta + \cos^{2} \theta = 1$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે:
$= 1$.

(C) આપેલ પદાવલિ: $\sin ^{2} 1^{\circ} + \sin ^{2} 3^{\circ} + \sin ^{2} 87^{\circ} + \sin ^{2} 89^{\circ}$.
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $\sin(90^{\circ} - \theta) = \cos \theta$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\sin ^{2} 87^{\circ} = \sin ^{2}(90^{\circ} - 3^{\circ}) = \cos ^{2} 3^{\circ}$
$\sin ^{2} 89^{\circ} = \sin ^{2}(90^{\circ} - 1^{\circ}) = \cos ^{2} 1^{\circ}$
આ કિંમતોને મૂળ પદાવલિમાં મૂકતા:
$= \sin ^{2} 1^{\circ} + \sin ^{2} 3^{\circ} + \cos ^{2} 3^{\circ} + \cos ^{2} 1^{\circ}$
સમાન ખૂણાવાળા પદોને સાથે લેતા:
$= (\sin ^{2} 1^{\circ} + \cos ^{2} 1^{\circ}) + (\sin ^{2} 3^{\circ} + \cos ^{2} 3^{\circ})$
નિત્યસમ $\sin ^{2} \theta + \cos ^{2} \theta = 1$ નો ઉપયોગ કરતા:
$= 1 + 1 = 2$.

(D) આપેલ સમીકરણ: $3 \sin \theta = 4 \cos \theta$
બંને બાજુ $\cos \theta$ વડે ભાગતા (ધારો કે $\cos \theta \neq 0$):
$\frac{3 \sin \theta}{\cos \theta} = 4$
હવે,બંને બાજુ $3$ વડે ભાગતા:
$\frac{\sin \theta}{\cos \theta} = \frac{4}{3}$
આપણે જાણીએ છીએ કે $\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}$,તેથી:
$\tan \theta = \frac{4}{3}$

(C) આપણે જાણીએ છીએ કે $\tan \theta$ નો વ્યસ્ત $\cot \theta$ છે,તેથી $\frac{1}{\tan \theta} = \cot \theta$ થાય.
તેથી,$\frac{1}{\tan^{2} \theta} = \cot^{2} \theta$ થાય.
આ કિંમત પદાવલિમાં મૂકતા,આપણને $\cot^{2} \theta + 1$ મળે છે.
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $1 + \cot^{2} \theta = \operatorname{cosec}^{2} \theta$ નો ઉપયોગ કરતા,અંતિમ જવાબ $\operatorname{cosec}^{2} \theta$ મળે છે.

(A) આપેલ છે કે $A$ અને $B$ લઘુકોણ છે.
કારણ કે $\tan A = 1,$ આપણે જાણીએ છીએ કે $\tan 45^{\circ} = 1,$ તેથી $A = 45^{\circ}.$
કારણ કે $\sin B = \frac{1}{\sqrt{2}},$ આપણે જાણીએ છીએ કે $\sin 45^{\circ} = \frac{1}{\sqrt{2}},$ તેથી $B = 45^{\circ}.$
હવે,આપણે $\cos (A + B)$ ની કિંમત શોધવાની છે.
$A$ અને $B$ ની કિંમતો મૂકતા,આપણને $\cos (45^{\circ} + 45^{\circ}) = \cos 90^{\circ}$ મળે છે.
કારણ કે $\cos 90^{\circ} = 0,$ તેથી અંતિમ જવાબ $0$ છે.