Textbook - Constructions Questions in Hindi

(N/A) दिए गए त्रिभुज $ABC$ के लिए,हमें एक अन्य त्रिभुज की रचना करनी है जिसकी भुजाएँ त्रिभुज $ABC$ की संगत भुजाओं की $\frac{3}{4}$ गुनी हों।
रचना के चरण:
$1.$ शीर्ष $A$ के विपरीत ओर $BC$ के साथ एक न्यूनकोण बनाती हुई किरण $BX$ खींचिए।
$2.$ $BX$ पर $4$ ($\frac{3}{4}$ में $3$ और $4$ में से बड़ी संख्या) बिंदु $B_1, B_2, B_3$ और $B_4$ इस प्रकार अंकित कीजिए कि $BB_1 = B_1B_2 = B_2B_3 = B_3B_4$ हो।
$3.$ $B_4C$ को मिलाइए और $B_3$ से (तीसरा बिंदु,क्योंकि $\frac{3}{4}$ में $3$ और $4$ में से छोटी संख्या $3$ है) $B_4C$ के समांतर एक रेखा खींचिए जो $BC$ को $C'$ पर प्रतिच्छेद करे।
$4.$ $C'$ से $CA$ के समांतर एक रेखा खींचिए जो $BA$ को $A'$ पर प्रतिच्छेद करे।
अतः,$\Delta A'BC'$ अभीष्ट त्रिभुज है।
आइए अब देखें कि यह रचना अभीष्ट त्रिभुज कैसे देती है।
चूँकि $B_3C' \parallel B_4C$,आधारभूत समानुपातिकता प्रमेय $(BPT)$ के अनुसार,$\frac{BC'}{C'C} = \frac{BB_3}{B_3B_4} = \frac{3}{1}$ है।
इसलिए,$\frac{BC}{BC'} = \frac{BC' + C'C}{BC'} = 1 + \frac{C'C}{BC'} = 1 + \frac{1}{3} = \frac{4}{3}$,अर्थात $\frac{BC'}{BC} = \frac{3}{4}$ है।
साथ ही,$C'A' \parallel CA$ है। इसलिए,$\Delta A'BC' \sim \Delta ABC$ है।
अतः,$\frac{A'B}{AB} = \frac{A'C'}{AC} = \frac{BC'}{BC} = \frac{3}{4}$।

(N/A) दिए गए त्रिभुज $ABC$ के लिए,हमें एक ऐसे त्रिभुज की रचना करनी है जिसकी भुजाएँ $\Delta ABC$ की संगत भुजाओं की $\frac{5}{3}$ गुनी हों।
रचना के चरण:
$1.$ $BC$ के साथ एक न्यूनकोण बनाती हुई एक किरण $BX$ खींचिए,जो शीर्ष $A$ के विपरीत दिशा में हो।
$2.$ $BX$ पर $5$ बिंदु ($\frac{5}{3}$ में $5$ और $3$ में से बड़ी संख्या $5$ है) $B_{1}, B_{2}, B_{3}, B_{4}$ और $B_{5}$ इस प्रकार अंकित कीजिए कि $BB_{1} = B_{1}B_{2} = B_{2}B_{3} = B_{3}B_{4} = B_{4}B_{5}$ हो।
$3.$ $B_{3}$ (तीसरा बिंदु,$\frac{5}{3}$ में $3$ और $5$ में से छोटी संख्या $3$ है) को $C$ से मिलाइए और $B_{5}$ से होकर $B_{3}C$ के समांतर एक रेखा खींचिए,जो बढ़ाई गई रेखाखंड $BC$ को $C^{\prime}$ पर प्रतिच्छेद करे।
$4.$ $C^{\prime}$ से होकर $CA$ के समांतर एक रेखा खींचिए,जो बढ़ाई गई रेखाखंड $BA$ को $A^{\prime}$ पर प्रतिच्छेद करे।
अतः,$\Delta A^{\prime}BC^{\prime}$ अभीष्ट त्रिभुज है।
रचना की औचित्य के लिए,ध्यान दें कि $\Delta ABC \sim \Delta A^{\prime}BC^{\prime}$.
इसलिए,$\frac{AB}{A^{\prime}B} = \frac{AC}{A^{\prime}C^{\prime}} = \frac{BC}{BC^{\prime}}$.
परंतु,$\frac{BC}{BC^{\prime}} = \frac{BB_{3}}{BB_{5}} = \frac{3}{5}$.
अतः,$\frac{BC^{\prime}}{BC} = \frac{5}{3}$,और इसलिए,$\frac{A^{\prime}B}{AB} = \frac{A^{\prime}C^{\prime}}{AC} = \frac{BC^{\prime}}{BC} = \frac{5}{3}$.

(N/A) $7.6 \, cm$ लंबाई के एक रेखाखंड को $5: 8$ के अनुपात में निम्नलिखित प्रकार से विभाजित किया जा सकता है:
$1.$ $7.6 \, cm$ लंबाई का एक रेखाखंड $AB$ खींचिए और रेखाखंड $AB$ के साथ एक न्यूनकोण बनाती हुई किरण $AX$ खींचिए।
$2.$ $AX$ पर $13 (= 5 + 8)$ बिंदु $A_1, A_2, A_3, \dots, A_{13}$ इस प्रकार अंकित कीजिए कि $AA_1 = A_1A_2 = A_2A_3 = \dots = A_{12}A_{13}$ हो।
$3.$ $BA_{13}$ को मिलाइए।
$4.$ बिंदु $A_5$ से होकर $BA_{13}$ के समांतर एक रेखा खींचिए (जो $\angle AA_{13}B$ के बराबर कोण बनाती हो),जो $AB$ को बिंदु $C$ पर प्रतिच्छेद करती है।
$C$ वह बिंदु है जो $7.6 \, cm$ के रेखाखंड $AB$ को $5: 8$ के वांछित अनुपात में विभाजित करता है।
$AC$ और $CB$ की लंबाई मापी जा सकती है। वे क्रमशः $2.9 \, cm$ और $4.7 \, cm$ हैं।
औचित्य:
रचना के अनुसार,$A_5C \parallel A_{13}B$ है। त्रिभुज $AA_{13}B$ के लिए आधारभूत आनुपातिकता प्रमेय $(BPT)$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{AC}{CB} = \frac{AA_5}{A_5A_{13}}$
रचना से,$AA_5$ में $5$ समान भाग हैं और $A_5A_{13}$ में $8$ समान भाग हैं।
अतः,$\frac{AA_5}{A_5A_{13}} = \frac{5}{8}$।
इस प्रकार,$\frac{AC}{CB} = \frac{5}{8}$। यह रचना का औचित्य सिद्ध करता है।

(N/A) $1.$ एक रेखाखंड $AB = 4 \, cm$ खींचिए। बिंदु $A$ को केंद्र मानकर $5 \, cm$ त्रिज्या का एक चाप लगाइए। इसी प्रकार,बिंदु $B$ को केंद्र मानकर $6 \, cm$ त्रिज्या का एक चाप लगाइए। ये चाप एक-दूसरे को बिंदु $C$ पर प्रतिच्छेद करेंगे। अब,$AC = 5 \, cm$ और $BC = 6 \, cm$ है और $\triangle ABC$ अभीष्ट त्रिभुज है।
$2.$ एक किरण $AX$ खींचिए जो रेखा $AB$ के साथ शीर्ष $C$ की विपरीत दिशा में एक न्यून कोण बनाती हो।
$3.$ किरण $AX$ पर $3$ बिंदु $A_1, A_2, A_3$ इस प्रकार अंकित कीजिए कि $AA_1 = A_1A_2 = A_2A_3$ हो।
$4.$ $BA_3$ को मिलाइए और $A_2$ से होकर $BA_3$ के समांतर एक रेखा खींचिए जो $AB$ को बिंदु $B'$ पर प्रतिच्छेद करे।
$5.$ $B'$ से होकर $BC$ के समांतर एक रेखा खींचिए जो $AC$ को $C'$ पर प्रतिच्छेद करे।
$\triangle AB'C'$ अभीष्ट त्रिभुज है।
इस रचना का औचित्य यह सिद्ध करके दिया जा सकता है कि $\frac{AB'}{AB} = \frac{B'C'}{BC} = \frac{AC'}{AC} = \frac{2}{3}$।
रचना से,$B'C' \parallel BC$ है।
$\therefore \angle AB'C' = \angle ABC$ (संगत कोण)।
$\triangle AB'C'$ और $\triangle ABC$ में,
$\angle AB'C' = \angle ABC$ (ऊपर सिद्ध किया गया),
$\angle B'AC' = \angle BAC$ (उभयनिष्ठ कोण)।
$\triangle AB'C' \sim \triangle ABC$ ($AA$ समरूपता कसौटी)।
$\Rightarrow \frac{AB'}{AB} = \frac{B'C'}{BC} = \frac{AC'}{AC}$ .......... $(1)$
$\triangle AA_2B'$ और $\triangle AA_3B$ में,
$\angle A_2AB' = \angle A_3AB$ (उभयनिष्ठ कोण),
$\angle AA_2B' = \angle AA_3B$ (संगत कोण)।
$\therefore \triangle AA_2B' \sim \triangle AA_3B$ ($AA$ समरूपता कसौटी)।
$\Rightarrow \frac{AB'}{AB} = \frac{AA_2}{AA_3} = \frac{2}{3}$ ......... $(2)$
समीकरण $(1)$ और $(2)$ से,हमें प्राप्त होता है $\frac{AB'}{AB} = \frac{B'C'}{BC} = \frac{AC'}{AC} = \frac{2}{3}$।
यह रचना का औचित्य सिद्ध करता है।

(N/A) $1.$ $5\, cm$ का एक रेखाखंड $AB$ खींचिए। $A$ और $B$ को केंद्र मानकर,क्रमशः $6\, cm$ और $7\, cm$ त्रिज्या के चाप लगाइए। मान लीजिए ये चाप एक-दूसरे को बिंदु $C$ पर प्रतिच्छेद करते हैं। $\triangle ABC$ अभीष्ट त्रिभुज है जिसकी भुजाओं की लंबाई क्रमशः $5\, cm$,$6\, cm$ और $7\, cm$ है।
$2.$ रेखा $AB$ के साथ न्यूनकोण बनाती हुई एक किरण $AX$ खींचिए,जो शीर्ष $C$ के विपरीत दिशा में हो।
$3.$ किरण $AX$ पर $7$ बिंदु $A_1, A_2, A_3, A_4, A_5, A_6, A_7$ इस प्रकार अंकित कीजिए कि $AA_1 = A_1A_2 = A_2A_3 = A_3A_4 = A_4A_5 = A_5A_6 = A_6A_7$ हो।
$4.$ $BA_5$ को मिलाइए और $A_7$ से होकर $BA_5$ के समांतर एक रेखा खींचिए जो बढ़ाई गई रेखाखंड $AB$ को बिंदु $B'$ पर प्रतिच्छेद करे।
$5.$ $B'$ से होकर $BC$ के समांतर एक रेखा खींचिए जो बढ़ाई गई रेखाखंड $AC$ को $C'$ पर प्रतिच्छेद करे। $\triangle AB'C'$ अभीष्ट त्रिभुज है।
औचित्य:
इस रचना का औचित्य यह सिद्ध करके दिया जा सकता है कि $AB' = \frac{7}{5} AB$,$B'C' = \frac{7}{5} BC$,और $AC' = \frac{7}{5} AC$ है।
$\triangle ABC$ और $\triangle AB'C'$ में:
$\angle ABC = \angle AB'C'$ (संगत कोण)
$\angle BAC = \angle B'AC'$ (उभयनिष्ठ कोण)
$\triangle ABC \sim \triangle AB'C'$ ($AA$ समरूपता कसौटी)
$\Rightarrow \frac{AB}{AB'} = \frac{BC}{B'C'} = \frac{AC}{AC'} = \frac{5}{7}$ (समीकरण $1$)
$\triangle AA_5B$ और $\triangle AA_7B'$ में:
$\angle A_5AB = \angle A_7AB'$ (उभयनिष्ठ कोण)
$\angle AA_5B = \angle AA_7B'$ (संगत कोण)
$\triangle AA_5B \sim \triangle AA_7B'$ ($AA$ समरूपता कसौटी)
$\Rightarrow \frac{AB}{AB'} = \frac{AA_5}{AA_7} = \frac{5}{7}$ (समीकरण $2$)
समीकरण $1$ और $2$ की तुलना करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{AB}{AB'} = \frac{BC}{B'C'} = \frac{AC}{AC'} = \frac{5}{7}$
$\Rightarrow AB' = \frac{7}{5} AB, B'C' = \frac{7}{5} BC, AC' = \frac{7}{5} AC$.
यह रचना का औचित्य सिद्ध करता है।

(N/A) मान लीजिए कि $\triangle ABC$ एक समद्विबाहु त्रिभुज है जिसमें $CA = CB$,आधार $AB = 8\, cm$ और शीर्षलंब $AD = 4\, cm$ है (जहाँ $D$,$AB$ का मध्यबिंदु है)।
एक $\triangle AB'C'$ जिसकी भुजाएँ $\triangle ABC$ की $\frac{3}{2}$ गुनी हैं,उसे निम्न प्रकार से बनाया जा सकता है:
$1.$ $8\, cm$ का एक रेखाखंड $AB$ खींचिए। $AB$ का लंब समद्विभाजक खींचकर मध्यबिंदु $D$ प्राप्त कीजिए। मान लीजिए लंब रेखा $OO'$ है।
$2.$ $D$ को केंद्र मानकर,लंब रेखा पर $4\, cm$ त्रिज्या का एक चाप लगाइए जो बिंदु $C$ पर प्रतिच्छेद करे। $AC$ और $BC$ को मिलाकर समद्विबाहु $\triangle ABC$ बनाइए।
$3.$ $AB$ के साथ एक न्यूनकोण बनाती हुई किरण $AX$ खींचिए,जो शीर्ष $C$ के विपरीत दिशा में हो।
$4.$ $AX$ पर $3$ बिंदु $A_1, A_2,$ और $A_3$ इस प्रकार अंकित कीजिए कि $AA_1 = A_1A_2 = A_2A_3$ हो।
$5.$ $BA_2$ को मिलाइए। $A_3$ से $BA_2$ के समांतर एक रेखा खींचिए जो बढ़ाई गई रेखाखंड $AB$ को $B'$ पर प्रतिच्छेद करे।
$6.$ $B'$ से $BC$ के समांतर एक रेखा खींचिए जो बढ़ाई गई रेखाखंड $AC$ को $C'$ पर प्रतिच्छेद करे। $\triangle AB'C'$ अभीष्ट त्रिभुज है।
औचित्य:
चूँकि $A_2B \parallel A_3B'$,$\triangle AA_3B'$ में आधारभूत आनुपातिकता प्रमेय $(BPT)$ के अनुसार,$\frac{AB}{AB'} = \frac{AA_2}{AA_3} = \frac{2}{3}$ है। अतः,$AB' = \frac{3}{2}AB$ है।
चूँकि $BC \parallel B'C'$,$\triangle ABC \sim \triangle AB'C'$ है। इसलिए,$\frac{AB}{AB'} = \frac{BC}{B'C'} = \frac{AC}{AC'} = \frac{2}{3}$,जिसका अर्थ है कि $B'C' = \frac{3}{2}BC$ और $AC' = \frac{3}{2}AC$ है। यह रचना का औचित्य सिद्ध करता है।

(A) $\angle B = 45^{\circ}, \angle A = 105^{\circ}$
त्रिभुज के सभी आंतरिक कोणों का योग $180^{\circ}$ होता है।
$\angle A + \angle B + \angle C = 180^{\circ}$
$105^{\circ} + 45^{\circ} + \angle C = 180^{\circ}$
$\angle C = 180^{\circ} - 150^{\circ} = 30^{\circ}$
वांछित त्रिभुज को इस प्रकार खींचा जा सकता है:
$1.$ $BC = 7 \, cm$,$\angle B = 45^{\circ}$,$\angle C = 30^{\circ}$ के साथ एक $\triangle ABC$ खींचिए।
$2.$ $BC$ के साथ एक न्यून कोण बनाते हुए किरण $BX$ खींचिए जो शीर्ष $A$ के विपरीत दिशा में हो।
$3.$ $BX$ पर $4$ बिंदु $B_1, B_2, B_3, B_4$ इस प्रकार अंकित कीजिए कि $BB_1 = B_1B_2 = B_2B_3 = B_3B_4$ हो।
$4.$ $B_3C$ को मिलाइए। $B_4$ से $B_3C$ के समानांतर एक रेखा खींचिए जो बढ़ाई गई $BC$ को $C'$ पर प्रतिच्छेद करे।
$5.$ $C'$ से $AC$ के समानांतर एक रेखा खींचिए जो बढ़ाई गई रेखाखंड $BA$ को $A'$ पर प्रतिच्छेद करे। $\triangle A'BC'$ वांछित त्रिभुज है।
औचित्य:
$\triangle ABC$ और $\triangle A'BC'$ में,
$\angle ABC = \angle A'BC'$ (उभयनिष्ठ)
$\angle ACB = \angle A'C'B$ (संगत कोण)
$\triangle ABC \sim \triangle A'BC'$ ($AA$ समरूपता कसौटी)
$\Rightarrow \frac{AB}{A'B} = \frac{BC}{BC'} = \frac{AC}{A'C'} \dots(1)$
$\triangle BB_3C$ और $\triangle BB_4C'$ में,
$\angle B_3BC = \angle B_4BC'$ (उभयनिष्ठ)
$\angle BB_3C = \angle BB_4C'$ (संगत कोण)
$\triangle BB_3C \sim \triangle BB_4C'$ ($AA$ समरूपता कसौटी)
$\Rightarrow \frac{BC}{BC'} = \frac{BB_3}{BB_4} = \frac{3}{4} \dots(2)$
$(1)$ और $(2)$ की तुलना करने पर,$\frac{AB}{A'B} = \frac{BC}{BC'} = \frac{AC}{A'C'} = \frac{3}{4}$ प्राप्त होता है।
अतः,$A'B = \frac{4}{3} AB$,$BC' = \frac{4}{3} BC$,और $A'C' = \frac{4}{3} AC$। यह रचना का औचित्य सिद्ध करता है।

(N/A) यह दिया गया है कि कर्ण के अतिरिक्त भुजाओं की लंबाई $4 \,cm$ और $3 \,cm$ है। स्पष्ट है कि ये एक-दूसरे पर लंब होंगी।
वांछित त्रिभुज की रचना निम्न प्रकार से की जा सकती है:
$1.$ एक रेखाखंड $AB = 4 \,cm$ खींचिए। $A$ पर $90^{\circ}$ का कोण बनाती हुई एक किरण $AX$ खींचिए।
$2.$ $A$ को केंद्र मानकर $3 \,cm$ त्रिज्या का एक चाप लगाइए जो किरण को $C$ पर प्रतिच्छेद करे। $BC$ को मिलाइए। $\triangle ABC$ वांछित त्रिभुज है।
$3.$ $AB$ के साथ एक न्यूनकोण बनाती हुई एक किरण $AY$ खींचिए,जो शीर्ष $C$ के विपरीत दिशा में हो।
$4.$ $AY$ पर $5$ बिंदु $A_1, A_2, A_3, A_4, A_5$ इस प्रकार अंकित कीजिए कि $AA_1 = A_1A_2 = A_2A_3 = A_3A_4 = A_4A_5$ हो।
$5.$ $A_3B$ को मिलाइए। $A_5$ से होकर $A_3B$ के समांतर एक रेखा खींचिए जो बढ़ाई गई रेखाखंड $AB$ को $B'$ पर प्रतिच्छेद करे।
$6.$ $B'$ से होकर $BC$ के समांतर एक रेखा खींचिए जो बढ़ाई गई रेखाखंड $AC$ को $C'$ पर प्रतिच्छेद करे। $\triangle AB'C'$ वांछित त्रिभुज है।
औचित्य:
रचना का औचित्य यह सिद्ध करके दिया जा सकता है कि $AB' = \frac{5}{3} AB, B'C' = \frac{5}{3} BC, AC' = \frac{5}{3} AC$.
$\triangle ABC$ और $\triangle AB'C'$ में,
$\angle ABC = \angle AB'C'$ (संगत कोण)
$\angle BAC = \angle B'AC'$ (उभयनिष्ठ)
$\therefore \triangle ABC \sim \triangle AB'C'$ ($AA$ समरूपता कसौटी)
$\Rightarrow \frac{AB}{AB'} = \frac{BC}{B'C'} = \frac{AC}{AC'}$ .......$(1)$
$\triangle AA_3B$ और $\triangle AA_5B'$ में,
$\angle A_3AB = \angle A_5AB'$ (उभयनिष्ठ)
$\angle AA_3B = \angle AA_5B'$ (संगत कोण)
$\therefore \triangle AA_3B \sim \triangle AA_5B'$ ($AA$ समरूपता कसौटी)
$\Rightarrow \frac{AB}{AB'} = \frac{AA_3}{AA_5} = \frac{3}{5}$ .........$(2)$
समीकरण $(1)$ और $(2)$ की तुलना करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{AB}{AB'} = \frac{BC}{B'C'} = \frac{AC}{AC'} = \frac{3}{5}$
$AB' = \frac{5}{3} AB, B'C' = \frac{5}{3} BC, AC' = \frac{5}{3} AC$
यह रचना का औचित्य सिद्ध करता है।

(N/A) दिए गए वृत्त के लिए स्पर्श रेखा युग्म की रचना इस प्रकार की जा सकती है:
$1.$ समतल में किसी बिंदु $O$ को केंद्र मानकर,$6 \, cm$ त्रिज्या का एक वृत्त खींचिए। $O$ से $10 \, cm$ की दूरी पर एक बिंदु $P$ अंकित कीजिए।
$OP$ को मिलाइए।
$2.$ $OP$ का समद्विभाजक खींचिए। मान लीजिए $M$,$PO$ का मध्य-बिंदु है।
$3.$ $M$ को केंद्र और $MO$ को त्रिज्या मानकर,एक वृत्त खींचिए।
$4.$ मान लीजिए यह वृत्त पिछले वृत्त को बिंदु $Q$ और $R$ पर प्रतिच्छेद करता है।
$5.$ $PQ$ और $PR$ को मिलाइए। $PQ$ और $PR$ अभीष्ट स्पर्श रेखाएँ हैं।
स्पर्श रेखाओं $PQ$ और $PR$ की लंबाई प्रत्येक $8 \, cm$ है।
औचित्य:
इस रचना का औचित्य यह सिद्ध करके दिया जा सकता है कि $PQ$ और $PR$ वृत्त (जिसका केंद्र $O$ और त्रिज्या $6 \, cm$ है) की स्पर्श रेखाएँ हैं। इसके लिए,$OQ$ और $OR$ को मिलाइए।
$\angle PQO$ अर्धवृत्त में बना कोण है। हम जानते हैं कि अर्धवृत्त में बना कोण समकोण होता है।
$\therefore \angle PQO = 90^{\circ}$
$\Rightarrow OQ \perp PQ$
चूँकि $OQ$ वृत्त की त्रिज्या है,इसलिए $PQ$ वृत्त की स्पर्श रेखा होनी चाहिए। इसी प्रकार,$PR$ भी वृत्त की स्पर्श रेखा है।

(N/A) दिए गए वृत्त पर स्पर्श रेखाएँ निम्नलिखित रूप से खींची जा सकती हैं:
$1.$ दिए गए तल पर $O$ को केंद्र मानकर $4 \, cm$ त्रिज्या का एक वृत्त खींचिए।
$2.$ $O$ को केंद्र मानकर $6 \, cm$ त्रिज्या का एक वृत्त खींचिए। इस वृत्त पर एक बिंदु $P$ अंकित कीजिए और $OP$ को मिलाइए।
$3.$ $OP$ का समद्विभाजक खींचिए। मान लीजिए $M$,$PO$ का मध्य-बिंदु है।
$4.$ $M$ को केंद्र और $MO$ को त्रिज्या मानकर एक वृत्त खींचिए। मान लीजिए यह दिए गए वृत्त को बिंदुओं $Q$ और $R$ पर प्रतिच्छेद करता है।
$5.$ $PQ$ और $PR$ को मिलाइए। $PQ$ और $PR$ अभीष्ट स्पर्श रेखाएँ हैं।
यह देखा जा सकता है कि $PQ$ और $PR$ प्रत्येक की लंबाई $4.47 \, cm$ है।
$\triangle PQO$ में:
चूँकि $PQ$ एक स्पर्श रेखा है,$\angle PQO = 90^{\circ}$।
$PO = 6 \, cm$ (कर्ण),
$QO = 4 \, cm$ (त्रिज्या)।
$\triangle PQO$ में पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$PQ^2 + QO^2 = PO^2$
$PQ^2 + (4)^2 = (6)^2$
$PQ^2 + 16 = 36$
$PQ^2 = 36 - 16$
$PQ^2 = 20$
$PQ = \sqrt{20} = 2\sqrt{5} \approx 4.47 \, cm$।
औचित्य:
इस रचना का औचित्य यह सिद्ध करके दिया जा सकता है कि $PQ$ और $PR$ वृत्त (जिसका केंद्र $O$ और त्रिज्या $4 \, cm$ है) की स्पर्श रेखाएँ हैं। इसके लिए,$OQ$ और $OR$ को मिलाइए।
चूँकि $\angle OQP$ अर्धवृत्त में बना कोण है,इसलिए $\angle OQP = 90^{\circ}$।
$\Rightarrow OQ \perp PQ$।
चूँकि $OQ$ वृत्त की त्रिज्या है,इसलिए $PQ$ वृत्त की स्पर्श रेखा होनी चाहिए। इसी प्रकार,$PR$ भी वृत्त की स्पर्श रेखा है।

(N/A) दिए गए वृत्त पर स्पर्श रेखाओं की रचना इस प्रकार की जा सकती है:
$1.$ समतल पर किसी बिंदु $O$ को केंद्र मानकर $3 \, cm$ त्रिज्या का एक वृत्त खींचिए।
$2.$ इसका एक व्यास लीजिए और इसे दोनों ओर बढ़ाइए। इस व्यास पर दो बिंदु $P$ और $Q$ इस प्रकार लीजिए कि $OP = OQ = 7 \, cm$ हो।
$3.$ $OP$ और $OQ$ का समद्विभाजन कीजिए। मान लीजिए कि $T$ और $U$ क्रमशः $OP$ और $OQ$ के मध्य-बिंदु हैं।
$4.$ $T$ और $U$ को केंद्र मानकर और $TO$ तथा $UO$ को त्रिज्या मानकर,दो वृत्त खींचिए। ये दो वृत्त मूल वृत्त को क्रमशः $V, W$ और $X, Y$ बिंदुओं पर प्रतिच्छेद करेंगे। $PV, PW, QX$ और $QY$ को मिलाइए। ये अभीष्ट स्पर्श रेखाएँ हैं।
औचित्य:
इस रचना का औचित्य यह सिद्ध करके दिया जा सकता है कि $PV, PW, QX$ और $QY$ वृत्त (जिसका केंद्र $O$ और त्रिज्या $3 \, cm$ है) की स्पर्श रेखाएँ हैं। इसके लिए,$OV, OW, OX$ और $OY$ को मिलाइए।
$\angle PVO$ अर्धवृत्त में बना कोण है। हम जानते हैं कि अर्धवृत्त में बना कोण समकोण होता है।
$\therefore \angle PVO = 90^{\circ}$
$\Rightarrow OV \perp PV$
चूँकि $OV$ वृत्त की त्रिज्या है,इसलिए $PV$ वृत्त की स्पर्श रेखा होनी चाहिए।
इसी प्रकार,यह दिखाया जा सकता है कि $PW, QX$ और $QY$ भी वृत्त की स्पर्श रेखाएँ हैं।

(N/A) स्पर्श रेखाओं की रचना निम्नलिखित प्रकार से की जा सकती है:
$1.$ $O$ केंद्र मानकर $5\, cm$ त्रिज्या का एक वृत्त खींचिए।
$2.$ वृत्त की परिधि पर एक बिंदु $A$ लीजिए और $OA$ को मिलाइए। बिंदु $A$ पर $OA$ के लंबवत एक रेखा खींचिए।
$3.$ $OA$ के साथ $120^{\circ} (180^{\circ} - 60^{\circ})$ का कोण बनाती हुई एक त्रिज्या $OB$ खींचिए।
$4.$ बिंदु $B$ पर $OB$ के लंबवत एक रेखा खींचिए। मान लीजिए कि दोनों लंबवत रेखाएं बिंदु $P$ पर प्रतिच्छेद करती हैं। $PA$ और $PB$ अभीष्ट स्पर्श रेखाएं हैं जो $60^{\circ}$ के कोण पर झुकी हुई हैं।
औचित्य:
इस रचना का औचित्य $\angle APB = 60^{\circ}$ सिद्ध करके दिया जा सकता है।
हमारी रचना के अनुसार:
$\angle OAP = 90^{\circ}$ (स्पर्श रेखा,स्पर्श बिंदु पर त्रिज्या के लंबवत होती है)
$\angle OBP = 90^{\circ}$ (स्पर्श रेखा,स्पर्श बिंदु पर त्रिज्या के लंबवत होती है)
और $\angle AOB = 120^{\circ}$
हम जानते हैं कि चतुर्भुज के सभी आंतरिक कोणों का योग $360^{\circ}$ होता है।
चतुर्भुज $OAPB$ में:
$\angle OAP + \angle AOB + \angle OBP + \angle APB = 360^{\circ}$
$90^{\circ} + 120^{\circ} + 90^{\circ} + \angle APB = 360^{\circ}$
$300^{\circ} + \angle APB = 360^{\circ}$
$\angle APB = 360^{\circ} - 300^{\circ} = 60^{\circ}$
यह रचना का औचित्य सिद्ध करता है।

(N/A) दिए गए वृत्तों पर स्पर्श रेखाओं की रचना इस प्रकार की जा सकती है:
$1.$ $8 \, cm$ लंबाई का एक रेखाखंड $AB$ खींचिए। $A$ और $B$ को केंद्र मानकर क्रमशः $4 \, cm$ और $3 \, cm$ त्रिज्या के दो वृत्त खींचिए।
$2.$ रेखाखंड $AB$ का लंब समद्विभाजक खींचिए। मान लीजिए $AB$ का मध्य-बिंदु $C$ है। $C$ को केंद्र मानकर $AC$ (या $BC$) त्रिज्या का एक वृत्त खींचिए,जो दिए गए वृत्तों को बिंदुओं $P, Q, R$ और $S$ पर प्रतिच्छेद करेगा। $BP, BQ, AS$ और $AR$ को मिलाइए। ये अभीष्ट स्पर्श रेखाएँ हैं।
औचित्य:
इस रचना का औचित्य यह सिद्ध करके दिया जा सकता है कि $AS$ और $AR$ उस वृत्त (जिसका केंद्र $B$ और त्रिज्या $3 \, cm$ है) की स्पर्श रेखाएँ हैं और $BP$ और $BQ$ उस वृत्त (जिसका केंद्र $A$ और त्रिज्या $4 \, cm$ है) की स्पर्श रेखाएँ हैं। इसके लिए,$AP, AQ, BS$ और $BR$ को मिलाइए।
$\angle ASB$ अर्धवृत्त में बना कोण है। हम जानते हैं कि अर्धवृत्त में बना कोण समकोण होता है।
$\therefore \angle ASB = 90^{\circ}$
$\Rightarrow BS \perp AS$
चूँकि $BS$ वृत्त की त्रिज्या है,इसलिए $AS$ वृत्त की स्पर्श रेखा होनी चाहिए। इसी प्रकार,$AR, BP$ और $BQ$ स्पर्श रेखाएँ हैं।

(N/A) रचना के चरण:
$1$. $AB = 6 \, cm$,$BC = 8 \, cm$ और $\angle B = 90^{\circ}$ के साथ $\triangle ABC$ की रचना करें।
$2$. $BD \perp AC$ खींचें। चूंकि $\angle BDC = 90^{\circ}$ है,इसलिए $B, C, D$ से गुजरने वाले वृत्त का व्यास $BC$ होगा क्योंकि $\angle BDC = 90^{\circ}$ बिंदु $D$ पर समकोण बनाता है।
$3$. मान लीजिए $O$,$BC$ का मध्य बिंदु है। $O$ को केंद्र और $OB = OC = 4 \, cm$ त्रिज्या लेकर एक वृत्त खींचें। यह वृत्त $B, C$ और $D$ से होकर गुजरेगा (क्योंकि $\angle BDC = 90^{\circ}$)।
$4$. $A$ से इस वृत्त पर स्पर्श रेखाएँ खींचने के लिए,$AO$ को मिलाएँ। $AO$ का लंब समद्विभाजक $M$ ज्ञात करें। $M$ को केंद्र और $MA$ को त्रिज्या मानकर एक वृत्त खींचें। मान लीजिए कि यह वृत्त,$O$ केंद्र वाले वृत्त को $B$ और $E$ पर काटता है। $AE$ को मिलाएँ। इस प्रकार,$AB$ और $AE$ अभीष्ट स्पर्श रेखाएँ हैं।
औचित्य:
$OE$ को मिलाएँ। चूंकि $AB$,$B$ पर वृत्त की स्पर्श रेखा है,इसलिए $\angle ABO = 90^{\circ}$। चूंकि $AE$,$E$ पर वृत्त की स्पर्श रेखा है,इसलिए $\angle AEO = 90^{\circ}$। $O$ केंद्र वाले वृत्त में,$OB$ और $OE$ त्रिज्याएँ हैं। चूंकि $AB$ और $AE$ बाह्य बिंदु $A$ से खींची गई स्पर्श रेखाएँ हैं,इसलिए $AB = AE$।

(N/A) चूड़ी से खींचे गए वृत्त (जिसका केंद्र अज्ञात है) के लिए स्पर्श रेखाओं की रचना:
$1$. दो असमांतर जीवाएँ $BC$ और $CD$ खींचिए।
$2$. $BC$ और $CD$ के लंब समद्विभाजक खींचिए। जहाँ ये लंब समद्विभाजक प्रतिच्छेद करते हैं,वह बिंदु वृत्त का केंद्र $E$ है।
$3$. वृत्त के बाहर एक बिंदु $A$ लीजिए। $AE$ को मिलाइए।
$4$. $AE$ का मध्यबिंदु $F$ ज्ञात कीजिए। $F$ को केंद्र और $FA$ को त्रिज्या मानकर एक वृत्त खींचिए।
$5$. मान लीजिए कि यह वृत्त मूल वृत्त को बिंदु $B$ और $G$ पर काटता है। $AB$ और $AG$ को मिलाइए।
$AB$ और $AG$ अभीष्ट स्पर्श रेखाएँ हैं।
औचित्य:
$EB$ और $EG$ को मिलाइए। $\angle ABE$ अर्धवृत्त में बना कोण है,इसलिए $\angle ABE = 90^{\circ}$। चूँकि $EB$ त्रिज्या है,इसलिए $AB$ एक स्पर्श रेखा है। इसी प्रकार,$\angle AGE = 90^{\circ}$,अतः $AG$ एक स्पर्श रेखा है।

(N/A) एक $\triangle A'BC'$ जिसकी भुजाएँ $\triangle ABC$ की संगत भुजाओं की $\frac{3}{4}$ हों,उसे निम्नलिखित प्रकार से खींचा जा सकता है:
$1.$ $BC = 6 \, cm$,$AB = 5 \, cm$ और $\angle ABC = 60^{\circ}$ वाला एक $\triangle ABC$ खींचिए।
$2.$ शीर्ष $A$ के विपरीत दिशा में $BC$ के साथ एक न्यून कोण बनाती हुई किरण $BX$ खींचिए।
$3.$ रेखाखंड $BX$ पर $4$ बिंदु (क्योंकि $\frac{3}{4}$ में $4$ बड़ी संख्या है),$B_1, B_2, B_3, B_4$ इस प्रकार अंकित कीजिए कि $BB_1 = B_1B_2 = B_2B_3 = B_3B_4$ हो।
$4.$ $B_4C$ को मिलाइए और $B_3$ से होकर $B_4C$ के समांतर एक रेखा खींचिए जो $BC$ को $C'$ पर प्रतिच्छेद करे।
$5.$ $C'$ से होकर $AC$ के समांतर एक रेखा खींचिए जो $AB$ को $A'$ पर प्रतिच्छेद करे। $\triangle A'BC'$ अभीष्ट त्रिभुज है।
औचित्य:
इस रचना का औचित्य $A'B = \frac{3}{4} AB$,$BC' = \frac{3}{4} BC$,$A'C' = \frac{3}{4} AC$ सिद्ध करके दिया जा सकता है।
$\triangle A'BC'$ और $\triangle ABC$ में:
$\angle A'C'B = \angle ACB$ (संगत कोण)
$\angle A'BC' = \angle ABC$ (उभयनिष्ठ)
$\therefore \triangle A'BC' \sim \triangle ABC$ ($AA$ समरूपता कसौटी)
$\Rightarrow \frac{A'B}{AB} = \frac{BC'}{BC} = \frac{A'C'}{AC}$ ........$(1)$
$\triangle BB_3C'$ और $\triangle BB_4C$ में:
$\angle B_3BC' = \angle B_4BC$ (उभयनिष्ठ)
$\angle BB_3C' = \angle BB_4C$ (संगत कोण)
$\therefore \triangle BB_3C' \sim \triangle BB_4C$ ($AA$ समरूपता कसौटी)
$\Rightarrow \frac{BC'}{BC} = \frac{BB_3}{BB_4} = \frac{3}{4}$ ........$(2)$
समीकरण $(1)$ और $(2)$ से,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{A'B}{AB} = \frac{BC'}{BC} = \frac{A'C'}{AC} = \frac{3}{4}$
$A'B = \frac{3}{4} AB, BC' = \frac{3}{4} BC, A'C' = \frac{3}{4} AC$.
यह रचना का औचित्य सिद्ध करता है।