एक घन के किन्हीं दो विकर्णों के बीच के कोण का | vedclass

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Question

(A) मान लीजिए कि घन के शीर्ष $3D$ निर्देशांक प्रणाली में हैं। $a$ भुजा की लंबाई वाला एक घन लें। घन के चार विकर्ण विपरीत शीर्षों को जोड़ते हैं। आइए दो

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(A) मान लीजिए कि घन के शीर्ष $3D$ निर्देशांक प्रणाली में हैं। $a$ भुजा की लंबाई वाला एक घन लें। घन के चार विकर्ण विपरीत शीर्षों को जोड़ते हैं। आइए दो विकर्णों पर विचार करें,उदाहरण के लिए,$(0,0,0)$ से $(a,a,a)$ तक का विकर्ण और $(a,0,0)$ से $(0,a,a)$ तक का विकर्ण।पहले विकर्ण का दिशा सदिश $\vec{d_1} = (a-0, a-0, a-0) = (a, a, a)$ है।दूसरे विकर्ण का दिशा सदिश $\vec{d_2} = (0-a, a-0, a-0) = (-a, a, a)$ है।इन दो सदिशों के बीच के कोण $	heta$ का कोसाइन निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:$\cos 	heta = \frac{|\vec{d_1} \cdot \vec{d_2}|}{|\vec{d_1}| |\vec{d_2}|}$डॉट प्रोडक्ट (dot product) की गणना करने पर:$\vec{d_1} \cdot \vec{d_2} = (a)(-a) + (a)(a) + (a)(a) = -a^2 + a^2 + a^2 = a^2$परिमाण (magnitudes) की गणना करने पर:$|\vec{d_1}| = \sqrt{a^2 + a^2 + a^2} = \sqrt{3a^2} = a\sqrt{3}$$|\vec{d_2}| = \sqrt{(-a)^2 + a^2 + a^2} = \sqrt{3a^2} = a\sqrt{3}$अतः,$\cos 	heta = \frac{a^2}{(a\sqrt{3})(a\sqrt{3})} = \frac{a^2}{3a^2} = \frac{1}{3}$.इस प्रकार,एक घन के किन्हीं दो विकर्णों के बीच के कोण का कोसाइन $1/3$ है।

एक घन के किन्हीं दो विकर्णों के बीच के कोण का कोसाइन क्या है?

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