मान लीजिए alpha और beta वास्तविक संख्याएँ हैं | vedclass

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Question

(B) दिया गया सीमा $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\frac{\alpha}{2} \int_0^x \frac{1}{1-t^2} d t+\beta x \cos x}{x^3} = 2$ है। एल'हॉपिटल नियम का उपयोग क

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$2$

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(B) दिया गया सीमा $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\frac{\alpha}{2} \int_0^x \frac{1}{1-t^2} d t+\beta x \cos x}{x^3} = 2$ है। एल'हॉपिटल नियम का उपयोग करते हुए,अंश और हर का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\frac{\alpha}{2} \left(\frac{1}{1-x^2}\right) + \beta \cos x - \beta x \sin x}{3 x^2} = 2$. टेलर श्रेणी का उपयोग करते हुए: $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{(\frac{\alpha}{2} + \beta) + x^2(\frac{\alpha}{2} - \frac{3\beta}{2})}{3 x^2} = 2$. अचर पद शून्य होना चाहिए: $\frac{\alpha}{2} + \beta = 0 \implies \alpha = -2\beta$. शेष पद से: $\frac{\alpha - 3\beta}{6} = 2 \implies \alpha - 3\beta = 12$. $\alpha = -2\beta$ रखने पर: $-2\beta - 3\beta = 12 \implies -5\beta = 12 \implies \beta = -2.4$. अतः $\alpha = 4.8$. इस प्रकार,$\alpha + \beta = 4.8 - 2.4 = 2.4$.

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सीमा का मान ज्ञात कीजिए: $\mathop {\text{Limit}}\limits_{x \to 4} \frac{(\cos \alpha)^x - (\sin \alpha)^x - \cos 2\alpha}{x - 4}$,जहाँ $0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$.

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