GUJCET 2010 Physics Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(B) શૂન્યાવકાશમાં પ્રકાશની ઝડપનો સંબંધ $c = \frac{1}{\sqrt{\mu_{0} \varepsilon_{0}}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,આપણને $c^{2} = \frac{1}{\mu_{0} \varepsilon_{0}}$ મળે છે.
અહીં $c$ એ વેગ દર્શાવે છે,તેથી તેનું પારિમાણિક સૂત્ર $[M^{0} L^{1} T^{-1}]$ છે.
તેથી,$\frac{1}{\mu_{0} \varepsilon_{0}}$ નું પારિમાણિક સૂત્ર એ વેગના પારિમાણિક સૂત્રનો વર્ગ થશે:
$\frac{1}{\mu_{0} \varepsilon_{0}} = [M^{0} L^{1} T^{-1}]^{2} = M^{0} L^{2} T^{-2}$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(C) અલ્ટરનેટિંગ વોલ્ટેજનું તત્કાલીન મૂલ્ય $V(t) = V_{\max} \sin(\omega t)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
એક સંપૂર્ણ ચક્ર ($t = 0$ થી $t = T$) પર સરેરાશ મૂલ્ય શોધવા માટે,આપણે સમયગાળા $T$ પર વિધેયનું સંકલન કરીએ છીએ અને તેને સમયગાળા વડે ભાગીએ છીએ:
$V_{\text{avg}} = \frac{1}{T} \int_{0}^{T} V_{\max} \sin(\omega t) dt$.
કારણ કે $\omega = \frac{2\pi}{T}$,સંકલન આ મુજબ થશે:
$V_{\text{avg}} = \frac{V_{\max}}{T} \int_{0}^{T} \sin\left(\frac{2\pi}{T} t\right) dt$.
સંપૂર્ણ સમયગાળા પર સાઈન વિધેયનું સંકલન શૂન્ય થાય છે કારણ કે પ્રથમ અર્ધ-ચક્રનો ધન વિસ્તાર બીજા અર્ધ-ચક્રના ઋણ વિસ્તારને બરાબર રદ કરે છે.
તેથી,$V_{\text{avg}} = 0$.

(D) શ્રેણી $LCR$ સર્કિટ માટે $Q$ ફેક્ટર (ક્વોલિટી ફેક્ટર) નું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$Q = \frac{1}{R} \sqrt{\frac{L}{C}}$
આપેલ કિંમતો $R = 6 \Omega$,$L = 1 \text{ H}$,અને $C = 17.36 \times 10^{-6} \text{ F}$ છે.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$Q = \frac{1}{6} \sqrt{\frac{1}{17.36 \times 10^{-6}}}$
$Q = \frac{1}{6} \sqrt{\frac{10^6}{17.36}}$
$Q = \frac{1}{6} \times \sqrt{57603.68}$
$Q \approx \frac{1}{6} \times 240$
$Q \approx 40$
તેથી,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(A) આદર્શ ટ્રાન્સફોર્મરમાં,પ્રાથમિક અને ગૌણ ગૂંચળા એક સામાન્ય ચુંબકીય ફ્લક્સ દ્વારા જોડાયેલા હોય છે જે ઇનપુટ એસી સ્ત્રોત જેટલા જ દરે દોલન કરે છે.
ગૌણ ગૂંચળામાં પ્રેરિત ઇલેક્ટ્રોમોટિવ ફોર્સ $(EMF)$ ની આવૃત્તિ સંપૂર્ણપણે ચુંબકીય ફ્લક્સના ફેરફારની આવૃત્તિ પર આધારિત છે,જે ઇનપુટ સ્ત્રોત દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે,તેથી આવૃત્તિ અચળ રહે છે.
તેથી,આઉટપુટ વોલ્ટેજની આવૃત્તિ ઇનપુટ વોલ્ટેજની આવૃત્તિ જેટલી જ રહે છે.

(D) શ્રેણી જોડાણ માટે:
કુલ વિદ્યુતચાલક બળ $2\varepsilon$ છે અને કુલ આંતરિક અવરોધ $2r$ છે.
પરિપથમાંથી વહેતો વિદ્યુતપ્રવાહ:
$I_1 = \frac{2\varepsilon}{R + 2r} = \frac{2\varepsilon}{2 + 2r}$
સમાંતર જોડાણ માટે:
કુલ વિદ્યુતચાલક બળ $\varepsilon$ છે અને કુલ આંતરિક અવરોધ $\frac{r}{2}$ છે.
પરિપથમાંથી વહેતો વિદ્યુતપ્રવાહ:
$I_2 = \frac{\varepsilon}{R + \frac{r}{2}} = \frac{\varepsilon}{2 + \frac{r}{2}} = \frac{2\varepsilon}{4 + r}$
બંને જોડાણમાં વિદ્યુતપ્રવાહ સમાન હોવાથી,$I_1 = I_2$:
$\frac{2\varepsilon}{2 + 2r} = \frac{2\varepsilon}{4 + r}$
$4 + r = 2 + 2r$
$r = 2 \ \Omega$
આમ,દરેક કોષનો આંતરિક અવરોધ $2 \ \Omega$ છે.

(C) સૌ પ્રથમ,દરેક બલ્બ માટે અવરોધ અને રેટ કરેલ પ્રવાહ ક્ષમતાની ગણતરી કરો.
$25 W$ ના બલ્બ માટે: $R_1 = \frac{V^2}{P_1} = \frac{220^2}{25} = 1936 \ \Omega$. રેટ કરેલ પ્રવાહ $I_1 = \frac{P_1}{V} = \frac{25}{220} \approx 0.114 \ A$ છે.
$100 W$ ના બલ્બ માટે: $R_2 = \frac{V^2}{P_2} = \frac{220^2}{100} = 484 \ \Omega$. રેટ કરેલ પ્રવાહ $I_2 = \frac{P_2}{V} = \frac{100}{220} \approx 0.454 \ A$ છે.
જ્યારે $440 \ V$ ના સપ્લાય સાથે શ્રેણીમાં જોડવામાં આવે છે,ત્યારે કુલ અવરોધ $R_{eq} = R_1 + R_2 = 1936 + 484 = 2420 \ \Omega$ થાય છે.
શ્રેણી પરિપથમાં વહેતો પ્રવાહ $I = \frac{V_{total}}{R_{eq}} = \frac{440}{2420} \approx 0.181 \ A$ છે.
પરિપથના પ્રવાહ $I$ ની રેટ કરેલ ક્ષમતાઓ સાથે સરખામણી કરતા: $I (0.181 \ A) > I_1 (0.114 \ A)$ હોવાથી,$25 \ W$ નો બલ્બ તેની રેટ કરેલ પ્રવાહ ક્ષમતા કરતા વધી જશે અને ફ્યુઝ થઈ જશે. $I (0.181 \ A) < I_2 (0.454 \ A)$ હોવાથી,$100 \ W$ નો બલ્બ સુરક્ષિત રહેશે.

(B) પરિપથને શ્રેણી અને સમાંતર જોડાણો ઓળખીને સ્ટેપ-બાય-સ્ટેપ સરળ બનાવી શકાય છે.
$1$. શાખા $ACD$ માં $2 \ \Omega$ અને $2 \ \Omega$ ના અવરોધો શ્રેણીમાં છે. તેમનો સમતુલ્ય અવરોધ $R_1 = 2 + 2 = 4 \ \Omega$ છે.
$2$. આ $R_1 = 4 \ \Omega$ એ $A$ અને $D$ વચ્ચે જોડાયેલા $4 \ \Omega$ ના અવરોધ સાથે સમાંતરમાં છે. સમતુલ્ય અવરોધ $R_2$ માટે $\frac{1}{R_2} = \frac{1}{4} + \frac{1}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$,તેથી $R_2 = 2 \ \Omega$ મળે.
$3$. હવે,$R_2 = 2 \ \Omega$ એ શાખા $DE$ માં રહેલા $2 \ \Omega$ ના અવરોધ સાથે શ્રેણીમાં છે. તેમનો સમતુલ્ય અવરોધ $R_3 = 2 + 2 = 4 \ \Omega$ છે.
$4$. આ $R_3 = 4 \ \Omega$ એ $A$ અને $E$ વચ્ચે જોડાયેલા $4 \ \Omega$ ના અવરોધ સાથે સમાંતરમાં છે. સમતુલ્ય અવરોધ $R_4$ માટે $\frac{1}{R_4} = \frac{1}{4} + \frac{1}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$,તેથી $R_4 = 2 \ \Omega$ મળે.
$5$. અંતે,$R_4 = 2 \ \Omega$ એ શાખા $EB$ માં રહેલા $2 \ \Omega$ ના અવરોધ સાથે શ્રેણીમાં છે. તેમનો સમતુલ્ય અવરોધ $R_5 = 2 + 2 = 4 \ \Omega$ છે.
$6$. આ $R_5 = 4 \ \Omega$ એ $A$ અને $B$ વચ્ચે સીધા જોડાયેલા $8 \ \Omega$ ના અવરોધ સાથે સમાંતરમાં છે. કુલ સમતુલ્ય અવરોધ $R_{AB}$ માટે $\frac{1}{R_{AB}} = \frac{1}{4} + \frac{1}{8} = \frac{2 + 1}{8} = \frac{3}{8}$ થાય.
$7$. તેથી,$R_{AB} = \frac{8}{3} \ \Omega$.

(B) વિદ્યુત ડાયપોલની અક્ષ પર તેના કેન્દ્રથી $r$ અંતરે વિદ્યુત ક્ષેત્ર $E$ નું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$E = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \cdot \frac{2pr}{(r^2 - a^2)^2}$
જ્યાં $p$ એ ડાયપોલ મોમેન્ટ છે અને $2a$ એ બે વિદ્યુતભારો વચ્ચેનું અંતર છે.
ટૂંકી ડાયપોલ માટે જ્યાં $r \gg a$ હોય,ત્યારે છેદમાં $a^2$ ને અવગણી શકાય છે:
$E \approx \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \cdot \frac{2pr}{r^4}$
$E \approx \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \cdot \frac{2p}{r^3}$
તેથી,$E \propto \frac{1}{r^3}$.

(A) $L$ આત્મ-પ્રેરકત્વ ધરાવતા ઇન્ડક્ટરમાં $I$ પ્રવાહ વહેતો હોય ત્યારે સંગ્રહિત ઉર્જા $U$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$U = \frac{1}{2} LI^2$
આપેલ છે:
$L = 200 \ mH = 200 \times 10^{-3} \ H = 0.2 \ H$
$I = 4 \ A$
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$U = \frac{1}{2} \times 0.2 \times (4)^2$
$U = 0.1 \times 16$
$U = 1.6 \ J$
તેથી,જરૂરી ઉર્જા $1.6 \ J$ છે.

(B) પ્રકાશની ઝડપ $(c)$,આવૃત્તિ $(v)$ અને તરંગલંબાઈ $(\lambda)$ વચ્ચેનો સંબંધ નીચે મુજબ છે: $c = v \lambda$.
અહીં પ્રકાશની ઝડપ $c = 3 \times 10^{8} \ m/s$ અને આવૃત્તિ $v = 8.196 \times 10^{6} \ Hz$ આપેલ છે.
તરંગલંબાઈ શોધવા માટે સૂત્રને આ રીતે લખી શકાય: $\lambda = \frac{c}{v}$.
કિંમતો મૂકતા: $\lambda = \frac{3 \times 10^{8}}{8.196 \times 10^{6}}$.
$\lambda = \frac{3}{8.196} \times 10^{2} \ m$.
$\lambda \approx 0.3660 \times 10^{2} \ m$.
$\lambda = 36.60 \ m$.
મીટરને સેન્ટિમીટરમાં ફેરવતા: $36.60 \ m = 3660 \ cm$.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(D) વાહક ગોળા માટે,સપાટી પરનું વિદ્યુત સ્થિતિમાન $V = \frac{kQ}{R}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $k$ એ કુલંબનો અચળાંક છે,$Q$ એ ગોળા પરનો વિદ્યુતભાર છે અને $R$ એ ગોળાની ત્રિજ્યા છે.
બંને ગોળાઓ તાંબાના (વાહક) બનેલા હોવાથી અને સમાન કદના હોવાથી,તેમની ત્રિજ્યા $R$ સમાન છે.
આપેલ છે કે બંને ગોળાઓને સમાન સ્થિતિમાન $V$ પર ચાર્જ કરવામાં આવ્યા છે,તેથી $V_x = V_y = V$.
$V = \frac{kQ}{R}$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,આપણને $V = \frac{kQ_x}{R}$ અને $V = \frac{kQ_y}{R}$ મળે છે.
બંનેને સરખાવતા,આપણને $\frac{kQ_x}{R} = \frac{kQ_y}{R}$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $Q_x = Q_y$.
તેથી,બંને ગોળાઓ પરનો વિદ્યુતભાર સમાન છે,ભલે ગોળો પોલો હોય કે નક્કર,કારણ કે વાહક પરનો વિદ્યુતભાર સંપૂર્ણપણે તેની બહારની સપાટી પર રહે છે.

(D) ધારો કે કેપેસિટર પરનો પ્રારંભિક વિદ્યુતભાર $Q$ છે અને તેની કેપેસિટન્સ $C$ છે.
કેપેસિટરમાં સંગ્રહિત પ્રારંભિક ઉર્જા $U = \frac{Q^2}{2C}$ છે.
જ્યારે બેટરીને દૂર કરવામાં આવે છે અને સમાંતરમાં બીજું સમાન અનચાર્જ્ડ કેપેસિટર જોડવામાં આવે છે,ત્યારે કુલ વિદ્યુતભાર $Q$ બંને કેપેસિટર્સ વચ્ચે સમાન રીતે વહેંચાય છે કારણ કે તેઓ સમાન છે.
આમ,દરેક કેપેસિટર પરનો વિદ્યુતભાર $Q' = \frac{Q}{2}$ થાય છે.
દરેક કેપેસિટરમાં સંગ્રહિત ઉર્જા $U' = \frac{(Q')^2}{2C} = \frac{(Q/2)^2}{2C} = \frac{Q^2}{8C} = \frac{1}{4} \left( \frac{Q^2}{2C} \right) = \frac{U}{4}$ છે.
સિસ્ટમની કુલ ઉર્જા એ બંને કેપેસિટર્સની ઉર્જાનો સરવાળો છે:
$U_{total} = U' + U' = \frac{U}{4} + \frac{U}{4} = \frac{U}{2}$.

(C) બે સમાંતર પ્લેટો વચ્ચેનું વિદ્યુતક્ષેત્ર $E$ એ સૂત્ર $E = \frac{V}{d}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $V$ એ વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત છે અને $d$ એ પ્લેટો વચ્ચેનું અંતર છે.
આપેલ છે:
વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V = 10 \ V$
અંતર $d = 20 \ cm = 20 \times 10^{-2} \ m = 0.2 \ m$
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$E = \frac{10}{0.2} = 50 \ Vm^{-1}$
તેથી,પ્લેટો વચ્ચેનું વિદ્યુતક્ષેત્ર $50 \ Vm^{-1}$ છે.

(B) $R$ ત્રિજ્યા ધરાવતા એક અલગ વાહક ગોળાનું કેપેસિટન્સ $C$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$C = 4 \pi \varepsilon_0 R$
અહીં $4$,$\pi$ અને $\varepsilon_0$ અચળાંકો છે,તેથી કેપેસિટન્સ એ ત્રિજ્યા $R$ ના સીધા પ્રમાણમાં છે.
આમ,$C \propto R$.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(C) સમાન ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ માં ચુંબકીય ડાયપોલ દ્વારા અનુભવાતું ટોર્ક $\tau = mB \sin \theta$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $m$ એ ચુંબકીય મોમેન્ટ છે અને $\theta$ એ ચુંબકીય મોમેન્ટ સદિશ અને ચુંબકીય ક્ષેત્ર સદિશ વચ્ચેનો ખૂણો છે.
મહત્તમ ટોર્કની સ્થિતિ (જ્યાં $\sin \theta = 1$) ધારતા,આપણને $\tau = mB$ મળે છે.
અહીં $\tau = 0.64 \ J$ અને $B = 0.32 \ T$ આપેલ છે.
કિંમતો મૂકતા: $0.64 = m \times 0.32$.
તેથી,$m = \frac{0.64}{0.32} = 2 \ Am^2$.
આમ,ચુંબકનો ચુંબકીય મોમેન્ટ $2 \ Am^2$ છે.

(C) ટૂંકા ગજિયા ચુંબકની અક્ષીય રેખા પર ચુંબકીય ક્ષેત્રનું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$B = \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{2M}{z^3}$
આપેલ છે:
ચુંબકીય મોમેન્ટ $M = 10 \text{ Am}^2$
અંતર $z = 0.1 \text{ m}$
પરમીએબિલિટી અચળાંક $\frac{\mu_0}{4\pi} = 10^{-7} \text{ T m/A}$
કિંમતો મૂકતા:
$B = 10^{-7} \times \frac{2 \times 10}{(0.1)^3}$
$B = 10^{-7} \times \frac{20}{0.001}$
$B = 10^{-7} \times 20000$
$B = 2 \times 10^{-3} \text{ T}$

(D) પ્રવાહધારિત લૂપની ચુંબકીય મોમેન્ટ $M$ એ $M = I \cdot A$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $I$ એ પ્રવાહ છે અને $A$ એ ક્ષેત્રફળ છે. તેનો $SI$ એકમ $A \cdot m^2$ છે.
વૈકલ્પિક રીતે,બાહ્ય ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ માં રહેલા ચુંબકીય ડાયપોલ માટે,સ્થિતિ ઊર્જા $U$ એ $U = -M \cdot B$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આમ,$M = U / B$.
ઊર્જા $U$ નો એકમ જૂલ $(J)$ છે અને ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ નો એકમ ટેસ્લા $(T)$ છે.
તેથી,ચુંબકીય મોમેન્ટનો એકમ $J \cdot T^{-1}$ થાય છે.

(C) ધારો કે તારની કુલ લંબાઈ $L$ છે.
એક આંટાવાળી કોઈલ $(n_1 = 1)$ માટે,પરિઘ $L = 2\pi R_1$ થાય,તેથી $R_1 = \frac{L}{2\pi}$.
કેન્દ્ર પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_1 = \frac{\mu_0 I}{2R_1} = \frac{\mu_0 I}{2(L/2\pi)} = \frac{\mu_0 I \pi}{L} = B$ છે.
બે આંટાવાળી કોઈલ $(n_2 = 2)$ માટે,કુલ લંબાઈ $L = n_2(2\pi R_2) = 2(2\pi R_2) = 4\pi R_2$ થાય.
આમ,નવી ત્રિજ્યા $R_2 = \frac{L}{4\pi} = \frac{R_1}{2}$ મળે.
$n$ આંટા માટે કેન્દ્ર પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_n = \frac{n \mu_0 I}{2R_n}$ છે.
$n=2$ માટે,$B_2 = \frac{2 \mu_0 I}{2R_2} = \frac{\mu_0 I}{R_2}$.
$R_2 = \frac{R_1}{2}$ મૂકતા,$B_2 = \frac{\mu_0 I}{R_1/2} = \frac{2 \mu_0 I}{R_1}$ મળે.
કારણ કે $B = \frac{\mu_0 I}{2R_1}$,તેથી $\frac{\mu_0 I}{R_1} = 2B$ થાય.
તેથી,$B_2 = 2(2B) = 4B$ થાય.

(B) સાચો જવાબ $B$ છે.
પરમાણુ બોમ્બ અનિયંત્રિત ન્યુક્લિયર વિખંડનના સિદ્ધાંત પર કાર્ય કરે છે.
આ પ્રક્રિયામાં,જ્યારે ન્યુટ્રોન દ્વારા ભારે ન્યુક્લિયસ (જેમ કે $U^{235}$ અથવા $Pu^{239}$) પર મારો ચલાવવામાં આવે છે,ત્યારે તે નાના ન્યુક્લિયસમાં વિભાજિત થાય છે,જે પુષ્કળ પ્રમાણમાં ઉર્જા અને વધુ ન્યુટ્રોન મુક્ત કરે છે,જે શૃંખલા પ્રતિક્રિયાને જાળવી રાખે છે.

(A) ${ }_{92}^{235} U$ ન્યુક્લિયસમાં,પરમાણુ ક્રમાંક $Z$ (પ્રોટોનની સંખ્યા) $92$ છે.
દળ ક્રમાંક $A$ એ $235$ છે.
ન્યુટ્રોનની સંખ્યા $N$ એ $N = A - Z$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$N = 235 - 92 = 143$.
ન્યુટ્રોન અને પ્રોટોનની સંખ્યા વચ્ચેનો તફાવત $N - Z$ છે.
$N - Z = 143 - 92 = 51$.
તેથી,ન્યુક્લિયસમાં પ્રોટોન કરતા $51$ ન્યુટ્રોન વધારે છે.