GUJCET 2010 Physics Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(B) निर्वात में प्रकाश की चाल का संबंध $c = \frac{1}{\sqrt{\mu_{0} \varepsilon_{0}}}$ द्वारा दिया जाता है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,हमें $c^{2} = \frac{1}{\mu_{0} \varepsilon_{0}}$ प्राप्त होता है।
चूंकि $c$ वेग को दर्शाता है,इसका विमीय सूत्र $[M^{0} L^{1} T^{-1}]$ है।
अतः,$\frac{1}{\mu_{0} \varepsilon_{0}}$ का विमीय सूत्र वेग के विमीय सूत्र का वर्ग होगा:
$\frac{1}{\mu_{0} \varepsilon_{0}} = [M^{0} L^{1} T^{-1}]^{2} = M^{0} L^{2} T^{-2}$.
इस प्रकार,सही विकल्प $B$ है।

(C) प्रत्यावर्ती वोल्टेज का तात्कालिक मान $V(t) = V_{\max} \sin(\omega t)$ द्वारा दिया जाता है।
एक पूर्ण चक्र ($t = 0$ से $t = T$) पर औसत मान ज्ञात करने के लिए,हम फलन का समय अवधि $T$ पर समाकलन करते हैं और उसे अवधि से विभाजित करते हैं:
$V_{\text{avg}} = \frac{1}{T} \int_{0}^{T} V_{\max} \sin(\omega t) dt$.
चूंकि $\omega = \frac{2\pi}{T}$,समाकलन इस प्रकार होगा:
$V_{\text{avg}} = \frac{V_{\max}}{T} \int_{0}^{T} \sin\left(\frac{2\pi}{T} t\right) dt$.
पूर्ण अवधि पर ज्या (sine) फलन का समाकलन शून्य होता है क्योंकि पहले अर्ध-चक्र का धनात्मक क्षेत्रफल दूसरे अर्ध-चक्र के ऋणात्मक क्षेत्रफल को पूरी तरह से निरस्त कर देता है।
अतः,$V_{\text{avg}} = 0$.

(D) श्रेणी $LCR$ परिपथ के लिए $Q$ कारक (गुणवत्ता कारक) का सूत्र निम्नलिखित है:
$Q = \frac{1}{R} \sqrt{\frac{L}{C}}$
दिए गए मान $R = 6 \Omega$,$L = 1 \text{ H}$,और $C = 17.36 \times 10^{-6} \text{ F}$ हैं।
इन मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:
$Q = \frac{1}{6} \sqrt{\frac{1}{17.36 \times 10^{-6}}}$
$Q = \frac{1}{6} \sqrt{\frac{10^6}{17.36}}$
$Q = \frac{1}{6} \times \sqrt{57603.68}$
$Q \approx \frac{1}{6} \times 240$
$Q \approx 40$
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(A) एक आदर्श ट्रांसफार्मर में,प्राथमिक और द्वितीयक कुंडलियाँ एक सामान्य चुंबकीय फ्लक्स द्वारा जुड़ी होती हैं जो इनपुट प्रत्यावर्ती धारा स्रोत के समान दर पर दोलन करती हैं।
चूंकि द्वितीयक कुंडली में प्रेरित विद्युत वाहक बल $(EMF)$ की आवृत्ति पूरी तरह से चुंबकीय फ्लक्स परिवर्तन की आवृत्ति पर निर्भर करती है,जो इनपुट स्रोत द्वारा निर्धारित होती है,इसलिए आवृत्ति स्थिर रहती है।
अतः,आउटपुट वोल्टेज की आवृत्ति इनपुट वोल्टेज की आवृत्ति के समान ही रहती है।

(D) श्रेणीक्रम संयोजन के लिए:
कुल विद्युत वाहक बल $2\varepsilon$ है और कुल आंतरिक प्रतिरोध $2r$ है।
परिपथ में प्रवाहित धारा:
$I_1 = \frac{2\varepsilon}{R + 2r} = \frac{2\varepsilon}{2 + 2r}$
समांतर क्रम संयोजन के लिए:
कुल विद्युत वाहक बल $\varepsilon$ है और कुल आंतरिक प्रतिरोध $\frac{r}{2}$ है।
परिपथ में प्रवाहित धारा:
$I_2 = \frac{\varepsilon}{R + \frac{r}{2}} = \frac{\varepsilon}{2 + \frac{r}{2}} = \frac{2\varepsilon}{4 + r}$
चूंकि दोनों संयोजनों में धारा समान है,$I_1 = I_2$:
$\frac{2\varepsilon}{2 + 2r} = \frac{2\varepsilon}{4 + r}$
$4 + r = 2 + 2r$
$r = 2 \ \Omega$
अतः,प्रत्येक सेल का आंतरिक प्रतिरोध $2 \ \Omega$ है।

(C) सबसे पहले,प्रत्येक बल्ब के लिए प्रतिरोध और रेटेड धारा क्षमता की गणना करें।
$25 W$ बल्ब के लिए: $R_1 = \frac{V^2}{P_1} = \frac{220^2}{25} = 1936 \ \Omega$। रेटेड धारा $I_1 = \frac{P_1}{V} = \frac{25}{220} \approx 0.114 \ A$ है।
$100 W$ बल्ब के लिए: $R_2 = \frac{V^2}{P_2} = \frac{220^2}{100} = 484 \ \Omega$। रेटेड धारा $I_2 = \frac{P_2}{V} = \frac{100}{220} \approx 0.454 \ A$ है।
जब $440 \ V$ की आपूर्ति के साथ श्रेणीक्रम में जोड़ा जाता है,तो कुल प्रतिरोध $R_{eq} = R_1 + R_2 = 1936 + 484 = 2420 \ \Omega$ होता है।
श्रेणी परिपथ में बहने वाली धारा $I = \frac{V_{total}}{R_{eq}} = \frac{440}{2420} \approx 0.181 \ A$ है।
परिपथ धारा $I$ की तुलना रेटेड क्षमताओं से करने पर: चूंकि $I (0.181 \ A) > I_1 (0.114 \ A)$,इसलिए $25 \ W$ का बल्ब अपनी रेटेड धारा क्षमता से अधिक हो जाएगा और फ्यूज हो जाएगा। चूंकि $I (0.181 \ A) < I_2 (0.454 \ A)$,इसलिए $100 \ W$ का बल्ब सुरक्षित रहेगा।

(B) परिपथ को श्रेणी और समानांतर संयोजनों की पहचान करके चरण-दर-चरण सरल बनाया जा सकता है।
$1$. शाखा $ACD$ में $2 \ \Omega$ और $2 \ \Omega$ के प्रतिरोधक श्रेणी में हैं। उनका तुल्य प्रतिरोध $R_1 = 2 + 2 = 4 \ \Omega$ है।
$2$. यह $R_1 = 4 \ \Omega$,$A$ और $D$ के बीच जुड़े $4 \ \Omega$ के प्रतिरोधक के साथ समानांतर में है। तुल्य प्रतिरोध $R_2$ के लिए $\frac{1}{R_2} = \frac{1}{4} + \frac{1}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$,इसलिए $R_2 = 2 \ \Omega$ प्राप्त होता है।
$3$. अब,$R_2 = 2 \ \Omega$,शाखा $DE$ में स्थित $2 \ \Omega$ के प्रतिरोधक के साथ श्रेणी में है। उनका तुल्य प्रतिरोध $R_3 = 2 + 2 = 4 \ \Omega$ है।
$4$. यह $R_3 = 4 \ \Omega$,$A$ और $E$ के बीच जुड़े $4 \ \Omega$ के प्रतिरोधक के साथ समानांतर में है। तुल्य प्रतिरोध $R_4$ के लिए $\frac{1}{R_4} = \frac{1}{4} + \frac{1}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$,इसलिए $R_4 = 2 \ \Omega$ प्राप्त होता है।
$5$. अंत में,$R_4 = 2 \ \Omega$,शाखा $EB$ में स्थित $2 \ \Omega$ के प्रतिरोधक के साथ श्रेणी में है। उनका तुल्य प्रतिरोध $R_5 = 2 + 2 = 4 \ \Omega$ है।
$6$. यह $R_5 = 4 \ \Omega$,$A$ और $B$ के बीच सीधे जुड़े $8 \ \Omega$ के प्रतिरोधक के साथ समानांतर में है। कुल तुल्य प्रतिरोध $R_{AB}$ के लिए $\frac{1}{R_{AB}} = \frac{1}{4} + \frac{1}{8} = \frac{2 + 1}{8} = \frac{3}{8}$ होता है।
$7$. अतः,$R_{AB} = \frac{8}{3} \ \Omega$।

(B) एक विद्युत द्विध्रुव की अक्षीय रेखा पर उसके केंद्र से $r$ दूरी पर विद्युत क्षेत्र $E$ का सूत्र इस प्रकार है:
$E = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \cdot \frac{2pr}{(r^2 - a^2)^2}$
जहाँ $p$ द्विध्रुव आघूर्ण (dipole moment) है और $2a$ आवेशों के बीच की दूरी है।
एक छोटे द्विध्रुव के लिए जहाँ $r \gg a$ है,हम हर (denominator) में $a^2$ की उपेक्षा कर सकते हैं:
$E \approx \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \cdot \frac{2pr}{r^4}$
$E \approx \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \cdot \frac{2p}{r^3}$
अतः,$E \propto \frac{1}{r^3}$.

(A) $L$ स्व-प्रेरकत्व वाले प्रेरक (inductor) में $I$ धारा प्रवाहित होने पर संचित ऊर्जा $U$ को निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$U = \frac{1}{2} LI^2$
दिया गया है:
$L = 200 \ mH = 200 \times 10^{-3} \ H = 0.2 \ H$
$I = 4 \ A$
सूत्र में मान रखने पर:
$U = \frac{1}{2} \times 0.2 \times (4)^2$
$U = 0.1 \times 16$
$U = 1.6 \ J$
अतः,आवश्यक ऊर्जा $1.6 \ J$ है।

(B) प्रकाश की गति $(c)$,आवृत्ति $(v)$ और तरंगदैर्ध्य $(\lambda)$ के बीच संबंध इस सूत्र द्वारा दिया जाता है: $c = v \lambda$.
यहाँ प्रकाश की गति $c = 3 \times 10^{8} \ m/s$ और आवृत्ति $v = 8.196 \times 10^{6} \ Hz$ दी गई है।
तरंगदैर्ध्य ज्ञात करने के लिए सूत्र को पुनर्व्यवस्थित करने पर: $\lambda = \frac{c}{v}$.
मान रखने पर: $\lambda = \frac{3 \times 10^{8}}{8.196 \times 10^{6}}$.
$\lambda = \frac{3}{8.196} \times 10^{2} \ m$.
$\lambda \approx 0.3660 \times 10^{2} \ m$.
$\lambda = 36.60 \ m$.
मीटर को सेंटीमीटर में बदलने पर: $36.60 \ m = 3660 \ cm$.
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(D) एक चालक गोले के लिए,सतह पर विद्युत विभव $V = \frac{kQ}{R}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $k$ कूलम्ब नियतांक है,$Q$ गोले पर आवेश है और $R$ गोले की त्रिज्या है।
चूंकि दोनों गोले तांबे (एक चालक) से बने हैं और समान आकार के हैं,इसलिए उनकी त्रिज्या $R$ समान है।
यह दिया गया है कि दोनों गोलों को समान विभव $V$ पर आवेशित किया गया है,इसलिए $V_x = V_y = V$ है।
सूत्र $V = \frac{kQ}{R}$ का उपयोग करते हुए,हमें $V = \frac{kQ_x}{R}$ और $V = \frac{kQ_y}{R}$ प्राप्त होता है।
दोनों की तुलना करने पर,हमें $\frac{kQ_x}{R} = \frac{kQ_y}{R}$ मिलता है,जिसका अर्थ है कि $Q_x = Q_y$ है।
अतः,दोनों गोलों पर आवेश समान है,चाहे गोला खोखला हो या ठोस,क्योंकि चालक पर आवेश पूरी तरह से उसकी बाहरी सतह पर रहता है।

(D) मान लीजिए कि संधारित्र पर प्रारंभिक आवेश $Q$ है और इसकी धारिता $C$ है।
संधारित्र में संचित प्रारंभिक ऊर्जा $U = \frac{Q^2}{2C}$ है।
जब बैटरी को हटा दिया जाता है और समानांतर क्रम में एक समान अनावेशित संधारित्र जोड़ा जाता है,तो कुल आवेश $Q$ दोनों संधारित्रों के बीच समान रूप से साझा हो जाता है क्योंकि वे समान हैं।
इस प्रकार,प्रत्येक संधारित्र पर आवेश $Q' = \frac{Q}{2}$ हो जाता है।
प्रत्येक संधारित्र में संचित ऊर्जा $U' = \frac{(Q')^2}{2C} = \frac{(Q/2)^2}{2C} = \frac{Q^2}{8C} = \frac{1}{4} \left( \frac{Q^2}{2C} \right) = \frac{U}{4}$ है।
प्रणाली की कुल ऊर्जा दोनों संधारित्रों की ऊर्जा का योग है:
$U_{total} = U' + U' = \frac{U}{4} + \frac{U}{4} = \frac{U}{2}$।

(C) दो समानांतर प्लेटों के बीच विद्युत क्षेत्र $E$ को सूत्र $E = \frac{V}{d}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $V$ विभवांतर है और $d$ प्लेटों के बीच की दूरी है।
दिया गया है:
विभवांतर $V = 10 \ V$
दूरी $d = 20 \ cm = 20 \times 10^{-2} \ m = 0.2 \ m$
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$E = \frac{10}{0.2} = 50 \ Vm^{-1}$
अतः,प्लेटों के बीच विद्युत क्षेत्र $50 \ Vm^{-1}$ है।

(B) $R$ त्रिज्या वाले एक विलगित चालक गोले की धारिता $C$ का सूत्र निम्नलिखित है:
$C = 4 \pi \varepsilon_0 R$
चूंकि $4$,$\pi$ और $\varepsilon_0$ स्थिरांक हैं,इसलिए धारिता त्रिज्या $R$ के सीधे समानुपाती होती है।
अतः,$C \propto R$.
इसलिए,सही विकल्प $B$ है।

(C) एकसमान चुंबकीय क्षेत्र $B$ में चुंबकीय द्विध्रुव द्वारा अनुभव किया गया बल आघूर्ण $\tau = mB \sin \theta$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $m$ चुंबकीय आघूर्ण है और $\theta$ चुंबकीय आघूर्ण सदिश और चुंबकीय क्षेत्र सदिश के बीच का कोण है।
अधिकतम बल आघूर्ण की स्थिति (जहाँ $\sin \theta = 1$) मानते हुए,हमारे पास $\tau = mB$ है।
दिया गया है $\tau = 0.64 \ J$ और $B = 0.32 \ T$।
मान रखने पर: $0.64 = m \times 0.32$।
अतः,$m = \frac{0.64}{0.32} = 2 \ Am^2$।
इस प्रकार,चुंबक का चुंबकीय आघूर्ण $2 \ Am^2$ है।

(C) एक छोटे छड़ चुंबक की अक्षीय रेखा पर चुंबकीय क्षेत्र का सूत्र इस प्रकार है:
$B = \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{2M}{z^3}$
दिया गया है:
चुंबकीय आघूर्ण $M = 10 \text{ Am}^2$
दूरी $z = 0.1 \text{ m}$
पारगम्यता स्थिरांक $\frac{\mu_0}{4\pi} = 10^{-7} \text{ T m/A}$
मान रखने पर:
$B = 10^{-7} \times \frac{2 \times 10}{(0.1)^3}$
$B = 10^{-7} \times \frac{20}{0.001}$
$B = 10^{-7} \times 20000$
$B = 2 \times 10^{-3} \text{ T}$

(D) धारा लूप का चुंबकीय आघूर्ण $M$,$M = I \cdot A$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $I$ धारा है और $A$ क्षेत्रफल है। इसका $SI$ मात्रक $A \cdot m^2$ है।
वैकल्पिक रूप से,बाह्य चुंबकीय क्षेत्र $B$ में स्थित चुंबकीय द्विध्रुव के लिए,स्थितिज ऊर्जा $U$,$U = -M \cdot B$ द्वारा दी जाती है।
अतः,$M = U / B$।
ऊर्जा $U$ का मात्रक जूल $(J)$ है और चुंबकीय क्षेत्र $B$ का मात्रक टेस्ला $(T)$ है।
इसलिए,चुंबकीय आघूर्ण का मात्रक $J \cdot T^{-1}$ है।

(C) मान लीजिए तार की कुल लंबाई $L$ है।
एकल-टर्न कुंडली $(n_1 = 1)$ के लिए,परिधि $L = 2\pi R_1$ है,इसलिए $R_1 = \frac{L}{2\pi}$।
केंद्र पर चुंबकीय क्षेत्र $B_1 = \frac{\mu_0 I}{2R_1} = \frac{\mu_0 I}{2(L/2\pi)} = \frac{\mu_0 I \pi}{L} = B$ है।
दो-टर्न कुंडली $(n_2 = 2)$ के लिए,कुल लंबाई $L = n_2(2\pi R_2) = 2(2\pi R_2) = 4\pi R_2$ है।
अतः,नई त्रिज्या $R_2 = \frac{L}{4\pi} = \frac{R_1}{2}$ है।
$n$ टर्न के लिए केंद्र पर चुंबकीय क्षेत्र $B_n = \frac{n \mu_0 I}{2R_n}$ होता है।
$n=2$ के लिए,$B_2 = \frac{2 \mu_0 I}{2R_2} = \frac{\mu_0 I}{R_2}$।
$R_2 = \frac{R_1}{2}$ प्रतिस्थापित करने पर,$B_2 = \frac{\mu_0 I}{R_1/2} = \frac{2 \mu_0 I}{R_1}$ प्राप्त होता है।
चूंकि $B = \frac{\mu_0 I}{2R_1}$,इसलिए $\frac{\mu_0 I}{R_1} = 2B$ है।
अतः,$B_2 = 2(2B) = 4B$ होगा।

(B) सही उत्तर $B$ है।
परमाणु बम अनियंत्रित नाभिकीय विखंडन के सिद्धांत पर कार्य करता है।
इस प्रक्रिया में,जब न्यूट्रॉन द्वारा एक भारी नाभिक (जैसे $U^{235}$ या $Pu^{239}$) पर बमबारी की जाती है,तो वह छोटे नाभिकों में विभाजित हो जाता है,जिससे भारी मात्रा में ऊर्जा और अधिक न्यूट्रॉन मुक्त होते हैं,जो श्रृंखला अभिक्रिया को बनाए रखते हैं।

(A) ${ }_{92}^{235} U$ नाभिक में,परमाणु क्रमांक $Z$ (प्रोटॉन की संख्या) $92$ है।
द्रव्यमान संख्या $A$ का मान $235$ है।
न्यूट्रॉन की संख्या $N$ को $N = A - Z$ द्वारा ज्ञात किया जाता है।
$N = 235 - 92 = 143$।
न्यूट्रॉन और प्रोटॉन की संख्या के बीच का अंतर $N - Z$ है।
$N - Z = 143 - 92 = 51$।
अतः,नाभिक में प्रोटॉन की तुलना में $51$ न्यूट्रॉन अधिक हैं।