AIEEE 2005 Chemistry Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(C) पॉलियामाइड वे बहुलक होते हैं जिनमें उनकी मुख्य श्रृंखला में एमाइड लिंकेज $(-CONH-)$ होते हैं।
नायलॉन-$66$ एक संघनन बहुलक है जो हेक्सामिथिलीनडायमाइन और एडिपिक एसिड की प्रतिक्रिया से बनता है,जिससे एमाइड बंध का निर्माण होता है।
बेकेलाइट एक फिनोल-फॉर्मेल्डिहाइड रेजिन है।
टेरिलीन एक पॉलिएस्टर है।
टेफ्लॉन टेट्राफ्लुओरोएथीन का एक बहुलक है।

(B) यंग के द्वि-स्लिट प्रयोग में, पर्दे पर किसी भी बिंदु $P(x, y)$ पर संपोषी या विनाशी व्यतिकरण के लिए शर्त यह है कि दो स्लिटों $S_1$ और $S_2$ से आने वाली तरंगों के बीच का पथांतर स्थिर होना चाहिए।
गणितीय रूप से, इसे $|PS_1 - PS_2| = \text{constant}$ के रूप में व्यक्त किया जाता है।
परिभाषा के अनुसार, उस बिंदु का बिंदुपथ जिसका दो निश्चित बिंदुओं (नाभियों, जो स्लिट $S_1$ और $S_2$ हैं) से दूरियों का अंतर स्थिर होता है, एक अतिपरवलय (hyperbola) होता है।
इसलिए, पर्दे पर बनने वाली व्यतिकरण फ्रिंजें अतिपरवलयाकार होती हैं।

(C) $AlCl_3$ का जलीय विलयन जल-अपघटन (hydrolysis) के माध्यम से $Al(OH)_3$ और $HCl$ बनाता है:
$AlCl_3 + 3 H_2O \rightarrow Al(OH)_3 + 3 HCl$
विलयन को शुष्क होने तक गर्म करने पर,वाष्पशील $HCl$ गैस बाहर निकल जाती है और शेष $Al(OH)_3$ का तापीय अपघटन होकर एल्युमिनियम ऑक्साइड $(Al_2O_3)$ प्राप्त होता है:
$2 Al(OH)_3 \xrightarrow{\Delta} Al_2O_3 + 3 H_2O$
अतः,अंतिम उत्पाद $Al_2O_3$ प्राप्त होता है।

(C) किसी प्रक्रिया में विनिमय की गई ऊष्मा $Q = \int T \, dS$ द्वारा दी जाती है,जो $T-S$ आरेख में वक्र के नीचे के क्षेत्रफल को दर्शाती है।
$1$. $A$ से $B$ तक अवशोषित ऊष्मा $(Q_1)$: प्रक्रिया $A \rightarrow B$ एक सीधी रेखा है। इस रेखा के नीचे का क्षेत्रफल एक समलंब चतुर्भुज है जिसकी समानांतर भुजाएँ $2T_0$ और $T_0$ हैं और ऊँचाई $(2S_0 - S_0) = S_0$ है।
$Q_1 = AB$ के नीचे का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} (2T_0 + T_0) (2S_0 - S_0) = \frac{3}{2} T_0 S_0$.
$2$. $B$ से $C$ तक उत्सर्जित ऊष्मा $(Q_2)$: प्रक्रिया $B \rightarrow C$ स्थिर तापमान $T_0$ पर होती है। इस रेखा के नीचे का क्षेत्रफल एक आयत है।
$Q_2 = BC$ के नीचे का क्षेत्रफल $= T_0 (2S_0 - S_0) = T_0 S_0$.
$3$. दक्षता $(\eta)$: हीट इंजन की दक्षता $\eta = 1 - \frac{Q_2}{Q_1}$ द्वारा दी जाती है।
$\eta = 1 - \frac{T_0 S_0}{\frac{3}{2} T_0 S_0} = 1 - \frac{2}{3} = \frac{1}{3} \approx 0.33$.

(A) हीलियम $(He)$ के मोलों की संख्या $n_1 = \frac{16}{4} = 4 \ mol$ है। हीलियम एक परमाण्विक गैस है,इसलिए इसकी स्वतंत्रता की कोटि $f_1 = 3$ और $C_{v1} = \frac{3}{2}R$ है।
हाइड्रोजन $(H_2)$ के मोलों की संख्या $n_2 = \frac{16}{2} = 8 \ mol$ है। हाइड्रोजन द्वि-परमाण्विक गैस है,इसलिए इसकी स्वतंत्रता की कोटि $f_2 = 5$ और $C_{v2} = \frac{5}{2}R$ है।
मिश्रण का समतुल्य $C_v$ इस प्रकार है: $C_{v,mix} = \frac{n_1 C_{v1} + n_2 C_{v2}}{n_1 + n_2} = \frac{4(\frac{3}{2}R) + 8(\frac{5}{2}R)}{4 + 8} = \frac{6R + 20R}{12} = \frac{26R}{12} = \frac{13}{6}R$.
मिश्रण का समतुल्य $C_p$ इस प्रकार है: $C_{p,mix} = C_{v,mix} + R = \frac{13}{6}R + R = \frac{19}{6}R$.
अनुपात $\gamma = \frac{C_{p,mix}}{C_{v,mix}} = \frac{19/6 R}{13/6 R} = \frac{19}{13} \approx 1.46$.

(B) दिया गया है: प्रारंभिक वेग $u = 100\, m/s$,अंतिम वेग $v = 0\, m/s$,गतिज घर्षण गुणांक $\mu_k = 0.5$,गुरुत्वीय त्वरण $g = 10\, m/s^2$।
कार पर कार्य करने वाला मंदन बल $F = \mu_k N = \mu_k mg$ है।
न्यूटन के गति के दूसरे नियम का उपयोग करते हुए,मंदन $a = \frac{F}{m} = \mu_k g = 0.5 \times 10 = 5\, m/s^2$ है।
गति के समीकरण $v^2 - u^2 = 2as$ का उपयोग करते हुए:
$0^2 - (100)^2 = 2(-5)s$
$-10000 = -10s$
$s = \frac{10000}{10} = 1000\, m$।
अतः,वह दूरी जिस पर कार को रोका जा सकता है,$1000\, m$ है।

(A) रेखा $y = mx + c$ अतिपरवलय $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ की स्पर्शरेखा होती है यदि $c^2 = a^2m^2 - b^2$ हो।
दी गई रेखा $y = \alpha x + \beta$ अतिपरवलय $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ की स्पर्शरेखा है,इसलिए $m = \alpha$ और $c = \beta$ रखने पर।
अतः,$\beta^2 = a^2\alpha^2 - b^2$ प्राप्त होता है।
$(\alpha, \beta)$ को $(x, y)$ से प्रतिस्थापित करने पर,बिंदुपथ $y^2 = a^2x^2 - b^2$ प्राप्त होता है।
पदों को व्यवस्थित करने पर,$a^2x^2 - y^2 = b^2$ या $\frac{x^2}{(b/a)^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ प्राप्त होता है।
यह समीकरण एक अतिपरवलय को दर्शाता है।

(D) हीलियम $(He)$ के लिए मोलों की संख्या $n_1 = \frac{16\,g}{4\,g/mol} = 4\,mol$ है। हीलियम एक परमाण्विक गैस है,इसलिए $f_1 = 3$,$C_{v1} = \frac{3R}{2}$,और $C_{p1} = \frac{5R}{2}$ है।
ऑक्सीजन $(O_2)$ के लिए मोलों की संख्या $n_2 = \frac{16\,g}{32\,g/mol} = 0.5\,mol$ है। ऑक्सीजन द्वि-परमाण्विक गैस है,इसलिए $f_2 = 5$,$C_{v2} = \frac{5R}{2}$,और $C_{p2} = \frac{7R}{2}$ है।
मिश्रण के लिए विशिष्ट ऊष्मा का अनुपात $\gamma_{mix} = \frac{n_1 C_{p1} + n_2 C_{p2}}{n_1 C_{v1} + n_2 C_{v2}}$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर:
$\gamma_{mix} = \frac{4 \times (\frac{5R}{2}) + 0.5 \times (\frac{7R}{2})}{4 \times (\frac{3R}{2}) + 0.5 \times (\frac{5R}{2})}$
$\gamma_{mix} = \frac{10R + 1.75R}{6R + 1.25R} = \frac{11.75R}{7.25R} = \frac{1175}{725} \approx 1.62$.

(A) रैखिक संवेग संरक्षण के नियम के अनुसार: $m_{1} \vec{u}_{1} + m_{2} \vec{u}_{2} = m_{1} \vec{v}_{1} + m_{2} \vec{v}_{2}$.
माना कि पहले पिंड का प्रारंभिक वेग $\vec{u}_{1} = v \hat{i}$ है और दूसरा पिंड विराम अवस्था में है,अतः $\vec{u}_{2} = 0$.
टक्कर के बाद,पहला पिंड $\vec{v}_{1} = \frac{v}{\sqrt{3}} \hat{j}$ वेग से (प्रारंभिक दिशा के लंबवत) गति करता है।
इन मानों को संवेग समीकरण में रखने पर:
$m(v \hat{i}) + m(0) = m(\frac{v}{\sqrt{3}} \hat{j}) + m \vec{v}_{2}$.
$m$ से भाग देने पर:
$\vec{v}_{2} = v \hat{i} - \frac{v}{\sqrt{3}} \hat{j}$.
दूसरे पिंड की चाल $\vec{v}_{2}$ का परिमाण है:
$|\vec{v}_{2}| = \sqrt{v^{2} + (-\frac{v}{\sqrt{3}})^{2}} = \sqrt{v^{2} + \frac{v^{2}}{3}} = \sqrt{\frac{4v^{2}}{3}} = \frac{2}{\sqrt{3}}v$.

(B) सेल का आंतरिक प्रतिरोध $r$ निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$r = R \left[ \frac{l_1}{l_2} - 1 \right]$
जहाँ:
$R = 2\,\Omega$ (बाह्य शंट प्रतिरोध)
$l_1 = 240\,cm$ (शंट के बिना संतुलन लंबाई)
$l_2 = 120\,cm$ (शंट के साथ संतुलन लंबाई)
सूत्र में मान रखने पर:
$r = 2 \left[ \frac{240}{120} - 1 \right]$
$r = 2 [2 - 1]$
$r = 2 \times 1 = 2\,\Omega$
अतः,सेल का आंतरिक प्रतिरोध $2\,\Omega$ है।

(C) किसी ऑप्टिकल सिस्टम (जैसे मानव आँख) द्वारा दो बिंदु वस्तुओं को अलग-अलग देखने की शर्त रेले मानदंड द्वारा दी जाती है: $\theta = \frac{1.22 \lambda}{d}$.
यहाँ,$\theta$ कोणीय पृथक्करण है,$\lambda$ प्रकाश की तरंग दैर्ध्य है,और $d$ पुतली का व्यास है।
छोटे कोणों के लिए,कोणीय पृथक्करण $\theta$ को $\theta = \frac{y}{D}$ के रूप में व्यक्त किया जा सकता है,जहाँ $y$ बिंदुओं के बीच की रैखिक दूरी है और $D$ आँख से दूरी है।
दोनों व्यंजकों की तुलना करने पर: $\frac{y}{D} = \frac{1.22 \lambda}{d}$.
$D$ के लिए हल करने पर: $D = \frac{y \cdot d}{1.22 \cdot \lambda}$.
दिए गए मान: $y = 1 \, mm = 1 \times 10^{-3} \, m$,$d = 3 \, mm = 3 \times 10^{-3} \, m$,और $\lambda = 500 \, nm = 500 \times 10^{-9} \, m$.
इन मानों को रखने पर: $D = \frac{1 \times 10^{-3} \times 3 \times 10^{-3}}{1.22 \times 500 \times 10^{-9}}$.
$D = \frac{3 \times 10^{-6}}{610 \times 10^{-9}} = \frac{3000}{610} \approx 4.918 \, m$.
निकटतम पूर्णांक में,$D \approx 5 \, m$ प्राप्त होता है।

(B) मान लीजिए प्रारंभिक वेग $V$ है और निरंतर मंदन $a$ है।
गति के समीकरण $v^2 = u^2 + 2as$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $v = V/2$,$u = V$,और $s = 3 \ cm$:
$(V/2)^2 = V^2 - 2a(3) \implies V^2/4 = V^2 - 6a \implies 6a = 3V^2/4 \implies a = V^2/8$.
अब,मान लीजिए कुल तय की गई दूरी $S$ है। जब गोली रुक जाती है,तो अंतिम वेग $v = 0$ होता है:
$0^2 = V^2 - 2aS \implies V^2 = 2(V^2/8)S \implies V^2 = (V^2/4)S \implies S = 4 \ cm$.
तय की गई अतिरिक्त दूरी $S - 3 \ cm = 4 \ cm - 3 \ cm = 1 \ cm$ है।

(C) पॉलियामाइड वह बहुलक है जिसमें उसकी श्रृंखला में एमाइड लिंकेज $(-CONH-)$ होता है।
नायलॉन-$6,6$ एक पॉलियामाइड है। यह हेक्सामेथिलीन डायमीन $(H_2N(CH_2)_6NH_2)$ और एडिपिक एसिड $(HOOC(CH_2)_4COOH)$ के संघनन बहुलकीकरण द्वारा बनता है।
बेकेलाइट एक फिनोल-फॉर्मेल्डिहाइड रेजिन है।
टेरिलीन एक पॉलिएस्टर है जो एथिलीन ग्लाइकॉल और टेरेफ्थेलिक एसिड के संघनन से बनता है।
टेफ्लॉन टेट्राफ्लोरोएथिलीन $(CF_2=CF_2)$ का एक बहुलक है।

(A) उत्सर्जित फोटॉन की ऊर्जा $\Delta E = E_{initial} - E_{final}$ द्वारा दी जाती है।
उत्सर्जन के लिए,इलेक्ट्रॉन को उच्च ऊर्जा स्तर से निम्न ऊर्जा स्तर की ओर जाना चाहिए।
संक्रमण $I$ एक अवशोषण संक्रमण है (ऊपर की ओर तीर)।
संक्रमण $II$,$III$,और $IV$ उत्सर्जन संक्रमण हैं (नीचे की ओर तीर)।
ऊर्जा अंतराल की तुलना करने पर:
संक्रमण $II$: $n=4$ से $n=3$
संक्रमण $III$: $n=2$ से $n=1$
संक्रमण $IV$: $n=4$ से $n=2$
स्तरों के बीच ऊर्जा का अंतर $E_n = -\frac{13.6}{n^2} \text{ eV}$ (हाइड्रोजन जैसे परमाणुओं के लिए) द्वारा दिया जाता है।
जैसे-जैसे हम कम $n$ मानों की ओर बढ़ते हैं,ऊर्जा अंतराल $\Delta E$ बढ़ता जाता है।
$n=2$ और $n=1$ के बीच का अंतराल (संक्रमण $III$) दिखाए गए उत्सर्जन संक्रमणों में सबसे बड़ा है।
इसलिए,संक्रमण $III$ सबसे अधिक ऊर्जा वाले फोटॉन के उत्सर्जन के अनुरूप है।

(A) यंग के द्वि-स्लिट प्रयोग में,पर्दे पर किसी बिंदु तक पहुँचने वाली दो तरंगों के बीच का पथ अंतर $\Delta x = d \sin \theta \approx d \tan \theta = d(y/D)$ द्वारा दिया जाता है।
दीप्त फ्रिंजों के लिए,पथ अंतर $n\lambda$ होता है,इसलिए $d(y/D) = n\lambda$,जिसका अर्थ है $y = (n\lambda D)/d$।
चूंकि दिए गए क्रम $n$ के लिए $y$ स्थिर है,इसलिए फ्रिंज पर्दे पर स्लिट्स के समानांतर सीधी रेखाओं के रूप में दिखाई देती हैं।
अतः,व्यतिकरण फ्रिंजों का आकार एक सीधी रेखा होता है।

(B) यह दिया गया है कि गैल्वेनोमीटर $G$ शून्य पाठ्यांक दर्शाता है,इसलिए $E_2$ और गैल्वेनोमीटर वाली शाखा से कोई धारा प्रवाहित नहीं होती है।
अतः,धारा $I$ केवल $E_1$,$500 \, \Omega$ प्रतिरोधक और प्रतिरोध $X$ वाले लूप में प्रवाहित होती है।
परिपथ के लिए ओम के नियम का उपयोग करने पर:
$I = \frac{E_1}{500 + X}$
गैल्वेनोमीटर के शून्य पाठ्यांक के लिए प्रतिरोध $X$ के सिरों पर विभवांतर बैटरी $E_2$ के emf के बराबर होना चाहिए:
$V_X = I \cdot X = E_2$
$I$ का मान प्रतिस्थापित करने पर:
$\left( \frac{E_1}{500 + X} \right) \cdot X = E_2$
$E_1 = 12 \, V$ और $E_2 = 2 \, V$ दिया गया है:
$\frac{12 \cdot X}{500 + X} = 2$
$12X = 2(500 + X)$
$12X = 1000 + 2X$
$10X = 1000$
$X = 100 \, \Omega$

(C) माना बिंदु $P$ मूल बिंदु $(x=0)$ से $x$ दूरी पर है।
$+8q$ के कारण $P$ पर विद्युत क्षेत्र $E_1 = \frac{k(8q)}{x^2}$ है (मूल बिंदु से दूर की दिशा में)।
$-2q$ के कारण $P$ पर विद्युत क्षेत्र $E_2 = \frac{k(2q)}{(x-L)^2}$ है (मूल बिंदु की दिशा में)।
$P$ पर नेट विद्युत क्षेत्र शून्य होने के लिए,उनके परिमाण समान होने चाहिए: $E_1 = E_2$।
$\frac{k(8q)}{x^2} = \frac{k(2q)}{(x-L)^2}$
$\frac{4}{x^2} = \frac{1}{(x-L)^2}$
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर:
$\frac{2}{x} = \frac{1}{x-L}$
$2(x-L) = x$
$2x - 2L = x$
$x = 2L$
अतः,बिंदु $x = 2L$ पर स्थित है।

(C) जब $I_0$ तीव्रता का अध्रुवित प्रकाश एक ध्रुवण शीट (पोलेरॉइड) से गुजरता है,तो संचरित प्रकाश समतल ध्रुवित हो जाता है।
मालस के नियम और ध्रुवक के गुणों के अनुसार,संचरित प्रकाश की तीव्रता $I_t = \frac{1}{2} I_0$ होती है।
जो प्रकाश संचरित नहीं होता है (अवशोषित या परावर्तित हो जाता है) उसकी तीव्रता आपतित तीव्रता और संचरित तीव्रता के बीच का अंतर है।
$I_{\text{not transmitted}} = I_0 - I_t = I_0 - \frac{1}{2} I_0 = \frac{1}{2} I_0$.

(A) आयनिक यौगिकों का गलनांक मुख्य रूप से उनकी जालक ऊर्जा द्वारा निर्धारित होता है।
जालक ऊर्जा अंतर-आयनिक दूरी के व्युत्क्रमानुपाती होती है $(U \propto \frac{1}{r_+ + r_-})$।
दी गई क्षार धातु क्लोराइडों में,$LiCl$ का धनायन आकार सबसे छोटा है,लेकिन यह फजान के नियम के कारण महत्वपूर्ण सहसंयोजक गुण प्रदर्शित करता है,जो इसके गलनांक को कम कर देता है।
$NaCl$ की जालक ऊर्जा उच्च होती है और इसकी क्रिस्टल संरचना स्थिर होती है,जिसके परिणामस्वरूप दिए गए विकल्पों में इसका गलनांक सबसे अधिक होता है।

(A) वान्ट हॉफ समीकरण इस प्रकार है: $\ln K_{eq} = -\frac{\Delta H^{\circ}}{R} (\frac{1}{T}) + \frac{\Delta S^{\circ}}{R}$.
इसे एक सीधी रेखा के समीकरण $y = mx + c$ के साथ तुलना करने पर,हमें $y = \ln K_{eq}$ और $x = 1/T$ प्राप्त होता है।
रेखा का ढाल $m = -\frac{\Delta H^{\circ}}{R}$ है।
दिए गए ग्राफ से,ढाल धनात्मक है (क्योंकि $\ln K_{eq}$,$1/T$ के साथ बढ़ता है)।
इसलिए,$-\frac{\Delta H^{\circ}}{R} > 0$,जिसका अर्थ है $\Delta H^{\circ} < 0$.
ऋणात्मक एन्थैल्पी परिवर्तन $(\Delta H^{\circ} < 0)$ एक ऊष्माक्षेपी अभिक्रिया को दर्शाता है।

(C) कुल विद्युत क्षेत्र आवेशों के बाहर और उस आवेश के करीब शून्य होगा जिसका परिमाण कम है।
मान लीजिए कि बिंदु $P$,$x = L$ पर स्थित $-2q$ आवेश से $l$ दूरी पर है। $x = 0$ पर स्थित $+8q$ आवेश से $P$ की दूरी $(L + l)$ होगी।
बिंदु $P$ पर,$+8q$ के कारण विद्युत क्षेत्र का परिमाण और $-2q$ के कारण विद्युत क्षेत्र का परिमाण बराबर होना चाहिए:
$\frac{k \cdot |8q|}{(L + l)^2} = \frac{k \cdot |2q|}{l^2}$
समीकरण को सरल करने पर:
$\frac{8}{(L + l)^2} = \frac{2}{l^2}$
$\frac{4}{(L + l)^2} = \frac{1}{l^2}$
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर:
$\frac{2}{L + l} = \frac{1}{l}$
$2l = L + l$
$l = L$
अतः,$x$-अक्ष पर बिंदु $P$ की स्थिति $x = L + l = L + L = 2L$ होगी।

(D) हम जानते हैं कि $\sin^2(\omega t) = \frac{1 - \cos(2\omega t)}{2} = \frac{1}{2} - \frac{1}{2}\cos(2\omega t)$.
यह व्यंजक एक सरल आवर्त गति $(SHM)$ को दर्शाता है क्योंकि यह $y = A + B\cos(\omega' t)$ के रूप में है,जहाँ $A$ और $B$ स्थिरांक हैं।
इस गति की कोणीय आवृत्ति $\omega' = 2\omega$ है।
आवर्तकाल $T$ का मान $T = \frac{2\pi}{\omega'} = \frac{2\pi}{2\omega} = \frac{\pi}{\omega}$ है।
अतः,यह फलन $\pi /\omega$ आवर्तकाल वाली एक सरल आवर्त गति को दर्शाता है।

(B) मान लीजिए गोली का प्रारंभिक वेग $u$ है।
$3\, cm$ अंदर जाने के बाद,इसका वेग $u/2$ हो जाता है।
गति के समीकरण $v^2 = u^2 - 2as$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $a$ निरंतर प्रतिरोध के कारण मंदन है:
$(u/2)^2 = u^2 - 2a(3)$
$u^2/4 = u^2 - 6a$
$6a = 3u^2/4$
$a = u^2/8$
अब,मान लीजिए कि गोली स्थिर $(v=0)$ होने से पहले अतिरिक्त $x$ दूरी तय करती है।
इस खंड के लिए गति के समीकरण $v^2 = u^2 - 2as$ का उपयोग करते हुए,जहाँ प्रारंभिक वेग $u/2$ है:
$0^2 = (u/2)^2 - 2ax$
$0 = u^2/4 - 2(u^2/8)x$
$u^2/4 = (u^2/4)x$
$x = 1\, cm$.
अतः,गोली $1\, cm$ और अंदर जाएगी।

(B) मान लीजिए कि रिंगों के केंद्र $A$ और $B$ हैं। $R$ त्रिज्या और $Q$ आवेश वाली रिंग के केंद्र पर विभव $V = \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \frac{Q}{R}$ होता है।
रिंग $A$ (आवेश $+q$) के कारण केंद्र $A$ पर विभव $V_{A1} = \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \frac{q}{R}$ है।
रिंग $B$ (आवेश $-q$) के कारण केंद्र $A$ पर विभव $V_{A2} = \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \frac{-q}{\sqrt{R^2 + d^2}}$ है।
अतः,$V_A = V_{A1} + V_{A2} = \frac{q}{4\pi \varepsilon_0} \left[ \frac{1}{R} - \frac{1}{\sqrt{R^2 + d^2}} \right]$ है।
रिंग $B$ (आवेश $-q$) के कारण केंद्र $B$ पर विभव $V_{B1} = \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \frac{-q}{R}$ है।
रिंग $A$ (आवेश $+q$) के कारण केंद्र $B$ पर विभव $V_{B2} = \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \frac{q}{\sqrt{R^2 + d^2}}$ है।
अतः,$V_B = V_{B1} + V_{B2} = \frac{q}{4\pi \varepsilon_0} \left[ -\frac{1}{R} + \frac{1}{\sqrt{R^2 + d^2}} \right] = -V_A$ है।
केंद्रों के बीच विभवांतर $\Delta V = V_A - V_B = V_A - (-V_A) = 2V_A$ है।
$\Delta V = 2 \times \frac{q}{4\pi \varepsilon_0} \left[ \frac{1}{R} - \frac{1}{\sqrt{R^2 + d^2}} \right] = \frac{q}{2\pi \varepsilon_0} \left[ \frac{1}{R} - \frac{1}{\sqrt{R^2 + d^2}} \right]$।

(D) हीलियम के मोलों की संख्या $(n_1)$ = $\frac{16 \, g}{4 \, g/mol} = 4 \, mol$. हीलियम एक-परमाणुक है,इसलिए $f_1 = 3$,$C_{v1} = \frac{3}{2}R$,$C_{p1} = \frac{5}{2}R$.
ऑक्सीजन के मोलों की संख्या $(n_2)$ = $\frac{16 \, g}{32 \, g/mol} = 0.5 \, mol$. ऑक्सीजन द्वि-परमाणुक है,इसलिए $f_2 = 5$,$C_{v2} = \frac{5}{2}R$,$C_{p2} = \frac{7}{2}R$.
मिश्रण का समतुल्य $C_v$ है $C_{v,mix} = \frac{n_1 C_{v1} + n_2 C_{v2}}{n_1 + n_2} = \frac{4(\frac{3}{2}R) + 0.5(\frac{5}{2}R)}{4 + 0.5} = \frac{6R + 1.25R}{4.5} = \frac{7.25R}{4.5} = \frac{29R}{18}$.
मिश्रण का समतुल्य $C_p$ है $C_{p,mix} = \frac{n_1 C_{p1} + n_2 C_{p2}}{n_1 + n_2} = \frac{4(\frac{5}{2}R) + 0.5(\frac{7}{2}R)}{4 + 0.5} = \frac{10R + 1.75R}{4.5} = \frac{11.75R}{4.5} = \frac{47R}{18}$.
अनुपात $\gamma = \frac{C_{p,mix}}{C_{v,mix}} = \frac{47R/18}{29R/18} = \frac{47}{29} \approx 1.62$ है।

(C) वेग $v_1$,$y_1$ का समय $t$ के सापेक्ष अवकलन है: $v_1 = \frac{dy_1}{dt} = 0.1 \times 100\pi \cos(100\pi t + \frac{\pi}{3}) = 10\pi \cos(100\pi t + \frac{\pi}{3})$.
वेग $v_2$,$y_2$ का समय $t$ के सापेक्ष अवकलन है: $v_2 = \frac{dy_2}{dt} = 0.1 \times (-100\pi) \sin(100\pi t) = -10\pi \sin(100\pi t)$.
कला की तुलना करने के लिए,हम $v_2$ को कोसाइन फलन के रूप में व्यक्त करते हैं: $v_2 = 10\pi \cos(100\pi t + \frac{\pi}{2})$.
$v_1$ की कला $\phi_1 = 100\pi t + \frac{\pi}{3}$ है और $v_2$ की कला $\phi_2 = 100\pi t + \frac{\pi}{2}$ है।
कलांतर $\Delta\phi = \phi_1 - \phi_2 = (100\pi t + \frac{\pi}{3}) - (100\pi t + \frac{\pi}{2}) = \frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{2} = -\frac{\pi}{6}$.

(A) एक चुंबकीय सुई $m$ ध्रुव प्राबल्य वाले दो ध्रुवों से बना एक चुंबकीय द्विध्रुव है,जो $2l$ की दूरी पर स्थित हैं।
असमान चुंबकीय क्षेत्र में,चुंबकीय क्षेत्र की तीव्रता $B$ स्थान के विभिन्न बिंदुओं पर भिन्न होती है।
चूंकि चुंबकीय ध्रुव पर लगने वाला बल $F = mB$ द्वारा दिया जाता है,इसलिए सुई के दोनों ध्रुवों पर लगने वाले बल परिमाण और दिशा दोनों में भिन्न होंगे क्योंकि चुंबकीय क्षेत्र $B$ स्थिर नहीं है।
चूंकि परिणामी बल इन असमान बलों का सदिश योग है,इसलिए सुई एक नेट बल का अनुभव करती है।
चूंकि बल अलग-अलग बिंदुओं पर कार्य करते हैं और जरूरी नहीं कि वे संरेखीय हों,इसलिए सुई एक नेट बलाघूर्ण (टॉर्क) का भी अनुभव करती है।
इसलिए,असमान चुंबकीय क्षेत्र में रखी चुंबकीय सुई बल और बलाघूर्ण दोनों का अनुभव करती है।

(C) $M_{total}$ द्रव्यमान और $r$ त्रिज्या वाली एक पूर्ण वृत्ताकार डिस्क का उसके केंद्र से गुजरने वाली और उसके तल के लंबवत अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण $I = \frac{1}{2} M_{total} r^2$ होता है।
चूंकि एक अर्धवृत्ताकार डिस्क एक पूर्ण वृत्ताकार डिस्क का ठीक आधा हिस्सा है,इसलिए इसका द्रव्यमान $M = \frac{M_{total}}{2}$ है,जिसका अर्थ है कि $M_{total} = 2M$।
इस मान को जड़त्व आघूर्ण के सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$I = \frac{1}{2} (2M) r^2 = M r^2$।
अतः,अर्धवृत्ताकार डिस्क का निर्दिष्ट अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण $M r^2$ है।

(C) माना कि पहले पिंड का प्रारंभिक वेग $\vec{v}_1 = v\hat{i}$ है। दूसरा पिंड विराम अवस्था में है,इसलिए $\vec{v}_2 = 0$ है।
रैखिक संवेग संरक्षण के नियम के अनुसार: $m\vec{v}_1 + m(0) = m\vec{v}_1' + m\vec{v}_2'$.
दिया गया है कि पहला पिंड प्रारंभिक गति की दिशा के लंबवत (माना कि $\hat{j}$) $\frac{v}{\sqrt{3}}$ वेग से गति करता है,इसलिए $\vec{v}_1' = \frac{v}{\sqrt{3}}\hat{j}$ है।
इन मानों को संवेग समीकरण में रखने पर: $mv\hat{i} = m(\frac{v}{\sqrt{3}}\hat{j}) + m\vec{v}_2'$.
$m$ से विभाजित करने पर: $\vec{v}_2' = v\hat{i} - \frac{v}{\sqrt{3}}\hat{j}$ प्राप्त होता है।
दूसरे पिंड की चाल $\vec{v}_2'$ का परिमाण है:
$|\vec{v}_2'| = \sqrt{v^2 + (-\frac{v}{\sqrt{3}})^2} = \sqrt{v^2 + \frac{v^2}{3}} = \sqrt{\frac{4v^2}{3}} = \frac{2}{\sqrt{3}}v$.

(A) यंग के द्वि-स्लिट प्रयोग में, पर्दे पर किसी भी बिंदु $P$ पर पथ अंतर $\Delta x$ दो स्लिट $S_1$ और $S_2$ से दूरियों के अंतर द्वारा दिया जाता है, अर्थात $\Delta x = |S_2P - S_1P|$।
एक स्थिर पथ अंतर के लिए (जो एक विशिष्ट फ्रिंज के अनुरूप होता है), बिंदु $P$ का बिंदुपथ जिसके लिए $|S_2P - S_1P| = \text{constant}$ हो, त्रिविमीय अंतरिक्ष में एक अतिपरवलय (hyperbola) को दर्शाता है।
जब यह अतिपरवलयाकार सतह स्लिट के तल के लंबवत रखे गए एक सपाट पर्दे को काटती है, तो परिणामी प्रतिच्छेदन एक अतिपरवलय होता है।
हालाँकि, स्लिट से बहुत अधिक दूरी $D$ पर रखे गए पर्दे के लिए (जहाँ $D \gg d$, जहाँ $d$ स्लिट के बीच की दूरी है), अतिपरवलयाकार फ्रिंज पर्दे के केंद्रीय क्षेत्र में लगभग सीधी रेखाओं के रूप में दिखाई देती हैं।

(D) चरण $1$: मुक्त पतन के दौरान $50\, m$ गिरने के बाद वेग की गणना करें।
$v^2 = u^2 + 2as$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $u = 0$,$a = g = 9.8\, m/s^2$,और $s = 50\, m$:
$v_1^2 = 0 + 2 \times 9.8 \times 50 = 980\, m^2/s^2$.
चरण $2$: मंदन के दौरान तय की गई दूरी की गणना करें।
मान लीजिए पैराशूट खुलने के बाद तय की गई दूरी $h_2$ है। प्रारंभिक वेग $v_1$,अंतिम वेग $v_f = 3\, m/s$,और मंदन $a = -2\, m/s^2$ है।
$v_f^2 = v_1^2 + 2ah_2$ का उपयोग करते हुए:
$3^2 = 980 + 2(-2)h_2$
$9 = 980 - 4h_2$
$4h_2 = 980 - 9 = 971$
$h_2 = 971 / 4 = 242.75\, m \approx 243\, m$.
चरण $3$: कुल ऊँचाई की गणना करें।
कुल ऊँचाई $H = h_1 + h_2 = 50 + 243 = 293\, m$.

(D) वृत्ताकार कुंडली के केंद्र पर चुंबकीय क्षेत्र $B = \frac{\mu_0 i}{2R}$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ,$R = 2\pi \, cm = 2\pi \times 10^{-2} \, m$ दिया गया है।
पहली कुंडली के लिए जिसमें धारा $i_1 = 3 \, A$ है:
$B_1 = \frac{\mu_0 \times 3}{2 \times 2\pi \times 10^{-2}} = \frac{4\pi \times 10^{-7} \times 3}{4\pi \times 10^{-2}} = 3 \times 10^{-5} \, T$.
दूसरी कुंडली के लिए जिसमें धारा $i_2 = 4 \, A$ है:
$B_2 = \frac{\mu_0 \times 4}{2 \times 2\pi \times 10^{-2}} = \frac{4\pi \times 10^{-7} \times 4}{4\pi \times 10^{-2}} = 4 \times 10^{-5} \, T$.
चूंकि कुंडलियाँ एक-दूसरे के लंबवत हैं,इसलिए परिणामी चुंबकीय क्षेत्र $B = \sqrt{B_1^2 + B_2^2}$ होगा।
$B = \sqrt{(3 \times 10^{-5})^2 + (4 \times 10^{-5})^2} = \sqrt{9 + 16} \times 10^{-5} = \sqrt{25} \times 10^{-5} = 5 \times 10^{-5} \, Wb/m^2$.

(B) दो बिंदु वस्तुओं के विभेदन के लिए शर्त रेले मानदंड (Rayleigh criterion) द्वारा दी जाती है: $\theta \geq 1.22 \frac{\lambda}{d}$,जहाँ $\theta = \frac{y}{D}$ है।
यहाँ,$y = 1\, mm = 10^{-3}\, m$ बिंदुओं के बीच की दूरी है,$d = 3\, mm = 3 \times 10^{-3}\, m$ पुतली का व्यास है,और $\lambda = 500\, nm = 5 \times 10^{-7}\, m$ प्रकाश की तरंगदैर्घ्य है।
इन मानों को असमिका $\frac{y}{D} \geq 1.22 \frac{\lambda}{d}$ में रखने पर,हमें प्राप्त होता है:
$D \leq \frac{y d}{1.22 \lambda} = \frac{10^{-3} \times 3 \times 10^{-3}}{1.22 \times 5 \times 10^{-7}}$
$D \leq \frac{3 \times 10^{-6}}{6.1 \times 10^{-7}} = \frac{30}{6.1} \approx 4.918\, m$.
निकटतम पूर्णांक में,अधिकतम दूरी लगभग $5\, m$ है।

(D) कण को गोले की सतह से अनंत तक ले जाने के लिए किया गया कार्य गुरुत्वाकर्षण स्थितिज ऊर्जा में परिवर्तन के बराबर होता है,जो सतह पर स्थितिज ऊर्जा के ऋणात्मक मान के बराबर है।
$W = U_{\infty} - U_{surface} = 0 - (- \frac{GMm}{R}) = \frac{GMm}{R}$
दिया गया है:
$M = 100 \, kg$
$m = 10 \, g = 0.01 \, kg$
$R = 10 \, cm = 0.1 \, m$
$G = 6.67 \times 10^{-11} \, Nm^2/kg^2$
मान रखने पर:
$W = \frac{6.67 \times 10^{-11} \times 100 \times 0.01}{0.1}$
$W = \frac{6.67 \times 10^{-11} \times 1}{0.1}$
$W = 6.67 \times 10^{-10} \, J$

(D) मान लीजिए नत समतल की लंबाई $L$ है और $\theta = 45^{\circ}$ है।
चिकने समतल के लिए,त्वरण $a_1 = g \sin \theta = g \sin 45^{\circ} = \frac{g}{\sqrt{2}}$ है।
लिया गया समय $t_1 = \sqrt{\frac{2L}{a_1}}$ है।
गतिज घर्षण गुणांक $K$ वाले खुरदरे समतल के लिए,त्वरण $a_2 = g \sin \theta - Kg \cos \theta = \frac{g}{\sqrt{2}} - \frac{Kg}{\sqrt{2}} = \frac{g}{\sqrt{2}}(1-K)$ है।
लिया गया समय $t_2 = \sqrt{\frac{2L}{a_2}}$ है।
दिया गया है कि $t_2 = n t_1$,इसलिए $t_2^2 = n^2 t_1^2$ है।
$t_1^2$ और $t_2^2$ के व्यंजक रखने पर: $\frac{2L}{a_2} = n^2 \frac{2L}{a_1} \implies a_1 = n^2 a_2$।
$a_1$ और $a_2$ के मान रखने पर: $\frac{g}{\sqrt{2}} = n^2 \left[ \frac{g}{\sqrt{2}}(1-K) \right]$।
$1 = n^2(1-K) \implies 1-K = \frac{1}{n^2}$।
अतः,$K = 1 - \frac{1}{n^2}$।