AIEEE 2005 Chemistry Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(C) પોલીએમાઈડ એ એવા પોલિમર છે જેમના મુખ્ય શૃંખલામાં એમાઈડ બંધ $(-CONH-)$ ધરાવે છે.
નાયલોન-$66$ એ હેક્ઝામિથિલીન ડાયએમાઈન અને એડિપિક એસિડની પ્રક્રિયા દ્વારા બનતો સંઘનન પોલિમર છે,જે એમાઈડ બંધ બનાવે છે.
બેકેલાઈટ એ ફિનોલ-ફોર્માલ્ડિહાઈડ રેઝિન છે.
ટેરિલીન એ પોલિએસ્ટર છે.
ટેફલોન એ ટેટ્રાફ્લોરોઈથીનનો પોલિમર છે.

(B) યંગના ડબલ સ્લિટ પ્રયોગમાં, પડદા પરના કોઈપણ બિંદુ $P(x, y)$ પર સહાયક અથવા વિનાશક વ્યતિકરણ માટેની શરત એ છે કે બે સ્લિટ $S_1$ અને $S_2$ માંથી આવતા તરંગો વચ્ચેનો પથ તફાવત અચળ હોવો જોઈએ.
ગાણિતિક રીતે, આને $|PS_1 - PS_2| = \text{constant}$ તરીકે દર્શાવવામાં આવે છે.
વ્યાખ્યા મુજબ, એવા બિંદુનો બિંદુપથ કે જેનું બે નિશ્ચિત બિંદુઓ (નાભિઓ, જે સ્લિટ $S_1$ અને $S_2$ છે) થી અંતરનો તફાવત અચળ હોય, તે અતિવલય (hyperbola) છે.
તેથી, પડદા પર રચાતી વ્યતિકરણની ભાત અતિવલયાકાર હોય છે.

(C) $AlCl_3$ નું જલીય દ્રાવણ જળવિભાજન પામીને $Al(OH)_3$ અને $HCl$ બનાવે છે:
$AlCl_3 + 3 H_2O \rightarrow Al(OH)_3 + 3 HCl$
દ્રાવણને સૂકું થાય ત્યાં સુધી ગરમ કરવાથી,બાષ્પશીલ $HCl$ વાયુ દૂર થાય છે અને બાકી રહેલ $Al(OH)_3$ નું ઉષ્મીય વિઘટન થઈને એલ્યુમિનિયમ ઓક્સાઈડ $(Al_2O_3)$ મળે છે:
$2 Al(OH)_3 \xrightarrow{\Delta} Al_2O_3 + 3 H_2O$
તેથી,અંતિમ નીપજ $Al_2O_3$ મળે છે.

(C) કોઈપણ પ્રક્રિયામાં વિનિમય પામતી ઉષ્મા $Q = \int T \, dS$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જે $T-S$ આલેખમાં વક્રની નીચેના ક્ષેત્રફળને દર્શાવે છે.
$1$. $A$ થી $B$ સુધી શોષાયેલી ઉષ્મા $(Q_1)$: પ્રક્રિયા $A \rightarrow B$ એક સીધી રેખા છે. આ રેખાની નીચેનું ક્ષેત્રફળ એક સમલંબ ચતુષ્કોણ છે જેની સમાંતર બાજુઓ $2T_0$ અને $T_0$ છે અને ઊંચાઈ $(2S_0 - S_0) = S_0$ છે.
$Q_1 = AB$ ની નીચેનું ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} (2T_0 + T_0) (2S_0 - S_0) = \frac{3}{2} T_0 S_0$.
$2$. $B$ થી $C$ સુધી મુક્ત થતી ઉષ્મા $(Q_2)$: પ્રક્રિયા $B \rightarrow C$ અચળ તાપમાન $T_0$ પર થાય છે. આ રેખાની નીચેનું ક્ષેત્રફળ એક લંબચોરસ છે.
$Q_2 = BC$ ની નીચેનું ક્ષેત્રફળ $= T_0 (2S_0 - S_0) = T_0 S_0$.
$3$. કાર્યક્ષમતા $(\eta)$: હીટ એન્જિનની કાર્યક્ષમતા $\eta = 1 - \frac{Q_2}{Q_1}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$\eta = 1 - \frac{T_0 S_0}{\frac{3}{2} T_0 S_0} = 1 - \frac{2}{3} = \frac{1}{3} \approx 0.33$.

(A) હિલિયમ $(He)$ ના મોલની સંખ્યા $n_1 = \frac{16}{4} = 4 \ mol$ છે. હિલિયમ એક પરમાણ્વીય વાયુ છે,તેથી તેની મુક્તિની માત્રા $f_1 = 3$ અને $C_{v1} = \frac{3}{2}R$ છે.
હાઇડ્રોજન $(H_2)$ ના મોલની સંખ્યા $n_2 = \frac{16}{2} = 8 \ mol$ છે. હાઇડ્રોજન દ્વિ-પરમાણ્વીય વાયુ છે,તેથી તેની મુક્તિની માત્રા $f_2 = 5$ અને $C_{v2} = \frac{5}{2}R$ છે.
મિશ્રણનો સમતુલ્ય $C_v$ નીચે મુજબ મળે છે: $C_{v,mix} = \frac{n_1 C_{v1} + n_2 C_{v2}}{n_1 + n_2} = \frac{4(\frac{3}{2}R) + 8(\frac{5}{2}R)}{4 + 8} = \frac{6R + 20R}{12} = \frac{26R}{12} = \frac{13}{6}R$.
મિશ્રણનો સમતુલ્ય $C_p$ નીચે મુજબ મળે છે: $C_{p,mix} = C_{v,mix} + R = \frac{13}{6}R + R = \frac{19}{6}R$.
ગુણોત્તર $\gamma = \frac{C_{p,mix}}{C_{v,mix}} = \frac{19/6 R}{13/6 R} = \frac{19}{13} \approx 1.46$.

(B) આપેલ છે: પ્રારંભિક વેગ $u = 100\, m/s$,અંતિમ વેગ $v = 0\, m/s$,ગતિક ઘર્ષણાંક $\mu_k = 0.5$,ગુરુત્વપ્રવેગ $g = 10\, m/s^2$.
કાર પર લાગતું પ્રતિપ્રવેગી બળ $F = \mu_k N = \mu_k mg$ છે.
ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમ મુજબ,પ્રતિપ્રવેગ $a = \frac{F}{m} = \mu_k g = 0.5 \times 10 = 5\, m/s^2$.
ગતિના સમીકરણ $v^2 - u^2 = 2as$ નો ઉપયોગ કરતા:
$0^2 - (100)^2 = 2(-5)s$
$-10000 = -10s$
$s = \frac{10000}{10} = 1000\, m$.
તેથી,જે અંતરે કારને રોકી શકાય તે $1000\, m$ છે.

(A) રેખા $y = mx + c$ એ અતિવલય $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ નો સ્પર્શક હોય તો $c^2 = a^2m^2 - b^2$ થાય.
આપેલ રેખા $y = \alpha x + \beta$ એ અતિવલય $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ નો સ્પર્શક છે,તેથી $m = \alpha$ અને $c = \beta$ લેતા.
આથી,$\beta^2 = a^2\alpha^2 - b^2$.
$(\alpha, \beta)$ ને $(x, y)$ વડે બદલતા,બિંદુપથ $y^2 = a^2x^2 - b^2$ મળે છે.
પદોને ગોઠવતા,$a^2x^2 - y^2 = b^2$ અથવા $\frac{x^2}{(b/a)^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ મળે છે.
આ સમીકરણ એક અતિવલય દર્શાવે છે.

(D) હિલિયમ $(He)$ માટે મોલની સંખ્યા $n_1 = \frac{16\,g}{4\,g/mol} = 4\,mol$ છે. હિલિયમ એક પરમાણ્વિક વાયુ છે,તેથી $f_1 = 3$,$C_{v1} = \frac{3R}{2}$,અને $C_{p1} = \frac{5R}{2}$ થાય.
ઓક્સિજન $(O_2)$ માટે મોલની સંખ્યા $n_2 = \frac{16\,g}{32\,g/mol} = 0.5\,mol$ છે. ઓક્સિજન દ્વિ-પરમાણ્વિક વાયુ છે,તેથી $f_2 = 5$,$C_{v2} = \frac{5R}{2}$,અને $C_{p2} = \frac{7R}{2}$ થાય.
મિશ્રણ માટે વિશિષ્ટ ઉષ્માનો ગુણોત્તર $\gamma_{mix} = \frac{n_1 C_{p1} + n_2 C_{p2}}{n_1 C_{v1} + n_2 C_{v2}}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા:
$\gamma_{mix} = \frac{4 \times (\frac{5R}{2}) + 0.5 \times (\frac{7R}{2})}{4 \times (\frac{3R}{2}) + 0.5 \times (\frac{5R}{2})}$
$\gamma_{mix} = \frac{10R + 1.75R}{6R + 1.25R} = \frac{11.75R}{7.25R} = \frac{1175}{725} \approx 1.62$.

(A) રેખીય વેગમાનના સંરક્ષણના નિયમ મુજબ: $m_{1} \vec{u}_{1} + m_{2} \vec{u}_{2} = m_{1} \vec{v}_{1} + m_{2} \vec{v}_{2}$.
ધારો કે પ્રથમ પદાર્થનો પ્રારંભિક વેગ $\vec{u}_{1} = v \hat{i}$ છે અને બીજો પદાર્થ સ્થિર છે,તેથી $\vec{u}_{2} = 0$.
અથડામણ પછી,પ્રથમ પદાર્થ $\vec{v}_{1} = \frac{v}{\sqrt{3}} \hat{j}$ વેગથી (પ્રારંભિક દિશાને લંબ) ગતિ કરે છે.
આ કિંમતોને વેગમાનના સમીકરણમાં મૂકતા:
$m(v \hat{i}) + m(0) = m(\frac{v}{\sqrt{3}} \hat{j}) + m \vec{v}_{2}$.
$m$ વડે ભાગતા:
$\vec{v}_{2} = v \hat{i} - \frac{v}{\sqrt{3}} \hat{j}$.
બીજા પદાર્થની ઝડપ એ $\vec{v}_{2}$ નું મૂલ્ય છે:
$|\vec{v}_{2}| = \sqrt{v^{2} + (-\frac{v}{\sqrt{3}})^{2}} = \sqrt{v^{2} + \frac{v^{2}}{3}} = \sqrt{\frac{4v^{2}}{3}} = \frac{2}{\sqrt{3}}v$.

(B) કોષનો આંતરિક અવરોધ $r$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$r = R \left[ \frac{l_1}{l_2} - 1 \right]$
જ્યાં:
$R = 2\,\Omega$ (બાહ્ય શંટ અવરોધ)
$l_1 = 240\,cm$ (શંટ વગરની સંતુલન લંબાઈ)
$l_2 = 120\,cm$ (શંટ સાથેની સંતુલન લંબાઈ)
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$r = 2 \left[ \frac{240}{120} - 1 \right]$
$r = 2 [2 - 1]$
$r = 2 \times 1 = 2\,\Omega$
આમ,કોષનો આંતરિક અવરોધ $2\,\Omega$ છે.

(C) બે બિંદુવત પદાર્થોને ઓપ્ટિકલ સિસ્ટમ (જેમ કે માનવ આંખ) દ્વારા અલગ પાડવાની શરત રેલેના માપદંડ દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\theta = \frac{1.22 \lambda}{d}$.
અહીં,$\theta$ એ કોણીય વિભાજન છે,$\lambda$ એ પ્રકાશની તરંગલંબાઇ છે,અને $d$ એ કીકીનો વ્યાસ છે.
નાના ખૂણાઓ માટે,કોણીય વિભાજન $\theta$ ને $\theta = \frac{y}{D}$ તરીકે દર્શાવી શકાય છે,જ્યાં $y$ એ ટપકાં વચ્ચેનું રેખીય અંતર છે અને $D$ એ આંખથી અંતર છે.
બંને સમીકરણોને સરખાવતા: $\frac{y}{D} = \frac{1.22 \lambda}{d}$.
$D$ માટે સૂત્ર બનાવતા: $D = \frac{y \cdot d}{1.22 \cdot \lambda}$.
આપેલ કિંમતો: $y = 1 \, mm = 1 \times 10^{-3} \, m$,$d = 3 \, mm = 3 \times 10^{-3} \, m$,અને $\lambda = 500 \, nm = 500 \times 10^{-9} \, m$.
આ કિંમતો મૂકતા: $D = \frac{1 \times 10^{-3} \times 3 \times 10^{-3}}{1.22 \times 500 \times 10^{-9}}$.
$D = \frac{3 \times 10^{-6}}{610 \times 10^{-9}} = \frac{3000}{610} \approx 4.918 \, m$.
નજીકના પૂર્ણાંકમાં લેતા,$D \approx 5 \, m$ મળે છે.

(B) ધારો કે પ્રારંભિક વેગ $V$ છે અને અચળ પ્રતિપ્રવેગ $a$ છે.
ગતિના સમીકરણ $v^2 = u^2 + 2as$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $v = V/2$,$u = V$,અને $s = 3 \ cm$:
$(V/2)^2 = V^2 - 2a(3) \implies V^2/4 = V^2 - 6a \implies 6a = 3V^2/4 \implies a = V^2/8$.
હવે,ધારો કે કુલ કાપેલું અંતર $S$ છે. જ્યારે ગોળી સ્થિર થાય ત્યારે અંતિમ વેગ $v = 0$ થાય:
$0^2 = V^2 - 2aS \implies V^2 = 2(V^2/8)S \implies V^2 = (V^2/4)S \implies S = 4 \ cm$.
કાપેલું વધારાનું અંતર $S - 3 \ cm = 4 \ cm - 3 \ cm = 1 \ cm$ છે.

(C) પોલીએમાઈડ એ એવો પોલીમર છે જે તેની શૃંખલામાં એમાઈડ બંધ $(-CONH-)$ ધરાવે છે.
નાયલોન-$6,6$ એ એક પોલીએમાઈડ છે. તે હેક્ઝામિથિલીન ડાયએમાઈન $(H_2N(CH_2)_6NH_2)$ અને એડિપિક એસિડ $(HOOC(CH_2)_4COOH)$ ના સંઘનન પોલીમરાઈઝેશન દ્વારા બને છે.
બેકેલાઈટ એ ફિનોલ-ફોર્માલ્ડિહાઈડ રેઝિન છે.
ટેરીલીન એ ઈથિલીન ગ્લાયકોલ અને ટેરેપ્થેલિક એસિડના સંઘનન દ્વારા બનતો પોલીએસ્ટર છે.
ટેફલોન એ ટેટ્રાફ્લોરોઈથિલીન $(CF_2=CF_2)$ નો પોલીમર છે.

(A) ઉત્સર્જિત ફોટોનની ઉર્જા $\Delta E = E_{initial} - E_{final}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ઉત્સર્જન માટે,ઇલેક્ટ્રોન ઉચ્ચ ઉર્જા સ્તરથી નીચા ઉર્જા સ્તર તરફ જવું જોઈએ.
સંક્રમણ $I$ એ શોષણ સંક્રમણ છે (ઉપરની તરફનો તીર).
સંક્રમણ $II$,$III$,અને $IV$ એ ઉત્સર્જન સંક્રમણ છે (નીચેની તરફના તીર).
ઉર્જાના તફાવતની સરખામણી કરતા:
સંક્રમણ $II$: $n=4$ થી $n=3$
સંક્રમણ $III$: $n=2$ થી $n=1$
સંક્રમણ $IV$: $n=4$ થી $n=2$
સ્તરો વચ્ચેનો ઉર્જા તફાવત $E_n = -\frac{13.6}{n^2} \text{ eV}$ (હાઇડ્રોજન જેવા પરમાણુઓ માટે) દ્વારા આપવામાં આવે છે.
જેમ આપણે નીચા $n$ મૂલ્યો તરફ જઈએ છીએ તેમ ઉર્જાનો તફાવત $\Delta E$ વધે છે.
$n=2$ અને $n=1$ વચ્ચેનો તફાવત (સંક્રમણ $III$) દર્શાવેલ ઉત્સર્જન સંક્રમણોમાં સૌથી મોટો છે.
તેથી,સંક્રમણ $III$ એ સૌથી વધુ ઉર્જા ધરાવતા ફોટોનના ઉત્સર્જનને અનુરૂપ છે.

(A) યંગના ડબલ સ્લિટ પ્રયોગમાં,પડદા પરના કોઈ બિંદુએ પહોંચતા બે તરંગો વચ્ચેનો પથ તફાવત $\Delta x = d \sin \theta \approx d \tan \theta = d(y/D)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પ્રકાશિત શલાકાઓ માટે,પથ તફાવત $n\lambda$ હોય છે,તેથી $d(y/D) = n\lambda$,જેનો અર્થ છે કે $y = (n\lambda D)/d$.
આપેલ ક્રમ $n$ માટે $y$ અચળ હોવાથી,શલાકાઓ પડદા પર સ્લિટ્સને સમાંતર સીધી રેખાઓ તરીકે દેખાય છે.
તેથી,વ્યતિકરણની શલાકાઓનો આકાર સીધી રેખા હોય છે.

(B) આપેલ છે કે ગેલ્વેનોમીટર $G$ શૂન્ય રીડિંગ દર્શાવે છે,તેથી $E_2$ અને ગેલ્વેનોમીટર ધરાવતી શાખામાંથી કોઈ પ્રવાહ વહેતો નથી.
તેથી,પ્રવાહ $I$ ફક્ત $E_1$,$500 \, \Omega$ અવરોધ અને અવરોધ $X$ ધરાવતા લૂપમાં વહે છે.
સર્કિટ માટે ઓહ્મના નિયમનો ઉપયોગ કરતા:
$I = \frac{E_1}{500 + X}$
ગેલ્વેનોમીટર શૂન્ય રીડિંગ દર્શાવે તે માટે અવરોધ $X$ ના બે છેડા વચ્ચેનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત બેટરી $E_2$ ના emf જેટલો હોવો જોઈએ:
$V_X = I \cdot X = E_2$
$I$ નું મૂલ્ય મૂકતા:
$\left( \frac{E_1}{500 + X} \right) \cdot X = E_2$
$E_1 = 12 \, V$ અને $E_2 = 2 \, V$ આપેલ છે:
$\frac{12 \cdot X}{500 + X} = 2$
$12X = 2(500 + X)$
$12X = 1000 + 2X$
$10X = 1000$
$X = 100 \, \Omega$

(C) ધારો કે બિંદુ $P$ ઉગમબિંદુ $(x=0)$ થી $x$ અંતરે છે.
$+8q$ ને કારણે $P$ પરનું વિદ્યુતક્ષેત્ર $E_1 = \frac{k(8q)}{x^2}$ છે (ઉગમબિંદુથી દૂરની દિશામાં).
$-2q$ ને કારણે $P$ પરનું વિદ્યુતક્ષેત્ર $E_2 = \frac{k(2q)}{(x-L)^2}$ છે (ઉગમબિંદુ તરફની દિશામાં).
$P$ પર પરિણામી વિદ્યુતક્ષેત્ર શૂન્ય થવા માટે,તેમના મૂલ્યો સમાન હોવા જોઈએ: $E_1 = E_2$.
$\frac{k(8q)}{x^2} = \frac{k(2q)}{(x-L)^2}$
$\frac{4}{x^2} = \frac{1}{(x-L)^2}$
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા:
$\frac{2}{x} = \frac{1}{x-L}$
$2(x-L) = x$
$2x - 2L = x$
$x = 2L$
આમ,બિંદુ $x = 2L$ પર આવેલું છે.

(C) જ્યારે $I_0$ તીવ્રતાનો અધ્રુવીભૂત પ્રકાશ પોલરાઇઝિંગ શીટ (પોલરોઇડ) માંથી પસાર થાય છે,ત્યારે તે સમતલ ધ્રુવીભૂત પ્રકાશમાં રૂપાંતરિત થાય છે.
માલસના નિયમ અને પોલરાઇઝરના ગુણધર્મો મુજબ,પારગમિત પ્રકાશની તીવ્રતા $I_t = \frac{1}{2} I_0$ થાય છે.
જે પ્રકાશનું પ્રસરણ થતું નથી (શોષાય છે અથવા પરાવર્તિત થાય છે) તેની તીવ્રતા એ આપાત તીવ્રતા અને પારગમિત તીવ્રતા વચ્ચેનો તફાવત છે.
$I_{\text{not transmitted}} = I_0 - I_t = I_0 - \frac{1}{2} I_0 = \frac{1}{2} I_0$.

(A) આયનીય સંયોજનોનું ગલનબિંદુ મુખ્યત્વે તેમની લેટિસ એનર્જી દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે.
લેટિસ એનર્જી એ આંતર-આયનીય અંતરના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે $(U \propto \frac{1}{r_+ + r_-})$.
આપેલા આલ્કલી મેટલ ક્લોરાઈડ્સમાં,$LiCl$ ના કેટાયનનું કદ સૌથી નાનું છે,પરંતુ તે ફાજન્સના નિયમને કારણે નોંધપાત્ર સહસંયોજક લાક્ષણિકતા દર્શાવે છે,જે તેનું ગલનબિંદુ ઘટાડે છે.
$NaCl$ ઉચ્ચ લેટિસ એનર્જી અને સ્થિર સ્ફટિક રચના ધરાવે છે,જેના પરિણામે આપેલા વિકલ્પોમાં તેનું ગલનબિંદુ સૌથી વધુ છે.

(A) વાન હોફ સમીકરણ આ મુજબ છે: $\ln K_{eq} = -\frac{\Delta H^{\circ}}{R} (\frac{1}{T}) + \frac{\Delta S^{\circ}}{R}$.
આને સીધી રેખાના સમીકરણ $y = mx + c$ સાથે સરખાવતા,આપણને $y = \ln K_{eq}$ અને $x = 1/T$ મળે છે.
રેખાનો ઢાળ $m = -\frac{\Delta H^{\circ}}{R}$ છે.
આપેલ આલેખ પરથી,ઢાળ ધન છે (કારણ કે $\ln K_{eq}$ એ $1/T$ સાથે વધે છે).
તેથી,$-\frac{\Delta H^{\circ}}{R} > 0$,જેનો અર્થ છે કે $\Delta H^{\circ} < 0$.
ઋણ એન્થાલ્પી ફેરફાર $(\Delta H^{\circ} < 0)$ એ ઉષ્માક્ષેપક પ્રક્રિયા સૂચવે છે.

(C) પરિણામી વિદ્યુતક્ષેત્ર વિદ્યુતભારોની બહાર અને જેનું મૂલ્ય ઓછું હોય તેવા વિદ્યુતભારની નજીક શૂન્ય હશે.
ધારો કે બિંદુ $P$ એ $x = L$ પર રહેલા $-2q$ વિદ્યુતભારથી $l$ અંતરે છે. $x = 0$ પર રહેલા $+8q$ વિદ્યુતભારથી $P$ નું અંતર $(L + l)$ થશે.
બિંદુ $P$ પર,$+8q$ ને કારણે ઉદ્ભવતા વિદ્યુતક્ષેત્રનું મૂલ્ય અને $-2q$ ને કારણે ઉદ્ભવતા વિદ્યુતક્ષેત્રનું મૂલ્ય સમાન હોવું જોઈએ:
$\frac{k \cdot |8q|}{(L + l)^2} = \frac{k \cdot |2q|}{l^2}$
સમીકરણનું સાદુંરૂપ આપતા:
$\frac{8}{(L + l)^2} = \frac{2}{l^2}$
$\frac{4}{(L + l)^2} = \frac{1}{l^2}$
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા:
$\frac{2}{L + l} = \frac{1}{l}$
$2l = L + l$
$l = L$
તેથી,$x$-અક્ષ પર બિંદુ $P$ નું સ્થાન $x = L + l = L + L = 2L$ થશે.

(D) આપણે જાણીએ છીએ કે $\sin^2(\omega t) = \frac{1 - \cos(2\omega t)}{2} = \frac{1}{2} - \frac{1}{2}\cos(2\omega t)$.
આ પદ સરળ આવર્ત ગતિ $(SHM)$ દર્શાવે છે કારણ કે તે $y = A + B\cos(\omega' t)$ સ્વરૂપમાં છે,જ્યાં $A$ અને $B$ અચળાંકો છે.
આ ગતિની કોણીય આવૃત્તિ $\omega' = 2\omega$ છે.
આવર્તકાળ $T$ એ $T = \frac{2\pi}{\omega'} = \frac{2\pi}{2\omega} = \frac{\pi}{\omega}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
તેથી,આ વિધેય $\pi /\omega$ આવર્તકાળ ધરાવતી સરળ આવર્ત ગતિ દર્શાવે છે.

(B) ધારો કે ગોળીનો પ્રારંભિક વેગ $u$ છે.
$3\, cm$ અંદર ગયા પછી,તેનો વેગ $u/2$ થાય છે.
ગતિના સમીકરણ $v^2 = u^2 - 2as$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $a$ એ અચળ અવરોધને કારણે ઉદ્ભવતો પ્રતિપ્રવેગ છે:
$(u/2)^2 = u^2 - 2a(3)$
$u^2/4 = u^2 - 6a$
$6a = 3u^2/4$
$a = u^2/8$
હવે,ધારો કે ગોળી સ્થિર $(v=0)$ થતા પહેલા વધારાનું $x$ અંતર કાપે છે.
આ ભાગ માટે ગતિના સમીકરણ $v^2 = u^2 - 2as$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં પ્રારંભિક વેગ $u/2$ છે:
$0^2 = (u/2)^2 - 2ax$
$0 = u^2/4 - 2(u^2/8)x$
$u^2/4 = (u^2/4)x$
$x = 1\, cm$.
તેથી,ગોળી વધુ $1\, cm$ અંતર કાપશે.

(B) ધારો કે રીંગોના કેન્દ્રો $A$ અને $B$ છે. $R$ ત્રિજ્યા અને $Q$ વિદ્યુતભાર ધરાવતી રીંગના કેન્દ્ર પરનું વિદ્યુતસ્થિતિમાન $V = \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \frac{Q}{R}$ છે.
રીંગ $A$ (વિદ્યુતભાર $+q$) ને કારણે કેન્દ્ર $A$ પરનું વિદ્યુતસ્થિતિમાન $V_{A1} = \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \frac{q}{R}$ છે.
રીંગ $B$ (વિદ્યુતભાર $-q$) ને કારણે કેન્દ્ર $A$ પરનું વિદ્યુતસ્થિતિમાન $V_{A2} = \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \frac{-q}{\sqrt{R^2 + d^2}}$ છે.
તેથી,$V_A = V_{A1} + V_{A2} = \frac{q}{4\pi \varepsilon_0} \left[ \frac{1}{R} - \frac{1}{\sqrt{R^2 + d^2}} \right]$.
રીંગ $B$ (વિદ્યુતભાર $-q$) ને કારણે કેન્દ્ર $B$ પરનું વિદ્યુતસ્થિતિમાન $V_{B1} = \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \frac{-q}{R}$ છે.
રીંગ $A$ (વિદ્યુતભાર $+q$) ને કારણે કેન્દ્ર $B$ પરનું વિદ્યુતસ્થિતિમાન $V_{B2} = \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \frac{q}{\sqrt{R^2 + d^2}}$ છે.
તેથી,$V_B = V_{B1} + V_{B2} = \frac{q}{4\pi \varepsilon_0} \left[ -\frac{1}{R} + \frac{1}{\sqrt{R^2 + d^2}} \right] = -V_A$.
કેન્દ્રો વચ્ચેનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $\Delta V = V_A - V_B = V_A - (-V_A) = 2V_A$ છે.
$\Delta V = 2 \times \frac{q}{4\pi \varepsilon_0} \left[ \frac{1}{R} - \frac{1}{\sqrt{R^2 + d^2}} \right] = \frac{q}{2\pi \varepsilon_0} \left[ \frac{1}{R} - \frac{1}{\sqrt{R^2 + d^2}} \right]$.

(D) હિલિયમના મોલની સંખ્યા $(n_1)$ = $\frac{16 \, g}{4 \, g/mol} = 4 \, mol$. હિલિયમ એક-પરમાણ્વિય છે,તેથી $f_1 = 3$,$C_{v1} = \frac{3}{2}R$,$C_{p1} = \frac{5}{2}R$.
ઓક્સિજનના મોલની સંખ્યા $(n_2)$ = $\frac{16 \, g}{32 \, g/mol} = 0.5 \, mol$. ઓક્સિજન દ્વિ-પરમાણ્વિય છે,તેથી $f_2 = 5$,$C_{v2} = \frac{5}{2}R$,$C_{p2} = \frac{7}{2}R$.
મિશ્રણનો સમતુલ્ય $C_v$ એ $C_{v,mix} = \frac{n_1 C_{v1} + n_2 C_{v2}}{n_1 + n_2} = \frac{4(\frac{3}{2}R) + 0.5(\frac{5}{2}R)}{4 + 0.5} = \frac{6R + 1.25R}{4.5} = \frac{7.25R}{4.5} = \frac{29R}{18}$ છે.
મિશ્રણનો સમતુલ્ય $C_p$ એ $C_{p,mix} = \frac{n_1 C_{p1} + n_2 C_{p2}}{n_1 + n_2} = \frac{4(\frac{5}{2}R) + 0.5(\frac{7}{2}R)}{4 + 0.5} = \frac{10R + 1.75R}{4.5} = \frac{11.75R}{4.5} = \frac{47R}{18}$ છે.
ગુણોત્તર $\gamma = \frac{C_{p,mix}}{C_{v,mix}} = \frac{47R/18}{29R/18} = \frac{47}{29} \approx 1.62$ થાય.

(C) વેગ $v_1$ એ $y_1$ નું સમય $t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન છે: $v_1 = \frac{dy_1}{dt} = 0.1 \times 100\pi \cos(100\pi t + \frac{\pi}{3}) = 10\pi \cos(100\pi t + \frac{\pi}{3})$.
વેગ $v_2$ એ $y_2$ નું સમય $t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન છે: $v_2 = \frac{dy_2}{dt} = 0.1 \times (-100\pi) \sin(100\pi t) = -10\pi \sin(100\pi t)$.
કળાની સરખામણી કરવા માટે,આપણે $v_2$ ને કોસાઇન વિધેય તરીકે દર્શાવીએ: $v_2 = 10\pi \cos(100\pi t + \frac{\pi}{2})$.
$v_1$ ની કળા $\phi_1 = 100\pi t + \frac{\pi}{3}$ છે અને $v_2$ ની કળા $\phi_2 = 100\pi t + \frac{\pi}{2}$ છે.
કળા તફાવત $\Delta\phi = \phi_1 - \phi_2 = (100\pi t + \frac{\pi}{3}) - (100\pi t + \frac{\pi}{2}) = \frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{2} = -\frac{\pi}{6}$.

(A) ચુંબકીય સોય એ $m$ જેટલી સમાન ધ્રુવમાન ધરાવતા બે ધ્રુવો ધરાવતો ચુંબકીય ડાયપોલ છે,જે $2l$ અંતરે અલગ થયેલા છે.
અસમાન ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં,ચુંબકીય ક્ષેત્રની તીવ્રતા $B$ અવકાશના વિવિધ બિંદુઓ પર બદલાય છે.
ચુંબકીય ધ્રુવ પર લાગતું બળ $F = mB$ દ્વારા આપવામાં આવતું હોવાથી,સોયના બે ધ્રુવો પર લાગતા બળો મૂલ્ય અને દિશા બંનેમાં અલગ હશે કારણ કે ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ અચળ નથી.
પરિણામી બળ એ આ અસમાન બળોનો સદિશ સરવાળો હોવાથી,સોય ચોખ્ખું બળ અનુભવે છે.
બળો અલગ-અલગ બિંદુઓ પર લાગતા હોવાથી અને તે એકરેખસ્થ હોવા જરૂરી નથી,તેથી સોય ચોખ્ખો ટોર્ક પણ અનુભવે છે.
તેથી,અસમાન ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં રહેલી ચુંબકીય સોય બળ અને ટોર્ક બંને અનુભવે છે.

(C) $M_{total}$ દળ અને $r$ ત્રિજ્યા ધરાવતી સંપૂર્ણ વર્તુળાકાર તકતીની તેના કેન્દ્રમાંથી પસાર થતી અને તેના સમતલને લંબ અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I = \frac{1}{2} M_{total} r^2$ છે.
અર્ધવર્તુળાકાર તકતી એ સંપૂર્ણ વર્તુળાકાર તકતીનો બરાબર અડધો ભાગ હોવાથી,તેનું દળ $M = \frac{M_{total}}{2}$ થાય,જેનો અર્થ છે કે $M_{total} = 2M$.
આ કિંમતને જડત્વની ચાકમાત્રાના સૂત્રમાં મૂકતા,આપણને મળે છે:
$I = \frac{1}{2} (2M) r^2 = M r^2$.
તેથી,અર્ધવર્તુળાકાર તકતીની નિર્દિષ્ટ અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $M r^2$ છે.

(C) ધારો કે પ્રથમ પદાર્થનો પ્રારંભિક વેગ $\vec{v}_1 = v\hat{i}$ છે. બીજો પદાર્થ સ્થિર છે,તેથી $\vec{v}_2 = 0$.
રેખીય વેગમાનના સંરક્ષણના નિયમ મુજબ: $m\vec{v}_1 + m(0) = m\vec{v}_1' + m\vec{v}_2'$.
આપેલ છે કે પ્રથમ પદાર્થ પ્રારંભિક ગતિની દિશાને લંબ દિશામાં (ધારો કે $\hat{j}$) $\frac{v}{\sqrt{3}}$ વેગથી ગતિ કરે છે,તેથી $\vec{v}_1' = \frac{v}{\sqrt{3}}\hat{j}$.
આ કિંમતોને વેગમાનના સમીકરણમાં મૂકતા: $mv\hat{i} = m(\frac{v}{\sqrt{3}}\hat{j}) + m\vec{v}_2'$.
$m$ વડે ભાગતા: $\vec{v}_2' = v\hat{i} - \frac{v}{\sqrt{3}}\hat{j}$.
બીજા પદાર્થની ઝડપ એ $\vec{v}_2'$ નું મૂલ્ય છે:
$|\vec{v}_2'| = \sqrt{v^2 + (-\frac{v}{\sqrt{3}})^2} = \sqrt{v^2 + \frac{v^2}{3}} = \sqrt{\frac{4v^2}{3}} = \frac{2}{\sqrt{3}}v$.

(A) યંગના ડબલ સ્લિટ પ્રયોગમાં, પડદા પરના કોઈપણ બિંદુ $P$ આગળ પથ તફાવત $\Delta x$ એ બે સ્લિટ $S_1$ અને $S_2$ થી અંતરના તફાવત દ્વારા આપવામાં આવે છે, એટલે કે $\Delta x = |S_2P - S_1P|$.
અચળ પથ તફાવત માટે (જે ચોક્કસ શલાકા દર્શાવે છે), બિંદુ $P$ નો બિંદુપથ કે જેના માટે $|S_2P - S_1P| = \text{constant}$ હોય, તે ત્રિ-પરિમાણીય અવકાશમાં અતિવલય (hyperbola) દર્શાવે છે.
જ્યારે આ અતિવલયાકાર સપાટી સ્લિટના સમતલને લંબ રૂપે મૂકેલા સપાટ પડદાને છેદે છે, ત્યારે પરિણામી છેદ એ અતિવલય હોય છે.
જોકે, સ્લિટથી ઘણા મોટા અંતર $D$ પર મૂકેલા પડદા માટે (જ્યાં $D \gg d$, જ્યાં $d$ એ સ્લિટ વચ્ચેનું અંતર છે), અતિવલયાકાર શલાકાઓ પડદાના મધ્ય ભાગમાં લગભગ સુરેખ રેખાઓ જેવી દેખાય છે.

(D) પગલું $1$: મુક્ત પતન દરમિયાન $50\, m$ કાપ્યા પછીનો વેગ શોધો.
$v^2 = u^2 + 2as$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $u = 0$,$a = g = 9.8\, m/s^2$,અને $s = 50\, m$:
$v_1^2 = 0 + 2 \times 9.8 \times 50 = 980\, m^2/s^2$.
પગલું $2$: મંદન દરમિયાન કાપેલું અંતર શોધો.
ધારો કે પેરાશૂટ ખુલ્યા પછી કાપેલું અંતર $h_2$ છે. પ્રારંભિક વેગ $v_1$,અંતિમ વેગ $v_f = 3\, m/s$,અને મંદન $a = -2\, m/s^2$ છે.
$v_f^2 = v_1^2 + 2ah_2$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$3^2 = 980 + 2(-2)h_2$
$9 = 980 - 4h_2$
$4h_2 = 980 - 9 = 971$
$h_2 = 971 / 4 = 242.75\, m \approx 243\, m$.
પગલું $3$: કુલ ઊંચાઈ શોધો.
કુલ ઊંચાઈ $H = h_1 + h_2 = 50 + 243 = 293\, m$.

(D) વર્તુળાકાર ગૂંચળાના કેન્દ્ર પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \frac{\mu_0 i}{2R}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં,$R = 2\pi \, cm = 2\pi \times 10^{-2} \, m$ આપેલ છે.
પ્રથમ ગૂંચળા માટે જેમાં વિદ્યુતપ્રવાહ $i_1 = 3 \, A$ છે:
$B_1 = \frac{\mu_0 \times 3}{2 \times 2\pi \times 10^{-2}} = \frac{4\pi \times 10^{-7} \times 3}{4\pi \times 10^{-2}} = 3 \times 10^{-5} \, T$.
બીજા ગૂંચળા માટે જેમાં વિદ્યુતપ્રવાહ $i_2 = 4 \, A$ છે:
$B_2 = \frac{\mu_0 \times 4}{2 \times 2\pi \times 10^{-2}} = \frac{4\pi \times 10^{-7} \times 4}{4\pi \times 10^{-2}} = 4 \times 10^{-5} \, T$.
ગૂંચળા એકબીજાને કાટખૂણે હોવાથી,પરિણામી ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \sqrt{B_1^2 + B_2^2}$ થશે.
$B = \sqrt{(3 \times 10^{-5})^2 + (4 \times 10^{-5})^2} = \sqrt{9 + 16} \times 10^{-5} = \sqrt{25} \times 10^{-5} = 5 \times 10^{-5} \, Wb/m^2$.

(B) બે બિંદુવત પદાર્થોના વિભેદન માટેની શરત રેલેના માપદંડ દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\theta \geq 1.22 \frac{\lambda}{d}$,જ્યાં $\theta = \frac{y}{D}$ છે.
અહીં,$y = 1\, mm = 10^{-3}\, m$ એ ટપકાં વચ્ચેનું અંતર છે,$d = 3\, mm = 3 \times 10^{-3}\, m$ એ પ્યુપિલનો વ્યાસ છે,અને $\lambda = 500\, nm = 5 \times 10^{-7}\, m$ એ પ્રકાશની તરંગલંબાઈ છે.
આ કિંમતોને અસમતા $\frac{y}{D} \geq 1.22 \frac{\lambda}{d}$ માં મૂકતા,આપણને મળે છે:
$D \leq \frac{y d}{1.22 \lambda} = \frac{10^{-3} \times 3 \times 10^{-3}}{1.22 \times 5 \times 10^{-7}}$
$D \leq \frac{3 \times 10^{-6}}{6.1 \times 10^{-7}} = \frac{30}{6.1} \approx 4.918\, m$.
નજીકના પૂર્ણાંકમાં લેતા,મહત્તમ અંતર આશરે $5\, m$ છે.

(D) કણને ગોળાની સપાટીથી અનંત અંતરે લઈ જવા માટે કરવું પડતું કાર્ય એ ગુરુત્વાકર્ષણીય સ્થિતિઊર્જામાં થતા ફેરફાર જેટલું હોય છે,જે સપાટી પરની સ્થિતિઊર્જાના ઋણ મૂલ્ય બરાબર છે.
$W = U_{\infty} - U_{surface} = 0 - (- \frac{GMm}{R}) = \frac{GMm}{R}$
આપેલ છે:
$M = 100 \, kg$
$m = 10 \, g = 0.01 \, kg$
$R = 10 \, cm = 0.1 \, m$
$G = 6.67 \times 10^{-11} \, Nm^2/kg^2$
કિંમતો મૂકતા:
$W = \frac{6.67 \times 10^{-11} \times 100 \times 0.01}{0.1}$
$W = \frac{6.67 \times 10^{-11} \times 1}{0.1}$
$W = 6.67 \times 10^{-10} \, J$

(D) ધારો કે ઢળતા સમતલની લંબાઈ $L$ છે અને $\theta = 45^{\circ}$ છે.
લીસા સમતલ માટે,પ્રવેગ $a_1 = g \sin \theta = g \sin 45^{\circ} = \frac{g}{\sqrt{2}}$ છે.
લાગતો સમય $t_1 = \sqrt{\frac{2L}{a_1}}$ છે.
ગતિક ઘર્ષણાંક $K$ ધરાવતા ખરબચડા સમતલ માટે,પ્રવેગ $a_2 = g \sin \theta - Kg \cos \theta = \frac{g}{\sqrt{2}} - \frac{Kg}{\sqrt{2}} = \frac{g}{\sqrt{2}}(1-K)$ છે.
લાગતો સમય $t_2 = \sqrt{\frac{2L}{a_2}}$ છે.
આપેલ છે કે $t_2 = n t_1$,તેથી $t_2^2 = n^2 t_1^2$.
$t_1^2$ અને $t_2^2$ ના સમીકરણો મૂકતા: $\frac{2L}{a_2} = n^2 \frac{2L}{a_1} \implies a_1 = n^2 a_2$.
$a_1$ અને $a_2$ ની કિંમતો મૂકતા: $\frac{g}{\sqrt{2}} = n^2 \left[ \frac{g}{\sqrt{2}}(1-K) \right]$.
$1 = n^2(1-K) \implies 1-K = \frac{1}{n^2}$.
તેથી,$K = 1 - \frac{1}{n^2}$.