Time and Distances Questions in Hindi

(D) पहली ट्रेन की गति $(S_1) = \frac{120 \, m}{10 \, s} = 12 \, m/s$.
दूसरी ट्रेन की गति $(S_2) = \frac{120 \, m}{15 \, s} = 8 \, m/s$.
जब समान दिशा में यात्रा कर रहे हों,तो सापेक्ष गति $(S_1 - S_2) = 12 - 8 = 4 \, m/s$ होती है।
एक-दूसरे को पार करने के लिए,तय की जाने वाली कुल दूरी दोनों ट्रेनों की लंबाई का योग है: $120 \, m + 120 \, m = 240 \, m$.
आवश्यक समय $= \frac{\text{कुल दूरी}}{\text{सापेक्ष गति}} = \frac{240 \, m}{4 \, m/s} = 60 \, s$.

(A) औसत गति कुल तय की गई दूरी को कुल लिए गए समय से विभाजित करने पर प्राप्त होती है।
कुल दूरी $= 600 + 800 + 500 + 100 = 2000 \, km$.
प्रत्येक भाग के लिए लिया गया समय:
ट्रेन: $t_1 = \frac{600}{80} = 7.5 \, hr$.
जहाज: $t_2 = \frac{800}{40} = 20 \, hr$.
हवाई जहाज: $t_3 = \frac{500}{400} = 1.25 \, hr$.
कार: $t_4 = \frac{100}{50} = 2 \, hr$.
कुल समय $= 7.5 + 20 + 1.25 + 2 = 30.75 \, hr$.
औसत गति $= \frac{2000}{30.75} = \frac{200000}{3075} = \frac{8000}{123} = 65 \frac{5}{123} \, km/hr$.

(B) माना कुल दूरी $= d \, km$ है।
यात्रा तीन भागों में विभाजित है:
$1$. पहला भाग: दूरी $= \frac{d}{3}$,गति $= 25 \, km/hr$. समय $t_1 = \frac{d/3}{25} = \frac{d}{75} \, hr$.
$2$. दूसरा भाग: दूरी $= \frac{d}{4}$,गति $= 30 \, km/hr$. समय $t_2 = \frac{d/4}{30} = \frac{d}{120} \, hr$.
$3$. तीसरा भाग: दूरी $= d - (\frac{d}{3} + \frac{d}{4}) = d - \frac{7d}{12} = \frac{5d}{12}$,गति $= 50 \, km/hr$. समय $t_3 = \frac{5d/12}{50} = \frac{d}{120} \, hr$.
कुल समय $T = t_1 + t_2 + t_3 = \frac{d}{75} + \frac{d}{120} + \frac{d}{120} = \frac{d}{75} + \frac{2d}{120} = \frac{d}{75} + \frac{d}{60}$.
$75$ और $60$ का ल.स.प. $300$ लेने पर,$T = \frac{4d + 5d}{300} = \frac{9d}{300} = \frac{3d}{100} \, hr$.
औसत गति $= \frac{\text{कुल दूरी}}{\text{कुल समय}} = \frac{d}{3d/100} = \frac{100}{3} = 33\frac{1}{3} \, km/hr$.

(C) माना $A$ की गति $3x$ है और $B$ की गति $4x$ है।
माना दूरी $D$ है।
$A$ द्वारा लिया गया समय $T_A = D / 3x$ और $B$ द्वारा लिया गया समय $T_B = D / 4x$ है।
दिया गया है कि $A$ को $B$ से $30 \text{ मिनट}$ $(0.5 \text{ घंटे})$ अधिक समय लगता है,इसलिए $T_A - T_B = 0.5$.
मान रखने पर: $D / 3x - D / 4x = 0.5$.
$D/x$ को कॉमन लेने पर: $(D/x) \times (1/3 - 1/4) = 0.5$.
$(D/x) \times (1/12) = 0.5 \Rightarrow D/x = 6$.
अब,$A$ द्वारा लिया गया समय $T_A = D / 3x = (1/3) \times (D/x) = (1/3) \times 6 = 2 \text{ घंटे}$.

(C) पहले $2$ घंटों के लिए कार $70 \, km/h$ की गति से चलती है। तय की गई दूरी $= 70 \times 2 = 140 \, km$.
इसके बाद,गति में $10 \, km/h$ की वृद्धि होती है,इसलिए नई गति $70 + 10 = 80 \, km/h$ हो जाती है। कार इस गति से अगले $2$ घंटों तक चलती है। तय की गई दूरी $= 80 \times 2 = 160 \, km$.
$4$ घंटों में तय की गई कुल दूरी $= 140 + 160 = 300 \, km$.
शेष दूरी $= 345 - 300 = 45 \, km$.
अगले अंतराल के लिए गति $80 + 10 = 90 \, km/h$ होगी।
शेष $45 \, km$ की दूरी तय करने में लगा समय $= \frac{45}{90} = 0.5 \, \text{घंटे}$ (या $\frac{1}{2} \, \text{घंटा}$).
कुल समय $= 4 + 0.5 = 4.5 \, \text{घंटे}$ (या $4\frac{1}{2} \, \text{घंटे}$).

(A) $1$. बिना रुके यात्रा का कुल समय ज्ञात करें: $\text{समय} = \frac{\text{दूरी}}{\text{गति}} = \frac{150\, km}{15\, km/h} = 10\, \text{घंटे}$.
$2$. पड़ावों (stops) की संख्या ज्ञात करें: वह हर $20\, km$ पर रुकता है। पड़ावों की संख्या $\lfloor \frac{150}{20} \rfloor = 7$ होगी। (ध्यान दें: $150\, km$ की अंतिम मंजिल पर पहुँचने के बाद वह नहीं रुकता है)।
$3$. कुल विश्राम समय ज्ञात करें: $7\, \text{पड़ाव} \times 10\, \text{मिनट/पड़ाव} = 70\, \text{मिनट} = 1\, \text{घंटा}\, 10\, \text{मिनट}$.
$4$. कुल समय ज्ञात करें: $10\, \text{घंटे }+ 1\, \text{घंटा}\, 10\, \text{मिनट }= 11\, \text{घंटे}\, 10\, \text{मिनट}$.

(A) माना बाइक की गति $15x$ है और ट्रेन की गति $27x$ है।
बस की गति की गणना इस प्रकार है: $\text{गति} = \frac{\text{दूरी}}{\text{समय}} = \frac{720 \, \text{किमी}}{9 \, \text{घंटे}} = 80 \, \text{किमी}/\text{घंटा}$.
प्रश्न के अनुसार,बाइक की गति बस की गति की तीन-चौथाई है:
$15x = \frac{3}{4} \times 80$
$15x = 60$
$x = 4$.
अब,ट्रेन की गति ज्ञात करें:
$\text{ट्रेन की गति} = 27x = 27 \times 4 = 108 \, \text{किमी}/\text{घंटा}$.
ट्रेन द्वारा $7 \, \text{घंटे}$ में तय की गई दूरी है:
$\text{दूरी} = \text{गति} \times \text{समय} = 108 \, \text{किमी}/\text{घंटा }\times 7 \, \text{घंटे }= 756 \, \text{किमी}$.

(D) चरण $1$: बेतिया और मोतिहारी के बीच की दूरी ज्ञात कीजिए।
दूरी = $\text{गति} \times \text{समय}$.
यहाँ, $\text{गति} = 50 \, \text{km/h}$ और $\text{समय} = 44 \, \text{min} = \frac{44}{60} \, \text{घंटे}$.
दूरी = $50 \times \frac{44}{60} = \frac{50 \times 44}{60} = \frac{220}{6} \, \text{km} = \frac{110}{3} \, \text{km}$.
चरण $2$: नई गति ज्ञात कीजिए।
नई गति = $50 + 5 = 55 \, \text{km/h}$.
चरण $3$: उसी दूरी को तय करने के लिए आवश्यक नया समय ज्ञात कीजिए।
$\text{नया समय} = \frac{\text{दूरी}}{\text{नई गति}} = \frac{110/3}{55} \, \text{घंटे}$.
$\text{नया समय} = \frac{110}{3 \times 55} = \frac{2}{3} \, \text{घंटे}$.
चरण $4$: समय को मिनट में बदलिए।
$\text{मिनट में नया समय} = \frac{2}{3} \times 60 = 40 \, \text{min}$.

(B) माना बस की गति $v_b = v \, km/h$ है।
चूंकि ट्रेन बस से $50\%$ तेज है, इसलिए ट्रेन की गति $v_t = v + 0.5v = 1.5v \, km/h$ होगी।
बिंदु $A$ और $B$ के बीच की दूरी $d = 75 \, km$ है।
बस द्वारा लिया गया समय $t_b = \frac{75}{v}$ है।
ट्रेन द्वारा लिया गया समय $t_t = \frac{75}{1.5v} = \frac{50}{v}$ है।
ट्रेन $12.5 \, \text{मिनट}$ के लिए रुकती है, जो $\frac{12.5}{60} = \frac{5}{24} \, \text{घंटे}$ के बराबर है।
चूंकि दोनों एक ही समय पर पहुँचते हैं, इसलिए यात्रा के समय का अंतर रुकने के समय के बराबर होगा:
$t_b - t_t = \text{रुकने का समय}$
$\frac{75}{v} - \frac{50}{v} = \frac{5}{24}$
$\frac{25}{v} = \frac{5}{24}$
$v = \frac{25 \times 24}{5} = 5 \times 24 = 120 \, km/h$.
अतः, बस की गति $120 \, km/h$ है।

(C) माना कि ट्रेन की लंबाई $L \, m$ है।
दिया गया है कि प्लेटफॉर्म ट्रेन से $40 \%$ अधिक लंबा है,इसलिए प्लेटफॉर्म की लंबाई $L + 0.4L = 1.4L$ है।
चूंकि प्लेटफॉर्म की लंबाई $140 \, m$ है,इसलिए $1.4L = 140$,जिससे $L = 100 \, m$ प्राप्त होता है।
ट्रेन खंभे को $10 \, s$ में पार करती है,इसलिए ट्रेन की गति $v = \frac{\text{दूरी}}{\text{समय}} = \frac{L}{10} = \frac{100}{10} = 10 \, m/s$ है।
सत्यापन: ट्रेन प्लेटफॉर्म को $24 \, s$ में पार करती है। कुल तय की गई दूरी $L + 1.4L = 2.4L = 240 \, m$ है। गति $v = \frac{240}{24} = 10 \, m/s$ है। अतः गति सुसंगत है।

(D) माना ट्रेन की गति $x \, \text{km/h}$ है और कार की गति $y \, \text{km/h}$ है।
प्रश्न के अनुसार:
स्थिति $1$: $\frac{120}{x} + \frac{480}{y} = 8$ --- $(i)$
स्थिति $2$: $\frac{200}{x} + \frac{400}{y} = 8 + \frac{20}{60} = 8 + \frac{1}{3} = \frac{25}{3}$ --- $(ii)$
समीकरण $(i)$ को $5$ से और समीकरण $(ii)$ को $3$ से गुणा करने पर:
$5 \times (\frac{120}{x} + \frac{480}{y}) = 5 \times 8 \Rightarrow \frac{600}{x} + \frac{2400}{y} = 40$ --- $(iii)$
$3 \times (\frac{200}{x} + \frac{400}{y}) = 3 \times \frac{25}{3} \Rightarrow \frac{600}{x} + \frac{1200}{y} = 25$ --- $(iv)$
समीकरण $(iv)$ को $(iii)$ से घटाने पर:
$(\frac{600}{x} - \frac{600}{x}) + (\frac{2400}{y} - \frac{1200}{y}) = 40 - 25$
$\frac{1200}{y} = 15 \Rightarrow y = \frac{1200}{15} = 80 \, \text{km/h}$.
$y = 80$ का मान समीकरण $(i)$ में रखने पर:
$\frac{120}{x} + \frac{480}{80} = 8 \Rightarrow \frac{120}{x} + 6 = 8$
$\frac{120}{x} = 2 \Rightarrow x = 60 \, \text{km/h}$.
ट्रेन की गति और कार की गति का अनुपात $x:y = 60:80 = 3:4$ है।

(C) माना बिंदु $A$ तक की दूरी $d\, km$ है।
माना $1\, pm$ बजे पहुँचने में लगा समय $T$ घंटे है।
जब गति $10\, km/h$ है, तो लगा समय $T+1$ घंटे है।
जब गति $15\, km/h$ है, तो लगा समय $T-1$ घंटे है।
चूँकि दूरी $d = \text{गति} \times \text{समय}$ होती है, इसलिए:
$d = 10(T+1) = 15(T-1)$
$10T + 10 = 15T - 15$
$5T = 25 \Rightarrow T = 5\, \text{घंटे}$.
दूरी $d = 10(5+1) = 60\, km$ है।
$1\, pm$ बजे पहुँचने के लिए, उसे $T = 5\, \text{घंटे}$ यात्रा करनी होगी।
आवश्यक गति $= \frac{d}{T} = \frac{60}{5} = 12\, km/h$।

(C) माना ट्रेन की लंबाई $x \, m$ है।
अतः,पुल की लंबाई $3.5x \, m$ होगी।
खंभे को पार करने में लगा समय $= \frac{\text{ट्रेन की लंबाई}}{\text{गति}} = \frac{x}{40} \, s$.
पुल को पार करने में लगा समय $= \frac{\text{ट्रेन की लंबाई} + \text{पुल की लंबाई}}{\text{गति}} = \frac{x + 3.5x}{40} = \frac{4.5x}{40} \, s$.
प्रश्न के अनुसार,समय का अंतर $21 \, s$ है:
$\frac{4.5x}{40} - \frac{x}{40} = 21$
$\frac{3.5x}{40} = 21$
$3.5x = 21 \times 40 = 840$
$x = \frac{840}{3.5} = 240 \, m$.
पुल की लंबाई $= 3.5x = 3.5 \times 240 = 840 \, m$.

(A) माना ट्रेन $A$ की गति $x \, km/h$ है।
अतः,ट्रेन $B$ की गति $(x + 27) \, km/h$ होगी।
चूंकि वे एक-दूसरे की ओर बढ़ रही हैं,इसलिए उनकी सापेक्ष गति उनकी व्यक्तिगत गति का योग होगी: $(x + x + 27) \, km/h = (2x + 27) \, km/h$.
दोनों ट्रेनों द्वारा $16 \, h$ में तय की गई कुल दूरी $1872 \, km$ है।
सूत्र $\text{दूरी} = \text{गति} \times \text{समय}$ का उपयोग करने पर:
$16(2x + 27) = 1872$
दोनों पक्षों को $16$ से विभाजित करने पर:
$2x + 27 = 117$
$2x = 117 - 27$
$2x = 90$
$x = 45 \, km/h$.
इस प्रकार,ट्रेन $A$ की गति $45 \, km/h$ है।

(D) माना ट्रेन $N$ की लंबाई $= x \text{ मीटर}$ है।
अतः,ट्रेन $M$ की लंबाई $= \frac{x}{2} \text{ मीटर}$ होगी।
ट्रेन $M$ द्वारा लिया गया समय $= 25 \text{ सेकंड}$ है।
ट्रेन $N$ द्वारा लिया गया समय $= 1 \text{ मिनट } 15 \text{ सेकंड} = 75 \text{ सेकंड}$ है।
ट्रेन $M$ की गति $= \frac{\text{दूरी}}{\text{समय}} = \frac{x/2}{25} = \frac{x}{50} \text{ मीटर/सेकंड}$ है।
ट्रेन $N$ की गति $= \frac{\text{दूरी}}{\text{समय}} = \frac{x}{75} \text{ मीटर/सेकंड}$ है।
ट्रेन $M$ और ट्रेन $N$ की गति का अनुपात $= \frac{x/50}{x/75} = \frac{75}{50} = \frac{3}{2} = 3:2$ है।

(A) ट्रक द्वारा लिया गया समय $= 5 \, \text{घंटे }\, 30 \, \text{मिनट }= 5.5 \, \text{घंटे }= \frac{11}{2} \, \text{घंटे}$.
ट्रक की औसत गति $= \frac{\text{दूरी}}{\text{समय}} = \frac{396}{11/2} = \frac{396 \times 2}{11} = 36 \times 2 = 72 \, km/h$.
बाइक की औसत गति $= \frac{4}{3} \times 72 = 4 \times 24 = 96 \, km/h$.
बाइक द्वारा तय की जाने वाली दूरी $= 396 - 12 = 384 \, km$.
बाइक द्वारा लिया गया समय $= \frac{\text{दूरी}}{\text{गति}} = \frac{384}{96} = 4 \, \text{घंटे}$.

(C) मान लीजिए कि ट्रेन $A$ और ट्रेन $B$ की गति क्रमशः $v_A$ और $v_B$ है।
एक-दूसरे को पार करने के बाद ट्रेन $A$ और ट्रेन $B$ द्वारा अपने गंतव्य तक पहुँचने में लिया गया समय $t_A = 81\, \text{घंटे}$ और $t_B = 121\, \text{घंटे}$ है।
पार करने के बाद गति और समय के बीच का संबंध इस सूत्र द्वारा दिया जाता है: $\frac{v_A}{v_B} = \sqrt{\frac{t_B}{t_A}}$.
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $\frac{44}{v_B} = \sqrt{\frac{121}{81}}$.
$\frac{44}{v_B} = \frac{11}{9}$.
$v_B = \frac{44 \times 9}{11} = 4 \times 9 = 36\, \text{km/h}$.

(C) मान लीजिए कि दोनों ट्रेनों को मिलने में लगा समय $t$ घंटे है।
चूंकि वे एक ही समय पर चलना शुरू करती हैं और एक ही समय पर मिलती हैं,इसलिए समय $t$ दोनों के लिए समान है।
मान लीजिए कि दूसरी ट्रेन (गति $65 \, km/h$) द्वारा तय की गई दूरी $d \, km$ है।
तो पहली ट्रेन (गति $85 \, km/h$) द्वारा तय की गई दूरी $(d + 20) \, km$ होगी।
सूत्र $\text{समय} = \frac{\text{दूरी}}{\text{गति}}$ का उपयोग करने पर:
$t = \frac{d}{65} = \frac{d + 20}{85}$
तिर्यक गुणा करने पर: $85d = 65(d + 20)$
$85d = 65d + 1300$
$20d = 1300$
$d = 65 \, km$.
पहली ट्रेन द्वारा तय की गई दूरी $= 65 + 20 = 85 \, km$.
दिल्ली और मुंबई के बीच की कुल दूरी $= 85 + 65 = 150 \, km$.

(C) मान लीजिए कि पहली ट्रेन द्वारा लिया गया समय $t$ घंटे है。
चूंकि दूसरी ट्रेन दोपहर $3$ बजे चलती है, जो सुबह $9$ बजे के $6$ घंटे बाद है, इसलिए दूसरी ट्रेन द्वारा लिया गया समय $(t - 6)$ घंटे है。
मिलने पर दोनों ट्रेनें दिल्ली से समान दूरी तय करती हैं。
दूरी = $\text{गति} \times \text{समय}$.
अतः, $25t = 40(t - 6)$.
$25t = 40t - 240$.
$15t = 240$.
$t = 16 \, \text{घंटे}$.
आवश्यक दूरी = $16 \times 25 = 400 \, km$.

(D) चरण $1$: तय की गई कुल दूरी ज्ञात कीजिए।
दूरी = $\text{गति} \times \text{समय} = 240 \text{ km/h} \times 5 \text{ h} = 1200 \text{ km}$.
चरण $2$: नए समय को विषम भिन्न में बदलिए।
नया समय = $1 \frac{2}{3} \text{ h} = \frac{5}{3} \text{ h}$.
चरण $3$: उसी दूरी को नए समय में तय करने के लिए आवश्यक गति ज्ञात कीजिए।
आवश्यक गति = $\frac{\text{दूरी}}{\text{नया समय}} = \frac{1200}{\frac{5}{3}} = 1200 \times \frac{3}{5} = 240 \times 3 = 720 \text{ km/h}$.

(D) माना घर और स्कूल के बीच की दूरी $d \text{ km}$ है।
स्कूल जाने में लगा समय $t_1 = \frac{d}{3} \text{ घंटे}$ है।
स्कूल से वापस आने में लगा समय $t_2 = \frac{d}{3} \text{ घंटे}$ है।
कुल लगा समय $t_1 + t_2 = 5 \text{ घंटे}$ है।
अतः,$\frac{d}{3} + \frac{d}{3} = 5$.
$\frac{2d}{3} = 5$.
$2d = 15$.
$d = 7.5 \text{ km}$.
इस प्रकार,उसके घर और स्कूल के बीच की दूरी $7.5 \text{ km}$ है।

(C) माना सही समय $t$ घंटे है और दूरी $d$ किमी है।
स्थिति $1$: गति $= 40 \text{ km/h}$,लिया गया समय $= (t + \frac{11}{60}) \text{ घंटे}$.
अतः,$d = 40(t + \frac{11}{60}) \dots (i)$
स्थिति $2$: गति $= 50 \text{ km/h}$,लिया गया समय $= (t + \frac{5}{60}) \text{ घंटे}$.
अतः,$d = 50(t + \frac{5}{60}) \dots (ii)$
$(i)$ और $(ii)$ की तुलना करने पर:
$40(t + \frac{11}{60}) = 50(t + \frac{5}{60})$
$4(t + \frac{11}{60}) = 5(t + \frac{5}{60})$
$4t + \frac{44}{60} = 5t + \frac{25}{60}$
$t = \frac{44}{60} - \frac{25}{60} = \frac{19}{60} \text{ घंटे}$.
चूंकि $1 \text{ घंटा} = 60 \text{ मिनट}$,इसलिए $t = \frac{19}{60} \times 60 = 19 \text{ मिनट}$।

(B) ट्रेन की लंबाई $800 \, m$ है।
ट्रेन की गति $78 \, km/h$ है। इसे $m/s$ में बदलने के लिए,हम $\frac{5}{18}$ से गुणा करते हैं:
गति $= 78 \times \frac{5}{18} = \frac{390}{18} = \frac{65}{3} \, m/s$.
सुरंग को पार करने में लगा समय $1 \, minute = 60 \, seconds$ है।
मान लीजिए सुरंग की लंबाई $L \, m$ है।
ट्रेन द्वारा सुरंग को पार करने के लिए तय की गई कुल दूरी $(800 + L) \, m$ होगी।
सूत्र $\text{दूरी }= \text{गति }\times \text{समय}$ का उपयोग करते हुए:
$800 + L = (\frac{65}{3}) \times 60$
$800 + L = 65 \times 20$
$800 + L = 1300$
$L = 1300 - 800 = 500 \, m$.
अतः,सुरंग की लंबाई $500 \, m$ है।

(A) मान लीजिए कि पहले दिन तय की गई दूरी $d_1$ है और दूसरे दिन तय की गई दूरी $d_2$ है।
दिया गया है कि $d_2 = 70 \,km$ और अनुपात $d_1 : d_2 = 4 : 5$ है।
इसलिए,$\frac{d_1}{70} = \frac{4}{5}$।
$d_1 = \frac{4 \times 70}{5} = 4 \times 14 = 56 \,km$।
तीसरे दिन तय की गई दूरी $d_3 = 42 \,km$ है।
तीसरे दिन और पहले दिन तय की गई दूरियों का अनुपात $d_3 : d_1 = 42 : 56$ है।
दोनों को उनके महत्तम समापवर्तक $14$ से विभाजित करने पर,हमें $42 \div 14 = 3$ और $56 \div 14 = 4$ प्राप्त होता है।
अतः,अभीष्ट अनुपात $3:4$ है।

(A) चोर के सापेक्ष पुलिसकर्मी की सापेक्ष गति $(11 - 10)\, km/h = 1\, km/h$ है।
सापेक्ष गति को $m/s$ में बदलने के लिए,हम $\frac{5}{18}$ से गुणा करते हैं:
सापेक्ष गति $= 1 \times \frac{5}{18} = \frac{5}{18}\, m/s$।
दिया गया समय $6\, \text{मिनट}$ है,जो $6 \times 60 = 360\, \text{सेकंड}$ होता है।
$360\, \text{सेकंड}$ में चोर के सापेक्ष पुलिसकर्मी द्वारा तय की गई दूरी:
दूरी $= \text{सापेक्ष गति} \times \text{समय} = \frac{5}{18} \times 360 = 5 \times 20 = 100\, m$।
उनके बीच की प्रारंभिक दूरी $200\, m$ थी। $6\, \text{मिनट}$ बाद,पुलिसकर्मी ने $100\, m$ की दूरी तय कर ली है।
अतः,उनके बीच की शेष दूरी $(200 - 100)\, m = 100\, m$ है।

(C) लड़का सुबह $10:00$ बजे निकला और दोपहर $1:30$ बजे पकड़ा गया। लड़के द्वारा लिया गया कुल समय $3\, \text{घंटे}\, 30\, \text{मिनट }= 3.5\, \text{घंटे }= \frac{7}{2}\, \text{घंटे}$ है।
लड़के द्वारा तय की गई दूरी $= \text{गति} \times \text{समय} = 12\, km/hr \times \frac{7}{2}\, hr = 42\, km$ है।
बड़ा भाई $1\, \text{घंटे}\, 15\, \text{मिनट}$ बाद निकला,यानी $10:00$ बजे के $1.25\, \text{घंटे }= \frac{5}{4}\, \text{घंटे}$ बाद।
स्कूटर द्वारा उतनी ही दूरी तय करने में लिया गया समय $\frac{7}{2} - \frac{5}{4} = \frac{14-5}{4} = \frac{9}{4}\, \text{घंटे}$ है।
माना स्कूटर की गति $x\, km/hr$ है।
चूंकि दूरी समान है,$x \times \frac{9}{4} = 42$।
$x = \frac{42 \times 4}{9} = \frac{14 \times 4}{3} = \frac{56}{3} = 18\frac{2}{3}\, km/hr$।

(B) माना घर और स्कूल के बीच की दूरी $x \, km$ है।
स्थिति $1$: गति $= 2 \, km/h$. लिया गया समय $= x/2 \, \text{घंटे}$.
चूंकि वह $6 \, minutes$ देरी से पहुँचता है,वास्तविक समय $(x/2 - 6/60) \, \text{घंटे}$ है।
स्थिति $2$: गति $= 2 + 1 = 3 \, km/h$. लिया गया समय $= x/3 \, \text{घंटे}$.
चूंकि वह $6 \, minutes$ जल्दी पहुँचता है,वास्तविक समय $(x/3 + 6/60) \, \text{घंटे}$ है।
वास्तविक समय की तुलना करने पर:
$x/2 - 1/10 = x/3 + 1/10$
$x/2 - x/3 = 1/10 + 1/10$
$(3x - 2x) / 6 = 2/10$
$x/6 = 1/5$
$x = 6/5 \, km$.

(C) माना ट्रेन की लंबाई $L$ है और इसकी गति $s$ है।
जब ट्रेन एक व्यक्ति को पार करती है, तो तय की गई दूरी ट्रेन की लंबाई $(L)$ के बराबर होती है:
$s = \frac{L}{10} \implies L = 10s$ ....$(i)$
जब ट्रेन $300 \, \text{मीटर}$ लंबे पुल को पार करती है, तो तय की गई दूरी $(L + 300)$ होती है:
$s = \frac{L + 300}{25} \implies 25s = L + 300$ ....$(ii)$
समीकरण $(i)$ का मान समीकरण $(ii)$ में रखने पर:
$25s = 10s + 300$
$15s = 300$
$s = 20 \, \text{मीटर/सेकंड}$
अब, ट्रेन की लंबाई $L$ ज्ञात करें:
$L = 10 \times 20 = 200 \, \text{मीटर}$
$200 \, \text{मीटर}$ लंबे प्लेटफॉर्म को पार करने के लिए, तय की जाने वाली कुल दूरी $(L + 200) = 200 + 200 = 400 \, \text{मीटर}$ होगी।
लिया गया समय $= \frac{\text{कुल दूरी}}{\text{गति}} = \frac{400}{20} = 20 \, \text{सेकंड}$।

(A) वे अगली बार शुरुआती बिंदु पर कब मिलेंगे,यह पता लगाने के लिए हमें $A, B$ और $C$ द्वारा लिए गए समय का लघुत्तम समापवर्त्य $(LCM)$ ज्ञात करना होगा।
समय का अभाज्य गुणनखंडन:
$A = 252 = 2^2 \times 3^2 \times 7$
$B = 308 = 2^2 \times 7 \times 11$
$C = 198 = 2 \times 3^2 \times 11$
$LCM = 2^2 \times 3^2 \times 7 \times 11 = 4 \times 9 \times 77 = 2772 \text{ सेकंड}$.
सेकंड को मिनट में बदलने पर:
$2772 \div 60 = 46 \text{ मिनट और } 12 \text{ सेकंड}$ $(2772 = 46 \times 60 + 12)$.

(A) माना $A, B, C$ द्वारा $1000 \text{ m}$ दौड़ने में लिया गया समय $T_A, T_B, T_C$ है।
प्रश्न के अनुसार: $T_B - T_A = 25 \text{ sec} \implies T_B = T_A + 25$.
$A$ ने $C$ को $275 \text{ m}$ से हराया,जिसका अर्थ है कि $T_A$ समय में $C$ ने $1000 - 275 = 725 \text{ m}$ की दूरी तय की।
$C$ की गति = $\frac{725}{T_A}$.
$C$ द्वारा $1000 \text{ m}$ दौड़ने में लिया गया समय $T_C = \frac{1000}{725/T_A} = \frac{40}{29} T_A$.
दिया गया है कि $T_C - T_B = 30 \text{ sec}$.
मान रखने पर: $\frac{40}{29} T_A - (T_A + 25) = 30$.
$\frac{11}{29} T_A = 55 \implies T_A = 145 \text{ sec}$.
$145 \text{ sec} = 2 \text{ min } 25 \text{ sec}$.

(A) माना दूरी $d \text{ km}$ है और सामान्य गति $s \text{ km/h}$ है।
पहली शर्त के अनुसार:
$\frac{d}{s} - \frac{d}{s+3} = \frac{40}{60} = \frac{2}{3}$
$\frac{d(s+3) - ds}{s(s+3)} = \frac{2}{3} \implies \frac{3d}{s(s+3)} = \frac{2}{3} \implies 9d = 2s(s+3)$ .....$(i)$
दूसरी शर्त के अनुसार:
$\frac{d}{s-2} - \frac{d}{s} = \frac{40}{60} = \frac{2}{3}$
$\frac{ds - d(s-2)}{s(s-2)} = \frac{2}{3} \implies \frac{2d}{s(s-2)} = \frac{2}{3} \implies 3d = s(s-2)$ .....$(ii)$
$(ii)$ से, $d = \frac{s(s-2)}{3}$। इस मान को $(i)$ में रखने पर:
$9 \left( \frac{s(s-2)}{3} \right) = 2s(s+3)$
$3s(s-2) = 2s(s+3)$
चूंकि $s \neq 0$, $s$ से भाग देने पर:
$3s - 6 = 2s + 6$
$s = 12 \text{ km/h}$
अब, $s = 12$ को $(ii)$ में रखने पर:
$d = \frac{12(12-2)}{3} = \frac{12 \times 10}{3} = 40 \text{ km}$.

(D) कुल समय $= 15\, \text{घंटे}$.
$1$. पहला भाग: समय $= \frac{1}{3} \times 15 = 5\, \text{घंटे}$. दूरी $= 5 \times 80 = 400\, km$.
शेष समय $= 15 - 5 = 10\, \text{घंटे}$.
$2$. दूसरा भाग: समय $= 10$ का $40\% = 0.4 \times 10 = 4\, \text{घंटे}$. दूरी $= 4 \times 70 = 280\, km$.
शेष समय $= 10 - 4 = 6\, \text{घंटे}$.
$3$. तीसरा भाग: समय $= \frac{2}{3} \times 6 = 4\, \text{घंटे}$. दूरी $= 4 \times 85 = 340\, km$.
शेष समय $= 6 - 4 = 2\, \text{घंटे}$.
$4$. चौथा भाग: समय $= 2\, \text{घंटे}$. दूरी $= 2 \times 100 = 200\, km$.
कुल दूरी $= 400 + 280 + 340 + 200 = 1220\, km$.

(A) माना $A$ को $1000 \, m$ तय करने में $x$ सेकंड लगते हैं और $B$ को वही दूरी तय करने में $y$ सेकंड लगते हैं।
पहले मामले में,$A$ $x$ सेकंड में $1000 \, m$ दौड़ता है,जबकि $B$ $(x + 20)$ सेकंड में $900 \, m$ दौड़ता है।
अतः,$B$ की गति $v_B = \frac{900}{x + 20}$ है।
दूसरे मामले में,$A$ $(y - 25)$ सेकंड में $950 \, m$ दौड़ता है,जबकि $B$ $y$ सेकंड में $1000 \, m$ दौड़ता है।
अतः,$B$ की गति $v_B = \frac{1000}{y}$ है।
गति की तुलना करने पर: $\frac{900}{x + 20} = \frac{1000}{y} \Rightarrow y = \frac{10}{9}(x + 20) = \frac{10x + 200}{9} \dots (i)$.
साथ ही,$A$ की गति $v_A = \frac{1000}{x}$ है। दूसरे मामले में,$A$ $(y - 25)$ सेकंड में $950 \, m$ दूरी तय करता है: $\frac{950}{y - 25} = \frac{1000}{x} \Rightarrow \frac{19}{y - 25} = \frac{20}{x} \Rightarrow 19x = 20y - 500 \dots (ii)$.
समीकरण $(i)$ को $(ii)$ में रखने पर: $19x = 20(\frac{10x + 200}{9}) - 500$.
$171x = 200x + 4000 - 4500$.
$29x = 500 \Rightarrow x = \frac{500}{29} \, s$.

(C) माना घर और कार्यालय के बीच की दूरी $x \, km$ है।
माना कार्यालय पहुँचने का निर्धारित समय $t \, hours$ है।
जब गति $30 \, km/hr$ होती है,तो लिया गया समय $(t + 10/60) \, hours$ होता है। अतः,$x/30 = t + 1/6$.
जब गति $40 \, km/hr$ होती है,तो लिया गया समय $(t - 5/60) \, hours$ होता है। अतः,$x/40 = t - 1/12$.
दोनों समीकरणों को घटाने पर: $x/30 - x/40 = (t + 1/6) - (t - 1/12)$.
$(4x - 3x) / 120 = 1/6 + 1/12$.
$x / 120 = (2 + 1) / 12 = 3/12 = 1/4$.
$x = 120 / 4 = 30 \, km$.
अतः,दूरी $30 \, km$ है।

(C) मान लीजिए $3:20 \, p.m.$ के बाद लगा समय $t$ घंटे है।
चूंकि दिल्ली से ट्रेन $4:00 \, p.m.$ बजे चलती है,इसलिए वह $(t - 40/60)$ घंटे यानी $(t - 2/3)$ घंटे यात्रा करती है।
अमृतसर से ट्रेन $t$ घंटे यात्रा करती है।
दोनों ट्रेनों द्वारा तय की गई दूरी का योग कुल दूरी $450 \, km$ के बराबर है:
$60(t - 2/3) + 80t = 450$
$60t - 40 + 80t = 450$
$140t = 490$
$t = 490 / 140 = 3.5 \, \text{घंटे}$.
$3.5 \, \text{घंटे}$ का अर्थ है $3 \, \text{घंटे}$ और $30 \, \text{मिनट}$।
दूसरी ट्रेन के चलने के समय $(3:20 \, p.m.)$ में इस समय को जोड़ने पर:
$3:20 \, p.m. + 3 \, \text{घंटे} \, 30 \, \text{मिनट} = 6:50 \, p.m.$

(B) मान लीजिए कि $B$ द्वारा $2$ बजे चलने के बाद $A$ को पकड़ने में लिया गया समय $t$ है।
$A$ ने $1$ बजे चलना शुरू किया था,इसलिए $2$ बजे तक $A$ ने $3 \text{ km}$ की दूरी तय कर ली थी।
$A$ के सापेक्ष $B$ की गति = $4 - 3 = 1 \text{ km/h}$।
$B$ द्वारा $A$ को पकड़ने में लिया गया समय = $\frac{3 \text{ km}}{1 \text{ km/h}} = 3 \text{ घंटे}$।
अतः,$B, A$ को $2 + 3 = 5$ बजे पकड़ता है।
$5$ बजे,पुणे से दूरी $4 \times 3 = 12 \text{ km}$ है।
अब,$B$ इस बिंदु ($12 \text{ km}$ दूर) से $C$ को संदेश वापस भेजता है।
$5$ बजे तक,$C$ ने $5 - 3 = 2$ घंटे तक यात्रा की है।
$5$ बजे तक $C$ द्वारा तय की गई दूरी = $5 \times 2 = 10 \text{ km}$।
$B$ ($12 \text{ km}$ पर) और $C$ ($10 \text{ km}$ पर) के बीच की दूरी = $12 - 10 = 2 \text{ km}$।
चूंकि वे एक-दूसरे की ओर बढ़ रहे हैं,उनकी सापेक्ष गति = $3 + 5 = 8 \text{ km/h}$।
मिलने में लगा समय = $\frac{2}{8} \text{ घंटे} = \frac{1}{4} \text{ घंटा} = 15 \text{ मिनट}$।
अतः,$C$ को $5:15$ बजे संदेश प्राप्त होगा।

(A) मान लीजिए कि दोनों ट्रेनों को मिलने में लगा समय $t$ घंटे है।
चूंकि वे एक ही समय पर शुरू होती हैं,इसलिए समय $t$ दोनों के लिए समान है।
पहली ट्रेन द्वारा तय की गई दूरी: $d_1 = 20t$।
दूसरी ट्रेन द्वारा तय की गई दूरी: $d_2 = 25t$।
प्रश्न के अनुसार,दूसरी ट्रेन ने पहली ट्रेन से $80 \, km$ अधिक दूरी तय की है: $25t = 20t + 80$।
$5t = 80 \Rightarrow t = 16 \, \text{घंटे}$।
दोनों स्टेशनों के बीच की दूरी दोनों ट्रेनों द्वारा तय की गई दूरियों का योग है: $D = d_1 + d_2 = 20t + 25t = 45t$।
$D = 45 \times 16 = 720 \, km$।

(B) माना मालगाड़ी की लंबाई $L_1$ और उसकी गति $S_1$ है।
माना यात्री ट्रेन की लंबाई $L_2$ और उसकी गति $S_2$ है।
गति का अनुपात $S_1 : S_2 = 1 : 2$ दिया गया है,इसलिए $S_2 = 2S_1$ है।
जब यात्री ट्रेन मालगाड़ी को ओवरटेक करती है,तो सापेक्ष गति $(S_2 - S_1)$ होती है। पूरी तरह से पार करने के लिए तय की गई कुल दूरी $(L_1 + L_2)$ है।
$(S_2 - S_1) = \frac{L_1 + L_2}{60} \implies S_1 = \frac{L_1 + L_2}{60} \dots (i)$
जब यात्री ट्रेन का एक यात्री मालगाड़ी को पार करता है,तो तय की गई दूरी केवल मालगाड़ी की लंबाई $(L_1)$ होती है।
$(S_2 - S_1) = \frac{L_1}{40} \implies S_1 = \frac{L_1}{40} \dots (ii)$
समीकरण $(i)$ और $(ii)$ की तुलना करने पर:
$\frac{L_1 + L_2}{60} = \frac{L_1}{40}$
$\frac{L_1 + L_2}{3} = \frac{L_1}{2}$
$2(L_1 + L_2) = 3L_1$
$2L_1 + 2L_2 = 3L_1$
$2L_2 = L_1$
अतः,उनकी लंबाई का अनुपात $L_1 : L_2 = 2 : 1$ है।

(D) माना ट्रेन की सामान्य गति $v$ km/hr है।
माना पहले दुर्घटना बिंदु $(C)$ और गंतव्य $(B)$ के बीच की दूरी $d$ km है।
जब दुर्घटना $C$ पर होती है, तो ट्रेन शेष दूरी $d$ को $\frac{3}{4}v$ गति से तय करती है।
लिया गया समय $= \frac{d}{\frac{3}{4}v} = \frac{4d}{3v}$
सामान्य गति से लिया गया समय $= \frac{d}{v}$
देरी:
$\frac{4d}{3v} - \frac{d}{v} = \frac{d}{3v}$
$\frac{d}{3v} = 35$ मिनट $= \frac{35}{60} = \frac{7}{12}$ घंटे
अतः,
$\frac{d}{v} = \frac{7}{12} \times 3 = \frac{7}{4}$ ...(1)
जब दुर्घटना $D$ पर $72$ km आगे होती है, तो शेष दूरी $(d - 72)$ km है।
देरी:
$\frac{d-72}{\frac{3}{4}v} - \frac{d-72}{v} = 15$ मिनट
$= \frac{15}{60} = \frac{1}{4}$ घंटे
$\frac{d-72}{v}\left(\frac{4}{3} - 1\right) = \frac{1}{4}$
$\frac{d-72}{v} \cdot \frac{1}{3} = \frac{1}{4}$
$\frac{d-72}{v} = \frac{3}{4}$ ...(2)
(1) में से (2) घटाने पर:
$\frac{d}{v} - \frac{d-72}{v} = \frac{7}{4} - \frac{3}{4} = 1$
$\frac{72}{v} = 1$
$v = 72$ km/hr

(D) माना कि दोनों ट्रेनों की गति $S_1$ और $S_2$ ($m/s$ में) है,जहाँ $S_1 > S_2$ है।
जब वे विपरीत दिशाओं में गति करती हैं,तो सापेक्ष गति $(S_1 + S_2)$ होती है। एक-दूसरे को पार करने के लिए तय की गई कुल दूरी उनकी लंबाई का योग है: $100 + 80 = 180\, m$।
दिया गया समय $= 9\, s$,इसलिए $S_1 + S_2 = 180 / 9 = 20\, m/s$ ... $(i)$।
जब वे एक ही दिशा में गति करती हैं,तो सापेक्ष गति $(S_1 - S_2)$ होती है। तय की गई कुल दूरी अभी भी $180\, m$ है।
दिया गया समय $= 18\, s$,इसलिए $S_1 - S_2 = 180 / 18 = 10\, m/s$ ... $(ii)$।
समीकरण $(i)$ और $(ii)$ को जोड़ने पर:
$2S_1 = 30 \implies S_1 = 15\, m/s$।
समीकरण $(i)$ से $(ii)$ को घटाने पर:
$2S_2 = 10 \implies S_2 = 5\, m/s$।
$18/5$ से गुणा करके $km/h$ में बदलने पर:
$S_1 = 15 \times (18/5) = 54\, km/h$।
$S_2 = 5 \times (18/5) = 18\, km/h$।

(C) चरण $1$: ट्रेन के मध्य बिंदु तक पहुँचने में लगा समय।
तय की जाने वाली दूरी $= 150 \, m = 0.15 \, km$.
सापेक्ष गति $= 70 - 45 = 25 \, km/hr$.
समय $t_1 = \frac{0.15}{25} \, hr = 0.006 \, hr$.
$t_1$ समय में मोटरबाइक द्वारा तय की गई दूरी $= 70 \times 0.006 = 0.42 \, km = 420 \, m$.
चरण $2$: ट्रेन का शेष आधा हिस्सा पार करने में लगा समय।
तय की जाने वाली शेष दूरी $= 150 \, m = 0.15 \, km$.
नई सापेक्ष गति $= 65 - 60 = 5 \, km/hr$.
समय $t_2 = \frac{0.15}{5} \, hr = 0.03 \, hr$.
$t_2$ समय में मोटरबाइक द्वारा तय की गई दूरी $= 65 \times 0.03 = 1.95 \, km = 1950 \, m$.
चरण $3$: मोटरबाइक द्वारा तय की गई कुल दूरी।
कुल दूरी $= 0.42 + 1.95 = 2.37 \, km$.

(B) माना कानपुर मेल की गति $S_1$ है और दिल्ली मेल की गति $S_2$ है।
कानपुर मेल द्वारा मिलने के बाद अपने गंतव्य तक पहुँचने में लिया गया समय $t_1 = 12\, \text{घंटे}$ है।
दिल्ली मेल द्वारा मिलने के बाद अपने गंतव्य तक पहुँचने में लिया गया समय $t_2 = 3\, \text{घंटे}$ है।
एक-दूसरे को पार करने के बाद गति और समय के बीच का संबंध इस सूत्र द्वारा दिया जाता है: $\frac{S_1}{S_2} = \sqrt{\frac{t_2}{t_1}}$.
यहाँ $S_1 = 48\, \text{km/hr}$,$t_1 = 12\, \text{घंटे}$,और $t_2 = 3\, \text{घंटे}$ दिया गया है।
मान रखने पर: $\frac{48}{S_2} = \sqrt{\frac{3}{12}}$.
$\frac{48}{S_2} = \sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{1}{2}$.
$S_2 = 48 \times 2 = 96\, \text{km/hr}$.

(C) मान लीजिए रेणु की प्रारंभिक गति $v$ है और हीना की प्रारंभिक गति $2v$ है।
पहले $50\, m$ के लिए:
हीना द्वारा लिया गया समय $t_{H1} = \frac{50}{2v} = \frac{25}{v}$ है।
रेणु द्वारा लिया गया समय $t_{R1} = \frac{50}{v}$ है।
$50\, m$ के बाद,हीना की गति $\frac{1}{4} \times 2v = 0.5v$ हो जाती है।
रेणु $v$ गति से दौड़ना जारी रखती है।
मान लीजिए कि रेणु के हीना को पकड़ने तक दोनों द्वारा तय की गई अतिरिक्त दूरी $d$ है।
हीना द्वारा $d$ दूरी तय करने में लिया गया समय $t_{H2} = \frac{d}{0.5v} = \frac{2d}{v}$ है।
रेणु द्वारा $d$ दूरी तय करने में लिया गया समय $t_{R2} = \frac{d}{v}$ है।
चूंकि रेणु हीना को पकड़ लेती है,इसलिए दोनों द्वारा लिया गया कुल समय समान होना चाहिए:
$t_{R1} + t_{R2} = t_{H1} + t_{H2}$
$\frac{50}{v} + \frac{d}{v} = \frac{25}{v} + \frac{2d}{v}$
$50 + d = 25 + 2d$
$d = 25\, m$।
शुरुआत से तय की गई कुल दूरी $50 + 25 = 75\, m$ है।
फिनिश लाइन से दूरी $N = 100 - 75 = 25\, m$ है।

(A) माना दूरी $d \, km$ है और प्रारंभिक गति $s \, km/h$ है।
पहली शर्त के अनुसार: $\frac{d}{s} - \frac{d}{s+6} = 4 \implies \frac{6d}{s(s+6)} = 4 \implies \frac{d}{s(s+6)} = \frac{2}{3} \implies d = \frac{2s(s+6)}{3} \dots (i)$
दूसरी शर्त के अनुसार: $\frac{d}{s-6} - \frac{d}{s+6} = 10 \implies d \left( \frac{(s+6) - (s-6)}{(s-6)(s+6)} \right) = 10 \implies d \left( \frac{12}{s^2-36} \right) = 10 \implies d = \frac{10(s^2-36)}{12} = \frac{5(s^2-36)}{6} \dots (ii)$
$(i)$ और $(ii)$ की तुलना करने पर: $\frac{2s^2+12s}{3} = \frac{5s^2-180}{6} \implies 4s^2 + 24s = 5s^2 - 180 \implies s^2 - 24s - 180 = 0$.
द्विघात समीकरण को हल करने पर: $(s-30)(s+6) = 0$. चूंकि गति ऋणात्मक नहीं हो सकती,इसलिए $s = 30 \, km/h$.
$s = 30$ को $(i)$ में रखने पर: $d = \frac{2(30)(36)}{3} = 20 \times 36 = 720 \, km$.

(B) माना सीता और गीता की गति क्रमशः $v_S$ और $v_G$ है। माना गीता को $B$ से मिलन बिंदु $M$ तक पहुँचने में $t$ समय लगता है। तो सीता को $A$ से $M$ तक पहुँचने में $(t-6)$ घंटे लगते हैं।
माना $d_S$ और $d_G$ सीता और गीता द्वारा तय की गई दूरियाँ हैं जब तक वे $M$ पर मिलती हैं। हमारे पास $d_S = v_S(t-6)$ और $d_G = v_G t$ है।
दिया गया है $d_G - d_S = 12$,इसलिए $v_G t - v_S(t-6) = 12$.
मिलने के बाद,सीता $B$ तक की शेष दूरी $8$ घंटे में तय करती है,इसलिए $d_G = v_S \times 8$. गीता $A$ तक की शेष दूरी $9$ घंटे में तय करती है,इसलिए $d_S = v_G \times 9$.
इन मानों को दूरी के समीकरणों में रखने पर: $v_S(t-6) = 9 v_G$ और $v_G t = 8 v_S$.
$v_G t = 8 v_S$ से,हमें $v_S/v_G = t/8$ मिलता है। साथ ही $v_S(t-6) = 9 v_G$ से,हमें $v_S/v_G = 9/(t-6)$ मिलता है।
दोनों को बराबर करने पर: $t/8 = 9/(t-6) \Rightarrow t(t-6) = 72 \Rightarrow t^2 - 6t - 72 = 0$.
द्विघात समीकरण को हल करने पर: $(t-12)(t+6) = 0$. चूँकि $t > 0$,इसलिए $t = 12$.
तब $v_S/v_G = 12/8 = 3/2$. माना $v_S = 3k$ और $v_G = 2k$.
$v_G t - v_S(t-6) = 12$ में मान रखने पर: $(2k)(12) - (3k)(12-6) = 12 \Rightarrow 24k - 18k = 12 \Rightarrow 6k = 12 \Rightarrow k = 2$.
अतः,$v_S = 3(2) = 6 \, km/hr$ और $v_G = 2(2) = 4 \, km/hr$.
तेज़ साइकिल चालक की गति $6 \, km/hr$ है।

(B) मान लीजिए कि दो साइकिल सवारों की गति $v_1$ और $v_2$ किमी/घंटा है और कुल दूरी $D$ किमी है। मान लीजिए $v_1 > v_2$ है।
वे $t = 3$ घंटे $20$ मिनट $= 10/3$ घंटे बाद मिलते हैं।
अतः,$D = (v_1 + v_2) \times (10/3)$।
पहले साइकिल सवार द्वारा दूरी तय करने में लिया गया समय $T_1 = D/v_1$ है और दूसरे द्वारा $T_2 = D/v_2$ है।
हमें दिया गया है कि $T_2 - T_1 = 5$ घंटे।
समीकरणों को हल करने पर,हमें प्राप्त होता है कि $T_2 = 10$ घंटे।

(A) कुत्ते और बिल्ली के बीच की प्रारंभिक दूरी $= 25$ कुत्ते की छलांग।
एक मिनट में, कुत्ता $5$ छलांग लगाता है।
एक मिनट में, बिल्ली $6$ छलांग लगाती है। चूंकि कुत्ते की $1$ छलांग $= 2$ बिल्ली की छलांग, इसलिए $6$ बिल्ली की छलांग $= 3$ कुत्ते की छलांग होगी।
अतः, बिल्ली के सापेक्ष कुत्ते की सापेक्ष गति $= 5 - 3 = 2$ कुत्ते की छलांग प्रति मिनट।
बिल्ली को पकड़ने में लगा समय $= \frac{\text{प्रारंभिक दूरी}}{\text{सापेक्ष गति}} = \frac{25}{2} = 12.5$ मिनट।

(A) माना ट्रेन की गति $v_t \text{ m/s}$ है।
दो गोलियों की आवाज के बीच का समय अंतराल $13 \text{ मिनट} = 780 \text{ सेकंड}$ है।
व्यक्ति जिस समय अंतराल पर आवाज सुनता है वह $12 \text{ मिनट } 30 \text{ सेकंड} = 750 \text{ सेकंड}$ है।
जितने समय में ट्रेन $750 \text{ सेकंड}$ चलती है,उतने समय में ध्वनि वह दूरी तय करती है जो ट्रेन शेष $30 \text{ सेकंड}$ $(780 - 750 = 30 \text{ सेकंड})$ में तय करती।
$30 \text{ सेकंड}$ में ध्वनि द्वारा तय की गई दूरी $= 330 \times 30 = 9900 \text{ मीटर}$।
यह दूरी ट्रेन द्वारा $750 \text{ सेकंड}$ में तय की जाती है।
ट्रेन की गति $v_t = \frac{9900}{750} \text{ m/s} = 13.2 \text{ m/s}$।
$\text{m/s}$ को $\text{km/hr}$ में बदलने के लिए,$\frac{18}{5}$ से गुणा करें:
$v_t = 13.2 \times \frac{18}{5} = \frac{132}{10} \times \frac{18}{5} = \frac{2376}{50} = \frac{1188}{25} \text{ km/hr}$।
$v_t = 47 \frac{13}{25} \text{ km/hr}$।

(D) माना $A$ और $B$ के बीच की दूरी $x \text{ km}$ है।
पहले मामले में,कुल समय $T_1 = \frac{x}{3.5} + \frac{x}{3.5} = \frac{2x}{3.5} = \frac{2x}{7/2} = \frac{4x}{7} \text{ घंटे}$ है।
दूसरे मामले में,कुल समय $T_2 = \frac{x}{3} + \frac{x}{4} = \frac{4x + 3x}{12} = \frac{7x}{12} \text{ घंटे}$ है।
प्रश्न के अनुसार,समय का अंतर $5 \text{ मिनट}$ है,जो $\frac{5}{60} = \frac{1}{12} \text{ घंटे}$ होता है।
अतः,$T_2 - T_1 = \frac{1}{12}$.
$\frac{7x}{12} - \frac{4x}{7} = \frac{1}{12}$.
लघुत्तम समापवर्त्य $(84)$ लेने पर:
$\frac{49x - 48x}{84} = \frac{1}{12}$.
$\frac{x}{84} = \frac{1}{12}$.
$x = \frac{84}{12} = 7 \text{ km}$.
अतः,$A$ और $B$ के बीच की दूरी $7 \text{ km}$ है।

(B) माना गाड़ी की गति $v \text{ km/h}$ है।
व्यक्ति के सापेक्ष गाड़ी की सापेक्ष गति $(v - 3) \text{ km/h}$ होगी।
$4 \text{ मिनट}$ में,व्यक्ति के सापेक्ष गाड़ी द्वारा तय की गई दूरी $100 \text{ m} = 0.1 \text{ km}$ है।
समय $t = 4 \text{ मिनट} = \frac{4}{60} \text{ घंटे} = \frac{1}{15} \text{ घंटे}$।
सूत्र $\text{दूरी} = \text{सापेक्ष गति} \times \text{समय}$ का उपयोग करने पर:
$0.1 = (v - 3) \times \frac{1}{15}$
$v - 3 = 0.1 \times 15 = 1.5$
$v = 1.5 + 3 = 4.5 \text{ km/h}$।
अतः,गाड़ी की गति $4\frac{1}{2} \text{ km/h}$ है।