Ratio and Proportion Questions in Hindi

(C) माना अल्कोहल की प्रारंभिक मात्रा $4x$ और पानी की मात्रा $3x$ है।
जब $5 \text{ लीटर}$ पानी मिलाया जाता है,तो पानी की नई मात्रा $3x + 5$ हो जाती है।
प्रश्न के अनुसार,अल्कोहल और पानी का नया अनुपात $4:5$ है।
अतः,$\frac{4x}{3x + 5} = \frac{4}{5}$।
तिर्यक गुणा करने पर,हमें $20x = 4(3x + 5)$ प्राप्त होता है।
$20x = 12x + 20$।
$8x = 20$।
$x = \frac{20}{8} = 2.5$।
अल्कोहल की मात्रा $4x = 4 \times 2.5 = 10 \text{ लीटर}$ है।

(C) माना $25 \ p$,$10 \ p$ और $5 \ p$ के सिक्कों की संख्या क्रमशः $x$,$2x$ और $3x$ है।
सिक्कों का कुल मूल्य इस प्रकार है:
$(x \times 25) + (2x \times 10) + (3x \times 5) = 3000 \ p$ (चूंकि $Rs. 30 = 3000 \ p$)
$25x + 20x + 15x = 3000$
$60x = 3000$
$x = 3000 / 60 = 50$
$5 \ p$ के सिक्कों की संख्या $3x = 3 \times 50 = 150$ है।

(B) माना कि $C$ का हिस्सा $x$ है।
तब,$B$ का हिस्सा $= \frac{1}{4}x$ होगा।
$A$ का हिस्सा $= \frac{2}{3} \times (\frac{1}{4}x) = \frac{1}{6}x$ होगा।
कुल राशि $Rs. 510$ है,इसलिए:
$\frac{1}{6}x + \frac{1}{4}x + x = 510$.
$6, 4, 1$ का लघुत्तम समापवर्त्य $(LCM)$ $12$ लेने पर:
$\frac{2x + 3x + 12x}{12} = 510$.
$\frac{17x}{12} = 510$.
$17x = 510 \times 12$.
$x = \frac{510 \times 12}{17} = 30 \times 12 = 360$.
अतः,$C$ का हिस्सा $= Rs. 360$ है।
$B$ का हिस्सा $= \frac{1}{4} \times 360 = Rs. 90$ है।
$A$ का हिस्सा $= \frac{2}{3} \times 90 = Rs. 60$ है।
इसलिए,उनके हिस्से $Rs. 60, Rs. 90, Rs. 360$ हैं।

(A) मान लीजिए कि $A, B$ और $C$ के हिस्से क्रमशः $A, B$ और $C$ हैं।
दिया गया है कि $A + B + C = 366$ (समीकरण $1$)।
प्रश्न के अनुसार,$A = \frac{1}{2}(B + C)$,जिसका अर्थ है $2A = B + C$ (समीकरण $2$)।
समीकरण $2$ को समीकरण $1$ में प्रतिस्थापित करने पर: $A + (B + C) = 366 \Rightarrow A + 2A = 366 \Rightarrow 3A = 366 \Rightarrow A = 122$.
अतः,$A$ का हिस्सा $Rs. 122$ है।

(D) मान लीजिए कि $A$ और $B$ की प्रारंभिक आय क्रमशः $4x$ और $7x$ है।
$50\%$ की वृद्धि के बाद,$A$ की नई आय $= 4x \times (1 + 0.50) = 4x \times 1.5 = 6x$ होगी।
$25\%$ की कमी के बाद,$B$ की नई आय $= 7x \times (1 - 0.25) = 7x \times 0.75 = 5.25x$ होगी।
नया अनुपात $6x : 5.25x = 6 : 5.25 = 600 : 525 = 8 : 7$ प्राप्त होता है।
चूंकि $8:7$ का अनुपात $x$ के किसी भी मान के लिए सुसंगत है,इसलिए प्रश्न में कोई वास्तविक मान न दिए जाने के कारण $A$ की आय का सटीक मान निर्धारित नहीं किया जा सकता है।
अतः,आंकड़े अपर्याप्त हैं।

(D) मान लीजिए कि प्रत्येक को $Rs. 25$ कम मिलने के बाद $A, B$ और $C$ के हिस्से $x, 3x$ और $2x$ हैं।
प्रश्न के अनुसार,कुल राशि $Rs. 735$ है।
यदि प्रत्येक को $Rs. 25$ कम मिले होते,तो कुल कमी $3 \times 25 = Rs. 75$ होती।
अतः,नई कुल राशि $735 - 75 = 660$ होगी।
इस प्रकार,$x + 3x + 2x = 660$।
$6x = 660 \Rightarrow x = 110$।
$C$ का हिस्सा $2x + 25$ है।
$x = 110$ रखने पर,हमें प्राप्त होता है $C = 2(110) + 25 = 220 + 25 = Rs. 245$।

(D) माना कि $A$,$B$ और $C$ के हिस्से क्रमशः $(3x + 5)$,$(4x + 10)$ और $(5x + 15)$ हैं।
प्रश्न के अनुसार,इन हिस्सों का योग $Rs. 2430$ है।
$(3x + 5) + (4x + 10) + (5x + 15) = 2430$
$12x + 30 = 2430$
$12x = 2430 - 30$
$12x = 2400$
$x = 200$
अब,$B$ का हिस्सा ज्ञात करें:
$B$ का हिस्सा $= 4x + 10$
$B$ का हिस्सा $= 4(200) + 10$
$B$ का हिस्सा $= 800 + 10 = 810$
अतः,$B$ का हिस्सा $Rs. 810$ है।

(B) इस समस्या को हल करने के लिए हम एलिगेशन (मिश्रण) विधि का उपयोग कर सकते हैं।
मान लीजिए पानी का घनत्व $1$ है।
सोने का घनत्व = $19$।
तांबे का घनत्व = $9$।
आवश्यक मिश्रधातु का घनत्व = $15$।
एलिगेशन नियम का उपयोग करते हुए:
(सोने का घनत्व - औसत घनत्व) : (औसत घनत्व - तांबे का घनत्व)
$= (19 - 15) : (15 - 9)$
$= 4 : 6$
$= 2 : 3$
अतः,इन्हें $2:3$ के अनुपात में मिलाया जाना चाहिए।

(B) मिश्रण का प्रारंभिक आयतन = $15$ लीटर।
अल्कोहल की मात्रा = $15$ का $20 \% = \frac{20}{100} \times 15 = 3$ लीटर।
पानी की मात्रा = $15 - 3 = 12$ लीटर।
जब $3$ लीटर पानी मिलाया जाता है,तो पानी की नई मात्रा = $12 + 3 = 15$ लीटर हो जाती है।
अल्कोहल की मात्रा समान रहती है,अर्थात $3$ लीटर।
नए मिश्रण का कुल आयतन = $3 + 15 = 18$ लीटर।
नए मिश्रण में अल्कोहल का प्रतिशत = $(\frac{\text{अल्कोहल की मात्रा}}{\text{कुल आयतन}}) \times 100 = (\frac{3}{18}) \times 100 = \frac{1}{6} \times 100 = \frac{50}{3} \% = 16 \frac{2}{3} \%$।

(A) मिश्रण का कुल आयतन = $85 \, L$ है।
दूध और पानी का अनुपात $27: 7$ है।
अनुपात के पदों का योग = $27 + 7 = 34$ है।
$1$ इकाई का मान = $\frac{85}{34} \, L = 2.5 \, L$ है।
दूध की प्रारंभिक मात्रा = $27 \times 2.5 = 67.5 \, L$ है।
पानी की प्रारंभिक मात्रा = $7 \times 2.5 = 17.5 \, L$ है।
माना मिश्रण में $x$ लीटर पानी मिलाया जाता है।
दूध और पानी का नया अनुपात $3: 1$ हो जाता है।
अतः,$\frac{67.5}{17.5 + x} = \frac{3}{1}$ है।
$67.5 = 3 \times (17.5 + x)$ है।
$67.5 = 52.5 + 3x$ है।
$3x = 67.5 - 52.5 = 15$ है।
$x = \frac{15}{3} = 5 \, L$ है।
अतः,$5 \, L$ पानी मिलाया जाना चाहिए।

(B) भुजाओं का अनुपात $\frac{1}{2}: \frac{1}{3}: \frac{1}{4}$ दिया गया है।
इस अनुपात को सरल बनाने के लिए,हरों $(2, 3, 4)$ के लघुत्तम समापवर्त्य $(LCM)$ यानी $12$ से प्रत्येक पद को गुणा करें।
अनुपात $= (\frac{1}{2} \times 12) : (\frac{1}{3} \times 12) : (\frac{1}{4} \times 12) = 6 : 4 : 3$.
मान लीजिए भुजाएँ $6x, 4x,$ और $3x$ हैं।
त्रिभुज का परिमाप उसकी भुजाओं का योग होता है: $6x + 4x + 3x = 13x$.
दिया गया है कि परिमाप $104 \, cm$ है,इसलिए $13x = 104$.
$x$ के लिए हल करने पर: $x = \frac{104}{13} = 8$.
सबसे लंबी भुजा सबसे बड़े अनुपात मान के अनुरूप है,जो $6x$ है।
सबसे लंबी भुजा $= 6 \times 8 = 48 \, cm$.

(C) माना लड़कों की संख्या $300$ है और लड़कियों की संख्या $200$ है। कुल छात्र $= 300 + 200 = 500$.
छात्रवृत्ति प्राप्त करने वाले लड़कों की संख्या $= 300$ का $20\% = \frac{20}{100} \times 300 = 60$.
छात्रवृत्ति प्राप्त करने वाली लड़कियों की संख्या $= 200$ का $25\% = \frac{25}{100} \times 200 = 50$.
छात्रवृत्ति प्राप्त करने वाले कुल छात्र $= 60 + 50 = 110$.
छात्रवृत्ति न प्राप्त करने वाले कुल छात्र $= 500 - 110 = 390$.
छात्रवृत्ति न प्राप्त करने वाले छात्रों का प्रतिशत $= \frac{390}{500} \times 100 = 78\%$.

(C) मान लीजिए कि तीनों बर्तनों के आयतन क्रमशः $3x, 4x$ और $5x$ हैं।
पहले बर्तन में,दूध की मात्रा $\frac{4}{5} \times 3x = \frac{12x}{5}$ और पानी की मात्रा $\frac{1}{5} \times 3x = \frac{3x}{5}$ है।
दूसरे बर्तन में,दूध की मात्रा $\frac{3}{4} \times 4x = 3x$ और पानी की मात्रा $\frac{1}{4} \times 4x = x$ है।
तीसरे बर्तन में,दूध की मात्रा $\frac{5}{7} \times 5x = \frac{25x}{7}$ और पानी की मात्रा $\frac{2}{7} \times 5x = \frac{10x}{7}$ है।
चौथे बर्तन में कुल दूध = $\frac{12x}{5} + 3x + \frac{25x}{7} = \frac{84x + 105x + 125x}{35} = \frac{314x}{35}$।
चौथे बर्तन में कुल पानी = $\frac{3x}{5} + x + \frac{10x}{7} = \frac{21x + 35x + 50x}{35} = \frac{106x}{35}$।
दूध और पानी का अनुपात $\frac{314x}{35} : \frac{106x}{35} = 314 : 106 = 157 : 53$ है।

(D) दिया गया है कि $x$,$y$ के वर्ग के व्युत्क्रमानुपाती है,इसलिए हम संबंध को $x = \frac{K}{y^2}$ के रूप में लिख सकते हैं,जहाँ $K$ एक समानुपाती स्थिरांक है।
दिए गए मानों $x = 1$ और $y = 2$ को समीकरण में रखने पर:
$1 = \frac{K}{2^2}$
$1 = \frac{K}{4}$
$K = 4$
अब,हमारे पास विशिष्ट समीकरण $x = \frac{4}{y^2}$ है।
जब $y = 6$ हो,तो $x$ का मान ज्ञात करने के लिए,$y = 6$ को समीकरण में रखने पर:
$x = \frac{4}{6^2}$
$x = \frac{4}{36}$
$x = \frac{1}{9}$

(B) माना कि निश्चित राशि $Rs. x$ है और प्रति इकाई लागत $Rs. y$ है।
प्रश्न के अनुसार:
$540y + x = 1800$ $(i)$
$620y + x = 2040$ (ii)
समीकरण (ii) में से समीकरण $(i)$ को घटाने पर:
$(620y - 540y) + (x - x) = 2040 - 1800$
$80y = 240$
$y = 3$
$y = 3$ को समीकरण $(i)$ में रखने पर:
$540(3) + x = 1800$
$1620 + x = 1800$
$x = 1800 - 1620 = 180$
अतः,निश्चित शुल्क $Rs. 180$ है और प्रति इकाई शुल्क $Rs. 3$ है।
$500$ इकाइयों के लिए,कुल बिल:
$500 \times 3 + 180 = 1500 + 180 = 1680$
इसलिए,$500$ इकाइयों के लिए बिल $Rs. 1680$ होगा।

(C) माना $A$ और $B$ की आय क्रमशः $5x$ और $4x$ है।
माना $A$ और $B$ का व्यय क्रमशः $3y$ और $2y$ है।
हम जानते हैं कि $\text{आय} - \text{व्यय} = \text{बचत}$.
$A$ के लिए: $5x - 3y = 1600$ ---$(1)$
$B$ के लिए: $4x - 2y = 1600$ ---$(2)$
इन समीकरणों को हल करने के लिए,समीकरण $(1)$ को $2$ से और समीकरण $(2)$ को $3$ से गुणा करें:
$10x - 6y = 3200$ ---$(3)$
$12x - 6y = 4800$ ---$(4)$
समीकरण $(4)$ में से $(3)$ को घटाने पर:
$(12x - 10x) = 4800 - 3200$
$2x = 1600$
$x = 800$
अतः,$A$ की आय $= 5x = 5 \times 800 = 4000$ $Rs.$

(C) मिश्रधातु $A$ में,सोने और तांबे का अनुपात $7:2$ है। कुल भाग $7+2=9$ हैं।
मिश्रधातु $B$ में,सोने और तांबे का अनुपात $7:11$ है। कुल भाग $7+11=18$ हैं।
चूंकि मिश्रधातु $A$ और $B$ की समान मात्रा को मिलाया जाता है,इसलिए हमें दोनों मिश्रधातुओं में कुल भागों को समान करना होगा।
कुल भागों को $18$ करने के लिए,मिश्रधातु $A$ के अनुपात को $2$ से गुणा करें:
मिश्रधातु $A = (7 \times 2) : (2 \times 2) = 14:4$।
अब,मिश्रधातु $A$ में $14$ भाग सोना और $4$ भाग तांबा है (कुल $18$ भाग)।
मिश्रधातु $B$ में $7$ भाग सोना और $11$ भाग तांबा है (कुल $18$ भाग)।
जब मिश्रधातु $C$ बनाने के लिए इन्हें मिलाया जाता है,तो कुल सोना $14+7=21$ और कुल तांबा $4+11=15$ होता है।
मिश्रधातु $C$ में सोने और तांबे का अनुपात $21:15$ है।
अनुपात को $3$ से विभाजित करके सरल करने पर,हमें $7:5$ प्राप्त होता है।

(A) माना कि $P$ और $Q$ की वर्तमान आयु क्रमशः $5x$ और $7x$ है।
$6$ वर्ष बाद $P$ की आयु $(5x + 6)$ होगी।
प्रश्न के अनुसार,$Q$ की वर्तमान आयु और $6$ वर्ष बाद $P$ की आयु के बीच का अंतर $2$ है:
$7x - (5x + 6) = 2$
$7x - 5x - 6 = 2$
$2x - 6 = 2$
$2x = 8$
$x = 4$
अब,वर्तमान आयु की गणना करें:
$P$ की वर्तमान आयु $= 5x = 5(4) = 20$ वर्ष।
$Q$ की वर्तमान आयु $= 7x = 7(4) = 28$ वर्ष।
उनकी वर्तमान आयु का कुल योग $20 + 28 = 48$ वर्ष है।

(B) माना पिता की वर्तमान आयु $7x$ और पुत्र की वर्तमान आयु $3x$ है।
दिया गया है कि उनकी आयु का गुणनफल $756$ है,इसलिए:
$7x \times 3x = 756$
$21x^2 = 756$
$x^2 = \frac{756}{21} = 36$
$x = 6$
अतः,वर्तमान आयु:
पिता: $7 \times 6 = 42$ वर्ष
पुत्र: $3 \times 6 = 18$ वर्ष
$6$ वर्ष बाद,उनकी आयु:
पिता: $42 + 6 = 48$ वर्ष
पुत्र: $18 + 6 = 24$ वर्ष
$6$ वर्ष बाद उनकी आयु का अनुपात $48:24 = 2:1$ होगा।

(B) माना कि तीन व्यक्तियों की वर्तमान आयु क्रमशः $4x$,$7x$ और $9x$ वर्ष है।
आठ वर्ष पहले,प्रत्येक व्यक्ति की आयु उनकी वर्तमान आयु से $8$ वर्ष कम थी।
इसलिए,$8$ वर्ष पहले उनकी आयु का योग $(4x - 8) + (7x - 8) + (9x - 8) = 56$ था।
समीकरण को सरल करने पर: $20x - 24 = 56$.
$20x = 56 + 24 = 80$.
$x = 80 / 20 = 4$.
अब,उनकी वर्तमान आयु की गणना करते हैं:
पहला व्यक्ति: $4x = 4 \times 4 = 16$ वर्ष।
दूसरा व्यक्ति: $7x = 7 \times 4 = 28$ वर्ष।
तीसरा व्यक्ति: $9x = 9 \times 4 = 36$ वर्ष।
अतः,उनकी वर्तमान आयु $16, 28, 36$ वर्ष है।

(C) माना पुरुष और उसकी पत्नी की वर्तमान आयु क्रमशः $4x$ और $3x$ है।
$4$ वर्ष बाद,उनकी आयु $(4x + 4)$ और $(3x + 4)$ होगी।
प्रश्न के अनुसार,$4$ वर्ष बाद का अनुपात $9:7$ है:
$\frac{4x + 4}{3x + 4} = \frac{9}{7}$
$7(4x + 4) = 9(3x + 4)$
$28x + 28 = 27x + 36$
$x = 8$
अतः,वर्तमान आयु है: पुरुष $= 4(8) = 32$ वर्ष,पत्नी $= 3(8) = 24$ वर्ष।
माना उनका विवाह $y$ वर्ष पहले हुआ था। उस समय,उनकी आयु $(32 - y)$ और $(24 - y)$ थी।
विवाह के समय अनुपात $5:3$ था:
$\frac{32 - y}{24 - y} = \frac{5}{3}$
$3(32 - y) = 5(24 - y)$
$96 - 3y = 120 - 5y$
$2y = 24$
$y = 12$
अतः,उनका विवाह $12$ वर्ष पहले हुआ था।

(C) माना $A$ और $B$ की वर्तमान आयु क्रमशः $5x$ और $3x$ है।
प्रश्न के अनुसार:
$A$ की $4$ वर्ष पूर्व की आयु $= 5x - 4$
$B$ की $4$ वर्ष बाद की आयु $= 3x + 4$
चूंकि अनुपात $1:1$ है,इसलिए:
$5x - 4 = 3x + 4$
$2x = 8$
$x = 4$
अब,आवश्यक आयु की गणना करते हैं:
$A$ की $4$ वर्ष बाद की आयु $= 5x + 4 = 5(4) + 4 = 24$ वर्ष।
$B$ की $4$ वर्ष पूर्व की आयु $= 3x - 4 = 3(4) - 4 = 8$ वर्ष।
$A$ की $4$ वर्ष बाद की आयु और $B$ की $4$ वर्ष पूर्व की आयु का अनुपात है:
$24 : 8 = 3 : 1$.

(C) मान लीजिए कि माता की वर्तमान आयु $M$ वर्ष है।
व्यक्ति की वर्तमान आयु $\frac{2}{5}M$ है।
$8$ वर्ष बाद,माता की आयु $M + 8$ होगी और व्यक्ति की आयु $\frac{2}{5}M + 8$ होगी।
प्रश्न के अनुसार,$8$ वर्ष बाद,व्यक्ति की आयु उसकी माता की आयु की आधी होगी:
$\frac{2}{5}M + 8 = \frac{1}{2}(M + 8)$
भिन्नों को हटाने के लिए दोनों पक्षों को $10$ से गुणा करने पर:
$4M + 80 = 5(M + 8)$
$4M + 80 = 5M + 40$
$M$ का मान ज्ञात करने के लिए पदों को व्यवस्थित करने पर:
$80 - 40 = 5M - 4M$
$M = 40$
अतः,माता की वर्तमान आयु $40$ वर्ष है।

(D) माना पिता की वर्तमान आयु $f$ और पुत्र की वर्तमान आयु $s$ है।
दी गई जानकारी के अनुसार:
$1$. चार वर्ष पहले: $(f - 4) = 3(s - 4) \Rightarrow f - 4 = 3s - 12 \Rightarrow f - 3s = -8$ ... $(i)$
$2$. चार वर्ष बाद: $(f + 4) + (s + 4) = 64 \Rightarrow f + s + 8 = 64 \Rightarrow f + s = 56$ ... (ii)
समीकरण (ii) से,$s = 56 - f$। इस मान को समीकरण $(i)$ में रखने पर:
$f - 3(56 - f) = -8$
$f - 168 + 3f = -8$
$4f = 160$
$f = 40$
अतः,पिता की वर्तमान आयु $40$ वर्ष है।

(A) रीना की वर्तमान आयु $24$ वर्ष है और उषा की वर्तमान आयु $36$ वर्ष है।
$8$ वर्ष पहले की आयु ज्ञात करने के लिए,हम उनकी वर्तमान आयु में से $8$ घटाते हैं:
$8$ वर्ष पहले उषा की आयु $= 36 - 8 = 28$ वर्ष।
$8$ वर्ष पहले रीना की आयु $= 24 - 8 = 16$ वर्ष।
$8$ वर्ष पहले उषा और रीना की आयु का अनुपात $28:16$ है।
दोनों पदों को $4$ से विभाजित करने पर,हमें $7:4$ प्राप्त होता है।

(B) माना पूर्वी की वर्तमान आयु $x$ वर्ष है।
तब,अनिल की वर्तमान आयु $1.5x = \frac{3}{2}x$ वर्ष है।
$8$ वर्ष बाद,अनिल की आयु $(\frac{3}{2}x + 8)$ होगी और पूर्वी की आयु $(x + 8)$ होगी।
प्रश्न के अनुसार,$8$ वर्ष बाद उनकी आयु का अनुपात $25:18$ है:
$\frac{\frac{3}{2}x + 8}{x + 8} = \frac{25}{18}$
दोनों पक्षों को $18(x + 8)$ से गुणा करने पर:
$18(\frac{3}{2}x + 8) = 25(x + 8)$
$27x + 144 = 25x + 200$
$27x - 25x = 200 - 144$
$2x = 56$
$x = 28$
अतः,पूर्वी की वर्तमान आयु $28$ वर्ष है।

(C) माना मीना और सीमा की आयु क्रमशः $7x$ और $8x$ है।
प्रश्न के अनुसार,उनकी आयु के बीच का अंतर $3 \ yr$ है।
अतः,$8x - 7x = 3$,जिससे $x = 3$ प्राप्त होता है।
उनकी आयु का योग $7x + 8x = 15x$ है।
$x$ का मान रखने पर,हमें $15 \times 3 = 45 \ yr$ प्राप्त होता है।

(A) $7 \text{ वर्ष}$ बाद रेहाना की आयु $85 \text{ वर्ष}$ है।
अतः,रेहाना की वर्तमान आयु $= 85 - 7 = 78 \text{ वर्ष}$.
वसीम,रेहाना से $12 \text{ वर्ष}$ छोटा है,इसलिए वसीम की वर्तमान आयु $= 78 - 12 = 66 \text{ वर्ष}$.
मनोज और वसीम की वर्तमान आयु का अनुपात $3:11$ है।
माना मनोज की आयु $3x$ और वसीम की आयु $11x$ है।
दिया गया है कि $11x = 66$,इसलिए $x = 6$.
मनोज की वर्तमान आयु $= 3 \times 6 = 18 \text{ वर्ष}$.
मनोज के पिता मनोज से $25 \text{ वर्ष}$ बड़े हैं।
अतः,मनोज के पिता की वर्तमान आयु $= 18 + 25 = 43 \text{ वर्ष}$.

(B) माना कि इन्दिरा और लिज़ी की वर्तमान आयु क्रमशः $3x$ और $8x$ वर्ष है।
प्रश्न के अनुसार,$8$ वर्ष बाद इन्दिरा की आयु $20$ वर्ष होगी।
अतः,$3x + 8 = 20$.
$3x = 20 - 8 = 12$.
$x = 4$.
इसलिए,लिज़ी की वर्तमान आयु $8x = 8 \times 4 = 32$ वर्ष है।
$5$ वर्ष पहले लिज़ी की आयु $32 - 5 = 27$ वर्ष थी।

(D) माना सरिता की वर्तमान आयु $s$ वर्ष है।
अतः,कविता की वर्तमान आयु $2s$ वर्ष है।
$8$ वर्ष बाद,सरिता की आयु $(s + 8)$ वर्ष और कविता की आयु $(2s + 8)$ वर्ष होगी।
प्रश्न के अनुसार,$8$ वर्ष बाद उनकी आयु का अनुपात $22:13$ होगा।
इसलिए,$\frac{2s + 8}{s + 8} = \frac{22}{13}$.
तिर्यक गुणा (cross-multiplication) करने पर: $13(2s + 8) = 22(s + 8)$.
$26s + 104 = 22s + 176$.
$26s - 22s = 176 - 104$.
$4s = 72$.
$s = 18$.
अतः,कविता की वर्तमान आयु $2s = 2 \times 18 = 36$ वर्ष है।

(C) माना $10 \ yr$ पहले $A$ और $B$ की आयु क्रमशः $13x$ और $17x$ थी।
उनकी वर्तमान आयु $(13x + 10)$ और $(17x + 10)$ है।
अब से $17 \ yr$ बाद,उनकी आयु $(13x + 10 + 17)$ और $(17x + 10 + 17)$ होगी,जो सरल होकर $(13x + 27)$ और $(17x + 27)$ हो जाती है।
प्रश्न के अनुसार,$17 \ yr$ बाद का अनुपात $10: 11$ है:
$\frac{13x + 27}{17x + 27} = \frac{10}{11}$
$11(13x + 27) = 10(17x + 27)$
$143x + 297 = 170x + 270$
$297 - 270 = 170x - 143x$
$27 = 27x$
$x = 1$
अतः,$B$ की वर्तमान आयु $= 17x + 10 = 17(1) + 10 = 27 \ yr$।

(D) माना कि $10$-पैसे के सिक्कों की संख्या $17k$ है और $25$-पैसे के सिक्कों की संख्या $6k$ है।
$10$-पैसे के सिक्कों का कुल मूल्य $17k \times 0.10 = 1.7k$ रुपये है।
$25$-पैसे के सिक्कों का कुल मूल्य $6k \times 0.25 = 1.5k$ रुपये है।
दिया गया है कि कुल राशि $Rs. 112$ है,इसलिए:
$1.7k + 1.5k = 112$
$3.2k = 112$
$k = \frac{112}{3.2} = 35$
अतः,$10$-पैसे के सिक्कों की संख्या $17 \times 35 = 595$ है।

(C) माना कि पहली मिश्रधातु में तांबे का अंश $\frac{1}{3}$ है और दूसरी मिश्रधातु में $\frac{2}{5}$ है।
अंतिम मिश्रधातु में तांबे का अंश $\frac{3}{8}$ है।
एलिगेशन (Alligation) के नियम का उपयोग करते हुए:
पहली मिश्रधातु के लिए अंतर: $\frac{2}{5} - \frac{3}{8} = \frac{16-15}{40} = \frac{1}{40}$।
दूसरी मिश्रधातु के लिए अंतर: $\frac{3}{8} - \frac{1}{3} = \frac{9-8}{24} = \frac{1}{24}$।
दोनों मिश्रधातुओं का आवश्यक अनुपात $\frac{1}{40} : \frac{1}{24} = 24 : 40 = 3 : 5$ है।
अतः,दोनों मिश्रधातुओं के $3$ और $5$ भाग लिए जाने चाहिए।

(D) $4:1$ के अनुपात वाली $10 \text{ kg}$ की पहली मिश्र धातु में,सोने की मात्रा $\frac{4}{5} \times 10 = 8 \text{ kg}$ और चांदी की मात्रा $\frac{1}{5} \times 10 = 2 \text{ kg}$ है।
$1:3$ के अनुपात वाली $16 \text{ kg}$ की दूसरी मिश्र धातु में,सोने की मात्रा $\frac{1}{4} \times 16 = 4 \text{ kg}$ और चांदी की मात्रा $\frac{3}{4} \times 16 = 12 \text{ kg}$ है।
माना कि मिलाया गया शुद्ध सोना $x \text{ kg}$ है।
नई मिश्र धातु में कुल सोना $= 8 + 4 + x = 12 + x \text{ kg}$।
नई मिश्र धातु में कुल चांदी $= 2 + 12 = 14 \text{ kg}$।
नई मिश्र धातु में सोने और चांदी का अनुपात $3:2$ है,इसलिए $\frac{12 + x}{14} = \frac{3}{2}$।
$2(12 + x) = 3 \times 14 \Rightarrow 24 + 2x = 42 \Rightarrow 2x = 18 \Rightarrow x = 9 \text{ kg}$।
नई मिश्र धातु का कुल वजन $= 10 + 16 + 9 = 35 \text{ kg}$।

(B) दिया गया है: $A = \frac{1}{2}(B + C) \Rightarrow B + C = 2A$.
चूंकि $A + B + C = 5625$,हम $(B + C) = 2A$ प्रतिस्थापित करते हैं: $A + 2A = 5625 \Rightarrow 3A = 5625 \Rightarrow A = 1875$.
यह भी दिया गया है: $B = \frac{1}{4}(A + C) \Rightarrow A + C = 4B$.
चूंकि $A + B + C = 5625$,हम $(A + C) = 4B$ प्रतिस्थापित करते हैं: $4B + B = 5625 \Rightarrow 5B = 5625 \Rightarrow B = 1125$.
$A$ और $B$ के हिस्से का योग $A + B = 1875 + 1125 = 3000$ है।
अतः,$A$ और $B$ का कुल हिस्सा $Rs. 3000$ है।

(D) पहले $8$ महीनों के लिए कुल व्यय $= 8 \times 2310 = 18480$.
अगले $4$ महीनों के लिए कुल व्यय $= 4 \times 1800 = 7200$.
वर्ष के लिए कुल व्यय $= 18480 + 7200 = 25680$.
औसत व्यय $= \frac{25680}{12} = 2140$.
वर्ष के लिए कुल आय $=$ कुल व्यय $-$ ऋण की राशि $= 25680 - 1680 = 24000$.
औसत आय $= \frac{24000}{12} = 2000$.
औसत आय और औसत व्यय का अनुपात $= \frac{2000}{2140} = \frac{100}{107} = 100:107$.

(A) माना प्रारंभिक खर्च $5x$ और प्रारंभिक बचत $3x$ है।
प्रारंभिक आय = खर्च + बचत = $5x + 3x = 8x$.
नया खर्च = $5x + 5x$ का $60\% = 5x + 3x = 8x$.
नई आय = $8x + 8x$ का $25\% = 8x + 2x = 10x$.
नई बचत = नई आय - नया खर्च = $10x - 8x = 2x$.
बचत में कमी = प्रारंभिक बचत - नई बचत = $3x - 2x = x$.
दिया गया है कि कमी $Rs. 3500$ है,इसलिए $x = 3500$.
बढ़ी हुई आय $10x = 10 \times 3500 = Rs. 35000$ है।

(A) माना कि $Rs. 1$,$50 \text{ पैसे}$ और $25 \text{ पैसे}$ के सिक्कों की संख्या क्रमशः $12x$,$10x$ और $7x$ है।
$Rs. 1$ के $12x$ सिक्कों का मूल्य $12x \times 1 = 12x$ रुपये है।
$50 \text{ पैसे}$ के $10x$ सिक्कों का मूल्य $10x \times 0.5 = 5x$ रुपये है।
$25 \text{ पैसे}$ के $7x$ सिक्कों का मूल्य $7x \times 0.25 = 1.75x$ रुपये है।
प्रश्न के अनुसार,कुल मूल्य $Rs. 75$ है:
$12x + 5x + 1.75x = 75$
$18.75x = 75$
$x = \frac{75}{18.75} = 4$
अतः,$25 \text{ पैसे}$ के सिक्कों की संख्या $7x = 7 \times 4 = 28$ है।

(D) माना $H$ घोड़े की कीमत है,$D$ कुत्ते की कीमत है,$O$ बैल की कीमत है,$S$ भेड़ की कीमत है और $G$ बकरी की कीमत है।
दिए गए समीकरण:
$2H = 5D \implies D = \frac{2}{5}H$
$6D = 8O \implies O = \frac{6}{8}D = \frac{3}{4}D$
$10O = 50S \implies S = \frac{10}{50}O = \frac{1}{5}O$
$14S = 9G \implies G = \frac{14}{9}S$
$H$ को $G$ के पदों में प्राप्त करने के लिए मान रखने पर:
$S = \frac{1}{5} \times (\frac{3}{4}D) = \frac{3}{20}D$
$S = \frac{3}{20} \times (\frac{2}{5}H) = \frac{6}{100}H = \frac{3}{50}H$
$G = \frac{14}{9} \times (\frac{3}{50}H) = \frac{14}{150}H = \frac{7}{75}H$
दिया गया है कि $G = 700$,इसलिए $700 = \frac{7}{75}H$
$H = 700 \times \frac{75}{7} = 100 \times 75 = 7500$.
अतः,एक घोड़े की कीमत $Rs. 7500$ है।

(C) माना कि कमी के बाद $A$,$B$ और $C$ के हिस्से क्रमशः $9x$,$13x$ और $8x$ हैं।
प्रश्न के अनुसार,कमी से पहले कुल राशि $Rs. 2186$ थी।
अतः,समीकरण इस प्रकार होगा: $(9x + 26) + (13x + 28) + (8x + 32) = 2186$.
पदों को जोड़ने पर: $30x + 86 = 2186$.
$30x = 2186 - 86$.
$30x = 2100$.
$x = 2100 / 30 = 70$.
$A$ को दी गई राशि $9x + 26$ है।
$x = 70$ रखने पर: $9(70) + 26 = 630 + 26 = 656$.
इस प्रकार,$A$ को दी गई राशि $Rs. 656$ है।

(A) माना कि एक साल पहले मारुति और फिगो की लागत क्रमशः $3x$ और $4x$ थी।
मारुति के लिए वर्तमान और पिछले वर्ष की लागत का अनुपात $5:4$ दिया गया है,इसलिए मारुति की वर्तमान लागत $(PM)$ $= \frac{5}{4} \times 3x = 3.75x$ होगी।
फिगो के लिए वर्तमान और पिछले वर्ष की लागत का अनुपात $3:2$ दिया गया है,इसलिए फिगो की वर्तमान लागत $(PF)$ $= \frac{3}{2} \times 4x = 6x$ होगी।
उनकी वर्तमान लागत का योग $7.8$ लाख है:
$3.75x + 6x = 7.8$
$9.75x = 7.8$
$x = \frac{7.8}{9.75} = 0.8$
एक साल पहले फिगो की लागत $4x = 4 \times 0.8 = 3.2$ लाख थी।

(B) माना कि पिछले वर्ष राम और श्याम का वेतन क्रमशः $3x$ और $5x$ था।
राम के वेतन का अनुपात (पिछले वर्ष : वर्तमान वर्ष) $= 2:3$ है। अतः,राम का वर्तमान वेतन $= 3x \times (3/2) = 4.5x$ है।
श्याम के वेतन का अनुपात (पिछले वर्ष : वर्तमान वर्ष) $= 4:5$ है। अतः,श्याम का वर्तमान वेतन $= 5x \times (5/4) = 6.25x$ है।
वर्तमान वर्ष का कुल वेतन $4.5x + 6.25x = 10.75x$ है।
दिया गया है कि $10.75x = 8600$,इसलिए $x = 8600 / 10.75 = 800$ है।
राम का वर्तमान वेतन $= 4.5 \times 800 = Rs. 3600$ है।

(D) माना प्रत्येक मोमबत्ती की प्रारंभिक ऊंचाई $x$ है और बीता हुआ समय $T$ घंटे है।
पहली मोमबत्ती के जलने की दर $\frac{x}{8}$ प्रति घंटा है।
दूसरी मोमबत्ती के जलने की दर $\frac{x}{6}$ प्रति घंटा है।
$T$ घंटे के बाद,पहली मोमबत्ती की शेष ऊंचाई $x - \frac{Tx}{8} = x(1 - \frac{T}{8})$ है।
दूसरी मोमबत्ती की शेष ऊंचाई $x - \frac{Tx}{6} = x(1 - \frac{T}{6})$ है।
प्रश्न के अनुसार,ऊंचाइयों का अनुपात $2:1$ है:
$\frac{x(1 - T/8)}{x(1 - T/6)} = \frac{2}{1}$
$\frac{1 - T/8}{1 - T/6} = 2$
$1 - \frac{T}{8} = 2(1 - \frac{T}{6})$
$1 - \frac{T}{8} = 2 - \frac{T}{3}$
$T$ के लिए हल करने पर:
$\frac{T}{3} - \frac{T}{8} = 2 - 1$
$\frac{8T - 3T}{24} = 1$
$\frac{5T}{24} = 1$
$T = \frac{24}{5} = 4.8 \text{ घंटे}$.
चूंकि $0.8 \text{ घंटे} = 0.8 \times 60 \text{ मिनट} = 48 \text{ मिनट}$,इसलिए समय $4 \text{ घंटे } 48 \text{ मिनट}$ होगा।

(A) माना राम,श्याम और मोहन की आय क्रमशः $x$,$y$ और $z$ है।
राम की बचत $= (100 - 25) \% \text{ of } x = 75 \% \text{ of } x = \frac{3}{4}x$.
श्याम की बचत $= (100 - 20) \% \text{ of } y = 80 \% \text{ of } y = \frac{4}{5}y$.
मोहन की बचत $= (100 - 50) \% \text{ of } z = 50 \% \text{ of } z = \frac{1}{2}z$.
बचत का अनुपात $9:8:4$ दिया गया है,इसलिए उनकी बचत को क्रमशः $9k$,$8k$ और $4k$ मान लें।
बचत की तुलना करने पर:
$\frac{3}{4}x = 9k \Rightarrow x = 12k$.
$\frac{4}{5}y = 8k \Rightarrow y = 10k$.
$\frac{1}{2}z = 4k \Rightarrow z = 8k$.
कुल आय $Rs. 450$ दी गई है:
$x + y + z = 450 \Rightarrow 12k + 10k + 8k = 450$.
$30k = 450 \Rightarrow k = 15$.
राम की आय $= 12k = 12 \times 15 = Rs. 180$.

(A) दूध की प्रारंभिक मात्रा $= 1000 \, \text{लीटर}$ है।
चरण $1$: $100 \, \text{लीटर}$ दूध निकालकर $100 \, \text{लीटर}$ पानी मिलाने के बाद, शेष दूध $900 \, \text{लीटर}$ है। दूध और पानी का अनुपात $900:100 = 9:1$ है।
चरण $2$: $200 \, \text{लीटर}$ मिश्रण निकालने के बाद, निकाले गए दूध की मात्रा $200 \times (9/10) = 180 \, \text{लीटर}$ है। शेष दूध $= 900 - 180 = 720 \, \text{लीटर}$ है। कुल मिश्रण का आयतन $1000 \, \text{लीटर}$ ही रहता है (क्योंकि $200 \, \text{लीटर}$ पानी मिलाया जाता है)।
चरण $3$: दूध और पानी का नया अनुपात $720:280 = 18:7$ है। कुल भाग $= 18 + 7 = 25$ है।
चरण $4$: $400 \, \text{लीटर}$ मिश्रण निकालने के बाद, निकाले गए दूध की मात्रा $400 \times (18/25) = 16 \times 18 = 288 \, \text{लीटर}$ है।
दूध की अंतिम मात्रा $= 720 - 288 = 432 \, \text{लीटर}$ है।

(B) मान लीजिए कि पृथ्वी पर भूमि का भाग $x$ और जल का भाग $2x$ है। पृथ्वी का कुल क्षेत्रफल $= 3x$ है।
प्रत्येक गोलार्ध (उत्तरी और दक्षिणी) का कुल क्षेत्रफल कुल क्षेत्रफल का आधा यानी $\frac{3x}{2}$ होता है।
उत्तरी गोलार्ध में,भूमि और जल का अनुपात $2:3$ है। कुल भाग $2+3=5$ है।
उत्तरी गोलार्ध में भूमि $= \frac{2}{5} \times \frac{3x}{2} = \frac{3x}{5}$।
उत्तरी गोलार्ध में जल $= \frac{3}{5} \times \frac{3x}{2} = \frac{9x}{10}$।
अब,दक्षिणी गोलार्ध में भूमि और जल की गणना करें:
दक्षिणी गोलार्ध में भूमि $= \text{कुल भूमि} - \text{उत्तरी गोलार्ध में भूमि} = x - \frac{3x}{5} = \frac{2x}{5}$।
दक्षिणी गोलार्ध में जल $= \text{कुल जल} - \text{उत्तरी गोलार्ध में जल} = 2x - \frac{9x}{10} = \frac{11x}{10}$।
दक्षिणी गोलार्ध में भूमि और जल का आवश्यक अनुपात $\frac{2x/5}{11x/10} = \frac{2}{5} \times \frac{10}{11} = \frac{4}{11}$ है,जो कि $4:11$ है।

(A) दिया गया है कि $A, B, C$ की आय का अनुपात $3: 7: 4$ है。
$A$ की आय $= Rs. 2400$.
यहाँ $3$ इकाई $= 2400$, इसलिए $1$ इकाई $= 800$.
$B$ की आय $= 7 \times 800 = Rs. 5600$.
$C$ की आय $= 4 \times 800 = Rs. 3200$.
$A$ का व्यय $= \text{आय} - \text{बचत} = 2400 - 300 = Rs. 2100$.
व्यय का अनुपात $4: 3: 5$ है。
यहाँ $4$ इकाई $= 2100$, इसलिए $1$ इकाई $= 525$.
$B$ का व्यय $= 3 \times 525 = Rs. 1575$.
$C$ का व्यय $= 5 \times 525 = Rs. 2625$.
$B$ की बचत $= B$ की आय $- B$ का व्यय $= 5600 - 1575 = Rs. 4025$.
$C$ की बचत $= C$ की आय $- C$ का व्यय $= 3200 - 2625 = Rs. 575$.

(B) माना वाइन की प्रारंभिक मात्रा $3x$ और पानी की मात्रा $x$ है। मिश्रण का कुल आयतन $4x$ है।
माना $y$ मात्रा में मिश्रण बाहर निकाला जाता है। निकाली गई वाइन $\frac{3}{4}y$ है और निकाला गया पानी $\frac{1}{4}y$ है।
$y$ लीटर पानी मिलाने के बाद,वाइन की नई मात्रा $3x - \frac{3}{4}y$ होगी।
पानी की नई मात्रा $x - \frac{1}{4}y + y = x + \frac{3}{4}y$ होगी।
प्रश्न के अनुसार,नया अनुपात $1:1$ है,इसलिए:
$3x - \frac{3}{4}y = x + \frac{3}{4}y$
$2x = \frac{6}{4}y$
$2x = \frac{3}{2}y$
$y = \frac{4}{3}x$
चूंकि कुल प्रारंभिक आयतन $4x$ है,इसलिए प्रतिस्थापित मिश्रण का भाग $\frac{y}{4x} = \frac{4x/3}{4x} = \frac{1}{3}$ है।

(A) माना वास्तविक मिश्रण का कुल आयतन $V$ लीटर है।
पेट्रोल की मात्रा $= 99 \text{ लीटर}$ है।
वास्तविक मिश्रण में पेट्रोल की सांद्रता $= \frac{99}{V} \times 100 \%$.
नए मिश्रण में,कुल आयतन $(V - 198) \text{ लीटर}$ है।
नए मिश्रण में पेट्रोल की सांद्रता $= \frac{99}{V - 198} \times 100 \%$.
प्रश्न के अनुसार,वास्तविक मिश्रण में सांद्रता नए मिश्रण से $13.33 \%$ (अर्थात $\frac{40}{3} \%$) कम है:
$\frac{99}{V - 198} \times 100 - \frac{99}{V} \times 100 = \frac{40}{3}$.
$100$ से भाग देने पर:
$99 \left( \frac{1}{V - 198} - \frac{1}{V} \right) = \frac{40}{300} = \frac{2}{15}$.
$99 \left( \frac{V - (V - 198)}{V(V - 198)} \right) = \frac{2}{15}$.
$99 \times \frac{198}{V(V - 198)} = \frac{2}{15}$.
$V(V - 198) = 99 \times 99 \times 15 = 147015$.
$V^2 - 198V - 147015 = 0$.
द्विघात समीकरण को हल करने पर,$V = 495$ प्राप्त होता है।
वास्तविक सांद्रता $= \frac{99}{495} \times 100 = \frac{1}{5} \times 100 = 20 \%$.

(A) दिया गया है कि $A:B = 6:5$,इसलिए हम $B = \frac{5}{6}A$ लिख सकते हैं।
दिया गया है कि $B:E = 2:3$,इसलिए हम $E = \frac{3}{2}B = \frac{3}{2} \times \frac{5}{6}A = \frac{5}{4}A$ लिख सकते हैं।
हमें दिया गया है कि $E - A = 3$ है। $E = \frac{5}{4}A$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $\frac{5}{4}A - A = 3$ प्राप्त होता है,जो सरल होकर $\frac{1}{4}A = 3$ हो जाता है,इसलिए $A = 12$ है।
$A = 12$ का उपयोग करके,हम पाते हैं कि $B = \frac{5}{6} \times 12 = 10$ और $E = 15$ है।
हमें दिया गया है कि $F$ की आयु $A$ $(12)$ से कम है लेकिन $B$ $(10)$ से अधिक है। चूँकि सभी आयु पूर्णांक हैं,इसलिए $F$ की आयु $11$ होनी चाहिए।
अतः,$A$ और $F$ की आयु का अनुपात $12:11$ है।