निम्नलिखित श्रेणी का योग 1 + 6 + frac{9(1^2 + | vedclass

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Question

(A) श्रेणी का $n$-वां पद $T_n = \frac{(3 + (n-1) 	imes 3)(1^2 + 2^2 + ... + n^2)}{(2n + 1)}$ द्वारा दिया गया है।वर्गों के योग के सूत्र का उपयोग करते

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(A) श्रेणी का $n$-वां पद $T_n = \frac{(3 + (n-1) 	imes 3)(1^2 + 2^2 + ... + n^2)}{(2n + 1)}$ द्वारा दिया गया है।वर्गों के योग के सूत्र का उपयोग करते हुए,$\sum_{k=1}^n k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$,हमें प्राप्त होता है:$T_n = \frac{3n 	imes \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}}{2n+1} = \frac{n^2(n+1)}{2} = \frac{n^3 + n^2}{2}$.$15$ पदों का योग ज्ञात करने के लिए,हम $S_{15} = \sum_{n=1}^{15} T_n = \frac{1}{2} \sum_{n=1}^{15} (n^3 + n^2)$ की गणना करते हैं।योग के सूत्रों $\sum_{n=1}^N n^3 = [\frac{N(N+1)}{2}]^2$ और $\sum_{n=1}^N n^2 = \frac{N(N+1)(2N+1)}{6}$ का उपयोग करते हुए:$S_{15} = \frac{1}{2} [(\frac{15 	imes 16}{2})^2 + \frac{15 	imes 16 	imes 31}{6}]$$S_{15} = \frac{1}{2} [120^2 + 1240] = \frac{1}{2} [14400 + 1240] = \frac{15640}{2} = 7820$.

निम्नलिखित श्रेणी का योग $1 + 6 + \frac{9(1^2 + 2^2 + 3^2)}{7} + \frac{12(1^2 + 2^2 + 3^2 + 4^2)}{9} + \frac{15(1^2 + 2^2 + ... + 5^2)}{11} + ...$ $15$ पदों तक ज्ञात कीजिए:

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यदि $(b+c), (c+a), (a+b)$ हरात्मक श्रेणी $(H.P.)$ में हैं,तो $a^2, b^2, c^2$ ....... में हैं।

$1$ और $100$ के बीच की सभी प्राकृतिक संख्याओं का योग क्या है जो $3$ के गुणज हैं?

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