श्रेणी frac{1}{1 + sqrt{2}} + frac{1}{sqrt{2} | vedclass

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Question

(C) दी गई श्रेणी $\frac{1}{1 + \sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2} + \sqrt{3}} + \frac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{4}} + \dots$ है।$n$-वाँ पद $T_n = \frac{1}{\sqrt{

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$3$

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(C) दी गई श्रेणी $\frac{1}{1 + \sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2} + \sqrt{3}} + \frac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{4}} + \dots$ है।$n$-वाँ पद $T_n = \frac{1}{\sqrt{n} + \sqrt{n+1}}$ है।हर का परिमेयकरण करने पर:$T_n = \frac{\sqrt{n+1} - \sqrt{n}}{(\sqrt{n+1} + \sqrt{n})(\sqrt{n+1} - \sqrt{n})} = \frac{\sqrt{n+1} - \sqrt{n}}{(n+1) - n} = \sqrt{n+1} - \sqrt{n}$.$15$ पदों का योग $S_{15} = \sum_{n=1}^{15} (\sqrt{n+1} - \sqrt{n})$.योग का विस्तार करने पर:$S_{15} = (\sqrt{2} - \sqrt{1}) + (\sqrt{3} - \sqrt{2}) + (\sqrt{4} - \sqrt{3}) + \dots + (\sqrt{16} - \sqrt{15})$.यह एक टेलीस्कोपिंग श्रेणी है जिसमें मध्यवर्ती पद कट जाते हैं:$S_{15} = -\sqrt{1} + \sqrt{16} = -1 + 4 = 3$.अतः,अभीष्ट योग $3$ है।

श्रेणी $\frac{1}{1 + \sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2} + \sqrt{3}} + \frac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{4}} + \dots$ के $15$ पदों का योग क्या है?

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निम्नलिखित श्रेणी का $n^{th}$ पद ज्ञात कीजिए:
$1, 7, 17, 31, 49, \ldots$

एक अनंत गुणोत्तर श्रेणी का प्रथम पद $x$ है और इसका योग $5$ है। तो:

यदि $1 + \cos \alpha + \cos^2 \alpha + \dots \infty = 2 - \sqrt{2}$ है,तो $\alpha$ $(0 < \alpha < \pi)$ का मान ज्ञात कीजिए।

निम्नलिखित $A.P.$ (समांतर श्रेणी) का $25$ वाँ उभयनिष्ठ पद ज्ञात कीजिए:
$S_1 = 1, 6, 11, .....$
$S_2 = 3, 7, 11, .....$

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