Probability Questions in Hindi

(D) दिया गया है कि $E$ और $F$ स्वतंत्र घटनाएँ हैं,इसलिए $P(E \cap F) = P(E) \cdot P(F)$.
$(a)$ $P(E \cap F^c) = P(E) - P(E \cap F) = P(E) - P(E)P(F) = P(E)(1 - P(F)) = P(E)P(F^c)$. अतः,$E$ और $F^c$ स्वतंत्र हैं।
$(b)$ $P(E^c \cap F^c) = 1 - P(E \cup F) = 1 - [P(E) + P(F) - P(E \cap F)] = 1 - P(E) - P(F) + P(E)P(F) = (1 - P(E))(1 - P(F)) = P(E^c)P(F^c)$. अतः,$E^c$ और $F^c$ स्वतंत्र हैं।
$(c)$ चूँकि $E$ और $F$ स्वतंत्र हैं,$P(E/F) = P(E)$. साथ ही,$E^c$ और $F^c$ स्वतंत्र हैं,इसलिए $P(E^c/F^c) = P(E^c)$. अतः,$P(E/F) + P(E^c/F^c) = P(E) + P(E^c) = 1$.
चूँकि सभी कथन $(a)$,$(b)$,और $(c)$ सही हैं,इसलिए सही विकल्प $(d)$ है।

(A) दिया गया है कि $4\,P(A) = 1 \implies P(A) = \frac{1}{4}$।
दिया गया है कि $10\,P(A \cap B) = 1 \implies P(A \cap B) = \frac{1}{10}$।
प्रतिबंधात्मक प्रायिकता की परिभाषा के अनुसार $P\left( \frac{B}{A} \right) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)}$।
मान रखने पर,हमें प्राप्त होता है $P\left( \frac{B}{A} \right) = \frac{1/10}{1/4} = \frac{1}{10} \times \frac{4}{1} = \frac{4}{10} = \frac{2}{5}$।

(C) मान लीजिए $A$ वह घटना है कि फलक $4$ ऊपर आता है और $B$ वह घटना है कि फलक $5$ ऊपर आता है।
दी गई प्रायिकताएँ $P(A) = 0.25$ और $P(B) = 0.05$ हैं।
चूँकि $A$ और $B$ परस्पर अपवर्जी घटनाएँ हैं,इसलिए फलक $4$ या फलक $5$ के ऊपर आने की प्रायिकता $P(A \cup B) = P(A) + P(B) = 0.25 + 0.05 = 0.30$ है।
हमें वह सप्रतिबंध प्रायिकता ज्ञात करनी है कि फलक $4$ है,यह देखते हुए कि यह या तो $4$ या $5$ है। यह $P(A | A \cup B) = \frac{P(A \cap (A \cup B))}{P(A \cup B)}$ द्वारा दी जाती है।
चूँकि $A \subset (A \cup B)$,इसलिए $A \cap (A \cup B) = A$ है।
अतः,$P(A | A \cup B) = \frac{P(A)}{P(A \cup B)} = \frac{0.25}{0.30} = \frac{25}{30} = \frac{5}{6}$.

(C) मान लीजिए दो बच्चों के लिए प्रतिदर्श समष्टि $S = \{BB, BG, GB, GG\}$ है,जहाँ $B$ का अर्थ लड़का और $G$ का अर्थ लड़की है। कुल परिणामों की संख्या $4$ है।
मान लीजिए $A$ वह घटना है कि कम से कम एक बच्चा लड़का है। अतः $A = \{BB, BG, GB\}$। $A$ में परिणामों की संख्या $3$ है।
मान लीजिए $B$ वह घटना है कि दोनों बच्चे लड़के हैं। अतः $B = \{BB\}$।
हमें सप्रतिबंध प्रायिकता $P(B|A)$ ज्ञात करनी है,जो यह है कि कम से कम एक लड़का होने पर दोनों के लड़के होने की प्रायिकता क्या है।
सप्रतिबंध प्रायिकता के सूत्र का उपयोग करते हुए: $P(B|A) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)}$।
यहाँ,$A \cap B = \{BB\}$,इसलिए $P(A \cap B) = 1/4$।
$P(A) = 3/4$।
अतः,$P(B|A) = \frac{1/4}{3/4} = 1/3$।

(A) जब तीन सिक्के उछाले जाते हैं,तो कुल प्रतिदर्श समष्टि (sample space) $S$ इस प्रकार है:
$S = \{HHH, HHT, HTH, THH, HTT, THT, TTH, TTT\}$,जहाँ $n(S) = 8$ है।
मान लीजिए $F$ वह घटना है जिसमें कम से कम एक सिक्के पर पट (tail) आता है।
$F = \{HHT, HTH, THH, HTT, THT, TTH, TTT\}$,अतः $n(F) = 7$ है।
मान लीजिए $E$ वह घटना है जिसमें तीनों सिक्कों पर पट आता है।
$E = \{TTT\}$ है।
चूंकि $E$,$F$ का उपसमुच्चय है,इसलिए $E \cap F = E = \{TTT\}$,अतः $n(E \cap F) = 1$ है।
प्रतिबंधी प्रायिकता कि तीनों सिक्कों पर पट आए,जबकि कम से कम एक पर पट आया हो,$P(E|F) = \frac{n(E \cap F)}{n(F)} = \frac{1}{7}$ है।

(D) दिया गया है कि $A$ और $B$ स्वतंत्र घटनाएँ हैं,$P(A) = \frac{1}{2}$ और $P(B) = \frac{1}{5}$।
$(a)$ चूँकि $A$ और $B$ स्वतंत्र हैं,$P(A|B) = P(A) = \frac{1}{2}$। अतः,विकल्प $(a)$ सत्य है।
$(b)$ $P(A|A \cup B) = \frac{P(A \cap (A \cup B))}{P(A \cup B)}$।
चूँकि $A \subset (A \cup B)$,इसलिए $A \cap (A \cup B) = A$।
$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A)P(B) = \frac{1}{2} + \frac{1}{5} - \frac{1}{10} = \frac{5+2-1}{10} = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}$।
$P(A|A \cup B) = \frac{1/2}{3/5} = \frac{1}{2} \times \frac{5}{3} = \frac{5}{6}$। अतः,विकल्प $(b)$ सत्य है।
$(c)$ डी मॉर्गन के नियम के अनुसार,$A' \cup B' = (A \cap B)'$।
$P(A \cap B | (A \cap B)') = \frac{P((A \cap B) \cap (A \cap B)')}{P((A \cap B)')} = \frac{P(\phi)}{P((A \cap B)')} = 0$। अतः,विकल्प $(c)$ सत्य है।
चूँकि सभी विकल्प सत्य हैं,इसलिए सही उत्तर $(d)$ है।

(D) दिया गया है $P(A) = \frac{1}{4}$ और $P(A|B) = \frac{1}{4}$।
चूंकि $P(A|B) = P(A)$,इसलिए घटनाएँ $A$ और $B$ स्वतंत्र हैं।
स्वतंत्र घटनाओं के लिए,$P(B|A) = P(B) = \frac{1}{2}$।
अब,प्रत्येक विकल्प की जाँच करें:
$(a)$ चूंकि $P(A|B) = P(A)$,$A$ और $B$ स्वतंत्र हैं। यह सही है।
$(b)$ स्वतंत्र घटनाओं के लिए,$P(A'|B) = P(A') = 1 - P(A) = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$। यह सही है।
$(c)$ स्वतंत्र घटनाओं के लिए,$P(B'|A') = P(B') = 1 - P(B) = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$। यह सही है।
चूंकि सभी कथन सही हैं,इसलिए उत्तर $(d)$ है।

(C) मान लीजिए $A$ वह घटना है कि एक सम फलक ऊपर आता है,और $B$ वह घटना है कि फलक $2$ या $4$ है।
सम फलक $2, 4$ और $6$ हैं।
घटना $A$ की प्रायिकता $P(A) = P(2) + P(4) + P(6) = 0.24 + 0.18 + 0.14 = 0.56$ है।
घटना $B$ यह है कि फलक $2$ या $4$ है। चूंकि $B, A$ का एक उपसमुच्चय है,इसलिए $P(B \cap A) = P(B) = P(2) + P(4) = 0.24 + 0.18 = 0.42$ है।
सप्रतिबंध प्रायिकता (conditional probability) के सूत्र का उपयोग करते हुए,$P(B|A) = \frac{P(B \cap A)}{P(A)} = \frac{0.42}{0.56}$ प्राप्त होता है।
इस भिन्न को सरल करने पर,$P(B|A) = \frac{42}{56} = \frac{3}{4} = 0.75$ प्राप्त होता है।

(C) दिया गया है: $P(A^c) = 0.3 \implies P(A) = 1 - 0.3 = 0.7$.
$P(B) = 0.4 \implies P(B^c) = 1 - 0.4 = 0.6$.
$P(A \cap B^c) = 0.5$.
हम जानते हैं कि $P(A) = P(A \cap B) + P(A \cap B^c)$,इसलिए $P(A \cap B) = P(A) - P(A \cap B^c) = 0.7 - 0.5 = 0.2$.
हमें $P[B / (A \cup B^c)] = \frac{P(B \cap (A \cup B^c))}{P(A \cup B^c)}$ ज्ञात करना है।
अंश: $P(B \cap (A \cup B^c)) = P((B \cap A) \cup (B \cap B^c)) = P(B \cap A) = 0.2$.
हर: $P(A \cup B^c) = P(A) + P(B^c) - P(A \cap B^c) = 0.7 + 0.6 - 0.5 = 0.8$.
अतः,$P[B / (A \cup B^c)] = \frac{0.2}{0.8} = \frac{1}{4}$.

(B) माना $A_1$ वह घटना है कि पत्र $LONDON$ से आया है और $A_2$ वह घटना है कि पत्र $CLIFTON$ से आया है। यह मानते हुए कि किसी भी शहर को चुनने की प्रायिकता समान है,$P(A_1) = P(A_2) = \frac{1}{2}$ है।
$LONDON$ (लंबाई $6$) में,$5$ क्रमिक अक्षरों के जोड़े हैं: $(LO, ON, ND, DO, ON)$। इसमें $ON$ जोड़ों की संख्या $2$ है। अतः,$A_1$ के दिए होने पर $ON$ प्राप्त करने की प्रायिकता $P(E|A_1) = \frac{2}{5}$ है।
$CLIFTON$ (लंबाई $7$) में,$6$ क्रमिक अक्षरों के जोड़े हैं: $(CL, LI, IF, FT, TO, ON)$। इसमें $ON$ जोड़ों की संख्या $1$ है। अतः,$A_2$ के दिए होने पर $ON$ प्राप्त करने की प्रायिकता $P(E|A_2) = \frac{1}{6}$ है।
बेयस प्रमेय का उपयोग करते हुए,यह प्रायिकता कि पत्र $LONDON$ से आया है,यदि $ON$ स्पष्ट है:
$P(A_1|E) = \frac{P(A_1)P(E|A_1)}{P(A_1)P(E|A_1) + P(A_2)P(E|A_2)}$
$P(A_1|E) = \frac{\frac{1}{2} \times \frac{2}{5}}{\frac{1}{2} \times \frac{2}{5} + \frac{1}{2} \times \frac{1}{6}}$
$P(A_1|E) = \frac{\frac{2}{5}}{\frac{2}{5} + \frac{1}{6}} = \frac{\frac{2}{5}}{\frac{12+5}{30}} = \frac{2}{5} \times \frac{30}{17} = \frac{12}{17}$.

(D) दिया गया है कि $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A)P(B)$.
हम जानते हैं कि प्रायिकता का सामान्य योग प्रमेय $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$ है।
इन दोनों की तुलना करने पर,हमें $P(A \cap B) = P(A)P(B)$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है कि घटनाएँ $A$ और $B$ स्वतंत्र हैं।
यदि $A$ और $B$ स्वतंत्र हैं,तो $P(A/B) = P(A)$,इसलिए कथन $(a)$ सही है।
साथ ही,यदि $A$ और $B$ स्वतंत्र हैं,तो उनके पूरक $A^c$ और $B^c$ भी स्वतंत्र होते हैं।
डी मॉर्गन के नियम के अनुसार,$(A \cup B)^c = A^c \cap B^c$ होता है।
इसलिए,$P((A \cup B)^c) = P(A^c \cap B^c) = P(A^c)P(B^c)$ क्योंकि $A^c$ और $B^c$ स्वतंत्र हैं। अतः,कथन $(c)$ भी सही है।
चूंकि $(a)$ और $(c)$ दोनों सही हैं,इसलिए अंतिम उत्तर $(d)$ है।

(A) मान लीजिए $E_1$ वह घटना है कि फलक $1$ आता है और $E_2$ वह घटना है कि फलक $2$ आता है।
दी गई प्रायिकताएं $P(E_1) = 0.1$ और $P(E_2) = 0.32$ हैं।
हमें दिया गया है कि या तो फलक $1$ या फलक $2$ ऊपर आया है। यह एक सप्रतिबंध प्रायिकता का प्रश्न है जहाँ प्रतिदर्श समष्टि ${1, 2}$ तक सीमित है।
अभीष्ट प्रायिकता $P(E_1 | E_1 \cup E_2) = \frac{P(E_1 \cap (E_1 \cup E_2))}{P(E_1 \cup E_2)} = \frac{P(E_1)}{P(E_1) + P(E_2)}$ है।
मान रखने पर: $\frac{0.1}{0.1 + 0.32} = \frac{0.1}{0.42} = \frac{10}{42} = \frac{5}{21}$।

(B) माना $A$ वह घटना है कि एक व्यक्ति के बाल भूरे हैं और $B$ वह घटना है कि एक व्यक्ति की आँखें भूरी हैं।
दिया गया है:
$P(A) = 40/100 = 0.4$
$P(B) = 25/100 = 0.25$
$P(A \cap B) = 15/100 = 0.15$
हमें सशर्त प्रायिकता $P(B|A)$ ज्ञात करनी है,जो कि उस व्यक्ति की आँखें भूरी होने की प्रायिकता है जिसके बाल भूरे हैं।
सशर्त प्रायिकता के सूत्र का उपयोग करते हुए:
$P(B|A) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)}$
$P(B|A) = \frac{0.15}{0.40} = \frac{15}{40} = \frac{3}{8}$
अतः,प्रायिकता $3/8$ है।

(A) माना घटनाएँ इस प्रकार हैं:
$E_1$: थैला $I$ चुना गया ($2$ सफेद,$3$ काली गेंदें)।
$E_2$: थैला $II$ चुना गया ($4$ सफेद,$1$ काली गेंद)।
$E_3$: थैला $III$ चुना गया ($3$ सफेद,$7$ काली गेंदें)।
$A$: निकाली गई गेंद काली है।
चूंकि थैले यादृच्छिक रूप से चुने जाते हैं,$P(E_1) = P(E_2) = P(E_3) = \frac{1}{3}$।
काली गेंद निकालने की सप्रतिबंध प्रायिकताएँ:
$P(A|E_1) = \frac{3}{5}$,$P(A|E_2) = \frac{1}{5}$,$P(A|E_3) = \frac{7}{10}$।
हमें उस प्रायिकता को ज्ञात करना है कि गेंद सबसे अधिक काली गेंदों वाले थैले यानी थैला $III$ से निकाली गई थी। बेयस प्रमेय का उपयोग करते हुए:
$P(E_3|A) = \frac{P(E_3)P(A|E_3)}{P(E_1)P(A|E_1) + P(E_2)P(A|E_2) + P(E_3)P(A|E_3)}$
$P(E_3|A) = \frac{\frac{1}{3} \times \frac{7}{10}}{\frac{1}{3} \times \frac{3}{5} + \frac{1}{3} \times \frac{1}{5} + \frac{1}{3} \times \frac{7}{10}}$
$P(E_3|A) = \frac{\frac{7}{10}}{\frac{3}{5} + \frac{1}{5} + \frac{7}{10}} = \frac{\frac{7}{10}}{\frac{6+2+7}{10}} = \frac{7}{15}$.

(B) मान लीजिए कि घटनाएँ इस प्रकार हैं:
$A_1$: छात्र उत्तर जानता है।
$A_2$: छात्र उत्तर नहीं जानता है (वह अनुमान लगा रहा है)।
$E$: छात्र को सही उत्तर मिलता है।
दिया गया है:
$P(A_1) = 0.9 = \frac{9}{10}$
$P(A_2) = 1 - 0.9 = 0.1 = \frac{1}{10}$
$P(E|A_1) = 1$ (यदि वह उत्तर जानता है,तो वह निश्चित रूप से सही उत्तर देगा)।
$P(E|A_2) = \frac{1}{4}$ (यदि वह अनुमान लगा रहा है,तो सही उत्तर मिलने की प्रायिकता $1/4$ है)।
हमें वह प्रायिकता ज्ञात करनी है कि उसने अनुमान लगाया था,यह देखते हुए कि उसे सही उत्तर मिला है,अर्थात $P(A_2|E)$।
बेयस प्रमेय का उपयोग करते हुए:
$P(A_2|E) = \frac{P(A_2)P(E|A_2)}{P(A_1)P(E|A_1) + P(A_2)P(E|A_2)}$
$P(A_2|E) = \frac{(\frac{1}{10}) \times (\frac{1}{4})}{(\frac{9}{10}) \times (1) + (\frac{1}{10}) \times (\frac{1}{4})}$
$P(A_2|E) = \frac{\frac{1}{40}}{\frac{9}{10} + \frac{1}{40}} = \frac{\frac{1}{40}}{\frac{36+1}{40}} = \frac{1}{37}$.

(A) एक सिक्के को तीन बार उछालने के लिए प्रतिदर्श समष्टि (sample space) $S$ है:
$S = \{HHH, HHT, HTH, THH, HTT, THT, TTH, TTT\}$.
कुल परिणामों की संख्या $n(S) = 8$ है।
घटना $E$ कम से कम दो चित आने की घटना है:
$E = \{HHH, HHT, HTH, THH\}$,इसलिए $n(E) = 4$ है।
घटना $F$ वह घटना है जिसमें पहली उछाल में चित आता है:
$F = \{HHH, HHT, HTH, HTT\}$,इसलिए $n(F) = 4$ है।
सर्वनिष्ठ घटना $E \cap F$ उन परिणामों का समुच्चय है जिनमें कम से कम दो चित हैं और पहली उछाल में चित है:
$E \cap F = \{HHH, HHT, HTH\}$,इसलिए $n(E \cap F) = 3$ है।
प्रतिबंधी प्रायिकता का सूत्र है:
$P\left( \frac{E}{F} \right) = \frac{P(E \cap F)}{P(F)} = \frac{n(E \cap F)}{n(F)} = \frac{3}{4}$.

(A) घटना $B$ के घटित होने पर घटना $A$ की सप्रतिबंध प्रायिकता का सूत्र इस प्रकार है:
$P(A/B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$
दिए गए मान $P(A \cap B) = 0.5$ और $P(B) = 0.6$ हैं।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$P(A/B) = \frac{0.5}{0.6} = \frac{5}{6}$
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(D) हम जानते हैं कि किसी भी घटना $A$ और दी गई घटना $B$ के लिए जहाँ $P(B) > 0$ है,एक घटना और उसके पूरक की सशर्त प्रायिकताओं का योग $1$ होता है,अर्थात $P(A/B) + P(\overline{A}/B) = 1$।
विकल्प $(a)$ के लिए: $P(E/F) + P(\overline{E}/F) = \frac{P(E \cap F)}{P(F)} + \frac{P(\overline{E} \cap F)}{P(F)} = \frac{P(E \cap F) + P(\overline{E} \cap F)}{P(F)}$। चूंकि $(E \cap F)$ और $(\overline{E} \cap F)$ परस्पर अपवर्जी घटनाएं हैं और उनका संघ $F$ है,इसलिए अंश $P(F)$ है। अतः,$P(E/F) + P(\overline{E}/F) = \frac{P(F)}{P(F)} = 1$। इसलिए,$(a)$ सही है।
विकल्प $(c)$ के लिए: इसी प्रकार,$P(E/\overline{F}) + P(\overline{E}/\overline{F}) = \frac{P(E \cap \overline{F}) + P(\overline{E} \cap \overline{F})}{P(\overline{F})} = \frac{P(\overline{F})}{P(\overline{F})} = 1$। इसलिए,$(c)$ सही है।
अतः,$(a)$ और $(c)$ दोनों सही हैं।

(D) दिया गया है $P(B|A) = 1/2$,अतः $P(B \cap A) / P(A) = 1/2$। चूँकि $P(A) = 1/4$,इसलिए $P(B \cap A) = (1/2) \times (1/4) = 1/8$।
दिया गया है $P(A|B) = 1/4$,अतः $P(A \cap B) / P(B) = 1/4$। इस प्रकार,$P(B) = P(A \cap B) / (1/4) = (1/8) / (1/4) = 1/2$।
चूँकि $P(A \cap B) = 1/8$ और $P(A) \times P(B) = (1/4) \times (1/2) = 1/8$,इसलिए $P(A \cap B) = P(A)P(B)$,जिसका अर्थ है कि $A$ और $B$ स्वतंत्र घटनाएँ हैं।
स्वतंत्र घटनाओं के लिए,$P(A'|B) = P(A') = 1 - P(A) = 1 - 1/4 = 3/4$।
साथ ही,$P(B'|A') = P(B') = 1 - P(B) = 1 - 1/2 = 1/2$।
अतः,सभी कथन सही हैं।

(A) माना $E_1$ पहला पत्ता इक्का होने की घटना है और $E_2$ दूसरा पत्ता रंगीन होने की घटना है।
कुल पत्ते = $52$,इक्कों की संख्या = $4$.
$P(E_1) = \frac{4}{52} = \frac{1}{13}$.
पहला पत्ता निकालने के बाद,गड्डी में $51$ पत्ते शेष बचते हैं।
गड्डी में कुल $26$ रंगीन पत्ते होते हैं। यदि निकाला गया पहला इक्का लाल है ($2$ संभावना),तो $25$ रंगीन पत्ते बचेंगे। यदि निकाला गया पहला इक्का काला है ($2$ संभावना),तो $26$ रंगीन पत्ते बचेंगे।
कुल प्रायिकता = $(2/52 \times 25/51) + (2/52 \times 26/51) = (2/52) \times (51/51) = 2/52 = 1/26$.

(A) हमें उस स्थिति की प्रायिकता ज्ञात करनी है जिसमें योग $15$ हो,यह देखते हुए कि पहली बार फेंकने पर $4$ आता है।
मान लीजिए $A$ वह घटना है कि तीनों बार फेंकने पर योग $15$ है,और $B$ वह घटना है कि पहली बार फेंकने पर $4$ आता है।
हमें $P(A|B) = \frac{n(A \cap B)}{n(B)}$ की गणना करनी है।
सबसे पहले,$n(B)$ पर विचार करें: यदि पहली बार फेंकने पर $4$ निश्चित है,तो शेष दो बार फेंकने पर प्रत्येक में $6$ परिणाम आ सकते हैं। अतः,$n(B) = 6 \times 6 = 36$.
इसके बाद,$n(A \cap B)$ पर विचार करें: हमें तीन संख्याओं $(4, x, y)$ का योग $15$ चाहिए,जहाँ $1 \le x, y \le 6$ है। इसका अर्थ है $4 + x + y = 15$,या $x + y = 11$.
$x + y = 11$ को संतुष्ट करने वाले संभावित जोड़े $(x, y)$ $(5, 6)$ और $(6, 5)$ हैं।
अतः,$2$ अनुकूल परिणाम हैं: $(4, 5, 6)$ और $(4, 6, 5)$। इसलिए,$n(A \cap B) = 2$.
प्रतिबंधात्मक प्रायिकता $P(A|B) = \frac{2}{36} = \frac{1}{18}$ है।

(B) कुल टिकटों की संख्या $100$ ($00$ से $99$ तक) है।
माना $Y = 0$ वह घटना है कि अंकों का गुणनफल $0$ है। यह तब होता है जब कम से कम एक अंक $0$ हो। ऐसी टिकटें हैं: $00, 01, 02, 03, 04, 05, 06, 07, 08, 09, 10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90$।
इनकी गणना करने पर,$0$ से शुरू होने वाले $10$ टिकट ($00$ से $09$) और $0$ पर समाप्त होने वाले $9$ टिकट $(10, 20, \dots, 90)$ हैं। ध्यान दें कि $00$ दोनों में गिना गया है,इसलिए कुल अलग टिकटों की संख्या $10 + 9 = 19$ है।
अतः,$P(Y = 0) = \frac{19}{100}$।
अब,माना $X = 9$ वह घटना है कि अंकों का योग $9$ है। हम प्रतिच्छेदन $(X = 9) \cap (Y = 0)$ देखते हैं,जिसका अर्थ है कि अंकों का योग $9$ है और कम से कम एक अंक $0$ है। ऐसी टिकटें केवल $09$ और $90$ हैं।
इसलिए,$P(X = 9 \cap Y = 0) = \frac{2}{100}$।
प्रतिबंधात्मक प्रायिकता $P(X = 9 | Y = 0) = \frac{P(X = 9 \cap Y = 0)}{P(Y = 0)} = \frac{2/100}{19/100} = \frac{2}{19}$।

(A) मान लीजिए $E$ वह घटना है कि $6$ आता है और $E'$ वह घटना है कि $6$ नहीं आता है।
मान लीजिए $A$ वह घटना है कि आदमी बताता है कि यह $6$ है।
हमारे पास $P(E) = \frac{1}{6}$ और $P(E') = 1 - \frac{1}{6} = \frac{5}{6}$ है।
आदमी के सच बोलने की प्रायिकता $P(T) = \frac{3}{4}$ है,इसलिए उसके झूठ बोलने की प्रायिकता $P(L) = 1 - \frac{3}{4} = \frac{1}{4}$ है।
यदि $6$ आता है,तो आदमी सच बोलता है तभी वह $6$ होने की रिपोर्ट करेगा,इसलिए $P(A|E) = \frac{3}{4}$।
यदि $6$ नहीं आता है,तो आदमी झूठ बोलता है तभी वह $6$ होने की रिपोर्ट करेगा,इसलिए $P(A|E') = \frac{1}{4}$।
बेयस प्रमेय का उपयोग करते हुए,यह देखते हुए कि उसने $6$ की रिपोर्ट की है,इसके वास्तव में $6$ होने की प्रायिकता:
$P(E|A) = \frac{P(E) \cdot P(A|E)}{P(E) \cdot P(A|E) + P(E') \cdot P(A|E')}$
$P(E|A) = \frac{\frac{1}{6} \cdot \frac{3}{4}}{\frac{1}{6} \cdot \frac{3}{4} + \frac{5}{6} \cdot \frac{1}{4}}$
$P(E|A) = \frac{\frac{3}{24}}{\frac{3}{24} + \frac{5}{24}} = \frac{3}{8}$.

(D) मान लीजिए $E_1$ वह घटना है कि गेंद थैली $A$ से निकाली गई है,$E_2$ वह घटना है कि गेंद थैली $B$ से निकाली गई है,और $E$ वह घटना है कि निकाली गई गेंद लाल है।
हमें $P(E_2|E)$ ज्ञात करना है।
चूंकि दोनों थैलियों के चुने जाने की प्रायिकता समान है,इसलिए $P(E_1) = P(E_2) = \frac{1}{2}$ है।
थैली $A$ से लाल गेंद निकालने की प्रायिकता $P(E|E_1) = \frac{3}{5}$ है,और थैली $B$ से $P(E|E_2) = \frac{5}{9}$ है।
बेयस प्रमेय के अनुसार:
$P(E_2|E) = \frac{P(E_2) \cdot P(E|E_2)}{P(E_1) \cdot P(E|E_1) + P(E_2) \cdot P(E|E_2)}$
$P(E_2|E) = \frac{\frac{1}{2} \cdot \frac{5}{9}}{\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{5} + \frac{1}{2} \cdot \frac{5}{9}}$
$P(E_2|E) = \frac{\frac{5}{18}}{\frac{3}{10} + \frac{5}{18}} = \frac{\frac{5}{18}}{\frac{27 + 25}{90}} = \frac{5}{18} \cdot \frac{90}{52} = \frac{25}{52}$.

(C) मान लीजिए $A$ थैली $X$ चुनने की घटना है,$B$ थैली $Y$ चुनने की घटना है,और $E$ एक सफेद गेंद निकालने की घटना है।
चूंकि एक थैली यादृच्छिक रूप से चुनी जाती है,इसलिए $P(A) = \frac{1}{2}$ और $P(B) = \frac{1}{2}$ है।
थैली $X$ से सफेद गेंद निकालने की प्रायिकता $P(E|A) = \frac{2}{2+3} = \frac{2}{5}$ है।
थैली $Y$ से सफेद गेंद निकालने की प्रायिकता $P(E|B) = \frac{4}{4+2} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$ है।
कुल प्रायिकता के नियम का उपयोग करते हुए,$P(E) = P(A)P(E|A) + P(B)P(E|B)$.
$P(E) = \left(\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{5}\right) + \left(\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3}\right) = \frac{1}{5} + \frac{1}{3} = \frac{3+5}{15} = \frac{8}{15}$.

(C) यह प्रश्न बेयस प्रमेय (Bayes' theorem) का उपयोग करके हल किया जाता है।
मान लीजिए $E_1$ थैली $A$ को चुनने की घटना है और $E_2$ थैली $B$ को चुनने की घटना है।
चूंकि एक थैली को यादृच्छिक रूप से चुना जाता है,इसलिए $P(E_1) = \frac{1}{2}$ और $P(E_2) = \frac{1}{2}$ है।
मान लीजिए $G$ एक हरी गेंद निकालने की घटना है।
थैली $A$ से हरी गेंद निकालने की प्रायिकता: $P(G|E_1) = \frac{4}{7}$।
थैली $B$ से हरी गेंद निकालने की प्रायिकता: $P(G|E_2) = \frac{3}{7}$।
हमें यह प्रायिकता ज्ञात करनी है कि गेंद थैली $B$ से आई है,यह देखते हुए कि वह हरी है,यानी $P(E_2|G)$।
बेयस प्रमेय का उपयोग करते हुए:
$P(E_2|G) = \frac{P(E_2) \cdot P(G|E_2)}{P(E_1) \cdot P(G|E_1) + P(E_2) \cdot P(G|E_2)}$
$P(E_2|G) = \frac{\frac{1}{2} \times \frac{3}{7}}{(\frac{1}{2} \times \frac{4}{7}) + (\frac{1}{2} \times \frac{3}{7})}$
$P(E_2|G) = \frac{\frac{3}{14}}{\frac{4}{14} + \frac{3}{14}} = \frac{\frac{3}{14}}{\frac{7}{14}} = \frac{3}{7}$।

(D) दिया गया है कि $P(E) \le P(F)$ और $P(E \cap F) > 0$ है।
$P(E) \le P(F)$ यह दर्शाता है कि घटना $E$ की प्रायिकता,घटना $F$ की प्रायिकता से कम या बराबर है,लेकिन इसका अर्थ यह नहीं है कि $E$,$F$ का उपसमुच्चय है $(E \subseteq F)$।
$P(E \cap F) > 0$ यह दर्शाता है कि $E$ और $F$ का सर्वनिष्ठ (intersection) एक रिक्त समुच्चय नहीं है,जिसका अर्थ है कि दोनों घटनाओं में कम से कम एक परिणाम उभयनिष्ठ है।
चूंकि $E$ का $F$ का उपसमुच्चय होना आवश्यक नहीं है,इसलिए $E$ का घटित होना $F$ के घटित होने की गारंटी नहीं देता है। इसी प्रकार,$F$ का $E$ का उपसमुच्चय होना आवश्यक नहीं है,इसलिए $F$ का घटित होना $E$ के घटित होने की गारंटी नहीं देता है।
इसके अतिरिक्त,$E$ का न घटित होना $(\overline{E})$ यह निहित नहीं करता है कि $F$ भी घटित नहीं होगा $(\overline{F})$।
अतः,दिए गए निहितार्थों में से कोई भी सत्य नहीं है।

(B) मान लीजिए कि चार मशीनें $M_1, M_2, F_1, F_2$ हैं,जहाँ $F_1$ और $F_2$ खराब हैं और $M_1, M_2$ सही हैं।
हमें ठीक दो परीक्षणों में दोनों खराब मशीनों की पहचान करनी है।
इसका मतलब है कि पहले परीक्षण में एक खराब मशीन मिलनी चाहिए और दूसरे परीक्षण में भी एक खराब मशीन मिलनी चाहिए।
एक विशिष्ट क्रम में $4$ में से $2$ मशीनें चुनने के कुल तरीके $4 \times 3 = 12$ हैं।
पहले दो परीक्षणों में दोनों खराब मशीनों को चुनने के तरीके $2 \times 1 = 2$ हैं (अर्थात $(F_1, F_2)$ या $(F_2, F_1)$)।
इसलिए,आवश्यक प्रायिकता $\frac{2}{12} = \frac{1}{6}$ है।
वैकल्पिक रूप से,संचय (combinations) का उपयोग करते हुए: $4$ में से $2$ मशीनें चुनने के कुल तरीके $^4C_2 = 6$ हैं। इन जोड़ों में से केवल एक जोड़े में दोनों खराब मशीनें होती हैं। इसलिए,प्रायिकता $\frac{1}{6}$ है।

(A) $12$ व्यक्तियों को एक पंक्ति में व्यवस्थित करने के कुल तरीके $n = 12!$ हैं।
लड़कों और लड़कियों के एकांतर रूप से बैठने के लिए,दो संभावित पैटर्न हैं:
$1$. लड़का-लड़की-लड़का-लड़की-लड़का-लड़की-लड़का-लड़की-लड़का-लड़की-लड़का-लड़की
$2$. लड़की-लड़का-लड़की-लड़का-लड़की-लड़का-लड़की-लड़का-लड़की-लड़का-लड़की-लड़का
प्रत्येक पैटर्न में,$6$ लड़कों को $6!$ तरीकों से और $6$ लड़कियों को $6!$ तरीकों से व्यवस्थित किया जा सकता है।
अतः,अनुकूल तरीकों की कुल संख्या $m = 6! \times 6! + 6! \times 6! = 2 \times (6! \times 6!)$ है।
अपेक्षित प्रायिकता $P = \frac{m}{n} = \frac{2 \times 6! \times 6!}{12!}$ है।
मान की गणना करने पर: $P = \frac{2 \times 720 \times 720}{479001600} = \frac{1036800}{479001600} = \frac{1}{462}$.

(B) $7$ सफेद गेंदों और $3$ काली गेंदों को एक पंक्ति में व्यवस्थित करने के कुल तरीके: $\frac{10!}{7!3!} = \frac{10 \times 9 \times 8}{3 \times 2 \times 1} = 120$ हैं।
यह सुनिश्चित करने के लिए कि कोई भी दो काली गेंदें एक साथ न हों,हम पहले $7$ सफेद गेंदों को एक पंक्ति में व्यवस्थित करते हैं: $W \_ W \_ W \_ W \_ W \_ W \_ W$.
यहाँ $8$ संभावित स्थान हैं (सिरों सहित) जहाँ $3$ काली गेंदें रखी जा सकती हैं: $7$ सफेद गेंदों के बीच $6$ स्थान और $2$ सिरों पर।
इन $8$ स्थानों में से $3$ स्थानों को चुनने के तरीके ${}^8C_3 = \frac{8 \times 7 \times 6}{3 \times 2 \times 1} = 56$ हैं।
अतः,अभीष्ट प्रायिकता = $\frac{56}{120} = \frac{7}{15}$ है।

(D) माना दूसरी घटना की प्रायिकता $p$ है। तब पहली घटना की प्रायिकता $\frac{2}{3}p$ होगी।
चूंकि दो घटनाओं में से एक का घटित होना आवश्यक है और वे परस्पर अपवर्जी (mutually exclusive) हैं,इसलिए उनकी प्रायिकताओं का योग $1$ होना चाहिए।
अतः,$p + \frac{2}{3}p = 1$.
$p$ के लिए हल करने पर: $\frac{5}{3}p = 1 \Rightarrow p = \frac{3}{5}$.
पहली घटना की प्रायिकता $1 - \frac{3}{5} = \frac{2}{5}$ होगी।
दूसरी घटना के पक्ष में ऑड्स उसकी प्रायिकता और उसके पूरक (पहली घटना) की प्रायिकता के अनुपात द्वारा दिए जाते हैं।
पक्ष में ऑड्स = $p : (1 - p) = \frac{3}{5} : \frac{2}{5} = 3 : 2$.

(B) दिया गया है कि $P(A) = 0.5$ और $P(B) = 0.3$ है।
चूँकि $A$ और $B$ परस्पर अपवर्जी (mutually exclusive) घटनाएँ हैं,इसलिए उनके संघ (union) की प्रायिकता $P(A \cup B) = P(A) + P(B) = 0.5 + 0.3 = 0.8$ होगी।
हमें न तो $A$ और न ही $B$ के होने की प्रायिकता ज्ञात करनी है,जो कि $P(\overline{A} \cap \overline{B})$ है।
डी मॉर्गन के नियम के अनुसार,$P(\overline{A} \cap \overline{B}) = P(\overline{A \cup B})$ होता है।
पूरक घटना के नियम का उपयोग करते हुए,$P(\overline{A \cup B}) = 1 - P(A \cup B)$ होता है।
अतः,अभीष्ट प्रायिकता $1 - 0.8 = 0.2$ है।

(C) एक लीप वर्ष में $366$ दिन होते हैं,जो $52$ सप्ताह और $2$ अतिरिक्त दिनों के बराबर होते हैं।
इन $2$ अतिरिक्त दिनों के लिए $7$ संभावित जोड़े इस प्रकार हैं:
$(i)$ (रविवार,सोमवार),$(ii)$ (सोमवार,मंगलवार),$(iii)$ (मंगलवार,बुधवार),$(iv)$ (बुधवार,गुरुवार),$(v)$ (गुरुवार,शुक्रवार),$(vi)$ (शुक्रवार,शनिवार),$(vii)$ (शनिवार,रविवार)।
मान लीजिए $A$ वह घटना है कि लीप वर्ष में $53$ रविवार हैं,और $B$ वह घटना है कि इसमें $53$ सोमवार हैं।
उपरोक्त सूची से,रविवार वाले जोड़े $(i)$ और $(vii)$ हैं,इसलिए $P(A) = \frac{2}{7}$।
सोमवार वाले जोड़े $(i)$ और $(ii)$ हैं,इसलिए $P(B) = \frac{2}{7}$।
रविवार और सोमवार दोनों वाला जोड़ा $(i)$ है,इसलिए $P(A \cap B) = \frac{1}{7}$।
प्रायिकता के योग नियम का उपयोग करते हुए,$A$ या $B$ की प्रायिकता:
$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) = \frac{2}{7} + \frac{2}{7} - \frac{1}{7} = \frac{3}{7}$।

(C) एक पासा फेंकने पर प्रतिदर्श समष्टि $S = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ है,इसलिए कुल परिणामों की संख्या $n(S) = 6$ है।
घटना $A$ वह घटना है कि प्राप्त संख्या $3$ से बड़ी है,इसलिए $A = \{4, 5, 6\}$। अतः,$n(A) = 3$ और $P(A) = 3/6$।
घटना $B$ वह घटना है कि प्राप्त संख्या $5$ से छोटी है,इसलिए $B = \{1, 2, 3, 4\}$। अतः,$n(B) = 4$ और $P(B) = 4/6$।
सर्वनिष्ठ $A \cap B$ उन परिणामों का समुच्चय है जो $A$ और $B$ दोनों में सामान्य हैं,इसलिए $A \cap B = \{4\}$। अतः,$n(A \cap B) = 1$ और $P(A \cap B) = 1/6$।
प्रायिकता के योग प्रमेय का उपयोग करते हुए,$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$।
मान रखने पर,$P(A \cup B) = 3/6 + 4/6 - 1/6 = 6/6 = 1$।

(C) $1, 2, 3, 4, 5$ अंकों को व्यवस्थित करने के कुल तरीके $5! = 120$ हैं।
किसी संख्या के $4$ से विभाज्य होने के लिए,उसके अंतिम दो अंकों से बनी संख्या $4$ से विभाज्य होनी चाहिए।
समुच्चय ${1, 2, 3, 4, 5}$ से बनी दो अंकों की संख्याएँ जो $4$ से विभाज्य हैं,वे $12, 24, 32,$ और $52$ हैं।
इन $4$ जोड़ों में से प्रत्येक के लिए,शेष $3$ अंकों को पहले $3$ स्थानों पर $3! = 6$ तरीकों से व्यवस्थित किया जा सकता है।
इसलिए,अनुकूल परिणामों की संख्या $4 \times 3! = 4 \times 6 = 24$ है।
प्रायिकता = $\frac{\text{अनुकूल परिणाम}}{\text{कुल परिणाम}} = \frac{24}{120} = \frac{1}{5}$.

(A) अनुकूल परिणामों की संख्या $1$ है (जिसमें $2$ अंक आता है)।
जब एक पासा फेंका जाता है तो कुल संभावित परिणामों की संख्या $6$ होती है (पासे के फलक ${1, 2, 3, 4, 5, 6}$)।
इसलिए,$2$ आने की प्रायिकता अनुकूल परिणामों और कुल परिणामों का अनुपात है:
$P(2) = \frac{\text{अनुकूल परिणामों की संख्या}}{\text{कुल संभावित परिणामों की संख्या}} = \frac{1}{6}$.

(C) $52$ पत्तों की गड्डी में इक्कों की कुल संख्या $= 4$ है।
एक बार पत्ता निकालने पर इक्का प्राप्त करने की प्रायिकता $P(A) = \frac{4}{52} = \frac{1}{13}$ है।
चूंकि पहला पत्ता दूसरे पत्ते को निकालने से पहले वापस रख दिया जाता है,इसलिए ये घटनाएं स्वतंत्र हैं।
अतः,दोनों पत्तों के इक्का होने की प्रायिकता $P(A) \times P(A) = \frac{4}{52} \times \frac{4}{52}$ होगी।

(B) ताश की गड्डी में कुल $52$ पत्ते होते हैं,जिनमें से $4$ पत्ते इक्के होते हैं।
पहला इक्का निकालने की प्रायिकता $P(A_1) = \frac{4}{52}$ है।
चूंकि पहला पत्ता वापस नहीं रखा जाता है,इसलिए अब गड्डी में $51$ पत्ते शेष बचते हैं,जिनमें से केवल $3$ पत्ते इक्के हैं।
यह देखते हुए कि पहला पत्ता इक्का था,दूसरे पत्ते के इक्का होने की प्रायिकता $P(A_2|A_1) = \frac{3}{51}$ है।
दोनों पत्तों के इक्के होने की कुल प्रायिकता $P(A_1 \cap A_2) = P(A_1) \times P(A_2|A_1) = \frac{4}{52} \times \frac{3}{51}$ है।

(A) लाल गेंदों की कुल संख्या $= 6$.
बक्से में गेंदों की कुल संख्या $= 6 + 4 + 5 = 15$.
लाल गेंद निकालने की प्रायिकता,लाल गेंदों की संख्या और गेंदों की कुल संख्या का अनुपात होती है।
प्रायिकता $= \frac{\text{लाल गेंदों की संख्या}}{\text{गेंदों की कुल संख्या}} = \frac{6}{15}$.
अंश और हर को $3$ से विभाजित करने पर,हमें $\frac{2}{5}$ प्राप्त होता है।

(D) एक निष्पक्ष पासे को एक बार उछालने पर $4$ न आने की प्रायिकता $\frac{5}{6}$ है।
दो बार पासे को उछालने पर एक भी बार $4$ न आने की प्रायिकता $\frac{5}{6} \times \frac{5}{6} = \frac{25}{36}$ है।
कम से कम एक बार $4$ आने की प्रायिकता $1 - P(\text{दो बार उछालने पर एक भी बार } 4 \text{ न आना})$ द्वारा दी जाती है।
अतः, अभीष्ट प्रायिकता $1 - \frac{25}{36} = \frac{11}{36}$ है।

(A) मान लीजिए $E_1$ पहले थैले से सफेद गेंद निकालने की घटना है और $E_2$ दूसरे थैले से सफेद गेंद निकालने की घटना है।
पहले थैले में $4$ सफेद गेंदें और $2$ काली गेंदें हैं,इसलिए गेंदों की कुल संख्या $4 + 2 = 6$ है।
पहले थैले से सफेद गेंद निकालने की प्रायिकता $P(E_1) = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$ है।
दूसरे थैले में $3$ सफेद गेंदें और $5$ काली गेंदें हैं,इसलिए गेंदों की कुल संख्या $3 + 5 = 8$ है।
दूसरे थैले से सफेद गेंद निकालने की प्रायिकता $P(E_2) = \frac{3}{8}$ है।
चूंकि ये घटनाएं स्वतंत्र हैं,इसलिए दोनों गेंदों के सफेद होने की प्रायिकता $P(E_1 \cap E_2) = P(E_1) \times P(E_2)$ होगी।
$P(E_1 \cap E_2) = \frac{2}{3} \times \frac{3}{8} = \frac{6}{24} = \frac{1}{4}$.

(C) जब एक पासा फेंका जाता है,तो कुल संभावित परिणाम $S = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ होते हैं।
कुल परिणामों की संख्या $n(S) = 6$ है।
पासे पर सम संख्याएँ $E = \{2, 4, 6\}$ हैं।
अनुकूल परिणामों की संख्या $n(E) = 3$ है।
सम संख्या प्राप्त करने की प्रायिकता $P(E) = \frac{n(E)}{n(S)} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$ है।

(A) जब दो सिक्के उछाले जाते हैं,तो कुल प्रतिदर्श समष्टि (sample space) $S$ इस प्रकार है: $S = \{HH, HT, TH, TT\}$.
कुल संभावित परिणामों की संख्या $n(S) = 4$ है।
दो चित प्राप्त करने की घटना $E = \{HH\}$ है।
अनुकूल परिणामों की संख्या $n(E) = 1$ है।
प्रायिकता $P(E)$ का सूत्र है: $P(E) = \frac{n(E)}{n(S)}$.
अतः,$P(E) = \frac{1}{4}$।

(A) पासा फेंकने के लिए प्रतिदर्श समष्टि ${1, 2, 3, 4, 5, 6}$ है। विषम संख्याएँ ${1, 3, 5}$ हैं।
पासे पर विषम संख्या प्राप्त करने की प्रायिकता $P(A) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$ है।
सिक्का उछालने के लिए प्रतिदर्श समष्टि ${H, T}$ है। चित (Head) प्राप्त करने की प्रायिकता $P(B) = \frac{1}{2}$ है।
चूंकि ये स्वतंत्र घटनाएँ हैं,इसलिए अभीष्ट प्रायिकता $P(A \cap B) = P(A) \times P(B) = \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$ है।

(A) ताश की एक मानक गड्डी में कुल पत्तों की संख्या $52$ होती है।
ताश की गड्डी में ईंट (diamond) के $3$ नंबर का केवल एक ही पत्ता होता है।
इसलिए,अभीष्ट प्रायिकता अनुकूल परिणामों की संख्या और कुल संभावित परिणामों की संख्या का अनुपात है।
प्रायिकता $= \frac{\text{अनुकूल परिणामों की संख्या}}{\text{कुल परिणामों की संख्या}} = \frac{1}{52}$.

(D) ताश की एक मानक गड्डी में $52$ पत्ते होते हैं,जिनमें से $13$ हुकुम (spades) के होते हैं।
एक प्रयास में हुकुम का पत्ता निकालने की प्रायिकता $P(S) = \frac{13}{52} = \frac{1}{4}$ है।
एक प्रयास में हुकुम का पत्ता न निकालने की प्रायिकता $P(S') = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$ है।
चूंकि प्रत्येक बार पत्ता वापस रख दिया जाता है और गड्डी को फेंटा जाता है,इसलिए ये घटनाएं स्वतंत्र हैं।
पहले प्रयास में असफल होने (हुकुम का पत्ता न निकालने) की प्रायिकता $\frac{3}{4}$ है।
दूसरे प्रयास में असफल होने की प्रायिकता भी $\frac{3}{4}$ है।
अतः,पहले दो प्रयासों में असफल होने की प्रायिकता $\frac{3}{4} \times \frac{3}{4} = \frac{9}{16}$ है।

(B) माना $A$ वह घटना है कि $A$ सच बोलता है और $B$ वह घटना है कि $B$ सच बोलता है।
दी गई प्रायिकताएँ $P(A) = 0.6$ और $P(B) = 0.7$ हैं।
अतः,$A$ के झूठ बोलने की प्रायिकता $P(A') = 1 - 0.6 = 0.4$ है।
$B$ के झूठ बोलने की प्रायिकता $P(B') = 1 - 0.7 = 0.3$ है।
वे एक ही बात तब कहेंगे यदि दोनों सच बोलें या दोनों झूठ बोलें।
एक ही बात कहने की प्रायिकता $= P(A) \times P(B) + P(A') \times P(B')$.
$= (0.6 \times 0.7) + (0.4 \times 0.3)$.
$= 0.42 + 0.12 = 0.54$.

(C) कुल गेंदों की संख्या $= 2 + 3 + 4 = 9$ है।
$9$ गेंदों में से $3$ गेंदें निकालने के कुल तरीके ${}^{9}C_{3} = \frac{9 \times 8 \times 7}{3 \times 2 \times 1} = 84$ हैं।
चूंकि लाल गेंदों की संख्या केवल $2$ है,इसलिए $3$ लाल गेंदें निकालना संभव नहीं है।
$3$ काली गेंदों में से $3$ काली गेंदें निकालने के तरीके ${}^{3}C_{3} = 1$ हैं।
$4$ सफेद गेंदों में से $3$ सफेद गेंदें निकालने के तरीके ${}^{4}C_{3} = \frac{4 \times 3 \times 2}{3 \times 2 \times 1} = 4$ हैं।
अतः,तीनों गेंदों के एक ही रंग के होने की प्रायिकता:
$P = \frac{{}^{3}C_{3} + {}^{4}C_{3}}{{}^{9}C_{3}} = \frac{1 + 4}{84} = \frac{5}{84}$.

(C) जब दो छह-पक्षीय पासे फेंके जाते हैं,तो कुल संभावित परिणामों की संख्या $6^2 = 36$ होती है।
संभावित योग $2$ से $12$ के बीच होता है।
$2$ और $12$ के बीच अभाज्य संख्याएँ $\{2, 3, 5, 7, 11\}$ हैं।
प्रत्येक अभाज्य योग के लिए अनुकूल परिणाम इस प्रकार हैं:
- योग $= 2$: $(1, 1)$ [$1$ परिणाम]
- योग $= 3$: $(1, 2), (2, 1)$ [$2$ परिणाम]
- योग $= 5$: $(1, 4), (4, 1), (2, 3), (3, 2)$ [$4$ परिणाम]
- योग $= 7$: $(1, 6), (6, 1), (2, 5), (5, 2), (3, 4), (4, 3)$ [$6$ परिणाम]
- योग $= 11$: $(5, 6), (6, 5)$ [$2$ परिणाम]
कुल अनुकूल परिणामों की संख्या $= 1 + 2 + 4 + 6 + 2 = 15$.
प्रायिकता $= \frac{\text{अनुकूल परिणामों की संख्या}}{\text{कुल परिणामों की संख्या}} = \frac{15}{36} = \frac{5}{12}$.

(D) दो सिक्कों को उछालने के लिए प्रतिदर्श समष्टि $S = \{TT, HT, TH, HH\}$ है।
कुल संभावित परिणामों की संख्या $n(S) = 4$ है।
हमें कम से कम एक चित और एक पट प्राप्त होने की प्रायिकता ज्ञात करनी है।
अनुकूल परिणाम $\{HT, TH\}$ हैं।
अनुकूल परिणामों की संख्या $n(E) = 2$ है।
प्रायिकता $P(E)$ का सूत्र $P(E) = \frac{n(E)}{n(S)}$ है।
अतः,$P(E) = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$.