Probability Questions in Hindi

(D) कुल घोड़ों की संख्या = $5$ है।
$Mr. A$ द्वारा चुने गए घोड़ों की संख्या = $2$ है।
$5$ में से $2$ घोड़ों को चुनने के कुल तरीके $^5C_2 = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10$ हैं।
केवल $1$ ही विजेता घोड़ा है।
$2$ घोड़ों को इस प्रकार चुनने के तरीके कि विजेता घोड़ा शामिल न हो,$4$ हारने वाले घोड़ों में से $2$ घोड़ों को चुनने के तरीके हैं,जो $^4C_2 = \frac{4 \times 3}{2 \times 1} = 6$ हैं।
विजेता घोड़े के न चुने जाने की प्रायिकता = $\frac{6}{10} = \frac{3}{5}$ है।
अतः,विजेता घोड़े के चुने जाने की प्रायिकता = $1 - \frac{3}{5} = \frac{2}{5}$ है।

(C) मान लीजिए $P(X)$ वह प्रायिकता है कि $X$ सच बोलता है और $P(Y)$ वह प्रायिकता है कि $Y$ सच बोलता है।
दिया गया है: $P(X) = 60\% = \frac{60}{100} = \frac{3}{5}$ और $P(Y) = 50\% = \frac{50}{100} = \frac{1}{2}$.
$X$ और $Y$ एक-दूसरे का खंडन तब करते हैं जब एक सच बोलता है और दूसरा झूठ बोलता है।
यह दो तरीकों से हो सकता है: ($X$ सच बोलता है और $Y$ झूठ बोलता है) या ($X$ झूठ बोलता है और $Y$ सच बोलता है)।
अभीष्ट प्रायिकता $= P(X) \cdot P(\bar{Y}) + P(\bar{X}) \cdot P(Y)$.
यहाँ,$P(\bar{X}) = 1 - P(X) = 1 - \frac{3}{5} = \frac{2}{5}$ और $P(\bar{Y}) = 1 - P(Y) = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$.
अभीष्ट प्रायिकता $= (\frac{3}{5} \cdot \frac{1}{2}) + (\frac{2}{5} \cdot \frac{1}{2}) = \frac{3}{10} + \frac{2}{10} = \frac{5}{10} = \frac{1}{2}$.

(C) माना $P(A)$ वह प्रायिकता है कि $A$ सच बोलता है और $P(B)$ वह प्रायिकता है कि $B$ सच बोलता है।
दिया गया है: $P(A) = \frac{4}{5}$ और $P(B) = \frac{3}{4}$.
$A$ के झूठ बोलने की प्रायिकता $P(\bar{A}) = 1 - P(A) = 1 - \frac{4}{5} = \frac{1}{5}$ है।
$B$ के झूठ बोलने की प्रायिकता $P(\bar{B}) = 1 - P(B) = 1 - \frac{3}{4} = \frac{1}{4}$ है।
वे एक-दूसरे का खंडन तब करते हैं यदि $A$ सच बोलता है और $B$ झूठ बोलता है,या $A$ झूठ बोलता है और $B$ सच बोलता है।
अभीष्ट प्रायिकता $= P(A) \cdot P(\bar{B}) + P(\bar{A}) \cdot P(B)$
$= (\frac{4}{5} \cdot \frac{1}{4}) + (\frac{1}{5} \cdot \frac{3}{4})$
$= \frac{4}{20} + \frac{3}{20} = \frac{7}{20}$.

(A) तीन पासों को फेंकने पर कुल परिणामों की संख्या $n(S) = 6 \times 6 \times 6 = 216$ है।
योग $16$ प्राप्त करने के लिए संभावित परिणाम $(x, y, z)$ इस प्रकार हैं:
$(6, 6, 4), (6, 4, 6), (4, 6, 6), (6, 5, 5), (5, 6, 5), (5, 5, 6)$.
अनुकूल परिणामों की संख्या $n(E) = 6$ है।
अतः,अभीष्ट प्रायिकता $P(E) = \frac{n(E)}{n(S)} = \frac{6}{216} = \frac{1}{36}$ है।

(D) माना $A$ उन संख्याओं का समुच्चय है जो $6$ से विभाज्य हैं और $B$ उन संख्याओं का समुच्चय है जो $8$ से विभाज्य हैं,$1$ से $90$ की सीमा में।
कुल संख्याएँ $n(S) = 90$ हैं।
$6$ से विभाज्य संख्याओं की संख्या $n(A) = \lfloor \frac{90}{6} \rfloor = 15$ है।
$8$ से विभाज्य संख्याओं की संख्या $n(B) = \lfloor \frac{90}{8} \rfloor = 11$ है।
$6$ और $8$ दोनों से विभाज्य संख्याएँ $\text{lcm}(6, 8) = 24$ से विभाज्य होंगी।
$24$ से विभाज्य संख्याओं की संख्या $n(A \cap B) = \lfloor \frac{90}{24} \rfloor = 3$ है।
समावेशन-अपवर्जन सिद्धांत का उपयोग करते हुए,$6$ या $8$ से विभाज्य संख्याओं की कुल संख्या $n(A \cup B) = n(A) + n(B) - n(A \cap B) = 15 + 11 - 3 = 23$ है।
अतः,प्रायिकता $P(A \cup B) = \frac{n(A \cup B)}{n(S)} = \frac{23}{90}$ है।

(A) मान लीजिए $A$ वह घटना है कि पहला छात्र समस्या को हल करता है,इसलिए $P(A) = \frac{1}{2}$ है।
मान लीजिए $B$ वह घटना है कि दूसरा छात्र समस्या को हल करता है,इसलिए $P(B) = \frac{1}{3}$ है।
समस्या तब हल होती है यदि कम से कम एक छात्र इसे हल कर ले।
दोनों छात्रों द्वारा समस्या के हल न होने की प्रायिकता $P(A^c) \times P(B^c) = (1 - \frac{1}{2}) \times (1 - \frac{1}{3}) = \frac{1}{2} \times \frac{2}{3} = \frac{1}{3}$ है।
अतः,समस्या के हल होने की प्रायिकता $1 - P(\text{हल न होने}) = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$ है।

(D) यहाँ $3$ घर उपलब्ध हैं और $3$ व्यक्ति उनके लिए आवेदन कर रहे हैं।
प्रत्येक व्यक्ति के पास घर चुनने के लिए $3$ विकल्प हैं।
चूँकि प्रत्येक व्यक्ति स्वतंत्र रूप से आवेदन करता है,इसलिए $3$ व्यक्तियों द्वारा $3$ घरों के लिए आवेदन करने के कुल तरीके $3 \times 3 \times 3 = 27$ हैं।
तीनों व्यक्तियों के एक ही घर के लिए आवेदन करने के लिए,वे या तो तीनों पहले घर को चुनें,या तीनों दूसरे घर को चुनें,या तीनों तीसरे घर को चुनें।
ऐसे $3$ अनुकूल परिणाम हैं।
अतः,इस बात की प्रायिकता कि तीनों व्यक्ति एक ही घर के लिए आवेदन करें,$\frac{3}{27} = \frac{1}{9}$ है।

(B) मान लीजिए कि एक फेंक में $1$ प्राप्त करने की प्रायिकता $p = \frac{1}{6}$ है।
अतः,$1$ न प्राप्त करने की प्रायिकता $q = 1 - \frac{1}{6} = \frac{5}{6}$ है।
सम संख्या के फेंक में $1$ प्राप्त करने की घटना का अर्थ है कि $1$ दूसरे,चौथे,छठे,$\dots$ फेंक पर प्राप्त हो।
यह प्रायिकताओं का योग है: $q \cdot p + q^3 \cdot p + q^5 \cdot p + \dots$
यह एक अनंत गुणोत्तर श्रेणी है जिसका प्रथम पद $a = qp = \frac{5}{6} \cdot \frac{1}{6} = \frac{5}{36}$ और सार्व अनुपात $r = q^2 = (\frac{5}{6})^2 = \frac{25}{36}$ है।
अनंत गुणोत्तर श्रेणी का योग $S = \frac{a}{1 - r}$ सूत्र द्वारा प्राप्त होता है।
$S = \frac{5/36}{1 - 25/36} = \frac{5/36}{11/36} = \frac{5}{11}$.

(D) दिया गया है कि $A$ और $B$ स्वतंत्र घटनाएँ हैं,इसलिए न तो $A$ और न ही $B$ के होने की प्रायिकता $P(\bar{A} \cap \bar{B})$ द्वारा दी जाती है।
चूँकि $A$ और $B$ स्वतंत्र हैं,इसलिए उनके पूरक $\bar{A}$ और $\bar{B}$ भी स्वतंत्र होंगे।
अतः,$P(\bar{A} \cap \bar{B}) = P(\bar{A}) \times P(\bar{B})$.
हम जानते हैं कि $P(\bar{A}) = 1 - P(A) = 1 - 1/2 = 1/2$.
इसी प्रकार,$P(\bar{B}) = 1 - P(B) = 1 - 1/3 = 2/3$.
अतः,$P(\bar{A} \cap \bar{B}) = (1/2) \times (2/3) = 1/3$.

(NONE) यह परिपथ बिंदु $A$ और $B$ के बीच जुड़ी दो समानांतर शाखाओं से बना है।
$1$. ऊपरी शाखा में श्रेणीक्रम में दो स्विच $a$ और $b$ हैं। इस शाखा से धारा तभी प्रवाहित होगी जब दोनों स्विच $a$ और $b$ बंद हों।
चूंकि प्रत्येक स्विच के बंद होने की प्रायिकता $p$ है,इसलिए ऊपरी शाखा के बंद होने की प्रायिकता $P(\text{upper}) = p \cdot p = p^2$ है।
$2$. निचली शाखा में एक स्विच $c$ है। यदि स्विच $c$ बंद है तो इस शाखा से धारा प्रवाहित होगी।
निचली शाखा के बंद होने की प्रायिकता $P(\text{lower}) = p$ है।
$3$. यदि ऊपरी शाखा बंद हो या निचली शाखा बंद हो,तो $A$ से $B$ तक धारा प्रवाहित होगी।
प्रायिकता के लिए समावेशन-अपवर्जन सिद्धांत (Inclusion-Exclusion Principle) का उपयोग करते हुए: $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$.
यहाँ,$P(\text{upper} \cup \text{lower}) = P(\text{upper}) + P(\text{lower}) - P(\text{upper} \cap \text{lower})$.
$P(\text{upper} \cap \text{lower}) = p^2 \cdot p = p^3$.
अतः,अभीष्ट प्रायिकता $p^2 + p - p^3$ है।

(C) $52$ पत्तों में से $2$ पत्ते निकालने के कुल तरीके $^{52}C_2$ हैं।
$13$ हुकुम के पत्तों में से $2$ हुकुम के पत्ते निकालने के तरीके $^{13}C_2$ हैं।
अभीष्ट प्रायिकता $P = \frac{^{13}C_2}{^{52}C_2}$ है।
संयोजनों की गणना करने पर: $^{13}C_2 = \frac{13 \times 12}{2 \times 1} = 78$ और $^{52}C_2 = \frac{52 \times 51}{2 \times 1} = 1326$.
अतः,$P = \frac{78}{1326} = \frac{1}{17}$.

(C) ताश की गड्डी में कुल $52$ पत्ते होते हैं।
गड्डी में $26$ लाल पत्ते और $26$ काले पत्ते होते हैं।
हमें एक साथ $6$ पत्ते निकालने हैं,जिसे $^{52}C_6$ तरीकों से किया जा सकता है।
$26$ लाल पत्तों में से $3$ लाल पत्ते चुनने के तरीके $^{26}C_3$ हैं।
$26$ काले पत्तों में से $3$ काले पत्ते चुनने के तरीके $^{26}C_3$ हैं।
इसलिए,अनुकूल परिणामों की संख्या $^{26}C_3 \times ^{26}C_3$ है।
प्रायिकता अनुकूल परिणामों और कुल परिणामों का अनुपात है: $P = \frac{^{26}C_3 \times ^{26}C_3}{^{52}C_6}$.

(C) ताश की गड्डी में कुल पत्तों की संख्या $52$ है।
हुकुम के पत्तों की संख्या $13$ है।
एक प्रयास में हुकुम का पत्ता निकालने की प्रायिकता $P(S) = \frac{13}{52} = \frac{1}{4}$ है।
एक प्रयास में हुकुम का पत्ता न निकालने (असफलता) की प्रायिकता $P(F) = 1 - P(S) = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$ है।
चूंकि पत्ता वापस रख दिया जाता है और गड्डी को फेंटा जाता है,इसलिए प्रत्येक प्रयास स्वतंत्र है।
उसके पहली दो बार असफल होने की प्रायिकता,पहले प्रयास में हुकुम का पत्ता न मिलने और दूसरे प्रयास में भी हुकुम का पत्ता न मिलने की प्रायिकता है।
अभीष्ट प्रायिकता $= P(F) \times P(F) = \frac{3}{4} \times \frac{3}{4} = \frac{9}{64}$.

(B) $20$ क्रमागत पूर्णांकों में से $2$ पूर्णांक चुनने के कुल तरीके ${}^{20}C_2 = \frac{20 \times 19}{2} = 190$ हैं।
$20$ क्रमागत पूर्णांकों के किसी भी समूह में,ठीक $10$ सम संख्याएँ और $10$ विषम संख्याएँ होती हैं।
दो संख्याओं का योग विषम तभी होता है जब एक संख्या सम हो और दूसरी विषम हो।
$10$ सम संख्याओं में से एक और $10$ विषम संख्याओं में से एक संख्या चुनने के तरीके ${}^{10}C_1 \times {}^{10}C_1 = 10 \times 10 = 100$ हैं।
अतः,अभीष्ट प्रायिकता $\frac{100}{190} = \frac{10}{19}$ है।

(C) कुल गेंदों की संख्या $= 3 + 7 + 4 = 14$.
$14$ गेंदों में से $3$ गेंदें निकालने के तरीकों की संख्या $= ^{14}C_3 = \frac{14 \times 13 \times 12}{3 \times 2 \times 1} = 14 \times 13 \times 2 = 364$.
तीनों गेंदों के एक ही रंग के होने के लिए,उन्हें या तो सभी लाल,सभी सफेद,या सभी काली होना चाहिए।
$3$ लाल गेंदें चुनने के तरीके $= ^3C_3 = 1$.
$3$ सफेद गेंदें चुनने के तरीके $= ^7C_3 = \frac{7 \times 6 \times 5}{3 \times 2 \times 1} = 35$.
$3$ काली गेंदें चुनने के तरीके $= ^4C_3 = 4$.
कुल अनुकूल परिणाम $= 1 + 35 + 4 = 40$.
अभीष्ट प्रायिकता $= \frac{40}{364} = \frac{10}{91}$.

(A) कुल व्यक्तियों की संख्या $= 3 + 2 + 4 = 9$ है।
$9$ में से $4$ व्यक्तियों को चुनने के कुल तरीके $= {}^9C_4$ हैं।
${}^9C_4 = \frac{9 \times 8 \times 7 \times 6}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 126$.
हमें $4$ बच्चों में से ठीक $2$ बच्चों को चुनना है,जिसे ${}^4C_2$ तरीकों से किया जा सकता है।
${}^4C_2 = \frac{4 \times 3}{2 \times 1} = 6$.
शेष $2$ व्यक्तियों को $5$ वयस्कों ($3$ पुरुष $+ 2$ महिलाएं) में से चुना जाना चाहिए,जिसे ${}^5C_2$ तरीकों से किया जा सकता है।
${}^5C_2 = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10$.
अनुकूल परिणामों की संख्या $= {}^4C_2 \times {}^5C_2 = 6 \times 10 = 60$.
अभीष्ट प्रायिकता $= \frac{60}{126} = \frac{10}{21}$.

(C) $25$ टिकटों में से $2$ टिकट चुनने के कुल तरीके $^{25}C_2 = \frac{25 \times 24}{2} = 300$ हैं।
दो संख्याओं का गुणनफल सम तब होता है जब कम से कम एक संख्या सम हो।
पूरक घटना की प्रायिकता ज्ञात करना आसान है: गुणनफल विषम (odd) हो।
गुणनफल विषम तभी होता है जब दोनों चुनी गई संख्याएँ विषम हों।
${1, 2, \dots, 25}$ सेट में $13$ विषम संख्याएँ $(1, 3, 5, \dots, 25)$ और $12$ सम संख्याएँ हैं।
$2$ विषम टिकट चुनने के तरीके $^{13}C_2 = \frac{13 \times 12}{2} = 78$ हैं।
गुणनफल के विषम होने की प्रायिकता $P(\text{odd}) = \frac{78}{300} = \frac{13}{50}$ है।
अतः,गुणनफल के सम होने की प्रायिकता $1 - P(\text{odd}) = 1 - \frac{13}{50} = \frac{37}{50}$ है।

(A) कुल छात्रों की संख्या = $12 + 18 = 30$ है।
$30$ में से $2$ छात्रों को चुनने के तरीकों की संख्या $^{30}C_2 = \frac{30 \times 29}{2 \times 1} = 435$ है।
$12$ में से $2$ लड़कियों को चुनने के तरीकों की संख्या $^{12}C_2 = \frac{12 \times 11}{2 \times 1} = 66$ है।
दोनों चुने गए छात्रों के लड़कियाँ होने की प्रायिकता $P = \frac{^{12}C_2}{^{30}C_2} = \frac{66}{435}$ है।
अंश और हर दोनों को $3$ से विभाजित करने पर,हमें $P = \frac{22}{145}$ प्राप्त होता है।

(B) कुल अक्षरों की संख्या = $11$ है।
व्यंजनों की संख्या = $7$ है।
स्वरों की संख्या = $4$ है।
हमें $11$ में से $2$ अक्षर चुनने हैं। $2$ अक्षर चुनने के कुल तरीके $^{11}C_2 = \frac{11 \times 10}{2 \times 1} = 55$ हैं।
$7$ व्यंजनों में से $2$ व्यंजन चुनने के तरीके $^7C_2 = \frac{7 \times 6}{2 \times 1} = 21$ हैं।
दोनों चुने गए अक्षरों के व्यंजन होने की प्रायिकता अनुकूल परिणामों की संख्या और कुल परिणामों की संख्या का अनुपात है।
अभीष्ट प्रायिकता = $\frac{^7C_2}{^{11}C_2} = \frac{21}{55}$।

(A) $20$ में से $3$ टिकट चुनने के कुल तरीके $^{20}C_3 = \frac{20 \times 19 \times 18}{3 \times 2 \times 1} = 1140$ हैं।
हमें वह प्रायिकता ज्ञात करनी है जिसमें $7$ और $11$ अंकित टिकट चयन में शामिल हों।
चूंकि $2$ टिकट ($7$ और $11$) पहले से ही निश्चित हैं,इसलिए हमें शेष $18$ टिकटों $(20 - 2 = 18)$ में से केवल $1$ और टिकट चुनने की आवश्यकता है।
तीसरे टिकट को चुनने के तरीकों की संख्या $^{18}C_1 = 18$ है।
अतः,अभीष्ट प्रायिकता $\frac{18}{1140} = \frac{3}{190}$ है।

(A) कुल टिकटों की संख्या $= 3 + 9 = 12$ है।
मोहन $12$ में से $3$ टिकट चुनता है। $3$ टिकट चुनने के कुल तरीके ${}^{12}C_3 = \frac{12 \times 11 \times 10}{3 \times 2 \times 1} = 220$ हैं।
कम से कम एक पुरस्कार जीतने की प्रायिकता $= 1 - P(\text{कोई पुरस्कार न जीतने की प्रायिकता})$.
कोई पुरस्कार न जीतने का अर्थ है कि $3$ टिकट $9$ खाली टिकटों में से चुने गए हैं।
$9$ में से $3$ खाली टिकट चुनने के तरीके ${}^9C_3 = \frac{9 \times 8 \times 7}{3 \times 2 \times 1} = 84$ हैं।
कोई पुरस्कार न जीतने की प्रायिकता $\frac{84}{220} = \frac{21}{55}$ है।
अतः,कम से कम एक पुरस्कार जीतने की प्रायिकता $1 - \frac{21}{55} = \frac{34}{55}$ है।

(D) थैले में गेंदों की कुल संख्या = $3$ (सफेद) + $7$ (लाल) = $10$ गेंदें।
मान लीजिए $E$ एक गेंद निकालने की घटना है जो या तो सफेद है या लाल।
चूंकि थैले में सभी गेंदें या तो सफेद हैं या लाल,इसलिए यह एक निश्चित घटना है।
अनुकूल परिणामों की संख्या = $3 + 7 = 10$।
कुल संभावित परिणामों की संख्या = $10$।
प्रायिकता $P(E) = \frac{\text{अनुकूल परिणामों की संख्या}}{\text{कुल संभावित परिणामों की संख्या}} = \frac{10}{10} = 1$।

(A) गेंदों की कुल संख्या $= 4 + 5 + 6 = 15$ है।
$15$ गेंदों में से $2$ गेंदें चुनने के तरीकों की संख्या $^{15}C_2 = \frac{15 \times 14}{2 \times 1} = 105$ है।
हमें वह प्रायिकता ज्ञात करनी है कि एक गेंद सफेद हो और दूसरी गेंद सफेद न हो (लाल या काली)।
सफेद गेंदों की संख्या $= 4$ है।
सफेद न होने वाली गेंदों की संख्या $= 5 + 6 = 11$ है।
$1$ सफेद गेंद और $1$ गैर-सफेद गेंद चुनने के तरीकों की संख्या $= ^4C_1 \times ^{11}C_1 = 4 \times 11 = 44$ है।
अतः,अभीष्ट प्रायिकता $= \frac{44}{105}$ है।

(C) गेंदों की कुल संख्या = $6 + 4 + 8 = 18$.
$18$ गेंदों में से $3$ गेंदें निकालने के तरीकों की संख्या ${}^{18}C_3 = \frac{18 \times 17 \times 16}{3 \times 2 \times 1} = 3 \times 17 \times 16 = 816$ है।
हमें $4$ में से $2$ सफेद गेंदें और $6$ में से $1$ लाल गेंद निकालनी है।
$2$ सफेद गेंदें चुनने के तरीकों की संख्या = ${}^4C_2 = \frac{4 \times 3}{2 \times 1} = 6$.
$1$ लाल गेंद चुनने के तरीकों की संख्या = ${}^6C_1 = 6$.
कुल अनुकूल परिणाम = ${}^4C_2 \times {}^6C_1 = 6 \times 6 = 36$.
अभीष्ट प्रायिकता = $\frac{36}{816} = \frac{3}{68}$.

(C) $9$ लोगों में से $5$ लोगों की समिति चुनने के कुल तरीके ${}^9C_5 = \frac{9 \times 8 \times 7 \times 6}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 126$ हैं।
स्थिति $1$: जोड़ा साथ में सेवा करता है।
यदि जोड़े को शामिल किया जाता है,तो हमें शेष $7$ लोगों में से $3$ और लोगों को चुनना होगा। यह ${}^7C_3 = \frac{7 \times 6 \times 5}{3 \times 2 \times 1} = 35$ तरीकों से किया जा सकता है।
स्थिति $2$: जोड़ा बिल्कुल सेवा नहीं करता है।
यदि जोड़े को बाहर रखा जाता है,तो हमें शेष $7$ लोगों में से $5$ लोगों को चुनना होगा। यह ${}^7C_5 = {}^7C_2 = \frac{7 \times 6}{2 \times 1} = 21$ तरीकों से किया जा सकता है।
कुल अनुकूल तरीके $= 35 + 21 = 56$.
आवश्यक प्रायिकता $= \frac{56}{126} = \frac{4}{9}$.

(B) $ASSASSIN$ शब्द में $8$ अक्षर हैं: $A(2), S(4), I(1), N(1)$.
कुल व्यवस्थाओं की संख्या $ = \frac{8!}{4! \times 2!} = \frac{8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4!}{4! \times 2} = 840$.
यह सुनिश्चित करने के लिए कि कोई भी दो $S$ एक साथ न आएं,हम गैप विधि का उपयोग करते हैं। सबसे पहले,शेष $4$ अक्षरों $(A, A, I, N)$ को व्यवस्थित करें।
इन $4$ अक्षरों को व्यवस्थित करने के तरीकों की संख्या $\frac{4!}{2!} = 12$ है।
ये $4$ अक्षर $5$ रिक्त स्थान (सिरों सहित) बनाते हैं: $\_ L_1 \_ L_2 \_ L_3 \_ L_4 \_$.
हमें इन $5$ रिक्त स्थानों में से $4$ स्थानों का चयन करके $S$ को रखना है,जिसके तरीके $\binom{5}{4} = 5$ हैं।
कुल अनुकूल व्यवस्थाएं $ = 12 \times 5 = 60$.
प्रायिकता $ = \frac{\text{अनुकूल व्यवस्थाएं}}{\text{कुल व्यवस्थाएं}} = \frac{60}{840} = \frac{1}{14}$.

(D) $n$ स्वतंत्र बर्नौली परीक्षणों में $k$ सफलताएँ प्राप्त करने की प्रायिकता द्विपद बंटन सूत्र द्वारा दी जाती है: $P(X = k) = {}^nC_k \cdot p^k \cdot q^{n-k}$.
यहाँ,$n = 8$ (कुल उछाल),$k = 4$ (आवश्यक चित की संख्या),$p = \frac{1}{2}$ (चित आने की प्रायिकता),और $q = 1 - p = \frac{1}{2}$ (पट आने की प्रायिकता) है।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$P(X = 4) = {}^8C_4 \cdot (\frac{1}{2})^4 \cdot (\frac{1}{2})^{8-4}$
$P(X = 4) = {}^8C_4 \cdot (\frac{1}{2})^4 \cdot (\frac{1}{2})^4$
$P(X = 4) = {}^8C_4 \cdot (\frac{1}{2})^8$
$P(X = 4) = \frac{{}^8C_4}{2^8}$.
अतः,सही विकल्प $(d)$ है।

(A) कुल टिकटों की संख्या = $50$.
इनाम वाले टिकटों की संख्या = $14$.
बिना इनाम वाले (खाली) टिकटों की संख्या = $50 - 14 = 36$.
व्यक्ति $2$ टिकट खरीदता है।
$50$ में से $2$ टिकट चुनने के कुल तरीके = ${}^{50}C_2 = \frac{50 \times 49}{2 \times 1} = 1225$.
$2$ टिकट चुनने के ऐसे तरीके जिनमें कोई भी इनाम वाला न हो = ${}^{36}C_2 = \frac{36 \times 35}{2 \times 1} = 630$.
कोई भी इनाम न जीतने की प्रायिकता $P(\text{कोई इनाम नहीं}) = \frac{630}{1225} = \frac{18}{35}$.
कम से कम एक इनाम जीतने की प्रायिकता $P(\text{कम से कम एक इनाम}) = 1 - P(\text{कोई इनाम नहीं}) = 1 - \frac{18}{35} = \frac{17}{35}$.

(B) कुल गेंदों की संख्या $= 8 + 7 = 15$.
$2$ गेंदें निकालने के कुल तरीके $= {}^{15}C_2 = \frac{15 \times 14}{2} = 105$.
$1$. दोनों गेंदों के सफेद होने की प्रायिकता: $P(WW) = \frac{{}^7C_2}{{}^{15}C_2} = \frac{21}{105} = \frac{1}{5} = 0.2$.
$2$. दोनों गेंदों के काली होने की प्रायिकता: $P(BB) = \frac{{}^8C_2}{{}^{15}C_2} = \frac{28}{105} = \frac{4}{15} \approx 0.266$.
$3$. एक गेंद सफेद और एक काली होने की प्रायिकता: $P(WB) = \frac{{}^7C_1 \times {}^8C_1}{{}^{15}C_2} = \frac{7 \times 8}{105} = \frac{56}{105} = \frac{8}{15} \approx 0.533$.
प्रायिकताओं की तुलना करने पर: $\frac{8}{15} > \frac{4}{15} > \frac{3}{15}$.
अतः,एक सफेद और एक काली गेंद निकालने की प्रायिकता सबसे अधिक है।

(B) $10$ व्यक्तियों ($6$ पुरुष + $4$ महिलाएँ) में से $5$ सदस्यों को चुनने के कुल तरीके ${}^{10}C_5 = \frac{10 \times 9 \times 8 \times 7 \times 6}{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} = 252$ हैं।
ऐसी समिति चुनने के तरीके जिसमें कोई भी महिला न हो (अर्थात,सभी $5$ सदस्य पुरुष हों) ${}^{6}C_5 = 6$ हैं।
कम से कम एक महिला के होने के तरीके = (कुल तरीके) - (बिना महिला वाले तरीके) = $252 - 6 = 246$ हैं।
अतः,अभीष्ट प्रायिकता $P = \frac{246}{252} = \frac{41}{42}$ है।

(C) $1, 2, 3$ और $4$ अंकों का उपयोग करके (बिना पुनरावृत्ति के) तीन अंकों की संख्या बनाने के कुल तरीके $P(4, 3) = 4 \times 3 \times 2 = 24$ हैं।
एक संख्या $3$ से विभाज्य होती है यदि उसके अंकों का योग $3$ से विभाज्य हो।
${1, 2, 3, 4}$ में से $3$ अंकों के ऐसे समूह जिनका योग $3$ से विभाज्य है:
$1) \{1, 2, 3\}$ (योग $= 6$,जो $3$ से विभाज्य है)
$2) \{2, 3, 4\}$ (योग $= 9$,जो $3$ से विभाज्य है)
प्रत्येक समूह के लिए,$3$ अंकों को व्यवस्थित करने के तरीके $3! = 6$ हैं।
कुल अनुकूल परिणाम $= 6 + 6 = 12$.
आवश्यक प्रायिकता $= \frac{\text{अनुकूल परिणाम}}{\text{कुल परिणाम}} = \frac{12}{24} = \frac{1}{2}$.

(B) $52$ पत्तों में से $3$ पत्ते निकालने के कुल तरीके ${}^{52}C_3 = \frac{52 \times 51 \times 50}{3 \times 2 \times 1} = 22100$ हैं।
$4$ राजाओं में से $1$ राजा,$4$ रानियों में से $1$ रानी और $4$ गुलामों में से $1$ गुलाम चुनने के तरीके ${}^4C_1 \times {}^4C_1 \times {}^4C_1 = 4 \times 4 \times 4 = 64$ हैं।
अतः,अभीष्ट प्रायिकता $P = \frac{64}{22100}$ है।
अंश और हर को $4$ से विभाजित करने पर,हमें $P = \frac{16}{5525}$ प्राप्त होता है।

(C) '$UNIVERSITY$' शब्द में $10$ अक्षर हैं,जिसमें '$I$' दो बार आता है और बाकी सभी अक्षर अलग हैं।
कुल व्यवस्थाओं की संख्या $ = \frac{10!}{2!}$ है।
दोनों '$I$' के एक साथ आने की प्रायिकता ज्ञात करने के लिए,हम दोनों '$I$' को एक इकाई $(II)$ के रूप में मानते हैं। अब हमारे पास व्यवस्थित करने के लिए $9$ इकाइयाँ हैं: $(U, N, V, E, R, S, T, Y, (II))$।
इन $9$ इकाइयों को व्यवस्थित करने के तरीकों की संख्या $9!$ है।
दोनों '$I$' के एक साथ आने की प्रायिकता $ = \frac{9!}{\frac{10!}{2!}} = \frac{9! \times 2!}{10!} = \frac{2}{10} = \frac{1}{5}$ है।
अतः,दोनों '$I$' के एक साथ न आने की प्रायिकता $ = 1 - \frac{1}{5} = \frac{4}{5}$ है।

(A) मान लीजिए $E_i$ वह घटना है कि $i^{th}$ वस्तु $i^{th}$ स्थान पर है।
$n$ वस्तुओं को $n$ स्थानों पर व्यवस्थित करने के कुल तरीके $n!$ हैं।
$n$ में से $3$ वस्तुओं को चुनने के तरीके जो अपने संबंधित स्थानों पर हों, $\binom{n}{3}$ द्वारा दिए जाते हैं।
शेष $(n-3)$ वस्तुओं को $(n-3)!$ तरीकों से व्यवस्थित किया जा सकता है।
अतः, उन तरीकों की संख्या जिनमें कम से कम $3$ वस्तुएं अपने सही स्थानों पर हों, $\binom{n}{3} \times (n-3)!$ है।
प्रायिकता $\frac{\binom{n}{3} \times (n-3)!}{n!} = \frac{n!}{3!(n-3)!} \times \frac{(n-3)!}{n!} = \frac{1}{3!} = \frac{1}{6}$ है।

(C) $6$ फलकों वाले पासे को $5$ बार फेंकने पर कुल परिणामों की संख्या $6^5 = 7776$ है।
मान लीजिए $X$ एक फेंक का परिणाम है। संभावित मान $0$ (खाली),$2$ और $3$ हैं।
हमें $5$ फेंक का योग $12$ चाहिए।
मान लीजिए $n_0, n_2, n_3$ क्रमशः $0, 2, 3$ के आने की संख्या है,जहाँ $n_0 + n_2 + n_3 = 5$ है।
योग $0(n_0) + 2(n_2) + 3(n_3) = 12$ है।
स्थिति $1$: यदि $n_0 = 1$ है,तो $2n_2 + 3n_3 = 12$। यदि $n_3 = 4$ है,तो $2n_2 = 0 \implies n_2 = 0$। इससे $(n_0, n_2, n_3) = (1, 0, 4)$ प्राप्त होता है।
तरीकों की संख्या $\frac{5!}{1!0!4!} = 5$ है।
स्थिति $2$: यदि $n_0 = 0$ है,तो $2n_2 + 3n_3 = 12$। यदि $n_3 = 2$ है,तो $2n_2 = 6 \implies n_2 = 3$। इससे $(n_0, n_2, n_3) = (0, 3, 2)$ प्राप्त होता है।
तरीकों की संख्या $\frac{5!}{0!3!2!} = 10$ है।
कुल अनुकूल परिणाम = $5 + 10 = 15$।
प्रायिकता = $\frac{15}{6^5} = \frac{15}{7776} = \frac{5}{2592}$।

(C) ${p_1}$ के लिए: दो व्यक्ति पासा फेंकते हैं। कुल परिणाम $= 6 \times 6 = 36$। अनुकूल परिणाम (समान मान) $(1,1), (2,2), (3,3), (4,4), (5,5), (6,6)$ हैं,जो $6$ परिणाम हैं। अतः,${p_1} = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}$।
${p_2}$ के लिए: चार व्यक्ति पासा फेंकते हैं। कुल परिणाम $= 6^4 = 1296$। हमें वह प्रायिकता ज्ञात करनी है जिसमें ठीक तीन व्यक्तियों को समान मान प्राप्त हो।
चरण $1$: वह मान चुनें जो तीन बार आता है: ${}^6C_1 = 6$ तरीके।
चरण $2$: चार में से तीन व्यक्तियों को चुनें जिन्हें यह मान प्राप्त हो: ${}^4C_3 = 4$ तरीके।
चरण $3$: चौथे व्यक्ति के लिए मान चुनें (पहले मान से भिन्न होना चाहिए): ${}^5C_1 = 5$ तरीके।
अनुकूल परिणाम $= 6 \times 4 \times 5 = 120$।
अतः,${p_2} = \frac{120}{1296} = \frac{5}{54}$।
${p_1} = \frac{1}{6} = \frac{9}{54}$ और ${p_2} = \frac{5}{54}$ की तुलना करने पर,हमें ${p_1} > {p_2}$ प्राप्त होता है।

(A) $n$ कैडेट्स को एक पंक्ति में व्यवस्थित करने के कुल तरीके $n!$ हैं।
दो विशेष कैडेट्स के एक साथ खड़े होने के अनुकूल मामलों की संख्या ज्ञात करने के लिए,हम इन दो कैडेट्स को एक इकाई के रूप में मानते हैं।
अब,हमारे पास व्यवस्थित करने के लिए $(n - 1)$ इकाइयाँ हैं,जिन्हें $(n - 1)!$ तरीकों से किया जा सकता है।
उस एक इकाई के भीतर,दो विशेष कैडेट्स को $2! = 2$ तरीकों से व्यवस्थित किया जा सकता है।
इस प्रकार,अनुकूल व्यवस्थाओं की कुल संख्या $2 \times (n - 1)!$ है।
आवश्यक प्रायिकता अनुकूल मामलों और कुल मामलों का अनुपात है:
$P = \frac{2 \times (n - 1)!}{n!} = \frac{2 \times (n - 1)!}{n \times (n - 1)!} = \frac{2}{n}$.

(A) कुल टिकटों की संख्या $20$ है। $20$ में से $2$ टिकट चुनने के तरीकों की संख्या $^{20}C_2 = \frac{20 \times 19}{2 \times 1} = 190$ है।
$1$ से $20$ के बीच की अभाज्य संख्याएँ $2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19$ हैं। ऐसी कुल $8$ अभाज्य संख्याएँ हैं।
इन $8$ अभाज्य संख्याओं में से $2$ अभाज्य संख्याएँ चुनने के तरीकों की संख्या $^8C_2 = \frac{8 \times 7}{2 \times 1} = 28$ है।
दोनों संख्याओं के अभाज्य होने की प्रायिकता $P = \frac{\text{अनुकूल परिणामों की संख्या}}{\text{कुल परिणामों की संख्या}} = \frac{28}{190}$ है।
भिन्न को सरल करने पर,हमें $P = \frac{14}{95}$ प्राप्त होता है।

(A) गेंदों की कुल संख्या $= 6 + 5 + 4 = 15$ है।
लाल न होने वाली गेंदों की संख्या $= 5 + 4 = 9$ है।
हमें $9$ लाल न होने वाली गेंदों में से $2$ गेंदें चुननी हैं।
$15$ गेंदों में से $2$ गेंदें चुनने के कुल तरीके ${}^{15}C_2 = \frac{15 \times 14}{2 \times 1} = 105$ हैं।
$9$ लाल न होने वाली गेंदों में से $2$ गेंदें चुनने के तरीके ${}^{9}C_2 = \frac{9 \times 8}{2 \times 1} = 36$ हैं।
इस बात की प्रायिकता कि कोई भी गेंद लाल नहीं है,$P = \frac{{}^{9}C_2}{{}^{15}C_2} = \frac{36}{105}$ है।
भिन्न को $3$ से विभाजित करने पर,हमें $P = \frac{12}{35}$ प्राप्त होता है।

(B) सफेद गेंदों की कुल संख्या = $3$।
काली गेंदों की कुल संख्या = $5$।
थैले में गेंदों की कुल संख्या = $3 + 5 = 8$।
काली गेंद निकालने की प्रायिकता काली गेंदों की संख्या और गेंदों की कुल संख्या का अनुपात है।
प्रायिकता $P(\text{काली}) = \frac{\text{काली गेंदों की संख्या}}{\text{गेंदों की कुल संख्या}} = \frac{5}{8}$।

(C) एक सम षट्भुज में $6$ शीर्ष होते हैं। $6$ में से $3$ शीर्षों को चुनने के कुल तरीके संचय सूत्र ${}^nC_r = \frac{n!}{r!(n-r)!}$ द्वारा दिए जाते हैं।
कुल त्रिभुज $= {}^6C_3 = \frac{6 \times 5 \times 4}{3 \times 2 \times 1} = 20$.
एक सम षट्भुज में,प्रत्येक दूसरे शीर्ष को जोड़ने से एक समबाहु त्रिभुज बनता है। ऐसे केवल $2$ त्रिभुज संभव हैं (शीर्षों ${1, 3, 5}$ और ${2, 4, 6}$ को लेकर)।
अतः,अभीष्ट प्रायिकता $= \frac{\text{समबाहु त्रिभुजों की संख्या}}{\text{कुल त्रिभुजों की संख्या}} = \frac{2}{20} = \frac{1}{10}$.

(B) बक्से में फलों की कुल संख्या 
$= 3$ (आम) $+ 3$ (सेब) 
$= 6$ फल.
हमें $6$ में से $2$ फल चुनने हैं। 
$2$ फल चुनने के कुल तरीके 
${}^6C_2 = \frac{6 \times 5}{2 \times 1} = 15$ हैं।
$3$ आमों में से $1$ आम चुनने के तरीके 
${}^3C_1 = 3$ हैं।
$3$ सेबों में से $1$ सेब चुनने के तरीके 
${}^3C_1 = 3$ हैं।
अनुकूल परिणामों की संख्या (1 आम और 1 सेब चुनना) 
${}^3C_1 \times {}^3C_1 = 3 \times 3 = 9$ है।
अतः, अभीष्ट प्रायिकता 
$P = \frac{\text{अनुकूल परिणाम}}{\text{कुल परिणाम}} 
= \frac{9}{15} = \frac{3}{5}$

(A) $25$ पुस्तकों को व्यवस्थित करने के कुल तरीके $25!$ हैं।
गणित के $5$ खंडों को अलग-अलग वस्तुओं के रूप में मानें। $25$ पुस्तकों की किसी भी यादृच्छिक व्यवस्था में,इन $5$ खंडों के सापेक्ष क्रम की $5!$ संभावनाएं होती हैं।
इन $5!$ संभावित सापेक्ष क्रमों में से,केवल $1$ क्रम ऐसा है जिसमें खंड बढ़ते क्रम में (बाएं से दाएं) होते हैं।
चूंकि सभी $5!$ सापेक्ष क्रम समान रूप से संभावित हैं,इसलिए प्रायिकता कि खंड विशिष्ट बढ़ते क्रम में दिखाई दें,$\frac{1}{5!}$ है।

(C) कुल सदस्य = $15$,गेंदबाज = $5$,अन्य सदस्य = $10$. हमें $11$ सदस्यों का चयन इस प्रकार करना है कि कम से कम $3$ गेंदबाज हों।
$15$ में से $11$ सदस्यों को चुनने के कुल तरीके = ${}^{15}C_{11} = {}^{15}C_4 = 1365$.
कम से कम $3$ गेंदबाजों को चुनने के तरीके:
स्थिति $1$: $3$ गेंदबाज और $8$ अन्य सदस्य: ${}^5C_3 \times {}^{10}C_8 = 10 \times 45 = 450$.
स्थिति $2$: $4$ गेंदबाज और $7$ अन्य सदस्य: ${}^5C_4 \times {}^{10}C_7 = 5 \times 120 = 600$.
स्थिति $3$: $5$ गेंदबाज और $6$ अन्य सदस्य: ${}^5C_5 \times {}^{10}C_6 = 1 \times 210 = 210$.
कुल अनुकूल तरीके = $450 + 600 + 210 = 1260$.
प्रायिकता = $\frac{1260}{1365} = \frac{12}{13}$.

(B) ${P_1}$ के लिए: कुल गेंदें = $13 + 14 + 15 = 42$। हम $4$ गेंदें चुनते हैं। ठीक $2$ काली गेंदें प्राप्त करने की प्रायिकता हाइपरजियोमेट्रिक वितरण द्वारा दी जाती है:
${P_1} = \frac{{{}^{15}{C_2} \times {}^{27}{C_2}}}{{{}^{42}{C_4}}} = \frac{105 \times 351}{111930} = \frac{36855}{111930} \approx 0.3292$।
${P_2}$ के लिए: गेंदों की संख्या दोगुनी कर दी जाती है। कुल गेंदें = $26 + 28 + 30 = 84$। हम $8$ गेंदें चुनते हैं। ठीक $4$ काली गेंदें प्राप्त करने की प्रायिकता:
${P_2} = \frac{{{}^{30}{C_4} \times {}^{54}{C_4}}}{{{}^{84}{C_8}}}$।
हाइपरजियोमेट्रिक वितरण के गुण का उपयोग करते हुए,जैसे-जैसे जनसंख्या का आकार $N$ और नमूने का आकार $n$ एक कारक $k=2$ से बढ़ते हैं,सफलता की आनुपातिक संख्या $(k \times r)$ प्राप्त करने की प्रायिकता आमतौर पर घट जाती है। गणना करने पर,हमें ${P_1} \approx 0.329$ और ${P_2} \approx 0.273$ प्राप्त होता है।
अतः,${P_1} > {P_2}$।

(B) $m$ रुपये के सिक्कों और $n$ दस पैसे के सिक्कों को एक पंक्ति में व्यवस्थित करने के कुल तरीके $\frac{(m+n)!}{m!n!}$ हैं।
यदि दोनों सिरों पर दस पैसे के सिक्के हों,तो हम दो दस पैसे के सिक्कों को सिरों पर स्थिर करते हैं। शेष $(m+n-2)$ सिक्कों में $m$ रुपये के सिक्के और $(n-2)$ दस पैसे के सिक्के शामिल हैं।
इन शेष सिक्कों को व्यवस्थित करने के तरीके $\frac{(m+n-2)!}{m!(n-2)!}$ हैं।
अतः,अभीष्ट प्रायिकता अनुकूल परिणामों और कुल परिणामों का अनुपात है:
$P = \frac{\frac{(m+n-2)!}{m!(n-2)!}}{\frac{(m+n)!}{m!n!}}$
$P = \frac{(m+n-2)!}{m!(n-2)!} \times \frac{m!n!}{(m+n)!}$
$P = \frac{n(n-1)}{(m+n)(m+n-1)}$.

(C) $n$ अवयवों वाले समुच्चय $A$ से स्वयं पर कुल फलनों (functions) की संख्या $n^n$ होती है।
एक परिमित समुच्चय $A$ से स्वयं पर एक एकैकी फलन (injection) अनिवार्य रूप से एक आच्छादक फलन (bijection) भी होता है।
$n$ अवयवों वाले समुच्चय के कुल आच्छादक फलनों (क्रमचयों) की संख्या $n!$ होती है।
अतः,यादृच्छिक रूप से चुने गए प्रतिचित्रण के एकैकी होने की प्रायिकता,आच्छादक फलनों की संख्या और कुल फलनों की संख्या का अनुपात है:
$P = \frac{n!}{n^n} = \frac{n \times (n-1)!}{n \times n^{n-1}} = \frac{(n-1)!}{n^{n-1}}$.

(A) पेंसिलों की कुल संख्या = $12 + 6 + 2 = 20$.
अच्छी (दोषरहित) पेंसिलों की संख्या = $12$.
दोषरहित पेंसिल चुनने की प्रायिकता = $\frac{\text{अच्छी पेंसिलों की संख्या}}{\text{पेंसिलों की कुल संख्या}}$.
प्रायिकता = $\frac{12}{20} = \frac{3}{5}$.

(C) कुल आम $= 10$। अच्छे आम $= 6$। सड़े हुए आम $= 4$।
मान लीजिए $G_1$ पहला आम अच्छा होने की घटना है और $G_2$ दूसरा आम अच्छा होने की घटना है।
हमें दिया गया है कि कम से कम एक आम अच्छा है। मान लीजिए $A$ कम से कम एक आम अच्छा होने की घटना है।
$10$ में से $2$ आम चुनने के कुल तरीके $= ^{10}C_2 = \frac{10 \times 9}{2} = 45$।
$2$ सड़े हुए आम चुनने के तरीके $= ^4C_2 = 6$।
कम से कम एक अच्छा आम चुनने के तरीके $= 45 - 6 = 39$।
$2$ अच्छे आम चुनने के तरीके $= ^6C_2 = 15$।
यदि कम से कम एक अच्छा है,तो दोनों के अच्छे होने की प्रायिकता $\frac{15}{39} = \frac{5}{13}$ है।

(A) $13$ में से $2$ व्यक्तियों को चुनने के कुल तरीके ${}^{13}C_2 = \frac{13 \times 12}{2 \times 1} = 78$ हैं।
हमें उस प्रायिकता को ज्ञात करना है जिसमें कम से कम एक महिला चुनी जाए।
यह दो तरीकों से हो सकता है: $1$ महिला और $1$ पुरुष का चयन,या $2$ महिलाओं का चयन।
$1$ महिला और $1$ पुरुष को चुनने के तरीके = ${}^5C_1 \times {}^8C_1 = 5 \times 8 = 40$.
$2$ महिलाओं को चुनने के तरीके = ${}^5C_2 = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10$.
कुल अनुकूल परिणाम = $40 + 10 = 50$.
प्रायिकता = $\frac{50}{78} = \frac{25}{39}$.