Probability Questions in Hindi

(D) समुच्चय ${1, 2, 3, \dots, 30}$ से दो भिन्न संख्याएँ $a$ और $b$ चुनने के कुल तरीके ${}^{30}C_2 = \frac{30 \times 29}{2} = 435$ हैं।
हम जानते हैं कि $a^2 - b^2$ तब $3$ से विभाज्य होता है यदि $a^2 \equiv b^2 \pmod{3}$ हो।
किसी भी पूर्णांक $n$ के लिए, $n^2 \pmod{3}$ का मान $0$ (यदि $n$, $3$ का गुणज है) या $1$ (यदि $n$, $3$ का गुणज नहीं है) हो सकता है।
मान लीजिए $S_0$, $3$ से विभाज्य संख्याओं का समुच्चय है $(|S_0| = 10)$ और $S_1$, $3$ से विभाज्य न होने वाली संख्याओं का समुच्चय है $(|S_1| = 20)$।
$a^2 - b^2$, $3$ से विभाज्य होने के दो मामले हैं:
स्थिति $1$: $a$ और $b$ दोनों $S_0$ में हों। तरीकों की संख्या ${}^{10}C_2 = \frac{10 \times 9}{2} = 45$ है।
स्थिति $2$: $a$ और $b$ दोनों $S_1$ में हों। तरीकों की संख्या ${}^{20}C_2 = \frac{20 \times 19}{2} = 190$ है।
कुल अनुकूल मामले $= 45 + 190 = 235$ हैं।
अतः, अभीष्ट प्रायिकता $= \frac{235}{435} = \frac{47}{87}$ है।

(D) मान लीजिए कि प्रत्येक मित्र की $x$ पुत्रियाँ हैं।
कुल पुत्रियों की संख्या = $x + x = 2x$.
हमें $2x$ पुत्रियों में से $3$ टिकट चुनने हैं। $3$ टिकट वितरित करने के कुल तरीके ${}^{2x}C_3$ हैं।
$3$ टिकट चुनने के तरीके ताकि सभी $A$ की पुत्रियों को मिलें,${}^xC_3$ हैं।
प्रायिकता $\frac{{}^xC_3}{{}^{2x}C_3} = \frac{1}{20}$ द्वारा दी गई है।
संयोजन का विस्तार करने पर: $\frac{x(x-1)(x-2)}{3!} / \frac{2x(2x-1)(2x-2)}{3!} = \frac{1}{20}$.
$\frac{x(x-1)(x-2)}{2x(2x-1)2(x-1)} = \frac{1}{20}$.
$\frac{x-2}{4(2x-1)} = \frac{1}{20}$.
$20(x-2) = 4(2x-1)$.
$5(x-2) = 2x-1$.
$5x - 10 = 2x - 1$.
$3x = 9$.
$x = 3$.

(B) कुल $10$ अंक संभव हैं: $0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9$।
चूंकि अंतिम दो अंक अलग-अलग हैं,इसलिए इन दो अंकों को चुनने और व्यवस्थित करने के कुल तरीके क्रमचय सूत्र ${}^{10}P_2$ द्वारा दिए जाते हैं।
${}^{10}P_2 = 10 \times 9 = 90$।
इन $90$ संभावित परिणामों में से,केवल $1$ परिणाम ही अंतिम दो अंकों का सही क्रम है।
अतः,अभीष्ट प्रायिकता $\frac{1}{90}$ है।

(C) बॉक्स में गेंदों की कुल संख्या $2 + 3 + 4 = 9$ है।
$9$ गेंदों में से $3$ गेंदें निकालने के कुल तरीके ${}^9C_3 = \frac{9 \times 8 \times 7}{3 \times 2 \times 1} = 84$ हैं।
गेंदों के एक ही रंग के होने के लिए,उन्हें या तो सभी काली या सभी सफेद होना चाहिए (चूंकि लाल गेंदें केवल $2$ हैं,इसलिए $3$ लाल गेंदें निकालना असंभव है)।
$3$ काली गेंदों में से $3$ गेंदें चुनने के तरीके ${}^3C_3 = 1$ हैं।
$4$ सफेद गेंदों में से $3$ गेंदें चुनने के तरीके ${}^4C_3 = 4$ हैं।
अतः,अनुकूल परिणामों की कुल संख्या $1 + 4 = 5$ है।
अपेक्षित प्रायिकता $\frac{\text{अनुकूल परिणाम}}{\text{कुल परिणाम}} = \frac{5}{84}$ है।

(B) $6$ लड़कों और $6$ लड़कियों को एक पंक्ति में व्यवस्थित करने के कुल तरीके $12!$ हैं।
यदि सभी $6$ लड़कियाँ एक साथ बैठती हैं,तो हम $6$ लड़कियों को एक इकाई के रूप में मानते हैं। अब,हमारे पास $6$ लड़के और $1$ लड़कियों की इकाई है,कुल $7$ इकाइयाँ,जिन्हें $7!$ तरीकों से व्यवस्थित किया जा सकता है।
इकाई के भीतर,$6$ लड़कियाँ आपस में $6!$ तरीकों से व्यवस्थित हो सकती हैं।
अतः,अनुकूल व्यवस्थाओं की संख्या $7! \times 6!$ है।
अभीष्ट प्रायिकता $\frac{7! \times 6!}{12!} = \frac{7! \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{12 \times 11 \times 10 \times 9 \times 8 \times 7!} = \frac{720}{95040} = \frac{1}{132}$ है।

(B) $11$ व्यक्तियों में से $6$ व्यक्तियों को चुनने के कुल तरीके ${}^{11}C_6 = \frac{11 \times 10 \times 9 \times 8 \times 7 \times 6}{6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} = 462$ हैं।
$6$ व्यक्तियों की समिति में ठीक $2$ महिलाएं होने के लिए,हमें $4$ महिलाओं में से $2$ महिलाएं और $7$ पुरुषों में से $4$ पुरुष चुनने होंगे।
$4$ महिलाओं में से $2$ महिलाओं को चुनने के तरीके ${}^4C_2 = \frac{4 \times 3}{2 \times 1} = 6$ हैं।
$7$ पुरुषों में से $4$ पुरुषों को चुनने के तरीके ${}^7C_4 = {}^7C_3 = \frac{7 \times 6 \times 5}{3 \times 2 \times 1} = 35$ हैं।
कुल अनुकूल तरीके = ${}^4C_2 \times {}^7C_4 = 6 \times 35 = 210$.
प्रायिकता = $\frac{\text{अनुकूल तरीके}}{\text{कुल तरीके}} = \frac{210}{462} = \frac{5}{11}$.

(A) कुल गेंदों की संख्या = $4$ (सफेद) + $3$ (लाल) = $7$ गेंदें।
पहली लाल गेंद निकालने की प्रायिकता = $\frac{3}{7}$।
चूंकि गेंद को वापस नहीं रखा जाता है,इसलिए शेष गेंदों की संख्या $6$ है और शेष लाल गेंदों की संख्या $2$ है।
दूसरी लाल गेंद निकालने की प्रायिकता = $\frac{2}{6} = \frac{1}{3}$।
अतः,दोनों गेंदों के लाल होने की प्रायिकता = $\frac{3}{7} \times \frac{1}{3} = \frac{1}{7}$।

(D) थैले में गेंदों की कुल संख्या $= 5 + 7 + 4 = 16$ है।
हमें $16$ गेंदों में से $3$ गेंदें निकालनी हैं। $3$ गेंदों को चुनने के कुल तरीके $^{16}C_3 = \frac{16 \times 15 \times 14}{3 \times 2 \times 1} = 16 \times 5 \times 7 = 560$ हैं।
$5$ सफेद गेंदों में से $3$ सफेद गेंदें चुनने के तरीके $^{5}C_3 = \frac{5 \times 4 \times 3}{3 \times 2 \times 1} = 10$ हैं।
$3$ सफेद गेंदें निकालने की प्रायिकता $P = \frac{\text{अनुकूल परिणामों की संख्या}}{\text{कुल परिणामों की संख्या}} = \frac{10}{560} = \frac{1}{56}$ है।

(B) $40$ क्रमागत प्राकृतिक संख्याओं के समूह में,ठीक $20$ विषम संख्याएँ और $20$ सम संख्याएँ होती हैं।
दो चुनी गई संख्याओं का योग विषम होने के लिए,एक संख्या का विषम और दूसरी का सम होना आवश्यक है।
$40$ में से $2$ संख्याएँ चुनने के कुल तरीके ${}^{40}C_2 = \frac{40 \times 39}{2} = 780$ हैं।
एक विषम और एक सम संख्या चुनने के तरीके ${}^{20}C_1 \times {}^{20}C_1 = 20 \times 20 = 400$ हैं।
अतः,अभीष्ट प्रायिकता $P = \frac{400}{780} = \frac{40}{78} = \frac{20}{39}$ है।

(D) ताश की गड्डी में कुल पत्तों की संख्या = $52$ है।
लाल रंग के पत्तों की संख्या = $26$ है।
हमें $26$ लाल पत्तों में से $3$ पत्ते निकालने हैं।
$26$ में से $3$ लाल पत्ते चुनने के तरीकों की संख्या ${}^{26}C_3$ है।
$52$ में से $3$ पत्ते चुनने के कुल तरीकों की संख्या ${}^{52}C_3$ है।
प्रायिकता $P$ इस प्रकार है:
$P = \frac{{}^{26}C_3}{{}^{52}C_3} = \frac{\frac{26 \times 25 \times 24}{3 \times 2 \times 1}}{\frac{52 \times 51 \times 50}{3 \times 2 \times 1}} = \frac{26 \times 25 \times 24}{52 \times 51 \times 50}$
व्यंजक को सरल करने पर:
$P = \frac{26}{52} \times \frac{25}{50} \times \frac{24}{51} = \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} \times \frac{8}{17} = \frac{8}{68} = \frac{2}{17}$.
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(D) कुल विशेषज्ञों की संख्या $= 2 + 3 + 4 = 9$ है।
हमें $9$ में से $3$ विशेषज्ञों का चयन करना है जो इस्तीफा देते हैं। $3$ विशेषज्ञों को चुनने के कुल तरीके ${}^9C_3 = \frac{9 \times 8 \times 7}{3 \times 2 \times 1} = 84$ हैं।
हम चाहते हैं कि $3$ विशेषज्ञ अलग-अलग संस्थानों से हों। इसका मतलब है कि हमें संस्थान $A$ से $1$,$B$ से $1$ और $C$ से $1$ विशेषज्ञ का चयन करना होगा।
प्रत्येक से $1$ विशेषज्ञ चुनने के तरीके ${}^2C_1 \times {}^3C_1 \times {}^4C_1 = 2 \times 3 \times 4 = 24$ हैं।
आवश्यक प्रायिकता $= \frac{\text{अनुकूल परिणामों की संख्या}}{\text{कुल परिणामों की संख्या}} = \frac{24}{84}$ है।
भिन्न को सरल करने पर,$\frac{24}{84} = \frac{2}{7}$ प्राप्त होता है।

(A) $100$ में से दो संख्याएँ चुनने के कुल तरीके ${}^{100}C_2 = \frac{100 \times 99}{2} = 4950$ हैं।
माना समुच्चय $S = \{1, 2, 3, \dots, 100\}$ है। $S$ में $3$ से विभाज्य संख्याएँ $\{3, 6, 9, \dots, 99\}$ हैं, जो कुल $33$ हैं। $3$ से विभाज्य न होने वाली संख्याएँ $100 - 33 = 67$ हैं।
दो संख्याओं का गुणनफल $3$ से तब विभाज्य होता है यदि चुनी गई कम से कम एक संख्या $3$ से विभाज्य हो।
पूरक घटना की गणना करना आसान है: गुणनफल $3$ से विभाज्य नहीं होगा यदि दोनों चुनी गई संख्याएँ $3$ से विभाज्य न हों।
दोनों संख्याओं के $3$ से विभाज्य न होने के तरीके ${}^{67}C_2 = \frac{67 \times 66}{2} = 2211$ हैं।
अतः, गुणनफल के $3$ से विभाज्य होने के तरीके $4950 - 2211 = 2739$ हैं।
अभीष्ट प्रायिकता $\frac{2739}{4950} = 0.5533\dots$ है, जो दशमलव के दो स्थानों तक $0.55$ है।

(A) उपलब्ध अंकों का समूह ${1, 2, 3, 4, 5, 6, 8}$ है। कुल $7$ अंक हैं।
इन $7$ अंकों का उपयोग करके बनाई जा सकने वाली $5$ अंकों की कुल संख्याएँ (पुनरावृत्ति के बिना) $^7P_5 = 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 = 2520$ हैं।
समूह में उपलब्ध सम अंक ${2, 4, 6, 8}$ हैं,जो कुल $4$ हैं।
$5$ अंकों की संख्या के दोनों सिरों पर सम अंक होने के लिए,हमें $4$ उपलब्ध सम अंकों में से $2$ सम अंक चुनने होंगे। इन्हें व्यवस्थित करने के तरीके $^4P_2 = 4 \times 3 = 12$ हैं।
दोनों सिरों पर $2$ सम अंक रखने के बाद,हमारे पास $5$ अंक शेष बचते हैं (मूल $7$ अंकों में से $2$ उपयोग हो गए)। हमें इन $5$ अंकों का उपयोग करके शेष $3$ स्थानों को भरना है। ऐसा करने के तरीके $^5P_3 = 5 \times 4 \times 3 = 60$ हैं।
कुल अनुकूल परिणाम = $12 \times 60 = 720$.
प्रायिकता = $\frac{\text{अनुकूल परिणाम}}{\text{कुल परिणाम}} = \frac{720}{2520} = \frac{72}{252} = \frac{2}{7}$.

(A) गेंदों की कुल संख्या $= 3 + 4 + 5 = 12$ है।
$12$ गेंदों में से $3$ गेंदें निकालने के तरीकों की संख्या $^{12}C_3 = \frac{12 \times 11 \times 10}{3 \times 2 \times 1} = 220$ है।
गेंदों के अलग-अलग रंगों के होने के लिए,हमें $1$ लाल,$1$ सफेद और $1$ काली गेंद निकालनी होगी।
अनुकूल परिणामों की संख्या $= ^3C_1 \times ^4C_1 \times ^5C_1 = 3 \times 4 \times 5 = 60$ है।
प्रायिकता $= \frac{\text{अनुकूल परिणाम}}{\text{कुल परिणाम}} = \frac{60}{220} = \frac{6}{22} = \frac{3}{11}$।

(D) एक सम अष्टभुज में $8$ शीर्ष होते हैं। $8$ में से $4$ शीर्षों को चुनने के कुल तरीके संचय सूत्र $^nC_r = \frac{n!}{r!(n-r)!}$ द्वारा दिए जाते हैं।
कुल मामलों की संख्या $= ^8C_4 = \frac{8 \times 7 \times 6 \times 5}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 70$.
एक सम अष्टभुज में,एक आयत तब बनता है जब $4$ शीर्षों को इस प्रकार चुना जाता है कि आयत के विकर्ण परिगत वृत्त के व्यास हों। एक सम अष्टभुज में केवल $2$ ऐसे आयत संभव हैं (जैसा कि आकृति में दिखाया गया है: $ADEH$ और $GFCB$)।
अनुकूल मामलों की संख्या $= 2$.
इसलिए,अभीष्ट प्रायिकता $= \frac{\text{अनुकूल मामलों की संख्या}}{\text{कुल मामलों की संख्या}} = \frac{2}{70} = \frac{1}{35}$.

(D) कुल मोज़ों की संख्या $= 5 + 4 = 9$ है।
$9$ में से $2$ मोज़े चुनने के कुल तरीके $= ^9C_2 = \frac{9 \times 8}{2 \times 1} = 36$ हैं।
$5$ भूरे मोज़ों में से $2$ भूरे मोज़े चुनने के तरीके $= ^5C_2 = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10$ हैं।
$4$ सफेद मोज़ों में से $2$ सफेद मोज़े चुनने के तरीके $= ^4C_2 = \frac{4 \times 3}{2 \times 1} = 6$ हैं।
दोनों मोज़े एक ही रंग के होने के कुल तरीके $= 10 + 6 = 16$ हैं।
अतः,दोनों मोज़ों के एक ही रंग के होने की प्रायिकता $P = \frac{16}{36}$ है।
विकल्पों के अनुसार उत्तर प्राप्त करने के लिए,अंश और हर को $3$ से गुणा करने पर: $P = \frac{16 \times 3}{36 \times 3} = \frac{48}{108}$।

(C) $38$ लोगों में से $3$ लोगों की समिति चुनने के कुल तरीके $\binom{38}{3}$ हैं।
यदि आप समिति में हैं,तो आप पहले ही चुने जा चुके हैं,और हमें शेष $37$ लोगों में से शेष $2$ सदस्यों को चुनना है।
शेष $2$ सदस्यों को चुनने के तरीके $\binom{37}{2}$ हैं।
अतः,आपके समिति में होने की प्रायिकता अनुकूल परिणामों की संख्या और कुल परिणामों की संख्या का अनुपात है:
$P = \frac{\binom{37}{2}}{\binom{38}{3}}$.

(B) कुल व्यक्तियों की संख्या $= 4 \text{ लड़के} + 3 \text{ लड़कियाँ} = 7 \text{ व्यक्ति}$.
$7$ व्यक्तियों को कतार में व्यवस्थित करने के कुल तरीके $= 7!$.
लड़कों और लड़कियों के एकांतर स्थितियों में खड़े होने के लिए,व्यवस्था $B, G, B, G, B, G, B$ होनी चाहिए।
$4$ लड़कों को $4$ निर्धारित स्थानों पर व्यवस्थित करने के तरीके $= 4!$.
$3$ लड़कियों को $3$ निर्धारित स्थानों पर व्यवस्थित करने के तरीके $= 3!$.
कुल अनुकूल व्यवस्थाएं $= 4! \times 3!$.
प्रायिकता $= \frac{4! \times 3!}{7!} = \frac{24 \times 6}{5040} = \frac{144}{5040} = \frac{1}{35}$.

(A) $90$ टिकटों में से $5$ टिकट निकालने के कुल तरीके $^{90}C_5$ हैं।
हमें $2$ विशिष्ट टिकट ($15$ और $89$) और शेष $88$ टिकटों में से $3$ अन्य टिकट निकालने हैं।
अनुकूल परिणामों की संख्या $^{2}C_2 \times ^{88}C_3 = 1 \times ^{88}C_3$ है।
प्रायिकता $P = \frac{^{88}C_3}{^{90}C_5}$ है।
$P = \frac{88! / (3! 85!)}{90! / (5! 85!)} = \frac{88!}{3! 85!} \times \frac{5! 85!}{90!} = \frac{5 \times 4}{90 \times 89} = \frac{20}{8010} = \frac{2}{801}$.

(A) $15$ खिलाड़ियों में से $11$ खिलाड़ियों को चुनने के कुल तरीके ${^{15}C_{11}}$ हैं।
$8$ बल्लेबाजों में से $6$ बल्लेबाजों को चुनने के तरीके ${^8C_6}$ हैं।
$7$ गेंदबाजों में से $5$ गेंदबाजों को चुनने के तरीके ${^7C_5}$ हैं।
अतः,अनुकूल परिणामों की संख्या ${^8C_6} \times {^7C_5}$ है।
अभीष्ट प्रायिकता अनुकूल परिणामों और कुल परिणामों का अनुपात है:
$P = \frac{{^8C_6} \times {^7C_5}}{{^{15}C_{11}}}$.

(D) थैले में गेंदों की कुल संख्या = $5$ (काली) + $4$ (सफेद) + $3$ (लाल) = $12$ गेंदें।
हमें काली या लाल गेंद चुनने की प्रायिकता ज्ञात करनी है।
अनुकूल परिणामों की संख्या (काली या लाल) = $5 + 3 = 8$।
कुल संभावित परिणामों की संख्या = $12$।
प्रायिकता $P(\text{काली या लाल}) = \frac{\text{अनुकूल परिणामों की संख्या}}{\text{कुल परिणामों की संख्या}} = \frac{8}{12} = \frac{2}{3}$।

(C) $30$ क्रमागत पूर्णांकों में से $2$ पूर्णांकों को चुनने के कुल तरीके $^{30}C_2 = \frac{30 \times 29}{2} = 435$ हैं।
दो संख्याओं का योग विषम होने के लिए,एक संख्या सम (even) और दूसरी संख्या विषम (odd) होनी चाहिए।
$30$ क्रमागत पूर्णांकों में $15$ सम संख्याएँ और $15$ विषम संख्याएँ होती हैं।
एक सम और एक विषम संख्या चुनने के तरीकों की संख्या $^{15}C_1 \times ^{15}C_1 = 15 \times 15 = 225$ है।
अभीष्ट प्रायिकता = $\frac{\text{अनुकूल परिणाम}}{\text{कुल परिणाम}} = \frac{225}{435}$ है।
अंश और हर को $15$ से विभाजित करने पर,हमें $\frac{225 \div 15}{435 \div 15} = \frac{15}{29}$ प्राप्त होता है।

(C) प्रथम $20$ पूर्णांकों में से $3$ पूर्णांक चुनने के कुल तरीके $^{20}C_3 = \frac{20 \times 19 \times 18}{3 \times 2 \times 1} = 1140$ हैं।
तीन पूर्णांकों का गुणनफल सम तब होता है जब उनमें से कम से कम एक पूर्णांक सम हो।
पूरक घटना की प्रायिकता ज्ञात करना आसान है,जिसका अर्थ है कि गुणनफल विषम (odd) हो। गुणनफल विषम तभी होता है जब तीनों चुने गए पूर्णांक विषम हों।
प्रथम $20$ पूर्णांकों में $10$ विषम और $10$ सम पूर्णांक होते हैं।
$3$ विषम पूर्णांक चुनने के तरीके $^{10}C_3 = \frac{10 \times 9 \times 8}{3 \times 2 \times 1} = 120$ हैं।
गुणनफल के विषम होने की प्रायिकता $P(\text{odd}) = \frac{^{10}C_3}{^{20}C_3} = \frac{120}{1140} = \frac{12}{114} = \frac{2}{19}$ है।
अतः,गुणनफल के सम होने की प्रायिकता $P(\text{even}) = 1 - P(\text{odd}) = 1 - \frac{2}{19} = \frac{17}{19}$ है।

(D) $6$ संख्याओं में से $2$ संख्याओं को बिना प्रतिस्थापन के चुनने के कुल तरीके,जहाँ क्रम मायने रखता है,$P(6, 2) = 6 \times 5 = 30$ हैं।
मान लीजिए $X$ और $Y$ दो चुनी गई संख्याएँ हैं। हमें $\min(X, Y) < 4$ होने की प्रायिकता ज्ञात करनी है।
पूरक घटना की प्रायिकता ज्ञात करना आसान है: $\min(X, Y) \ge 4$ होने की प्रायिकता।
यदि $\min(X, Y) \ge 4$ है,तो दोनों संख्याओं को समुच्चय $\{4, 5, 6\}$ से चुना जाना चाहिए।
समुच्चय $\{4, 5, 6\}$ से बिना प्रतिस्थापन के $2$ संख्याएँ चुनने के तरीके $P(3, 2) = 3 \times 2 = 6$ हैं।
अतः,$\min(X, Y) \ge 4$ होने की प्रायिकता $\frac{6}{30} = \frac{1}{5}$ है।
इसलिए,$\min(X, Y) < 4$ होने की प्रायिकता $1 - \frac{1}{5} = \frac{4}{5}$ है।

(B) थैले में गेंदों की कुल संख्या $= 6 + 7 + 5 = 18$ है।
$18$ गेंदों में से $3$ गेंदें निकालने के तरीकों की संख्या ${}^{18}C_3 = \frac{18 \times 17 \times 16}{3 \times 2 \times 1} = 3 \times 17 \times 16 = 816$ है।
$6$ सफेद गेंदों में से $3$ सफेद गेंदें निकालने के तरीकों की संख्या ${}^{6}C_3 = \frac{6 \times 5 \times 4}{3 \times 2 \times 1} = 20$ है।
अभीष्ट प्रायिकता अनुकूल परिणामों और कुल परिणामों का अनुपात है:
$P = \frac{{}^{6}C_3}{{}^{18}C_3} = \frac{20}{816}$.
अंश और हर को $4$ से विभाजित करने पर:
$P = \frac{5}{204}$.

(D) गेंदों की कुल संख्या = $4 + 5 + 6 = 15$ है।
हमें $15$ गेंदों में से $3$ गेंदें चुननी हैं। $3$ गेंदें चुनने के कुल तरीके ${}^{15}C_3 = \frac{15 \times 14 \times 13}{3 \times 2 \times 1} = 5 \times 7 \times 13 = 455$ हैं।
$1$ सफेद,$1$ लाल और $1$ हरी गेंद चुनने के तरीके ${}^4C_1 \times {}^5C_1 \times {}^6C_1 = 4 \times 5 \times 6 = 120$ हैं।
अभीष्ट प्रायिकता = $\frac{\text{अनुकूल परिणाम}}{\text{कुल परिणाम}} = \frac{120}{455}$ है।
अंश और हर को $5$ से विभाजित करने पर,हमें $\frac{24}{91}$ प्राप्त होता है।

(B) गेंदों की कुल संख्या $= 10 + 15 = 25$ है।
हमें दो बार गेंद निकालने पर एक लाल और एक हरी गेंद प्राप्त करनी है।
$10$ में से $1$ लाल गेंद और $15$ में से $1$ हरी गेंद चुनने के तरीकों की संख्या $10 \times 15 = 150$ है।
$25$ में से $2$ गेंदें चुनने के कुल तरीकों की संख्या $^{25}C_2 = \frac{25 \times 24}{2} = 300$ है।
अतः,प्रायिकता $= \frac{150}{300} = \frac{1}{2}$ है।
वैकल्पिक रूप से,क्रम को ध्यान में रखते हुए: (लाल फिर हरी) या (हरी फिर लाल)।
$P(RG) + P(GR) = (\frac{10}{25} \times \frac{15}{24}) + (\frac{15}{25} \times \frac{10}{24}) = \frac{150}{600} + \frac{150}{600} = \frac{300}{600} = \frac{1}{2}$।

(C) $52$ पत्तों की गड्डी से $3$ पत्ते निकालने के कुल तरीके ${}^{52}C_3$ द्वारा दिए जाते हैं।
${}^{52}C_3 = \frac{52 \times 51 \times 50}{3 \times 2 \times 1} = 52 \times 17 \times 25 = 22100$.
$52$ पत्तों की गड्डी में $4$ इक्के होते हैं। $4$ में से $3$ इक्के निकालने के तरीके ${}^{4}C_3$ हैं।
${}^{4}C_3 = \frac{4 \times 3 \times 2}{3 \times 2 \times 1} = 4$.
तीन इक्के निकालने की प्रायिकता = $\frac{\text{अनुकूल परिणामों की संख्या}}{\text{कुल परिणामों की संख्या}} = \frac{{}^{4}C_3}{{}^{52}C_3} = \frac{4}{22100} = \frac{1}{5525}$.

(A) कुल पत्तों की संख्या = $4 + 4 + 4 + 4 = 16$.
निकाले गए पत्तों की संख्या = $2$.
$16$ पत्तों में से $2$ पत्ते चुनने के कुल तरीके = ${}^{16}C_2 = \frac{16 \times 15}{2 \times 1} = 120$.
इक्का न होने वाले पत्तों की संख्या = $16 - 4 = 12$.
$2$ पत्ते इस प्रकार चुनने के तरीके कि उनमें से कोई भी इक्का न हो = ${}^{12}C_2 = \frac{12 \times 11}{2 \times 1} = 66$.
कोई भी इक्का न होने की प्रायिकता = $\frac{66}{120} = \frac{11}{20}$.
कम से कम एक इक्का होने की प्रायिकता = $1 - P(\text{कोई इक्का नहीं}) = 1 - \frac{11}{20} = \frac{9}{20}$.

(A) जब एक सिक्के को $100$ बार उछाला जाता है,तो कुल संभावित परिणामों की संख्या $2^{100}$ होती है।
चित (tails) के विषम संख्या में आने के अनुकूल परिणामों की संख्या: ${}^{100}C_1 + {}^{100}C_3 + {}^{100}C_5 + \dots + {}^{100}C_{99}$ है।
द्विपद प्रमेय के गुणधर्म के अनुसार,विषम क्रम के द्विपद गुणांकों का योग ${}^{n}C_1 + {}^{n}C_3 + \dots = 2^{n-1}$ होता है।
यहाँ $n = 100$ है,इसलिए अनुकूल परिणामों की संख्या $2^{100-1} = 2^{99}$ होगी।
अतः,अभीष्ट प्रायिकता $\frac{2^{99}}{2^{100}} = \frac{1}{2}$ है।

(A) गेंदों की कुल संख्या $= 3 + 4 + 5 = 12$ है।
$12$ गेंदों में से $2$ गेंदें चुनने के कुल तरीके ${}^{12}C_2 = \frac{12 \times 11}{2} = 66$ हैं।
गेंदों के अलग-अलग रंग के होने की प्रायिकता ज्ञात करने के लिए,यह आसान है कि हम उनके समान रंग के होने की प्रायिकता ज्ञात करें और उसे $1$ में से घटा दें।
समान रंग की $2$ गेंदें चुनने के तरीके:
- दोनों लाल: ${}^{3}C_2 = 3$
- दोनों सफेद: ${}^{4}C_2 = 6$
- दोनों नीली: ${}^{5}C_2 = 10$
समान रंग के लिए कुल तरीके $= 3 + 6 + 10 = 19$ हैं।
समान रंग की प्रायिकता $= \frac{19}{66}$ है।
अलग-अलग रंग की प्रायिकता $= 1 - \frac{19}{66} = \frac{66 - 19}{66} = \frac{47}{66}$ है।

(A) दस छात्रों को एक पंक्ति में व्यवस्थित करने के कुल तरीके $10!$ हैं।
यह प्रायिकता ज्ञात करने के लिए कि दो विशिष्ट छात्र एक साथ बैठें,हम उन्हें एक इकाई के रूप में मानते हैं। अब,हमारे पास $9$ इकाइयाँ हैं (जोड़ी + $8$ अन्य छात्र),जिन्हें $9!$ तरीकों से व्यवस्थित किया जा सकता है। जोड़ी के भीतर,दो छात्रों को $2! = 2$ तरीकों से व्यवस्थित किया जा सकता है।
इसलिए,उनके एक साथ बैठने के तरीकों की संख्या $2 \times 9!$ है।
उनके एक साथ बैठने की प्रायिकता $P(\text{together}) = \frac{2 \times 9!}{10!} = \frac{2 \times 9!}{10 \times 9!} = \frac{2}{10} = \frac{1}{5}$ है।
अतः,उनके एक-दूसरे के बगल में न बैठने की प्रायिकता $P(\text{not together}) = 1 - P(\text{together}) = 1 - \frac{1}{5} = \frac{4}{5}$ है।

(A) मोज़ों की कुल संख्या = $5 + 4 = 9$.
$9$ में से $2$ मोज़े चुनने के कुल तरीके ${}^9C_2 = \frac{9 \times 8}{2 \times 1} = 36$ हैं।
मोज़े तब मेल खाएंगे यदि या तो दोनों भूरे हों या दोनों नीले हों।
$5$ में से $2$ भूरे मोज़े चुनने के तरीके ${}^5C_2 = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10$ हैं।
$4$ में से $2$ नीले मोज़े चुनने के तरीके ${}^4C_2 = \frac{4 \times 3}{2 \times 1} = 6$ हैं।
कुल अनुकूल परिणाम = $10 + 6 = 16$.
अतः,अभीष्ट प्रायिकता = $\frac{\text{अनुकूल परिणाम}}{\text{कुल परिणाम}} = \frac{16}{36} = \frac{4}{9}$.

(C) $5$ व्यक्तियों को कतार में व्यवस्थित करने के कुल तरीके $5! = 120$ हैं।
अनुकूल तरीकों की संख्या ज्ञात करने के लिए जहाँ $A$ और $E$ हमेशा साथ हों,हम $(AE)$ को एक इकाई मानते हैं।
अब,हमारे पास व्यवस्थित करने के लिए $4$ इकाइयाँ हैं: $(AE), B, C, D$। इन्हें $4!$ तरीकों से व्यवस्थित किया जा सकता है।
$(AE)$ इकाई के भीतर,$A$ और $E$ को $2! = 2$ तरीकों से व्यवस्थित किया जा सकता है।
अतः,कुल अनुकूल तरीके $2 \times 4! = 2 \times 24 = 48$ हैं।
अभीष्ट प्रायिकता $\frac{\text{अनुकूल परिणाम}}{\text{कुल परिणाम}} = \frac{2 \times 4!}{5!} = \frac{2 \times 24}{120} = \frac{48}{120} = \frac{2}{5}$ है।

(C) गेंदों की कुल संख्या = $8 + 7 = 15$ है।
$15$ गेंदों में से $2$ गेंदें निकालने के कुल तरीके = $^{15}C_2 = \frac{15 \times 14}{2 \times 1} = 105$ हैं।
दोनों गेंदों के एक ही रंग के होने के लिए,या तो दोनों लाल होनी चाहिए या दोनों काली होनी चाहिए।
$8$ लाल गेंदों में से $2$ लाल गेंदें निकालने के तरीके = $^8C_2 = \frac{8 \times 7}{2 \times 1} = 28$ हैं।
$7$ काली गेंदों में से $2$ काली गेंदें निकालने के तरीके = $^7C_2 = \frac{7 \times 6}{2 \times 1} = 21$ हैं।
कुल अनुकूल परिणाम = $28 + 21 = 49$ हैं।
अभीष्ट प्रायिकता = $\frac{49}{105} = \frac{7}{15}$ है।

(B) कुल कार्डों की संख्या = $80$ है।
$1$ से $80$ के बीच $4$ से विभाज्य संख्याएँ $4, 8, 12, \dots, 80$ हैं। यह एक समांतर श्रेणी है जहाँ $a = 4$, $d = 4$, और $l = 80$ है।
$l = a + (n - 1)d$ सूत्र का उपयोग करने पर, $80 = 4 + (n - 1)4$, जिसका अर्थ है $n = 20$ है।
$80$ कार्डों में से $2$ कार्ड चुनने के कुल तरीके $^{80}C_2 = \frac{80 \times 79}{2} = 3160$ हैं।
$4$ से विभाज्य $20$ कार्डों में से $2$ कार्ड चुनने के अनुकूल तरीके $^{20}C_2 = \frac{20 \times 19}{2} = 190$ हैं।
अपेक्षित प्रायिकता $P = \frac{190}{3160} = \frac{19}{316}$ है।

(D) मान लीजिए $B_1$ पहली टोकरी है और $B_2$ दूसरी टोकरी है।
$B_1$ में कुल फल = $5 + 7 = 12$.
$B_2$ में कुल फल = $4 + 8 = 12$.
$B_1$ से सेब चुनने की प्रायिकता = $\frac{5}{12}$.
$B_2$ से सेब चुनने की प्रायिकता = $\frac{4}{12}$.
$B_1$ से संतरा चुनने की प्रायिकता = $\frac{7}{12}$.
$B_2$ से संतरा चुनने की प्रायिकता = $\frac{8}{12}$.
चूंकि घटनाएं स्वतंत्र हैं,दोनों के सेब होने की प्रायिकता = $\frac{5}{12} \times \frac{4}{12} = \frac{20}{144}$.
दोनों के संतरे होने की प्रायिकता = $\frac{7}{12} \times \frac{8}{12} = \frac{56}{144}$.
चूंकि ये घटनाएं परस्पर अपवर्जी हैं,कुल प्रायिकता = $\frac{20}{144} + \frac{56}{144} = \frac{76}{144}$.

(B) $m$ अवयवों वाले समुच्चय $A$ से $n$ अवयवों वाले समुच्चय $B$ तक के कुल फलनों (प्रतिचित्रणों) की संख्या $n^m$ होती है।
एकैकी फलन (injection) केवल तभी संभव है जब $m \le n$ हो। समुच्चय $B$ से $m$ भिन्न अवयवों को चुनने और उन्हें व्यवस्थित करने के तरीकों की संख्या क्रमचय सूत्र $P(n, m) = \frac{n!}{(n - m)!}$ द्वारा दी जाती है।
अतः,एकैकी प्रतिचित्रणों की संख्या $\frac{n!}{(n - m)!}$ है।
एकैकी प्रतिचित्रण चुनने की प्रायिकता $P$,एकैकी प्रतिचित्रणों की संख्या और कुल प्रतिचित्रणों की संख्या का अनुपात है:
$P = \frac{\text{एकैकी प्रतिचित्रणों की संख्या}}{\text{कुल प्रतिचित्रणों की संख्या}} = \frac{\frac{n!}{(n - m)!}}{n^m} = \frac{n!}{(n - m)! n^m}$.

(A) $n$ व्यक्तियों में से $2$ व्यक्तियों को चुनने के कुल तरीके $^nC_2 = \frac{n(n-1)}{2}$ द्वारा दिए जाते हैं।
उनके साथ होने के तरीकों की संख्या ज्ञात करने के लिए,हम $2$ आसन्न व्यक्तियों को एक इकाई के रूप में मानते हैं। $n$ व्यक्तियों की पंक्ति में ऐसे $(n-1)$ जोड़े होते हैं।
अतः,उनके साथ होने के तरीकों की संख्या $(n-1)$ है।
उनके साथ होने की प्रायिकता $P(\text{together}) = \frac{n-1}{^nC_2} = \frac{n-1}{\frac{n(n-1)}{2}} = \frac{2}{n}$ है।
अतः,उनके साथ न होने की प्रायिकता $P(\text{not together}) = 1 - P(\text{together}) = 1 - \frac{2}{n}$ है।

(D) मान लीजिए कि $A$ गोल मेज पर किसी एक सीट पर बैठता है। अब $B$ के लिए $14$ सीटें उपलब्ध हैं।
यदि $A$ और $B$ के बीच $4$ व्यक्ति होने चाहिए,तो $B$ के पास बैठने के लिए केवल दो विशिष्ट स्थान हैं (एक $A$ के बाईं ओर और एक $A$ के दाईं ओर) ताकि उनके बीच ठीक $4$ व्यक्ति हों।
चूंकि $B$ के लिए कुल $14$ संभावित स्थान हैं और $2$ अनुकूल स्थान हैं,इसलिए अभीष्ट प्रायिकता $P = \frac{2}{14} = \frac{1}{7}$ है।

(B) $10$ लोगों ($5$ लड़के और $5$ लड़कियाँ) को एक पंक्ति में व्यवस्थित करने के कुल तरीके $10!$ हैं।
लड़कों और लड़कियों के एकांतर बैठने के लिए दो संभावित पैटर्न हैं:
$1$. लड़का,लड़की,लड़का,लड़की,लड़का,लड़की,लड़का,लड़की,लड़का,लड़की
$2$. लड़की,लड़का,लड़की,लड़का,लड़की,लड़का,लड़की,लड़का,लड़की,लड़का
प्रत्येक पैटर्न में,$5$ लड़कों को $5!$ तरीकों से और $5$ लड़कियों को $5!$ तरीकों से व्यवस्थित किया जा सकता है।
इसलिए,अनुकूल तरीकों की संख्या $2 \times (5! \times 5!)$ है।
प्रायिकता अनुकूल परिणामों और कुल परिणामों का अनुपात है:
$P = \frac{2 \times 5! \times 5!}{10!}$
$P = \frac{2 \times 120 \times 120}{3628800} = \frac{2 \times 120}{10 \times 9 \times 8 \times 7 \times 6} = \frac{2}{30240} \times 120 = \frac{2}{252} = \frac{1}{126}$.

(B) मान लीजिए $A$ वह घटना है कि संख्याओं का योग $11$ है। योग $11$ प्राप्त करने के लिए संभावित परिणाम $(5, 6)$ और $(6, 5)$ हैं।
मान लीजिए $B$ वह घटना है कि पहले पासे पर $5$ आता है। $B$ के लिए संभावित परिणाम $(5, 1), (5, 2), (5, 3), (5, 4), (5, 5), (5, 6)$ हैं।
हमें सप्रतिबंध प्रायिकता $P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$ ज्ञात करनी है।
सर्वनिष्ठ $A \cap B$ वह घटना है जहाँ योग $11$ है और पहले पासे पर $5$ है,जो केवल $(5, 6)$ परिणाम है।
अतः,$n(A \cap B) = 1$ और $n(B) = 6$ है।
अपेक्षित प्रायिकता $\frac{n(A \cap B)}{n(B)} = \frac{1}{6}$ है।

(C) सप्रतिबंध प्रायिकता का सूत्र $P(B/A) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)}$ द्वारा दिया जाता है।
दिए गए मान $P(A) = \frac{1}{2}$ और $P(A \cap B) = \frac{1}{4}$ हैं।
इन मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:
$P(B/A) = \frac{1/4}{1/2} = \frac{1}{4} \times \frac{2}{1} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$.
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(C) सप्रतिबंध प्रायिकता की परिभाषा के अनुसार,$P\left( \frac{\overline{A}}{\overline{B}} \right) = \frac{P(\overline{A} \cap \overline{B})}{P(\overline{B})}$ होता है।
डी मॉर्गन के नियम का उपयोग करते हुए,हम जानते हैं कि $\overline{A} \cap \overline{B} = \overline{A \cup B}$ होता है।
इसलिए,$P(\overline{A} \cap \overline{B}) = P(\overline{A \cup B}) = 1 - P(A \cup B)$ होता है।
इस मान को व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर,हमें $P\left( \frac{\overline{A}}{\overline{B}} \right) = \frac{1 - P(A \cup B)}{P(\overline{B})}$ प्राप्त होता है।

(B) माना $A$ वह घटना है कि पहले पासे पर $4$ आता है।
पहले पासे पर $4$ आने के लिए प्रतिदर्श समष्टि: $(4, 1), (4, 2), (4, 3), (4, 4), (4, 5), (4, 6)$ है।
इस सीमित प्रतिदर्श समष्टि में कुल $6$ संभावित परिणाम हैं।
माना $B$ वह घटना है कि संख्याओं का योग $7$ से अधिक है।
हम ऐसे परिणाम $(4, x)$ देखते हैं जहाँ $4 + x > 7$,जिसका अर्थ है $x > 3$।
अनुकूल परिणाम $(4, 4), (4, 5), (4, 6)$ हैं।
कुल $3$ अनुकूल परिणाम हैं।
अभीष्ट प्रायिकता $= \frac{\text{अनुकूल परिणामों की संख्या}}{\text{सीमित प्रतिदर्श समष्टि में कुल परिणाम}} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$।

(A) हमें दिया गया है $P(A) = \frac{1}{3}$,$P(B) = \frac{1}{4}$,और $P(A \cap B) = \frac{1}{5}$।
सबसे पहले,$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) = \frac{1}{3} + \frac{1}{4} - \frac{1}{5} = \frac{20 + 15 - 12}{60} = \frac{23}{60}$ की गणना करें।
हमें $P\left( \frac{\overline{B}}{\overline{A}} \right)$ ज्ञात करना है। सप्रतिबंध प्रायिकता की परिभाषा के अनुसार,$P\left( \frac{\overline{B}}{\overline{A}} \right) = \frac{P(\overline{B} \cap \overline{A})}{P(\overline{A})}$।
डी मॉर्गन के नियम का उपयोग करते हुए,$\overline{B} \cap \overline{A} = \overline{A \cup B}$,इसलिए $P(\overline{B} \cap \overline{A}) = 1 - P(A \cup B) = 1 - \frac{23}{60} = \frac{37}{60}$।
साथ ही,$P(\overline{A}) = 1 - P(A) = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$।
अतः,$P\left( \frac{\overline{B}}{\overline{A}} \right) = \frac{37/60}{2/3} = \frac{37}{60} \times \frac{3}{2} = \frac{37}{40}$।

(A) हमें प्रायिकताएँ $P(A) = \frac{3}{8}$,$P(B) = \frac{5}{8}$,और $P(A \cup B) = \frac{3}{4}$ दी गई हैं।
प्रायिकता के योग नियम का उपयोग करते हुए: $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$.
मान रखने पर: $\frac{3}{4} = \frac{3}{8} + \frac{5}{8} - P(A \cap B)$.
$\frac{3}{4} = \frac{8}{8} - P(A \cap B) = 1 - P(A \cap B)$.
अतः,$P(A \cap B) = 1 - \frac{3}{4} = \frac{1}{4}$.
अब,सप्रतिबंध प्रायिकता $P(A|B)$ का सूत्र है: $P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$.
मान रखने पर: $P(A|B) = \frac{1/4}{5/8} = \frac{1}{4} \times \frac{8}{5} = \frac{2}{5}$.

(A) सप्रतिबंध प्रायिकता की परिभाषा के अनुसार $P\left( \frac{A}{B} \right) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$ होता है।
चूंकि घटनाएँ $A$ और $B$ परस्पर अपवर्जी हैं,इसलिए वे एक साथ घटित नहीं हो सकती हैं।
अतः,उनकी सर्वनिष्ठ घटना की प्रायिकता $P(A \cap B) = 0$ होती है।
इस मान को सूत्र में रखने पर,हमें $P\left( \frac{A}{B} \right) = \frac{0}{P(B)} = 0$ प्राप्त होता है (जहाँ $P(B) \neq 0$ है)।

(B) दिया गया है कि $A \subseteq B$.
इसका अर्थ है कि जब भी घटना $A$ घटित होती है,तो घटना $B$ भी अवश्य घटित होती है।
अतः,$A$ और $B$ का सर्वनिष्ठ $A \cap B = A$ होता है।
सप्रतिबंध प्रायिकता की परिभाषा के अनुसार,$P\left( \frac{B}{A} \right) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)}$.
सूत्र में $A \cap B = A$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $P\left( \frac{B}{A} \right) = \frac{P(A)}{P(A)} = 1$ प्राप्त होता है (जहाँ $P(A) > 0$ है)।

(C) सप्रतिबंध प्रायिकता की परिभाषा के अनुसार,$P(A/B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$ होता है।
चूँकि $A$ और $B$ स्वतंत्र घटनाएँ हैं,इसलिए उनके सर्वनिष्ठ की प्रायिकता $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$ होती है।
इस मान को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर,हमें $P(A/B) = \frac{P(A) \cdot P(B)}{P(B)}$ प्राप्त होता है।
अंश और हर से $P(B)$ को काटने पर,हमें $P(A/B) = P(A)$ प्राप्त होता है।