Probability Questions in Hindi

(D) जब तीन निष्पक्ष सिक्कों को उछाला जाता है,तो प्रतिदर्श समष्टि $S$ इस प्रकार है:
$S = \{TTT, TTH, THT, HTT, THH, HTH, HHT, HHH\}$
कुल परिणामों की संख्या $N(S) = 8$ है।
माना $E$ अधिकतम दो चित प्राप्त करने की घटना है।
इसका अर्थ है कि हमें $0, 1,$ या $2$ चित प्राप्त हो सकते हैं।
घटना $E$ के अनुकूल परिणाम हैं:
$E = \{TTT, TTH, THT, HTT, THH, HTH, HHT\}$
अनुकूल परिणामों की संख्या $N(E) = 7$ है।
प्रायिकता $P(E)$ इस प्रकार है:
$P(E) = \frac{N(E)}{N(S)} = \frac{7}{8}$.

(B) जब दो पासे फेंके जाते हैं,तो कुल संभावित परिणामों की संख्या $n(S) = 6 \times 6 = 36$ है।
दो संख्याओं का गुणनफल विषम (odd) तभी होता है जब दोनों संख्याएँ विषम हों। पासे पर विषम संख्याएँ $\{1, 3, 5\}$ हैं।
ऐसे परिणामों की संख्या जहाँ दोनों पासों पर विषम संख्या आती है,$3 \times 3 = 9$ है।
ये परिणाम हैं: $(1,1), (1,3), (1,5), (3,1), (3,3), (3,5), (5,1), (5,3), (5,5)$।
यदि गुणनफल विषम नहीं है,तो वह सम है। इसलिए,सम गुणनफल वाले परिणामों की संख्या $n(E) = n(S) - n(\text{विषम गुणनफल}) = 36 - 9 = 27$ है।
सम गुणनफल प्राप्त करने की प्रायिकता $P(E) = \frac{n(E)}{n(S)} = \frac{27}{36} = \frac{3}{4}$ है।

(A) छात्रों की कुल संख्या $= 15 + 10 = 25$ है।
$25$ में से $3$ छात्रों को चुनने के तरीकों की संख्या ${}^{25}C_{3} = \frac{25 \times 24 \times 23}{3 \times 2 \times 1} = 2300$ है।
$10$ में से $1$ लड़की को चुनने के तरीकों की संख्या ${}^{10}C_{1} = 10$ है।
$15$ में से $2$ लड़कों को चुनने के तरीकों की संख्या ${}^{15}C_{2} = \frac{15 \times 14}{2 \times 1} = 105$ है।
अभीष्ट प्रायिकता $= \frac{{}^{10}C_{1} \times {}^{15}C_{2}}{{}^{25}C_{3}} = \frac{10 \times 105}{2300} = \frac{1050}{2300} = \frac{21}{46}$।

(B) गेंदों की कुल संख्या $= 7 + 5 = 12$.
पहली बार में सफेद गेंद निकालने की प्रायिकता $P(W_1) = \frac{5}{12}$ है।
चूंकि गेंद को वापस रख दिया जाता है,इसलिए कुल गेंदों की संख्या $12$ ही रहती है और सफेद गेंदों की संख्या भी $5$ ही रहती है।
दूसरी बार में सफेद गेंद निकालने की प्रायिकता $P(W_2) = \frac{5}{12}$ है।
चूंकि ये घटनाएं स्वतंत्र हैं,इसलिए दोनों गेंदों के सफेद होने की प्रायिकता $P(W_1 \cap W_2) = P(W_1) \times P(W_2) = \frac{5}{12} \times \frac{5}{12} = \frac{25}{144}$ है।

(C) गेंदों की कुल संख्या $= 7 + 5 = 12$ है।
पहली बार में काली गेंद निकालने की प्रायिकता $P(B_1) = \frac{7}{12}$ है।
चूंकि गेंद को वापस थैले में रख दिया जाता है,इसलिए दूसरी बार के लिए भी गेंदों की कुल संख्या $12$ ही रहती है।
दूसरी बार में काली गेंद निकालने की प्रायिकता $P(B_2) = \frac{7}{12}$ है।
चूंकि ये घटनाएं स्वतंत्र हैं,इसलिए दोनों गेंदों के काली होने की प्रायिकता $P(B_1 \cap B_2) = P(B_1) \times P(B_2) = \frac{7}{12} \times \frac{7}{12} = \frac{49}{144}$ है।

(A) थैले में गेंदों की कुल संख्या $= 7 + 5 = 12$ है।
चूंकि पहली गेंद निकालने के बाद उसे वापस रख दिया जाता है,इसलिए दूसरी बार गेंद निकालने के लिए भी गेंदों की कुल संख्या $12$ ही रहती है।
पहली बार में काली गेंद निकलने की प्रायिकता $P(B_1) = \frac{7}{12}$ है।
दूसरी बार में सफेद गेंद निकलने की प्रायिकता $P(W_2) = \frac{5}{12}$ है।
चूंकि ये स्वतंत्र घटनाएं हैं,इसलिए पहली गेंद काली और दूसरी सफेद होने की प्रायिकता $P(B_1 \cap W_2) = P(B_1) \times P(W_2) = \frac{7}{12} \times \frac{5}{12} = \frac{35}{144}$ होगी।

(D) थैले में गेंदों की कुल संख्या $= 7 + 5 = 12$ है।
चूंकि पहली गेंद निकालने के बाद उसे वापस थैले में रख दिया जाता है,इसलिए दूसरी बार गेंद निकालते समय भी कुल गेंदों की संख्या $12$ ही रहती है।
पहली बार में सफेद गेंद निकलने की प्रायिकता $P(W) = \frac{5}{12}$ है।
दूसरी बार में काली गेंद निकलने की प्रायिकता $P(B) = \frac{7}{12}$ है।
चूंकि ये स्वतंत्र घटनाएं हैं,इसलिए पहली गेंद सफेद और दूसरी गेंद काली होने की प्रायिकता $P(W \cap B) = P(W) \times P(B) = \frac{5}{12} \times \frac{7}{12} = \frac{35}{144}$ होगी।

(B) गेंदों की कुल संख्या $= 5 + 4 + 3 = 12$ है।
$12$ गेंदों में से $3$ गेंदें निकालने के कुल तरीके $n(S) = {}^{12}C_{3} = \frac{12 \times 11 \times 10}{3 \times 2 \times 1} = 220$ हैं।
मान लीजिए $E$ वह घटना है कि सभी $3$ गेंदें एक ही रंग की हैं।
यह तब हो सकता है यदि सभी $3$ लाल हों,सभी $3$ हरी हों,या सभी $3$ काली हों।
$3$ लाल गेंदें चुनने के तरीके $= {}^{5}C_{3} = 10$ हैं।
$3$ हरी गेंदें चुनने के तरीके $= {}^{4}C_{3} = 4$ हैं।
$3$ काली गेंदें चुनने के तरीके $= {}^{3}C_{3} = 1$ हैं।
एक ही रंग की गेंदें चुनने के कुल तरीके $= 10 + 4 + 1 = 15$ हैं।
सभी गेंदों के एक ही रंग के होने की प्रायिकता $P(E) = \frac{15}{220} = \frac{3}{44}$ है।
अतः,गेंदों के एक ही रंग के न होने की प्रायिकता $= 1 - P(E) = 1 - \frac{3}{44} = \frac{41}{44}$ है।

(D) जब किसी धनात्मक पूर्णांक को $9$ से विभाजित किया जाता है,तो संभावित शेषफल $\{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8\}$ के पूर्णांकों का समुच्चय हो सकते हैं।
कुल $9$ संभावित परिणाम हैं,इसलिए $n(S) = 9$.
घटना $E$ यह है कि शेषफल $1$ के बराबर हो। यह परिणाम $\{1\}$ के अनुरूप है।
अतः,अनुकूल परिणामों की संख्या $n(E) = 1$ है।
प्रायिकता $P(E)$ अनुकूल परिणामों और कुल परिणामों के अनुपात द्वारा दी जाती है:
$P(E) = \frac{n(E)}{n(S)} = \frac{1}{9}$.

(C) जब किसी धनात्मक पूर्णांक को $9$ से विभाजित किया जाता है,तो संभावित शेषफल का समुच्चय $S = \{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8\}$ होता है।
कुल $9$ संभावित परिणाम हैं,इसलिए $n(S) = 9$ है।
हमें उस घटना की प्रायिकता ज्ञात करनी है जिसमें शेषफल $1$ न हो।
अनुकूल परिणामों का समुच्चय $E = \{0, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8\}$ है।
अनुकूल परिणामों की संख्या $n(E) = 8$ है।
प्रायिकता $P(E)$ अनुकूल परिणामों की संख्या और कुल परिणामों की संख्या का अनुपात है।
$P(E) = \frac{n(E)}{n(S)} = \frac{8}{9}$.

(C) जब दो सिक्के उछाले जाते हैं,तो प्रतिदर्श समष्टि (sample space) $S$ इस प्रकार है: $S = \{(H, H), (H, T), (T, H), (T, T)\}$.
कुल संभावित परिणामों की संख्या $n(S) = 4$ है।
मान लीजिए $E$ अधिकतम एक चित आने की घटना है। इसका अर्थ है शून्य चित या एक चित आना।
अनुकूल परिणाम हैं: $E = \{(H, T), (T, H), (T, T)\}$.
अनुकूल परिणामों की संख्या $n(E) = 3$ है।
प्रायिकता $P(E)$ का सूत्र $P(E) = \frac{n(E)}{n(S)}$ है।
अतः,$P(E) = \frac{3}{4}$।

(D) जब दो सिक्के उछाले जाते हैं,तो प्रतिदर्श समष्टि (sample space) $S$ इस प्रकार है:
$S = \{(H, H), (H, T), (T, H), (T, T)\}$
अतः,कुल परिणामों की संख्या $n(S) = 4$ है।
मान लीजिए $E$ अधिकतम दो चित प्राप्त करने की घटना है।
'अधिकतम दो चित' का अर्थ है $0, 1,$ या $2$ चित प्राप्त करना।
प्रतिदर्श समष्टि के सभी परिणाम इस शर्त को पूरा करते हैं:
$E = \{(H, H), (H, T), (T, H), (T, T)\}$
अतः,अनुकूल परिणामों की संख्या $n(E) = 4$ है।
प्रायिकता $P(E)$ की गणना इस प्रकार की जाती है:
$P(E) = \frac{n(E)}{n(S)} = \frac{4}{4} = 1$.

(B) एक लीप वर्ष में $366$ दिन होते हैं,जिसमें $52$ पूर्ण सप्ताह और $2$ अतिरिक्त दिन होते हैं।
इन $2$ अतिरिक्त दिनों के लिए संभावित जोड़े हैं:
$\{(\text{रविवार, सोमवार}), (\text{सोमवार, मंगलवार}), (\text{मंगलवार, बुधवार}), (\text{बुधवार, गुरुवार}), (\text{गुरुवार, शुक्रवार}), (\text{शुक्रवार, शनिवार}), (\text{शनिवार, रविवार})\}$
अतः,कुल परिणामों की संख्या $n(S) = 7$ है।
वर्ष में $53$ बुधवार होने के लिए,दो अतिरिक्त दिनों में से एक दिन बुधवार होना चाहिए। अनुकूल परिणाम हैं:
$\{(\text{मंगलवार, बुधवार}), (\text{बुधवार, गुरुवार})\}$
इस प्रकार,अनुकूल परिणामों की संख्या $n(E) = 2$ है।
प्रायिकता $P(E) = \frac{n(E)}{n(S)} = \frac{2}{7}$ है।

(C) एक सामान्य वर्ष में $365$ दिन होते हैं।
$365$ को $7$ से विभाजित करने पर,हमें $52$ सप्ताह और $1$ अतिरिक्त दिन प्राप्त होता है।
यह अतिरिक्त दिन निम्नलिखित में से कोई भी एक हो सकता है: {रविवार,सोमवार,मंगलवार,बुधवार,गुरुवार,शुक्रवार,शनिवार}।
अतः,कुल परिणामों की संख्या $n(S) = 7$ है।
वर्ष में $53$ बुधवार होने के लिए,अतिरिक्त दिन का बुधवार होना आवश्यक है।
यहाँ केवल $1$ अनुकूल परिणाम है,जो कि {बुधवार} है।
इसलिए,$n(E) = 1$।
प्रायिकता $P(E) = \frac{n(E)}{n(S)} = \frac{1}{7}$।

(B) जब दो पासे फेंके जाते हैं,तो कुल संभावित परिणामों की संख्या $n(S) = 6 \times 6 = 36$ होती है।
दो पासों पर संख्याओं का योग $2$ से $12$ तक हो सकता है।
योग के विषम संख्या होने के लिए,यह $3, 5, 7, 9,$ या $11$ होना चाहिए।
प्रत्येक योग के लिए अनुकूल परिणाम इस प्रकार हैं:
- योग $= 3$: $(1, 2), (2, 1)$ ($2$ परिणाम)
- योग $= 5$: $(1, 4), (4, 1), (2, 3), (3, 2)$ ($4$ परिणाम)
- योग $= 7$: $(1, 6), (6, 1), (2, 5), (5, 2), (3, 4), (4, 3)$ ($6$ परिणाम)
- योग $= 9$: $(3, 6), (6, 3), (4, 5), (5, 4)$ ($4$ परिणाम)
- योग $= 11$: $(5, 6), (6, 5)$ ($2$ परिणाम)
अनुकूल परिणामों की कुल संख्या $n(E) = 2 + 4 + 6 + 4 + 2 = 18$ है।
प्रायिकता $P(E) = \frac{n(E)}{n(S)} = \frac{18}{36} = \frac{1}{2}$।

(C) जब दो पासे फेंके जाते हैं,तो कुल संभावित परिणामों की संख्या $n(S) = 6 \times 6 = 36$ होती है।
दो पासों पर संख्याओं का योग सम तब होता है जब दोनों संख्याएँ विषम हों या दोनों संख्याएँ सम हों।
स्थिति $1$: दोनों संख्याएँ विषम हैं। संभावित परिणाम $(1,1), (1,3), (1,5), (3,1), (3,3), (3,5), (5,1), (5,3), (5,5)$ हैं। ऐसे कुल $9$ परिणाम हैं।
स्थिति $2$: दोनों संख्याएँ सम हैं। संभावित परिणाम $(2,2), (2,4), (2,6), (4,2), (4,4), (4,6), (6,2), (6,4), (6,6)$ हैं। ऐसे कुल $9$ परिणाम हैं।
कुल अनुकूल परिणाम $n(E) = 9 + 9 = 18$ हैं।
अतः,अभीष्ट प्रायिकता $P(E) = \frac{n(E)}{n(S)} = \frac{18}{36} = \frac{1}{2}$ है।

(D) जब दो पासे फेंके जाते हैं,तो कुल परिणामों की संख्या $n(S) = 6 \times 6 = 36$ होती है।
दो पासों पर संख्याओं का योग $2$ से $12$ तक हो सकता है।
$3$ के गुणज वाले योग $3, 6, 9$ और $12$ हैं।
मान लीजिए $E$ वह घटना है कि योग $3$ का गुणज है। अनुकूल परिणाम इस प्रकार हैं:
- योग $= 3$: $(1, 2), (2, 1)$
- योग $= 6$: $(1, 5), (2, 4), (3, 3), (4, 2), (5, 1)$
- योग $= 9$: $(3, 6), (4, 5), (5, 4), (6, 3)$
- योग $= 12$: $(6, 6)$
इन परिणामों की गणना करने पर,हमें $n(E) = 2 + 5 + 4 + 1 = 12$ प्राप्त होता है।
अतः,अभीष्ट प्रायिकता $P(E) = \frac{n(E)}{n(S)} = \frac{12}{36} = \frac{1}{3}$ है।

(C) जब दो पासे फेंके जाते हैं,तो कुल परिणामों की संख्या $n(S) = 6 \times 6 = 36$ होती है।
हमें उस घटना की प्रायिकता ज्ञात करनी है जिसमें संख्याओं का योग $\leq 10$ हो।
पूरक घटना की गणना करना आसान है: योग $> 10$ होने की प्रायिकता।
$10$ से अधिक योग $11$ और $12$ हो सकते हैं।
योग $= 11$ के लिए परिणाम $(5, 6)$ और $(6, 5)$ हैं।
योग $= 12$ के लिए परिणाम $(6, 6)$ है।
अतः,$10$ से अधिक योग वाले परिणामों की संख्या $n(E') = 3$ है।
योग $> 10$ होने की प्रायिकता $P(E') = \frac{n(E')}{n(S)} = \frac{3}{36} = \frac{1}{12}$ है।
इसलिए,योग $\leq 10$ होने की प्रायिकता $P(E) = 1 - P(E') = 1 - \frac{1}{12} = \frac{11}{12}$ है।

(A) जब दो पासे फेंके जाते हैं,तो कुल संभावित परिणामों की संख्या $n(S) = 6 \times 6 = 36$ होती है।
मान लीजिए $E_1$ वह घटना है कि योग $6$ है। इसके परिणाम $(1,5), (5,1), (2,4), (4,2), (3,3)$ हैं। अतः,$n(E_1) = 5$ है।
मान लीजिए $E_2$ वह घटना है कि योग $7$ है। इसके परिणाम $(1,6), (6,1), (2,5), (5,2), (3,4), (4,3)$ हैं। अतः,$n(E_2) = 6$ है।
चूंकि ये घटनाएं परस्पर अपवर्जी हैं,इसलिए अनुकूल परिणामों की कुल संख्या $n(E) = n(E_1) + n(E_2) = 5 + 6 = 11$ है।
अतः,अभीष्ट प्रायिकता $P(E) = \frac{n(E)}{n(S)} = \frac{11}{36}$ है।

(B) जब दो पासे फेंके जाते हैं,तो कुल संभावित परिणामों की संख्या $n(S) = 6 \times 6 = 36$ होती है।
अनुकूल परिणाम जहाँ दोनों पासों पर संख्या समान है,वे $(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4), (5, 5)$ और $(6, 6)$ हैं।
अतः,अनुकूल परिणामों की संख्या $n(E) = 6$ है।
घटना की प्रायिकता $P(E) = \frac{n(E)}{n(S)}$ सूत्र द्वारा दी जाती है।
मान रखने पर,हमें $P(E) = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}$ प्राप्त होता है।

(C) कुल $(6 + 8) = 14$ गेंदों में से $2$ गेंदें निकालने के कुल तरीके संचय सूत्र ${}^{14}C_{2} = \frac{14 \times 13}{2 \times 1} = 91$ द्वारा दिए गए हैं।
$6$ सफेद गेंदों में से $1$ सफेद गेंद चुनने के तरीके ${}^{6}C_{1} = 6$ हैं।
$8$ लाल गेंदों में से $1$ लाल गेंद चुनने के तरीके ${}^{8}C_{1} = 8$ हैं।
अनुकूल परिणामों की संख्या जहाँ एक गेंद सफेद और दूसरी लाल हो,${}^{6}C_{1} \times {}^{8}C_{1} = 6 \times 8 = 48$ है।
अतः,प्रायिकता = $\frac{\text{अनुकूल परिणाम}}{\text{कुल परिणाम}} = \frac{48}{91}$ है।

(C) कुल छात्रों की संख्या = $4$ लड़कियाँ + $6$ लड़के = $10$ छात्र।
हमें $10$ में से $4$ छात्रों का एक समूह बनाना है।
$10$ में से $4$ छात्रों को चुनने के कुल तरीके $n(S) = {}^{10}C_{4} = \frac{10 \times 9 \times 8 \times 7}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 210$ हैं।
हम चाहते हैं कि $4$ के समूह में लड़कों की संख्या लड़कियों की संख्या से कम हो।
(लड़के,लड़कियाँ) के लिए संभावित स्थितियाँ जहाँ लड़के < लड़कियाँ:
स्थिति $1$: $1$ लड़का और $3$ लड़कियाँ। तरीकों की संख्या = ${}^{6}C_{1} \times {}^{4}C_{3} = 6 \times 4 = 24$।
स्थिति $2$: $0$ लड़के और $4$ लड़कियाँ। तरीकों की संख्या = ${}^{6}C_{0} \times {}^{4}C_{4} = 1 \times 1 = 1$।
कुल अनुकूल परिणाम $n(E) = 24 + 1 = 25$।
प्रायिकता $P(E) = \frac{n(E)}{n(S)} = \frac{25}{210} = \frac{5}{42}$।

(B) दिए गए अंक $2, 3, 4, 6$ और $7$ हैं। हमें $3$-अंकीय संख्या बनानी है (मान लीजिए स्थान $H, T, U$ हैं,जहाँ $H$ = सैकड़ा,$T$ = दहाई,$U$ = इकाई)।
संख्या $300$ से बड़ी होने के लिए,सैकड़े के स्थान $(H)$ पर $3, 4, 6$ या $7$ होना चाहिए।
संख्या विषम होने के लिए,इकाई के स्थान $(U)$ पर $3$ या $7$ होना चाहिए।
हम $H$ के चयन के आधार पर गणना करते हैं:
स्थिति $1$: $H = 3$. तो $U$ के लिए केवल $7$ ही विकल्प है ($1$ तरीका)। दहाई के स्थान $(T)$ के लिए शेष $3$ अंकों $(2, 4, 6)$ में से कोई भी चुना जा सकता है। कुल $= 1 \times 3 \times 1 = 3$.
स्थिति $2$: $H = 4$. तो $U$ के लिए $3$ या $7$ चुना जा सकता है ($2$ तरीके)। दहाई के स्थान $(T)$ के लिए शेष $3$ अंक चुने जा सकते हैं। कुल $= 1 \times 3 \times 2 = 6$.
स्थिति $3$: $H = 6$. तो $U$ के लिए $3$ या $7$ चुना जा सकता है ($2$ तरीके)। दहाई के स्थान $(T)$ के लिए शेष $3$ अंक चुने जा सकते हैं। कुल $= 1 \times 3 \times 2 = 6$.
स्थिति $4$: $H = 7$. तो $U$ के लिए केवल $3$ ही विकल्प है ($1$ तरीका)। दहाई के स्थान $(T)$ के लिए शेष $3$ अंकों $(2, 4, 6)$ में से कोई भी चुना जा सकता है। कुल $= 1 \times 3 \times 1 = 3$.
कुल संख्याएँ $= 3 + 6 + 6 + 3 = 18$.

(D) $52$ पत्तों में से $4$ पत्ते निकालने के कुल तरीके $n(S) = {}^{52}C_4 = \frac{52 \times 51 \times 50 \times 49}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 270725$ हैं।
$52$ पत्तों की गड्डी में $4$ रानियाँ होती हैं। यदि हम $4$ पत्ते इस प्रकार निकालते हैं कि उनमें कोई रानी न हो,तो हमें शेष $52 - 4 = 48$ पत्तों में से $4$ पत्ते चुनने होंगे।
अनुकूल परिणामों की संख्या $n(E) = {}^{48}C_4 = \frac{48 \times 47 \times 46 \times 45}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 194580$ है।
प्रायिकता $P(E) = \frac{n(E)}{n(S)} = \frac{194580}{270725}$ होगी।
अंश और हर को $5$ से विभाजित करने पर,हमें $P(E) = \frac{38916}{54145}$ प्राप्त होता है।

(D) $52$ पत्तों में से $4$ पत्ते निकालने के कुल तरीके $n(S) = {}^{52}C_{4}$ द्वारा दिए जाते हैं।
$n(S) = \frac{52 \times 51 \times 50 \times 49}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 13 \times 17 \times 25 \times 49 = 270725$.
एक इक्का,एक बादशाह,एक बेगम और एक गुलाम प्राप्त करने के लिए,हम प्रत्येक प्रकार के $4$ पत्तों में से $1$ पत्ता चुनते हैं।
ताश की गड्डी में $4$ इक्के,$4$ बादशाह,$4$ बेगम और $4$ गुलाम होते हैं।
अनुकूल परिणामों की संख्या $n(E) = {}^{4}C_{1} \times {}^{4}C_{1} \times {}^{4}C_{1} \times {}^{4}C_{1} = 4 \times 4 \times 4 \times 4 = 256$ है।
प्रायिकता $P(E) = \frac{n(E)}{n(S)} = \frac{256}{270725}$ है।

(C) $52$ पत्तों में से $4$ पत्ते चुनने के कुल तरीके $n(S) = {}^{52}C_4 = \frac{52 \times 51 \times 50 \times 49}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 270725$ हैं।
अंक वाले पत्ते $2$ से $10$ तक होते हैं,इसलिए प्रत्येक सूट में $9$ पत्ते होते हैं,कुल $36$ अंक वाले पत्ते हैं।
ऑनर्स पत्ते (इक्का,राजा,रानी,गुलाम) प्रत्येक सूट में $4$ होते हैं।
हमें $2$ अंक वाले पत्ते,$1$ काला ऑनर्स पत्ता और $1$ लाल ऑनर्स पत्ता चाहिए।
$36$ में से $2$ अंक वाले पत्ते चुनने के तरीके ${}^{36}C_2 = \frac{36 \times 35}{2} = 630$ हैं।
$8$ काले ऑनर्स पत्तों में से $1$ चुनने का तरीका ${}^{8}C_1 = 8$ है।
$8$ लाल ऑनर्स पत्तों में से $1$ चुनने का तरीका ${}^{8}C_1 = 8$ है।
कुल अनुकूल परिणाम $n(E) = 630 \times 8 \times 8 = 40320$ हैं।
प्रायिकता $P(E) = \frac{40320}{270725} = \frac{1152}{7735}$ है।

(A) बक्से में गेंदों की कुल संख्या $= 8 + 7 + 6 = 21$ है।
माना $S$ प्रतिदर्श समष्टि (sample space) है,इसलिए कुल संभावित परिणामों की संख्या $n(S) = 21$ है।
हमें वह प्रायिकता ज्ञात करनी है कि गेंद न तो लाल है और न ही हरी।
यदि गेंद न तो लाल है और न ही हरी,तो वह नीली होनी चाहिए।
नीली गेंदों की संख्या $7$ है।
माना $E$ नीली गेंद चुनने की घटना है,इसलिए $n(E) = 7$ है।
प्रायिकता $P(E) = \frac{n(E)}{n(S)} = \frac{7}{21} = \frac{1}{3}$ है।

(A) गेंदों की कुल संख्या $= 2 + 3 + 2 = 7$.
$7$ गेंदों में से $2$ गेंदें निकालने के तरीकों की संख्या ${}^{7}C_{2} = \frac{7 \times 6}{1 \times 2} = 21$ है।
अतः,$n(S) = 21$.
मान लीजिए $E$ वह घटना है कि निकाली गई गेंदों में से कोई भी नीली नहीं है। इसका अर्थ है कि $2$ गेंदें $2$ लाल और $3$ हरी गेंदों में से चुनी जानी चाहिए,जो कुल $5$ गैर-नीली गेंदें हैं।
इन $5$ गेंदों में से $2$ गेंदें निकालने के तरीकों की संख्या ${}^{5}C_{2} = \frac{5 \times 4}{1 \times 2} = 10$ है।
अतः,$n(E) = 10$.
प्रायिकता $P(E) = \frac{n(E)}{n(S)} = \frac{10}{21}$.

(D) कुल कंचों की संख्या $= 5 + 4 + 3 = 12$ है।
$12$ में से $3$ कंचे चुनने के तरीकों की संख्या $^{12}C_{3} = \frac{12 \times 11 \times 10}{3 \times 2 \times 1} = 220$ है।
$3$ हरे कंचे चुनने के तरीकों की संख्या $^{5}C_{3} = ^{5}C_{2} = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10$ है।
$3$ पीले कंचे चुनने के तरीकों की संख्या $^{4}C_{3} = ^{4}C_{1} = 4$ है।
$3$ सफेद कंचे चुनने के तरीकों की संख्या $^{3}C_{3} = 1$ है।
तीनों कंचों के एक ही रंग के होने के कुल तरीकों की संख्या $10 + 4 + 1 = 15$ है।
तीनों कंचों के एक ही रंग के होने की प्रायिकता $\frac{15}{220} = \frac{3}{44}$ है।
अतः,उनके एक ही रंग के न होने की प्रायिकता $1 - \frac{3}{44} = \frac{41}{44}$ है।

(C) जब एक पासे को दो बार फेंका जाता है,तो कुल संभावित परिणामों की संख्या $6 \times 6 = 36$ होती है।
एक पासे को दो बार फेंकने पर योग $9$ प्राप्त करने के अनुकूल परिणाम निम्नलिखित हैं:
$(3, 6), (4, 5), (5, 4), (6, 3)$।
ऐसे कुल $4$ अनुकूल परिणाम हैं।
मान लीजिए $E$ योग $9$ प्राप्त करने की घटना है।
अतः,प्रायिकता $P(E) = \frac{\text{अनुकूल परिणामों की संख्या}}{\text{कुल संभावित परिणामों की संख्या}} = \frac{4}{36} = \frac{1}{9}$।

(D) $52$ पत्तों की गड्डी से $2$ पत्ते निकालने के कुल तरीके संचय सूत्र ${}^{n}C_{r} = \frac{n!}{r!(n-r)!}$ द्वारा दिए जाते हैं।
कुल परिणाम $= {}^{52}C_{2} = \frac{52 \times 51}{2 \times 1} = 26 \times 51 = 1326$.
$52$ पत्तों की मानक गड्डी में $4$ राजा होते हैं। $4$ में से $2$ राजा निकालने के तरीके:
अनुकूल परिणाम $= {}^{4}C_{2} = \frac{4 \times 3}{2 \times 1} = 6$.
$2$ राजा निकालने की प्रायिकता $P(E)$ अनुकूल परिणामों और कुल परिणामों का अनुपात है:
$P(E) = \frac{6}{1326} = \frac{1}{221}$.

(D) $52$ पत्तों की गड्डी से $2$ पत्ते निकालने के कुल तरीके $n(S) = {}^{52}C_{2}$ हैं।
$n(S) = \frac{52 \times 51}{2 \times 1} = 26 \times 51 = 1326$.
हमें $1$ हुकुम और $1$ पान का पत्ता निकालना है। गड्डी में $13$ हुकुम और $13$ पान के पत्ते होते हैं।
$1$ हुकुम का पत्ता चुनने के तरीके ${}^{13}C_{1} = 13$ हैं।
$1$ पान का पत्ता चुनने के तरीके ${}^{13}C_{1} = 13$ हैं।
मान लीजिए $E$ एक हुकुम और एक पान का पत्ता प्राप्त करने की घटना है।
अनुकूल परिणामों की संख्या $n(E) = 13 \times 13 = 169$ है।
प्रायिकता $P(E) = \frac{n(E)}{n(S)} = \frac{169}{1326}$ है।
अंश और हर को $13$ से विभाजित करने पर,हमें $P(E) = \frac{13}{102}$ प्राप्त होता है।

(C) कुल गेंदों की संख्या $= 4 + 5 + 6 = 15$.
$15$ गेंदों में से $3$ गेंदें निकालने के कुल तरीके ${}^{15}C_{3}$ द्वारा दिए गए हैं:
${}^{15}C_{3} = \frac{15 \times 14 \times 13}{3 \times 2 \times 1} = 5 \times 7 \times 13 = 455$.
$5$ लाल गेंदों में से $3$ लाल गेंदें निकालने के तरीके ${}^{5}C_{3}$ द्वारा दिए गए हैं:
${}^{5}C_{3} = \frac{5 \times 4 \times 3}{3 \times 2 \times 1} = 10$.
$3$ लाल गेंदें निकालने की प्रायिकता $P(E)$,अनुकूल परिणामों की संख्या और कुल परिणामों की संख्या का अनुपात है:
$P(E) = \frac{10}{455} = \frac{2}{91}$.

(A) माना कि $E$ वह घटना है कि एक छात्र अंग्रेजी में उत्तीर्ण हुआ और $F$ वह घटना है कि एक छात्र फ्रेंच में उत्तीर्ण हुआ।
दिया गया है:
$P(E) = \frac{30}{100} = \frac{3}{10}$
$P(F) = \frac{20}{100} = \frac{2}{10} = \frac{1}{5}$
$P(E \cap F) = \frac{10}{100} = \frac{1}{10}$
हमें वह प्रायिकता ज्ञात करनी है कि छात्र अंग्रेजी या फ्रेंच में उत्तीर्ण हुआ है,जो $P(E \cup F)$ है।
प्रायिकता के योग प्रमेय का उपयोग करते हुए:
$P(E \cup F) = P(E) + P(F) - P(E \cap F)$
$P(E \cup F) = \frac{3}{10} + \frac{2}{10} - \frac{1}{10}$
$P(E \cup F) = \frac{3 + 2 - 1}{10} = \frac{4}{10} = \frac{2}{5}$

(D) कुल व्यक्तियों की संख्या $3 + 2 + 4 = 9$ है।
$9$ में से $4$ व्यक्तियों के चयन के कुल तरीके ${}^{9}C_{4} = \frac{9 \times 8 \times 7 \times 6}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 126$ हैं।
हमें $4$ बच्चों में से ठीक $2$ बच्चों का चयन करना है,जिसे ${}^{4}C_{2} = \frac{4 \times 3}{2 \times 1} = 6$ तरीकों से किया जा सकता है।
$4$ व्यक्तियों के चयन को पूरा करने के लिए,शेष $2$ व्यक्तियों का चयन $5$ वयस्कों ($3$ पुरुष + $2$ महिलाएं) में से किया जाना चाहिए। इसे ${}^{5}C_{2} = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10$ तरीकों से किया जा सकता है।
अनुकूल परिणामों की संख्या ${}^{4}C_{2} \times {}^{5}C_{2} = 6 \times 10 = 60$ है।
प्रायिकता $P(E) = \frac{60}{126} = \frac{10}{21}$ है।

(B) बक्से में गेंदों की कुल संख्या $= 4 + 5 + 6 = 15$ है।
कुल संभावित परिणामों की संख्या $n(S) = 15$ है।
हमें लाल या हरी गेंद निकालने की प्रायिकता ज्ञात करनी है।
लाल गेंदों की संख्या $= 4$ है।
हरी गेंदों की संख्या $= 5$ है।
अनुकूल परिणामों की संख्या $n(E) = 4 + 5 = 9$ है।
प्रायिकता $P(E)$ अनुकूल परिणामों और कुल परिणामों का अनुपात है:
$P(E) = \frac{n(E)}{n(S)} = \frac{9}{15}$।
अंश और हर को $3$ से विभाजित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$P(E) = \frac{3}{5}$।

(A) कुल गेंदों की संख्या = $6 + 4 = 10$.
$10$ गेंदों में से $3$ गेंदें चुनने के तरीकों की संख्या ${}^{10}C_3 = \frac{10 \times 9 \times 8}{3 \times 2 \times 1} = 120$ है।
$4$ लाल गेंदों में से $1$ लाल गेंद चुनने के तरीकों की संख्या ${}^{4}C_1 = 4$ है।
$6$ काली गेंदों में से $2$ काली गेंदें चुनने के तरीकों की संख्या ${}^{6}C_2 = \frac{6 \times 5}{2 \times 1} = 15$ है।
अनुकूल परिणामों की संख्या = ${}^{4}C_1 \times {}^{6}C_2 = 4 \times 15 = 60$.
प्रायिकता $P(E) = \frac{\text{अनुकूल परिणाम}}{\text{कुल परिणाम}} = \frac{60}{120} = \frac{1}{2}$.

(B) जब दो पासे फेंके जाते हैं तो कुल संभावित परिणामों की संख्या $6 \times 6 = 36$ होती है।
दो संख्याओं का गुणनफल केवल तभी विषम होता है जब दोनों संख्याएँ विषम हों। पासे पर विषम संख्याएँ ${1, 3, 5}$ हैं।
ऐसे परिणामों की संख्या जहाँ दोनों संख्याएँ विषम हैं,$3 \times 3 = 9$ है।
यदि गुणनफल विषम नहीं है,तो वह सम है। इसलिए,अनुकूल परिणामों की संख्या जहाँ गुणनफल सम है,$36 - 9 = 27$ है।
प्रायिकता $P(E) = \frac{\text{अनुकूल परिणामों की संख्या}}{\text{कुल परिणामों की संख्या}} = \frac{27}{36} = \frac{3}{4}$।

(B) $2$ सिक्कों को एक साथ उछालने पर प्रतिदर्श समष्टि (sample space) $S = \{HH, HT, TH, TT\}$ है।
कुल संभावित परिणामों की संख्या $n(S) = 4$ है।
$2$ पट (tails) प्राप्त करने के लिए अनुकूल घटना $E = \{TT\}$ है।
अनुकूल परिणामों की संख्या $n(E) = 1$ है।
अतः,प्रायिकता $P(E)$ का सूत्र $P(E) = \frac{n(E)}{n(S)} = \frac{1}{4}$ है।

(A) जब $2$ सिक्कों को एक साथ उछाला जाता है,तो प्रतिदर्श समष्टि (sample space) $S$ इस प्रकार है:
$S = \{HH, HT, TH, TT\}$
कुल संभावित परिणामों की संख्या $n(S) = 4$ है।
हमें ठीक $1$ टेल प्राप्त करने की प्रायिकता ज्ञात करनी है। अनुकूल परिणाम $HT$ और $TH$ हैं।
अनुकूल परिणामों की संख्या $n(E) = 2$ है।
प्रायिकता $P(E)$ का सूत्र है:
$P(E) = \frac{n(E)}{n(S)} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$.
अतः,ठीक $1$ टेल प्राप्त करने की प्रायिकता $1/2$ है।

(C) जब $2$ सिक्कों को एक साथ उछाला जाता है,तो प्रतिदर्श समष्टि (sample space) $S$ इस प्रकार है:
$S = \{HH, HT, TH, TT\}$
कुल संभावित परिणामों की संख्या $n(S) = 4$ है।
हमें 'कोई भी टेल (tail) न आने' की प्रायिकता ज्ञात करनी है। यह स्थिति केवल तब संभव है जब दोनों सिक्कों पर हेड (head) आए,जो कि $HH$ है।
अनुकूल परिणामों की संख्या $n(E) = 1$ है।
प्रायिकता $P(E)$ का सूत्र इस प्रकार है:
$P(E) = \frac{n(E)}{n(S)} = \frac{1}{4}$
अतः,कोई भी टेल (tail) न आने की प्रायिकता $\frac{1}{4}$ है।

(B) जब $3$ सिक्के उछाले जाते हैं,तो प्रतिदर्श समष्टि (sample space) $S$ में कुल संभावित परिणामों की संख्या $2^3 = 8$ होती है।
प्रतिदर्श समष्टि $S = \{HHH, HHT, HTH, HTT, THH, THT, TTH, TTT\}$ है।
सभी सिक्कों पर चित आने की घटना $E = \{HHH\}$ है।
अनुकूल परिणामों की संख्या $n(E) = 1$ है।
प्रायिकता $P(E)$ अनुकूल परिणामों की संख्या और कुल परिणामों की संख्या का अनुपात है:
$P(E) = \frac{n(E)}{n(S)} = \frac{1}{8}$.

(A) जब $3$ सिक्के उछाले जाते हैं,तो प्रतिदर्श समष्टि $S$ इस प्रकार है:
$S = \{HHH, HHT, HTH, HTT, THH, THT, TTH, TTT\}$
कुल संभावित परिणामों की संख्या $n(S) = 8$ है।
हमें ठीक $2$ चित प्राप्त करने की प्रायिकता ज्ञात करनी है। अनुकूल परिणाम निम्नलिखित हैं:
$E = \{HHT, HTH, THH\}$
अनुकूल परिणामों की संख्या $n(E) = 3$ है।
प्रायिकता $P(E)$ का सूत्र इस प्रकार है:
$P(E) = \frac{n(E)}{n(S)} = \frac{3}{8}$

(A) जब $3$ सिक्के उछाले जाते हैं,तो प्रतिदर्श समष्टि (sample space) $S$ इस प्रकार है:
$S = \{HHH, HHT, HTH, THH, HTT, THT, TTH, TTT\}$
कुल संभावित परिणामों की संख्या $= 8$.
हमें कम से कम $2$ चित प्राप्त करने की प्रायिकता ज्ञात करनी है। अनुकूल परिणाम हैं:
$E = \{HHH, HHT, HTH, THH\}$
अनुकूल परिणामों की संख्या $= 4$.
अतः,प्रायिकता $P$ है:
$P(\text{कम से कम } 2 \text{ चित}) = \frac{\text{अनुकूल परिणामों की संख्या}}{\text{कुल परिणामों की संख्या}} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}$.

(C) जब $3$ सिक्के उछाले जाते हैं,तो प्रतिदर्श समष्टि $S$ इस प्रकार है:
$S = \{HHH, HHT, HTH, HTT, THH, THT, TTH, TTT\}$
कुल परिणामों की संख्या $= 8$ है।
माना $E$ अधिकतम $2$ चित प्राप्त करने की घटना है।
इसकी पूरक घटना $E'$ $3$ चित प्राप्त करने की घटना है।
$3$ चित प्राप्त करने का एकमात्र परिणाम $\{HHH\}$ है,इसलिए $n(E') = 1$ है।
$3$ चित प्राप्त करने की प्रायिकता $P(E') = \frac{1}{8}$ है।
पूरक घटना के नियम का उपयोग करते हुए,अधिकतम $2$ चित प्राप्त करने की प्रायिकता है:
$P(E) = 1 - P(E') = 1 - \frac{1}{8} = \frac{7}{8}$.

(B) $3$ सिक्कों को उछालने के लिए प्रतिदर्श समष्टि (sample space) $S$ इस प्रकार है:
$S = \{HHH, HHT, HTH, HTT, THH, THT, TTH, TTT\}$
कुल संभावित परिणामों की संख्या $n(S) = 8$ है।
हमें कोई भी चित न आने की प्रायिकता ज्ञात करनी है,जिसका अर्थ है कि सभी सिक्कों पर पट (tail) आना चाहिए $(TTT)$।
अनुकूल परिणाम $E = \{TTT\}$ है।
अनुकूल परिणामों की संख्या $n(E) = 1$ है।
प्रायिकता $P(E)$ का सूत्र है:
$P(E) = \frac{n(E)}{n(S)} = \frac{1}{8}$.

(C) जब $3$ सिक्के उछाले जाते हैं,तो कुल संभावित परिणामों की संख्या $2^3 = 8$ होती है। प्रतिदर्श समष्टि $S = \{HHH, HHT, HTH, HTT, THH, THT, TTH, TTT\}$ है।
हमें कम से कम $1$ चित और $1$ पट प्राप्त करने की प्रायिकता ज्ञात करनी है। इसका अर्थ है कि हम उन परिणामों को छोड़ देते हैं जिनमें सभी चित $(HHH)$ या सभी पट $(TTT)$ हैं।
अनुकूल परिणाम $\{HHT, HTH, HTT, THH, THT, TTH\}$ हैं।
अनुकूल परिणामों की संख्या $6$ है।
अभीष्ट प्रायिकता $= \frac{\text{अनुकूल परिणामों की संख्या}}{\text{कुल परिणामों की संख्या}} = \frac{6}{8} = \frac{3}{4}$.

(B) एक सिक्के को $3$ बार उछालने पर प्रतिदर्श समष्टि (Sample space) $S$ इस प्रकार है:
$S = \{HHH, HHT, HTH, HTT, THH, THT, TTH, TTT\}$
कुल संभावित परिणामों की संख्या $8$ है।
हमें उन परिणामों को खोजना है जहाँ चित और पट एकांतर रूप से आते हैं। ये परिणाम हैं:
$HTH$ (चित,पट,चित)
$THT$ (पट,चित,पट)
अतः,अनुकूल परिणामों की संख्या $2$ है।
इसलिए,अभीष्ट प्रायिकता $= \frac{\text{अनुकूल परिणामों की संख्या}}{\text{कुल परिणामों की संख्या}} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}$.

(A) जब $4$ सिक्के उछाले जाते हैं,तो कुल संभावित परिणामों की संख्या $2^n$ होती है,जहाँ $n$ सिक्कों की संख्या है।
यहाँ,$n = 4$,इसलिए कुल परिणाम = $2^4 = 16$ हैं।
प्रतिदर्श समष्टि $S$ में चित $(H)$ और पट $(T)$ के सभी संभावित संयोजन शामिल हैं:
$S = \{HHHH, HHHT, HHTH, HTHH, THHH, HHTT, HTHT, HTTH, THTH, THHT, TTHH, TTHT, TTTH, THTT, HTTT, TTTT\}$.
$4$ पट (tails) प्राप्त करने के लिए केवल $1$ अनुकूल परिणाम है,जो ${TTTT}$ है।
अतः,$4$ पट प्राप्त करने की प्रायिकता इस प्रकार है:
$P(4 \text{ tails}) = \frac{\text{अनुकूल परिणामों की संख्या}}{\text{कुल परिणामों की संख्या}} = \frac{1}{16}$.

(B) जब $4$ सिक्कों को उछाला जाता है, तो कुल संभावित परिणामों की संख्या $2^4 = 16$ होती है।
ठीक $3$ पट (tails) प्राप्त करने के अनुकूल परिणाम हैं:
$(T, T, T, H), (T, T, H, T), (T, H, T, T), (H, T, T, T)$।
ऐसे कुल $4$ अनुकूल परिणाम हैं।
अतः, ठीक $3$ पट प्राप्त करने की प्रायिकता
$P = \frac{\text{अनुकूल परिणामों की संख्या}}{\text{कुल परिणामों की संख्या}} = \frac{4}{16} = \frac{1}{4}$ है।