Probability Questions in Hindi

(B) जब दो पासे फेंके जाते हैं,तो कुल संभावित परिणामों की संख्या $6^2 = 36$ होती है।
दो पासों पर अंकों का योग $2$ से $12$ के बीच हो सकता है।
योग एक सम संख्या होगी यदि यह $2, 4, 6, 8, 10,$ या $12$ हो।
प्रत्येक सम योग के लिए अनुकूल परिणामों की सूची इस प्रकार है:
- योग $= 2: (1, 1) \rightarrow 1$ परिणाम
- योग $= 4: (1, 3), (2, 2), (3, 1) \rightarrow 3$ परिणाम
- योग $= 6: (1, 5), (2, 4), (3, 3), (4, 2), (5, 1) \rightarrow 5$ परिणाम
- योग $= 8: (2, 6), (3, 5), (4, 4), (5, 3), (6, 2) \rightarrow 5$ परिणाम
- योग $= 10: (4, 6), (5, 5), (6, 4) \rightarrow 3$ परिणाम
- योग $= 12: (6, 6) \rightarrow 1$ परिणाम
कुल अनुकूल परिणामों की संख्या $= 1 + 3 + 5 + 5 + 3 + 1 = 18$.
प्रायिकता $= \frac{\text{अनुकूल परिणामों की संख्या}}{\text{कुल परिणामों की संख्या}} = \frac{18}{36} = \frac{1}{2}$.

(A) मान लीजिए बक्से $A$,$B$,और $C$ हैं।
बक्सा $A$ में $3$ सफेद और $1$ काली गेंद है। सफेद गेंद निकालने की प्रायिकता $P(W_A) = \frac{3}{4}$,काली $P(B_A) = \frac{1}{4}$ है।
बक्सा $B$ में $2$ सफेद और $2$ काली गेंदें हैं। सफेद गेंद निकालने की प्रायिकता $P(W_B) = \frac{2}{4}$,काली $P(B_B) = \frac{2}{4}$ है।
बक्सा $C$ में $1$ सफेद और $3$ काली गेंदें हैं। सफेद गेंद निकालने की प्रायिकता $P(W_C) = \frac{1}{4}$,काली $P(B_C) = \frac{3}{4}$ है।
$2$ सफेद और $1$ काली गेंद प्राप्त करने के लिए,संभावित स्थितियाँ $(W, W, B)$,$(W, B, W)$,और $(B, W, W)$ हैं।
प्रायिकता $= P(W_A) \times P(W_B) \times P(B_C) + P(W_A) \times P(B_B) \times P(W_C) + P(B_A) \times P(W_B) \times P(W_C)$
$= (\frac{3}{4} \times \frac{2}{4} \times \frac{3}{4}) + (\frac{3}{4} \times \frac{2}{4} \times \frac{1}{4}) + (\frac{1}{4} \times \frac{2}{4} \times \frac{1}{4})$
$= \frac{18}{64} + \frac{6}{64} + \frac{2}{64} = \frac{26}{64} = \frac{13}{32}$.

(B) गेंदों की कुल संख्या $= 10 + 12 + 11 = 33$ है।
$33$ गेंदों में से $2$ गेंदों को चुनने के तरीकों की संख्या संचय सूत्र $nC_r = \frac{n!}{r!(n-r)!}$ द्वारा दी जाती है।
कुल तरीके $= 33C_2 = \frac{33 \times 32}{2 \times 1} = 33 \times 16 = 528$ हैं।
$10$ हरी गेंदों में से $2$ हरी गेंदें चुनने के तरीकों की संख्या $10C_2$ है।
अनुकूल तरीके $= 10C_2 = \frac{10 \times 9}{2 \times 1} = 45$ हैं।
अभीष्ट प्रायिकता अनुकूल परिणामों और कुल परिणामों का अनुपात है।
प्रायिकता $= \frac{45}{528}$ है।
अंश और हर को $3$ से विभाजित करने पर,हमें $\frac{15}{176}$ प्राप्त होता है।

(B) गेंदों की कुल संख्या $= 10 + 12 + 11 = 33$.
सफेद न होने वाली गेंदों की संख्या (हरी + पीली) $= 10 + 12 = 22$.
जब $2$ गेंदें बिना प्रतिस्थापन के चुनी जाती हैं,तो कोई भी गेंद सफेद न होने की प्रायिकता वह है कि दोनों चुनी गई गेंदें सफेद न हों।
प्रायिकता $= \frac{22}{33} \times \frac{21}{32}$.
भिन्नों को सरल करने पर: $\frac{22}{33} = \frac{2}{3}$ और $\frac{21}{32}$ वैसा ही रहेगा।
प्रायिकता $= \frac{2}{3} \times \frac{21}{32} = \frac{1}{1} \times \frac{7}{16} = \frac{7}{16}$.

(D) कुल गेंदों की संख्या = $10 + 12 + 11 = 33$.
$33$ में से $2$ गेंदें चुनने के तरीकों की संख्या = $^33C_2 = \frac{33 \times 32}{2 \times 1} = 528$.
सफेद न होने वाली गेंदों की संख्या = $10 + 12 = 22$.
$2$ गेंदें चुनने के तरीकों की संख्या ताकि कोई भी सफेद न हो = $^22C_2 = \frac{22 \times 21}{2 \times 1} = 231$.
कोई भी सफेद गेंद न मिलने की प्रायिकता = $\frac{231}{528} = \frac{7}{16}$.
कम से कम एक सफेद गेंद मिलने की प्रायिकता = $1 - P(\text{कोई सफेद गेंद नहीं}) = 1 - \frac{7}{16} = \frac{9}{16}$.

(A) गेंदों की कुल संख्या $= 15 + 20 = 35$ है।
$35$ गेंदों में से $2$ गेंदें चुनने के कुल तरीके ${}^{35}C_{2} = \frac{35 \times 34}{2 \times 1} = 35 \times 17 = 595$ हैं।
$20$ सफेद गेंदों में से $2$ सफेद गेंदें चुनने के तरीके ${}^{20}C_{2} = \frac{20 \times 19}{2 \times 1} = 10 \times 19 = 190$ हैं।
दोनों सफेद गेंदें चुनने की प्रायिकता $P = \frac{{}^{20}C_{2}}{{}^{35}C_{2}} = \frac{190}{595}$ है।
अंश और हर को $5$ से विभाजित करने पर,हमें $P = \frac{38}{119}$ प्राप्त होता है।

(C) गेंदों की कुल संख्या = $15 + 20 = 35$ है।
$35$ में से $2$ गेंदें चुनने के तरीकों की संख्या $^{35}C_{2} = \frac{35 \times 34}{2 \times 1} = 35 \times 17 = 595$ है।
हमें $1$ सफेद गेंद और $1$ काली गेंद चुननी है।
$20$ में से $1$ सफेद गेंद चुनने के तरीकों की संख्या $^{20}C_{1} = 20$ है।
$15$ में से $1$ काली गेंद चुनने के तरीकों की संख्या $^{15}C_{1} = 15$ है।
अनुकूल परिणामों की संख्या = $^{20}C_{1} \times ^{15}C_{1} = 20 \times 15 = 300$ है।
प्रायिकता = $\frac{\text{अनुकूल परिणाम}}{\text{कुल परिणाम}} = \frac{300}{595}$ है।
अंश और हर को $5$ से विभाजित करने पर,हमें $\frac{60}{119}$ प्राप्त होता है।

(A) कुल गेंदों की संख्या = $15 + 20 = 35$.
$35$ में से $2$ गेंदें चुनने के तरीके = $^{35}C_2 = \frac{35 \times 34}{2} = 595$.
'अधिक से अधिक एक सफेद गेंद' का अर्थ है या तो $0$ सफेद गेंद (दोनों काली) या $1$ सफेद गेंद (एक काली और एक सफेद)।
स्थिति $1$: दोनों गेंदें काली हों। चुनने के तरीके = $^{15}C_2 = \frac{15 \times 14}{2} = 105$.
स्थिति $2$: एक सफेद और एक काली गेंद हो। चुनने के तरीके = $^{20}C_1 \times ^{15}C_1 = 20 \times 15 = 300$.
कुल अनुकूल परिणाम = $105 + 300 = 405$.
प्रायिकता = $\frac{405}{595} = \frac{81}{119}$.

(D) कंचों की कुल संख्या $= 6 + 4 + 3 + 2 = 15$ है।
$15$ में से $2$ कंचे चुनने के तरीकों की संख्या $^{15}C_2 = \frac{15 \times 14}{2 \times 1} = 105$ है।
$6$ नीले कंचों में से $2$ नीले कंचे चुनने के तरीकों की संख्या $^{6}C_2 = \frac{6 \times 5}{2 \times 1} = 15$ है।
दोनों नीले कंचे चुने जाने की प्रायिकता $\frac{^{6}C_2}{^{15}C_2} = \frac{15}{105} = \frac{1}{7}$ है।

(C) कुल कंचों की संख्या = $6 + 4 + 3 + 2 = 15$.
हमें $15$ में से $3$ कंचे चुनने हैं। $3$ कंचे चुनने के कुल तरीके $^{15}C_{3} = \frac{15 \times 14 \times 13}{3 \times 2 \times 1} = 455$ हैं।
$4$ लाल कंचों में से $2$ लाल कंचे चुनने के तरीके $^{4}C_{2} = \frac{4 \times 3}{2 \times 1} = 6$ हैं।
$3$ हरी कंचों में से $1$ हरी कंचा चुनने के तरीके $^{3}C_{1} = 3$ हैं।
अनुकूल परिणामों की संख्या $^{4}C_{2} \times ^{3}C_{1} = 6 \times 3 = 18$ है।
अतः,प्रायिकता $\frac{18}{455}$ है।

(C) कुल कंचों की संख्या $= 6 + 4 + 3 + 2 = 15$.
$15$ में से $4$ कंचे चुनने के तरीकों की संख्या $= ^{15}C_4 = \frac{15 \times 14 \times 13 \times 12}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 1365$.
लाल न होने वाले कंचों की संख्या $= 15 - 4 = 11$.
$4$ कंचे चुनने के तरीकों की संख्या ताकि कोई भी लाल न हो $= ^{11}C_4 = \frac{11 \times 10 \times 9 \times 8}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 330$.
कोई भी लाल कंचा न मिलने की प्रायिकता $= \frac{330}{1365} = \frac{22}{91}$.
कम से कम एक लाल कंचा मिलने की प्रायिकता $= 1 - P(\text{लाल नहीं}) = 1 - \frac{22}{91} = \frac{69}{91}$.

(C) कंचों की कुल संख्या $= 6 + 4 + 3 + 2 = 15$.
$15$ में से $2$ कंचे चुनने के कुल तरीके ${}^{15}C_{2} = \frac{15 \times 14}{2 \times 1} = 105$ हैं।
$2$ पीले कंचे चुनने की प्रायिकता: $2$ पीले कंचे हैं,इसलिए तरीकों की संख्या ${}^{2}C_{2} = 1$ है। अतः,$P(\text{दोनों पीले}) = \frac{1}{105}$.
$2$ हरे कंचे चुनने की प्रायिकता: $3$ हरे कंचे हैं,इसलिए तरीकों की संख्या ${}^{3}C_{2} = 3$ है। अतः,$P(\text{दोनों हरे}) = \frac{3}{105}$.
चूंकि ये घटनाएं परस्पर अपवर्जी हैं,इसलिए आवश्यक प्रायिकता $P(\text{दोनों पीले या दोनों हरे}) = \frac{1}{105} + \frac{3}{105} = \frac{4}{105}$ है।

(D) कुल कंचों की संख्या $= 6 + 4 + 3 + 2 = 15$.
हमें $15$ में से $4$ कंचे चुनने हैं। $4$ कंचे चुनने के कुल तरीके ${}^{15}C_{4} = \frac{15 \times 14 \times 13 \times 12}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 1365$ हैं।
$2$ पीले कंचों में से $1$ पीला कंचा चुनने के तरीके ${}^{2}C_{1} = 2$ हैं।
$4$ लाल कंचों में से $2$ लाल कंचे चुनने के तरीके ${}^{4}C_{2} = \frac{4 \times 3}{2 \times 1} = 6$ हैं।
$6$ नीले कंचों में से $1$ नीला कंचा चुनने के तरीके ${}^{6}C_{1} = 6$ हैं।
अनुकूल परिणामों की संख्या $= {}^{2}C_{1} \times {}^{4}C_{2} \times {}^{6}C_{1} = 2 \times 6 \times 6 = 72$.
अभीष्ट प्रायिकता $= \frac{72}{1365} = \frac{24}{455}$.

(D) कंचों की कुल संख्या $= 4 + 5 + 3 = 12$ है।
$12$ में से $3$ कंचे चुनने के कुल तरीके $^{12}C_{3} = \frac{12 \times 11 \times 10}{3 \times 2 \times 1} = 220$ हैं।
तीनों कंचों के हरे होने की प्रायिकता $= \frac{^{3}C_{3}}{^{12}C_{3}} = \frac{1}{220}$ है।
तीनों कंचों के लाल होने की प्रायिकता $= \frac{^{4}C_{3}}{^{12}C_{3}} = \frac{4}{220} = \frac{1}{55}$ है।
चूंकि ये परस्पर अपवर्जी घटनाएं हैं,इसलिए अभीष्ट प्रायिकता व्यक्तिगत प्रायिकताओं का योग है:
अभीष्ट प्रायिकता $= \frac{1}{220} + \frac{4}{220} = \frac{5}{220} = \frac{1}{44}$।

(B) कुल कंचों की संख्या $= 4 + 5 + 3 = 12$.
$12$ में से $3$ कंचे चुनने के कुल तरीके $^{12}C_{3} = \frac{12 \times 11 \times 10}{3 \times 2 \times 1} = 220$ हैं।
नीले न होने वाले कंचों की संख्या $= 4 + 3 = 7$.
$3$ कंचे इस प्रकार चुनने के तरीके कि कोई भी नीला न हो $= ^{7}C_{3} = \frac{7 \times 6 \times 5}{3 \times 2 \times 1} = 35$.
कोई भी नीला न होने की प्रायिकता $= \frac{35}{220} = \frac{7}{44}$.
कम से कम एक नीला होने की प्रायिकता $= 1 - P(\text{कोई भी नीला नहीं}) = 1 - \frac{7}{44} = \frac{37}{44}$.

(C) कुल कंचों की संख्या $= 4 + 5 + 3 = 12$ है।
हमें $12$ में से $3$ कंचे चुनने हैं। $3$ कंचे चुनने के कुल तरीके ${}^{12}C_{3} = \frac{12 \times 11 \times 10}{3 \times 2 \times 1} = 220$ हैं।
$4$ लाल कंचों में से $2$ लाल कंचे चुनने के तरीके ${}^{4}C_{2} = \frac{4 \times 3}{2 \times 1} = 6$ हैं।
$3$ हरे कंचों में से $1$ हरा कंचा चुनने के तरीके ${}^{3}C_{1} = 3$ हैं।
अनुकूल परिणामों की संख्या ${}^{4}C_{2} \times {}^{3}C_{1} = 6 \times 3 = 18$ है।
आवश्यक प्रायिकता $= \frac{\text{अनुकूल परिणाम}}{\text{कुल परिणाम}} = \frac{18}{220} = \frac{9}{110}$।

(B) माना कि $E$ एक रंगीन गेंद (लाल या नीली) निकालने की घटना है।
गेंदों की कुल संख्या = $30$.
लाल गेंदों की संख्या = $10$.
नीली गेंदों की संख्या = $5$.
रंगीन गेंदों (लाल या नीली) की संख्या = $10 + 5 = 15$.
रंगीन गेंद निकालने की प्रायिकता $P(E)$,अनुकूल परिणामों की संख्या और कुल परिणामों की संख्या के अनुपात द्वारा दी जाती है।
$P(E) = \frac{\text{रंगीन गेंदों की संख्या}}{\text{गेंदों की कुल संख्या}} = \frac{15}{30} = \frac{1}{2}$.

(B) $52$ पत्तों में से $3$ पत्ते चुनने के कुल तरीके ${}^{52}C_{3} = \frac{52 \times 51 \times 50}{3 \times 2 \times 1} = 22100$ हैं।
माना $E$ एक राजा,एक रानी और एक गुलाम प्राप्त करने की घटना है।
$4$ राजाओं में से $1$ राजा,$4$ रानियों में से $1$ रानी और $4$ गुलामों में से $1$ गुलाम चुनने के तरीके:
$n(E) = {}^{4}C_{1} \times {}^{4}C_{1} \times {}^{4}C_{1} = 4 \times 4 \times 4 = 64$.
प्रायिकता $P(E)$ इस प्रकार है:
$P(E) = \frac{n(E)}{n(S)} = \frac{64}{22100}$.
अंश और हर को $4$ से विभाजित करने पर:
$P(E) = \frac{16}{5525}$.

(A) $3$ पासों के साथ $15$ का योग प्राप्त करने के कुल तरीके $10$ हैं। संभावित परिणाम हैं: $(6,6,3), (6,3,6), (3,6,6), (6,5,4), (6,4,5), (5,6,4), (5,4,6), (4,6,5), (4,5,6), (5,5,5)$।
पहले पासे पर $4$ आने के तरीकों की संख्या $2$ है,जो $(4,6,5)$ और $(4,5,6)$ हैं।
अतः,अभीष्ट प्रायिकता $= \frac{2}{10} = \frac{1}{5}$ है।

(D) जब तीन पासे फेंके जाते हैं तो कुल परिणामों की संख्या $N = 6^3 = 216$ होती है।
हमें उन परिणामों की संख्या ज्ञात करनी है जहाँ तीनों पासों पर संख्याओं का योग $16$ हो।
$16$ का योग देने वाले संभावित संयोजन इस प्रकार हैं:
$1) (6, 6, 4)$ जिसे $\frac{3!}{2!} = 3$ तरीकों से व्यवस्थित किया जा सकता है।
$2) (6, 5, 5)$ जिसे $\frac{3!}{2!} = 3$ तरीकों से व्यवस्थित किया जा सकता है।
कुल अनुकूल परिणाम $= 3 + 3 = 6$.
अतः,अभीष्ट प्रायिकता $= \frac{\text{अनुकूल परिणाम}}{\text{कुल परिणाम}} = \frac{6}{216} = \frac{1}{36}$।

(B) मान लीजिए $W_1$ पहले थैले से सफेद गेंद निकालने की घटना है और $B_1$ पहले थैले से काली गेंद निकालने की घटना है।
पहले थैले में कुल गेंदें $= 5 + 3 = 8$ हैं।
$P(W_1) = \frac{5}{8}$ और $P(B_1) = \frac{3}{8}$ है।
एक गेंद स्थानांतरित करने के बाद,दूसरे थैले में $2 + 4 + 1 = 7$ गेंदें हो जाती हैं।
स्थिति $1$: यदि सफेद गेंद स्थानांतरित की जाती है,तो दूसरे थैले में अब $2 + 1 = 3$ सफेद और $4$ काली गेंदें हैं।
$W_1$ दिए जाने पर दूसरे थैले से काली गेंद निकालने की प्रायिकता $P(B_2|W_1) = \frac{4}{7}$ है।
स्थिति $2$: यदि काली गेंद स्थानांतरित की जाती है,तो दूसरे थैले में अब $2$ सफेद और $4 + 1 = 5$ काली गेंदें हैं।
$B_1$ दिए जाने पर दूसरे थैले से काली गेंद निकालने की प्रायिकता $P(B_2|B_1) = \frac{5}{7}$ है।
कुल प्रायिकता के नियम का उपयोग करते हुए:
$P(B_2) = P(W_1) \times P(B_2|W_1) + P(B_1) \times P(B_2|B_1)$
$P(B_2) = (\frac{5}{8} \times \frac{4}{7}) + (\frac{3}{8} \times \frac{5}{7})$
$P(B_2) = \frac{20}{56} + \frac{15}{56} = \frac{35}{56} = \frac{5}{8}$.

(B) एक टिकट के साथ पुरस्कार जीतने की प्रायिकता $p = \frac{4}{16} = \frac{1}{4}$ है।
एक टिकट के साथ पुरस्कार न जीतने की प्रायिकता $q = 1 - p = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$ है।
$n = 4$ टिकटों के लिए,कम से कम एक पुरस्कार जीतने की प्रायिकता $1 - P(\text{शून्य पुरस्कार जीतना})$ है।
$P(\text{शून्य पुरस्कार जीतना}) = q^4 = \left(\frac{3}{4}\right)^4 = \frac{81}{256}$ है।
अतः,कम से कम एक पुरस्कार जीतने की प्रायिकता $1 - \frac{81}{256} = \frac{256 - 81}{256} = \frac{175}{256}$ है।

(C) कुल पत्तों की संख्या $52$ है।
माना $S$ वह घटना है कि निकाला गया पत्ता हुकुम का है,और $A$ वह घटना है कि निकाला गया पत्ता इक्का है।
हुकुम के पत्तों की संख्या $= 13$,इसलिए $P(S) = \frac{13}{52}$।
इक्कों की संख्या $= 4$,इसलिए $P(A) = \frac{4}{52}$।
जो पत्ता हुकुम और इक्का दोनों है,वह हुकुम का इक्का है,इसलिए $P(S \cap A) = \frac{1}{52}$।
शर्त जीतने की प्रायिकता (हुकुम या इक्का निकालना) $P(S \cup A) = P(S) + P(A) - P(S \cap A) = \frac{13}{52} + \frac{4}{52} - \frac{1}{52} = \frac{16}{52} = \frac{4}{13}$ है।
शर्त हारने की प्रायिकता $1 - P(S \cup A) = 1 - \frac{4}{13} = \frac{9}{13}$ है।
जीतने के विरुद्ध प्रतिकूल संयोगानुपात (odds against) हारने की प्रायिकता और जीतने की प्रायिकता का अनुपात होता है।
Odds against $= \frac{P(\text{हारने})}{P(\text{जीतने})} = \frac{9/13}{4/13} = \frac{9}{4}$,अर्थात $9$ से $4$।

(C) माना $A$,$B$ और $C$ के लिए लक्ष्य को भेदने की प्रायिकता क्रमशः $P(A)$,$P(B)$ और $P(C)$ है।
$P(A) = \frac{4}{5}$,$P(A') = \frac{1}{5}$
$P(B) = \frac{3}{4}$,$P(B') = \frac{1}{4}$
$P(C) = \frac{2}{3}$,$P(C') = \frac{1}{3}$
'कम से कम दो शॉट्स लक्ष्य को भेदें' का अर्थ है या तो ठीक दो शॉट्स लक्ष्य को भेदें या तीनों शॉट्स लक्ष्य को भेदें।
प्रायिकता = $P(A \cap B \cap C') + P(A \cap B' \cap C) + P(A' \cap B \cap C) + P(A \cap B \cap C)$
$= (\frac{4}{5} \times \frac{3}{4} \times \frac{1}{3}) + (\frac{4}{5} \times \frac{1}{4} \times \frac{2}{3}) + (\frac{1}{5} \times \frac{3}{4} \times \frac{2}{3}) + (\frac{4}{5} \times \frac{3}{4} \times \frac{2}{3})$
$= \frac{12}{60} + \frac{8}{60} + \frac{6}{60} + \frac{24}{60} = \frac{50}{60} = \frac{5}{6}$

(D) एक लीप वर्ष में $366$ दिन होते हैं।
$366$ दिन $52$ सप्ताह और $2$ अतिरिक्त दिनों के बराबर होते हैं।
ये $2$ अतिरिक्त दिन निम्नलिखित जोड़ों में से कोई भी हो सकते हैं: (रविवार,सोमवार),(सोमवार,मंगलवार),(मंगलवार,बुधवार),(बुधवार,गुरुवार),(गुरुवार,शुक्रवार),(शुक्रवार,शनिवार),या (शनिवार,रविवार)।
इन $2$ अतिरिक्त दिनों के लिए कुल $7$ संभावित परिणाम हैं।
वर्ष में $53$ रविवार होने के लिए,इन $2$ अतिरिक्त दिनों में से एक दिन रविवार होना चाहिए।
जोड़ों की सूची से,अनुकूल परिणाम (रविवार,सोमवार) और (शनिवार,रविवार) हैं।
इस प्रकार,कुल $7$ संभावनाओं में से $2$ अनुकूल परिणाम हैं।
अतः,अभीष्ट प्रायिकता $\frac{2}{7}$ है।

(B) जब तीन $6$-फलक वाले पासे फेंके जाते हैं,तो कुल संभावित परिणामों की संख्या $6^3 = 216$ होती है।
अनुकूल परिणामों की संख्या जहाँ तीनों पासों पर समान संख्या आती है,वह $6$ है,जो इस प्रकार हैं: ${(1,1,1), (2,2,2), (3,3,3), (4,4,4), (5,5,5), (6,6,6)}$।
अतः,अभीष्ट प्रायिकता = $\frac{\text{अनुकूल परिणामों की संख्या}}{\text{कुल परिणामों की संख्या}} = \frac{6}{216} = \frac{1}{36}$ है।

(B) जब तीन $6$-फलक वाले पासे फेंके जाते हैं,तो कुल संभावित परिणामों की संख्या $6 \times 6 \times 6 = 6^3 = 216$ होती है।
अनुकूल परिणामों की संख्या ज्ञात करने के लिए जहाँ कोई भी दो पासे समान संख्या नहीं दर्शाते हैं:
पहला पासा $6$ में से कोई भी संख्या दर्शा सकता है ($6$ विकल्प)।
दूसरा पासा पहले पासे से भिन्न संख्या दर्शाना चाहिए ($5$ विकल्प)।
तीसरा पासा पहले और दूसरे दोनों पासों से भिन्न संख्या दर्शाना चाहिए ($4$ विकल्प)।
अतः,अनुकूल परिणामों की संख्या $6 \times 5 \times 4 = 120$ है।
अभीष्ट प्रायिकता $= \frac{\text{अनुकूल परिणाम}}{\text{कुल परिणाम}} = \frac{120}{216} = \frac{5}{9}$ है।

(B) जब तीन $6$ फलकों वाले पासे फेंके जाते हैं,तो कुल परिणामों की संख्या $6 \times 6 \times 6 = 216$ होती है।
उन परिणामों की संख्या ज्ञात करने के लिए जहाँ ठीक दो पासों पर समान संख्या आती है:
$1$. उन दो पासों का चयन करें जिन पर समान संख्या आएगी: $^3C_2 = 3$ तरीके हैं।
$2$. वह संख्या चुनें जो इन दो पासों पर आएगी: $6$ विकल्प हैं $(1, 2, 3, 4, 5, 6)$।
$3$. तीसरे पासे के लिए संख्या चुनें: यह पहले दो पासों पर आई संख्या से भिन्न होनी चाहिए,इसलिए $5$ विकल्प हैं।
कुल अनुकूल परिणाम $= 3 \times 6 \times 5 = 90$.
अभीष्ट प्रायिकता $= \frac{90}{216} = \frac{5}{12}$।

(C) कुल घटकों की संख्या = $10$.
दोषपूर्ण घटकों की संख्या = $4$.
गैर-दोषपूर्ण घटकों की संख्या = $10 - 4 = 6$.
हमें $3$ घटकों का चयन इस प्रकार करना है कि ठीक $2$ दोषपूर्ण और $1$ गैर-दोषपूर्ण हो।
$4$ में से $2$ दोषपूर्ण घटकों को चुनने के तरीकों की संख्या ${}^{4}C_{2} = \frac{4 \times 3}{2 \times 1} = 6$ है।
$6$ में से $1$ गैर-दोषपूर्ण घटक को चुनने के तरीकों की संख्या ${}^{6}C_{1} = 6$ है।
$10$ में से $3$ घटकों को चुनने के कुल तरीकों की संख्या ${}^{10}C_{3} = \frac{10 \times 9 \times 8}{3 \times 2 \times 1} = 120$ है।
आवश्यक प्रायिकता $\frac{{}^{4}C_{2} \times {}^{6}C_{1}}{{}^{10}C_{3}} = \frac{6 \times 6}{120} = \frac{36}{120} = \frac{3}{10}$ है।

(C) ताश की एक मानक गड्डी में कुल $52$ पत्ते होते हैं।
फेस कार्ड वे होते हैं जिन पर चित्र बने होते हैं,जैसे राजा (King),रानी (Queen) और गुलाम (Jack)।
प्रत्येक $4$ सूट (पान,ईंट,चिड़ी,हुकुम) में $3$ प्रकार के फेस कार्ड होते हैं।
फेस कार्ड की कुल संख्या $= 3 \times 4 = 12$ है।
फेस कार्ड निकालने की प्रायिकता $= \frac{\text{अनुकूल परिणामों की संख्या}}{\text{कुल संभावित परिणामों की संख्या}} = \frac{12}{52}$ है।
भिन्न को सरल करने पर,हमें $\frac{12}{52} = \frac{3}{13}$ प्राप्त होता है।

(B) ताश की गड्डी में कुल पत्तों की संख्या $= 52$ है।
काले पत्तों की संख्या (हुकुम और चिड़ी) $= 26$ है।
जो पत्ते काले नहीं हैं (लाल पत्ते) उनकी संख्या $= 52 - 26 = 26$ है।
किसी घटना की प्रायिकता अनुकूल परिणामों की संख्या और कुल संभावित परिणामों की संख्या का अनुपात होती है।
अभीष्ट प्रायिकता $= \frac{\text{काले न होने वाले पत्तों की संख्या}}{\text{कुल पत्तों की संख्या}} = \frac{26}{52} = \frac{1}{2}$.

(B) कुल टिकटों की संख्या $30$ है,इसलिए प्रतिदर्श समष्टि $S = \{1, 2, 3, \ldots, 30\}$ और $n(S) = 30$ है।
माना $A$ एक ऐसी टिकट निकालने की घटना है जिस पर लिखी संख्या $5$ का गुणज है।
$A = \{5, 10, 15, 20, 25, 30\}$,इसलिए $n(A) = 6$ है।
माना $B$ एक ऐसी टिकट निकालने की घटना है जिस पर लिखी संख्या $7$ का गुणज है।
$B = \{7, 14, 21, 28\}$,इसलिए $n(B) = 4$ है।
चूंकि $A$ और $B$ परस्पर अपवर्जी घटनाएं हैं ($30$ तक $5$ और $7$ का कोई उभयनिष्ठ गुणज नहीं है),इसलिए $A$ या $B$ की प्रायिकता $P(A \cup B) = P(A) + P(B)$ द्वारा दी जाती है।
$P(A) = \frac{n(A)}{n(S)} = \frac{6}{30}$.
$P(B) = \frac{n(B)}{n(S)} = \frac{4}{30}$.
अतः,$P(A \cup B) = \frac{6}{30} + \frac{4}{30} = \frac{10}{30} = \frac{1}{3}$.

(A) $10$ सिक्के उछालने पर कुल संभावित परिणामों की संख्या $2^{10} = 1024$ है।
ठीक $5$ चित प्राप्त करने के लिए अनुकूल परिणामों की संख्या संचय के सूत्र ${}^{n}C_{r} = \frac{n!}{r!(n-r)!}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $n=10$ और $r=5$ है।
${}^{10}C_{5} = \frac{10 \times 9 \times 8 \times 7 \times 6}{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} = 252$.
अपेक्षित प्रायिकता = $\frac{\text{अनुकूल परिणाम}}{\text{कुल परिणाम}} = \frac{252}{1024}$ है।
अंश और हर को $4$ से विभाजित करने पर,हमें $\frac{252 \div 4}{1024 \div 4} = \frac{63}{256}$ प्राप्त होता है।

(A) दो घटनाओं के संघ (union) के लिए सूत्र इस प्रकार है: $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$.
दिए गए मान $P(A) = \frac{2}{3}$,$P(B) = \frac{4}{9}$ और $P(A \cap B) = \frac{14}{45}$ हैं।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$P(A \cup B) = \frac{2}{3} + \frac{4}{9} - \frac{14}{45}$.
इन भिन्नों को जोड़ने और घटाने के लिए,हर $3, 9, 45$ का लघुत्तम समापवर्त्य $(LCM)$ ज्ञात करें,जो $45$ है।
$P(A \cup B) = \frac{2 \times 15}{45} + \frac{4 \times 5}{45} - \frac{14}{45}$.
$P(A \cup B) = \frac{30}{45} + \frac{20}{45} - \frac{14}{45}$.
$P(A \cup B) = \frac{30 + 20 - 14}{45} = \frac{36}{45}$.
अंश और हर को $9$ से विभाजित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$P(A \cup B) = \frac{4}{5}$.

(B) एक पासे को एक बार फेंकने पर $6$ प्राप्त करने की प्रायिकता $p = \frac{1}{6}$ है।
एक बार फेंकने पर $6$ न प्राप्त करने की प्रायिकता $q = 1 - p = 1 - \frac{1}{6} = \frac{5}{6}$ है।
$n = 6$ स्वतंत्र प्रयासों के लिए, किसी भी प्रयास में $6$ न प्राप्त करने की प्रायिकता $q^n = (\frac{5}{6})^{6}$ है।
कम से कम एक बार $6$ प्राप्त करने की प्रायिकता $1 - P(\text{कोई भी } 6 \text{ नहीं}) = 1 - (\frac{5}{6})^{6}$ द्वारा दी जाती है।

(B) दिए गए अंकों का समूह ${2, 3, 5, 7, 9}$ है। कुल अंकों की संख्या $n = 5$ है।
अंकों की पुनरावृत्ति के बिना दो अंकों की संख्या बनाने के लिए,हमें $5$ में से $2$ अंकों का चयन और व्यवस्था करनी होगी।
कुल संभावित परिणामों की संख्या (प्रतिदर्श समष्टि $S$) क्रमचय सूत्र $^nP_r = \frac{n!}{(n-r)!}$ द्वारा दी जाती है।
यहाँ,$n(S) = ^5P_2 = \frac{5!}{(5-2)!} = 5 \times 4 = 20$ है।
घटना $E$ यह है कि बनाई गई संख्या $35$ है। चूँकि $35$ एक विशिष्ट परिणाम है,इसलिए $n(E) = 1$ है।
प्रायिकता $P(E) = \frac{n(E)}{n(S)} = \frac{1}{20}$ है।

(C) दो पासे फेंकने पर कुल संभावित परिणामों की संख्या $n(S) = 6 \times 6 = 36$ है।
मान लीजिए $E$ वह घटना है जिसमें दोनों पासों पर आने वाली संख्याओं का योग $12$ है। इस घटना के लिए केवल एक ही परिणाम $(6, 6)$ है,इसलिए $n(E) = 1$ है।
योग $12$ प्राप्त करने की प्रायिकता $P(E) = \frac{n(E)}{n(S)} = \frac{1}{36}$ है।
$12$ से कम योग प्राप्त करने की घटना,$12$ योग प्राप्त करने की घटना की पूरक घटना है,जिसे $\overline{E}$ द्वारा दर्शाया जाता है।
अतः,अभीष्ट प्रायिकता $P(\overline{E}) = 1 - P(E) = 1 - \frac{1}{36} = \frac{35}{36}$ है।

(B) कुल टिकटों की संख्या $n(S) = 21$ है,जहाँ $S = \{1, 2, 3, \ldots, 21\}$ है।
$1$ से $21$ के बीच $3$ से विभाज्य संख्याएँ $E = \{3, 6, 9, 12, 15, 18, 21\}$ हैं।
अनुकूल परिणामों की संख्या $n(E) = 7$ है।
प्रायिकता $P(E)$ अनुकूल परिणामों और कुल परिणामों का अनुपात है: $P(E) = \frac{n(E)}{n(S)} = \frac{7}{21} = \frac{1}{3}$.

(C) दिया गया है: पहले थैले में सफेद गेंदों की संख्या $= 4$ और काली गेंदों की संख्या $= 2$ है। पहले थैले में कुल गेंदें $= 4 + 2 = 6$ हैं।
दूसरे थैले में सफेद गेंदों की संख्या $= 3$ और काली गेंदों की संख्या $= 5$ है। दूसरे थैले में कुल गेंदें $= 3 + 5 = 8$ हैं।
हम जानते हैं कि पहले थैले से एक काली गेंद निकालने की प्रायिकता $= \frac{\text{काली गेंदों की संख्या}}{\text{कुल गेंदों की संख्या}} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$ है।
इसी प्रकार,दूसरे थैले से एक काली गेंद निकालने की प्रायिकता $= \frac{5}{8}$ है।
चूंकि घटनाएं स्वतंत्र हैं,इसलिए दोनों गेंदों के काली होने की प्रायिकता $= P(\text{पहले थैले से काली गेंद}) \times P(\text{दूसरे थैले से काली गेंद}) = \frac{1}{3} \times \frac{5}{8} = \frac{5}{24}$ है।

(D) लाल गेंदों की कुल संख्या $= 3$.
काली गेंदों की कुल संख्या $= 7$.
गेंदों की कुल संख्या $= 3 + 7 = 10$.
हमें दिया गया है कि निकाली गई पहली गेंद लाल है।
चूंकि गेंदें बिना प्रतिस्थापन के निकाली जा रही हैं,एक लाल गेंद निकालने के बाद,शेष लाल गेंदों की संख्या $= 3 - 1 = 2$.
शेष गेंदों की कुल संख्या $= 10 - 1 = 9$.
यदि पहली गेंद लाल है,तो दूसरी गेंद के लाल होने की प्रायिकता शेष लाल गेंदों की संख्या और शेष कुल गेंदों की संख्या का अनुपात है।
अभीष्ट प्रायिकता $= \frac{2}{9}$.

(D) गेंदों की कुल संख्या $= 5 + 7 + 4 = 16$ है।
$16$ गेंदों में से $3$ गेंदें निकालने के तरीकों की संख्या $^{16}C_{3} = \frac{16 \times 15 \times 14}{3 \times 2 \times 1} = 16 \times 5 \times 7 = 560$ है।
$5$ सफेद गेंदों में से $3$ सफेद गेंदें निकालने के तरीकों की संख्या $^{5}C_{3} = \frac{5 \times 4 \times 3}{3 \times 2 \times 1} = 10$ है।
तीनों गेंदों के सफेद होने की प्रायिकता $\frac{^{5}C_{3}}{^{16}C_{3}} = \frac{10}{560} = \frac{1}{56}$ है।

(C) गेंदों की कुल संख्या $= 2 + 3 + 4 = 9$ है।
$9$ गेंदों में से $3$ गेंदें निकालने के कुल तरीके ${}^{9}C_{3} = \frac{9 \times 8 \times 7}{3 \times 2 \times 1} = 84$ हैं।
चूंकि केवल $2$ लाल गेंदें हैं,इसलिए $3$ लाल गेंदें निकालना संभव नहीं है।
$3$ काली गेंदों में से $3$ गेंदें निकालने के तरीके ${}^{3}C_{3} = 1$ हैं।
$4$ सफेद गेंदों में से $3$ गेंदें निकालने के तरीके ${}^{4}C_{3} = 4$ हैं।
अतः,अनुकूल परिणामों की संख्या ${}^{3}C_{3} + {}^{4}C_{3} = 1 + 4 = 5$ है।
इसलिए,अभीष्ट प्रायिकता $= \frac{\text{अनुकूल परिणाम}}{\text{कुल परिणाम}} = \frac{5}{84}$ है।

(C) गेंदों की कुल संख्या $= 9 + 7 + 4 = 20$ है।
$20$ गेंदों में से $2$ गेंदें चुनने के तरीकों की संख्या $^{20}C_{2} = \frac{20 \times 19}{2 \times 1} = 190$ है।
$7$ सफेद गेंदों में से एक सफेद गेंद चुनने के तरीकों की संख्या $^{7}C_{1} = 7$ है।
$9$ लाल गेंदों में से एक लाल गेंद चुनने के तरीकों की संख्या $^{9}C_{1} = 9$ है।
अनुकूल परिणामों की संख्या $^{7}C_{1} \times ^{9}C_{1} = 7 \times 9 = 63$ है।
अतः,अभीष्ट प्रायिकता $= \frac{63}{190}$ है।

(B) गेंदों की कुल संख्या $= 6 + 4 + 8 = 18$ है।
निकाली गई गेंदों की संख्या $= 3$ है।
$18$ गेंदों में से $3$ गेंद चुनने के कुल तरीके $^{18}C_{3} = \frac{18 \times 17 \times 16}{3 \times 2 \times 1} = 816$ हैं।
$6$ लाल गेंदों में से $1$ लाल गेंद चुनने के तरीके $^{6}C_{1} = 6$ हैं।
$4$ सफेद गेंदों में से $2$ सफेद गेंद चुनने के तरीके $^{4}C_{2} = \frac{4 \times 3}{2 \times 1} = 6$ हैं।
अनुकूल परिणामों की संख्या $= ^{6}C_{1} \times ^{4}C_{2} = 6 \times 6 = 36$ है।
अभीष्ट प्रायिकता $= \frac{\text{अनुकूल परिणाम}}{\text{कुल परिणाम}} = \frac{36}{816}$ है।
अंश और हर को $12$ से विभाजित करने पर,हमें $\frac{3}{68}$ प्राप्त होता है।

(D) कुल कंचों की संख्या $= 3 + 7 + 10 = 20$.
अनुकूल परिणामों की संख्या (सफेद कंचा चुनने के तरीके) $= 10$.
कुल संभावित परिणामों की संख्या $= 20$.
सफेद कंचा निकलने की प्रायिकता $= \frac{\text{सफेद कंचों की संख्या}}{\text{कुल कंचों की संख्या}} = \frac{10}{20} = \frac{1}{2}$.

(D) जब एक संतुलित सिक्के को $3$ बार उछाला जाता है,तो कुल संभावित परिणामों की संख्या $2^3 = 8$ होती है।
प्रतिदर्श समष्टि $S$ इस प्रकार है: $S = \{HHH, HHT, HTH, THH, HTT, THT, TTH, TTT\}$.
तीनों प्रयासों में चित आने का अनुकूल परिणाम केवल एक है: $\{HHH\}$।
अतः,अभीष्ट प्रायिकता $P = \frac{\text{अनुकूल परिणामों की संख्या}}{\text{कुल परिणामों की संख्या}} = \frac{1}{8}$।

(A) जब दो पासे फेंके जाते हैं, तो कुल संभावित परिणामों की संख्या $6 \times 6 = 36$ होती है।
'योग कम से कम $10$ हो' का अर्थ है कि योग $10, 11$ या $12$ हो सकता है।
प्रत्येक योग के लिए अनुकूल परिणामों की सूची इस प्रकार है:
योग $= 10$ के लिए: $(4, 6), (5, 5), (6, 4)$ (कुल $3$ परिणाम)
योग $= 11$ के लिए: $(5, 6), (6, 5)$ (कुल $2$ परिणाम)
योग $= 12$ के लिए: $(6, 6)$ (कुल $1$ परिणाम)
कुल अनुकूल परिणामों की संख्या $= 3 + 2 + 1 = 6$.
प्रायिकता अनुकूल परिणामों और कुल परिणामों का अनुपात होती है:
$P(\text{योग} \ge 10) = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}$.

(D) कुल टिकटों की संख्या $= 20$ है।
$1$ से $20$ के बीच $3$ के गुणज ${3, 6, 9, 12, 15, 18}$ हैं। ऐसे कुल $6$ टिकट हैं।
$1$ से $20$ के बीच $5$ के गुणज ${5, 10, 15, 20}$ हैं। ऐसे कुल $4$ टिकट हैं।
संख्या $15$ दोनों समूहों में उभयनिष्ठ (common) है।
अतः,अनुकूल परिणामों की संख्या $= 6 + 4 - 1 = 9$ होगी।
इसलिए,अभीष्ट प्रायिकता $= \frac{\text{अनुकूल परिणामों की संख्या}}{\text{कुल परिणामों की संख्या}} = \frac{9}{20}$ है।

(A) गेंदों की कुल संख्या $= 2 + 3 + 2 = 7$ है।
माना $S$ प्रतिदर्श समष्टि (sample space) है।
तब,$N(S) = 7$ गेंदों में से $2$ गेंदें निकालने के तरीकों की संख्या $= {}^{7}C_{2} = \frac{7 \times 6}{2 \times 1} = 21$ है।
माना $E$ दो गेंदें निकालने की घटना है,जिनमें से कोई भी नीली नहीं है।
इसका अर्थ है कि $2$ गेंदें $(2 + 3) = 5$ गैर-नीली गेंदों (लाल और हरी) में से चुनी जानी चाहिए।
अतः,$N(E) = 5$ गेंदों में से $2$ गेंदें निकालने के तरीकों की संख्या $= {}^{5}C_{2} = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10$ है।
$P(E) = \frac{N(E)}{N(S)} = \frac{10}{21}$।

(A) गेंदों की कुल संख्या $= 8 + 7 + 6 = 21$ है।
माना $E$ वह घटना है कि निकाली गई गेंद न तो लाल है और न ही हरी है।
चूंकि गेंद न तो लाल है और न ही हरी,इसलिए वह नीली होनी चाहिए।
नीली गेंदों की संख्या $= 7$ है।
अतः,अनुकूल परिणामों की संख्या $N(E) = 7$ है।
कुल संभावित परिणामों की संख्या $N(S) = 21$ है।
प्रायिकता $P(E) = \frac{N(E)}{N(S)} = \frac{7}{21} = \frac{1}{3}$ है।