Probability Questions in Hindi

(B) $n$ बार सिक्का उछालने पर कम से कम एक चित प्राप्त करने की प्रायिकता $1 - P(\text{कोई चित न मिले})$ द्वारा दी जाती है।
$n$ बार उछालने पर कोई चित न मिलने की प्रायिकता $(1/2)^n$ है,इसलिए कम से कम एक चित मिलने की प्रायिकता $1 - (1/2)^n$ है।
हमें दिया गया है कि यह प्रायिकता $\ge 0.9$ होनी चाहिए।
अतः,$1 - (1/2)^n \ge 0.9$।
असमानता को पुनर्व्यवस्थित करने पर,$1 - 0.9 \ge (1/2)^n$,जो $0.1 \ge (1/2)^n$ में सरल हो जाता है।
इसे $1/10 \ge 1/2^n$ या $2^n \ge 10$ के रूप में लिखा जा सकता है।
$n$ के पूर्णांक मानों की जाँच करने पर:
$n = 3$ के लिए,$2^3 = 8$,जो $10$ से बड़ा नहीं है।
$n = 4$ के लिए,$2^4 = 16$,जो $10$ से बड़ा है।
इसलिए,आवश्यक न्यूनतम उछालों की संख्या $4$ है।

(C) दूसरी गेंद का सफेद होना दो परस्पर अपवर्जी स्थितियों में संभव है:
स्थिति $(i)$: पहली गेंद सफेद है और दूसरी गेंद भी सफेद है।
प्रायिकता $= \frac{4}{7} \times \frac{3}{6} = \frac{12}{42} = \frac{2}{7}$.
स्थिति $(ii)$: पहली गेंद काली है और दूसरी गेंद सफेद है।
प्रायिकता $= \frac{3}{7} \times \frac{4}{6} = \frac{12}{42} = \frac{2}{7}$.
अतः,दूसरी गेंद के सफेद होने की कुल प्रायिकता इन दोनों स्थितियों की प्रायिकताओं का योग है:
कुल प्रायिकता $= \frac{2}{7} + \frac{2}{7} = \frac{4}{7}$.

(C) द्वारा प्रतिस्थापन के साथ एक ही सूट के दो पत्ते निकालने की प्रायिकता:
कुल $4$ सूट होते हैं,प्रत्येक में $13$ पत्ते होते हैं।
किसी विशिष्ट सूट का पत्ता निकालने की प्रायिकता $\frac{13}{52} = \frac{1}{4}$ है।
चूंकि पत्ते प्रतिस्थापन के साथ निकाले जाते हैं,इसलिए एक ही सूट के दो पत्ते निकालने की प्रायिकता $4 \times (\frac{1}{4} \times \frac{1}{4}) = 4 \times \frac{1}{16} = \frac{1}{4}$ है।
$B$ द्वारा पासे का जोड़ा फेंकने पर कुल $6$ प्राप्त करने की प्रायिकता:
दो पासे फेंकने पर कुल परिणाम $6 \times 6 = 36$ होते हैं।
योग $6$ प्राप्त करने के अनुकूल परिणाम $(1, 5), (2, 4), (3, 3), (4, 2), (5, 1)$ हैं,जो कुल $5$ परिणाम हैं।
अतः,$P(B) = \frac{5}{36}$।
चूंकि $A$ और $B$ स्वतंत्र घटनाएं हैं,इसलिए संयुक्त प्रायिकता:
$P(A \cap B) = P(A) \times P(B) = \frac{1}{4} \times \frac{5}{36} = \frac{5}{144}$।

(A) कुल गेंदों की संख्या = $2 + 4 + 3 = 9$.
हमें गेंदों को विशिष्ट क्रम में निकालने की प्रायिकता ज्ञात करनी है: $B, B, W, W, W, W, R, R, R$.
प्रायिकता की गणना इस प्रकार की जाती है:
$P = \frac{2}{9} \times \frac{1}{8} \times \frac{4}{7} \times \frac{3}{6} \times \frac{2}{5} \times \frac{1}{4} \times \frac{3}{3} \times \frac{2}{2} \times \frac{1}{1}$
$P = \frac{2 \times 1 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 \times 3 \times 2 \times 1}{9 \times 8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} = \frac{288}{362880} = \frac{1}{1260}$.

(B) जब एक पासे को तीन बार उछाला जाता है,तो कुल संभावित परिणामों की संख्या $6^3 = 216$ होती है।
मान लीजिए कि प्राप्त तीन संख्याएँ $x_1, x_2, x_3$ हैं। हमें $x_1 < x_2 < x_3$ की स्थिति चाहिए।
यह ${1, 2, 3, 4, 5, 6}$ में से $3$ अलग-अलग संख्याएँ चुनने के बराबर है,क्योंकि किसी भी $3$ अलग-अलग संख्याओं के समूह के लिए,उन्हें बढ़ते क्रम में व्यवस्थित करने का केवल एक ही तरीका होता है।
$6$ में से $3$ अलग-अलग संख्याएँ चुनने के तरीकों की संख्या संचय सूत्र $\binom{6}{3}$ द्वारा दी जाती है।
$\binom{6}{3} = \frac{6 \times 5 \times 4}{3 \times 2 \times 1} = 20$.
अतः,अनुकूल परिणामों की संख्या $20$ है।
इसलिए,आवश्यक प्रायिकता $\frac{20}{216} = \frac{5}{54}$ है।

(B) कुल पत्ते = $52$। इक्कों की संख्या = $4$। गैर-इक्का पत्तों की संख्या = $48$।
हम चाहते हैं कि पहले $10$ पत्ते गैर-इक्का हों और $11$वां पत्ता एक इक्का हो।
लगातार $10$ गैर-इक्का पत्ते चुनने की प्रायिकता प्रत्येक चयन की प्रायिकताओं के गुणनफल द्वारा दी जाती है:
$P = \frac{48}{52} \times \frac{47}{51} \times \frac{46}{50} \times \frac{45}{49} \times \frac{44}{48} \times \frac{43}{47} \times \frac{42}{46} \times \frac{41}{45} \times \frac{40}{44} \times \frac{39}{43} \times \frac{4}{42}$।
अंश और हर में समान पदों को काटने पर:
$P = \frac{48 \times 47 \times 46 \times 45 \times 44 \times 43 \times 42 \times 41 \times 40 \times 39}{52 \times 51 \times 50 \times 49 \times 48 \times 47 \times 46 \times 45 \times 44 \times 43} \times \frac{4}{42}$।
$P = \frac{42 \times 41 \times 40 \times 39}{52 \times 51 \times 50 \times 49} \times \frac{4}{42} = \frac{41 \times 40 \times 39}{52 \times 51 \times 50 \times 49} \times 4$।
भिन्न को सरल करने पर,हमें $\frac{164}{4165}$ प्राप्त होता है।

(D) मान लीजिए $P(T)$ कक्षा में टेस्ट होने की प्रायिकता है, $P(T) = 1/5$।
मान लीजिए $P(T')$ टेस्ट न होने की प्रायिकता है, $P(T') = 1 - 1/5 = 4/5$।
छात्र $2$ कक्षाओं में अनुपस्थित है। छात्र कम से कम एक टेस्ट तब छोड़ता है यदि पहली कक्षा, दूसरी कक्षा या दोनों में टेस्ट होता है।
पूरक घटना की गणना करना आसान है: छात्र द्वारा कोई भी टेस्ट न छूटने की प्रायिकता।
छात्र का कोई भी टेस्ट नहीं छूटता यदि दोनों में से किसी भी कक्षा में टेस्ट न हो।
$P(\text{कोई टेस्ट न छूटे}) = P(T') \times P(T') = (4/5) \times (4/5) = 16/25$।
अतः, छात्र द्वारा कम से कम एक टेस्ट छूटने की प्रायिकता $1 - P(\text{कोई टेस्ट न छूटे}) = 1 - 16/25 = 9/25$ है।

(C) जब दो पासे फेंके जाते हैं,तो कुल संभावित परिणामों की संख्या $6 \times 6 = 36$ होती है।
हमें $3$,$5$ या $11$ का योग प्राप्त करने के लिए अनुकूल परिणामों को ज्ञात करना है:
- $3$ का योग प्राप्त करने के लिए: संभावित परिणाम $(1, 2)$ और $(2, 1)$ हैं। (कुल $2$ स्थितियाँ)
- $5$ का योग प्राप्त करने के लिए: संभावित परिणाम $(1, 4), (2, 3), (3, 2),$ और $(4, 1)$ हैं। (कुल $4$ स्थितियाँ)
- $11$ का योग प्राप्त करने के लिए: संभावित परिणाम $(5, 6)$ और $(6, 5)$ हैं। (कुल $2$ स्थितियाँ)
कुल अनुकूल परिणाम $= 2 + 4 + 2 = 8$.
अपेक्षित प्रायिकता $= \frac{\text{अनुकूल परिणाम}}{\text{कुल परिणाम}} = \frac{8}{36} = \frac{2}{9}$ है।

(D) मान लीजिए $P(O)$ विषम संख्या प्राप्त करने की प्रायिकता है और $P(E)$ सम संख्या प्राप्त करने की प्रायिकता है।
चूंकि पासा पक्षपाती है और सम संख्या आने की संभावना विषम संख्या से दोगुनी है, इसलिए $P(E) = 2P(O)$ है।
प्रायिकताओं का योग $1$ होता है, इसलिए $P(E) + P(O) = 1$, जिससे $3P(O) = 1$ प्राप्त होता है, अतः $P(O) = \frac{1}{3}$ और $P(E) = \frac{2}{3}$ है।
दो संख्याओं का योग सम तब होता है जब दोनों संख्याएँ सम हों या दोनों विषम हों।
$P(\text{योग सम है}) = P(E, E) + P(O, O)$.
$P(E, E) = P(E) \times P(E) = \frac{2}{3} \times \frac{2}{3} = \frac{4}{9}$.
$P(O, O) = P(O) \times P(O) = \frac{1}{3} \times \frac{1}{3} = \frac{1}{9}$.
अतः, $P(\text{योग सम है}) = \frac{4}{9} + \frac{1}{9} = \frac{5}{9}$.

(D) मान लीजिए $T$ वह घटना है जिसमें भारत टॉस जीतता है और $V$ वह घटना है जिसमें भारत मैच जीतता है।
दिया गया है:
$P(T) = 3/4$
$P(T^c) = 1 - 3/4 = 1/4$
$P(V|T) = 4/5$
$P(V|T^c) = 1/2$
कुल प्रायिकता के नियम का उपयोग करते हुए:
$P(V) = P(T) \times P(V|T) + P(T^c) \times P(V|T^c)$
$P(V) = (3/4 \times 4/5) + (1/4 \times 1/2)$
$P(V) = 12/20 + 1/8 = 3/5 + 1/8$
$P(V) = (24 + 5) / 40 = 29/40$
अतः,भारत की जीत की संभावना $29/40$ है।

(B) ताश की गड्डी में कुल पत्तों की संख्या $= 52$ है।
ताश में राजाओं की संख्या $= 4$ है।
ताश में रानियों की संख्या $= 4$ है।
चूंकि राजा निकालने और रानी निकालने की घटनाएं परस्पर अपवर्जी (mutually exclusive) हैं,इसलिए राजा या रानी निकालने की प्रायिकता उनकी व्यक्तिगत प्रायिकताओं का योग होगी।
राजा निकालने की प्रायिकता $P(K) = \frac{4}{52} = \frac{1}{13}$ है।
रानी निकालने की प्रायिकता $P(Q) = \frac{4}{52} = \frac{1}{13}$ है।
राजा या रानी निकालने की प्रायिकता $P(K \cup Q) = P(K) + P(Q) = \frac{1}{13} + \frac{1}{13} = \frac{2}{13}$ है।

(C) ताश की गड्डी में कुल पत्तों की संख्या $= 52$ है।
गड्डी में राजाओं की संख्या $= 4$ है।
गड्डी में रानियों की संख्या $= 4$ है।
चूंकि पत्ते एक-एक करके बिना प्रतिस्थापन के निकाले जाते हैं:
पहला पत्ता राजा होने की प्रायिकता $= P(K_1) = \frac{4}{52} = \frac{1}{13}$ है।
एक राजा निकालने के बाद,शेष पत्तों की संख्या $51$ है।
यह देखते हुए कि पहला पत्ता राजा था,दूसरा पत्ता रानी होने की प्रायिकता $= P(Q_2|K_1) = \frac{4}{51}$ है।
अभीष्ट प्रायिकता $= P(K_1) \times P(Q_2|K_1) = \frac{4}{52} \times \frac{4}{51} = \frac{1}{13} \times \frac{4}{51} = \frac{4}{663}$।

(D) मान लीजिए कि $A, B, C$ क्रमशः $I, II$ और $III$ डिवीजन प्राप्त करने की घटनाएं हैं,और $D$ परीक्षा में अनुत्तीर्ण होने की घटना है।
चूंकि ये घटनाएं परस्पर अपवर्जी और निशेष हैं,इसलिए उनकी प्रायिकताओं का योग $1$ होना चाहिए।
$P(A) = \frac{1}{10} = 0.1$
$P(B) = \frac{3}{5} = 0.6$
$P(C) = \frac{1}{4} = 0.25$
$P(A) + P(B) + P(C) + P(D) = 1$
$0.1 + 0.6 + 0.25 + P(D) = 1$
$0.95 + P(D) = 1$
$P(D) = 1 - 0.95 = 0.05$
$P(D) = \frac{5}{100} = \frac{1}{20}$
चूंकि $\frac{1}{20}$ दिए गए विकल्पों में नहीं है,इसलिए सही उत्तर "इनमें से कोई नहीं" है।

(B) मान लीजिए कि $p$ एक उछाल में $4$ से बड़ी संख्या (अर्थात $5$ या $6$) प्राप्त करने की प्रायिकता है।
$p = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$.
मान लीजिए कि $q$ असफलता की प्रायिकता है (अर्थात $1, 2, 3,$ या $4$ प्राप्त करना)।
$q = 1 - p = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$.
हमें वह प्रायिकता ज्ञात करनी है कि सफलता सम संख्या में उछाल (अर्थात $2, 4, 6, \dots$ उछाल) पर प्राप्त हो।
यह प्रायिकता अनंत गुणोत्तर श्रेणी के योग द्वारा दी जाती है:
$P = P(FS) + P(FFFS) + P(FFFFFS) + \dots$
$P = qp + q^3p + q^5p + \dots$
यह एक गुणोत्तर श्रेणी है जिसका प्रथम पद $a = qp$ और सार्व अनुपात $r = q^2$ है।
अनंत गुणोत्तर श्रेणी का योग $S = \frac{a}{1-r}$ होता है।
$P = \frac{qp}{1 - q^2} = \frac{(\frac{2}{3})(\frac{1}{3})}{1 - (\frac{2}{3})^2} = \frac{\frac{2}{9}}{1 - \frac{4}{9}} = \frac{\frac{2}{9}}{\frac{5}{9}} = \frac{2}{5}$.

(A) जब दो पासे फेंके जाते हैं,तो कुल संभावित परिणामों की संख्या $6 \times 6 = 36$ होती है।
मान लीजिए $E$ वह घटना है कि कम से कम एक पासे पर अंक $6$ आता है।
वे परिणाम जिनमें कम से कम एक पासे पर $6$ आता है,वे हैं:
$(1, 6), (2, 6), (3, 6), (4, 6), (5, 6), (6, 6), (6, 5), (6, 4), (6, 3), (6, 2), (6, 1)$।
इन परिणामों की गणना करने पर,हमें $11$ अनुकूल परिणाम मिलते हैं।
अतः,प्रायिकता $P(E) = \frac{\text{अनुकूल परिणामों की संख्या}}{\text{कुल परिणामों की संख्या}} = \frac{11}{36}$।

(B) कुल गेंदों की संख्या $= 30$ है।
माना $A$,$5$ का गुणज प्राप्त करने की घटना है। $1$ से $30$ के बीच $5$ के गुणज ${5, 10, 15, 20, 25, 30}$ हैं। अतः,$n(A) = 6$ है।
माना $B$,$7$ का गुणज प्राप्त करने की घटना है। $1$ से $30$ के बीच $7$ के गुणज ${7, 14, 21, 28}$ हैं। अतः,$n(B) = 4$ है।
चूंकि $1$ से $30$ के बीच $5$ और $7$ का कोई उभयनिष्ठ गुणज नहीं है,इसलिए $n(A \cap B) = 0$ है।
अनुकूल परिणामों की संख्या $n(A \cup B) = n(A) + n(B) - n(A \cap B) = 6 + 4 - 0 = 10$ है।
प्रायिकता $P(A \cup B) = \frac{n(A \cup B)}{\text{कुल परिणाम}} = \frac{10}{30} = \frac{1}{3}$ है।

(C) माना कि पक्षी को मारने की प्रायिकता $p = 3/4$ है।
अतः,पक्षी को न मारने (चूकने) की प्रायिकता $q = 1 - p = 1 - 3/4 = 1/4$ है।
व्यक्ति $n = 5$ बार प्रयास करता है।
उसके द्वारा पक्षी को एक बार भी न मार पाने का अर्थ है कि वह सभी $5$ प्रयासों में पक्षी को मारने में विफल रहता है।
यह द्विपद प्रायिकता सूत्र $P(X=0) = q^n = (1/4)^5$ द्वारा प्राप्त होता है।
गणना करने पर,$P(X=0) = 1^5 / 4^5 = 1 / 1024$ प्राप्त होता है।
अतः,उसके द्वारा पक्षी को न मार पाने की प्रायिकता $1/1024$ है।

(A) सिक्के का प्रत्येक उछाल एक स्वतंत्र घटना है।
एक निष्पक्ष सिक्के के किसी भी एक उछाल में हेड (head) आने की प्रायिकता हमेशा $\frac{1}{2}$ होती है,चाहे पिछले उछालों के परिणाम कुछ भी रहे हों।
इसलिए,पांचवें उछाल में हेड (head) आने की प्रायिकता $\frac{1}{2}$ है।

(C) मान लीजिए $A$ और $B$ दो व्यक्ति हैं। प्रत्येक $3$ बार सिक्का उछालता है।
$3$ उछालों में $r$ चित प्राप्त करने की प्रायिकता द्विपद बंटन $P(X=r) = \binom{3}{r} (\frac{1}{2})^3$ का पालन करती है।
$r = 0, 1, 2, 3$ के लिए प्रायिकताएं इस प्रकार हैं:
$P(0) = \binom{3}{0} (\frac{1}{8}) = \frac{1}{8}$
$P(1) = \binom{3}{1} (\frac{1}{8}) = \frac{3}{8}$
$P(2) = \binom{3}{2} (\frac{1}{8}) = \frac{3}{8}$
$P(3) = \binom{3}{3} (\frac{1}{8}) = \frac{1}{8}$
चूंकि घटनाएं स्वतंत्र हैं,इसलिए दोनों को समान संख्या में चित प्राप्त होने की प्रायिकता उन प्रायिकताओं का योग है जब दोनों को $0, 1, 2,$ या $3$ चित प्राप्त हों:
$P = P(0)P(0) + P(1)P(1) + P(2)P(2) + P(3)P(3)$
$P = (\frac{1}{8} \times \frac{1}{8}) + (\frac{3}{8} \times \frac{3}{8}) + (\frac{3}{8} \times \frac{3}{8}) + (\frac{1}{8} \times \frac{1}{8})$
$P = \frac{1}{64} + \frac{9}{64} + \frac{9}{64} + \frac{1}{64} = \frac{20}{64} = \frac{5}{16}$.

(A) माना दो धनात्मक संख्याएँ $x$ और $y$ हैं। दिया गया है कि $x + y = 100$,जहाँ $x, y \in \{1, 2, 3, \dots, 99\}$ है।
संभावित युग्मों $(x, y)$ की कुल संख्या $99$ है।
हम चाहते हैं कि गुणनफल $xy > 1000$ हो।
$y = 100 - x$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $x(100 - x) > 1000$ प्राप्त होता है,जो $100x - x^2 > 1000$ या $x^2 - 100x + 1000 < 0$ में सरल हो जाता है।
द्विघात सूत्र $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ का उपयोग करके $x^2 - 100x + 1000 = 0$ को हल करने पर:
$x = \frac{100 \pm \sqrt{10000 - 4000}}{2} = \frac{100 \pm \sqrt{6000}}{2} = 50 \pm 10\sqrt{15}$।
चूँकि $\sqrt{15} \approx 3.87$ है,इसलिए $x \approx 50 \pm 38.7$ है।
अतः,$x$ का मान $(11.3, 88.7)$ के बीच होना चाहिए।
$x$ के लिए संभावित पूर्णांक मान $12, 13, \dots, 88$ हैं।
ऐसे मानों की कुल संख्या $88 - 12 + 1 = 77$ है।
अतः प्रायिकता $\frac{77}{99} = \frac{7}{9}$ है।

(C) प्रत्येक चतुष्फलक में $4$ फलक होते हैं,इसलिए जब $3$ चतुष्फलक उछाले जाते हैं,तो कुल परिणामों की संख्या $4^3 = 64$ होती है।
हमें ऊपर की ओर आने वाली संख्याओं का योग $5$ चाहिए।
मान लीजिए परिणाम $(x_1, x_2, x_3)$ हैं जहाँ $x_i \in \{1, 2, 3, 4\}$ है।
योग $5$ प्राप्त करने वाले संभावित संयोजन इस प्रकार हैं:
$(1, 1, 3)$ जिसे $3$ क्रमपरिवर्तनों में लिखा जा सकता है: $(1, 1, 3), (1, 3, 1), (3, 1, 1)$।
$(1, 2, 2)$ जिसे $3$ क्रमपरिवर्तनों में लिखा जा सकता है: $(1, 2, 2), (2, 1, 2), (2, 2, 1)$।
कुल अनुकूल परिणाम $= 3 + 3 = 6$।
अतः,अभीष्ट प्रायिकता $= \frac{6}{64} = \frac{3}{32}$।

(B) किसी पूर्णांक के वर्ग का अंतिम अंक केवल उस संख्या के अंतिम अंक पर निर्भर करता है।
मान लीजिए पूर्णांक का अंतिम अंक $x$ है,जहाँ $x \in \{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}$ है।
इन अंकों के वर्ग इस प्रकार हैं:
$0^2 = 0$
$1^2 = 1$
$2^2 = 4$
$3^2 = 9$
$4^2 = 16$ (अंतिम अंक $6$)
$5^2 = 25$ (अंतिम अंक $5$)
$6^2 = 36$ (अंतिम अंक $6$)
$7^2 = 49$ (अंतिम अंक $9$)
$8^2 = 64$ (अंतिम अंक $4$)
$9^2 = 81$ (अंतिम अंक $1$)
वर्गों के अंतिम अंक $\{0, 1, 4, 9, 6, 5, 6, 9, 4, 1\}$ हैं।
हम चाहते हैं कि वर्ग का अंतिम अंक $1$ या $5$ हो।
वे स्थितियाँ जहाँ अंतिम अंक $1$ है,$x = 1$ और $x = 9$ हैं (कुल $2$ स्थितियाँ)।
वह स्थिति जहाँ अंतिम अंक $5$ है,$x = 5$ है (कुल $1$ स्थिति)।
कुल अनुकूल परिणाम = $2 + 1 = 3$.
कुल संभावित परिणाम = $10$.
अतः,अभीष्ट प्रायिकता = $\frac{3}{10}$.

(B) माना कि दो पूर्णांक $x$ और $y$ हैं। प्रत्येक पूर्णांक या तो सम $(E)$ या विषम $(O)$ हो सकता है।
दो पूर्णांकों की समता के लिए $4$ संभावित परिणाम हैं: $(E, E), (E, O), (O, E), (O, O)$।
प्रत्येक परिणाम की प्रायिकता $\frac{1}{4}$ है।
$1$. यदि दोनों पूर्णांक सम $(E, E)$ हैं,तो गुणनफल सम होता है।
$2$. यदि एक सम और एक विषम $(E, O)$ या $(O, E)$ है,तो गुणनफल सम होता है।
$3$. यदि दोनों पूर्णांक विषम $(O, O)$ हैं,तो गुणनफल विषम होता है।
अतः,$4$ में से $3$ स्थितियों में गुणनफल सम है: $(E, E), (E, O), (O, E)$।
इसलिए,अभीष्ट प्रायिकता $\frac{3}{4}$ है।

(D) एक बिट के सही होने की प्रायिकता $1 - p$ है।
चूंकि अलग-अलग बिट्स में त्रुटियां स्वतंत्र हैं,इसलिए सभी $16$ बिट्स के सही होने की प्रायिकता $(1 - p)^{16}$ है।
एक गलत संख्या तब बनती है जब कम से कम एक बिट गलत हो।
इसलिए,गलत संख्या बनने की प्रायिकता $1 - P(\text{सभी बिट्स सही हैं})$ है।
अतः,प्रायिकता $1 - (1 - p)^{16}$ है।

(D) जब एक सिक्के को $4$ बार उछाला जाता है,तो कुल परिणामों की संख्या $2^4 = 16$ होती है।
मान लीजिए $E$ कम से कम एक चित आने की घटना है।
इसकी पूरक घटना $E'$ वह है जिसमें कोई चित न आए,अर्थात चारों बार पट (Tail) आए।
केवल $1$ ही परिणाम ऐसा है जिसमें कोई चित नहीं आता है: $(T, T, T, T)$।
अतः,$P(E') = \frac{1}{16}$।
कम से कम एक चित आने की प्रायिकता $P(E) = 1 - P(E')$ है।
$P(E) = 1 - \frac{1}{16} = \frac{15}{16}$।

(D) एक शताब्दी में $100$ वर्ष होते हैं। किसी भी शताब्दी में $25$ लीप वर्ष और $75$ सामान्य वर्ष होते हैं।
लीप वर्ष चुनने की प्रायिकता $P(L) = \frac{25}{100} = \frac{1}{4}$ है।
सामान्य वर्ष चुनने की प्रायिकता $P(NL) = \frac{75}{100} = \frac{3}{4}$ है।
लीप वर्ष में $366$ दिन होते हैं,जो $52$ सप्ताह और $2$ अतिरिक्त दिन होते हैं। लीप वर्ष में $53$ रविवार होने की प्रायिकता $\frac{2}{7}$ है।
सामान्य वर्ष में $365$ दिन होते हैं,जो $52$ सप्ताह और $1$ अतिरिक्त दिन होते हैं। सामान्य वर्ष में $53$ रविवार होने की प्रायिकता $\frac{1}{7}$ है।
कुल प्रायिकता $= P(L) \times P(\text{लीप वर्ष में } 53 \text{ रविवार}) + P(NL) \times P(\text{सामान्य वर्ष में } 53 \text{ रविवार})$.
कुल प्रायिकता $= (\frac{1}{4} \times \frac{2}{7}) + (\frac{3}{4} \times \frac{1}{7}) = \frac{2}{28} + \frac{3}{28} = \frac{5}{28}$.

(B) मान लीजिए $P(K)$ फलक $K$ प्राप्त करने की प्रायिकता है। दिया गया है कि $P(K) \propto K$,इसलिए $P(K) = cK$ किसी स्थिरांक $c$ के लिए।
चूंकि सभी प्रायिकताओं का योग $1$ होना चाहिए,इसलिए $\sum_{K=1}^{6} P(K) = 1$ है।
$c(1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6) = 1 \implies c(21) = 1 \implies c = \frac{1}{21}$।
सम संख्या वाले परिणाम $2, 4,$ और $6$ हैं।
सम संख्या प्राप्त करने की प्रायिकता $P(2) + P(4) + P(6) = c(2 + 4 + 6) = 12c$ है।
$c = \frac{1}{21}$ रखने पर,हमें $\frac{12}{21} = \frac{4}{7}$ प्राप्त होता है।

(C) जब एक पासा फेंका जाता है,तो कुल संभावित परिणाम $S = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ होते हैं,इसलिए कुल परिणामों की संख्या $n(S) = 6$ है।
पासे पर सम संख्याएँ $\{2, 4, 6\}$ हैं,इसलिए अनुकूल परिणामों की संख्या $n(E) = 3$ है।
सम संख्या प्राप्त करने की प्रायिकता $P(E) = \frac{n(E)}{n(S)} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$ द्वारा दी जाती है।

(C) ताश की गड्डी में कुल पत्तों की संख्या = $52$.
गड्डी में इक्कों की संख्या = $4$.
पहला पत्ता इक्का होने की प्रायिकता = $\frac{4}{52} = \frac{1}{13}$.
चूंकि पत्ता बिना प्रतिस्थापन के निकाला गया है,इसलिए शेष कुल पत्ते = $51$ और शेष इक्कों की संख्या = $3$.
दूसरा पत्ता इक्का होने की प्रायिकता = $\frac{3}{51} = \frac{1}{17}$.
दोनों पत्तों के इक्का होने की प्रायिकता = $\frac{1}{13} \times \frac{1}{17} = \frac{1}{221}$.

(D) जब तीन सिक्कों को एक साथ उछाला जाता है,तो कुल संभावित परिणामों की संख्या $2^3 = 8$ होती है।
प्रतिदर्श समष्टि $S = \{HHH, HHT, HTH, THH, HTT, THT, TTH, TTT\}$ है।
मान लीजिए $E$ कम से कम एक चित प्राप्त करने की घटना है।
इसकी पूरक घटना $E'$ का अर्थ है कि कोई भी चित प्राप्त न हो,अर्थात तीनों सिक्कों पर पट (tail) प्राप्त हो $(TTT)$।
घटना $E'$ के लिए परिणामों की संख्या $1$ है।
इसलिए,$P(E') = \frac{1}{8}$।
कम से कम एक चित प्राप्त करने की प्रायिकता $P(E) = 1 - P(E')$ है।
$P(E) = 1 - \frac{1}{8} = \frac{7}{8}$।

(C) मान लीजिए $A$ वह घटना है कि कम से कम एक पासे पर $5$ आता है।
दो पासों के लिए कुल प्रतिदर्श समष्टि $36$ है। वे परिणाम जिनमें $5$ आता है,वे हैं: $(5, 1), (5, 2), (5, 3), (5, 4), (5, 5), (5, 6), (1, 5), (2, 5), (3, 5), (4, 5), (6, 5)$।
घटना $A$ में परिणामों की कुल संख्या $n(A) = 11$ है।
मान लीजिए $B$ वह घटना है कि योग $10$ या उससे अधिक है।
हमें सप्रतिबंध प्रायिकता $P(B|A) = \frac{n(A \cap B)}{n(A)}$ ज्ञात करनी है।
घटना $A$ में वे परिणाम जिनका योग $10$ या उससे अधिक है,वे हैं: $(5, 5), (5, 6), (6, 5)$।
अतः,$n(A \cap B) = 3$ है।
इसलिए,अभीष्ट प्रायिकता $P(B|A) = \frac{3}{11}$ है।

(B) मान लीजिए कि कॉलेज में कुल विद्यार्थियों की संख्या $100$ है।
चूंकि लड़कियाँ कुल विद्यार्थियों का $60\%$ हैं,इसलिए लड़कियों की संख्या $= 60$ और लड़कों की संख्या $= 100 - 60 = 40$ है।
गणित का अध्ययन करने वाले लड़कों की संख्या $= 40$ का $25\% = \frac{25}{100} \times 40 = 10$ है।
गणित का अध्ययन करने वाली लड़कियों की संख्या $= 60$ का $10\% = \frac{10}{100} \times 60 = 6$ है।
गणित का अध्ययन करने वाले कुल विद्यार्थियों की संख्या $= 10 + 6 = 16$ है।
हमें वह प्रायिकता ज्ञात करनी है कि विद्यार्थी एक लड़की है,यह देखते हुए कि विद्यार्थी गणित का अध्ययन करता है।
सप्रतिबंध प्रायिकता (conditional probability) के सूत्र का उपयोग करते हुए,$P(\text{Girl} | \text{Maths}) = \frac{\text{गणित का अध्ययन करने वाली लड़कियों की संख्या}}{\text{गणित का अध्ययन करने वाले कुल विद्यार्थियों की संख्या}}$.
$P(\text{Girl} | \text{Maths}) = \frac{6}{16} = \frac{3}{8}$.

(C) जब दो पासे फेंके जाते हैं तो कुल संभावित परिणामों की संख्या $6 \times 6 = 36$ होती है।
अनुकूल परिणाम जहाँ पहले पासे पर $1$ आता है,वे हैं: $(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6)$।
अनुकूल परिणामों की संख्या $6$ है।
अतः,अभीष्ट प्रायिकता = $\frac{\text{अनुकूल परिणामों की संख्या}}{\text{कुल परिणामों की संख्या}} = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}$ है।

(C) किसी भी संख्या का अंतिम अंक $10$ अंकों में से कोई भी हो सकता है: ${0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}$.
चार संख्याओं के गुणनफल का अंतिम अंक $1, 3, 5$ या $7$ होने के लिए,यह आवश्यक है कि प्रत्येक संख्या का अंतिम अंक $1, 3, 5$ या $7$ हो।
प्रत्येक संख्या के लिए $10$ संभावित अंकों में से $4$ अनुकूल अंक ${1, 3, 5, 7}$ हैं।
एक संख्या के लिए प्रायिकता $P = \frac{4}{10} = \frac{2}{5}$ है।
चूँकि चार स्वतंत्र संख्याएँ हैं,इसलिए चारों संख्याओं का अंतिम अंक ${1, 3, 5, 7}$ में से होने की प्रायिकता $\left( \frac{2}{5} \right)^4 = \frac{16}{625}$ होगी।

(A) जब एक सिक्के को $n$ बार उछाला जाता है,तो कुल संभावित परिणामों की संख्या $2^n$ होती है।
शीर्ष (head) के विषम बार आने के तरीकों की संख्या द्विपद गुणांकों के योग द्वारा दी जाती है: $\binom{n}{1} + \binom{n}{3} + \binom{n}{5} + \dots$
द्विपद गुणांकों का एक ज्ञात गुण यह है कि विषम-अनुक्रमित पदों का योग और सम-अनुक्रमित पदों का योग बराबर होता है,जो $2^{n-1}$ है।
इसलिए,अनुकूल परिणामों की संख्या $2^{n-1}$ है।
अपेक्षित प्रायिकता = $\frac{\text{अनुकूल परिणाम}}{\text{कुल परिणाम}} = \frac{2^{n-1}}{2^n} = \frac{1}{2}$.

(B) एक लीप वर्ष में $366$ दिन होते हैं,जो $52$ सप्ताह और $2$ अतिरिक्त दिनों के बराबर होते हैं।
ये $2$ अतिरिक्त दिन निम्नलिखित संयोजनों में से कोई भी हो सकते हैं:
(रविवार,सोमवार),(सोमवार,मंगलवार),(मंगलवार,बुधवार),(बुधवार,गुरुवार),(गुरुवार,शुक्रवार),(शुक्रवार,शनिवार),(शनिवार,रविवार)।
इन $2$ दिनों के लिए कुल $7$ संभावित परिणाम हैं।
मान लीजिए $A$ शुक्रवार होने की घटना है और $B$ शनिवार होने की घटना है।
$P(A) = \frac{2}{7}$ (क्योंकि शुक्रवार (गुरुवार,शुक्रवार) और (शुक्रवार,शनिवार) में आता है)।
$P(B) = \frac{2}{7}$ (क्योंकि शनिवार (शुक्रवार,शनिवार) और (शनिवार,रविवार) में आता है)।
$P(A \cap B) = \frac{1}{7}$ (क्योंकि दोनों केवल (शुक्रवार,शनिवार) में आते हैं)।
प्रायिकता के योग प्रमेय का उपयोग करते हुए: $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$।
$P(A \cup B) = \frac{2}{7} + \frac{2}{7} - \frac{1}{7} = \frac{3}{7}$।

(D) $1, 2, 3, 4, 5$ अंकों का उपयोग करके पुनरावृत्ति के साथ बनाई जा सकने वाली दो अंकों की कुल संख्याएँ $5 \times 5 = 25$ हैं।
दो अंकों की एक संख्या $4$ से विभाज्य होती है यदि वह $4$ का गुणज हो। इन अंकों द्वारा बनाई गई दो अंकों की संख्याएँ जो $4$ से विभाज्य हैं,वे हैं: $12, 24, 32, 44, 52$.
ऐसे कुल $5$ अनुकूल परिणाम हैं।
प्रायिकता अनुकूल परिणामों और कुल परिणामों का अनुपात है:
$P = \frac{5}{25} = \frac{1}{5}$.
चूंकि $1/5$ दिए गए विकल्पों में नहीं है,इसलिए सही उत्तर 'इनमें से कोई नहीं' है।

(B) ताश की गड्डी में कुल $52$ पत्ते होते हैं। गड्डी में पान का इक्का (ace of heart) केवल $1$ होता है।
मान लीजिए $A$ वह घटना है कि पहला पत्ता पान का इक्का है और $B$ वह घटना है कि दूसरा पत्ता पान का इक्का है।
यहाँ दो परस्पर अपवर्जी स्थितियाँ हैं:
$(i)$ पहला पत्ता पान का इक्का है और दूसरा पत्ता पान का इक्का नहीं है:
$P(E_1) = \frac{1}{52} \times \frac{51}{51} = \frac{1}{52}$
$(ii)$ पहला पत्ता पान का इक्का नहीं है और दूसरा पत्ता पान का इक्का है:
$P(E_2) = \frac{51}{52} \times \frac{1}{51} = \frac{1}{52}$
अतः,अभीष्ट प्रायिकता $P(E_1) + P(E_2) = \frac{1}{52} + \frac{1}{52} = \frac{2}{52} = \frac{1}{26}$ है।

(A) मान लीजिए कि $P(A), P(B)$ और $P(C)$ क्रमशः छात्रों $A, B$ और $C$ द्वारा समस्या को हल करने की प्रायिकताएं हैं।
$P(A) = \frac{1}{2}, P(B) = \frac{1}{3}, P(C) = \frac{1}{4}$.
समस्या तब हल हो जाती है यदि उनमें से कम से कम एक इसे हल कर ले।
यह गणना करना आसान है कि समस्या किसी के द्वारा हल नहीं की गई है।
$A$ द्वारा समस्या हल न करने की प्रायिकता $P(A') = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$ है।
$B$ द्वारा समस्या हल न करने की प्रायिकता $P(B') = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$ है।
$C$ द्वारा समस्या हल न करने की प्रायिकता $P(C') = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$ है।
चूंकि ये घटनाएं स्वतंत्र हैं,इसलिए किसी के द्वारा भी समस्या हल न करने की प्रायिकता $P(\text{None}) = P(A') \times P(B') \times P(C') = \frac{1}{2} \times \frac{2}{3} \times \frac{3}{4} = \frac{6}{24} = \frac{1}{4}$ है।
अतः,समस्या के हल होने की प्रायिकता $P(\text{Solved}) = 1 - P(\text{None}) = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$ है।

(B) $2$ पासों को फेंकने पर कुल संभावित परिणामों की संख्या $6 \times 6 = 36$ है।
द्विक (doublet) तब प्राप्त होता है जब दोनों पासों पर समान अंक आते हैं।
अनुकूल परिणाम हैं: $(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4), (5, 5), (6, 6)$।
इस प्रकार,अनुकूल परिणामों की संख्या $6$ है।
द्विक प्राप्त करने की प्रायिकता अनुकूल परिणामों और कुल परिणामों का अनुपात है:
$\text{प्रायिकता} = \frac{\text{अनुकूल परिणाम}}{\text{कुल परिणाम}} = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}.$

(D) $2$ पासे फेंकने पर कुल संभावित परिणामों की संख्या $6 \times 6 = 36$ है。
योग $7$ प्राप्त करने के लिए अनुकूल परिणाम $(1, 6), (2, 5), (3, 4), (4, 3), (5, 2), (6, 1)$ हैं। ऐसे कुल $6$ परिणाम हैं。
योग $12$ प्राप्त करने के लिए केवल एक अनुकूल परिणाम $(6, 6)$ है। ऐसा $1$ परिणाम है。
चूंकि ये परस्पर अपवर्जी घटनाएं हैं,इसलिए कुल प्रायिकता व्यक्तिगत प्रायिकताओं का योग होगी:
$P(7 \text{ \text{या }} 12) = P(7) + P(12) = \frac{6}{36} + \frac{1}{36} = \frac{7}{36}$.

(A) $20$ जूतों में से $4$ जूते चुनने के कुल तरीके $\binom{20}{4} = \frac{20 \times 19 \times 18 \times 17}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 4845$ हैं।
कम से कम एक जोड़ी होने की प्रायिकता ज्ञात करने के लिए,हम पूरक घटना की प्रायिकता की गणना करते हैं: कोई भी जोड़ी न चुने जाने की प्रायिकता।
$4$ जूते इस प्रकार चुनने के लिए कि कोई भी जोड़ी न बने,हमें $10$ जोड़ियों में से $4$ अलग-अलग जोड़ियाँ चुननी होंगी,जिसे $\binom{10}{4}$ तरीकों से किया जा सकता है। इन $4$ जोड़ियों में से प्रत्येक से $1$ जूता चुनना होगा,जिसे $2^4$ तरीकों से किया जा सकता है।
बिना किसी जोड़ी के $4$ जूते चुनने के तरीके $= \binom{10}{4} \times 2^4 = 210 \times 16 = 3360$.
कोई भी जोड़ी न होने की प्रायिकता $= \frac{3360}{4845} = \frac{224}{323}$.
कम से कम एक जोड़ी होने की प्रायिकता $= 1 - \frac{224}{323} = \frac{99}{323}$.

(B) थैले में गेंदों की कुल संख्या = $3 \text{ (लाल)} + 7 \text{ (काली)} = 10 \text{ गेंदें}$.
चूंकि निकाली गई पहली गेंद लाल है,इसलिए इसे वापस नहीं रखा जाता है।
एक लाल गेंद निकालने के बाद,थैले में बची गेंदों की संख्या = $10 - 1 = 9$.
थैले में बची लाल गेंदों की संख्या = $3 - 1 = 2$.
इसलिए,यदि पहली गेंद लाल थी,तो दूसरी गेंद के लाल होने की प्रायिकता,बची हुई लाल गेंदों की संख्या को बची हुई कुल गेंदों की संख्या से विभाजित करने पर प्राप्त होती है।
प्रायिकता = $\frac{2}{9}$.

(B) एक लीप वर्ष में $366$ दिन होते हैं,जो $52$ सप्ताह और $2$ अतिरिक्त दिनों के बराबर है।
$52$ पूर्ण सप्ताहों में $52$ रविवार निश्चित रूप से होते हैं।
शेष $2$ दिनों के लिए संभावित संयोजन इस प्रकार हैं:
$(i)$ रविवार और सोमवार
$(ii)$ सोमवार और मंगलवार
$(iii)$ मंगलवार और बुधवार
$(iv)$ बुधवार और गुरुवार
$(v)$ गुरुवार और शुक्रवार
$(vi)$ शुक्रवार और शनिवार
$(vii)$ शनिवार और रविवार
इस प्रकार,शेष $2$ दिनों के लिए कुल $7$ संभावित परिणाम हैं।
$53$ रविवार प्राप्त करने के लिए,शेष $2$ दिनों में से एक दिन रविवार होना चाहिए।
यह स्थिति $2$ मामलों में संभव है: $(i)$ रविवार और सोमवार,और $(vii)$ शनिवार और रविवार।
अतः,अभीष्ट प्रायिकता $\frac{2}{7}$ है।

(B) माना $B_1$ पहले थैले को चुनने की घटना है और $B_2$ दूसरे थैले को चुनने की घटना है। चूंकि थैला यादृच्छिक रूप से चुना जाता है,इसलिए $P(B_1) = P(B_2) = \frac{1}{2}$ है।
पहले थैले में $3$ सफेद और $2$ काली गेंदें हैं,इसलिए गेंदों की कुल संख्या $5$ है। पहले थैले से काली गेंद निकालने की प्रायिकता $P(Black|B_1) = \frac{2}{5}$ है।
दूसरे थैले में $2$ सफेद और $4$ काली गेंदें हैं,इसलिए गेंदों की कुल संख्या $6$ है। दूसरे थैले से काली गेंद निकालने की प्रायिकता $P(Black|B_2) = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$ है।
कुल प्रायिकता के नियम का उपयोग करते हुए,काली गेंद निकालने की प्रायिकता $P(Black) = P(B_1) \times P(Black|B_1) + P(B_2) \times P(Black|B_2)$ है।
$P(Black) = \frac{1}{2} \times \frac{2}{5} + \frac{1}{2} \times \frac{2}{3} = \frac{1}{5} + \frac{1}{3} = \frac{3+5}{15} = \frac{8}{15}$.

(B) मान लीजिए $E_1$ थैली $x$ चुनने की घटना है और $E_2$ थैली $y$ चुनने की घटना है। चूँकि थैली यादृच्छिक रूप से चुनी जाती है,इसलिए $P(E_1) = P(E_2) = 1/2$ है।
मान लीजिए $W$ सफेद गेंद चुनने की घटना है।
थैली $x$ से सफेद गेंद चुनने की प्रायिकता $P(W|E_1) = 3/5$ है।
थैली $y$ से सफेद गेंद चुनने की प्रायिकता $P(W|E_2) = 2/6 = 1/3$ है।
कुल प्रायिकता के नियम का उपयोग करते हुए,$P(W) = P(E_1) \cdot P(W|E_1) + P(E_2) \cdot P(W|E_2)$.
$P(W) = (1/2) \cdot (3/5) + (1/2) \cdot (1/3) = 3/10 + 1/6 = (9 + 5) / 30 = 14/30 = 7/15$.

(C) पहले बक्से में पेनों की कुल संख्या = $4 + 2 = 6$ है।
दूसरे बक्से में पेनों की कुल संख्या = $3 + 5 = 8$ है।
पहले बक्से से एक सफेद पेन चुनने की प्रायिकता = $\frac{4}{6} = \frac{2}{3}$ है।
दूसरे बक्से से एक सफेद पेन चुनने की प्रायिकता = $\frac{3}{8}$ है।
चूंकि प्रत्येक बक्से से चयन एक स्वतंत्र घटना है,इसलिए दोनों पेन के सफेद होने की प्रायिकता उनकी व्यक्तिगत प्रायिकताओं का गुणनफल होगी।
अभीष्ट प्रायिकता = $\frac{2}{3} \times \frac{3}{8} = \frac{6}{24} = \frac{1}{4}$ है।

(B) मान लीजिए $A$ पहला थैला है और $B$ दूसरा थैला है।
थैले $A$ के लिए: $P(\text{लाल}_A) = \frac{3}{8}$,$P(\text{काली}_A) = \frac{5}{8}$.
थैले $B$ के लिए: $P(\text{लाल}_B) = \frac{6}{10}$,$P(\text{काली}_B) = \frac{4}{10}$.
'एक लाल और दूसरी काली गेंद' होने की घटना दो परस्पर अपवर्जी तरीकों से हो सकती है:
$1$. थैले $A$ से लाल और थैले $B$ से काली गेंद।
$2$. थैले $A$ से काली और थैले $B$ से लाल गेंद।
अभीष्ट प्रायिकता $= P(\text{लाल}_A) \times P(\text{काली}_B) + P(\text{काली}_A) \times P(\text{लाल}_B)$
$= (\frac{3}{8} \times \frac{4}{10}) + (\frac{5}{8} \times \frac{6}{10})$
$= \frac{12}{80} + \frac{30}{80} = \frac{42}{80} = \frac{21}{40}$.

(A) माना कि लक्ष्य को भेदने की प्रायिकता $p = 1/5$ है।
अतः, लक्ष्य से चूकने की प्रायिकता $q = 1 - p = 1 - 1/5 = 4/5$ होगी।
$n = 10$ स्वतंत्र प्रयासों के लिए, सभी $10$ प्रयासों में लक्ष्य से चूकने की प्रायिकता $q^{10} = (4/5)^{10}$ होगी।
कम से कम एक बार लक्ष्य भेदने की प्रायिकता $P(\text{कम से कम एक लक्ष्य}) = 1 - P(\text{कोई लक्ष्य नहीं})$ द्वारा दी जाती है।
इसलिए, $P(\text{कम से कम एक लक्ष्य}) = 1 - (4/5)^{10}$।

(C) जब चार सिक्के उछाले जाते हैं,तो कुल संभावित परिणामों की संख्या $2^4 = 16$ होती है।
'कम से कम एक चित' आने की घटना,'कोई चित न आने' (अर्थात,सभी पट - tails) की घटना की पूरक घटना है।
कोई चित न आने की प्रायिकता $P(\text{no head}) = \frac{1}{16}$ है।
इसलिए,कम से कम एक चित आने की प्रायिकता $P(\text{at least one head}) = 1 - P(\text{no head})$ होगी।
$P(\text{at least one head}) = 1 - \frac{1}{16} = \frac{15}{16}$।