Probability Questions in Hindi

(D) दो सिक्कों को उछालने के लिए प्रतिदर्श समष्टि $S = \{HH, HT, TH, TT\}$ है।
घटना $A$ (पहले सिक्के पर चित आना) के लिए $A = \{HH, HT\}$ है। अतः,$P(A) = 2/4 = 1/2$.
घटना $B$ (दूसरे सिक्के पर पट आना) के लिए $B = \{HT, TT\}$ है। अतः,$P(B) = 2/4 = 1/2$.
सर्वनिष्ठ घटना $A \cap B$ वह घटना है कि पहले सिक्के पर चित और दूसरे सिक्के पर पट आए,जो $A \cap B = \{HT\}$ है।
अतः,$P(A \cap B) = 1/4$.
चूँकि $P(A) \times P(B) = (1/2) \times (1/2) = 1/4$,इसलिए $P(A \cap B) = P(A) \times P(B)$ है।
अतः,घटनाएँ $A$ और $B$ स्वतंत्र हैं।

(B) हमें शर्त $P(A_1 \cup A_2) = 1 - P(A_1^c) P(A_2^c)$ दी गई है।
पूरक घटना के नियम $P(A^c) = 1 - P(A)$ का उपयोग करते हुए,हम व्यंजक को इस प्रकार लिख सकते हैं:
$P(A_1 \cup A_2) = 1 - (1 - P(A_1))(1 - P(A_2))$
दाहिनी ओर का विस्तार करने पर:
$P(A_1 \cup A_2) = 1 - (1 - P(A_1) - P(A_2) + P(A_1)P(A_2))$
$P(A_1 \cup A_2) = 1 - 1 + P(A_1) + P(A_2) - P(A_1)P(A_2)$
$P(A_1 \cup A_2) = P(A_1) + P(A_2) - P(A_1)P(A_2)$
दो घटनाओं के संघ की परिभाषा के अनुसार,$P(A_1 \cup A_2) = P(A_1) + P(A_2) - P(A_1 \cap A_2)$.
दोनों व्यंजकों की तुलना करने पर,हमें $P(A_1 \cap A_2) = P(A_1)P(A_2)$ प्राप्त होता है।
यह दो घटनाओं के स्वतंत्र होने की शर्त है।

(D) जब दो निष्पक्ष पासे उछाले जाते हैं,तो पहले पासे का परिणाम दूसरे पासे के परिणाम को प्रभावित नहीं करता है।
घटना $A$ यह है कि पहले पासे पर सम संख्या आती है: $A = \{2, 4, 6\}$। प्रायिकता $P(A) = 3/6 = 1/2$ है।
घटना $B$ यह है कि दूसरे पासे पर विषम संख्या आती है: $B = \{1, 3, 5\}$। प्रायिकता $P(B) = 3/6 = 1/2$ है।
सर्वनिष्ठ $A \cap B$ उस घटना को दर्शाता है जहाँ पहला पासा सम है और दूसरा पासा विषम है। ऐसे परिणामों की संख्या $3 \times 3 = 9$ है,कुल $36$ परिणामों में से।
अतः,$P(A \cap B) = 9/36 = 1/4$ है।
चूंकि $P(A) \times P(B) = (1/2) \times (1/2) = 1/4$,इसलिए $P(A \cap B) = P(A) \times P(B)$ है।
अतः,घटनाएँ $A$ और $B$ स्वतंत्र हैं।

(A) कुल पत्तों की संख्या = $52$ है।
ईंट के पत्तों की संख्या $n(A) = 13$ है,इसलिए $P(A) = 13/52 = 1/4$ है।
इक्के के पत्तों की संख्या $n(B) = 4$ है,इसलिए $P(B) = 4/52 = 1/13$ है।
ईंट के इक्के की संख्या $n(A \cap B) = 1$ है,इसलिए $P(A \cap B) = 1/52$ है।
घटनाओं के स्वतंत्र होने के लिए,$P(A \cap B)$ का मान $P(A) \times P(B)$ के बराबर होना चाहिए।
$P(A) \times P(B) = (1/4) \times (1/13) = 1/52$ है।
चूँकि $P(A \cap B) = P(A) \times P(B) = 1/52$ है,इसलिए घटनाएँ $A$ और $B$ स्वतंत्र हैं।

(B) चूंकि $A \cap \bar B$ और $A \cap B$ परस्पर अपवर्जी घटनाएँ हैं,इसलिए $A = (A \cap \bar B) \cup (A \cap B)$ होता है।
अतः,$P(A) = P(A \cap \bar B) + P(A \cap B)$।
इसका अर्थ है $P(A \cap \bar B) = P(A) - P(A \cap B)$।
चूंकि $A$ और $B$ स्वतंत्र हैं,इसलिए $P(A \cap B) = P(A)P(B)$ होता है।
यह मान रखने पर,हमें $P(A \cap \bar B) = P(A) - P(A)P(B) = P(A)(1 - P(B))$ प्राप्त होता है।
चूंकि $P(\bar B) = 1 - P(B)$,इसलिए $P(A \cap \bar B) = P(A)P(\bar B)$ होता है।
अतः,$A$ और $\bar B$ भी स्वतंत्र घटनाएँ हैं।

(A) दिया गया है कि $A, B,$ और $C$ परस्पर स्वतंत्र घटनाएँ हैं,इसलिए $P(A \cap B) = P(A)P(B)$,$P(A \cap C) = P(A)P(C)$,और $P(A \cap B \cap C) = P(A)P(B)P(C)$ है।
$S_1$ के लिए: हम जाँचते हैं कि क्या $P(A \cap (B \cup C)) = P(A)P(B \cup C)$ है।
$P(A \cap (B \cup C)) = P((A \cap B) \cup (A \cap C)) = P(A \cap B) + P(A \cap C) - P(A \cap B \cap C)$
$= P(A)P(B) + P(A)P(C) - P(A)P(B)P(C) = P(A)[P(B) + P(C) - P(B)P(C)]$
$= P(A)P(B \cup C)$। अतः,$S_1$ सत्य है।
$S_2$ के लिए: हम जाँचते हैं कि क्या $P(A \cap (B \cap C)) = P(A)P(B \cap C)$ है।
$P(A \cap (B \cap C)) = P(A \cap B \cap C) = P(A)P(B)P(C) = P(A)P(B \cap C)$। अतः,$S_2$ सत्य है।
इसलिए,$S_1$ और $S_2$ दोनों सत्य हैं।

(C) दो घटनाओं के संघ के लिए सूत्र $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$ है।
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $5/6 = 2/3 + 1/2 - P(A \cap B)$.
$5/6 = 4/6 + 3/6 - P(A \cap B)$.
$5/6 = 7/6 - P(A \cap B)$.
$P(A \cap B) = 7/6 - 5/6 = 2/6 = 1/3$.
चूंकि $P(A \cap B) \neq 0$,घटनाएँ परस्पर अपवर्जी नहीं हैं।
अब,स्वतंत्रता की जाँच करने पर: $P(A) \times P(B) = (2/3) \times (1/2) = 1/3$.
चूंकि $P(A \cap B) = P(A) \times P(B) = 1/3$,इसलिए घटनाएँ $A$ और $B$ स्वतंत्र हैं।

(A) ताश की एक गड्डी में कुल $52$ पत्ते होते हैं।
गड्डी में इक्कों की संख्या $4$ होती है।
एक बार पत्ता निकालने पर इक्का आने की प्रायिकता $P(A) = \frac{4}{52} = \frac{1}{13}$ है।
चूंकि पत्ते प्रतिस्थापन (with replacement) के साथ निकाले जाते हैं,इसलिए दूसरे प्रयास में भी इक्का आने की प्रायिकता समान रहेगी,यानी $P(A) = \frac{1}{13}$।
अतः,क्रमिक रूप से दो इक्के निकालने की प्रायिकता $P(A \cap A) = P(A) \times P(A) = \frac{1}{13} \times \frac{1}{13} = \frac{1}{169}$ है।

(C) जब दो पासों को फेंका जाता है,तो कुल संभावित परिणामों की संख्या $6 \times 6 = 36$ होती है।
हमें $7$ से अधिक योग प्राप्त करने की प्रायिकता ज्ञात करनी है,जिसका अर्थ है कि योग $8, 9, 10, 11,$ या $12$ हो सकता है।
अनुकूल परिणाम इस प्रकार हैं:
योग $= 8$: $(2,6), (3,5), (4,4), (5,3), (6,2)$ ($5$ परिणाम)
योग $= 9$: $(3,6), (4,5), (5,4), (6,3)$ ($4$ परिणाम)
योग $= 10$: $(4,6), (5,5), (6,4)$ ($3$ परिणाम)
योग $= 11$: $(5,6), (6,5)$ ($2$ परिणाम)
योग $= 12$: $(6,6)$ ($1$ परिणाम)
कुल अनुकूल परिणाम $= 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 15$ हैं।
अभीष्ट प्रायिकता $= \frac{\text{अनुकूल परिणामों की संख्या}}{\text{कुल परिणामों की संख्या}} = \frac{15}{36} = \frac{5}{12}$।

(A) थैले में गेंदों की कुल संख्या $= 3 \text{ (काली)} + 4 \text{ (सफेद)} = 7 \text{ गेंदें}$.
अनुकूल परिणामों की संख्या (सफेद गेंद निकालना) $= 4$.
किसी घटना की प्रायिकता का सूत्र है: $P(E) = \frac{\text{अनुकूल परिणामों की संख्या}}{\text{कुल संभावित परिणामों की संख्या}}$.
अतः,सफेद गेंद निकालने की प्रायिकता $= \frac{4}{7}$.

(D) चित प्राप्त करने की प्रायिकता $P(H) = 1/2$ है और चित न प्राप्त करने की प्रायिकता $P(T) = 1/2$ है।
चूंकि $A$ खेल शुरू करता है,$A$ तब जीतता है यदि वह $1^{st}, 3^{rd}, 5^{th}, \dots$ उछाल पर चित प्राप्त करता है।
$A$ पहले उछाल पर $1/2$ प्रायिकता के साथ जीतता है।
$A$ तीसरे उछाल पर जीतता है यदि अनुक्रम $T, T, H$ हो,जिसकी प्रायिकता $(1/2) \times (1/2) \times (1/2) = (1/2)^3$ है।
$A$ पांचवें उछाल पर जीतता है यदि अनुक्रम $T, T, T, T, H$ हो,जिसकी प्रायिकता $(1/2)^5$ है।
इस प्रकार,$A$ के जीतने की कुल प्रायिकता एक अनंत गुणोत्तर श्रेणी है:
$P(A) = 1/2 + (1/2)^3 + (1/2)^5 + \dots$
यह एक गुणोत्तर श्रेणी है जिसमें प्रथम पद $a = 1/2$ और सार्व अनुपात $r = (1/2)^2 = 1/4$ है।
अनंत गुणोत्तर श्रेणी का योग $S = a / (1 - r)$ होता है।
$P(A) = (1/2) / (1 - 1/4) = (1/2) / (3/4) = (1/2) \times (4/3) = 2/3$.

(C) जब दो संतुलित पासों को उछाला जाता है,तो कुल संभावित परिणामों की संख्या $6 \times 6 = 36$ होती है।
हमें उस घटना की प्रायिकता ज्ञात करनी है जिसमें ऊपरी फलकों पर आने वाली संख्याओं का योग $9$ हो।
योग $9$ प्राप्त करने वाले संभावित जोड़े $(d_1, d_2)$ हैं: $(3, 6), (4, 5), (5, 4), (6, 3)$।
इस प्रकार,अनुकूल परिणामों की संख्या $4$ है।
घटना की प्रायिकता अनुकूल परिणामों और कुल परिणामों का अनुपात होती है:
$P = \frac{\text{अनुकूल परिणामों की संख्या}}{\text{कुल परिणामों की संख्या}} = \frac{4}{36} = \frac{1}{9}$।

(A) ताश की एक मानक गड्डी में कुल $52$ पत्ते होते हैं।
ताश की गड्डी में $4$ इक्के होते हैं (प्रत्येक सूट के लिए एक: पान,ईंट,चिड़ी और हुकुम)।
किसी घटना की प्रायिकता अनुकूल परिणामों की संख्या और कुल संभावित परिणामों की संख्या का अनुपात होती है।
प्रायिकता $P(\text{इक्का}) = \frac{\text{इक्कों की संख्या}}{\text{कुल पत्तों की संख्या}} = \frac{4}{52}$.
भिन्न को सरल करने पर,हमें $\frac{4}{52} = \frac{1}{13}$ प्राप्त होता है।

(C) $PROBABILITY$ शब्द में कुल $11$ अक्षर हैं: $P, R, O, B, A, B, I, L, I, T, Y$.
इस शब्द में स्वर $O, A, I, I$ हैं।
अतः,कुल स्वरों की संख्या $4$ है।
कुल संभावित परिणामों की संख्या $11$ है।
स्वर चुनने की प्रायिकता अनुकूल परिणामों की संख्या और कुल परिणामों की संख्या का अनुपात है।
इसलिए,अभीष्ट प्रायिकता $= 4/11$ है।

(B) $n$ पत्रों को $n$ लिफाफों में रखने के कुल तरीके $n!$ हैं।
केवल $1$ तरीका ऐसा है जिसमें सभी पत्र अपने सही संबंधित लिफाफों में रखे जाते हैं।
इसलिए,इस बात की प्रायिकता कि सभी पत्र सही लिफाफों में रखे गए हैं,$P(\text{correct}) = \frac{1}{n!}$ है।
इस बात की प्रायिकता कि सभी पत्र सही लिफाफे में नहीं रखे गए हैं,उस प्रायिकता की पूरक घटना है कि सभी सही लिफाफे में हैं।
अभीष्ट प्रायिकता $= 1 - P(\text{correct}) = 1 - \frac{1}{n!}$।

(A) कुल पृष्ठों की संख्या $100$ है। पृष्ठ संख्या $1$ से $100$ तक हैं।
हमें $1$ से $100$ के बीच ऐसी संख्याएँ ज्ञात करनी हैं जिनके अंकों का योग $11$ हो।
दो अंकों की संख्या $xy$ के लिए,अंकों का योग $x + y = 11$ है,जहाँ $1 \le x \le 9$ और $0 \le y \le 9$ है।
संभावित जोड़े $(x, y)$ इस प्रकार हैं: $(2, 9), (3, 8), (4, 7), (5, 6), (6, 5), (7, 4), (8, 3), (9, 2)$।
ये संख्याएँ $29, 38, 47, 56, 65, 74, 83, 92$ हैं।
ऐसी कुल $8$ संख्याएँ हैं।
संख्या $100$ के लिए,अंकों का योग $1 + 0 + 0 = 1 \neq 11$ है।
अतः,अनुकूल परिणामों की संख्या $8$ है।
कुल परिणामों की संख्या $100$ है।
इसलिए,प्रायिकता $\frac{8}{100} = \frac{2}{25}$ है।

(C) एक परिवार में दो बच्चों के लिए प्रतिदर्श समष्टि (sample space) $S$ इस प्रकार है: $S = \{BB, BG, GB, GG\}$,जहाँ $B$ का अर्थ लड़का और $G$ का अर्थ लड़की है।
कुल संभावित परिणामों की संख्या $n(S) = 4$ है।
घटना $E$ कि दोनों बच्चे लड़के हैं,वह $E = \{BB\}$ है।
अनुकूल परिणामों की संख्या $n(E) = 1$ है।
अतः,प्रायिकता $P(E) = \frac{n(E)}{n(S)} = \frac{1}{4}$ है।

(C) जब एक पासा फेंका जाता है,तो कुल संभावित परिणामों की संख्या $6$ होती है। एक बार फेंकने पर $1$ प्राप्त करने की प्रायिकता $\frac{1}{6}$ है。
एक बार फेंकने पर $1$ न प्राप्त करने की प्रायिकता $1 - \frac{1}{6} = \frac{5}{6}$ है。
चूंकि दोनों फेंक स्वतंत्र घटनाएं हैं,इसलिए पहली बार में $1$ प्राप्त करने और दूसरी बार में $1$ न प्राप्त करने की प्रायिकता की गणना इस प्रकार की जाती है:
आवश्यक प्रायिकता $= P(\text{पहली बार में } 1 \text{ प्राप्त करना}) \times P(\text{दूसरी बार में } 1 \text{ न प्राप्त करना})$
आवश्यक प्रायिकता $= \frac{1}{6} \times \frac{5}{6} = \frac{5}{36}$.

(C) ताश की एक मानक गड्डी में $52$ पत्ते होते हैं,जिनमें से $4$ राजा होते हैं।
जब पहला पत्ता निकाला जाता है,तो उसके राजा होने की प्रायिकता $P(K_1) = \frac{4}{52} = \frac{1}{13}$ है।
एक राजा निकालने के बाद,गड्डी में $51$ पत्ते शेष बचते हैं और केवल $3$ राजा ही शेष रहते हैं।
इसलिए,पहले पत्ते के राजा होने की स्थिति में दूसरे पत्ते के राजा होने की प्रायिकता $P(K_2 | K_1) = \frac{3}{51} = \frac{1}{17}$ है।
दोनों पत्तों के राजा होने की प्रायिकता $P(K_1 \cap K_2) = P(K_1) \times P(K_2 | K_1) = \frac{4}{52} \times \frac{3}{51} = \frac{1}{13} \times \frac{1}{17} = \frac{1}{221}$ है।

(B) सिक्का उछालने के लिए प्रतिदर्श समष्टि ${H, T}$ है,इसलिए चित आने की प्रायिकता $P(H) = \frac{1}{2}$ है।
पासा फेंकने के लिए प्रतिदर्श समष्टि ${1, 2, 3, 4, 5, 6}$ है,इसलिए $6$ आने की प्रायिकता $P(6) = \frac{1}{6}$ है।
चूंकि ये स्वतंत्र घटनाएं हैं,इसलिए संयुक्त प्रायिकता $P(H \cap 6) = P(H) \times P(6) = \frac{1}{2} \times \frac{1}{6} = \frac{1}{12}$ होगी।

(B) जब एक सिक्के को दो बार उछाला जाता है,तो प्रतिदर्श समष्टि $S$ इस प्रकार है: $S = \{(H, H), (H, T), (T, H), (T, T)\}$.
कुल संभावित परिणामों की संख्या $n(S) = 4$ है।
मान लीजिए $E$ दोनों बार चित आने की घटना है। अनुकूल परिणाम $E = \{(H, H)\}$ है।
अनुकूल परिणामों की संख्या $n(E) = 1$ है।
प्रायिकता $P(E)$ का सूत्र है: $P(E) = \frac{n(E)}{n(S)} = \frac{1}{4}$.

(C) ताश की गड्डी में कुल पत्तों की संख्या $= 52$ है।
चूंकि पत्ते प्रतिस्थापन के साथ निकाले जाते हैं,इसलिए दोनों घटनाएं स्वतंत्र हैं।
पहले प्रयास में ईंट का पत्ता निकालने की प्रायिकता $P(\text{Diamond}) = \frac{13}{52} = \frac{1}{4}$ है।
दूसरे प्रयास में राजा निकालने की प्रायिकता $P(\text{King}) = \frac{4}{52} = \frac{1}{13}$ है।
चूंकि घटनाएं स्वतंत्र हैं,इसलिए अभीष्ट प्रायिकता $P(\text{Diamond}) \times P(\text{King}) = \frac{1}{4} \times \frac{1}{13} = \frac{1}{52}$ है।

(B) जब दो पासे एक साथ फेंके जाते हैं,तो कुल संभावित परिणामों की संख्या $6 \times 6 = 36$ होती है।
मान लीजिए $E$ योग $2$,$8$ या $12$ प्राप्त करने की घटना है।
$1$. योग $2$ के लिए परिणाम: $(1, 1)$ - कुल $1$ परिणाम।
$2$. योग $8$ के लिए परिणाम: $(2, 6), (3, 5), (4, 4), (5, 3), (6, 2)$ - कुल $5$ परिणाम।
$3$. योग $12$ के लिए परिणाम: $(6, 6)$ - कुल $1$ परिणाम।
कुल अनुकूल परिणाम $= 1 + 5 + 1 = 7$ हैं।
अतः,अभीष्ट प्रायिकता $P(E) = \frac{\text{अनुकूल परिणामों की संख्या}}{\text{कुल परिणामों की संख्या}} = \frac{7}{36}$ है।

(B) माना $A$ पहली बार में $4, 5$ या $6$ प्राप्त करने की घटना है। एक पासे के लिए कुल परिणाम $6$ होते हैं। अनुकूल परिणाम ${4, 5, 6}$ हैं,इसलिए अनुकूल परिणामों की संख्या $3$ है।
$P(A) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$.
माना $B$ दूसरी बार में $1, 2, 3$ या $4$ प्राप्त करने की घटना है। अनुकूल परिणाम ${1, 2, 3, 4}$ हैं,इसलिए अनुकूल परिणामों की संख्या $4$ है।
$P(B) = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$.
चूंकि दोनों फेंक स्वतंत्र घटनाएं हैं,इसलिए दोनों घटनाओं के एक साथ होने की प्रायिकता $P(A \cap B) = P(A) \times P(B)$ होगी।
$P(A \cap B) = \frac{1}{2} \times \frac{2}{3} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$.

(A) $52$ पत्तों में से $2$ पत्ते निकालने के कुल तरीके $^{52}C_2 = \frac{52 \times 51}{2} = 1326$ हैं।
दो पत्ते निकालने के ऐसे तरीके जिनमें कोई भी इक्का न हो (अर्थात $48$ गैर-इक्का पत्तों में से चयन) की संख्या $^{48}C_2 = \frac{48 \times 47}{2} = 1128$ है।
कोई भी इक्का न निकलने की प्रायिकता $P(\text{no ace}) = \frac{1128}{1326} = \frac{48}{52} \times \frac{47}{51} = \frac{12}{13} \times \frac{47}{51} = \frac{188}{221}$ है।
कम से कम एक पत्ता इक्का होने की प्रायिकता $1 - P(\text{no ace}) = 1 - \frac{188}{221} = \frac{221 - 188}{221} = \frac{33}{221}$ है।

(A) मान लीजिए $A$ वह घटना है कि पहले पैकेट से निकाला गया पत्ता पान का इक्का है,और $B$ वह घटना है कि दूसरे पैकेट से निकाला गया पत्ता पान का इक्का है।
$52$ ताश के पत्तों के पैकेट से पान का इक्का निकालने की प्रायिकता $P(A) = P(B) = \frac{1}{52}$ है।
पैकेट से पान का इक्का न निकालने की प्रायिकता $P(A') = P(B') = 1 - \frac{1}{52} = \frac{51}{52}$ है।
कम से कम एक पान का इक्का होने की प्रायिकता $1 - P(\text{कोई भी पान का इक्का न हो})$ द्वारा दी जाती है।
चूंकि ये घटनाएं स्वतंत्र हैं,इसलिए $P(\text{कोई भी पान का इक्का न हो}) = P(A') \times P(B') = \frac{51}{52} \times \frac{51}{52} = \frac{2601}{2704}$ है।
अतः,अभीष्ट प्रायिकता $1 - \frac{2601}{2704} = \frac{2704 - 2601}{2704} = \frac{103}{2704}$ है।

(C) बॉक्स में कुल वस्तुओं की संख्या $= 6 + 10 = 16$ है।
जंग लगी कीलों की संख्या $= \frac{1}{2} \times 6 = 3$ है।
जंग लगे नटों की संख्या $= \frac{1}{2} \times 10 = 5$ है।
कुल जंग लगी वस्तुओं की संख्या $= 3 + 5 = 8$ है।
बिना जंग वाली कीलों की संख्या $= 6 - 3 = 3$ है।
हमें वह प्रायिकता ज्ञात करनी है कि चुनी गई वस्तु जंग लगी है या एक कील है।
सूत्र $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$ का उपयोग करते हुए:
मान लीजिए $A$ वह घटना है कि वस्तु जंग लगी है,और $B$ वह घटना है कि वस्तु एक कील है।
$P(A) = \frac{8}{16}$,$P(B) = \frac{6}{16}$,और $P(A \cap B) = \frac{3}{16}$ (जंग लगी कीलें)।
प्रायिकता $= \frac{8}{16} + \frac{6}{16} - \frac{3}{16} = \frac{11}{16}$।

(A) जब एक सिक्के को $4$ बार उछाला जाता है,तो कुल परिणामों की संख्या $2^4 = 16$ होती है।
माना $E$ कम से कम एक बार पट (tail) आने की घटना है।
इसकी पूरक घटना $E'$ एक भी बार पट न आने की घटना है,जिसका अर्थ है कि हर बार चित (head) आता है।
$E'$ के लिए केवल एक ही परिणाम संभव है $(H, H, H, H)$,इसलिए $E'$ के परिणामों की संख्या $1$ है।
$E'$ की प्रायिकता $P(E') = \frac{1}{16}$ है।
अतः कम से कम एक बार पट आने की प्रायिकता $P(E) = 1 - P(E') = 1 - \frac{1}{16} = \frac{15}{16}$ होगी।

(D) $3$ अलग-अलग पत्रों को $3$ अलग-अलग लिफाफों में रखने के कुल तरीकों की संख्या $3!$ है,अर्थात $3 \times 2 \times 1 = 6$ तरीके।
इन $6$ संभावित व्यवस्थाओं में से,केवल $1$ व्यवस्था ऐसी है जिसमें प्रत्येक पत्र अपने सही लिफाफे में जाता है।
अतः,अभीष्ट प्रायिकता अनुकूल परिणामों की संख्या और कुल संभावित परिणामों की संख्या का अनुपात है:
प्रायिकता $= \frac{\text{अनुकूल परिणामों की संख्या}}{\text{कुल परिणामों की संख्या}} = \frac{1}{3!} = \frac{1}{6}$.

(B) जब दो पासे फेंके जाते हैं,तो कुल संभावित परिणामों की संख्या $6 \times 6 = 36$ होती है।
हमें उस प्रायिकता को ज्ञात करना है जिसमें दोनों पासों पर आई संख्याओं का योग $10$ से अधिक हो।
$10$ से अधिक योग होने की संभावनाएँ $11$ और $12$ हैं।
$11$ योग प्राप्त करने वाले परिणाम $(5, 6)$ और $(6, 5)$ हैं।
$12$ योग प्राप्त करने वाला परिणाम $(6, 6)$ है।
अतः,अनुकूल परिणाम ${(5, 6), (6, 5), (6, 6)}$ हैं।
अनुकूल परिणामों की संख्या $3$ है।
प्रायिकता $= \frac{\text{अनुकूल परिणामों की संख्या}}{\text{कुल परिणामों की संख्या}} = \frac{3}{36} = \frac{1}{12}$.

(B) जब $2$ पासों को फेंका जाता है,तो कुल संभावित परिणामों की संख्या $6 \times 6 = 36$ होती है।
हमें $5$ या $6$ का योग प्राप्त करने की प्रायिकता ज्ञात करनी है।
योग $5$ प्राप्त करने के अनुकूल परिणाम हैं: $(1, 4), (2, 3), (3, 2), (4, 1)$,जो कि $4$ परिणाम हैं।
योग $6$ प्राप्त करने के अनुकूल परिणाम हैं: $(1, 5), (2, 4), (3, 3), (4, 2), (5, 1)$,जो कि $5$ परिणाम हैं।
कुल अनुकूल परिणाम = $4 + 5 = 9$ हैं।
अतः,अभीष्ट प्रायिकता = $\frac{\text{कुल अनुकूल परिणाम}}{\text{कुल संभावित परिणाम}} = \frac{9}{36} = \frac{1}{4}$।

(B) एक निश्चित घटना वह घटना है जिसका घटित होना निश्चित है।
परिभाषा के अनुसार,संपूर्ण प्रतिदर्श समष्टि $S$ की प्रायिकता $P(S) = 1$ होती है।
अतः,एक निश्चित घटना की प्रायिकता $1$ होती है।

(B) दिया गया है कि एक परीक्षण में घटना $A$ के घटित होने की प्रायिकता $P(A) = 0.4$ है।
अतः,एक परीक्षण में घटना $A$ के न घटित होने की प्रायिकता $P(\bar{A}) = 1 - 0.4 = 0.6$ है।
तीन स्वतंत्र परीक्षणों के लिए,घटना $A$ के एक भी बार न घटित होने की प्रायिकता $P(\text{none}) = P(\bar{A})^3 = (0.6)^3 = 0.216$ है।
घटना $A$ के कम से कम एक बार घटित होने की प्रायिकता $1 - P(\text{none})$ द्वारा प्राप्त की जाती है।
अतः,अभीष्ट प्रायिकता $1 - 0.216 = 0.784$ है।

(B) जब दो पासों को फेंका जाता है,तो कुल संभावित परिणामों की संख्या $6 \times 6 = 36$ होती है।
विषम योग तब प्राप्त होता है जब एक पासे पर विषम संख्या और दूसरे पर सम संख्या हो,या इसके विपरीत।
विषम योग के लिए संभावित परिणाम हैं: $(1,2), (1,4), (1,6), (2,1), (2,3), (2,5), (3,2), (3,4), (3,6), (4,1), (4,3), (4,5), (5,2), (5,4), (5,6), (6,1), (6,3), (6,5)$।
इनकी गणना करने पर,हमें $18$ ऐसे परिणाम मिलते हैं।
विषम योग प्राप्त करने की प्रायिकता $P = \frac{\text{अनुकूल परिणामों की संख्या}}{\text{कुल परिणामों की संख्या}} = \frac{18}{36} = \frac{1}{2}$ है।

(C) लॉटरी टिकटों की कुल संख्या $10,000$ है।
$20$ से विभाज्य टिकटों की संख्या ज्ञात करने के लिए,हम कुल टिकटों की संख्या को $20$ से विभाजित करते हैं: $\frac{10,000}{20} = 500$।
ये $500$ टिकट अनुकूल परिणाम दर्शाते हैं।
किसी घटना की प्रायिकता अनुकूल परिणामों और कुल संभावित परिणामों के अनुपात द्वारा दी जाती है।
अतः,अभीष्ट प्रायिकता $= \frac{500}{10,000} = \frac{1}{20}$ है।

(B) जब दो पासे फेंके जाते हैं,तो कुल परिणामों की संख्या $6 \times 6 = 36$ होती है।
माना $A$ पहले पासे पर $2$ का गुणज प्राप्त करने की घटना है: $A = \{2, 4, 6\}$,अतः $n(A) = 3$।
माना $B$ दूसरे पासे पर $3$ का गुणज प्राप्त करने की घटना है: $B = \{3, 6\}$,अतः $n(B) = 2$।
उन परिणामों की संख्या जहाँ पहले पासे पर $2$ का गुणज और दूसरे पर $3$ का गुणज हो,$3 \times 2 = 6$ है। ये परिणाम $(2,3), (2,6), (4,3), (4,6), (6,3), (6,6)$ हैं।
इसी प्रकार,उन परिणामों की संख्या जहाँ पहले पासे पर $3$ का गुणज और दूसरे पर $2$ का गुणज हो,$2 \times 3 = 6$ है। ये परिणाम $(3,2), (3,4), (3,6), (6,2), (6,4), (6,6)$ हैं।
इन दोनों समुच्चयों का सर्वनिष्ठ परिणाम $(6,6)$ है,जो दोनों स्थितियों में गिना गया है।
समावेशन-अपवर्जन सिद्धांत का उपयोग करते हुए,अनुकूल परिणामों की कुल संख्या $6 + 6 - 1 = 11$ है।
अतः,अभीष्ट प्रायिकता $\frac{11}{36}$ है।

(D) मान लीजिए कि $A, B,$ और $C$ वे घटनाएँ हैं जिनमें तीन छात्र समस्या को हल करते हैं।
दी गई प्रायिकताएँ $P(A) = \frac{1}{3}$,$P(B) = \frac{1}{4}$,और $P(C) = \frac{1}{5}$ हैं।
छात्रों द्वारा समस्या हल न कर पाने की प्रायिकताएँ $P(A') = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$,$P(B') = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$,और $P(C') = 1 - \frac{1}{5} = \frac{4}{5}$ हैं।
उनके द्वारा समस्या हल न होने की प्रायिकता $P(\text{none}) = P(A') \times P(B') \times P(C') = \frac{2}{3} \times \frac{3}{4} \times \frac{4}{5} = \frac{2}{5}$ है।
अतः,प्रश्न के हल होने की प्रायिकता $P(\text{solved}) = 1 - P(\text{none}) = 1 - \frac{2}{5} = \frac{3}{5}$ है।

(C) एक मानक छह-पक्षीय पासे में $1, 2, 3, 4, 5,$ और $6$ अंक होते हैं।
पासा फेंकने पर,कुल संभावित परिणामों की संख्या $6$ होती है।
संख्या $5$ प्राप्त करने की घटना एक अनुकूल परिणाम है।
इसलिए,संख्या $5$ प्राप्त करने की प्रायिकता $P$ इस सूत्र द्वारा दी जाती है: $P = \frac{\text{अनुकूल परिणामों की संख्या}}{\text{कुल संभावित परिणामों की संख्या}}$.
मान रखने पर,हमें $P = \frac{1}{6}$ प्राप्त होता है।

(B) ताश की एक मानक गड्डी में कुल $52$ पत्ते होते हैं।
गड्डी में चिड़ी की बेगम केवल $1$ होती है,इसलिए इसे निकालने की प्रायिकता $P(A) = \frac{1}{52}$ है।
गड्डी में पान का बादशाह केवल $1$ होता है,इसलिए इसे निकालने की प्रायिकता $P(B) = \frac{1}{52}$ है।
चूंकि ये दोनों घटनाएं परस्पर अपवर्जी (mutually exclusive) हैं (एक पत्ता एक ही समय में चिड़ी की बेगम और पान का बादशाह नहीं हो सकता),इसलिए किसी भी एक घटना के होने की प्रायिकता उनकी व्यक्तिगत प्रायिकताओं का योग है।
अभीष्ट प्रायिकता $P(A \cup B) = P(A) + P(B) = \frac{1}{52} + \frac{1}{52} = \frac{2}{52} = \frac{1}{26}$ है।

(C) जब तीन सिक्कों को एक साथ उछाला जाता है,तो कुल संभावित परिणामों की संख्या $2^3 = 8$ होती है।
प्रतिदर्श समष्टि $S$ इस प्रकार है: $S = \{HHH, HHT, HTH, THH, HTT, THT, TTH, TTT\}$.
हमें कम से कम $2$ पट (tails) प्राप्त करने की प्रायिकता ज्ञात करनी है। इसमें $2$ पट या $3$ पट वाले परिणाम शामिल हैं।
अनुकूल परिणाम हैं: $\{HTT, THT, TTH, TTT\}$।
अनुकूल परिणामों की संख्या $4$ है।
अतः,प्रायिकता $P = \frac{\text{अनुकूल परिणामों की संख्या}}{\text{कुल परिणामों की संख्या}} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}$।

(B) एक निष्पक्ष पासे को फेंकने पर प्रतिदर्श समष्टि (sample space) $S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}$ है।
कुल संभावित परिणामों की संख्या $n(S) = 6$ है।
मान लीजिए $E$ वह घटना है जिसमें $7$ से छोटी संख्या प्राप्त होती है।
चूंकि सभी संख्याएँ ${1, 2, 3, 4, 5, 6}$,$7$ से छोटी हैं,इसलिए अनुकूल परिणाम ${1, 2, 3, 4, 5, 6}$ हैं।
अनुकूल परिणामों की संख्या $n(E) = 6$ है।
प्रायिकता $P(E)$ का सूत्र $P(E) = \frac{n(E)}{n(S)}$ है।
$P(E) = \frac{6}{6} = 1$।
अतः,प्रायिकता $1$ है।

(C) जब दो पासे फेंके जाते हैं,तो कुल संभावित परिणामों की संख्या $6 \times 6 = 36$ होती है।
मान लीजिए $E$ योग $11$ से कम प्राप्त करने की घटना है। पूरक घटना $E'$ की प्रायिकता ज्ञात करना आसान है,जो $11$ या उससे अधिक का योग प्राप्त करने की घटना है।
$11$ या उससे अधिक के योग के लिए परिणाम हैं: $(5, 6), (6, 5), (6, 6)$।
$E'$ के लिए अनुकूल परिणामों की संख्या $3$ है।
इसलिए,$E$ (योग $11$ से कम) के लिए अनुकूल परिणामों की संख्या $36 - 3 = 33$ है।
अपेक्षित प्रायिकता $P(E) = \frac{33}{36} = \frac{11}{12}$ है।

(B) एक सामान्य वर्ष (गैर-लीप वर्ष) में $365$ दिन होते हैं।
$365$ को $7$ से विभाजित करने पर,हमें $365 = 52 \times 7 + 1$ प्राप्त होता है।
इसका अर्थ है कि एक सामान्य वर्ष में $52$ पूर्ण सप्ताह और $1$ अतिरिक्त दिन होता है।
अतिरिक्त दिन सप्ताह के $7$ दिनों में से कोई भी हो सकता है: {रविवार,सोमवार,मंगलवार,बुधवार,गुरुवार,शुक्रवार,शनिवार}।
वर्ष में $53$ रविवार होने के लिए,अतिरिक्त दिन का रविवार होना आवश्यक है।
चूंकि $7$ संभावित परिणामों में से केवल $1$ अनुकूल परिणाम (रविवार) है,इसलिए प्रायिकता $1/7$ है।

(B) ताश की गड्डी में कुल पत्तों की संख्या $= 52$ है।
कोर्ट कार्ड (फेस कार्ड) में गुलाम,बेगम और बादशाह शामिल होते हैं।
एक गड्डी में $4$ गुलाम,$4$ बेगम और $4$ बादशाह होते हैं।
कोर्ट कार्डों की कुल संख्या $= 4 + 4 + 4 = 12$ है।
कोर्ट कार्ड निकालने की प्रायिकता,कोर्ट कार्डों की संख्या और कुल पत्तों की संख्या का अनुपात होती है।
प्रायिकता $= \frac{12}{52}$।
अंश और हर को $4$ से विभाजित करने पर,हमें $\frac{3}{13}$ प्राप्त होता है।
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(C) जब दो पासे फेंके जाते हैं,तो कुल संभावित परिणामों की संख्या $6 \times 6 = 36$ होती है।
हमें ऐसे युग्म $(x, y)$ खोजने हैं जिनका योग $x + y$,$4$ का गुणज हो। संभावित योग $4, 8, 12$ हैं।
अनुकूल परिणाम इस प्रकार हैं:
योग $= 4$: $(1, 3), (2, 2), (3, 1)$
योग $= 8$: $(2, 6), (3, 5), (4, 4), (5, 3), (6, 2)$
योग $= 12$: $(6, 6)$
कुल अनुकूल परिणामों की संख्या $3 + 5 + 1 = 9$ है।
प्रायिकता $= \frac{\text{अनुकूल परिणामों की संख्या}}{\text{कुल परिणामों की संख्या}} = \frac{9}{36} = \frac{1}{4}$ है।

(A) कुल परिणामों की संख्या = (पुरस्कारों की संख्या) + (खाली टिकटों की संख्या) = $5 + 20 = 25$.
अनुकूल परिणामों की संख्या (पुरस्कार प्राप्त करना) = $5$.
किसी घटना की प्रायिकता का सूत्र है: $P(E) = \frac{\text{अनुकूल परिणामों की संख्या}}{\text{कुल परिणामों की संख्या}}$.
अतः,पुरस्कार प्राप्त करने की प्रायिकता = $\frac{5}{25} = \frac{1}{5}$.

(B) जब एक निष्पक्ष पासा फेंका जाता है,तो कुल संभावित परिणाम $S = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ होते हैं,इसलिए कुल परिणामों की संख्या $n(S) = 6$ है।
हमें $2$ से बड़ी संख्या प्राप्त करने की प्रायिकता ज्ञात करनी है।
अनुकूल परिणाम $E = \{3, 4, 5, 6\}$ हैं।
अनुकूल परिणामों की संख्या $n(E) = 4$ है।
प्रायिकता $P(E)$ का सूत्र $P(E) = \frac{n(E)}{n(S)}$ है।
अतः,$P(E) = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$।

(D) $52$ पत्तों की गड्डी से $2$ पत्ते निकालने के कुल तरीके $^52C_2 = \frac{52 \times 51}{2 \times 1} = 1326$ हैं।
$52$ पत्तों की गड्डी में $4$ रानियाँ और $4$ इक्के होते हैं।
$1$ रानी और $1$ इक्का चुनने के तरीके $^4C_1 \times ^4C_1 = 4 \times 4 = 16$ हैं।
प्रायिकता = $\frac{\text{अनुकूल परिणाम}}{\text{कुल परिणाम}} = \frac{16}{1326}$ है।
अंश और हर को $2$ से विभाजित करने पर,हमें $\frac{8}{663}$ प्राप्त होता है।
चूंकि $\frac{8}{663}$ दिए गए विकल्पों $A, B,$ या $C$ में नहीं है,इसलिए सही उत्तर $D$ (इनमें से कोई नहीं) है।

(C) जब दो पासे फेंके जाते हैं,तो कुल संभावित परिणामों की संख्या $6 \times 6 = 36$ होती है।
दी गई शर्त यह है कि दोनों पासों पर आने वाली संख्याएँ अलग-अलग हैं। जिन स्थितियों में संख्याएँ समान होती हैं,वे $(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4), (5, 5), (6, 6)$ हैं,जो कुल $6$ परिणाम हैं।
अतः,वे परिणाम जिनमें संख्याएँ अलग-अलग हैं,उनकी संख्या $36 - 6 = 30$ है।
अब,हमें वह प्रायिकता ज्ञात करनी है कि योग $6$ हो,यह देखते हुए कि संख्याएँ अलग-अलग हैं। योग $6$ प्राप्त करने वाले जोड़े $(1, 5), (2, 4), (3, 3), (4, 2), (5, 1)$ हैं।
चूँकि संख्याएँ अलग-अलग होनी चाहिए,इसलिए हम $(3, 3)$ को हटा देंगे। शेष अनुकूल परिणाम $(1, 5), (2, 4), (4, 2), (5, 1)$ हैं,जो कुल $4$ हैं।
अतः,अभीष्ट प्रायिकता $= \frac{\text{अनुकूल परिणामों की संख्या}}{\text{अलग संख्याओं वाले कुल परिणाम}} = \frac{4}{30} = \frac{2}{15}$.

(A) मान लीजिए $E_1$ वह घटना है कि पुरुष का चयन होता है और $E_2$ वह घटना है कि महिला का चयन होता है।
दिया गया है,$P(E_1) = 1/4$ और $P(E_2) = 1/3$।
पुरुष के चयन न होने की प्रायिकता $P(\bar{E}_1) = 1 - P(E_1) = 1 - 1/4 = 3/4$ है।
महिला के चयन न होने की प्रायिकता $P(\bar{E}_2) = 1 - P(E_2) = 1 - 1/3 = 2/3$ है।
चूंकि पुरुष और महिला का चयन स्वतंत्र घटनाएं हैं,इसलिए उनमें से किसी का भी चयन न होने की प्रायिकता $P(\bar{E}_1 \cap \bar{E}_2) = P(\bar{E}_1) \times P(\bar{E}_2)$ होगी।
अतः,$P(\bar{E}_1 \cap \bar{E}_2) = 3/4 \times 2/3 = 6/12 = 1/2$।