Probability Questions in Hindi

(C) जब तीन निष्पक्ष सिक्कों को उछाला जाता है,तो कुल प्रतिदर्श समष्टि $S = \{HHH, HHT, HTH, THH, HTT, THT, TTH, TTT\}$ होती है।
चूंकि शर्त यह है कि चित और पट दोनों दिखाई देने चाहिए,इसलिए हम $HHH$ और $TTT$ को बाहर कर देते हैं।
अतः,कम की गई प्रतिदर्श समष्टि $S' = \{HHT, HTH, THH, HTT, THT, TTH\}$ है,जहाँ $n(S') = 6$ है।
हमें ठीक एक चित आने की प्रायिकता ज्ञात करनी है। अनुकूल परिणाम $E = \{HTT, THT, TTH\}$ हैं,जहाँ $n(E) = 3$ है।
इसलिए,अभीष्ट प्रायिकता $P = \frac{n(E)}{n(S')} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$ है।

(D) थैले में गेंदों की कुल संख्या $= 4 + 5 + 6 = 15$ है।
सफेद गेंदों की संख्या $= 4$ है।
लाल गेंदों की संख्या $= 6$ है।
चूंकि सफेद गेंद और लाल गेंद निकालने की घटनाएं परस्पर अपवर्जी हैं,इसलिए सफेद या लाल गेंद निकालने की प्रायिकता उनकी व्यक्तिगत प्रायिकताओं का योग होगी।
सफेद गेंद निकालने की प्रायिकता $P(W) = \frac{4}{15}$ है।
लाल गेंद निकालने की प्रायिकता $P(R) = \frac{6}{15}$ है।
प्रायिकता (सफेद या लाल) $= P(W) + P(R) = \frac{4}{15} + \frac{6}{15} = \frac{10}{15} = \frac{2}{3}$।

(B) ताश की गड्डी में कुल पत्तों की संख्या = $52$ है।
पान (heart) के पत्तों की संख्या = $13$ है।
राजा (king) के पत्तों की संख्या = $4$ है।
चूंकि एक राजा पान का भी होता है,इसलिए पान या राजा होने वाले पत्तों की कुल संख्या = $13 + 4 - 1 = 16$ है।
वे पत्ते जो न तो पान के हैं और न ही राजा हैं,उनकी संख्या = $52 - 16 = 36$ है।
अतः,अभीष्ट प्रायिकता = $\frac{36}{52} = \frac{9}{13}$ है।

(A) जब दो पासे फेंके जाते हैं,तो प्रत्येक पासे पर संभावित परिणाम $1$ से $6$ तक होते हैं।
दो पासों पर संख्याओं का अधिकतम संभावित योग $6 + 6 = 12$ होता है।
चूंकि योग $13$,अधिकतम संभावित योग $12$ से अधिक है,इसलिए $13$ का योग प्राप्त करना असंभव है।
अतः,अनुकूल परिणामों की संख्या $0$ है।
प्रायिकता का सूत्र है: $P(E) = \frac{\text{अनुकूल परिणामों की संख्या}}{\text{कुल संभावित परिणामों की संख्या}}$.
$P(13) = \frac{0}{36} = 0$.

(C) जब तीन पासे एक साथ फेंके जाते हैं,तो कुल परिणामों की संख्या $6 \times 6 \times 6 = 216$ होती है।
$17$ का योग निम्नलिखित तरीकों से प्राप्त किया जा सकता है: $(5, 6, 6), (6, 5, 6), (6, 6, 5)$। ऐसे $3$ परिणाम हैं।
$18$ का योग निम्नलिखित तरीके से प्राप्त किया जा सकता है: $(6, 6, 6)$। ऐसा $1$ परिणाम है।
अनुकूल परिणामों की कुल संख्या $3 + 1 = 4$ है।
अतः,अभीष्ट प्रायिकता $\frac{4}{216} = \frac{1}{54}$ है।

(D) बक्से में वस्तुओं की कुल संख्या $= 10 + 6 = 16$ है।
मान लीजिए $E$ वह घटना है कि चुनी गई वस्तु या तो अच्छी है या खराब है।
चूंकि बक्से की प्रत्येक वस्तु या तो अच्छी है या खराब,इसलिए घटना $E$ एक निश्चित घटना (प्रतिदर्श समष्टि) है।
अतः,अनुकूल परिणामों की संख्या $= 16$ है।
प्रायिकता $P(E) = \frac{\text{अनुकूल परिणामों की संख्या}}{\text{कुल परिणामों की संख्या}} = \frac{16}{16} = 1$.

(B) एक असंभव घटना वह घटना है जो यादृच्छिक प्रयोग के किसी भी परीक्षण में घटित नहीं हो सकती है।
परिभाषा के अनुसार,एक असंभव घटना की प्रायिकता हमेशा $0$ होती है।
इसलिए,$P(\phi) = 0$.

(C) प्रयोग तब रुक जाता है जब चित आता है या $5$ उछाल पूरे हो जाते हैं।
यह दिया गया है कि पहले दो उछालों में चित नहीं आया है,अर्थात हमने $TT$ (पट,पट) देखा है।
सिक्के को $5$ बार उछाले जाने के लिए,तीसरे उछाल में चित नहीं आना चाहिए और चौथे उछाल में भी चित नहीं आना चाहिए।
यदि तीसरे या चौथे उछाल में चित आ जाता है,तो प्रयोग पहले ही रुक जाएगा।
इसलिए,तीसरे और चौथे उछाल के परिणाम $T$ और $T$ होने चाहिए।
किसी भी एक उछाल में पट आने की प्रायिकता $1/2$ है।
अतः,यह देखते हुए कि पहले दो उछालों में पट आया है,सिक्के को $5$ बार उछाले जाने की प्रायिकता $P(T_3) \cdot P(T_4) = (1/2) \cdot (1/2) = 1/4$ है।

(B) जब दो पासे उछाले जाते हैं,तो कुल संभावित परिणामों की संख्या $6 \times 6 = 36$ होती है।
योग $2$ से $12$ के बीच हो सकता है। इस सीमा में अभाज्य संख्याएँ $\{2, 3, 5, 7, 11\}$ हैं।
अब,प्रत्येक अभाज्य योग के लिए परिणामों की संख्या गिनते हैं:
- योग $= 2$: $(1, 1)$ $\rightarrow 1$ परिणाम
- योग $= 3$: $(1, 2), (2, 1)$ $\rightarrow 2$ परिणाम
- योग $= 5$: $(1, 4), (2, 3), (3, 2), (4, 1)$ $\rightarrow 4$ परिणाम
- योग $= 7$: $(1, 6), (2, 5), (3, 4), (4, 3), (5, 2), (6, 1)$ $\rightarrow 6$ परिणाम
- योग $= 11$: $(5, 6), (6, 5)$ $\rightarrow 2$ परिणाम
कुल अनुकूल परिणाम $= 1 + 2 + 4 + 6 + 2 = 15$.
अतः,प्रायिकता $= \frac{15}{36} = \frac{5}{12}$ है।

(A) मान लीजिए $A$,$B$,और $C$ वे घटनाएं हैं जिनमें तीनों व्यक्ति स्वतंत्र रूप से समस्या को हल करते हैं।
दी गई प्रायिकताएं $P(A) = \frac{1}{3}$,$P(B) = \frac{1}{4}$,और $P(C) = \frac{1}{5}$ हैं।
उनके द्वारा समस्या हल न कर पाने की प्रायिकता $P(A') = 1 - P(A) = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$,$P(B') = 1 - P(B) = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$,और $P(C') = 1 - P(C) = 1 - \frac{1}{5} = \frac{4}{5}$ है।
चूंकि घटनाएं स्वतंत्र हैं,इसलिए प्रायिकता कि उनमें से कोई भी समस्या हल न कर सके,$P(A' \cap B' \cap C') = P(A') \times P(B') \times P(C')$ होगी।
$P(A' \cap B' \cap C') = \frac{2}{3} \times \frac{3}{4} \times \frac{4}{5} = \frac{2}{5}$.

(B) जब दो पासे फेंके जाते हैं,तो कुल संभावित परिणामों की संख्या $6 \times 6 = 36$ होती है।
वे परिणाम जिनमें अंकों का योग $7$ है,वे हैं: $(1, 6), (2, 5), (3, 4), (4, 3), (5, 2), (6, 1)$।
अनुकूल परिणामों की संख्या $6$ है।
प्रायिकता $P$ अनुकूल परिणामों और कुल परिणामों के अनुपात द्वारा दी जाती है:
$P = \frac{\text{अनुकूल परिणाम}}{\text{कुल परिणाम}} = \frac{6}{36}$।

(D) माना $P(\bar{A})$ घटना के न घटने की प्रायिकता है और $P(A)$ घटना के घटने की प्रायिकता है।
दिया गया है $P(\bar{A}) = 0.05$।
चूंकि $P(A) + P(\bar{A}) = 1$,इसलिए $P(A) = 1 - 0.05 = 0.95$।
घटना के $4$ लगातार अवसरों पर घटने की प्रायिकता $(P(A))^4$ द्वारा दी जाती है।
अतः,$(0.95)^4 = 0.95 \times 0.95 \times 0.95 \times 0.95 = 0.81450625$।

(B) जब दो पासे फेंके जाते हैं,तो कुल संभावित परिणामों की संख्या $6 \times 6 = 36$ होती है।
हमें कम से कम $9$ का योग प्राप्त करने की प्रायिकता ज्ञात करनी है,जिसका अर्थ है कि योग $9, 10, 11$ या $12$ हो सकता है।
अनुकूल परिणाम इस प्रकार हैं:
- योग $= 9$: $(3,6), (4,5), (5,4), (6,3)$ ($4$ परिणाम)
- योग $= 10$: $(4,6), (5,5), (6,4)$ ($3$ परिणाम)
- योग $= 11$: $(5,6), (6,5)$ ($2$ परिणाम)
- योग $= 12$: $(6,6)$ ($1$ परिणाम)
कुल अनुकूल परिणाम $= 4 + 3 + 2 + 1 = 10$।
अभीष्ट प्रायिकता $= \frac{\text{कुल अनुकूल परिणाम}}{\text{कुल संभावित परिणाम}} = \frac{10}{36} = \frac{5}{18}$।

(B) $POSSESSIVE$ शब्द में निम्नलिखित अक्षर हैं: $P, O, S, S, E, S, S, I, V, E$.
शब्द में कुल अक्षरों की संख्या = $10$.
अक्षर हैं: $P, O, S, S, E, S, S, I, V, E$.
शब्द में $S$ अक्षर कितनी बार आता है = $4$.
$S$ अक्षर चुनने की प्रायिकता अनुकूल परिणामों की संख्या और कुल परिणामों की संख्या का अनुपात है。
प्रायिकता $P(S) = \frac{\text{S की संख्या}}{\text{कुल अक्षरों की संख्या}} = \frac{4}{10}$.

(B) जब तीन पासे फेंके जाते हैं,तो कुल संभावित परिणामों की संख्या $6 \times 6 \times 6 = 216$ होती है।
अनुकूल परिणाम जहाँ प्रत्येक पासे पर समान संख्या आती है,वे हैं: $(1, 1, 1), (2, 2, 2), (3, 3, 3), (4, 4, 4), (5, 5, 5), (6, 6, 6)$।
ऐसे कुल $6$ अनुकूल परिणाम हैं।
अतः,अभीष्ट प्रायिकता = $\frac{\text{अनुकूल परिणामों की संख्या}}{\text{कुल परिणामों की संख्या}} = \frac{6}{216} = \frac{1}{36}$।

(B) किसी घटना के न होने की प्रायिकता पूरक घटना के नियम द्वारा दी जाती है: $P(\text{not } A) = P(\bar{A}) = 1 - P(A)$.
यहाँ दिया गया है कि $P(A) = 0.38$,इसलिए इस मान को सूत्र में रखने पर:
$P(\bar{A}) = 1 - 0.38 = 0.62$.
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(A) मान लीजिए $P(A)$ एथलीट $A$ के दौड़ जीतने की प्रायिकता है,इसलिए $P(A) = \frac{1}{5}$।
मान लीजिए $P(B)$ एथलीट $B$ के दौड़ जीतने की प्रायिकता है,इसलिए $P(B) = \frac{1}{4}$।
एथलीट $A$ के न जीतने की प्रायिकता $P(A') = 1 - P(A) = 1 - \frac{1}{5} = \frac{4}{5}$ है।
एथलीट $B$ के न जीतने की प्रायिकता $P(B') = 1 - P(B) = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$ है।
चूँकि जीतने की घटनाएँ स्वतंत्र हैं,इसलिए उनमें से किसी के भी न जीतने की प्रायिकता $P(A' \cap B') = P(A') \times P(B') = \frac{4}{5} \times \frac{3}{4} = \frac{3}{5}$ है।

(B) जब तीन सिक्के उछाले जाते हैं,तो कुल संभावित परिणामों की संख्या $2^3 = 8$ होती है।
प्रतिदर्श समष्टि $S = \{HHH, HHT, HTH, HTT, THH, THT, TTH, TTT\}$ है।
हम उन परिणामों की तलाश कर रहे हैं जहाँ चित और पट बारी-बारी से आते हैं।
अनुकूल परिणाम $HTH$ और $THT$ हैं।
अतः,अनुकूल परिणामों की संख्या $2$ है।
प्रायिकता की गणना $\frac{\text{अनुकूल परिणामों की संख्या}}{\text{कुल परिणामों की संख्या}} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}$ के रूप में की जाती है।

(A) दो घटनाओं $A$ और $B$ को परस्पर अपवर्जी (mutually exclusive) कहा जाता है यदि वे एक साथ नहीं घटित हो सकती हैं,जिसका अर्थ है $A \cap B = \emptyset$.
किन्हीं भी दो घटनाओं $A$ और $B$ के लिए,प्रायिकता का योग नियम $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$ होता है।
चूंकि $A$ और $B$ परस्पर अपवर्जी हैं,इसलिए $P(A \cap B) = 0$.
अतः,$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - 0 = P(A) + P(B)$.

(A) एक निश्चित घटना वह घटना है जिसका घटित होना तय है। एक निश्चित घटना की प्रायिकता $P(A) = 1$ होती है।
घटना $A$ का पूरक,जिसे $A^c$ या $A$ नहीं के रूप में दर्शाया जाता है,उस घटना को दर्शाता है जिसमें $A$ घटित नहीं होता है।
पूरक घटनाओं के गुणधर्म के अनुसार,$P(A^c) = 1 - P(A)$ होता है।
$P(A)$ का मान रखने पर,हमें $P(A^c) = 1 - 1 = 0$ प्राप्त होता है।
अतः,एक निश्चित घटना के पूरक की प्रायिकता $0$ होती है।

(D) प्रथम दस प्राकृतिक संख्याओं का समुच्चय $S = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10\}$ है।
कुल संभावित परिणामों की संख्या $n(S) = 10$ है।
हमें ऐसी संख्याएँ ज्ञात करनी हैं जो विषम और पूर्ण वर्ग दोनों हों।
इस समुच्चय में पूर्ण वर्ग संख्याएँ $1, 4, 9$ हैं।
इनमें से विषम संख्याएँ $1$ और $9$ हैं।
अतः,अनुकूल परिणामों की संख्या $n(E) = 2$ है।
प्रायिकता $P(E) = \frac{n(E)}{n(S)} = \frac{2}{10} = \frac{1}{5}$ होगी।

(D) मान लीजिए $S$ प्रथम $100$ प्राकृतिक संख्याओं का समुच्चय है,अतः $n(S) = 100$.
मान लीजिए $A$ वह घटना है कि संख्या सम है। सम संख्याएँ $2, 4, 6, \dots, 100$ हैं। अतः,$n(A) = 50$.
मान लीजिए $B$ वह घटना है कि संख्या $5$ से विभाज्य है। $5$ से विभाज्य संख्याएँ $5, 10, 15, \dots, 100$ हैं। अतः,$n(B) = 20$.
सर्वनिष्ठ $A \cap B$ उन संख्याओं को दर्शाता है जो सम भी हैं और $5$ से विभाज्य भी हैं,जिसका अर्थ है कि वे $10$ से विभाज्य हैं। ये संख्याएँ $10, 20, 30, \dots, 100$ हैं। अतः,$n(A \cap B) = 10$.
समावेशन-अपवर्जन सिद्धांत का उपयोग करते हुए,अनुकूल परिणामों की संख्या $n(A \cup B) = n(A) + n(B) - n(A \cap B) = 50 + 20 - 10 = 60$ है।
प्रायिकता $P(A \cup B) = \frac{n(A \cup B)}{n(S)} = \frac{60}{100} = \frac{3}{5}$ है।

(D) जब दो पासे फेंके जाते हैं,तो कुल परिणामों की संख्या $36$ होती है।
दिया गया है कि पहले पासे पर $5$ आता है,तो संभावित परिणाम $(5, 1), (5, 2), (5, 3), (5, 4), (5, 5), (5, 6)$ हैं।
ऐसे कुल $6$ परिणाम हैं।
हमें अंकों का योग $8$ या $8$ से अधिक चाहिए।
इस शर्त को पूरा करने वाले परिणाम $(5, 3), (5, 4), (5, 5), (5, 6)$ हैं।
ऐसे कुल $4$ परिणाम हैं।
अतः,अभीष्ट प्रायिकता $\frac{4}{6} = \frac{2}{3}$ है।

(A) ताश की एक मानक गड्डी में $52$ पत्ते होते हैं।
गड्डी में $4$ इक्के और $4$ राजा होते हैं।
इक्का या राजा होने वाले कुल पत्तों की संख्या $4 + 4 = 8$ है।
वे पत्ते जो न तो इक्का हैं और न ही राजा,उनकी संख्या $52 - 8 = 44$ है।
न तो इक्का और न ही राजा होने वाले पत्ते को निकालने की प्रायिकता अनुकूल परिणामों की संख्या और कुल परिणामों की संख्या का अनुपात है।
प्रायिकता $P = \frac{44}{52}$ है।
अंश और हर को $4$ से विभाजित करने पर,हमें $P = \frac{11}{13}$ प्राप्त होता है।

(C) $4$ पत्रों को $4$ लिफाफों में व्यवस्थित करने के कुल तरीके $4! = 24$ हैं।
उन तरीकों की संख्या जिनमें सभी पत्र अपने सही लिफाफों में जाते हैं,$1$ है।
सभी पत्रों के अपने सही लिफाफों में जाने की प्रायिकता $P(\text{correct}) = \frac{1}{4!} = \frac{1}{24}$ है।
इस बात की प्रायिकता कि कोई भी पत्र अपने सही लिफाफे में न जाए (derangement),$1 - P(\text{correct})$ है।
अतः,अभीष्ट प्रायिकता $1 - \frac{1}{24} = \frac{23}{24}$ है।

(A) $n$ पत्रों को $n$ लिफाफों में रखने के कुल तरीके $n!$ हैं।
केवल एक विशिष्ट व्यवस्था ऐसी है जिसमें प्रत्येक पत्र अपने सही लिफाफे में रखा जाता है।
अतः,अनुकूल परिणामों की संख्या $1$ है।
प्रायिकता $P$ अनुकूल परिणामों और कुल परिणामों के अनुपात द्वारा दी जाती है:
$P = \frac{\text{अनुकूल परिणामों की संख्या}}{\text{कुल परिणामों की संख्या}} = \frac{1}{n!}$.

(B) लड़का होने की प्रायिकता $P(B) = \frac{1}{2}$ है और लड़की होने की प्रायिकता $P(G) = \frac{1}{2}$ है।
$4$ बच्चों वाले परिवार में कुल परिणामों की संख्या $2^4 = 16$ है।
'कम से कम एक लड़की' होने की घटना,'कोई लड़की न होने' (अर्थात सभी लड़के होने) की घटना की पूरक घटना है।
कोई लड़की न होने की प्रायिकता $P(\text{सभी लड़के}) = (\frac{1}{2})^4 = \frac{1}{16}$ है।
अतः,कम से कम एक लड़की होने की प्रायिकता $1 - P(\text{सभी लड़के}) = 1 - \frac{1}{16} = \frac{15}{16}$ है।

(B) $2$ क्रम का सारणिक $\Delta = \begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix} = ad - bc$ के रूप का होता है।
प्रत्येक तत्व $a, b, c, d$ को $2$ तरीकों से चुना जा सकता है ($0$ या $1$)।
कुल संभावित सारणिकों की संख्या = $2^4 = 16$ है।
सारणिक $\Delta$ अशून्य है यदि $ad - bc \neq 0$,जिसका अर्थ है $ad \neq bc$।
चूंकि $a, b, c, d \in \{0, 1\}$,$ad$ और $bc$ के संभावित मान $0$ या $1$ हैं।
$ad - bc = 0$ तब होता है जब $ad = bc$ हो। यह निम्नलिखित स्थितियों में होता है:
$1$. $ad = 0$ और $bc = 0$: $ad=0$ के $3$ तरीके हैं $((0,0), (0,1), (1,0))$,और $bc=0$ के $3$ तरीके हैं। कुल तरीके = $3 \times 3 = 9$।
$2$. $ad = 1$ और $bc = 1$: $ad=1$ का $1$ तरीका है $((1,1))$,और $bc=1$ का $1$ तरीका है। कुल तरीके = $1 \times 1 = 1$।
$\Delta = 0$ होने की कुल स्थितियाँ $9 + 1 = 10$ हैं।
$\Delta \neq 0$ होने की कुल स्थितियाँ $16 - 10 = 6$ हैं।
अतः,अभीष्ट प्रायिकता = $\frac{6}{16} = \frac{3}{8}$।

(C) परिभाषा के अनुसार,दो घटनाएँ $A$ और $B$ स्वतंत्र होती हैं यदि $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$ हो।
घटना $A$ के स्वयं से स्वतंत्र होने के लिए,हमारे पास $P(A \cap A) = P(A) \cdot P(A)$ होना चाहिए।
चूंकि $A \cap A = A$ होता है,इसलिए समीकरण $P(A) = P(A)^2$ बन जाता है।
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें $P(A)^2 - P(A) = 0$ प्राप्त होता है।
व्यंजक का गुणनखंड करने पर,हमें $P(A)(P(A) - 1) = 0$ प्राप्त होता है।
अतः,$P(A) = 0$ या $P(A) = 1$ होगा।

(B) $000$ से $999$ तक कुल संभावित कोड की संख्या $1000$ है।
मान लीजिए $E_i$ वह घटना है जिसमें अजनबी $i^{th}$ प्रयास में विफल हो जाता है।
पहले प्रयास में विफल होने की प्रायिकता $P(E_1) = \frac{999}{1000}$ है।
यदि अजनबी पहले प्रयास में विफल हो जाता है,तो $999$ कोड शेष रहते हैं,जिनमें से $998$ गलत हैं। अतः,पहले प्रयास में विफलता के बाद दूसरे प्रयास में विफल होने की प्रायिकता $P(E_2|E_1) = \frac{998}{999}$ है।
$k^{th}$ प्रयास में सफल होने के लिए,उसे पहले $(k-1)$ प्रयासों में विफल होना होगा और फिर $k^{th}$ प्रयास में सफल होना होगा।
पहले $(k-1)$ प्रयासों में विफल होने की प्रायिकता $P(E_1 \cap E_2 \cap ... \cap E_{k-1}) = \frac{999}{1000} \times \frac{998}{999} \times ... \times \frac{1000-(k-1)}{1000-(k-2)} = \frac{1000-k+1}{1000}$ है।
यह देखते हुए कि अजनबी $(k-1)$ बार विफल हो चुका है,$1000-(k-1) = 1001-k$ कोड शेष हैं,जिनमें से एक सही कोड है।
पिछले $(k-1)$ प्रयासों में विफलता के बाद $k^{th}$ प्रयास में सफल होने की प्रायिकता $\frac{1}{1001-k}$ है।
अतः,$k^{th}$ प्रयास में सफलता की प्रायिकता $\frac{1000-k+1}{1000} \times \frac{1}{1001-k} = \frac{1}{1000}$ है।

(B) तीन पासे फेंकने पर कुल परिणामों की संख्या $6^3 = 216$ है।
माना $E$ वह घटना है कि कम से कम एक पासे पर $1$ आता है।
पूरक घटना $E'$ की प्रायिकता ज्ञात करना आसान है,जो यह घटना है कि किसी भी पासे पर $1$ नहीं आता है।
एक पासे के लिए,$1$ न आने की प्रायिकता $\frac{5}{6}$ है।
चूंकि तीनों पासे स्वतंत्र हैं,इसलिए तीनों पासों पर $1$ न आने की प्रायिकता $\left( \frac{5}{6} \right)^3 = \frac{125}{216}$ है।
अतः,घटना $E$ की प्रायिकता $P(E) = 1 - P(E') = 1 - \frac{125}{216} = \frac{216 - 125}{216} = \frac{91}{216}$ है।

(A) अच्छी तरह से फेंटी गई ताश की गड्डी में कुल पत्तों की संख्या = $52$ है।
गड्डी में केवल एक 'पान का दुक्का' (two of hearts) और एक 'ईंट का दुक्का' (two of diamonds) होता है।
इसलिए,अनुकूल परिणामों की संख्या = $1 + 1 = 2$ है।
किसी घटना की प्रायिकता अनुकूल परिणामों और कुल संभावित परिणामों का अनुपात होती है।
प्रायिकता = $\frac{\text{अनुकूल परिणामों की संख्या}}{\text{कुल परिणामों की संख्या}} = \frac{2}{52} = \frac{1}{26}$।

(B) माना $H$ पति के चयन की घटना है और $W$ पत्नी के चयन की घटना है।
दिया गया है: $P(H) = \frac{1}{7}$ और $P(W) = \frac{1}{5}$.
पति के चयन न होने की प्रायिकता: $P(H') = 1 - \frac{1}{7} = \frac{6}{7}$.
पत्नी के चयन न होने की प्रायिकता: $P(W') = 1 - \frac{1}{5} = \frac{4}{5}$.
केवल एक के चयन की प्रायिकता: (पति का चयन हो और पत्नी का न हो) या (पत्नी का चयन हो और पति का न हो)।
प्रायिकता = $P(H) \times P(W') + P(W) \times P(H')$.
प्रायिकता = $(\frac{1}{7} \times \frac{4}{5}) + (\frac{1}{5} \times \frac{6}{7})$.
प्रायिकता = $\frac{4}{35} + \frac{6}{35} = \frac{10}{35} = \frac{2}{7}$.

(A) गेंदों की कुल संख्या $= 5 + 7 + 8 = 20$ है।
हमें बिना प्रतिस्थापन के एक-एक करके $4$ सफेद गेंदें निकालनी हैं।
पहली सफेद गेंद निकालने की प्रायिकता $\frac{5}{20}$ है।
चूंकि गेंद को वापस नहीं रखा जाता है,इसलिए सफेद गेंदों की संख्या $4$ और कुल गेंदों की संख्या $19$ हो जाती है। दूसरी सफेद गेंद निकालने की प्रायिकता $\frac{4}{19}$ है।
इसी प्रकार,तीसरी सफेद गेंद निकालने की प्रायिकता $\frac{3}{18}$ है और चौथी सफेद गेंद निकालने की प्रायिकता $\frac{2}{17}$ है।
अतः,अभीष्ट प्रायिकता $\frac{5}{20} \times \frac{4}{19} \times \frac{3}{18} \times \frac{2}{17} = \frac{1}{4} \times \frac{4}{19} \times \frac{1}{6} \times \frac{2}{17} = \frac{1}{19} \times \frac{1}{3} \times \frac{1}{17} = \frac{1}{969}$ है।

(B) माना $P(A) = p_1 = \frac{1}{3}$,$P(B) = p_2 = \frac{2}{7}$,और $P(C) = p_3 = \frac{3}{8}$ है।
अतः समस्या हल न करने की प्रायिकताएँ $q_1 = 1 - p_1 = \frac{2}{3}$,$q_2 = 1 - p_2 = \frac{5}{7}$,और $q_3 = 1 - p_3 = \frac{5}{8}$ होंगी।
ठीक एक व्यक्ति समस्या हल करता है यदि ($A$ हल करे और $B, C$ न करें) या ($B$ हल करे और $A, C$ न करें) या ($C$ हल करे और $A, B$ न करें)।
अभीष्ट प्रायिकता $= p_1 q_2 q_3 + q_1 p_2 q_3 + q_1 q_2 p_3$.
$= (\frac{1}{3} \times \frac{5}{7} \times \frac{5}{8}) + (\frac{2}{3} \times \frac{2}{7} \times \frac{5}{8}) + (\frac{2}{3} \times \frac{5}{7} \times \frac{3}{8})$.
$= \frac{25}{168} + \frac{20}{168} + \frac{30}{168} = \frac{75}{168}$.
$3$ से विभाजित करने पर,हमें $\frac{25}{56}$ प्राप्त होता है।

(A) जब दो पासों को फेंका जाता है,तो कुल संभावित परिणामों की संख्या $6 \times 6 = 36$ होती है।
मान लीजिए $E_1$ योग $7$ प्राप्त करने की घटना है। अनुकूल परिणाम हैं: $(6, 1), (5, 2), (4, 3), (3, 4), (2, 5), (1, 6)$। परिणामों की संख्या $6$ है।
मान लीजिए $E_2$ योग $9$ प्राप्त करने की घटना है। अनुकूल परिणाम हैं: $(6, 3), (5, 4), (4, 5), (3, 6)$। परिणामों की संख्या $4$ है।
चूंकि ये घटनाएं परस्पर अपवर्जी हैं,इसलिए कुल अनुकूल परिणामों की संख्या $6 + 4 = 10$ है।
अभीष्ट प्रायिकता $P = \frac{\text{कुल अनुकूल परिणाम}}{\text{कुल संभावित परिणाम}} = \frac{10}{36} = \frac{5}{18}$ है।

(D) कुल टिकटों की संख्या $19$ है ($1$ से $19$ तक)।
$1$ से $19$ के बीच सम संख्याएँ $2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18$ हैं। अतः,कुल $9$ सम संख्याएँ हैं।
पहले प्रयास में सम संख्या प्राप्त करने की प्रायिकता $P(E_1) = \frac{9}{19}$ है।
चूंकि टिकट को बिना प्रतिस्थापन के निकाला जाता है,इसलिए अब थैले में $18$ टिकट बचे हैं,जिनमें से $8$ सम संख्याएँ हैं।
दूसरे प्रयास में सम संख्या प्राप्त करने की प्रायिकता,यदि पहला टिकट सम था,तो $P(E_2|E_1) = \frac{8}{18}$ होगी।
दोनों टिकटों पर सम संख्या होने की प्रायिकता $P(E_1 \cap E_2) = P(E_1) \times P(E_2|E_1) = \frac{9}{19} \times \frac{8}{18} = \frac{9}{19} \times \frac{4}{9} = \frac{4}{19}$ है।

(A) मान लीजिए $P(A) = \frac{1}{2}$,$P(B) = \frac{1}{3}$,और $P(C) = \frac{1}{4}$ तीन निशानेबाजों द्वारा लक्ष्य को भेदने की प्रायिकताएं हैं।
अतः,लक्ष्य से चूकने की प्रायिकताएं $P(\bar{A}) = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$,$P(\bar{B}) = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$,और $P(\bar{C}) = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$ हैं।
यह घटना कि उनमें से केवल एक ही लक्ष्य को भेदता है,तीन परस्पर अपवर्जी तरीकों से हो सकती है: ($A$ भेदता है,$B$ चूकता है,$C$ चूकता है) या ($A$ चूकता है,$B$ भेदता है,$C$ चूकता है) या ($A$ चूकता है,$B$ चूकता है,$C$ भेदता है)।
अभीष्ट प्रायिकता $= P(A)P(\bar{B})P(\bar{C}) + P(\bar{A})P(B)P(\bar{C}) + P(\bar{A})P(\bar{B})P(C)$
$= (\frac{1}{2} \times \frac{2}{3} \times \frac{3}{4}) + (\frac{1}{2} \times \frac{1}{3} \times \frac{3}{4}) + (\frac{1}{2} \times \frac{2}{3} \times \frac{1}{4})$
$= \frac{6}{24} + \frac{3}{24} + \frac{2}{24} = \frac{11}{24}$.

(A) $2$ कोटि का सारणिक $\begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix} = ad - bc$ द्वारा दिया जाता है।
प्रत्येक अवयव $0$ या $1$ हो सकता है। चूंकि $4$ स्थान हैं,इसलिए कुल संभावित सारणिकों की संख्या $2^4 = 16$ है।
सारणिक का मान $ad - bc$ है। इसके धनात्मक होने के लिए,$ad - bc > 0$,जिसका अर्थ है $ad > bc$ होना चाहिए।
चूंकि $a, b, c, d \in \{0, 1\}$,इसलिए $ad$ और $bc$ के संभावित मान $0$ या $1$ हैं।
$ad > bc$ केवल तभी संभव है जब $ad = 1$ और $bc = 0$ हो।
इसका अर्थ है $a=1, d=1$ और $bc=0$।
$bc=0$ की शर्त तब पूरी होती है यदि $(b, c)$ का मान $(0, 0), (0, 1),$ या $(1, 0)$ हो।
अतः,अनुकूल परिणाम हैं:
$1. \begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} = 1(1) - 0(0) = 1$
$2. \begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} = 1(1) - 0(1) = 1$
$3. \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} = 1(1) - 1(0) = 1$
कुल $3$ अनुकूल परिणाम हैं।
इसलिए,प्रायिकता $\frac{3}{16}$ है।

(C) ताश की गड्डी में कुल पत्तों की संख्या = $52$ है।
माना $A$ राजा निकालने की घटना है और $B$ ईंट का पत्ता निकालने की घटना है।
राजाओं की संख्या,$n(A) = 4$ है।
ईंट के पत्तों की संख्या,$n(B) = 13$ है।
वह पत्ता जो राजा भी है और ईंट का भी है (ईंट का राजा),उसकी संख्या $n(A \cap B) = 1$ है।
प्रायिकता के योग प्रमेय का उपयोग करते हुए,$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$।
$P(A \cup B) = \frac{4}{52} + \frac{13}{52} - \frac{1}{52} = \frac{16}{52}$।
भिन्न को सरल करने पर,हमें $\frac{16}{52} = \frac{4}{13}$ प्राप्त होता है।

(D) गेंदों की कुल संख्या $3 + 3 + 2 = 8$ है।
चूंकि हम बिना प्रतिस्थापन के एक-एक करके तीन गेंदें निकाल रहे हैं,इसलिए $k$-वीं गेंद के किसी विशेष रंग के होने की प्रायिकता थैले में उस रंग के प्रारंभिक अनुपात के बराबर होती है।
मान लीजिए $R_3$ वह घटना है कि तीसरी निकाली गई गेंद लाल है।
बिना प्रतिस्थापन के नमूना लेने में समरूपता के सिद्धांत के अनुसार,किसी भी विशिष्ट प्रयास में गेंद के एक निश्चित रंग के होने की प्रायिकता वही होती है जो पहले प्रयास में उस रंग की गेंद होने की होती है।
इसलिए,$P(R_3) = P(R_1) = \frac{\text{लाल गेंदों की संख्या}}{\text{कुल गेंदों की संख्या}} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}$.

(B) जब दो पासों को फेंका जाता है,तो कुल संभावित परिणामों की संख्या $6 \times 6 = 36$ होती है।
योग $8$ प्राप्त करने के लिए अनुकूल परिणाम इस प्रकार हैं:
$(2, 6), (3, 5), (4, 4), (5, 3), (6, 2)$।
ऐसे कुल $5$ अनुकूल परिणाम हैं।
अतः,अभीष्ट प्रायिकता $= \frac{\text{अनुकूल परिणामों की संख्या}}{\text{कुल परिणामों की संख्या}} = \frac{5}{36}$ है।

(B) किसी घटना $A$ के घटित होने की प्रायिकता को $P(A)$ द्वारा दर्शाया जाता है,और घटना $A$ के घटित न होने की प्रायिकता (घटना $A$ की पूरक घटना) को $P(\bar{A})$ द्वारा दर्शाया जाता है।
चूंकि एक घटना या तो घटित होती है या नहीं होती है,ये दोनों घटनाएं पूरक और निशेष होती हैं।
इसलिए,उनकी प्रायिकताओं का योग हमेशा $1$ के बराबर होता है,अर्थात $P(A) + P(\bar{A}) = 1$।

(B) गेंदों की कुल संख्या $3 + 2 = 5$ है।
मान लीजिए $W_1$ वह घटना है कि पहली गेंद सफेद है और $R_1$ वह घटना है कि पहली गेंद लाल है।
मान लीजिए $R_2$ वह घटना है कि दूसरी गेंद लाल है।
दूसरी गेंद दो परस्पर अपवर्जी तरीकों से लाल हो सकती है:
$(i)$ पहली गेंद सफेद और दूसरी गेंद लाल हो: $P(W_1 \cap R_2) = P(W_1) \times P(R_2|W_1) = \frac{3}{5} \times \frac{2}{4} = \frac{6}{20}$.
$(ii)$ पहली गेंद लाल और दूसरी गेंद लाल हो: $P(R_1 \cap R_2) = P(R_1) \times P(R_2|R_1) = \frac{2}{5} \times \frac{1}{4} = \frac{2}{20}$.
दूसरी गेंद के लाल होने की कुल प्रायिकता $P(R_2) = P(W_1 \cap R_2) + P(R_1 \cap R_2) = \frac{6}{20} + \frac{2}{20} = \frac{8}{20} = \frac{2}{5}$ है।

(C) मान लीजिए $W$ भारत की जीत और $L$ भारत की हार को दर्शाता है। जीतने की प्रायिकता $P(W) = \frac{1}{2}$ और हारने की प्रायिकता $P(L) = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$ है।
दूसरी जीत ठीक तीसरे टेस्ट मैच में होने के लिए,भारत को पहले दो टेस्ट मैचों में से ठीक एक मैच जीतना होगा और फिर तीसरा मैच जीतना होगा।
पहले तीन मैचों के लिए संभावित अनुक्रम $(L, W, W)$ और $(W, L, W)$ हैं।
अनुक्रम $(L, W, W)$ की प्रायिकता $P(L) \times P(W) \times P(W) = \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{8}$ है।
अनुक्रम $(W, L, W)$ की प्रायिकता $P(W) \times P(L) \times P(W) = \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{8}$ है।
कुल प्रायिकता इन दो परस्पर अपवर्जी घटनाओं का योग है: $\frac{1}{8} + \frac{1}{8} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}$।

(C) कुल कार्डों की संख्या $100$ है। अतः,कुल संभावित परिणामों की संख्या $100$ है।
एक संख्या पूर्ण वर्ग होती है यदि वह $n^2$ के रूप में हो। $1$ से $100$ के बीच पूर्ण वर्ग संख्याएँ हैं: $1^2=1, 2^2=4, 3^2=9, 4^2=16, 5^2=25, 6^2=36, 7^2=49, 8^2=64, 9^2=81, 10^2=100$।
ऐसी कुल $10$ संख्याएँ हैं।
इसलिए,अनुकूल परिणामों की संख्या $10$ है।
पूर्ण वर्ग संख्या प्राप्त करने की प्रायिकता = $\frac{\text{अनुकूल परिणाम}}{\text{कुल परिणाम}} = \frac{10}{100} = \frac{1}{10}$ है।

(D) मान लीजिए तीन पर्चियों पर संख्याएँ $X_1, X_2, X_3$ हैं। प्रत्येक $X_i \in \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7\}$ है।
हमें वह प्रायिकता ज्ञात करनी है कि $\min(X_1, X_2, X_3) = 5$ हो।
इसका अर्थ है कि सभी $X_i \ge 5$ और कम से कम एक $X_i = 5$ होना चाहिए।
$P(\min(X_1, X_2, X_3) = 5) = P(\min(X_1, X_2, X_3) \ge 5) - P(\min(X_1, X_2, X_3) \ge 6)$.
प्रतिस्थापन के साथ चयन करने पर,कुल परिणामों की संख्या $7^3 = 343$ है।
$\min(X_i) \ge 5$ के लिए,प्रत्येक $X_i$ को $\{5, 6, 7\}$ में होना चाहिए। प्रत्येक चयन के लिए $3$ विकल्प हैं,अतः $3^3 = 27$ परिणाम मिलते हैं।
$\min(X_i) \ge 6$ के लिए,प्रत्येक $X_i$ को $\{6, 7\}$ में होना चाहिए। प्रत्येक चयन के लिए $2$ विकल्प हैं,अतः $2^3 = 8$ परिणाम मिलते हैं।
अतः,अनुकूल परिणामों की संख्या $27 - 8 = 19$ है।
प्रायिकता $\frac{19}{343}$ है।

(B) हम जानते हैं कि किसी भी घटना $E$ के लिए,उसकी पूरक घटना की प्रायिकता $P(\bar{E}) = 1 - P(E)$ द्वारा दी जाती है।
दिया गया है $P(A) = 0.65$,इसलिए $P(\bar{A}) = 1 - 0.65 = 0.35$।
दिया गया है $P(B) = 0.15$,इसलिए $P(\bar{B}) = 1 - 0.15 = 0.85$।
अब,योग करने पर: $P(\bar{A}) + P(\bar{B}) = 0.35 + 0.85 = 1.2$।

(A) डी मॉर्गन के नियम के अनुसार,हम जानते हैं कि $\bar{E}_1 \cap \bar{E}_2 = \overline{E_1 \cup E_2}$ होता है।
इसे व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर,हमें $(E_1 \cup E_2) \cap (\overline{E_1 \cup E_2})$ प्राप्त होता है।
चूंकि किसी भी समुच्चय $A$ और उसके पूरक समुच्चय $\bar{A}$ का सर्वनिष्ठ (intersection) रिक्त समुच्चय $\phi$ होता है,इसलिए $(E_1 \cup E_2) \cap (\overline{E_1 \cup E_2}) = \phi$ होगा।
रिक्त समुच्चय की प्रायिकता $P(\phi) = 0$ होती है।
चूंकि $0 < \frac{1}{4}$ है,इसलिए सही विकल्प $A$ है।

(C) किसी घटना $A_i$ के घटित न होने की प्रायिकता $P(A_i^c) = 1 - P(A_i)$ द्वारा दी जाती है।
दिया गया है कि $P(A_i) = \frac{1}{i + 1}$, इसलिए $P(A_i^c) = 1 - \frac{1}{i + 1} = \frac{i}{i + 1}$ होगा।
चूंकि घटनाएँ $A_1, A_2, \dots, A_n$ स्वतंत्र हैं, इसलिए उनकी पूरक घटनाएँ $A_1^c, A_2^c, \dots, A_n^c$ भी स्वतंत्र हैं।
इस बात की प्रायिकता कि कोई भी घटना घटित न हो, उनके घटित न होने की प्रायिकताओं का गुणनफल है:
$P(\text{कोई भी घटना न हो}) = P(A_1^c) \cdot P(A_2^c) \cdot \dots \cdot P(A_n^c)$
$= \left( \frac{1}{2} \right) \cdot \left( \frac{2}{3} \right) \cdot \left( \frac{3}{4} \right) \dots \left( \frac{n}{n + 1} \right)$
अंश और हर के पदों को काटने पर, हमें प्राप्त होता है:
$= \frac{1}{n + 1}$.