Numbers Questions in Gujarati

(A) $9067 + 2065 - 8400 + 3045 - 1520$ પદાવલિને ઉકેલવા માટે,આપણે સરવાળા અને બાદબાકીના ક્રમનું પાલન કરીએ છીએ:
$1$. પ્રથમ,ધન સંખ્યાઓનો સરવાળો કરો: $9067 + 2065 + 3045 = 14177$.
$2$. ત્યારબાદ,ઋણ સંખ્યાઓનો સરવાળો કરો: $8400 + 1520 = 9920$.
$3$. અંતે,ધન સંખ્યાઓના સરવાળામાંથી ઋણ સંખ્યાઓનો સરવાળો બાદ કરો: $14177 - 9920 = 4257$.

(D) ધારો કે ખૂટતી સંખ્યા $x$ છે.
આપેલ સમીકરણ: $\frac{1}{16} \times 8432 + 50 \% \text{ of } x = 4429$.
પ્રથમ,$\frac{1}{16} \times 8432 = 527$ ની ગણતરી કરો.
આ કિંમતને સમીકરણમાં મૂકતા: $527 + 0.5x = 4429$.
બંને બાજુથી $527$ બાદ કરતા: $0.5x = 4429 - 527$.
$0.5x = 3902$.
બંને બાજુ $2$ વડે ગુણતા: $x = 3902 \times 2 = 7804$.

(C) ધારો કે ખૂટતી સંખ્યા $x$ છે.
આપેલ સમીકરણ: $(250 \% \text{ of } x) \div 250 - 444 = 200$
પગલું $1$: બંને બાજુ $444$ ઉમેરતા:
$(250 \% \text{ of } x) \div 250 = 200 + 444 = 644$
પગલું $2$: ટકાવારીને અપૂર્ણાંકમાં ફેરવતા:
$\left(\frac{250}{100} \times x\right) \div 250 = 644$
પગલું $3$: સમીકરણનું સાદું રૂપ આપતા:
$\frac{2.5x}{250} = 644$
$\frac{x}{100} = 644$
$x = 644 \times 100 = 64400$

(B) આપેલ સમીકરણ: $0.01024 \times (0.4)^{9} = (0.4)^{x} \times (0.0256)^{3}$
દશાંશ સંખ્યાઓને $4$ અને $10$ ના ઘાતાંક તરીકે દર્શાવો:
$0.01024 = \frac{1024}{100000} = \frac{4^{5}}{10^{5}}$
$0.0256 = \frac{256}{10000} = \frac{4^{4}}{10^{4}}$
આ કિંમતોને સમીકરણમાં મૂકતા:
$\frac{4^{5}}{10^{5}} \times (0.4)^{9} = (0.4)^{x} \times \left(\frac{4^{4}}{10^{4}}\right)^{3}$
કારણ કે $0.4 = \frac{4}{10}$,તેથી:
$\left(\frac{4}{10}\right)^{5} \times \left(\frac{4}{10}\right)^{9} = \left(\frac{4}{10}\right)^{x} \times \left(\left(\frac{4}{10}\right)^{4}\right)^{3}$
$\left(\frac{4}{10}\right)^{5} \times \left(\frac{4}{10}\right)^{9} = \left(\frac{4}{10}\right)^{x} \times \left(\frac{4}{10}\right)^{12}$
ઘાતાંકના નિયમ $a^{m} \times a^{n} = a^{m+n}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\left(\frac{4}{10}\right)^{5+9} = \left(\frac{4}{10}\right)^{x+12}$
$\left(\frac{4}{10}\right)^{14} = \left(\frac{4}{10}\right)^{x+12}$
ઘાતાંકોને સરખાવતા:
$14 = x + 12$
$x = 14 - 12 = 2$

(B) ધારો કે ખૂટતી સંખ્યા $x$ છે.
આપેલ સમીકરણ: $18 \times 16 - 3445 \div 13 = x - 344$.
$BODMAS$ ના નિયમ મુજબ,પહેલા ભાગાકાર કરો: $3445 \div 13 = 265$.
ત્યારબાદ,ગુણાકાર કરો: $18 \times 16 = 288$.
આ કિંમતોને સમીકરણમાં મૂકતા: $288 - 265 = x - 344$.
$23 = x - 344$.
$x = 23 + 344$.
$x = 367$.

(A) આપેલ પદાવલિ: $[(3^{2})^{6}]^{5} = 9^{x}$.
ઘાતાંકના નિયમ $(a^{m})^{n} = a^{m \times n}$ નો ઉપયોગ કરીને,ડાબી બાજુનું સાદુંરૂપ આપતા:
$(3^{2 \times 6})^{5} = (3^{12})^{5} = 3^{12 \times 5} = 3^{60}$.
હવે,જમણી બાજુને $3$ ના આધારમાં દર્શાવતા:
$9^{x} = (3^{2})^{x} = 3^{2x}$.
બંને બાજુ સરખાવતા:
$3^{60} = 3^{2x}$.
આધાર સમાન હોવાથી,ઘાતાંકો પણ સમાન હોવા જોઈએ:
$60 = 2x$.
$x$ માટે ઉકેલતા:
$x = 30$.

(A) $1 \frac{1}{4} + 1 \frac{5}{9} \times 1 \frac{5}{8} \div 6 \frac{1}{2}$ પદાવલીને ઉકેલવા માટે,આપણે $BODMAS$ ના નિયમનું પાલન કરીએ છીએ.
સૌ પ્રથમ,મિશ્ર અપૂર્ણાંકોને અશુદ્ધ અપૂર્ણાંકમાં ફેરવો:
$1 \frac{1}{4} = \frac{5}{4}$,$1 \frac{5}{9} = \frac{14}{9}$,$1 \frac{5}{8} = \frac{13}{8}$,અને $6 \frac{1}{2} = \frac{13}{2}$.
પદાવલી આ મુજબ બનશે: $\frac{5}{4} + \frac{14}{9} \times \frac{13}{8} \div \frac{13}{2}$.
પહેલા ભાગાકાર કરો: $\frac{13}{8} \div \frac{13}{2} = \frac{13}{8} \times \frac{2}{13} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}$.
હવે,પદાવલી છે: $\frac{5}{4} + \frac{14}{9} \times \frac{1}{4}$.
ગુણાકાર કરો: $\frac{14}{9} \times \frac{1}{4} = \frac{14}{36} = \frac{7}{18}$.
છેલ્લે,પદોનો સરવાળો કરો: $\frac{5}{4} + \frac{7}{18}$.
$4$ અને $18$ નો લઘુત્તમ સામાન્ય અવયવી $(LCM)$ $36$ છે.
$\frac{5 \times 9}{36} + \frac{7 \times 2}{36} = \frac{45}{36} + \frac{14}{36} = \frac{59}{36}$.
મિશ્ર અપૂર્ણાંકમાં ફેરવતા: $\frac{59}{36} = 1 \frac{23}{36}$.

(B) ધારો કે ખૂટતી સંખ્યા $x$ છે. સમીકરણ $(2 \sqrt{392} - 21) + (\sqrt{8} - 7)^{2} = x^{2}$ છે.
પ્રથમ,$\sqrt{392}$ નું સાદું રૂપ આપો: $\sqrt{392} = \sqrt{196 \times 2} = 14 \sqrt{2}$.
તેથી,$2 \sqrt{392} = 2 \times 14 \sqrt{2} = 28 \sqrt{2}$.
હવે,$(a - b)^{2} = a^{2} - 2ab + b^{2}$ નો ઉપયોગ કરીને $(\sqrt{8} - 7)^{2}$ નું વિસ્તરણ કરો:
$(\sqrt{8} - 7)^{2} = (\sqrt{8})^{2} - 2 \times \sqrt{8} \times 7 + 7^{2} = 8 - 14 \sqrt{8} + 49 = 57 - 14 \sqrt{8}$.
કારણ કે $\sqrt{8} = 2 \sqrt{2}$,તેથી $14 \sqrt{8} = 14 \times 2 \sqrt{2} = 28 \sqrt{2}$.
આ કિંમતોને સમીકરણમાં મૂકતા:
$(28 \sqrt{2} - 21) + (57 - 28 \sqrt{2}) = x^{2}$.
$28 \sqrt{2} - 21 + 57 - 28 \sqrt{2} = x^{2}$.
$57 - 21 = x^{2}$.
$36 = x^{2}$.
$x = 6$.

(D) આપેલ પદાવલિ: $(\sqrt{9})^{3} \times (\sqrt{81})^{5} \div 27^{2} = 3^{x}$
પગલું $1$: પાયાની કિંમતોનું સાદું રૂપ આપો.
$\sqrt{9} = 3$,તેથી $(\sqrt{9})^{3} = 3^{3} = 27$.
$\sqrt{81} = 9$,તેથી $(\sqrt{81})^{5} = 9^{5} = (3^{2})^{5} = 3^{10}$.
$27^{2} = (3^{3})^{2} = 3^{6}$.
પગલું $2$: આ કિંમતોને પદાવલિમાં મૂકો.
$3^{3} \times 3^{10} \div 3^{6} = 3^{x}$.
પગલું $3$: ઘાતાંકના નિયમોનો ઉપયોગ કરો ($a^{m} \times a^{n} = a^{m+n}$ અને $a^{m} \div a^{n} = a^{m-n}$).
$3^{3+10-6} = 3^{x}$.
$3^{7} = 3^{x}$.
તેથી,$x = 7$.

(B) $220$ ના $18.5 \% + 680$ ના $12.4 \%$ પદાવલિને ઉકેલવા માટે,આપણે દરેક ભાગની અલગથી ગણતરી કરીએ:
પ્રથમ ભાગ: $\frac{18.5}{100} \times 220 = 0.185 \times 220 = 40.7$
બીજો ભાગ: $\frac{12.4}{100} \times 680 = 0.124 \times 680 = 84.32$
બંને પરિણામોનો સરવાળો કરતા: $40.7 + 84.32 = 125.02$
આમ,અંતિમ જવાબ $125.02$ છે.

(C) $\sqrt[3]{1331} + \sqrt[3]{1728}$ પદાવલિને ઉકેલવા માટે,આપણે સૌ પ્રથમ આપેલી સંખ્યાઓના ઘનમૂળ શોધીશું.
આપણે જાણીએ છીએ કે $11^3 = 11 \times 11 \times 11 = 1331$,તેથી $\sqrt[3]{1331} = 11$.
આપણે એ પણ જાણીએ છીએ કે $12^3 = 12 \times 12 \times 12 = 1728$,તેથી $\sqrt[3]{1728} = 12$.
આ કિંમતોનો સરવાળો કરતા: $11 + 12 = 23$.

(B) આપેલ સમીકરણ: $5.6 \times 12.5 \div 0.5 + 15.5 = x + 49.5$
સૌ પ્રથમ,ભાગાકાર કરો: $12.5 \div 0.5 = 25$
ત્યારબાદ,ગુણાકાર કરો: $5.6 \times 25 = 140$
હવે,કિંમતોને સમીકરણમાં મૂકો: $140 + 15.5 = x + 49.5$
ડાબી બાજુનું સાદું રૂપ આપો: $155.5 = x + 49.5$
$x$ માટે ઉકેલો: $x = 155.5 - 49.5$
$x = 106$

(D) $390$ ના $72 \%$ ની ગણતરી કરો: $\frac{72}{100} \times 390 = 0.72 \times 390 = 280.8$.
$165$ ના $28 \%$ ની ગણતરી કરો: $\frac{28}{100} \times 165 = 0.28 \times 165 = 46.2$.
બંને પરિણામોનો સરવાળો કરો: $280.8 + 46.2 = 327$.
સમીકરણ બનાવો: $327 = x - 3$.
$x$ માટે ઉકેલો: $x = 327 + 3 = 330$.

(D) ધારો કે તે સંખ્યા $x$ છે.
આપેલ છે કે $x$ ના $42 \% = 357$.
$\frac{42}{100} \times x = 357$.
$x = \frac{357 \times 100}{42}$.
હવે,આપણે તે સંખ્યાના $63 \%$ શોધવાના છે.
$x$ ના $63 \% = \frac{63}{100} \times x$.
$x$ ની કિંમત મૂકતા:
$= \frac{63}{100} \times \left( \frac{357 \times 100}{42} \right)$.
$= \frac{63 \times 357}{42}$.
$63$ અને $42$ ને $21$ વડે ભાગતા,આપણને $\frac{3}{2} \times 357$ મળે.
$= \frac{1071}{2} = 535.5$.

(A) $4042$ ને પૂર્ણ વર્ગ બનાવવા માટે તેમાં ઉમેરવાની ન્યૂનતમ સંખ્યા શોધવા માટે,આપણે પહેલા અંદાજ દ્વારા $4042$ નું વર્ગમૂળ શોધીએ.
આપણે જાણીએ છીએ કે $63^{2} = 3969$ અને $64^{2} = 4096$ થાય છે.
$4042$ એ $63^{2}$ અને $64^{2}$ ની વચ્ચે આવે છે,તેથી તેના પછીની પૂર્ણ વર્ગ સંખ્યા $64^{2} = 4096$ છે.
તેથી,ઉમેરવાની ન્યૂનતમ સંખ્યા $4096 - 4042 = 54$ છે.

(C) બાદ કરવાની ન્યૂનતમ સંખ્યા શોધવા માટે,આપણે સૌ પ્રથમ ભાગાકારની રીત દ્વારા $5500$ નું વર્ગમૂળ શોધીએ.
આપણને મળે છે કે $(74)^2 = 5476$ અને $(75)^2 = 5625$.
કારણ કે $5476 < 5500 < 5625$,તેથી $5500$ થી નાની સૌથી નજીકની પૂર્ણ વર્ગ સંખ્યા $5476$ છે.
તેથી,બાદ કરવાની ન્યૂનતમ સંખ્યા $5500 - 5476 = 24$ છે.

(D) ધારો કે તે સંખ્યા $x$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,$x$ ના $33 \%$ અને $x$ ના $14 \%$ નો સરવાળો $3055$ છે.
$\frac{33}{100}x + \frac{14}{100}x = 3055$
$\frac{47}{100}x = 3055$
$x = \frac{3055 \times 100}{47}$
$x = 65 \times 100 = 6500$
હવે,આપણે $x$ ના $72 \%$ શોધવાના છે:
$6500$ ના $72 \% = \frac{72}{100} \times 6500$
$= 72 \times 65 = 4680$

(C) ધારો કે તે સંખ્યા $x$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,$x$ માંથી $64$ બાદ કરતા તે $x$ ના $36 \%$ થાય છે.
સમીકરણ: $x - 64 = \frac{36}{100}x$
પદોને ગોઠવતા: $x - 0.36x = 64$
$0.64x = 64$
$x = \frac{64}{0.64} = 100$
હવે,આપણે તે સંખ્યા $x$ ના $\frac{4}{5}$ શોધવાના છે.
$\frac{4}{5} \times 100 = 4 \times 20 = 80$.

(C) ધારો કે $4$ ક્રમિક એકી સંખ્યાઓ $(x), (x+2), (x+4),$ અને $(x+6)$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,તેમનો સરવાળો $184$ છે:
$x + (x+2) + (x+4) + (x+6) = 184$
$4x + 12 = 184$
$4x = 184 - 12$
$4x = 172$
$x = 43$
આમ,$4$ ક્રમિક એકી સંખ્યાઓ $43, 45, 47,$ અને $49$ છે.
સૌથી મોટી સંખ્યા $49$ છે.

(B) ધારો કે તે સંખ્યા $x$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,$x$ ના $35 \% = 182$ છે.
$\frac{35}{100} \times x = 182$
$x = \frac{182 \times 100}{35}$
$x = 5.2 \times 100 = 520$.
હવે,આપણે $x$ ના $150 \%$ શોધવાના છે.
$520$ ના $150 \% = \frac{150}{100} \times 520$
$= 1.5 \times 520 = 780$.
તેથી,તે સંખ્યાના $150 \%$ એ $780$ થાય છે.

(C) ધારો કે તે સંખ્યા $x$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,સંખ્યાના ચોથા ભાગ અને સાતમા ભાગ વચ્ચેનો તફાવત $24$ છે.
તેથી,$\frac{x}{4} - \frac{x}{7} = 24$.
$4$ અને $7$ નો લઘુત્તમ સામાન્ય અવયવી $(LCM)$ $28$ લેતા:
$\frac{7x - 4x}{28} = 24$
$\frac{3x}{28} = 24$
$3x = 24 \times 28$
$x = 8 \times 28$
$x = 224$.
આમ,તે સંખ્યા $224$ છે.

(A) સૌ પ્રથમ,$550$ ના બે-પંચમાંશ $(2/5)$ શોધો:
$\frac{2}{5} \times 550 = 2 \times 110 = 220$.
ત્યારબાદ,$220$ ના $68 \%$ શોધો:
$68 \% \text{ of } 220 = \frac{68}{100} \times 220$.
$= 0.68 \times 220 = 149.6$.

(A) ધારો કે તે સંખ્યા $x$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,$x$ ના $30 \% = 190.8$.
$\frac{30}{100} \times x = 190.8$
$x = \frac{190.8 \times 100}{30}$
$x = \frac{19080}{30} = 636$.
હવે,આપણે $636$ ના $175 \%$ શોધવાના છે.
$636$ ના $175 \% = \frac{175}{100} \times 636$
$= 1.75 \times 636 = 1113$.

(A) ઉમેરવાની ન્યૂનતમ સંખ્યા શોધવા માટે,પહેલા $1056$ ને $23$ વડે ભાગો.
$1056 \div 23 = 45$ અને શેષ વધે છે.
$1056 = 23 \times 45 + 21$.
અહીં શેષ $21$ છે.
સંખ્યાને $23$ વડે સંપૂર્ણપણે વિભાજ્ય બનાવવા માટે,આપણે ભાજક અને શેષ વચ્ચેનો તફાવત મૂળ સંખ્યામાં ઉમેરવો પડશે.
ઉમેરવાની જરૂરી સંખ્યા $= 23 - 21 = 2$.
તેથી,$1056$ માં $2$ ઉમેરતા $1058$ મળે છે,જે $23 \times 46 = 1058$ થાય છે.

(B) ધારો કે મોટી સંખ્યા $x$ છે અને નાની સંખ્યા $y$ છે。
પ્રશ્ન મુજબ, બે સંખ્યાઓનો તફાવત $1365$ છે, તેથી:
$x - y = 1365$ $...(i)$
ભાગાકારના નિયમ મુજબ, $\text{ભાજ્ય} = (\text{ભાજક} \times \text{ભાગફળ}) + \text{શેષ}$.
અહીં, $x = 6y + 15$ $...(ii)$
સમીકરણ $(ii)$ માંથી $x$ ની કિંમત સમીકરણ $(i)$ માં મૂકતા:
$(6y + 15) - y = 1365$
$5y + 15 = 1365$
$5y = 1365 - 15$
$5y = 1350$
$y = 1350 / 5 = 270$
આમ, નાની સંખ્યા $270$ છે。

(A) પ્રથમ $n$ પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓનો સરવાળો શોધવાનું સૂત્ર: $S_n = \frac{n(n+1)}{2}$ છે.
અહીં,$n = 45$ છે.
સૂત્રમાં $n$ ની કિંમત મૂકતા:
$S_{45} = \frac{45(45+1)}{2}$
$S_{45} = \frac{45 \times 46}{2}$
$S_{45} = 45 \times 23$
$S_{45} = 1035$.

(A) ધારો કે $a = 753$ અને $b = 247$ છે.
આપેલ પદાવલિ $\frac{a^2 + b^2 - ab}{a^3 + b^3}$ સ્વરૂપમાં છે.
બીજગણિતીય નિત્યસમ $a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 + b^2 - ab)$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણે પદાવલિને નીચે મુજબ લખી શકીએ:
$\frac{a^2 + b^2 - ab}{(a + b)(a^2 + b^2 - ab)} = \frac{1}{a + b}$.
$a$ અને $b$ ની કિંમતો મૂકતા:
$\frac{1}{753 + 247} = \frac{1}{1000}$.

(D) ધારો કે $*$ ની જગ્યાએ ખૂટતો અંક $x$ છે.
કોઈપણ સંખ્યા $9$ વડે વિભાજ્ય હોય તે માટે,તેના અંકોનો સરવાળો $9$ વડે વિભાજ્ય હોવો જોઈએ.
$481*673$ ના અંકોનો સરવાળો $4 + 8 + 1 + x + 6 + 7 + 3 = 29 + x$ થાય છે.
$(29 + x)$ એ $9$ વડે વિભાજ્ય બને તે માટે,$29$ પછીનો $9$ નો ગુણક $36$ છે.
તેથી,$29 + x = 36$,જે આપણને $x = 36 - 29 = 7$ આપે છે.
આમ,$*$ ની જગ્યાએ આવતી સૌથી નાની પૂર્ણ સંખ્યા $7$ છે.

(B) ધારો કે તે સંખ્યા $N$ છે. ભાગાકારના નિયમ મુજબ,$N = 56q + 29$,જ્યાં $q$ એ ભાગફળ છે.
આપણે $N$ ને $8$ વડે ભાગતા મળતી શેષ શોધવી છે.
$N = (8 \times 7q) + 29$.
કારણ કે $29 = (8 \times 3) + 5$,આપણે પદાવલિને આ રીતે લખી શકીએ:
$N = 8(7q) + 8(3) + 5$
$N = 8(7q + 3) + 5$.
આમ,જ્યારે $N$ ને $8$ વડે ભાગવામાં આવે છે,ત્યારે શેષ $5$ મળે છે.

(B) ધારો કે $a = 0.83$ અને $b = 0.17$ છે.
આ પદાવલિ $a^3 + b^3$ સ્વરૂપમાં છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $a + b = 0.83 + 0.17 = 1$ થાય છે.
નિત્યસમ $a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$ નો ઉપયોગ કરતા:
અહીં $a + b = 1$ હોવાથી,$a^3 + b^3 = a^2 - ab + b^2$ મળે.
વળી,$(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 = 1^2 = 1$ થાય.
તેથી,$a^2 + b^2 = 1 - 2ab$ મળે.
આ કિંમત પદાવલિમાં મૂકતા: $a^3 + b^3 = (1 - 2ab) - ab = 1 - 3ab$.
હવે,$3ab = 3 \times 0.83 \times 0.17 = 0.83 \times 0.51$ ગણતરી કરતા.
આમ,પદાવલિની કિંમત $1 - 0.51 \times 0.83$ થાય છે.

(D) આપેલ પદાવલિ: $63 \sqrt{(729)^{-\frac{2}{3}}+(343)^{-\frac{2}{3}}}$
$a^{-n} = \frac{1}{a^n}$ ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરીને,આપણે પદાવલિને આ રીતે લખી શકીએ:
$63 \sqrt{\frac{1}{(729)^{\frac{2}{3}}} + \frac{1}{(343)^{\frac{2}{3}}}}$
ઘાતની ગણતરી કરતા:
$(729)^{\frac{2}{3}} = (9^3)^{\frac{2}{3}} = 9^2 = 81$
$(343)^{\frac{2}{3}} = (7^3)^{\frac{2}{3}} = 7^2 = 49$
આ કિંમતોને પદાવલિમાં મૂકતા:
$63 \sqrt{\frac{1}{81} + \frac{1}{49}} = 63 \sqrt{\frac{49 + 81}{81 \cdot 49}}$
વર્ગમૂળનું સાદું રૂપ આપતા:
$63 \cdot \frac{\sqrt{49 + 81}}{\sqrt{81} \cdot \sqrt{49}} = 63 \cdot \frac{\sqrt{130}}{9 \cdot 7}$
કારણ કે $9 \cdot 7 = 63$,તેથી પદાવલિ નીચે મુજબ થશે:
$63 \cdot \frac{\sqrt{130}}{63} = \sqrt{130}$

(B) $(128)^{182}$ નો એકમનો અંક એ $8^{182}$ ના એકમના અંક જેટલો જ હોય છે.
$8$ ની ઘાત માટે એકમના અંકની ચક્રીયતા $4$ છે: $8^1 = 8$,$8^2 = 64$ (એકમનો અંક $4$),$8^3 = 512$ (એકમનો અંક $2$),$8^4 = 4096$ (એકમનો અંક $6$),અને $8^5$ ફરીથી $8$ પર આવે છે.
આ ચક્ર $(8, 4, 2, 6)$ છે.
ઘાતાંક $182$ ને ચક્રની લંબાઈ $4$ વડે ભાગતા: $182 = 4 \times 45 + 2$.
બાકી રહેતી શેષ $2$ છે.
તેથી,$(128)^{182}$ નો એકમનો અંક $8^2$ ના એકમના અંક જેટલો જ એટલે કે $4$ થશે.

(C) ધારો કે $a = 2.25$ અને $b = 4$ છે.
આ પદાવલિ $a^2 + b^2 - ab - \frac{a^3}{a+b}$ છે.
પદાવલિનું સાદુંરૂપ આપતા:
$k = \frac{(a^2 + b^2 - ab)(a+b) - a^3}{a+b}$
બીજગણિતીય નિત્યસમ $(a+b)(a^2 + b^2 - ab) = a^3 + b^3$ નો ઉપયોગ કરતા:
$k = \frac{(a^3 + b^3) - a^3}{a+b} = \frac{b^3}{a+b}$
$a = 2.25 = \frac{9}{4}$ અને $b = 4$ કિંમતો મૂકતા:
$k = \frac{4^3}{\frac{9}{4} + 4} = \frac{64}{\frac{9+16}{4}} = \frac{64}{\frac{25}{4}} = \frac{64 \times 4}{25} = \frac{256}{25}$
વર્ગમૂળ $\sqrt{k} = \sqrt{\frac{256}{25}} = \frac{16}{5} = 3.2$ થાય.

(A) $\{(6374)^{1793} \times (625)^{317} \times (341)^{491}\}$ પદાવલિનો એકમનો અંક શોધવા માટે,આપણે દરેક આધારના એકમના અંકને ધ્યાનમાં લઈએ છીએ.
$1$. $(6374)^{1793}$ માટે: એકમનો અંક $4$ છે. ઘાતાંક $1793$ એકી સંખ્યા હોવાથી,$(6374)^{1793}$ નો એકમનો અંક $4$ થશે.
$2$. $(625)^{317}$ માટે: એકમનો અંક $5$ છે. $5$ માં અંત પામતી કોઈપણ સંખ્યાની ઘાત હંમેશા $5$ એકમનો અંક આપે છે.
$3$. $(341)^{491}$ માટે: એકમનો અંક $1$ છે. $1$ માં અંત પામતી કોઈપણ સંખ્યાની ઘાત હંમેશા $1$ એકમનો અંક આપે છે.
હવે,આ એકમના અંકોનો ગુણાકાર કરો: $4 \times 5 \times 1 = 20$.
ગુણાકાર $20$ નો એકમનો અંક $0$ છે.
તેથી,સમગ્ર પદાવલિનો એકમનો અંક $0$ છે.

(C) સંખ્યા $88$ વડે વિભાજ્ય હોવા માટે,તે $8$ અને $11$ બંને વડે વિભાજ્ય હોવી જોઈએ.
સંખ્યા $8$ વડે વિભાજ્ય હોવા માટે,છેલ્લા ત્રણ અંકો $(29b)$ થી બનતી સંખ્યા $8$ વડે વિભાજ્ય હોવી જોઈએ.
$290 + b$ ને $8$ વડે ભાગતા: $296 / 8 = 37$. તેથી,$b = 6$.
સંખ્યા $11$ વડે વિભાજ્ય હોવા માટે,એકી સ્થાન પરના અંકોનો સરવાળો અને બેકી સ્થાન પરના અંકોના સરવાળાનો તફાવત $0$ અથવા $11$ નો ગુણક હોવો જોઈએ.
એકી સ્થાન પરના અંકોનો સરવાળો (જમણી બાજુથી): $b + 2 + 3 = 6 + 2 + 3 = 11$.
બેકી સ્થાન પરના અંકોનો સરવાળો (જમણી બાજુથી): $9 + a + 5 = 14 + a$.
તફાવત: $(14 + a) - 11 = a + 3$.
$11$ વડે વિભાજ્યતા માટે,$a + 3$ એ $0$ અથવા $11$ હોવું જોઈએ. $a$ એક અંક હોવાથી,$a + 3 = 11 \Rightarrow a = 8$.
તેથી,$a = 8$ અને $b = 6$.

(C) ધારો કે તે સંખ્યા $n$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,$n \times \frac{3}{5}n = 12^{2} - 3^{2}$.
આ સમીકરણને સાદું રૂપ આપતા,$\frac{3}{5}n^{2} = (12 + 3)(12 - 3)$.
$\frac{3}{5}n^{2} = 15 \times 9$.
$n^{2} = \frac{15 \times 9 \times 5}{3} = 5 \times 9 \times 5 = 225$.
વર્ગમૂળ લેતા,$n = 15$.
હવે,આપણે તે સંખ્યાના $\frac{5}{3}$ શોધવાના છે,જે $\frac{5}{3} \times 15 = 5 \times 5 = 25$ થાય.

(D) ઉતરતો ક્રમ નક્કી કરવા માટે,આપણે દરેક અપૂર્ણાંકને તેના દશાંશ સ્વરૂપમાં ફેરવીએ છીએ:
$\frac{6}{7} \approx 0.857$
$\frac{5}{6} \approx 0.833$
$\frac{4}{5} = 0.8$
$\frac{3}{7} \approx 0.428$
$\frac{2}{5} = 0.4$
$\frac{1}{3} \approx 0.333$
આ મૂલ્યોની સરખામણી કરતા: $0.857 > 0.833 > 0.8 > 0.428 > 0.4 > 0.333$.
આમ,ક્રમ $\frac{6}{7}, \frac{5}{6}, \frac{4}{5}, \frac{3}{7}, \frac{2}{5}, \frac{1}{3}$ એ ઉતરતા ક્રમમાં છે.

(D) આ પદાવલિ $\sqrt{a \sqrt{a \sqrt{a \dots \sqrt{a}}}}$ ($n$ વખત) સ્વરૂપમાં છે.
$n$ કરણીઓ (radicals) માટે,કિંમત $a^{\frac{2^n - 1}{2^n}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં,$a = 3$ અને કરણીઓની સંખ્યા $n = 6$ છે.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$x = 3^{\frac{2^6 - 1}{2^6}}$
$x = 3^{\frac{64 - 1}{64}}$
$x = 3^{\frac{63}{64}}$
કારણ કે $3^{\frac{63}{64}}$ એ વિકલ્પો $A, B,$ અથવા $C$ માં નથી,તેથી સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(B) ધારો કે $P, Q$ અને $R$ દ્વારા બનાવવામાં આવેલા રન અનુક્રમે $P, Q$ અને $R$ છે.
આપેલ છે કે $4P = 5Q = 7R$.
ધારો કે $4P = 5Q = 7R = K$.
તેથી $P = K/4, Q = K/5, R = K/7$.
કુલ રન $P + Q + R = 581$ આપેલ છે.
કિંમતો મૂકતા: $K/4 + K/5 + K/7 = 581$.
$4, 5$ અને $7$ નો લસાઅ $140$ લેતા: $(35K + 28K + 20K) / 140 = 581$.
$83K / 140 = 581$.
$K = (581 \times 140) / 83 = 7 \times 140 = 980$.
હવે,$P$ અને $R$ ની ગણતરી કરતા: $P = 980 / 4 = 245$ અને $R = 980 / 7 = 140$.
$P$ અને $R$ વચ્ચેનો તફાવત $245 - 140 = 105$ છે.

(D) $23$ અને $100$ ની વચ્ચેની $6$ વડે ભાગી શકાય તેવી પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓ સમાંતર શ્રેણી બનાવે છે.
$23$ થી મોટી $6$ વડે ભાગી શકાય તેવી પ્રથમ સંખ્યા $24$ છે.
$100$ થી નાની $6$ વડે ભાગી શકાય તેવી છેલ્લી સંખ્યા $96$ છે.
સમાંતર શ્રેણીના $n$ માં પદનું સૂત્ર વાપરતા: $a_n = a + (n - 1)d$,જ્યાં $a = 24$,$d = 6$,અને $a_n = 96$.
$96 = 24 + (n - 1)6$
$96 - 24 = (n - 1)6$
$72 = (n - 1)6$
$n - 1 = 72 / 6 = 12$
$n = 12 + 1 = 13$
તેથી,આવી કુલ $13$ સંખ્યાઓ છે.

(B) ધારો કે $2001$ પછીના વર્ષોની સંખ્યા $n$ છે.
$n$ વર્ષ પછી વસ્તુ $X$ ની કિંમત $420 + 40n$ પૈસા થશે.
$n$ વર્ષ પછી વસ્તુ $Y$ ની કિંમત $630 + 15n$ પૈસા થશે.
પ્રશ્ન મુજબ,આપણે ઇચ્છીએ છીએ કે $X$ ની કિંમત $Y$ ની કિંમત કરતા $40 \text{ પૈસા}$ વધારે હોય:
$420 + 40n = (630 + 15n) + 40$
$420 + 40n = 670 + 15n$
$40n - 15n = 670 - 420$
$25n = 250$
$n = 10$
આમ,$2001$ થી $10$ વર્ષ પછી,આ શરત પૂરી થશે.
તેથી,વર્ષ $2001 + 10 = 2011$ હશે.

(A) ધારો કે ખૂટતી કિંમત $x$ છે.
$24-[2.4-\{0.24 \times 2-(0.024-x)\}]=22.0584$
$24-[2.4-\{0.48-0.024+x\}]=22.0584$
$24-[2.4-0.48+0.024-x]=22.0584$
$24-[1.944-x]=22.0584$
$24-1.944+x=22.0584$
$22.056+x=22.0584$
$x=22.0584-22.056$
$x=0.0024$

(A) ધારો કે ખૂટતી સંખ્યા $x$ છે.
$3648.24 + \frac{364.824}{x} - 36.4824 = 3794.1696$
બંને બાજુથી $3648.24$ બાદ કરતા અને $36.4824$ ઉમેરતા:
$\frac{364.824}{x} = 3794.1696 - 3648.24 + 36.4824$
$\frac{364.824}{x} = 145.9296 + 36.4824$
$\frac{364.824}{x} = 182.412$
$x = \frac{364.824}{182.412}$
$x = 2$

(D) સૌ પ્રથમ,મિશ્ર અપૂર્ણાંકોને અશુદ્ધ અપૂર્ણાંકમાં ફેરવો:
$3 \frac{7}{8} = \frac{31}{8}$,$2 \frac{1}{3} = \frac{7}{3}$,$1 \frac{7}{9} = \frac{16}{9}$.
હવે,છગડિયા કૌંસની અંદરની પદાવલિ ઉકેલો:
$\frac{31}{8} - \frac{7}{3} + \frac{16}{9} = \frac{279 - 168 + 128}{72} = \frac{239}{72}$.
ત્યારબાદ,છગડિયા કૌંસની બહાર પણ ચોરસ કૌંસની અંદર રહેલા અપૂર્ણાંકનો સરવાળો કરો:
$\frac{5}{6} + \frac{239}{72} = \frac{60 + 239}{72} = \frac{299}{72}$.
અંતે,આને $6$ માંથી બાદ કરો:
$6 - \frac{299}{72} = \frac{432 - 299}{72} = \frac{133}{72} = 1 \frac{61}{72}$.
આમ,$1 \frac{61}{72}$ એ આપેલા વિકલ્પોમાં નથી,તેથી સાચો જવાબ $D$ છે.

(A) આ પદાવલિને ઉકેલવા માટે,આપણે $BODMAS$ ના નિયમનું પાલન કરીએ છીએ.
સૌ પ્રથમ,રેખા કૌંસ (vinculum) ઉકેલો: $\frac{2}{3} + \frac{1}{4} = \frac{8+3}{12} = \frac{11}{12}$.
ત્યારબાદ,વર્ગમૂળ ઉકેલો: $\sqrt{\frac{144}{121}} = \frac{12}{11}$.
આ કિંમતોને અંદરના કૌંસમાં મૂકો: $\left( \frac{11}{12} \times \frac{12}{11} + 23 \right) = (1 + 23) = 24$.
હવે,આ કિંમતને છગડિયા કૌંસમાં મૂકો: $\{ 4 \times 24 \div 12 + 5 \}$.
ભાગાકાર અને ગુણાકાર કરો: $4 \times (24 \div 12) + 5 = 4 \times 2 + 5 = 8 + 5 = 13$.
અંતે,મુખ્ય પદાવલિમાં કિંમત મૂકો: $[10 + 13 - 3] = 20$.

(D) પગલું $1$: સૌથી અંદરના કૌંસનું સાદું રૂપ આપો.
$\sqrt{\frac{9}{441}} = \frac{3}{21} = \frac{1}{7}$.
તેથી,$\frac{21 \times (1/7)}{5} = \frac{3}{5}$.
પગલું $2$: 'of' (ગુણાકાર) ની ગણતરી કરો.
$\frac{3}{5} \text{ of } 60\% = \frac{3}{5} \times \frac{60}{100} = \frac{3}{5} \times \frac{3}{5} = \frac{9}{25}$.
પગલું $3$: પરિણામમાંથી $1/5$ બાદ કરો.
$\frac{9}{25} - \frac{1}{5} = \frac{9}{25} - \frac{5}{25} = \frac{4}{25}$.
પગલું $4$: $625$ વડે ગુણાકાર કરો અને $7$ ઉમેરો.
$(\frac{4}{25} \times 625) + 7 = (4 \times 25) + 7 = 100 + 7 = 107$.
પગલું $5$: મુખ્ય પદાવલિમાં કિંમત મૂકો.
$\left[ 8 \{ 107 \} \div 4 \right] = (8 \times 107) \div 4 = 856 \div 4 = 214$.

(D) આપેલ સમીકરણ: $(0.25)^{6} \div (0.125)^{2} \times (0.5)^{4} = (0.5)^{x+3}$
બધા પદોને $0.5$ ના આધારમાં દર્શાવો:
$(0.25) = (0.5)^{2}$
$(0.125) = (0.5)^{3}$
આ કિંમતોને સમીકરણમાં મૂકતા:
$((0.5)^{2})^{6} \div ((0.5)^{3})^{2} \times (0.5)^{4} = (0.5)^{x+3}$
ઘાતનો ઘાતનો નિયમ $(a^{m})^{n} = a^{m \times n}$ લાગુ પાડતા:
$(0.5)^{12} \div (0.5)^{6} \times (0.5)^{4} = (0.5)^{x+3}$
ઘાતાંકના નિયમો $a^{m} \div a^{n} = a^{m-n}$ અને $a^{m} \times a^{n} = a^{m+n}$ લાગુ પાડતા:
$(0.5)^{12-6+4} = (0.5)^{x+3}$
$(0.5)^{10} = (0.5)^{x+3}$
આધાર સમાન હોવાથી,ઘાતાંકોને સરખાવતા:
$10 = x + 3$
$x = 10 - 3$
$x = 7$

(D) દરેક અપૂર્ણાંકને $1 - \frac{1}{n}$ તરીકે દર્શાવી શકાય છે:
$\frac{17}{18} = 1 - \frac{1}{18}$
$\frac{21}{22} = 1 - \frac{1}{22}$
$\frac{26}{27} = 1 - \frac{1}{27}$
$\frac{36}{37} = 1 - \frac{1}{37}$
અંશ સમાન $(1)$ હોવાથી,જેનો છેદ સૌથી મોટો હોય તે અપૂર્ણાંકની કિંમત સૌથી નાની હોય છે.
આમ,$\frac{1}{18} > \frac{1}{22} > \frac{1}{27} > \frac{1}{37}$.
આ કિંમતોને $1$ માંથી બાદ કરતા,જે સૌથી નાની કિંમત બાદ થાય તે અપૂર્ણાંક સૌથી મોટો બને છે:
$1 - \frac{1}{18} < 1 - \frac{1}{22} < 1 - \frac{1}{27} < 1 - \frac{1}{37}$.
તેથી,સૌથી મોટો અપૂર્ણાંક $\frac{36}{37}$ છે.

(B) ધારો કે $a = 3.25$.
આપેલ પદાવલિ $E = \left[\frac{a^3}{a-1} - (a^2 + a + 1)\right]$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $a^3 - 1 = (a - 1)(a^2 + a + 1)$,જેનો અર્થ થાય છે કે $\frac{a^3 - 1}{a - 1} = a^2 + a + 1$.
આ કિંમતને પદાવલિ $E$ માં મૂકતા:
$E = \frac{a^3}{a-1} - \frac{a^3 - 1}{a-1} = \frac{a^3 - (a^3 - 1)}{a-1} = \frac{1}{a-1}$.
હવે,$a = 3.25$ મૂકતા:
$E = \frac{1}{3.25 - 1} = \frac{1}{2.25} = \frac{1}{9/4} = \frac{4}{9}$.
આમ,પદાવલિનું વર્ગમૂળ $\sqrt{E} = \sqrt{\frac{4}{9}} = \frac{2}{3}$ થાય.

(B) $4000$ ના $7 \%$ - $550$ ના $12 \%$ પદાવલિને ઉકેલવા માટે,આપણે દરેક ભાગની અલગથી ગણતરી કરીએ છીએ.
પ્રથમ,$4000$ ના $7 \%$ ની ગણતરી કરો:
$\frac{7}{100} \times 4000 = 7 \times 40 = 280$.
ત્યારબાદ,$550$ ના $12 \%$ ની ગણતરી કરો:
$\frac{12}{100} \times 550 = 0.12 \times 550 = 66$.
છેલ્લે,પ્રથમ કિંમતમાંથી બીજી કિંમત બાદ કરો:
$280 - 66 = 214$.
તેથી,સાચો જવાબ $214$ છે.