दिए गए दो समीकरणों को हल करें और सही विकल्प चुनें।
$I.$ $2x^2 - (4 + \sqrt{13})x + 2\sqrt{13} = 0$
$II.$ $10y^2 - (18 + 5\sqrt{13})y + 9\sqrt{13} = 0$

मान लीजिए $\alpha$ और $\beta$ समीकरण $5x^{2} + 6x - 2 = 0$ के मूल हैं। यदि $S_{n} = \alpha^{n} + \beta^{n}, n = 1, 2, 3, \ldots$ है,तो:

यदि $x(x-3)=-1$ है,तो $x^{3}(x^{3}-18)$ का मान क्या होगा?

समीकरण $(p - 5)x^2 - 2px + (p - 4) = 0$ के दोनों मूल धनात्मक हों,एक मूल $2$ से कम हो और दूसरा $2$ और $3$ के बीच स्थित हो,तो $p$ का मान किस अंतराल में होगा?

$K$ के उन धनात्मक पूर्णांक मानों की संख्या ज्ञात कीजिए जिनके लिए समीकरण $K = |x + |2x - 1|| - |x - |2x - 1||$ के ठीक तीन वास्तविक हल हैं:

यदि $\alpha$ और $\beta$ समीकरण $x^{2}+px+2=0$ के मूल हैं और $\frac{1}{\alpha}$ और $\frac{1}{\beta}$ समीकरण $2x^{2}+2qx+1=0$ के मूल हैं,तो $\left(\alpha-\frac{1}{\alpha}\right)\left(\beta-\frac{1}{\beta}\right)\left(\alpha+\frac{1}{\beta}\right)\left(\beta+\frac{1}{\alpha}\right)$ का मान ज्ञात कीजिए।