Mix Examples - Statistics and Probability Questions in Gujarati

(D) આપેલ છે કે $50$ અવલોકનોનો મધ્યક $80.4$ છે.
$\text{અવલોકનોનો સરવાળો} = \text{મધ્યક} \times \text{અવલોકનોની સંખ્યા} = 80.4 \times 50 = 4020$.
એવું જાણવા મળ્યું કે $96$ ને બદલે ભૂલથી $69$ વંચાયા હતા. સાચો સરવાળો શોધવા માટે,આપણે ખોટી કિંમત બાદ કરીશું અને સાચી કિંમત ઉમેરીશું:
$\text{સાચો સરવાળો} = 4020 - 69 + 96 = 4047$.
હવે,સાચો મધ્યક ગણો:
$\text{સાચો મધ્યક} = \frac{\text{સાચો સરવાળો}}{\text{અવલોકનોની સંખ્યા}} = \frac{4047}{50} = 80.94$.

(A) આપેલ અવલોકનો $6, 14, 15, 17, x+1, 2x-13, 30, 32, 34, 43$ છે,જે પહેલેથી જ ચડતા ક્રમમાં છે.
અહીં,અવલોકનોની સંખ્યા $n = 10$ છે,જે બેકી સંખ્યા છે.
જ્યારે અવલોકનોની સંખ્યા બેકી હોય,ત્યારે મધ્યસ્થ એ $(\frac{n}{2})$ માં પદ અને $(\frac{n}{2} + 1)$ માં પદની સરેરાશ હોય છે.
મધ્યસ્થ $= \frac{5 \text{ મું પદ} + 6 \text{ ઠું પદ}}{2}$.
અહીં $5$ મું પદ $(x+1)$ છે અને $6$ ઠું પદ $(2x-13)$ છે,તેથી:
મધ્યસ્થ $= \frac{(x+1) + (2x-13)}{2} = \frac{3x-12}{2}$.
આપેલ છે કે મધ્યસ્થ $24$ છે,તેથી:
$\frac{3x-12}{2} = 24$.
$3x - 12 = 48$.
$3x = 48 + 12 = 60$.
$x = \frac{60}{3} = 20$.
આમ,$x$ ની કિંમત $20$ છે.

(C) સૌ પ્રથમ,આપેલી માહિતીને ચડતા ક્રમમાં ગોઠવતા:
$2, 5, 7, 7, 8, 10, 10, 10, 14, 17, 18, 24, 25, 27, 28, 48$
બહુલક શોધવા માટે,સૌથી વધુ વખત આવતી કિંમત નક્કી કરો. કિંમત $10$ એ $3$ વખત આવે છે,જે અન્ય કોઈપણ કિંમત કરતા વધારે છે.
તેથી,માહિતીનો બહુલક $= 10$.
મધ્યસ્થ શોધવા માટે,અવલોકનોની કુલ સંખ્યા ગણો,$n = 16$ (જે બેકી સંખ્યા છે).
મધ્યસ્થ એ $(\frac{n}{2})$ માં અવલોકન અને $(\frac{n}{2} + 1)$ માં અવલોકનની સરેરાશ છે.
મધ્યસ્થ $= 8$ માં અવલોકન અને $9$ માં અવલોકનની સરેરાશ.
$8$ મું અવલોકન $10$ છે અને $9$ મું અવલોકન $14$ છે.
મધ્યસ્થ $= \frac{10 + 14}{2} = \frac{24}{2} = 12$.
આમ,મધ્યસ્થ $12$ છે અને બહુલક $10$ છે.

(N/A) આપેલ સ્તંભાલેખ પરથી આવૃત્તિ વિતરણ કોષ્ટક બનાવવા માટે,આપણે x-અક્ષ પરના દરેક વર્ગ અંતરાલ માટે સ્તંભની ઊંચાઈનું અવલોકન કરીએ છીએ.

વર્ગ અંતરાલ (દૈનિક વેતન રૂપિયામાં)	આવૃત્તિ (કામદારોની સંખ્યા)
$150-200$	$50$
$200-250$	$30$
$250-300$	$35$
$300-350$	$20$
$350-400$	$10$
કુલ	$145$

(N/A) આપેલ આવૃત્તિ વિતરણમાં,વર્ગ લંબાઈ સમાન નથી. તેથી,આપણે સ્તંભાલેખમાં લંબચોરસની લંબાઈમાં ફેરફાર કરીશું જેથી લંબચોરસનું ક્ષેત્રફળ આવૃત્તિના પ્રમાણમાં રહે. લઘુત્તમ વર્ગ લંબાઈ $50$ છે. આપણે સુધારેલી લંબાઈ (આવૃત્તિ ઘનતા) નીચે મુજબ ગણીએ છીએ: $\text{લંબચોરસની લંબાઈ} = \frac{\text{લઘુત્તમ વર્ગ લંબાઈ}}{\text{વર્ગ લંબાઈ}} \times \text{આવૃત્તિ}$.

ગુણ	આવૃત્તિ	વર્ગની લંબાઈ	લંબચોરસની લંબાઈ
$100-150$	$60$	$50$	$\frac{50}{50} \times 60 = 60$
$150-200$	$100$	$50$	$\frac{50}{50} \times 100 = 100$
$200-300$	$100$	$100$	$\frac{50}{100} \times 100 = 50$
$300-500$	$80$	$200$	$\frac{50}{200} \times 80 = 20$
$500-800$	$180$	$300$	$\frac{50}{300} \times 180 = 30$

હવે,આપણે છેલ્લા સ્તંભમાં આપેલી લંબાઈ સાથે લંબચોરસ દોરીએ છીએ. ડેટાનો સ્તંભાલેખ નીચે મુજબ છે.

(32) વર્ગીકૃત આવૃત્તિ વિતરણ તૈયાર કરવા માટે,આપણે દરેક વર્ગ અંતરાલમાં વિદ્યાર્થીઓની સંખ્યા ગણીએ છીએ:

વર્ગ અંતરાલ	આવૃત્તિ
$0-9$	$1$
$10-19$	$2$
$20-29$	$4$
$30-39$	$6$
$40-49$	$15$
$50-59$	$12$
$60-69$	$10$
$70-79$	$6$
$80-89$	$3$
$90-99$	$1$
કુલ	$60$

$49$ થી વધુ ગુણ મેળવનાર વિદ્યાર્થીઓની સંખ્યા શોધવા માટે,આપણે $50-59, 60-69, 70-79, 80-89$ અને $90-99$ વર્ગોની આવૃત્તિઓનો સરવાળો કરીએ છીએ.
વિદ્યાર્થીઓની સંખ્યા $= 12 + 10 + 6 + 3 + 1 = 32$.

વર્ગીકૃત આવૃત્તિ વિતરણ કોષ્ટક બનાવવા માટે,આપણે $0-9$ થી શરૂ કરીને $10$ ની વર્ગ લંબાઈ ધરાવતા વર્ગ અંતરાલો નક્કી કરીએ છીએ. આ અંતરાલો $0-9, 10-19, 20-29, 30-39, 40-49, 50-59, 60-69, 70-79, 80-89, 90-99$ છે.
દરેક અંતરાલ માટે ગુણની ગણતરી કરતા,આપણને નીચે મુજબનું આવૃત્તિ વિતરણ કોષ્ટક મળે છે:

વર્ગ અંતરાલ	આવૃત્તિ
$0-9$	$4$
$10-19$	$7$
$20-29$	$5$
$30-39$	$8$
$40-49$	$5$
$50-59$	$8$
$60-69$	$5$
$70-79$	$9$
$80-89$	$6$
$90-99$	$3$

(N/A) વર્ગીકૃત આવૃત્તિ વિતરણ કોષ્ટક બનાવવા માટે,આપણે $10$ ની વર્ગ લંબાઈ ધરાવતા દરેક વર્ગમાં આવતા વિદ્યાર્થીઓની સંખ્યા ગણીએ છીએ. માહિતીનું વિતરણ નીચે મુજબ છે:

વર્ગ અંતરાલ	આવૃત્તિ
$0-10$	$4$
$10-20$	$7$
$20-30$	$5$
$30-40$	$6$
$40-50$	$5$
$50-60$	$8$
$60-70$	$5$
$70-80$	$8$
$80-90$	$5$
$90-100$	$7$

(N/A) આપેલ આવૃત્તિ વિતરણ માટે સ્તંભ આલેખ દોરવા માટે નીચેના પગલાં અનુસરો:
$1$. $x$-અક્ષ પર વર્ગ અંતરાલ (ઊંચાઈ $cm$ માં) દર્શાવો.
$2$. $y$-અક્ષ પર અનુરૂપ આવૃત્તિઓ (વિદ્યાર્થીઓની સંખ્યા) દર્શાવો.
$3$. વર્ગ અંતરાલ સતત હોવાથી,દરેક અંતરાલ માટે સમાન પહોળાઈના લંબચોરસ સ્તંભો દોરો,જેની ઊંચાઈ તેમની સંબંધિત આવૃત્તિઓ જેટલી હોય.
$4$. પરિણામી સ્તંભ આલેખ આપેલી આકૃતિમાં દર્શાવેલ છે.

(N/A) આપેલ આવૃત્તિ વિતરણ અનિવારક (inclusive) સ્વરૂપમાં છે. સ્તંભાલેખ દોરવા માટે,આપણે તેને સૌ પ્રથમ નિવારક (exclusive/continuous) સ્વરૂપમાં ફેરવવું પડશે. આ માટે આપણે એડજસ્ટમેન્ટ ફેક્ટર શોધીએ: $\frac{\text{પછીના વર્ગની અધઃસીમા} - \text{ચાલુ વર્ગની ઉર્ધ્વસીમા}}{2} = \frac{25-24}{2} = 0.5$. દરેક અધઃસીમામાંથી $0.5$ બાદ કરો અને દરેક ઉર્ધ્વસીમામાં $0.5$ ઉમેરો.

ઉંમર (વર્ષમાં)	શિક્ષકોની સંખ્યા
$19.5-24.5$	$10$
$24.5-29.5$	$28$
$29.5-34.5$	$32$
$34.5-39.5$	$48$
$39.5-44.5$	$50$
$44.5-49.5$	$35$
$49.5-54.5$	$12$

હવે,સ્તંભાલેખ બનાવવા માટે $x$-અક્ષ પર ઉંમર અને $y$-અક્ષ પર શિક્ષકોની સંખ્યા દર્શાવો.

(N/A) આપેલ કોષ્ટક અનિવારક (inclusive) સ્વરૂપમાં છે. સ્તંભાલેખ દોરવા માટે,આપણે પહેલા તેને નિવારક (exclusive) સ્વરૂપમાં ફેરવવું પડશે. આ માટે,એક વર્ગની ઉર્ધ્વ સીમા અને પછીના વર્ગની અધઃ સીમા વચ્ચેનો તફાવત શોધીએ. અહીં,તફાવત $127 - 126 = 1$ છે. તેથી,આપણે દરેક અધઃ સીમામાંથી $0.5$ બાદ કરીશું અને દરેક ઉર્ધ્વ સીમામાં $0.5$ ઉમેરીશું.

લંબાઈ (mm માં)	પાંદડાઓની સંખ્યા
$117.5-126.5$	$8$
$126.5-135.5$	$10$
$135.5-144.5$	$12$
$144.5-153.5$	$17$
$153.5-162.5$	$7$
$162.5-171.5$	$5$
$171.5-180.5$	$3$

આ માહિતી માટેનો સ્તંભાલેખ આકૃતિમાં દર્શાવેલ છે.

(N/A) અહીં,વર્ગ લંબાઈ અસમાન છે. તેથી,આપણે દરેક વર્ગની સમાયોજિત આવૃત્તિ (Adjusted frequency) ગણવી પડશે. ન્યૂનતમ વર્ગ લંબાઈ $20-10=10$ છે. સમાયોજિત આવૃત્તિ નીચેના સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને ગણવામાં આવે છે:
$\text{સમાયોજિત આવૃત્તિ} = \frac{\text{ન્યૂનતમ વર્ગ લંબાઈ}}{\text{વર્ગ લંબાઈ}} \times \text{વર્ગની આવૃત્તિ}$
સમાયોજિત આવૃત્તિઓ નીચેના કોષ્ટકમાં ગણવામાં આવી છે:

ગુણ	વિદ્યાર્થીઓની સંખ્યા (આવૃત્તિ)	સમાયોજિત આવૃત્તિ
$10-20$	$6$	$\frac{10}{10} \times 6 = 6$
$20-30$	$17$	$\frac{10}{10} \times 17 = 17$
$30-50$	$15$	$\frac{10}{20} \times 15 = 7.5$
$50-70$	$16$	$\frac{10}{20} \times 16 = 8$
$70-100$	$26$	$\frac{10}{30} \times 26 \approx 8.67$

હવે,આપણે વર્ગ સીમાઓને પાયા તરીકે અને સંબંધિત સમાયોજિત આવૃત્તિઓને ઊંચાઈ તરીકે લઈને લંબચોરસ બનાવીએ છીએ.

(N/A) સ્તંભાલેખ અને આવૃત્તિ બહુકોણ દોરવા માટે:
$1$. $x$-અક્ષ પર વર્ગ અંતરાલ $(km/h)$ અને $y$-અક્ષ પર આવૃત્તિ દર્શાવો.
$2$. વર્ગ અંતરાલ જેટલી પહોળાઈ અને આવૃત્તિના પ્રમાણમાં ઊંચાઈ ધરાવતા લંબચોરસ દોરીને સ્તંભાલેખ તૈયાર કરો.
$3$. આવૃત્તિ બહુકોણ દોરવા માટે,સ્તંભાલેખના દરેક લંબચોરસની ઉપરની બાજુના મધ્યબિંદુઓ અંકિત કરો.
$4$. આ મધ્યબિંદુઓને સીધી રેખાઓ દ્વારા જોડો. બહુકોણને પૂર્ણ કરવા માટે,પ્રથમ અને છેલ્લા મધ્યબિંદુને $x$-અક્ષ પરના અગાઉના અને પછીના કાલ્પનિક વર્ગ અંતરાલો (જેની આવૃત્તિ $0$ છે) ના મધ્યબિંદુઓ સાથે જોડો.

(N/A) હિસ્ટોગ્રામ વગર આવૃત્તિ બહુકોણ દોરવા માટે,આપણે પહેલા દરેક અંતરાલ માટે વર્ગ ચિહ્નો (મધ્યબિંદુઓ) ની ગણતરી કરીએ છીએ.

વર્ગ અંતરાલ $(km/h)$	વર્ગ ચિહ્નો	આવૃત્તિ
$30-40$	$35$	$3$
$40-50$	$45$	$6$
$50-60$	$55$	$25$
$60-70$	$65$	$65$
$70-80$	$75$	$50$
$80-90$	$85$	$28$
$90-100$	$95$	$14$

$1$. આલેખ પેપર પર બિંદુઓ $(35, 3), (45, 6), (55, 25), (65, 65), (75, 50), (85, 28)$ અને $(95, 14)$ ને અંકિત કરો.
$2$. બહુકોણને બંધ કરવા માટે,શૂન્ય આવૃત્તિ સાથે બે વધારાના વર્ગ અંતરાલ ઉમેરો: $20-30$ (મધ્યબિંદુ $25$) અને $100-110$ (મધ્યબિંદુ $105$).
$3$. આવૃત્તિ બહુકોણ મેળવવા માટે બિંદુઓ $(25, 0), (35, 3), (45, 6), (55, 25), (65, 65), (75, 50), (85, 28), (95, 14)$ અને $(105, 0)$ ને રેખાખંડો દ્વારા જોડો.

(N/A) આવૃત્તિ બહુકોણ બનાવવા માટે,આપણે પહેલા દરેક વર્ગ માટે વર્ગ-ચિહ્ન (મધ્યબિંદુ) શોધીએ છીએ:

ગુણ	વર્ગ-ચિહ્ન	વિભાગ $A$ ની આવૃત્તિ	વિભાગ $B$ ની આવૃત્તિ
$0-15$	$7.5$	$3$	$3$
$15-30$	$22.5$	$12$	$16$
$30-45$	$37.5$	$28$	$25$
$45-60$	$52.5$	$30$	$27$
$60-75$	$67.5$	$35$	$40$
$75-90$	$82.5$	$13$	$10$

$1$. વિભાગ $A$ માટે,આપણે બિંદુઓ $(7.5, 3), (22.5, 12), (37.5, 28), (52.5, 30), (67.5, 35), (82.5, 13)$ ને આલેખ પર દર્શાવીને તેમને સીધી રેખાઓ દ્વારા જોડીએ છીએ.
$2$. વિભાગ $B$ માટે,આપણે બિંદુઓ $(7.5, 3), (22.5, 16), (37.5, 25), (52.5, 27), (67.5, 40), (82.5, 10)$ ને તે જ આલેખ પર દર્શાવીને તેમને તૂટક રેખાઓ દ્વારા જોડીએ છીએ.
$3$. અવલોકન: વિભાગ $B$ નો આવૃત્તિ બહુકોણ $60-75$ ગુણની શ્રેણીમાં વિભાગ $A$ કરતા ઊંચો છે,જે દર્શાવે છે કે વિભાગ $B$ ના વધુ વિદ્યાર્થીઓએ આ શ્રેણીમાં વધુ ગુણ મેળવ્યા છે. એકંદરે,વિભાગ $B$ નું પ્રદર્શન ઉચ્ચ ગુણની શ્રેણીમાં વધુ સારું છે.

(A) મધ્યક શોધવા માટે,આપણે સૂત્ર $\bar{x} = \frac{\sum f_i x_i}{\sum f_i}$ નો ઉપયોગ કરીએ છીએ.
આવૃત્તિ કોષ્ટક બનાવતા:

$x_i$	$f_i$	$f_i x_i$
$10$	$17$	$170$
$30$	$5a+3$	$150a+90$
$50$	$32$	$1600$
$70$	$7a-11$	$490a-770$
$90$	$19$	$1710$
કુલ	$\sum f_i = 12a + 60$	$\sum f_i x_i = 640a + 2710$

આપેલ છે કે $\bar{x} = 50$,તેથી:
$50 = \frac{640a + 2710}{12a + 60}$
$50(12a + 60) = 640a + 2710$
$600a + 3000 = 640a + 2710$
$3000 - 2710 = 640a - 600a$
$290 = 40a$
$a = \frac{290}{40} = 7.25$
$30$ ની આવૃત્તિ $= 5(7.25) + 3 = 36.25 + 3 = 39.25$
$70$ ની આવૃત્તિ $= 7(7.25) - 11 = 50.75 - 11 = 39.75$

(D) ધારો કે છોકરાઓની સંખ્યા $n_1$ છે અને છોકરીઓની સંખ્યા $n_2$ છે.
સંયુક્ત મધ્યક માટેના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$\bar{x} = \frac{n_1 \bar{x}_1 + n_2 \bar{x}_2}{n_1 + n_2}$
અહીં $\bar{x}_1 = 70$,$\bar{x}_2 = 73$ અને સંયુક્ત મધ્યક $\bar{x} = 71$ આપેલ છે:
$71 = \frac{n_1 \times 70 + n_2 \times 73}{n_1 + n_2}$
બંને બાજુ $(n_1 + n_2)$ વડે ગુણતા:
$71(n_1 + n_2) = 70n_1 + 73n_2$
$71n_1 + 71n_2 = 70n_1 + 73n_2$
પદોને ગોઠવતા:
$71n_1 - 70n_1 = 73n_2 - 71n_2$
$n_1 = 2n_2$
તેથી,છોકરાઓની સંખ્યા અને છોકરીઓની સંખ્યાનો ગુણોત્તર:
$\frac{n_1}{n_2} = \frac{2}{1}$
આમ,જરૂરી ગુણોત્તર $2 : 1$ છે.

(N/A) મધ્યક: તમામ અવલોકનોનો સરવાળો $= 87+71+83+67+85+77+69+76+65+85+85+54+70+68+80+73+78+68+85+73+81+78+81+77+75 = 1891$
અવલોકનોની સંખ્યા,$n = 25$
$\text{મધ્યક } (\bar{x}) = \frac{\sum x_i}{n} = \frac{1891}{25} = 75.64$
મધ્યસ્થ: અવલોકનોને ચડતા ક્રમમાં ગોઠવતા:
$54, 65, 67, 68, 68, 69, 70, 71, 73, 73, 75, 76, 77, 77, 78, 78, 80, 81, 81, 83, 85, 85, 85, 85, 87$
અહીં $n = 25$ (એકી સંખ્યા) હોવાથી,મધ્યસ્થ $= \left(\frac{n+1}{2}\right)^{th}$ પદ.
$\text{મધ્યસ્થ} = \left(\frac{25+1}{2}\right)^{th} = 13^{th}$ પદ.
ક્રમબદ્ધ શ્રેણીમાં $13^{th}$ પદ $77$ છે.
બહુલક: જે અવલોકન સૌથી વધુ વખત પુનરાવર્તિત થાય છે તે બહુલક છે.
$85$ એ $4$ વખત આવે છે,જે સૌથી વધુ આવૃત્તિ છે.
$\text{બહુલક} = 85$.
અંતિમ જવાબ: $\text{મધ્યક} = 75.64, \text{મધ્યસ્થ} = 77, \text{બહુલક} = 85$.

(N/A) પ્રાથમિક માહિતી એટલે એવી માહિતી જે તપાસકર્તાએ પોતે કોઈ ચોક્કસ હેતુ માટે એકત્રિત કરી હોય. રોજિંદા જીવનમાંથી પ્રાથમિક માહિતીના પાંચ ઉદાહરણો નીચે મુજબ છે:
$1$. તમારા વર્ગમાં ચશ્મા પહેરતા વિદ્યાર્થીઓની સંખ્યા.
$2$. તમારા પડોશના ઘરોમાં રહેતા સભ્યોની સંખ્યા.
$3$. તમે એક અઠવાડિયા દરમિયાન દરરોજ અભ્યાસ પાછળ વિતાવેલા કલાકોની સંખ્યા.
$4$. કોઈ ચોક્કસ કલાક દરમિયાન તમારા રસ્તા પરથી પસાર થતા વાહનોની સંખ્યા.
$5$. તમારી મનપસંદ ફૂટબોલ ટીમે તેમની છેલ્લી $5$ મેચોમાં કરેલા ગોલની સંખ્યા.

(N/A) ગૌણ માહિતી એટલે એવી માહિતી જે અગાઉ કોઈ અન્ય વ્યક્તિ દ્વારા કોઈ અલગ હેતુ માટે એકત્રિત કરવામાં આવી હોય અને હવે તમે તેનો ઉપયોગ કરી રહ્યા હોવ. રોજિંદા જીવનમાંથી ગૌણ માહિતીના પાંચ ઉદાહરણો નીચે મુજબ છે:
$1$. વસ્તી ગણતરીની વેબસાઇટ પરથી મેળવેલ તમારા શહેરની વસ્તી અંગેનો ડેટા.
$2$. સ્પોર્ટ્સ વેબસાઇટ પરથી મેળવેલ ખેલાડીઓના ક્રિકેટ આંકડા (જેમ કે બેટિંગ એવરેજ,સ્ટ્રાઇક રેટ).
$3$. સમાચારપત્ર અથવા હવામાન એપ્લિકેશનમાંથી મેળવેલ છેલ્લા એક અઠવાડિયાના હવામાનના અહેવાલો અને તાપમાનના રેકોર્ડ્સ.
$4$. પેકેજ્ડ ફૂડ આઇટમ્સના લેબલ પર છાપેલી પોષણ સંબંધી માહિતી (જેમ કે કેલરી,ચરબીનું પ્રમાણ).
$5$. નાણાકીય સમાચાર ચેનલ અથવા વેબસાઇટ પરથી મેળવેલ શેરબજારના ભાવ અથવા ચલણના વિનિમય દરો.

માહિતીને આવૃત્તિ વિતરણ કોષ્ટકમાં દર્શાવવા માટે,આપણે દરેક ગુણ કેટલી વાર આવે છે તેની ગણતરી કરીએ છીએ.

ગુણ	વિદ્યાર્થીઓની સંખ્યા
$10$	$1$
$16$	$2$
$20$	$4$
$22$	$4$
$27$	$3$
$31$	$3$
$35$	$3$
$37$	$3$
$40$	$3$
$42$	$2$
$47$	$2$
કુલ	$30$

(N/A) આ માહિતીને વર્ગીકૃત આવૃત્તિ વિતરણ કોષ્ટકમાં દર્શાવવા માટે,આપણે દરેક વર્ગ અંતરાલમાં આવતા વિદ્યાર્થીઓની સંખ્યા ગણીએ છીએ. નોંધો કે $0-10$ જેવા અંતરાલ માટે,$10$ ની કિંમત પછીના અંતરાલ $10-20$ માં ગણવામાં આવે છે.

ગુણ (વર્ગ અંતરાલ)	વિદ્યાર્થીઓની સંખ્યા (આવૃત્તિ)
$0-10$	$2$
$10-20$	$5$
$20-30$	$6$
$30-40$	$5$
$40-50$	$4$
$50-60$	$7$
$60-70$	$8$
$70-80$	$5$
$80-90$	$5$
$90-100$	$3$
કુલ	$50$

(N/A) આપેલ માહિતીને વર્ગીકૃત આવૃત્તિ વિતરણ કોષ્ટકમાં દર્શાવવા માટે,આપણે દરેક વર્ગ અંતરાલમાં આવતા અવલોકનોની સંખ્યા ગણીએ છીએ. નોંધો કે વર્ગની ઉર્ધ્વ સીમા તે વર્ગમાં ગણવામાં આવતી નથી (દા.ત.,$18-22$ માં $18$ થી $21$ સુધીની કિંમતોનો સમાવેશ થાય છે).
$1$. $18-22$ માટે: $20, 21, 20, 20, 20$ (કુલ: $5$)
$2$. $22-26$ માટે: $22, 24, 25, 24, 25, 25$ (કુલ: $6$)
$3$. $26-30$ માટે: $27, 28, 27, 27, 29, 29, 28, 28, 27$ (કુલ: $9$)
$4$. $30-34$ માટે: $30, 30, 30, 32, 31$ (કુલ: $5$)
$5$. $34-38$ માટે: $37, 36, 36, 34, 35$ (કુલ: $5$)

પુસ્તકોની સંખ્યા (વર્ગ)	કબાટોની સંખ્યા (આવૃત્તિ)
$18-22$	$5$
$22-26$	$6$
$26-30$	$9$
$30-34$	$5$
$34-38$	$5$

(N/A) વર્ગીકૃત આવૃત્તિ વિતરણ કોષ્ટક બનાવવા માટે,આપણે દરેક વર્ગ અંતરાલમાં આવતા વિદ્યાર્થીઓની સંખ્યા ગણીએ છીએ. નોંધો કે દરેક વર્ગની ઉપલી સીમાને બાકાત રાખવામાં આવે છે (દા.ત.,$5$ ને $5-10$ માં ગણવામાં આવે છે,$0-5$ માં નહીં).
$1$. $0-5$: $1, 2, 2, 3, 3$ (આવૃત્તિ: $5$)
$2$. $5-10$: $5, 5, 5, 6, 6, 7, 7, 7, 8, 8, 9$ (આવૃત્તિ: $11$)
$3$. $10-15$: $10, 12, 12, 12, 13, 13, 13$ (આવૃત્તિ: $7$)
$4$. $15-20$: $15, 16, 16, 16, 16, 17, 18, 18, 18$ (આવૃત્તિ: $9$)
$5$. $20-25$: $20, 20, 21, 21, 23, 23, 23, 24$ (આવૃત્તિ: $8$)
કુલ આવૃત્તિ: $5 + 11 + 7 + 9 + 8 = 40$.

ગુણ (વર્ગ અંતરાલ)	વિદ્યાર્થીઓની સંખ્યા (આવૃત્તિ)
$0-5$	$5$
$5-10$	$11$
$10-15$	$7$
$15-20$	$9$
$20-25$	$8$

(A) આવૃત્તિ વિતરણ કોષ્ટક તૈયાર કરવા માટે,આપણે છાપની દરેક શક્ય સંખ્યા $(0, 1, 2, 3)$ કેટલી વાર આવે છે તેની ગણતરી કરીશું:
- $0$ છાપ: $6$ વખત આવે છે.
- $1$ છાપ: $10$ વખત આવે છે.
- $2$ છાપ: $9$ વખત આવે છે.
- $3$ છાપ: $5$ વખત આવે છે.
કુલ સંખ્યા = $6 + 10 + 9 + 5 = 30$.

છાપની સંખ્યા	આવૃત્તિ (સિક્કા ઉછાળવાની સંખ્યા)
$0$	$6$
$1$	$10$
$2$	$9$
$3$	$5$
કુલ	$30$

વર્ગીકૃત આવૃત્તિ વિતરણ તૈયાર કરવા માટે,આપણે દરેક વર્ગ અંતરાલ માટે આવૃત્તિની ગણતરી કરીએ છીએ,જેમાં ઉચ્ચ શ્રેણીના વિદ્યાર્થીઓની સંખ્યાને નીચી શ્રેણીમાંથી બાદ કરવામાં આવે છે.
$1$. $0-20$ માટે: $50 - 48 = 2$
$2$. $20-40$ માટે: $48 - 40 = 8$
$3$. $40-60$ માટે: $40 - 31 = 9$
$4$. $60-80$ માટે: $31 - 10 = 21$
$5$. $80-100$ માટે: કારણ કે $10$ વિદ્યાર્થીઓએ $80$ કે તેથી વધુ ગુણ મેળવ્યા છે,તેથી $80-100$ માટે આવૃત્તિ $10$ છે.

મેળવેલા ગુણ (વર્ગ)	$0-20$	$20-40$	$40-60$	$60-80$	$80-100$
વિદ્યાર્થીઓની સંખ્યા (આવૃત્તિ)	$2$	$8$	$9$	$21$	$10$

(N/A) આપેલ માહિતીને સ્તંભ આલેખ દ્વારા દર્શાવવા માટે,નીચેના પગલાં અનુસરો:
$1$. બે પરસ્પર લંબ અક્ષો દોરો,$X$-અક્ષ (આડી) અને $Y$-અક્ષ (ઊભી).
$2$. $X$-અક્ષ પર,'માળ' ના નંબર $(1, 2, 3, 4, 5, 6)$ સમાન અંતરે દર્શાવો.
$3$. $Y$-અક્ષ પર,'કર્મચારીઓની સંખ્યા' દર્શાવો. યોગ્ય પ્રમાણમાપ પસંદ કરો,ઉદાહરણ તરીકે,$1 \text{ સેમી} = 5 \text{ કર્મચારીઓ}$.
$4$. દરેક માળ માટે સમાન પહોળાઈના સ્તંભો દોરો,જેની ઊંચાઈ કોષ્ટકમાં આપેલ કર્મચારીઓની સંખ્યાને અનુરૂપ હોય.
- માળ $1$ માટે,$51$ એકમ ઊંચાઈનો સ્તંભ દોરો.
- માળ $2$ માટે,$48$ એકમ ઊંચાઈનો સ્તંભ દોરો.
- માળ $3$ માટે,$42$ એકમ ઊંચાઈનો સ્તંભ દોરો.
- માળ $4$ માટે,$44$ એકમ ઊંચાઈનો સ્તંભ દોરો.
- માળ $5$ માટે,$48$ એકમ ઊંચાઈનો સ્તંભ દોરો.
- માળ $6$ માટે,$32$ એકમ ઊંચાઈનો સ્તંભ દોરો.

(N/A) આપેલ માહિતીને સ્તંભાલેખ દ્વારા દર્શાવવા માટે નીચેના પગલાં અનુસરો:
$1$. બે પરસ્પર લંબ અક્ષો,$X$-અક્ષ અને $Y$-અક્ષ દોરો.
$2$. $X$-અક્ષ પર 'મેળવેલા ગુણ' ને યોગ્ય પ્રમાણમાપ સાથે દર્શાવો (દા.ત.,$1$ સેમી = $10$ એકમ).
$3$. $Y$-અક્ષ પર 'વિદ્યાર્થીઓની સંખ્યા' ને યોગ્ય પ્રમાણમાપ સાથે દર્શાવો (દા.ત.,$1$ સેમી = $1$ એકમ).
$4$. દરેક વર્ગ અંતરાલ માટે લંબચોરસ સ્તંભો બનાવો,જેથી સ્તંભની પહોળાઈ વર્ગ લંબાઈ જેટલી હોય અને ઊંચાઈ તે વર્ગની આવૃત્તિના પ્રમાણમાં હોય.
$5$. વર્ગ અંતરાલો સતત હોવાથી,સ્તંભો એકબીજાને અડીને આવશે.
પરિણામી સ્તંભાલેખ આપેલ આલેખમાં દર્શાવ્યા મુજબ વિવિધ ગુણ શ્રેણીઓમાં વિદ્યાર્થીઓનું વિતરણ દર્શાવે છે.

અહીં,વર્ગ લંબાઈ અસમાન છે. તેથી,આપણે પહેલા દરેક વર્ગ માટે સમાયોજિત આવૃત્તિ (adjusted frequency) ગણવી પડશે. ન્યૂનતમ વર્ગ લંબાઈ $5 - 0 = 5$ છે. સમાયોજિત આવૃત્તિ નીચેના સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને ગણવામાં આવે છે:
$\text{વર્ગની સમાયોજિત આવૃત્તિ} = \frac{\text{વર્ગની આવૃત્તિ}}{\text{વર્ગ લંબાઈ}} \times \text{ન્યૂનતમ વર્ગ લંબાઈ}$
સમાયોજિત આવૃત્તિ નીચેના કોષ્ટકમાં ગણવામાં આવી છે:

વર્ગ	આવૃત્તિ	વર્ગ લંબાઈ	સમાયોજિત આવૃત્તિ (લંબચોરસની ઊંચાઈ)
$0-5$	$5$	$5$	$(5/5) \times 5 = 5$
$5-10$	$7$	$5$	$(7/5) \times 5 = 7$
$10-20$	$12$	$10$	$(12/10) \times 5 = 6$
$20-30$	$16$	$10$	$(16/10) \times 5 = 8$
$30-50$	$24$	$20$	$(24/20) \times 5 = 6$
$50-70$	$16$	$20$	$(16/20) \times 5 = 4$

આ સમાયોજિત આવૃત્તિઓનો ઉપયોગ કરીને,આપણે સ્તંભાલેખ દોરીએ છીએ જ્યાં $x$-અક્ષ પર વર્ગ અંતરાલ અને $y$-અક્ષ પર સમાયોજિત આવૃત્તિઓ (લંબચોરસની ઊંચાઈ) દર્શાવવામાં આવે છે.

(N/A) આવૃત્તિ બહુકોણ દોરવા માટે,આપણે પ્રથમ દરેક વર્ગ અંતરાલ માટે વર્ગ-ચિહ્નો (મધ્યકિંમત) ની ગણતરી કરીએ છીએ.

વર્ગ	મધ્યકિંમત	આવૃત્તિ
$10-20$	$15$	$1$
$20-30$	$25$	$4$
$30-40$	$35$	$5$
$40-50$	$45$	$10$
$50-60$	$55$	$5$
$60-70$	$65$	$4$
$70-80$	$75$	$1$

બહુકોણને બંધ કરવા માટે,આપણે બે કાલ્પનિક વર્ગોનો સમાવેશ કરીએ છીએ: $0-10$ જેની મધ્યકિંમત $5$ અને આવૃત્તિ $0$ છે,અને $80-90$ જેની મધ્યકિંમત $85$ અને આવૃત્તિ $0$ છે. આ બિંદુઓ $(5, 0), (15, 1), (25, 4), (35, 5), (45, 10), (55, 5), (65, 4), (75, 1), (85, 0)$ ને આલેખ પર દર્શાવો અને તેમને રેખાખંડો દ્વારા જોડો.

(N/A) આપેલ ડેટાને સ્તંભ આલેખ દ્વારા દર્શાવવા માટે નીચેના પગલાં અનુસરો:
$1$. બે પરસ્પર લંબ અક્ષો દોરો: આડી અક્ષ ($x$-અક્ષ) અને ઊભી અક્ષ ($y$-અક્ષ).
$2$. $x$-અક્ષ પર,વિદ્યાર્થીઓના નામ (કાવ્યા,અરિવ,અહાન,આર્યા,આરુષિ) સમાન અંતરે અંકિત કરો.
$3$. $y$-અક્ષ પર,મેળવેલ ગુણ દર્શાવવા માટે યોગ્ય પ્રમાણમાપ પસંદ કરો. ઉદાહરણ તરીકે,$1 \text{ એકમ} = 10 \text{ ગુણ}$.
$4$. દરેક વિદ્યાર્થી માટે સમાન પહોળાઈના સ્તંભો દોરો,જેની ઊંચાઈ તેમના મેળવેલ ગુણ જેટલી હોય:
- કાવ્યા: $90$
- અરિવ: $80$
- અહાન: $50$
- આર્યા: $60$
- આરુષિ: $40$
$5$. સ્તંભો વચ્ચે સમાન અંતર રાખવાની ખાતરી કરો.

(N/A) આપેલા ડેટાને સ્તંભ આલેખ દ્વારા દર્શાવવા માટે,નીચેના પગલાં અનુસરો:
$1$. આલેખ પેપર પર બે પરસ્પર લંબ અક્ષો દોરો: એક આડી અક્ષ ($X$-અક્ષ) અને એક ઊભી અક્ષ ($Y$-અક્ષ).
$2$. $X$-અક્ષ પર,'સ્કોર' ની કિંમતો $(1, 2, 3, 4, 5, 6)$ સમાન અંતરે દર્શાવો.
$3$. $Y$-અક્ષ પર,'આવૃત્તિ' દર્શાવવા માટે યોગ્ય પ્રમાણમાપ પસંદ કરો. ઉદાહરણ તરીકે,$1 \text{ એકમ} = 2 \text{ આવૃત્તિ એકમો}$.
$4$. દરેક સ્કોર માટે સમાન પહોળાઈના લંબચોરસ સ્તંભો દોરો,જ્યાં સ્તંભની ઊંચાઈ તેની સંબંધિત આવૃત્તિને અનુરૂપ હોય:
- સ્કોર $1$ માટે,$15$ ઊંચાઈનો સ્તંભ દોરો.
- સ્કોર $2$ માટે,$13$ ઊંચાઈનો સ્તંભ દોરો.
- સ્કોર $3$ માટે,$20$ ઊંચાઈનો સ્તંભ દોરો.
- સ્કોર $4$ માટે,$17$ ઊંચાઈનો સ્તંભ દોરો.
- સ્કોર $5$ માટે,$20$ ઊંચાઈનો સ્તંભ દોરો.
- સ્કોર $6$ માટે,$15$ ઊંચાઈનો સ્તંભ દોરો.
$5$. ખાતરી કરો કે સ્તંભો વચ્ચે સમાન અંતર જળવાયેલું રહે.

(N/A) આપેલી આવૃત્તિ વિતરણ માટે સ્તંભ આલેખ દોરવા માટે નીચેના પગલાં અનુસરો:
$1$. આલેખપત્ર પર બે પરસ્પર લંબ અક્ષો દોરો. આડી ધરી ($x$-અક્ષ) ને 'વર્ગ' અને ઊભી ધરી ($y$-અક્ષ) ને 'આવૃત્તિ' તરીકે દર્શાવો.
$2$. $x$-અક્ષ પર વર્ગ અંતરાલોને સમાન અંતરે $(0, 6, 12, 18, 24, 30, 36)$ અંકિત કરો.
$3$. $y$-અક્ષ માટે યોગ્ય પ્રમાણમાપ પસંદ કરો (દા.ત.,$1 \text{ cm} = 2 \text{ એકમ}$).
$4$. દરેક વર્ગ અંતરાલ માટે,એક લંબચોરસ દોરો જેની પહોળાઈ વર્ગ લંબાઈ $(6)$ જેટલી હોય અને ઊંચાઈ તેની અનુરૂપ આવૃત્તિ જેટલી હોય.
- વર્ગ $0-6$ માટે,ઊંચાઈ $7$ છે.
- વર્ગ $6-12$ માટે,ઊંચાઈ $10$ છે.
- વર્ગ $12-18$ માટે,ઊંચાઈ $12$ છે.
- વર્ગ $18-24$ માટે,ઊંચાઈ $15$ છે.
- વર્ગ $24-30$ માટે,ઊંચાઈ $10$ છે.
- વર્ગ $30-36$ માટે,ઊંચાઈ $6$ છે.
$5$. વર્ગ અંતરાલો સતત હોવાથી,લંબચોરસ એકબીજાને અડીને આવશે,જે સ્તંભ આલેખ બનાવશે.

(N/A) આપેલી આવૃત્તિ વિતરણ માટે સ્તંભ આલેખ દોરવા માટે નીચેના પગલાં અનુસરો:
$1$. આલેખપત્ર પર બે પરસ્પર લંબ અક્ષો દોરો: આડી ધરી ($X$-અક્ષ) અને ઊભી ધરી ($Y$-અક્ષ).
$2$. $X$-અક્ષ પર,વર્ગ અંતરાલ $(0-10, 10-20, 20-30, 30-40, 40-50, 50-60)$ દર્શાવો. યોગ્ય માપદંડ પસંદ કરો,દા.ત.,$1 \text{ cm} = 10 \text{ એકમ}$.
$3$. $Y$-અક્ષ પર,આવૃત્તિઓ $(5, 7, 12, 9, 13, 5)$ દર્શાવો. યોગ્ય માપદંડ પસંદ કરો,દા.ત.,$1 \text{ cm} = 2 \text{ એકમ}$.
$4$. દરેક વર્ગ અંતરાલ માટે લંબચોરસ સ્તંભો બનાવો જેથી સ્તંભની પહોળાઈ વર્ગની લંબાઈ જેટલી હોય અને ઊંચાઈ આવૃત્તિના પ્રમાણમાં હોય.
$5$. વર્ગ અંતરાલ સતત હોવાથી,સ્તંભો એકબીજાને અડીને હશે અને તેમની વચ્ચે કોઈ જગ્યા રહેશે નહીં.

(N/A) અસમાન વર્ગ લંબાઈ ધરાવતા આવૃત્તિ વિતરણ માટે સ્તંભાલેખ દોરવા માટે,આપણે દરેક વર્ગ માટે સમાયોજિત આવૃત્તિ (લંબચોરસની ઊંચાઈ) ગણવી પડશે.
$1$. સમાયોજિત આવૃત્તિનું સૂત્ર છે: $\text{સમાયોજિત આવૃત્તિ} = \frac{\text{ન્યૂનતમ વર્ગ લંબાઈ}}{\text{વર્ગ લંબાઈ}} \times \text{આવૃત્તિ}$.
$2$. ન્યૂનતમ વર્ગ લંબાઈ $10$ છે ($0-10$ અને $10-20$ માંથી).
ગણતરીનું કોષ્ટક:

વર્ગ	આવૃત્તિ	વર્ગ લંબાઈ	સમાયોજિત આવૃત્તિ
$0-10$	$15$	$10$	$(10/10) \times 15 = 15$
$10-20$	$13$	$10$	$(10/10) \times 13 = 13$
$20-40$	$28$	$20$	$(10/20) \times 28 = 14$
$40-70$	$36$	$30$	$(10/30) \times 36 = 12$
$70-100$	$27$	$30$	$(10/30) \times 27 = 9$

અંતે,સ્તંભાલેખ દોરવા માટે $x$-અક્ષ પર વર્ગ અંતરાલ અને $y$-અક્ષ પર સમાયોજિત આવૃત્તિઓ દર્શાવો.

(N/A) અસમાન વર્ગ લંબાઈવાળા સ્તંભાલેખ માટે,લંબચોરસની ઊંચાઈ આવૃત્તિ ઘનતાના પ્રમાણમાં હોવી જોઈએ,માત્ર આવૃત્તિના નહીં.
$1$. દરેક વર્ગ માટે વર્ગ લંબાઈ $(w)$ શોધો.
$2$. આવૃત્તિ ઘનતા = $\frac{\text{આવૃત્તિ}}{\text{વર્ગ લંબાઈ}}$ ગણો.
| વર્ગ | આવૃત્તિ $(f)$ | લંબાઈ $(w)$ | આવૃત્તિ ઘનતા $(f/w)$ |
| :--- | :--- | :--- | :--- |
| $0-5$ | $6$ | $5$ | $1.2$ |
| $5-10$ | $8$ | $5$ | $1.6$ |
| $10-20$ | $14$ | $10$ | $1.4$ |
| $20-30$ | $16$ | $10$ | $1.6$ |
| $30-50$ | $24$ | $20$ | $1.2$ |
| $50-70$ | $20$ | $20$ | $1.0$ |
| $70-100$ | $30$ | $30$ | $1.0$ |
$3$. $x$-અક્ષ પર વર્ગ અંતરાલ અને $y$-અક્ષ પર આવૃત્તિ ઘનતા લઈને સ્તંભાલેખ દોરો.

(N/A) આવૃત્તિ બહુકોણ દોરવા માટે નીચેના પગલાં અનુસરો:
$1$. દરેક વર્ગ અંતરાલ માટે વર્ગ ચિહ્ન (મધ્ય કિંમત) શોધો: $\text{વર્ગ ચિહ્ન} = \frac{\text{અધઃસીમા} + \text{ઉર્ધ્વસીમા}}{2}$.
$2$. વર્ગ ચિહ્નોની ગણતરી કરો:
- $20-30$ માટે: $\frac{20+30}{2} = 25$
- $30-40$ માટે: $\frac{30+40}{2} = 35$
- $40-50$ માટે: $\frac{40+50}{2} = 45$
- $50-60$ માટે: $\frac{50+60}{2} = 55$
- $60-70$ માટે: $\frac{60+70}{2} = 65$
- $70-80$ માટે: $\frac{70+80}{2} = 75$
$3$. બહુકોણને બંધ કરવા માટે,$0$ આવૃત્તિ ધરાવતા બે વધારાના વર્ગો ઉમેરો: $10-20$ (મધ્ય કિંમત $15$) અને $80-90$ (મધ્ય કિંમત $85$).
$4$. આલેખપત્ર પર બિંદુઓ $(15, 0), (25, 5), (35, 7), (45, 12), (55, 7), (65, 10), (75, 9), (85, 0)$ અંકિત કરો,જ્યાં $x$-અક્ષ પર વર્ગ ચિહ્નો અને $y$-અક્ષ પર આવૃત્તિ દર્શાવેલ છે.
$5$. આ બિંદુઓને સીધી રેખાખંડો દ્વારા જોડીને આવૃત્તિ બહુકોણ તૈયાર કરો.

(N/A) આવૃત્તિ બહુકોણ દોરવા માટે નીચેના પગલાં અનુસરો:
$1$. દરેક વર્ગ અંતરાલ માટે વર્ગ ચિહ્ન (મધ્ય કિંમત) શોધો: $\text{વર્ગ ચિહ્ન} = \frac{\text{અધઃસીમા} + \text{ઉર્ધ્વસીમા}}{2}$.
- $0-10$ માટે: $\frac{0+10}{2} = 5$
- $10-20$ માટે: $\frac{10+20}{2} = 15$
- $20-30$ માટે: $\frac{20+30}{2} = 25$
- $30-40$ માટે: $\frac{30+40}{2} = 35$
- $40-50$ માટે: $\frac{40+50}{2} = 45$
$2$. (વર્ગ ચિહ્ન, આવૃત્તિ) ના યામોનું કોષ્ટક બનાવો: $(5, 6), (15, 4), (25, 10), (35, 12), (45, 5)$.
$3$. બહુકોણને બંધ કરવા માટે, $0$ આવૃત્તિ ધરાવતા બે વધારાના વર્ગો ઉમેરો: પ્રથમ વર્ગની પહેલા $(-10-0)$ જેનું વર્ગ ચિહ્ન $-5$ છે અને છેલ્લા વર્ગ પછી $(50-60)$ જેનું વર્ગ ચિહ્ન $55$ છે.
$4$. આ બિંદુઓને આલેખપત્ર પર દર્શાવો જ્યાં $x$-અક્ષ પર વર્ગ ચિહ્નો અને $y$-અક્ષ પર આવૃત્તિઓ લેવામાં આવે છે.
$5$. આ બિંદુઓને સીધી રેખાઓ દ્વારા જોડીને આવૃત્તિ બહુકોણ પૂર્ણ કરો.

(B) મધ્યક $\bar{x}$ શોધવા માટેનું સૂત્ર $\bar{x} = \frac{\sum x_i}{n}$ છે,જ્યાં $n$ એ કુલ અવલોકનોની સંખ્યા છે.
અહીં,અવલોકનોની કુલ સંખ્યા $n = 10$ છે.
અવલોકનોનો સરવાળો $15 + 22 + 18 + 27 + 31 + 21 + 14 + 36 + 25 + 34 = 243$ થાય છે.
તેથી,મધ્યક $\bar{x} = \frac{243}{10} = 24.3$ મળે છે.

(C) મધ્યક શોધવા માટે,આપણે સૂત્ર $\bar{x} = \frac{\sum f_{i} x_{i}}{\sum f_{i}}$ નો ઉપયોગ કરીએ છીએ.
પ્રથમ,દરેક અવલોકન માટે ગુણાકાર $f_{i} x_{i}$ ગણો:

ગુણ $(x_{i})$	વિદ્યાર્થીઓ $(f_{i})$	$f_{i} x_{i}$
$15$	$2$	$30$
$22$	$3$	$66$
$28$	$5$	$140$
$31$	$6$	$186$
$35$	$6$	$210$
$40$	$4$	$160$
$44$	$3$	$132$
$46$	$1$	$46$
કુલ	$30$	$970$

$f_{i}$ નો સરવાળો = $30$.
$f_{i} x_{i}$ નો સરવાળો = $30 + 66 + 140 + 186 + 210 + 160 + 132 + 46 = 970$.
મધ્યક $\bar{x} = \frac{970}{30} = 32.33$.

(D) મધ્યસ્થ શોધવા માટે,સૌ પ્રથમ અવલોકનોને ચડતા ક્રમમાં ગોઠવો:
$35, 36, 37, 37, 39, 40, 40, 40, 41, 42, 42$
અહીં,અવલોકનોની કુલ સંખ્યા $n = 11$ છે,જે એકી સંખ્યા છે.
જ્યારે $n$ એકી સંખ્યા હોય ત્યારે મધ્યસ્થ શોધવાનું સૂત્ર $\left(\frac{n+1}{2}\right)$-મું અવલોકન છે.
મધ્યસ્થ $= \left(\frac{11+1}{2}\right)$-મું અવલોકન
$= \left(\frac{12}{2}\right)$-મું અવલોકન
$= 6$-ઠ્ઠું અવલોકન.
ક્રમબદ્ધ યાદીમાં $6$-ઠ્ઠું અવલોકન ગણતા: $35(1), 36(2), 37(3), 37(4), 39(5), 40(6)$.
આમ,માહિતીનો મધ્યસ્થ $40 \ kg$ છે.

(A) અવલોકનોને ચડતા ક્રમમાં ગોઠવતા,આપણને મળે છે:
$62, 63, 67, 71, 75, 77, 82, 91$
અહીં,અવલોકનોની કુલ સંખ્યા $n = 8$ છે,જે એક બેકી સંખ્યા છે.
તેથી,મધ્યસ્થ $M$ એ $\left(\frac{n}{2}\right)$ માં અને $\left(\frac{n}{2} + 1\right)$ માં અવલોકનોની સરેરાશ છે.
$M = \frac{\left(\frac{8}{2}\right) \text{ મું અવલોકન} + \left(\frac{8}{2} + 1\right) \text{ મું અવલોકન}}{2}$
$M = \frac{4 \text{ થું અવલોકન} + 5 \text{ થું અવલોકન}}{2}$
ક્રમબદ્ધ યાદીમાંથી,$4$ થું અવલોકન $71$ છે અને $5$ થું અવલોકન $75$ છે.
$M = \frac{71 + 75}{2} = \frac{146}{2} = 73$
આમ,આપેલ માહિતીનો મધ્યસ્થ $73$ છે.

(A) બહુલક એટલે માહિતીમાં સૌથી વધુ વખત પુનરાવર્તન પામતું અવલોકન.
આપેલ માહિતીનું અવલોકન કરતા: $14, 25, 28, 29, 17, 14, 19, 22, 14, 30, 16, 28, 14, 25$.
દરેક અવલોકનની આવૃત્તિ તપાસતા:
$14$ એ $4$ વખત આવે છે.
$25$ એ $2$ વખત આવે છે.
$28$ એ $2$ વખત આવે છે.
$29, 17, 19, 22, 30, 16$ દરેક $1$ વખત આવે છે.
અહીં $14$ ની આવૃત્તિ સૌથી વધુ હોવાથી,માહિતીનો બહુલક $14$ છે.

(A) પગલું $1$: મધ્યક શોધવા માટે,બધા અવલોકનોનો સરવાળો કરો અને તેને કુલ સંખ્યા વડે ભાગો.
સરવાળો $= 48 + 41 + 36 + 35 + 41 + 37 + 39 + 52 + 41 + 48 = 418$.
અવલોકનોની કુલ સંખ્યા $n = 10$.
મધ્યક $= \frac{418}{10} = 41.8$.
પગલું $2$: મધ્યસ્થ શોધવા માટે,માહિતીને ચડતા ક્રમમાં ગોઠવો:
$35, 36, 37, 39, 41, 41, 41, 48, 48, 52$.
અહીં $n = 10$ (બેકી સંખ્યા) હોવાથી,મધ્યસ્થ એ $5$મા અને $6$મા પદની સરેરાશ છે.
મધ્યસ્થ $= \frac{41 + 41}{2} = 41$.
પગલું $3$: બહુલક શોધવા માટે,સૌથી વધુ વખત આવતું અવલોકન શોધો.
અહીં $41$ એ $3$ વખત આવે છે,જે અન્ય કોઈપણ કિંમત કરતા વધારે છે.
બહુલક $= 41$.

(N/A) $1$. મધ્યક: મધ્યક એટલે તમામ અવલોકનોનો સરવાળો ભાગ્યા કુલ અવલોકનોની સંખ્યા.
સરવાળો $= 159 + 148 + 138 + 150 + 165 + 166 + 145 + 152 + 155 + 160 + 147 + 151 = 1836$.
મધ્યક $= 1836 / 12 = 153 \ cm$.
$2$. મધ્યસ્થ: સૌ પ્રથમ,ડેટાને ચડતા ક્રમમાં ગોઠવો:
$138, 145, 147, 148, 150, 151, 152, 155, 159, 160, 165, 166$.
અવલોકનોની સંખ્યા $(n = 12)$ બેકી હોવાથી,મધ્યસ્થ એ $6$ઠ્ઠા અને $7$મા પદની સરેરાશ છે.
મધ્યસ્થ $= (151 + 152) / 2 = 303 / 2 = 151.5 \ cm$.
$3$. બહુલક: બહુલક એટલે જે કિંમત સૌથી વધુ વખત આવતી હોય તે. આ ડેટામાં,દરેક કિંમત માત્ર એક જ વાર આવે છે,તેથી કોઈ બહુલક નથી.

(D) આવૃત્તિ વિતરણનો મધ્યક $(\bar{x})$ શોધવા માટે,આપણે સૂત્રનો ઉપયોગ કરીએ છીએ: $(\bar{x})= \frac{\sum f_i x_i}{\sum f_i}$.
પગલું $1$: આવૃત્તિઓનો સરવાળો $(sum f_i)$ શોધો:
$sum f_i = 5 + 9 + 12 + 17 + 14 + 10 + 6 = 73$.
પગલું $2$: સ્કોર અને આવૃત્તિના ગુણાકારનો સરવાળો $(sum f_i x_i)$ શોધો:
$f_1 x_1 = 1 \times 5 = 5$
$f_2 x_2 = 2 \times 9 = 18$
$f_3 x_3 = 3 \times 12 = 36$
$f_4 x_4 = 4 \times 17 = 68$
$f_5 x_5 = 5 \times 14 = 70$
$f_6 x_6 = 6 \times 10 = 60$
$f_7 x_7 = 7 \times 6 = 42$
$sum f_i x_i = 5 + 18 + 36 + 68 + 70 + 60 + 42 = 299$.
પગલું $3$: મધ્યક શોધો:
$(\bar{x})= \frac{299}{73} \approx 4.0958... \approx 4.10$.

(N/A) $1$. મધ્યક શોધવા માટે,બધા અવલોકનોનો સરવાળો કરો અને તેને કુલ સંખ્યા વડે ભાગો:
સરવાળો $= 33 + 92 + 55 + 90 + 35 + 77 + 58 + 41 + 80 + 64 + 46 = 671$
અવલોકનોની કુલ સંખ્યા $(n) = 11$
મધ્યક $= \frac{671}{11} = 61$
$2$. મધ્યસ્થ શોધવા માટે,માહિતીને ચડતા ક્રમમાં ગોઠવો:
$33, 35, 41, 46, 55, 58, 64, 77, 80, 90, 92$
અહીં $n = 11$ (એકી સંખ્યા) હોવાથી,મધ્યસ્થ $\frac{n+1}{2}$-માં ક્રમનું અવલોકન થશે:
મધ્યસ્થ $= \frac{11+1}{2} = 6$-ઠ્ઠું અવલોકન $= 58$
$3$. બહુલક શોધવા માટે,સૌથી વધુ વખત આવતું અવલોકન શોધો:
અહીં દરેક અવલોકન માત્ર એક જ વાર આવે છે,તેથી આ માહિતીનો કોઈ બહુલક નથી.

(A) પગલું $1$: મધ્યક શોધવા માટે, બધા અવલોકનોનો સરવાળો કરો અને તેને કુલ અવલોકનોની સંખ્યા વડે ભાગો.
સરવાળો $= 72 + 15 + 28 + 31 + 32 + 51 + 44 + 43 + 62 = 378$.
કુલ અવલોકનોની સંખ્યા $(n) = 9$.
મધ્યક $= \frac{378}{9} = 42$.
પગલું $2$: મધ્યસ્થ શોધવા માટે, અવલોકનોને ચડતા ક્રમમાં ગોઠવો.
ક્રમબદ્ધ માહિતી: $15, 28, 31, 32, 43, 44, 51, 62, 72$.
અહીં $n = 9$ (જે એકી સંખ્યા છે), તેથી મધ્યસ્થ એ $\frac{n+1}{2}$-માં ક્રમનું અવલોકન છે.
મધ્યસ્થ $= \frac{9+1}{2} = 5\text{-મો ક્રમ}$.
ક્રમબદ્ધ યાદીમાં $5\text{-મું}$ મૂલ્ય $43$ છે.
તેથી, મધ્યક $= 42$ અને મધ્યસ્થ $= 43$.

(C) ધારો કે $10$ અવલોકનો $x_1, x_2, ..., x_{10}$ છે.
આ અવલોકનોનો મધ્યક $\bar{x} = \frac{\sum_{i=1}^{10} x_i}{10} = 48$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
તેથી,અવલોકનોનો સરવાળો $\sum_{i=1}^{10} x_i = 48 \times 10 = 480$ થાય.
જો દરેક અવલોકનને $3$ વડે ભાગવામાં આવે,તો નવા અવલોકનો $\frac{x_1}{3}, \frac{x_2}{3}, ..., \frac{x_{10}}{3}$ થશે.
નવો મધ્યક $\bar{x}' = \frac{\sum_{i=1}^{10} (x_i / 3)}{10}$ દ્વારા મળે છે.
$\bar{x}' = \frac{1}{3} \times \left( \frac{\sum_{i=1}^{10} x_i}{10} \right)$.
મૂળ મધ્યકની કિંમત મૂકતા,આપણને $\bar{x}' = \frac{1}{3} \times 48 = 16$ મળે છે.
આમ,નવો મધ્યક $16$ છે.

(D) આપેલ છે કે $10$ અવલોકનોનો મધ્યક $16.5$ છે.
$10$ અવલોકનોનો સરવાળો = $\text{મધ્યક} \times \text{અવલોકનોની સંખ્યા} = 16.5 \times 10 = 165$.
એક અવલોકન ભૂલથી $75$ ને બદલે $57$ લેવાયું હોવાથી,ખોટા સરવાળામાં $57$ ઉમેરાયેલ છે અને $75$ બાકાત છે.
સાચો સરવાળો = $\text{ખોટો સરવાળો} - \text{ખોટું અવલોકન} + \text{સાચું અવલોકન} = 165 - 57 + 75 = 183$.
સાચો મધ્યક = $\frac{\text{સાચો સરવાળો}}{\text{અવલોકનોની સંખ્યા}} = \frac{183}{10} = 18.3$.