Mix Examples - Statistics and Probability Questions in Gujarati

(A) માહિતીનો વિસ્તાર એટલે માહિતીમાં રહેલા સૌથી મોટા અવલોકન અને સૌથી નાના અવલોકન વચ્ચેનો તફાવત.
પગલું $1$: આપેલી માહિતીમાં સૌથી મોટી કિંમત શોધો.
સૌથી મોટી કિંમત $100$ છે.
પગલું $2$: આપેલી માહિતીમાં સૌથી નાની કિંમત શોધો.
સૌથી નાની કિંમત $46$ છે.
પગલું $3$: વિસ્તારની ગણતરી કરો.
$\text{વિસ્તાર} = \text{મહત્તમ કિંમત} - \text{ન્યૂનતમ કિંમત}$
$\text{વિસ્તાર} = 100 - 46 = 54$
આમ,આપેલી માહિતીનો વિસ્તાર $54$ છે.

(B) વર્ગ અંતરાલની વર્ગ-સીમા (class-mark) નીચેના સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને ગણવામાં આવે છે:
$\text{વર્ગ-સીમા} = \frac{\text{ઉર્ધ્વ સીમા} + \text{નિમ્ન સીમા}}{2}$
આપેલ વર્ગ અંતરાલ $130-150$ માટે:
$\text{નિમ્ન સીમા} = 130$
$\text{ઉર્ધ્વ સીમા} = 150$
$\text{વર્ગ-સીમા} = \frac{130 + 150}{2} = \frac{280}{2} = 140$
તેથી,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(C) કુલ પ્રયત્નોની સંખ્યા $1000$ છે.
પરિણામ $5$ ની આવૃત્તિ $150$ છે.
કોઈપણ ઘટનાની સંભાવના એ સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા અને કુલ પ્રયત્નોની સંખ્યાનો ગુણોત્તર છે.
$P(5) = \frac{5 \text{ ની આવૃત્તિ}}{\text{કુલ પ્રયત્નોની સંખ્યા}}$
$P(5) = \frac{150}{1000}$
$P(5) = \frac{15}{100} = \frac{3}{20}$.

(D) વર્ગ અંતરાલની વર્ગ-ચિહ્ન શોધવા માટેનું સૂત્ર: $\text{વર્ગ-ચિહ્ન} = \frac{\text{ઉર્ધ્વ સીમા} + \text{નિમ્ન સીમા}}{2}$ છે.
વર્ગ $90-120$ માટે,નિમ્ન સીમા $90$ છે અને ઉર્ધ્વ સીમા $120$ છે.
$\text{વર્ગ-ચિહ્ન} = \frac{90 + 120}{2} = \frac{210}{2} = 105$.

(A) માહિતીનો વિસ્તાર એ માહિતીમાં રહેલા મહત્તમ અને ન્યૂનતમ અવલોકન વચ્ચેનો તફાવત છે.
સૌ પ્રથમ, આપેલી માહિતીમાં મહત્તમ કિંમત શોધો: $32$.
ત્યારબાદ, આપેલી માહિતીમાં ન્યૂનતમ કિંમત શોધો: $6$.
હવે, વિસ્તારની ગણતરી કરો: $\text{વિસ્તાર} = \text{મહત્તમ કિંમત} - \text{ન્યૂનતમ કિંમત} = 32 - 6 = 26$.

(B) વર્ગની મધ્ય કિંમત (વર્ગ ચિહ્ન) શોધવાનું સૂત્ર: $\text{મધ્ય કિંમત} = \frac{\text{અધઃસીમા} + \text{ઉર્ધ્વસીમા}}{2}$ છે.
ધારો કે અધઃસીમા $L$ છે અને ઉર્ધ્વસીમા $U$ છે. વર્ગની લંબાઈ $U - L = 6$ છે,જેનો અર્થ છે કે $U = L + 6$.
આ કિંમતોને મધ્ય કિંમતના સૂત્રમાં મૂકતા:
$10 = \frac{L + (L + 6)}{2}$
$10 = \frac{2L + 6}{2}$
$10 = L + 3$
$L = 10 - 3 = 7$.
તેથી,વર્ગની અધઃસીમા $7$ છે.

(C) આવૃત્તિ વિતરણમાં પાંચ સતત વર્ગોમાંથી દરેકની વર્ગ લંબાઈ $5$ આપેલી છે.
સૌથી નીચલા વર્ગની અધઃસીમા $10$ છે.
વર્ગો સતત હોવાથી,વર્ગ લંબાઈને ક્રમશઃ અધઃસીમામાં ઉમેરીને વર્ગો બનાવી શકાય છે.
આ પાંચ વર્ગો નીચે મુજબ છે:
$10-15, 15-20, 20-25, 25-30, 30-35$.
તેથી,સૌથી ઉપરના વર્ગની ઉર્ધ્વસીમા $35$ છે.

(D) આપણે જાણીએ છીએ કે વર્ગ અંતરાલનું મધ્યબિંદુ $(m)$ નીચે મુજબ ગણવામાં આવે છે:
$m = \frac{\text{અધઃસીમા} + \text{ઉર્ધ્વ સીમા}}{2}$
અહીં ઉર્ધ્વ સીમા $l$ આપેલી છે,તેથી સૂત્રમાં કિંમત મૂકતા:
$m = \frac{\text{અધઃસીમા} + l}{2}$
બંને બાજુ $2$ વડે ગુણતા:
$2m = \text{અધઃસીમા} + l$
અધઃસીમા શોધવા માટે સમીકરણને ફરીથી ગોઠવતા:
$\text{અધઃસીમા} = 2m - l$
તેથી,વર્ગની અધઃસીમા $2m - l$ છે.

(A) વર્ગચિહ્નો $15, 20, 25, \ldots$ આપેલા છે.
વર્ગની લંબાઈ $(h)$ એ બે ક્રમિક વર્ગચિહ્નો વચ્ચેનો તફાવત છે: $h = 20 - 15 = 5$.
કોઈપણ વર્ગચિહ્ન $x$ માટે,વર્ગ અંતરાલ $(x - h/2)$ થી $(x + h/2)$ દ્વારા મળે છે.
વર્ગચિહ્ન $x = 20$ અને વર્ગની લંબાઈ $h = 5$ માટે:
અધઃસીમા = $20 - 5/2 = 20 - 2.5 = 17.5$.
ઉર્ધ્વસીમા = $20 + 5/2 = 20 + 2.5 = 22.5$.
તેથી,વર્ગ અંતરાલ $17.5-22.5$ છે.

(B) સતત આવૃત્તિ વિતરણમાં,વર્ગ અંતરાલ સામાન્ય રીતે $a-b$ સ્વરૂપના હોય છે,જ્યાં $a$ એ અધઃસીમા છે અને $b$ એ ઉર્ધ્વસીમા છે.
પરંપરા મુજબ,વર્ગ અંતરાલની ઉર્ધ્વસીમાને તે અંતરાલમાંથી બાકાત રાખવામાં આવે છે અને તેને પછીના વર્ગ અંતરાલમાં સમાવવામાં આવે છે.
તેથી,સંખ્યા $20$ ને $10-20$ અંતરાલમાંથી બાકાત રાખવામાં આવે છે અને $20-30$ અંતરાલમાં સમાવવામાં આવે છે.

(C) વર્ગ અંતરાલ $310-330$ માં એવા તમામ અવલોકનો $x$ નો સમાવેશ થાય છે જેના માટે $310 \le x < 330$ હોય.
આપેલ ડેટામાંથી:
$268, 220, 368, 258, 242, 310, 272, 342, 310, 290, 300, 320, 319, 304, 402, 318, 406, 292, 354, 278, 210, 240, 330, 316, 406, 215, 258, 236$.
$[310, 330)$ ની શ્રેણીમાં આવતી કિંમતો ઓળખતા:
$310, 310, 320, 319, 318, 316$.
આ કિંમતો ગણતા,આપણને કુલ $6$ અવલોકનો મળે છે.
તેથી,વર્ગ $310-330$ ની આવૃત્તિ $6$ છે.

(D) પગલું $1$: ડેટામાં ન્યૂનતમ અને મહત્તમ મૂલ્યો ઓળખો.
ન્યૂનતમ મૂલ્ય $= 14$,મહત્તમ મૂલ્ય $= 112$.
પગલું $2$: વર્ગનું કદ નક્કી કરો.
આપેલ વર્ગ $63-72$ છે. $72$ નો સમાવેશ થતો હોવાથી,વર્ગનું કદ $72 - 63 + 1 = 10$ છે.
પગલું $3$: ન્યૂનતમ $(14)$ થી નાની અથવા તેના જેટલી કિંમતથી શરૂ કરીને વર્ગો બનાવો.
$13-22$ ને પ્રથમ વર્ગ તરીકે લેતા:
$13-22, 23-32, 33-42, 43-52, 53-62, 63-72, 73-82, 83-92, 93-102, 103-112$.
પગલું $4$: વર્ગોની સંખ્યા ગણો.
કુલ $10$ વર્ગો છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(A) અસમાન વર્ગ લંબાઈ ધરાવતા આવૃત્તિ વિતરણ માટે સ્તંભાલેખ દોરવા,આપણે દરેક વર્ગ માટે સુધારેલી આવૃત્તિની ગણતરી કરીએ છીએ.
$1$. તમામ અંતરાલોમાંથી ન્યૂનતમ વર્ગ લંબાઈ શોધો:
- વર્ગ લંબાઈઓ છે: $(10-5)=5$,$(15-10)=5$,$(25-15)=10$,$(45-25)=20$,$(75-45)=30$.
- ન્યૂનતમ વર્ગ લંબાઈ $5$ છે.
$2$. સુધારેલી આવૃત્તિનું સૂત્ર:
$\text{સુધારેલી આવૃત્તિ} = \frac{\text{વર્ગની આવૃત્તિ}}{\text{વર્ગ લંબાઈ}} \times \text{ન્યૂનતમ વર્ગ લંબાઈ}$.
$3$. વર્ગ $25-45$ માટે:
- આવૃત્તિ = $8$.
- વર્ગ લંબાઈ = $45 - 25 = 20$.
- ન્યૂનતમ વર્ગ લંબાઈ = $5$.
$4$. ગણતરી:
$\text{સુધારેલી આવૃત્તિ} = \frac{8}{20} \times 5 = \frac{8}{4} = 2$.

(B) પાંચ સંખ્યાઓનો મધ્યક $30$ છે.
પાંચ સંખ્યાઓનો સરવાળો $= 30 \times 5 = 150$.
ધારો કે બાકાત રાખેલી સંખ્યા $x$ છે.
જ્યારે એક સંખ્યાને બાકાત રાખવામાં આવે,ત્યારે બાકીની ચાર સંખ્યાઓનો સરવાળો $(150 - x)$ થાય છે.
આ ચાર સંખ્યાઓનો મધ્યક $28$ આપેલ છે.
તેથી,$\frac{150 - x}{4} = 28$.
બંને બાજુ $4$ વડે ગુણતા,આપણને $150 - x = 112$ મળે છે.
$x$ માટે ઉકેલતા,$x = 150 - 112 = 38$ મળે છે.
આમ,બાકાત રાખેલી સંખ્યા $38$ છે.

(C) મધ્યક એ અવલોકનોના સરવાળાને કુલ અવલોકનોની સંખ્યા વડે ભાગવાથી મળે છે.
આપેલ અવલોકનો: $x, x+3, x+5, x+7, x+10$.
અવલોકનોની સંખ્યા $= 5$.
મધ્યક $= \frac{x + (x+3) + (x+5) + (x+7) + (x+10)}{5} = 9$.
$\Rightarrow \frac{5x + 25}{5} = 9$.
$\Rightarrow 5x + 25 = 45$.
$\Rightarrow 5x = 20$.
$\Rightarrow x = 4$.
છેલ્લા ત્રણ અવલોકનો $x+5, x+7, x+10$ છે.
$x = 4$ મૂકતા,આપણને મળે છે: $4+5=9, 4+7=11, 4+10=14$.
છેલ્લા ત્રણ અવલોકનોનો મધ્યક $= \frac{9 + 11 + 14}{3} = \frac{34}{3} = 11 \frac{1}{3}$.

(D) આપણે જાણીએ છીએ કે મધ્યકથી લીધેલા વિચલનોનો બૈજિક સરવાળો હંમેશા શૂન્ય હોય છે.
$\sum_{i=1}^{n}(x_{i}-\bar{x}) = (x_{1}-\bar{x}) + (x_{2}-\bar{x}) + \ldots + (x_{n}-\bar{x})$
$= (x_{1} + x_{2} + \ldots + x_{n}) - n\bar{x}$
મધ્યક $\bar{x} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} x_{i}$ હોવાથી,આપણને $\sum_{i=1}^{n} x_{i} = n\bar{x}$ મળે છે.
આ કિંમત પદાવલિમાં મૂકતા:
$= n\bar{x} - n\bar{x} = 0$.

(A) ધારો કે અવલોકનો $x_1, x_2, ..., x_n$ છે. મધ્યક $\bar{x} = \frac{\sum x_i}{n}$ છે.
જો દરેક અવલોકનમાં $5$ ઉમેરવામાં આવે,તો નવા અવલોકનો $(x_1+5), (x_2+5), ..., (x_n+5)$ થશે.
નવો મધ્યક $\bar{x}' = \frac{\sum (x_i+5)}{n} = \frac{\sum x_i + 5n}{n} = \frac{\sum x_i}{n} + \frac{5n}{n} = \bar{x} + 5$ થાય.
તેથી,જો માહિતીના દરેક અવલોકનમાં $5$ નો વધારો કરવામાં આવે,તો તેમનો મધ્યક પણ $5$ જેટલો વધે છે.

(B) આપેલ છે કે $\bar{x}$ એ $n$ અવલોકનો $x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}$ નો મધ્યક છે.
તેથી,આ અવલોકનોનો સરવાળો $\sum_{i=1}^{n} x_{i} = n \bar{x}$ થાય.
તે જ રીતે,$\bar{y}$ એ $n$ અવલોકનો $y_{1}, y_{2}, \ldots, y_{n}$ નો મધ્યક છે.
તેથી,આ અવલોકનોનો સરવાળો $\sum_{i=1}^{n} y_{i} = n \bar{y}$ થાય.
હવે,$\bar{z}$ એ કુલ $2n$ અવલોકનો $(x_{1}, \ldots, x_{n}, y_{1}, \ldots, y_{n})$ નો મધ્યક છે.
તેથી,$\bar{z} = \frac{\sum x_{i} + \sum y_{i}}{n + n}$ થાય.
સરવાળાની કિંમતો મૂકતા,આપણને $\bar{z} = \frac{n \bar{x} + n \bar{y}}{2n}$ મળે.
આનું સાદું રૂપ આપતા,$\bar{z} = \frac{n(\bar{x} + \bar{y})}{2n} = \frac{\bar{x} + \bar{y}}{2}$ મળે.

(B) આપણે જાણીએ છીએ કે જો $\bar{x}$ એ $x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}$ નો મધ્યક હોય,તો $\bar{x} = \frac{\sum_{i=1}^{n} x_{i}}{n},$ જેનો અર્થ છે કે $\sum_{i=1}^{n} x_{i} = n \bar{x}.$
અવલોકનોના નવા સમૂહમાં $2n$ પદો છે: $a x_{1}, a x_{2}, \ldots, a x_{n}$ અને $\frac{x_{1}}{a}, \frac{x_{2}}{a}, \ldots, \frac{x_{n}}{a}.$
આ $2n$ અવલોકનોનો મધ્યક નીચે મુજબ મળે:
મધ્યક $= \frac{(a x_{1} + a x_{2} + \ldots + a x_{n}) + (\frac{x_{1}}{a} + \frac{x_{2}}{a} + \ldots + \frac{x_{n}}{a})}{2n}$
$= \frac{a(x_{1} + x_{2} + \ldots + x_{n}) + \frac{1}{a}(x_{1} + x_{2} + \ldots + x_{n})}{2n}$
$= \frac{a(n \bar{x}) + \frac{1}{a}(n \bar{x})}{2n}$
$= \frac{n \bar{x} (a + \frac{1}{a})}{2n}$
$= \frac{\bar{x}}{2} (a + \frac{1}{a}).$

(D) સમૂહનો મધ્યક એ અવલોકનોના સરવાળાને અવલોકનોની સંખ્યા વડે ભાગવાથી મળે છે. સમૂહ $i$ માટે,અવલોકનોનો સરવાળો $S_{i} = n_{i} \bar{x}_{i}$ છે.
બધા $n$ સમૂહોનો સંયુક્ત મધ્યક $\bar{x}$ શોધવા માટે,આપણે બધા અવલોકનોના કુલ સરવાળાને અવલોકનોની કુલ સંખ્યા વડે ભાગીએ છીએ.
અવલોકનોનો કુલ સરવાળો = $\sum_{i=1}^{n} n_{i} \bar{x}_{i}$
અવલોકનોની કુલ સંખ્યા = $\sum_{i=1}^{n} n_{i}$
તેથી,સંયુક્ત મધ્યક $\bar{x} = \frac{\sum_{i=1}^{n} n_{i} \bar{x}_{i}}{\sum_{i=1}^{n} n_{i}}$ થાય છે.

(A) મધ્યકનું સૂત્ર $\bar{x} = \frac{\sum x_i}{n}$ છે.
અહીં $100$ અવલોકનોનો મધ્યક $50$ આપેલ છે,તેથી $\sum x_i = 50 \times 100 = 5,000$ થાય.
જ્યારે $50$ ના અવલોકનને $150$ વડે બદલવામાં આવે,ત્યારે અવલોકનોનો નવો સરવાળો $\sum x_i' = 5,000 - 50 + 150 = 5,100$ થશે.
તેથી,નવો મધ્યક $\frac{5,100}{100} = 51$ મળે છે.

(B) ધારો કે $50$ સંખ્યાઓ $x_1, x_2, \dots, x_{50}$ છે અને તેમનો મધ્યક $\bar{x}$ છે।
પ્રશ્ન મુજબ, દરેક સંખ્યાને $53$ માંથી બાદ કરવામાં આવે છે, તેથી નવી સંખ્યાઓ $(53 - x_1), (53 - x_2), \dots, (53 - x_{50})$ મળે છે।
આ નવી સંખ્યાઓનો મધ્યક $-3.5$ આપેલ છે।
$\text{મધ્યક} = \frac{\sum_{i=1}^{50} (53 - x_i)}{50} = -3.5$
$\Rightarrow \frac{(53 \times 50) - \sum_{i=1}^{50} x_i}{50} = -3.5$
કારણ કે $\bar{x} = \frac{\sum x_i}{50}$, તેથી $\sum x_i = 50 \bar{x}$ થાય।
આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા:
$\Rightarrow \frac{2650 - 50 \bar{x}}{50} = -3.5$
$\Rightarrow 53 - \bar{x} = -3.5$
$\Rightarrow \bar{x} = 53 + 3.5 = 56.5$
આમ, આપેલી સંખ્યાઓનો મધ્યક $56.5$ છે।

(C) આપેલ છે કે $25$ અવલોકનોનો મધ્યક $36$ છે.
$25$ અવલોકનોનો સરવાળો $= 25 \times 36 = 900$.
પ્રથમ $13$ અવલોકનોનો મધ્યક $= 32$.
પ્રથમ $13$ અવલોકનોનો સરવાળો $= 13 \times 32 = 416$.
છેલ્લા $13$ અવલોકનોનો મધ્યક $= 40$.
છેલ્લા $13$ અવલોકનોનો સરવાળો $= 13 \times 40 = 520$.
$13$મું અવલોકન પ્રથમ $13$ અને છેલ્લા $13$ બંને અવલોકનોમાં સમાવિષ્ટ છે.
તેથી,$13$મું અવલોકન $= (\text{પ્રથમ } 13 \text{ નો સરવાળો}) + (\text{છેલ્લા } 13 \text{ નો સરવાળો}) - (25 \text{ અવલોકનોનો કુલ સરવાળો})$.
$13$મું અવલોકન $= 416 + 520 - 900 = 936 - 900 = 36$.

(D) આપેલ માહિતીને ચડતા ક્રમમાં ગોઠવતા:
$22, 34, 39, 45, 54, 54, 56, 78, 84$
અહીં,અવલોકનોની સંખ્યા $n = 9$ છે,જે એકી સંખ્યા છે.
તેથી,મધ્યસ્થ $= \left(\frac{n+1}{2}\right)$ મું અવલોકન.
મધ્યસ્થ $= \left(\frac{9+1}{2}\right)$ મું અવલોકન $= 5$ મું અવલોકન.
ક્રમબદ્ધ માહિતીમાં જોતા,$5$ મું અવલોકન $54$ છે.
આમ,મધ્યસ્થ $54$ છે.

(A) સતત આવૃત્તિ વિતરણ માટે આવૃત્તિ બહુકોણ દોરવા માટે,આપણે આલેખ પર બિંદુઓ દર્શાવીએ છીએ. દરેક બિંદુનો $y$-યામ (ordinate) સંબંધિત વર્ગની આવૃત્તિ દર્શાવે છે,અને $x$-યામ (abscissa) તે વર્ગની વર્ગ-સીમા (class mark) દર્શાવે છે. વર્ગ-સીમાની ગણતરી $\frac{\text{અધઃસીમા} + \text{ઉર્ધ્વસીમા}}{2}$ સૂત્ર દ્વારા કરવામાં આવે છે.

(B) આપેલ માહિતીને ચડતા ક્રમમાં ગોઠવતા,આપણને મળે છે:
$3, 4, 4, 5, 6, 7, 7, 7, 12$
અહીં,અવલોકનોની કુલ સંખ્યા $n = 9$ છે,જે એકી સંખ્યા છે.
તેથી,મધ્યસ્થ એ $\left(\frac{n+1}{2}\right)$ માં અવલોકનની કિંમત છે.
મધ્યસ્થ $= \left(\frac{9+1}{2}\right) = 5$ મું અવલોકન.
ક્રમબદ્ધ શ્રેણીમાં $5$ મું અવલોકન $6$ છે.
આમ,મધ્યસ્થ $6$ છે.

(C) બહુલક એટલે આપેલી માહિતીમાં સૌથી વધુ વખત પુનરાવર્તન પામતું અવલોકન.
આપેલી માહિતી: $15, 14, 19, 20, 14, 15, 16, 14, 15, 18, 14, 19, 15, 17, 15$
અવલોકનોને ચડતા ક્રમમાં ગોઠવતા:
$14, 14, 14, 14, 15, 15, 15, 15, 15, 16, 17, 18, 19, 19, 20$
દરેક અવલોકનની આવૃત્તિ તપાસતા:
$14$ એ $4$ વખત આવે છે.
$15$ એ $5$ વખત આવે છે.
$16$ એ $1$ વખત આવે છે.
$17$ એ $1$ વખત આવે છે.
$18$ એ $1$ વખત આવે છે.
$19$ એ $2$ વખત આવે છે.
$20$ એ $1$ વખત આવે છે.
અહીં $15$ સૌથી વધુ $5$ વખત આવે છે,તેથી આપેલી માહિતીનો બહુલક $15$ છે.

(A) હા,તે યોગ્ય છે.
ધારો કે પ્રથમ માહિતીનો સમૂહ $x_i$ છે. તેનો મધ્યક $\bar{x} = 5$ આપેલ છે.
બીજી માહિતીનો સમૂહ $y_i = 2x_i$ છે.
મધ્યકના ગુણધર્મો મુજબ,જો માહિતીના દરેક અવલોકનને અચળ સંખ્યા $k$ વડે ગુણવામાં આવે,તો નવો મધ્યક મૂળ મધ્યક કરતાં $k$ ગણો થાય છે.
અહીં,$k = 2$ છે.
તેથી,નવો મધ્યક = $2 \times 5 = 10$ થાય.
આમ,આપેલ વિધાન સાચું છે.

(B) હિસ્ટોગ્રામમાં, દરેક લંબચોરસનું ક્ષેત્રફળ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\text{Area} = \text{Width} \times \text{Height}$.
અહીં, $\text{Width}$ (પહોળાઈ) એ વર્ગની લંબાઈ દર્શાવે છે અને $\text{Height}$ (ઊંચાઈ) એ આવૃત્તિ ઘનતા દર્શાવે છે.
ક્ષેત્રફળ એ આવૃત્તિના પ્રમાણમાં હોવાથી, આપણી પાસે $\text{Frequency} \propto \text{Width} \times \text{Height}$ છે.
જો વર્ગની લંબાઈ (પહોળાઈ) સમાન હોય, તો $\text{Width}$ અચળ રહે છે, જેનો અર્થ છે કે $\text{Frequency} \propto \text{Height}$.
જો કે, જો વર્ગની લંબાઈ અલગ-અલગ હોય, તો ક્ષેત્રફળ અને આવૃત્તિ વચ્ચેનું પ્રમાણ જાળવી રાખવા માટે લંબચોરસની ઊંચાઈને સમાયોજિત કરવામાં આવે છે.
તેથી, લંબચોરસની લંબાઈ (ઊંચાઈ) ફક્ત ત્યારે જ આવૃત્તિના પ્રમાણમાં હોય છે જ્યારે વર્ગની લંબાઈ સમાન હોય.

(B) $16$ એ માહિતીનો બહુલક નથી. આપેલી માહિતીનો બહુલક એટલે સૌથી વધુ આવૃત્તિ ધરાવતું અવલોકન,નહીં કે સૌથી મોટી કિંમત ધરાવતું અવલોકન. આપેલી માહિતીમાં,$9$ ની આવૃત્તિ $3$ છે,જે સૌથી વધુ છે. તેથી,માહિતીનો બહુલક $9$ છે.

(N/A) આપેલ આલેખની રજૂઆત ખોટી છે.
સ્તંભ આલેખ (Histogram) માં,દરેક લંબચોરસનું ક્ષેત્રફળ તે વર્ગ અંતરાલની આવૃત્તિના પ્રમાણમાં હોય છે. જ્યારે વર્ગ અંતરાલની પહોળાઈ સમાન ન હોય,ત્યારે લંબચોરસની ઊંચાઈને આવૃત્તિ ઘનતા (Frequency Density) ના પ્રમાણમાં ગોઠવવી પડે છે,જે $\frac{\text{આવૃત્તિ}}{\text{વર્ગ અંતરાલની પહોળાઈ}}$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે.
અહીં,વર્ગની પહોળાઈઓ નીચે મુજબ છે:
$0-20$: પહોળાઈ $= 20$
$20-40$: પહોળાઈ $= 20$
$40-60$: પહોળાઈ $= 20$
$60-100$: પહોળાઈ $= 40$
છેલ્લા અંતરાલ $(60-100)$ ની પહોળાઈ અલગ હોવાથી,ક્ષેત્રફળની સમાનતા જાળવવા માટે આ અંતરાલ માટેના લંબચોરસની ઊંચાઈને વ્યવસ્થિત કરવી જોઈતી હતી. વર્તમાન આલેખમાં ફક્ત આવૃત્તિને વર્ગ અંતરાલ સામે દર્શાવવામાં આવી છે,જે ફક્ત સમાન વર્ગ પહોળાઈ માટે જ માન્ય છે.

(B) આપેલ માહિતી માટે મધ્યસ્થ (Median) એ સારો પ્રતિનિધિ છે.
નોંધાયેલા ગુણ ($100$ માંથી) છે: $46, 52, 48, 11, 41, 62, 54, 53, 96, 40, 98, 44$.
મધ્યસ્થ એ સારો પ્રતિનિધિ છે કારણ કે:
$(i)$ મધ્યક (Mean) એ $11, 96,$ અને $98$ જેવા અંતિમ મૂલ્યો (outliers) દ્વારા નોંધપાત્ર રીતે પ્રભાવિત થાય છે,જે સરેરાશને સ્કોર્સના કેન્દ્રીય સમૂહથી દૂર લઈ જાય છે.
$(ii)$ જ્યારે માહિતીમાં અંતિમ મૂલ્યો હોય ત્યારે મધ્યસ્થ એ મધ્યવર્તી સ્થિતિનું વધુ સારું માપ આપે છે,કારણ કે તે ક્રમબદ્ધ માહિતીના સમૂહનું મધ્યમ મૂલ્ય દર્શાવે છે.

(A) આપેલ માહિતીનો મધ્યસ્થ શોધવા માટે,અવલોકનોને સૌ પ્રથમ ચડતા અથવા ઉતરતા ક્રમમાં ગોઠવવા જરૂરી છે.
આપેલ સમૂહ $3, 14, 18, 20, 5$ માં,કિંમતો ક્રમમાં નથી.
જો આપણે તેમને ચડતા ક્રમમાં ગોઠવીએ,તો આપણને $3, 5, 14, 18, 20$ મળે છે.
વચ્ચેનું અવલોકન $14$ છે,જે સાચો મધ્યસ્થ છે.
બાળકે ફક્ત અવ્યવસ્થિત યાદીની વચ્ચેની કિંમત પસંદ કરી છે,જે ખોટું છે.

(D) જવાબ $7$ ખોટો છે. મધ્યસ્થ શોધવા માટે,સૌ પ્રથમ માહિતીને ચડતા કે ઉતરતા ક્રમમાં ગોઠવવી જરૂરી છે.
પગલું $1$: માહિતીને ચડતા ક્રમમાં ગોઠવતા:
$1, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9$
પગલું $2$: અહીં અવલોકનોની સંખ્યા $n = 10$ (જે બેકી સંખ્યા છે) હોવાથી,મધ્યસ્થ એ $5$મા અને $6$મા અવલોકનની સરેરાશ થશે.
$5$મું અવલોકન $= 4$
$6$ઠું અવલોકન $= 5$
મધ્યસ્થ $= \frac{4 + 5}{2} = \frac{9}{2} = 4.5$
તેથી,સાચો મધ્યસ્થ $4.5$ છે.

(B) આપેલ વિધાન સાચું નથી. સ્તંભાલેખમાં,દરેક લંબચોરસનું ક્ષેત્રફળ તેની આવૃત્તિના પ્રમાણમાં હોય છે. જો વર્ગ લંબાઈ સમાન હોય,તો લંબચોરસની ઊંચાઈ આવૃત્તિના પ્રમાણમાં હોય છે. જો વર્ગ લંબાઈ અસમાન હોય,તો લંબચોરસનું ક્ષેત્રફળ આવૃત્તિના પ્રમાણમાં હોય છે.

(B) સતત આવૃત્તિ વિતરણના વર્ગ ચિહ્નો $1.04, 1.14, 1.24, 1.34, 1.44, 1.54$ અને $1.64$ છે.
બે ક્રમિક વર્ગ ચિહ્નો વચ્ચેનો તફાવત $h = 1.14 - 1.04 = 1.24 - 1.14 = \dots = 1.64 - 1.54 = 0.10$ છે.
આ તફાવત $h$ એ સતત વિતરણની વર્ગ લંબાઈ દર્શાવે છે.
અંતરાલ $1.55 - 1.73$ ની વર્ગ લંબાઈ $1.73 - 1.55 = 0.18$ છે.
આમ,આપેલ અંતરાલની વર્ગ લંબાઈ $(0.18)$ એ વિતરણની વર્ગ લંબાઈ $(0.10)$ જેટલી ન હોવાથી,એવું કહેવું યોગ્ય નથી કે છેલ્લો અંતરાલ $1.55 - 1.73$ છે.

(B) સતત આવૃત્તિ વિતરણમાં,વર્ગ અંતરાલની ઉપલી સીમાને તે વર્ગમાંથી બાકાત રાખવામાં આવે છે અને પછીના વર્ગમાં સમાવવામાં આવે છે.
તેથી,$10$ ની કિંમત $10-15$ વર્ગ અંતરાલમાં સમાવિષ્ટ છે,$5-10$ માં નહીં.
$10$ કે તેથી વધુ કલાક ટીવી જોનારા બાળકોની સંખ્યા શોધવા માટે,આપણે $10-15$ અને $15-20$ વર્ગ અંતરાલની આવૃત્તિઓનો સરવાળો કરીએ છીએ.
બાળકોની સંખ્યા = $4 + 2 = 6$.
આમ,આપણે કહી શકતા નથી કે અઠવાડિયામાં $10$ કે તેથી વધુ કલાક ટીવી જોનારા બાળકોની સંખ્યા $22$ છે.

(N/A) આવૃત્તિ વિતરણ કોષ્ટક તૈયાર કરવા માટે,આપણે આપેલી માહિતીમાં દરેક ઊંચાઈના મૂલ્ય કેટલી વાર આવે છે તેની ગણતરી કરીએ છીએ.
$30$ છોકરીઓની ઊંચાઈનું આવૃત્તિ વિતરણ:

ઊંચાઈ (સેમીમાં)	આવૃત્તિ
$138$	$2$
$139$	$1$
$140$	$4$
$146$	$3$
$148$	$6$
$150$	$5$
$152$	$3$
$153$	$3$
$154$	$1$
$160$	$2$
કુલ	$30$

(D) અવલોકનોની સંખ્યા $(n) = 10,$ જે બેકી સંખ્યા છે.
તેથી,મધ્યસ્થ એ $\left(\frac{n}{2}\right)$ માં અને $\left(\frac{n}{2}+1\right)$ માં અવલોકનનો સરેરાશ છે,એટલે કે $5$ માં અને $6$ માં અવલોકનનો સરેરાશ.
અહીં,$5$ મું અવલોકન $= x$ અને $6$ ઠું અવલોકન $= x+2$ છે.
મધ્યસ્થ $= \frac{x + (x+2)}{2} = \frac{2x+2}{2} = x+1$.
આપેલ છે કે મધ્યસ્થ $65$ છે,તેથી $x+1 = 65$.
તેથી,$x = 65 - 1 = 64$.
આમ,$x$ ની કિંમત $64$ છે.

આવૃત્તિ વિતરણ કોષ્ટક તૈયાર કરવા માટે,આપણે આપેલ માહિતીમાં દરેક રુધિર જૂથ કેટલી વાર આવે છે તેની ગણતરી કરીએ છીએ:
$1$. $A$ ની સંખ્યા: $12$
$2$. $B$ ની સંખ્યા: $8$
$3$. $AB$ ની સંખ્યા: $4$
$4$. $O$ ની સંખ્યા: $6$
કુલ સંખ્યા = $12 + 8 + 4 + 6 = 30$.

રુધિર જૂથ	વિદ્યાર્થીઓની સંખ્યા (આવૃત્તિ)
$A$	$12$
$B$	$8$
$AB$	$4$
$O$	$6$
કુલ	$30$

(N/A) આવૃત્તિ વિતરણ શોધવા માટે,આપણે દશાંશ ચિહ્ન પછીના ક્રમમાં $0$ થી $9$ સુધીના દરેક અંક કેટલી વાર આવે છે તેની ગણતરી કરીએ છીએ: $1, 4, 1, 5, 9, 2, 6, 5, 3, 5, 8, 9, 7, 9, 3, 2, 3, 8, 4, 6, 2, 6, 4, 3, 3, 8, 3, 2, 7, 9, 5, 0, 2, 8, 8$.

અંક	આવૃત્તિ
$0$	$1$
$1$	$2$
$2$	$5$
$3$	$6$
$4$	$3$
$5$	$4$
$6$	$3$
$7$	$2$
$8$	$5$
$9$	$4$

આ માહિતીને આવૃત્તિ વિતરણ કોષ્ટકમાં દર્શાવવા માટે,આપણે દરેક ગુણ કેટલી વાર આવે છે (આવૃત્તિ) તેની ગણતરી કરીએ છીએ.

ગુણ	આવૃત્તિ
$48$	$3$
$58$	$3$
$64$	$4$
$66$	$7$
$69$	$6$
$71$	$3$
$73$	$2$
$81$	$1$
$83$	$2$
$84$	$2$
કુલ	$33$

અહીં મધ્યબિંદુઓ $5, 15, 25, 35$ અને $45$ છે. ક્રમિક વર્ગ ચિહ્નો વચ્ચેનો સામાન્ય તફાવત $h = 15 - 5 = 10$ છે.
વર્ગ અંતરાલ શોધવા માટે,આપણે દરેક મધ્યબિંદુમાંથી $\frac{h}{2} = \frac{10}{2} = 5$ બાદ કરીશું અને ઉમેરીશું.
મધ્યબિંદુ $5$ માટે: $5 - 5 = 0$ અને $5 + 5 = 10$,તેથી અંતરાલ $0-10$ છે.
મધ્યબિંદુ $15$ માટે: $15 - 5 = 10$ અને $15 + 5 = 20$,તેથી અંતરાલ $10-20$ છે.
મધ્યબિંદુ $25$ માટે: $25 - 5 = 20$ અને $25 + 5 = 30$,તેથી અંતરાલ $20-30$ છે.
મધ્યબિંદુ $35$ માટે: $35 - 5 = 30$ અને $35 + 5 = 40$,તેથી અંતરાલ $30-40$ છે.
મધ્યબિંદુ $45$ માટે: $45 - 5 = 40$ અને $45 + 5 = 50$,તેથી અંતરાલ $40-50$ છે.
વર્ગ લંબાઈ $10$ છે.
સતત વર્ગીકૃત આવૃત્તિ વિતરણ નીચે મુજબ છે:

વર્ગ અંતરાલ	આવૃત્તિ
$0-10$	$4$
$10-20$	$8$
$20-30$	$13$
$30-40$	$12$
$40-50$	$6$

(N/A) અસતત આવૃત્તિ વિતરણને સતત આવૃત્તિ વિતરણમાં ફેરવવા માટે,આપણે એક વર્ગની અધઃસીમા અને અગાઉના વર્ગની ઉર્ધ્વસીમા વચ્ચેનો તફાવત શોધીએ છીએ. ધારો કે આ તફાવત $d$ છે. સુધારા પરિબળ $h = d/2$ છે.
અહીં,$d = 154 - 153 = 1$. તેથી,$h = 1/2 = 0.5$.
આપણે દરેક અધઃસીમામાંથી $0.5$ બાદ કરીએ છીએ અને દરેક ઉર્ધ્વસીમામાં $0.5$ ઉમેરીએ છીએ.

મૂળ વર્ગ	સતત વર્ગ	આવૃત્તિ
$150-153$	$149.5-153.5$	$7$
$154-157$	$153.5-157.5$	$7$
$158-161$	$157.5-161.5$	$15$
$162-165$	$161.5-165.5$	$10$
$166-169$	$165.5-169.5$	$5$
$170-173$	$169.5-173.5$	$6$

સતત અંતરાલોના આધારે:
- $153.5$ એ $153.5-157.5$ અંતરાલમાં સમાવિષ્ટ છે.
- $157.5$ એ $157.5-161.5$ અંતરાલમાં સમાવિષ્ટ છે.

(N/A) આપેલ માહિતીને સ્તંભ આલેખ દ્વારા દર્શાવવા માટે,નીચેના પગલાં અનુસરો:
$1$. બે પરસ્પર લંબ અક્ષો દોરો,આડી અક્ષ ($X$-અક્ષ) અને ઊભી અક્ષ ($Y$-અક્ષ).
$2$. $X$-અક્ષ પર,ખર્ચની વિવિધ બાબતોને સમાન અંતરે દર્શાવો.
$3$. $Y$-અક્ષ પર,$Rs$ માં ખર્ચ દર્શાવો. યોગ્ય પ્રમાણમાપ પસંદ કરો,ઉદાહરણ તરીકે,$1 \text{ એકમ} = 500 \text{ Rs}$.
$4$. દરેક બાબત માટે,સમાન પહોળાઈના લંબચોરસ સ્તંભો દોરો. દરેક સ્તંભની ઊંચાઈ તે ચોક્કસ બાબત માટેના ખર્ચના આંકડાકીય મૂલ્યને અનુરૂપ હોવી જોઈએ.
$5$. પરિણામી સ્તંભ આલેખ નીચે મુજબ છે:
$1125$-s50

(N/A) આપેલ માહિતીને દર્શાવતો સ્તંભ આલેખ દોરવા માટે નીચેના પગલાં અનુસરો:
પગલું $1$: આલેખપત્ર લો અને બે પરસ્પર લંબ રેખાઓ $OX$ અને $OY$ દોરો. $OX$ ને આડી ધરી અને $OY$ ને ઊભી ધરી તરીકે લો.
પગલું $2$: $OX$ પર શિક્ષણના પ્રકારો અને $OY$ પર શિક્ષણ પાછળનો ખર્ચ (કરોડ રૂપિયામાં) દર્શાવો.
પગલું $3$: $OX$ પર સ્તંભોની પહોળાઈ સમાન રાખો અને તેમની વચ્ચેનું અંતર પણ સમાન રાખો.
પગલું $4$: ઊભી ધરી માટે યોગ્ય પ્રમાણમાપ પસંદ કરો. અહીં,આપણે $1$ મોટું ખાનું $= 20$ કરોડ રૂપિયા લઈએ છીએ.
પગલું $5$: દરેક સ્તંભની ઊંચાઈની ગણતરી કરો:
- પ્રાથમિક શિક્ષણ: $240 / 20 = 12$ મોટા ખાના
- માધ્યમિક શિક્ષણ: $120 / 20 = 6$ મોટા ખાના
- યુનિવર્સિટી શિક્ષણ: $190 / 20 = 9.5$ મોટા ખાના
- શિક્ષક તાલીમ: $20 / 20 = 1$ મોટું ખાનું
- સામાજિક શિક્ષણ: $10 / 20 = 0.5$ મોટા ખાના
- અન્ય શૈક્ષણિક કાર્યક્રમો: $115 / 20 = 5.75$ મોટા ખાના
- સાંસ્કૃતિક કાર્યક્રમો: $25 / 20 = 1.25$ મોટા ખાના
- ટેકનિકલ શિક્ષણ: $125 / 20 = 6.25$ મોટા ખાના
પગલું $6$: આ ઊંચાઈ મુજબ આલેખમાં સ્તંભો દોરો.

(N/A) સ્તંભ આલેખ બનાવવા માટે નીચેના પગલાં અનુસરો:
પગલું $1:$ આલેખપત્ર લો અને બે પરસ્પર લંબ રેખાઓ $OX$ અને $OY$ દોરો.
પગલું $2:$ આડી ધરી $OX$ પર 'અક્ષરો' અને ઊભી ધરી $OY$ પર 'આવૃત્તિ' દર્શાવો.
પગલું $3:$ આડી ધરી $OX$ પર,સ્તંભોની સમાન પહોળાઈ અને તેમની વચ્ચે સમાન અંતર રાખો.
પગલું $4:$ ઊભી ધરી માટે યોગ્ય પ્રમાણમાપ પસંદ કરો. ધારો કે $1$ એકમ એ $10$ આવૃત્તિ દર્શાવે છે.
પગલું $5:$ કોષ્ટકમાં આપેલી આવૃત્તિ મુજબ યોગ્ય ઊંચાઈના સ્તંભો દોરો.
પગલું $6:$ ધરીઓ પર નામ નિર્દેશન કરો અને આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ દરેક સ્તંભની ઉપર તેની આવૃત્તિ લખો.

(A) મધ્યકનું સૂત્ર $\bar{x} = \frac{\sum x_i f_i}{\sum f_i}$ છે.
પ્રથમ,આવૃત્તિઓનો સરવાળો $\sum f_i = 6 + 8 + p + 10 + 6 = 30 + p$ શોધો.
ત્યારબાદ,ગુણાકારોનો સરવાળો $\sum x_i f_i = (10 \times 6) + (15 \times 8) + (20 \times p) + (25 \times 10) + (30 \times 6)$ શોધો.
$\sum x_i f_i = 60 + 120 + 20p + 250 + 180 = 610 + 20p$.
આપેલ છે કે મધ્યક $20.2$ છે,તેથી સમીકરણ: $20.2 = \frac{610 + 20p}{30 + p}$ મળે.
બંને બાજુ $(30 + p)$ વડે ગુણતા: $20.2(30 + p) = 610 + 20p$.
$606 + 20.2p = 610 + 20p$.
બંને બાજુથી $20p$ બાદ કરતા: $606 + 0.2p = 610$.
બંને બાજુથી $606$ બાદ કરતા: $0.2p = 4$.
$0.2$ વડે ભાગતા: $p = \frac{4}{0.2} = 20$.

(B) મધ્યક શોધવા માટે,આપણે સૂત્ર $\bar{x} = \frac{\sum f_i x_i}{\sum f_i}$ નો ઉપયોગ કરીએ છીએ.

ચલ $(x_i)$	આવૃત્તિ $(f_i)$	$f_i x_i$
$4$	$4$	$16$
$6$	$8$	$48$
$8$	$14$	$112$
$10$	$11$	$110$
$12$	$3$	$36$
કુલ	$\sum f_i = 40$	$\sum f_i x_i = 322$

મધ્યક $\bar{x} = \frac{322}{40} = 8.05$.

(C) વર્ગમાં કુલ $50$ વિદ્યાર્થીઓ છે. આ $50$ વિદ્યાર્થીઓમાંથી $30$ છોકરીઓ છે.
તેથી,વર્ગમાં છોકરાઓની સંખ્યા $= 50 - 30 = 20$.
$30$ છોકરીઓના ગુણનો મધ્યક $= 73$.
$30$ છોકરીઓના કુલ ગુણ $= 73 \times 30 = 2190$.
$20$ છોકરાઓના ગુણનો મધ્યક $= 71$.
$20$ છોકરાઓના કુલ ગુણ $= 71 \times 20 = 1420$.
આખા વર્ગના કુલ ગુણ $= 2190 + 1420 = 3610$.
આખા વર્ગના ગુણનો મધ્યક $= \frac{\text{કુલ ગુણ}}{\text{કુલ વિદ્યાર્થીઓ}} = \frac{3610}{50} = 72.2$.