Mix Examples - Statistics and Probability Questions in Gujarati

(A) આપેલ અવલોકનો $7, 15, x-1, x+1, 24, 28$ છે.
અહીં અવલોકનોની સંખ્યા $n = 6$ (જે બેકી સંખ્યા છે),તેથી મધ્યસ્થ એ $(\frac{n}{2})$ માં અને $(\frac{n}{2} + 1)$ માં પદની સરેરાશ છે.
મધ્યસ્થ $= \frac{(\text{ત્રીજું પદ} + \text{ચોથું પદ})}{2}$.
આપેલ મધ્યસ્થ $= 21$ છે,તેથી $21 = \frac{(x-1) + (x+1)}{2}$.
$21 = \frac{2x}{2}$.
$21 = x$.
આમ,$x$ ની કિંમત $21$ છે.

(B) આપેલ અવલોકનો $56, 58, 63, x-5, x+1, 75, 81, 85$ છે.
અવલોકનોની કુલ સંખ્યા $n = 8$ છે,જે બેકી સંખ્યા છે.
જ્યારે અવલોકનોની સંખ્યા બેકી હોય,ત્યારે મધ્યસ્થ એ $(\frac{n}{2})$ માં અને $(\frac{n}{2} + 1)$ માં પદની સરેરાશ હોય છે.
અહીં,$n = 8$ હોવાથી,મધ્યસ્થ એ $4$ થા અને $5$ માં પદની સરેરાશ છે.
$4$ થું પદ $= x-5$
$5$ મું પદ $= x+1$
મધ્યસ્થ $= \frac{(x-5) + (x+1)}{2} = 67$
$\frac{2x - 4}{2} = 67$
$x - 2 = 67$
$x = 69$.

(C) ધારો કે $10$ અવલોકનો $x_1, x_2, \dots, x_{10}$ છે.
મધ્યકનું સૂત્ર $\bar{x} = \frac{\sum_{i=1}^{10} x_i}{10} = 68$ છે.
આથી $\sum_{i=1}^{10} x_i = 680$ થાય.
પ્રશ્ન મુજબ, દરેક અવલોકનને $2$ વડે ભાગતા અને $6$ ઉમેરતા, નવા અવલોકનો $y_i = \frac{x_i}{2} + 6$ મળે છે.
નવા અવલોકનોનો મધ્યક $\bar{y} = \frac{\sum_{i=1}^{10} y_i}{10}$ છે.
$y_i$ ની કિંમત મૂકતા, $\bar{y} = \frac{\sum_{i=1}^{10} (\frac{x_i}{2} + 6)}{10} = \frac{\frac{1}{2} \sum x_i + 10 \times 6}{10}$ મળે.
$\bar{y} = \frac{1}{2} \bar{x} + 6$.
$\bar{x} = 68$ મૂકતા, $\bar{y} = \frac{68}{2} + 6 = 34 + 6 = 40$ મળે.

(A) $(1)$ સાચું. અવલોકનો $12, 13, 14, 15, 16$ છે. અહીં અવલોકનોની સંખ્યા $n = 5$ (જે એકી સંખ્યા છે) હોવાથી,મધ્યસ્થ એ $\left(\frac{n+1}{2}\right)$ માં અવલોકનનું મૂલ્ય છે. અહીં,$\left(\frac{5+1}{2}\right) = 3$ જો અવલોકન $14$ છે. તેથી,આ વિધાન સાચું છે.
$(2)$ ખોટું. બહુલક એટલે જે અવલોકન સૌથી વધુ વખત પુનરાવર્તિત થતું હોય તે. $1, 3, 5, 7, 9$ ના સમૂહમાં,દરેક અવલોકન માત્ર એક જ વાર આવે છે. તેથી,આ માહિતી માટે કોઈ બહુલક નથી. તેથી,આ વિધાન ખોટું છે.

(N/A) $(1)$ સાચું: પ્રથમ ચાર એકી પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓ $1, 3, 5, 7$ છે. તેમનો મધ્યક $\frac{1+3+5+7}{4} = \frac{16}{4} = 4$ થાય. તેથી,આ વિધાન સાચું છે.
$(2)$ ખોટું: માહિતીનો વિસ્તાર (range) એ સૌથી મોટા અને સૌથી નાના અવલોકન વચ્ચેનો તફાવત છે (વિસ્તાર = મહત્તમ કિંમત - ન્યૂનતમ કિંમત). માત્ર સૌથી મોટી કિંમતને વિસ્તાર કહેવાતી નથી.
$(3)$ ખોટું: મધ્યક = $\frac{\text{અવલોકનોનો સરવાળો}}{\text{અવલોકનોની સંખ્યા}}$. અહીં મધ્યક = $30$ અને અવલોકનોની સંખ્યા = $30$ આપેલ છે,તેથી સરવાળો = $30 \times 30 = 900$ થાય. $900 \neq 60$ હોવાથી,આ વિધાન ખોટું છે.

(B) વર્ગ $0-5$ ની આવૃત્તિ શોધવા માટે,આપણે આ મર્યાદામાં આવતા અવલોકનોની સંખ્યા ગણીએ છીએ.
સતત આવૃત્તિ વિતરણમાં,વર્ગ $0-5$ માં $0$ થી $5$ સુધીની કિંમતોનો સમાવેશ થાય છે,પરંતુ $5$ નો સમાવેશ થતો નથી (એટલે કે $0 \le x < 5$).
આપેલ અવલોકનો છે: $0, 3, 2, 5, 7, 8, 10, 12, 5, 6, 6, 4, 14, 18, 20$.
$0 \le x < 5$ શરતનું પાલન કરતા અવલોકનો:
$0, 3, 2, 4$.
આવા કુલ $4$ અવલોકનો છે.
તેથી,વર્ગ $0-5$ ની આવૃત્તિ $4$ છે.

(C) અવલોકનોના સમૂહનો વિસ્તાર એ માહિતીમાં રહેલા મહત્તમ મૂલ્ય અને ન્યૂનતમ મૂલ્ય વચ્ચેનો તફાવત છે.
સૂત્ર: $\text{વિસ્તાર} = \text{મહત્તમ મૂલ્ય} - \text{ન્યૂનતમ મૂલ્ય}$
આપેલ અવલોકનો: $7, 9, 7, 5, 6, 6, 9, 18, 8, 8, 6$
મહત્તમ મૂલ્ય = $18$
ન્યૂનતમ મૂલ્ય = $5$
$\text{વિસ્તાર} = 18 - 5 = 13$
તેથી,અવલોકનોનો વિસ્તાર $13$ છે.

(D) વર્ગ અંતરાલનું વર્ગ-ચિહ્ન શોધવાનું સૂત્ર છે: $\text{વર્ગ-ચિહ્ન} = \frac{\text{ઉર્ધ્વ સીમા} + \text{નિમ્ન સીમા}}{2}$.
અહીં આપેલ વર્ગ અંતરાલ $70-90$ છે,જેમાં નિમ્ન સીમા $70$ અને ઉર્ધ્વ સીમા $90$ છે.
સૂત્રમાં આ કિંમતો મૂકતા:
$\text{વર્ગ-ચિહ્ન} = \frac{70 + 90}{2} = \frac{160}{2} = 80$.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(A) વર્ગ અંતરાલની વર્ગલંબાઈ (અથવા માપ) તેની ઉર્ધ્વ સીમામાંથી નિમ્ન સીમા બાદ કરીને મેળવવામાં આવે છે.
વર્ગ અંતરાલ $= 50.5 - 55.5$
ઉર્ધ્વ સીમા $= 55.5$
નિમ્ન સીમા $= 50.5$
વર્ગલંબાઈ $= \text{ઉર્ધ્વ સીમા} - \text{નિમ્ન સીમા} = 55.5 - 50.5 = 5$.

(B) વર્ગ અંતરાલનું વર્ગ ચિહ્ન એ વર્ગના મધ્યબિંદુ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
ધારો કે વર્ગની લંબાઈ $h$ છે.
$72$ અને $77$ વર્ગ ચિહ્નો ધરાવતા બે ક્રમિક વર્ગો માટે,વર્ગ ચિહ્નો વચ્ચેનો તફાવત એ વર્ગની લંબાઈ જેટલો હોય છે.
તેથી,વર્ગની લંબાઈ $h = 77 - 72 = 5$.
આમ,વર્ગની લંબાઈ $5$ છે.

(C) બહુલક શોધવા માટે,આપણે માહિતીમાં સૌથી વધુ વખત આવતી કિંમતને ઓળખીએ છીએ.
ચાલો દરેક ગુણની આવૃત્તિ ગણીએ:
$3$ એ $2$ વખત આવે છે.
$4$ એ $3$ વખત આવે છે.
$5$ એ $2$ વખત આવે છે.
$6$ એ $3$ વખત આવે છે.
$7$ એ $3$ વખત આવે છે.
$9$ એ $5$ વખત આવે છે.
$10$ એ $2$ વખત આવે છે.
અહીં $9$ ની આવૃત્તિ સૌથી વધુ ($5$ વખત) હોવાથી,આપેલ માહિતીનો બહુલક $9$ છે.

(D) આપેલ અવલોકનો $5, 6, 8, 9, 6, 7, 8, 9, 4, 5, 8, 9, x, 10$ છે.
પ્રથમ,દરેક અવલોકનની આવૃત્તિ ગણીએ:
$4$ એ $1$ વાર આવે છે.
$5$ એ $2$ વાર આવે છે.
$6$ એ $2$ વાર આવે છે.
$7$ એ $1$ વાર આવે છે.
$8$ એ $3$ વાર આવે છે.
$9$ એ $3$ વાર આવે છે.
$10$ એ $1$ વાર આવે છે.
માહિતીનો બહુલક $9$ હોવા માટે,$9$ ની આવૃત્તિ અન્ય કોઈપણ અવલોકનની આવૃત્તિ કરતા વધારે હોવી જોઈએ.
હાલમાં,$8$ અને $9$ બંને $3$ વાર આવે છે.
તેથી,$9$ ને બહુલક બનાવવા માટે,$x$ ની કિંમત $9$ હોવી જોઈએ,જેનાથી $9$ ની આવૃત્તિ $4$ થશે.

(A) અવલોકનોના મધ્યકનું સૂત્ર $\bar{x} = \frac{\Sigma f_{i} x_{i}}{\Sigma f_{i}}$ છે.
અહીં અવલોકનોની સંખ્યા $\Sigma f_{i} = 20$ અને મધ્યક $\bar{x} = 27.2$ આપેલ છે.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા: $27.2 = \frac{\Sigma f_{i} x_{i}}{20}$.
તેથી,$\Sigma f_{i} x_{i} = 27.2 \times 20 = 544$.

(B) પ્રથમ દસ પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓ $1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10$ છે.
અહીં,અવલોકનોની કુલ સંખ્યા $n = 10$ છે,જે બેકી સંખ્યા છે.
જ્યારે અવલોકનોની સંખ્યા બેકી હોય ત્યારે મધ્યસ્થ શોધવાનું સૂત્ર $\text{મધ્યસ્થ} = \frac{(\frac{n}{2}) \text{ મું અવલોકન} + (\frac{n}{2} + 1) \text{ મું અવલોકન}}{2}$ છે.
$n = 10$ મૂકતા,આપણને $\text{મધ્યસ્થ} = \frac{5 \text{ મું અવલોકન} + 6 \text{ મું અવલોકન}}{2}$ મળે છે.
અહીં $5$ મું અવલોકન $5$ છે અને $6$ મું અવલોકન $6$ છે.
તેથી,$\text{મધ્યસ્થ} = \frac{5 + 6}{2} = \frac{11}{2} = 5.5$.

(A) અવલોકનોના સમૂહનો મધ્યક તમામ અવલોકનોના સરવાળાને અવલોકનોની કુલ સંખ્યા વડે ભાગીને મેળવવામાં આવે છે.
અવલોકનોનો સરવાળો = $(x+5) + (x+3) + (x+11) + (x+1)$
સરવાળો = $4x + (5+3+11+1) = 4x + 20$
અવલોકનોની કુલ સંખ્યા = $4$
મધ્યક = $\frac{\text{અવલોકનોનો સરવાળો}}{\text{અવલોકનોની કુલ સંખ્યા}}$
મધ્યક = $\frac{4x + 20}{4}$
મધ્યક = $\frac{4(x + 5)}{4} = x+5$
તેથી,મધ્યક $x+5$ છે.

(D) ધારો કે $10$ અવલોકનો $x_1, x_2, ..., x_{10}$ છે.
આ અવલોકનોનો મધ્યક $\bar{x} = \frac{\sum_{i=1}^{10} x_i}{10} = 52$ છે.
તેથી,અવલોકનોનો સરવાળો $\sum_{i=1}^{10} x_i = 52 \times 10 = 520$ થાય.
જ્યારે દરેક $10$ અવલોકનમાંથી $12$ બાદ કરવામાં આવે,ત્યારે નવો સરવાળો $\sum_{i=1}^{10} (x_i - 12) = \sum_{i=1}^{10} x_i - (10 \times 12) = 520 - 120 = 400$ થાય.
નવો મધ્યક $\frac{400}{10} = 40$ મળે.
વૈકલ્પિક રીતે,જો દરેક અવલોકનમાંથી અચળ સંખ્યા $k$ બાદ કરવામાં આવે,તો નવો મધ્યક એ મૂળ મધ્યકમાંથી $k$ બાદ કરવાથી મળે છે. આમ,$52 - 12 = 40$.

(A) અહીં અવલોકનોની સંખ્યા $n = 10$ અને ખોટો મધ્યક $\bar{x}_{incorrect} = 22.7$ છે.
અવલોકનોનો સરવાળો (ખોટો) $= n \times \bar{x}_{incorrect} = 10 \times 22.7 = 227$.
સાચો સરવાળો મેળવવા માટે ખોટી કિંમત બાદ કરીને સાચી કિંમત ઉમેરવી પડે: $\text{સાચો સરવાળો} = 227 - 15 + 51$.
$\text{સાચો સરવાળો} = 227 + 36 = 263$.
સાચો મધ્યક $\bar{x}_{correct} = \frac{\text{સાચો સરવાળો}}{n} = \frac{263}{10} = 26.3$.
તેથી,સાચો મધ્યક $26.3$ છે.

(B) $1$ અને $20$ ની વચ્ચેની $3$ ના ગુણક હોય તેવી પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓ: $3, 6, 9, 12, 15, 18$ છે.
મધ્યક શોધવા માટે, આપણે આ સંખ્યાઓનો સરવાળો કરીશું અને તેને કુલ સંખ્યા વડે ભાગીશું.
સરવાળો $= 3 + 6 + 9 + 12 + 15 + 18 = 63$.
પદોની સંખ્યા $= 6$.
મધ્યક $= \frac{\text{સરવાળો}}{\text{પદોની સંખ્યા}} = \frac{63}{6} = 10.5$.

(A) માહિતીનો મધ્યક શોધવાનું સૂત્ર: $\text{મધ્યક} = \frac{\text{અવલોકનોનો સરવાળો}}{\text{અવલોકનોની કુલ સંખ્યા}}$.
આપેલ માહિતી: $\frac{4}{7}, \frac{4}{9}, \frac{3}{7}, \frac{5}{9}$.
અવલોકનોનો સરવાળો = $\frac{4}{7} + \frac{4}{9} + \frac{3}{7} + \frac{5}{9}$.
સમાન છેદવાળા પદોને સાથે લેતા: $(\frac{4}{7} + \frac{3}{7}) + (\frac{4}{9} + \frac{5}{9}) = \frac{7}{7} + \frac{9}{9} = 1 + 1 = 2$.
અવલોકનોની કુલ સંખ્યા = $4$.
મધ્યક = $\frac{2}{4} = \frac{1}{2}$.

(D) $10$ અવલોકનોનો મધ્યક $11$ છે,તેથી $10$ અવલોકનોનો સરવાળો = $10 \times 11 = 110$ થાય.
એક નવું અવલોકન ઉમેર્યા પછી,અવલોકનોની કુલ સંખ્યા $10 + 1 = 11$ થાય છે.
નવો મધ્યક $12$ છે,તેથી $11$ અવલોકનોનો સરવાળો = $11 \times 12 = 132$ થાય.
નવા અવલોકનનું મૂલ્ય = ($11$ અવલોકનોનો સરવાળો) - ($10$ અવલોકનોનો સરવાળો).
મૂલ્ય = $132 - 110 = 22$.

(A) ચોક્કસ હેતુ સાથે એકત્રિત કરવામાં આવેલી હકીકતો અથવા આંકડાઓ,જે સંખ્યાત્મક અથવા અન્ય પ્રકારના હોય છે,તેને માહિતી (data) કહેવામાં આવે છે. 'Data' એ લેટિન શબ્દ 'datum' નું બહુવચન સ્વરૂપ છે.

(B) આંકડાશાસ્ત્ર એ ગણિતની એવી શાખા છે જે માહિતીના એકત્રીકરણ,આયોજન,વિશ્લેષણ,અર્થઘટન અને રજૂઆત સાથે સંબંધિત છે. તે ખાસ કરીને કાચી માહિતીમાંથી અર્થપૂર્ણ માહિતી મેળવવા સાથે સંબંધિત છે.

(C) સંખ્યાઓના સમૂહનો મધ્યક (સરેરાશ) સંખ્યાઓના સરવાળાને કુલ સંખ્યા વડે ભાગીને મેળવવામાં આવે છે.
આપેલ સંખ્યાઓનો સરવાળો = $3 + (-3) + (-3) + 3 + 3 + (-3) = 3 - 3 - 3 + 3 + 3 - 3 = 0$.
કુલ સંખ્યાઓ = $6$.
મધ્યક = $\frac{\text{સંખ્યાઓનો સરવાળો}}{\text{કુલ સંખ્યાઓ}} = \frac{0}{6} = 0$.
તેથી,મધ્યક $0$ છે.

(D) જ્યારે માહિતી તપાસકર્તા દ્વારા પહેલેથી અસ્તિત્વમાં હોય તેવા સ્ત્રોત (જેમ કે સરકારી પ્રકાશનો,સમાચારપત્રો અથવા સંશોધન અહેવાલો) માંથી એકત્રિત કરવામાં આવે છે,ત્યારે તેને ગૌણ માહિતી (secondary data) કહેવામાં આવે છે. બીજી તરફ,પ્રાથમિક માહિતી એ છે જે તપાસકર્તા દ્વારા કોઈ ચોક્કસ હેતુ માટે સીધી રીતે એકત્રિત કરવામાં આવે છે.

(A) આપેલ માહિતીના સમૂહમાં મહત્તમ (સૌથી વધુ) કિંમત અને ન્યૂનતમ (સૌથી ઓછી) કિંમત વચ્ચેના તફાવતને તે માહિતીનો વિસ્તાર (Range) કહેવામાં આવે છે. તેથી,સાચો જવાબ વિસ્તાર છે.

(B) જ્યારે ડેટાના મોટા સમૂહ સાથે કામ કરવામાં આવે છે,ત્યારે વ્યક્તિગત મૂલ્યોનું અર્થઘટન કરવું મુશ્કેલ હોય છે. ડેટાને વધુ વ્યવસ્થિત અને સમજવા યોગ્ય બનાવવા માટે,આપણે મૂલ્યોને અંતરાલો અથવા શ્રેણીઓમાં જૂથબદ્ધ કરીએ છીએ. આ જૂથોને $classes$ (વર્ગો) અથવા $class$ $intervals$ (વર્ગ લંબાઈ) તરીકે ઓળખવામાં આવે છે.

(C) જ્યારે કોઈ સંશોધક કોઈ ચોક્કસ હેતુ માટે વ્યક્તિગત રીતે માહિતી એકત્રિત કરે છે,ત્યારે તેને $primary$ $data$ (પ્રાથમિક ડેટા) કહેવામાં આવે છે. આ પ્રકારનો ડેટા મૂળભૂત સ્વરૂપનો હોય છે અને સંશોધક દ્વારા પ્રથમ વખત એકત્રિત કરવામાં આવે છે.

(D) આવૃત્તિ બહુકોણમાં,$x$-અક્ષ પર વર્ગ અંતરાલના વર્ગ ચિહ્નો (મધ્યબિંદુઓ) દર્શાવવામાં આવે છે અને $y$-અક્ષ પર અનુરૂપ આવૃત્તિઓ દર્શાવવામાં આવે છે. વર્ગ ચિહ્ન = $\frac{\text{ઉર્ધ્વ સીમા} + \text{નિમ્ન સીમા}}{2}$.

(A) આંકડાશાસ્ત્રમાં,આપેલી અવર્ગીકૃત માહિતી માટે,જે અવલોકન સૌથી વધુ આવૃત્તિ સાથે આવે છે તેને બહુલક તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે. તેથી,જે અવલોકન સૌથી વધુ વખત પુનરાવર્તિત થાય છે તેને માહિતીનો બહુલક કહેવામાં આવે છે.

(B) જ્યારે માહિતીના સમૂહને ચડતા કે ઉતરતા ક્રમમાં ગોઠવવામાં આવે છે,ત્યારે મધ્યમાં રહેલા અવલોકનને માહિતીનો મધ્યસ્થ કહેવામાં આવે છે. તે વિતરણનું કેન્દ્રીય મૂલ્ય દર્શાવે છે.

(C) અવલોકનોના સમૂહનો મધ્યક એ અવલોકનોના સરવાળાને અવલોકનોની કુલ સંખ્યા વડે ભાગવાથી મળે છે.
આપેલ અવલોકનો: $18, 2x, 27, 12, 3x, 5x, 21$.
અવલોકનોની કુલ સંખ્યા $(n)$ = $7$.
મધ્યક = $\frac{\text{અવલોકનોનો સરવાળો}}{n} = 24$.
અવલોકનોનો સરવાળો = $18 + 2x + 27 + 12 + 3x + 5x + 21 = 10x + 78$.
સમીકરણ બનાવતા: $\frac{10x + 78}{7} = 24$.
બંને બાજુ $7$ વડે ગુણતા: $10x + 78 = 168$.
બંને બાજુથી $78$ બાદ કરતા: $10x = 90$.
$10$ વડે ભાગતા: $x = 9$.

(D) $n$ અવલોકનોના મધ્યક $(\bar{x})$ નું સૂત્ર $\bar{x} = \frac{\Sigma f_{i} x_{i}}{n}$ છે.
અહીં અવલોકનોની સંખ્યા $n = 35$ અને મધ્યક $\bar{x} = 42$ આપેલ છે.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા: $42 = \frac{\Sigma f_{i} x_{i}}{35}$.
તેથી,અવલોકનોનો સરવાળો $\Sigma f_{i} x_{i} = 42 \times 35$.
ગુણાકાર કરતા: $42 \times 35 = 1470$.
આમ,અવલોકનોનો સરવાળો $1470$ છે.

(A) અવલોકનોના સમૂહનો મધ્યક એ અવલોકનોના સરવાળાને અવલોકનોની કુલ સંખ્યા વડે ભાગીને મેળવવામાં આવે છે.
સૂત્ર: $\text{મધ્યક} = \frac{\text{અવલોકનોનો સરવાળો}}{\text{અવલોકનોની સંખ્યા}}$
આપેલ છે:
અવલોકનોનો સરવાળો = $900$
અવલોકનોની સંખ્યા = $25$
ગણતરી:
$\text{મધ્યક} = \frac{900}{25} = 36$
તેથી, અવલોકનોનો મધ્યક $36$ છે.

(B) પ્રથમ સાત પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓ $1, 2, 3, 4, 5, 6, 7$ છે.
મધ્યક શોધવાનું સૂત્ર છે: $\text{મધ્યક} = \frac{\text{અવલોકનોનો સરવાળો}}{\text{અવલોકનોની સંખ્યા}}$.
પ્રથમ સાત પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓનો સરવાળો = $1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 = 28$.
અવલોકનોની સંખ્યા = $7$.
મધ્યક = $\frac{28}{7} = 4$.
તેથી,પ્રથમ સાત પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓનો મધ્યક $4$ છે.

(C) આપેલા અવલોકનો $41, 48, x+1, x+5, 62, 72$ છે.
અવલોકનોની કુલ સંખ્યા $n = 6$ છે,જે બેકી સંખ્યા છે.
બેકી સંખ્યાના અવલોકનોનો મધ્યસ્થ એ $(\frac{n}{2})$ માં અને $(\frac{n}{2} + 1)$ માં પદની સરેરાશ છે.
અહીં,$3$ જું પદ $x+1$ છે અને $4$ થું પદ $x+5$ છે.
મધ્યસ્થ $= \frac{(x+1) + (x+5)}{2} = 53$.
$\frac{2x + 6}{2} = 53$.
$x + 3 = 53$.
$x = 53 - 3 = 50$.

(B) વિભાજ્ય સંખ્યા એટલે એવી પ્રાકૃતિક સંખ્યા જે $1$ કરતા મોટી હોય અને જેને $1$ અને તે સંખ્યા સિવાય અન્ય કોઈ અવયવ હોય.
પ્રથમ પાંચ વિભાજ્ય સંખ્યાઓ $4, 6, 8, 9, 10$ છે.
મધ્યસ્થ શોધવા માટે,આપણે માહિતીને ચડતા ક્રમમાં ગોઠવીએ છીએ (જે અહીં પહેલેથી જ ગોઠવાયેલી છે: $4, 6, 8, 9, 10$).
અહીં અવલોકનોની સંખ્યા $(n = 5)$ એકી છે,તેથી મધ્યસ્થ એ વચ્ચેનું પદ છે,જે $\left(\frac{n+1}{2}\right)^{th}$ પદ છે.
મધ્યસ્થ $= \left(\frac{5+1}{2}\right)^{th} = 3^{rd}$ પદ.
આ શ્રેણીમાં $3^{rd}$ પદ $8$ છે.
તેથી,મધ્યસ્થ $8$ છે.

(A) માહિતીનો વિસ્તાર એટલે મહત્તમ અવલોકન અને ન્યૂનતમ અવલોકન વચ્ચેનો તફાવત.
આપેલ માહિતી: $28, 16, 9, 17, 82, 71, 41, 18, 25, 15$.
મહત્તમ કિંમત $(Max)$ = $82$.
ન્યૂનતમ કિંમત $(Min)$ = $9$.
વિસ્તાર = $Max - Min = 82 - 9 = 73$.
તેથી,માહિતીનો વિસ્તાર $73$ છે.

(B) અવલોકનોના મધ્યકનું સૂત્ર આ મુજબ છે: $\text{મધ્યક} = \frac{\text{અવલોકનોનો સરવાળો}}{\text{અવલોકનોની સંખ્યા}}$.
અહીં આપેલ છે કે અવલોકનોનો સરવાળો $975$ છે અને મધ્યક $32.5$ છે.
ધારો કે અવલોકનોની સંખ્યા $n$ છે.
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા: $32.5 = \frac{975}{n}$.
$n$ ની કિંમત શોધવા માટે સમીકરણને ફરીથી ગોઠવતા: $n = \frac{975}{32.5}$.
$n = \frac{9750}{325} = 30$.
તેથી,અવલોકનોની સંખ્યા $30$ છે.

(C) પ્રથમ પાંચ અવિભાજ્ય સંખ્યાઓ $2, 3, 5, 7$ અને $11$ છે.
મધ્યક શોધવા માટે, આપણે આ સંખ્યાઓનો સરવાળો કરીએ છીએ અને તેને સંખ્યાઓની કુલ સંખ્યા વડે ભાગીએ છીએ.
સરવાળો $= 2 + 3 + 5 + 7 + 11 = 28$.
પદોની સંખ્યા $= 5$.
મધ્યક $= \frac{\text{પદોનો સરવાળો}}{\text{પદોની સંખ્યા}} = \frac{28}{5} = 5.6$.

(D) મધ્યસ્થ શોધવા માટે,સૌ પ્રથમ આપેલા અવલોકનોને ચડતા ક્રમમાં ગોઠવો:
$3, 4, 5, 8, 10, 12, 18, 20$.
અવલોકનોની કુલ સંખ્યા $n = 8$ છે,જે બેકી સંખ્યા છે.
જ્યારે અવલોકનોની સંખ્યા બેકી હોય,ત્યારે મધ્યસ્થ એ $(\frac{n}{2})$ માં અને $(\frac{n}{2} + 1)$ માં પદની સરેરાશ હોય છે.
અહીં,$\frac{n}{2} = \frac{8}{2} = 4$ થું પદ અને $(\frac{n}{2} + 1) = 5$ મું પદ.
$4$ થું પદ $8$ છે અને $5$ મું પદ $10$ છે.
મધ્યસ્થ = $\frac{8 + 10}{2} = \frac{18}{2} = 9$.