Young's Double Slit Experiment (YDSE) Questions in Hindi

(A) व्यतिकरण प्रतिरूप में किसी भी बिंदु पर तीव्रता $I = I_{max} \cos^2(\frac{\phi}{2})$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $I_{max} = K$ और $\phi$ कलांतर है।
कलांतर $\phi$ और पथ अंतर $\Delta x$ के बीच संबंध $\phi = \frac{2\pi}{\lambda} \Delta x$ है।
दिए गए पथ अंतर $\Delta x = \frac{\lambda}{6}$ के लिए,कलांतर $\phi = \frac{2\pi}{\lambda} \times \frac{\lambda}{6} = \frac{\pi}{3}$ होगा।
इस मान को तीव्रता के सूत्र में रखने पर: $I = K \cos^2(\frac{\pi/3}{2}) = K \cos^2(\frac{\pi}{6})$.
चूंकि $\cos(\frac{\pi}{6}) = \cos(30^{\circ}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$,इसलिए $I = K (\frac{\sqrt{3}}{2})^2 = K (\frac{3}{4}) = \frac{3K}{4}$ प्राप्त होता है।

(D) फ्रिंज की चौड़ाई $W = \frac{\lambda D}{d} = X$ (दिया गया है)।
केंद्रीय उच्चिष्ठ से $n$ वीं दीप्त फ्रिंज की स्थिति $y_n = n \frac{\lambda D}{d} = nX$ होती है।
चौथी दीप्त फ्रिंज के लिए,$y_4 = 4X$।
केंद्रीय उच्चिष्ठ से $n$ वीं अदीप्त फ्रिंज की स्थिति $y'_n = (2n - 1) \frac{\lambda D}{2d} = (2n - 1) \frac{X}{2}$ होती है।
छठी अदीप्त फ्रिंज के लिए,$y'_6 = (2(6) - 1) \frac{X}{2} = \frac{11X}{2} = 5.5X$।
चूंकि फ्रिंज केंद्रीय दीप्त बैंड के विपरीत दिशाओं में हैं,इसलिए कुल दूरी उनके स्थितियों के परिमाण का योग होगी:
कुल दूरी $= y_4 + y'_6 = 4X + 5.5X = 9.5X$।

(A) यंग के द्वि-स्लिट प्रयोग में $n^{\text{th}}$ उच्चिष्ठ की स्थिति $y_n = \frac{n \lambda D}{d}$ द्वारा दी जाती है।
तरंगदैर्ध्य $\lambda_1$ के लिए $n^{\text{th}}$ उच्चिष्ठ की दूरी $y_1 = \frac{n \lambda_1 D}{d} \quad (i)$ है।
तरंगदैर्ध्य $\lambda_2$ के लिए $(\frac{n}{3})^{\text{th}}$ उच्चिष्ठ की दूरी $y_2 = \frac{(\frac{n}{3}) \lambda_2 D}{d} \quad (ii)$ है।
समीकरण $(i)$ और $(ii)$ का अनुपात लेने पर:
$\frac{y_1}{y_2} = \frac{\frac{n \lambda_1 D}{d}}{\frac{n \lambda_2 D}{3d}} = \frac{n \lambda_1 D}{d} \times \frac{3d}{n \lambda_2 D} = \frac{3 \lambda_1}{\lambda_2}$.
अतः,अनुपात $\frac{y_1}{y_2}$ का मान $\frac{3 \lambda_1}{\lambda_2}$ है।

(C) $n$-वीं दीप्त फ्रिंज के लिए,स्थिति $y_n = \frac{n \lambda D}{d}$ द्वारा दी जाती है।
$10$-वीं दीप्त फ्रिंज के लिए $(n=10)$:
$y_{10} = \frac{10 \lambda D}{d} = \frac{10 \times \lambda \times 1.2}{0.6 \times 10^{-3}} = (20 \times 10^3) \lambda \quad \dots(i)$
$n$-वीं अदीप्त फ्रिंज के लिए,स्थिति $y'_n = \frac{(2n-1) \lambda D}{2d}$ द्वारा दी जाती है।
$3$-री अदीप्त फ्रिंज के लिए $(n=3)$:
$y'_3 = \frac{(2 \times 3 - 1) \lambda D}{2d} = \frac{5 \lambda D}{2d} = \frac{5 \times \lambda \times 1.2}{2 \times 0.6 \times 10^{-3}} = (5 \times 10^3) \lambda \quad \dots(ii)$
दिया गया है कि उनके बीच की दूरी $8.85 \ mm$ है:
$y_{10} - y'_3 = 8.85 \times 10^{-3} \ m$
$(20 \times 10^3) \lambda - (5 \times 10^3) \lambda = 8.85 \times 10^{-3}$
$(15 \times 10^3) \lambda = 8.85 \times 10^{-3}$
$\lambda = \frac{8.85 \times 10^{-3}}{15 \times 10^3} = 0.59 \times 10^{-6} \ m = 5.9 \times 10^{-7} \ m$
$\lambda = 5900 \ Å$.

(B) मान लीजिए कि बिंदु $P$ स्लिट $S_1$ के ठीक सामने है। दूरी $S_1P = D$ और $S_2P = \sqrt{D^2 + d^2}$ है।
$S_2P$ के लिए द्विपद विस्तार (binomial expansion) का उपयोग करने पर:
$S_2P = D(1 + \frac{d^2}{D^2})^{1/2} \approx D(1 + \frac{d^2}{2D^2}) = D + \frac{d^2}{2D}$.
बिंदु $P$ पर पथ अंतर (path difference) $\Delta x$ है:
$\Delta x = S_2P - S_1P = (D + \frac{d^2}{2D}) - D = \frac{d^2}{2D}$.
$n^{\text{th}}$ अदीप्त फ्रिंज के लिए,पथ अंतर की शर्त है:
$\Delta x = (2n - 1) \frac{\lambda}{2}$.
दिया गया है $\lambda = \frac{d^2}{3D}$,इस मान को शर्त में रखने पर:
$\frac{d^2}{2D} = (2n - 1) \frac{d^2}{6D}$.
दोनों पक्षों को $\frac{d^2}{D}$ से विभाजित करने पर:
$\frac{1}{2} = \frac{2n - 1}{6}$.
$3 = 2n - 1 \Rightarrow 2n = 4 \Rightarrow n = 2$.

(C) यंग के द्वि-स्लिट प्रयोग में,फ्रिंज की चौड़ाई $W$ का सूत्र $W = \frac{\lambda D}{d}$ है,जहाँ $\lambda$ प्रकाश की तरंगदैर्ध्य है,$D$ स्क्रीन और स्लिट के बीच की दूरी है,और $d$ दो स्लिट्स के बीच की दूरी है।
चूंकि बैंगनी प्रकाश की तरंगदैर्ध्य $(\lambda_{violet} \approx 400 \ nm)$ सोडियम प्रकाश की तरंगदैर्ध्य $(\lambda_{sodium} \approx 589 \ nm)$ से काफी कम होती है,इसलिए सोडियम प्रकाश के स्थान पर बैंगनी प्रकाश का उपयोग करने पर फ्रिंज की चौड़ाई $W$ कम हो जाती है।

(C) यंग के द्वि-झिरी प्रयोग में,विनाशी व्यतिकरण (destructive interference) के कारण अदीप्त फ्रिंज बनती हैं।
विनाशी व्यतिकरण के लिए,पथांतर $\Delta x$ अर्ध-तरंगदैर्ध्य का विषम गुणज होना चाहिए,अर्थात $\Delta x = (2n-1) \frac{\lambda}{2}$।
कलांतर $\Delta \phi$ और पथांतर $\Delta x$ के बीच का संबंध $\Delta \phi = \frac{2\pi}{\lambda} \Delta x$ द्वारा दिया जाता है।
$\Delta x$ का मान प्रतिस्थापित करने पर: $\Delta \phi = \frac{2\pi}{\lambda} \times (2n-1) \frac{\lambda}{2} = (2n-1) \pi$।
अतः,अदीप्त फ्रिंज के लिए कलांतर $(2n-1) \pi$ होता है।

(B) मान लीजिए कि दो व्यक्तिगत तरंगों की तीव्रता $I_0$ है। परिणामी तीव्रता $I$ का सूत्र $I = I_0 + I_0 + 2\sqrt{I_0 I_0} \cos \phi = 2I_0(1 + \cos \phi) = 4I_0 \cos^2(\phi/2)$ है।
- न्यूनतम तीव्रता $I_{min}$ तब होती है जब $\phi = \pi$ हो,इसलिए $I_{min} = 4I_0 \cos^2(\pi/2) = 0$ है।
- पथ अंतर $\Delta x = \lambda/4$ का कलांतर $\phi = \frac{2\pi}{\lambda} \Delta x = \frac{2\pi}{\lambda} \cdot \frac{\lambda}{4} = \frac{\pi}{2}$ होता है।
- इस बिंदु पर तीव्रता $I_1 = 4I_0 \cos^2(\pi/4) = 4I_0 (1/\sqrt{2})^2 = 2I_0$ है।
- अनुपात $I_{min} / I_1 = 0 / 2I_0 = 0$ है।

(C) व्यतिकरण प्रतिरूप में किसी भी बिंदु के लिए,तीव्रता $I = I_{\max} \cos^2 \left(\frac{\phi}{2}\right)$ द्वारा दी जाती है।
दिया गया है कि $I = \frac{I_{\max}}{4}$,इसलिए $\frac{I_{\max}}{4} = I_{\max} \cos^2 \left(\frac{\phi}{2}\right)$.
यह सरल होकर $\cos^2 \left(\frac{\phi}{2}\right) = \frac{1}{4}$ हो जाता है,जिसका अर्थ है $\cos \left(\frac{\phi}{2}\right) = \frac{1}{2}$.
अतः,$\frac{\phi}{2} = 60^{\circ} = \frac{\pi}{3}$,जिससे कलांतर $\phi = \frac{2\pi}{3}$ प्राप्त होता है।
कलांतर और पथ अंतर $\Delta x$ के बीच संबंध $\phi = \left(\frac{2\pi}{\lambda}\right) \Delta x$ है।
$\Delta x = d \sin \theta$ रखने पर,हमें $\frac{2\pi}{3} = \left(\frac{2\pi}{\lambda}\right) d \sin \theta$ प्राप्त होता है।
$\sin \theta$ के लिए हल करने पर,$\sin \theta = \frac{\lambda}{3d}$ मिलता है,जिसका अर्थ है $\theta = \sin^{-1} \left(\frac{\lambda}{3d}\right)$।

(C) यंग के डबल स्लिट प्रयोग में फ्रिंज की चौड़ाई $(\beta)$ का सूत्र $\beta = \frac{D \lambda}{d}$ है,जहाँ $D$ स्लिट और स्क्रीन के बीच की दूरी है,$\lambda$ प्रकाश की तरंगदैर्ध्य है और $d$ स्लिट्स के बीच की दूरी है।
यहाँ दिया गया है कि नई स्लिट दूरी $d' = 10d$ और स्क्रीन से नई दूरी $D' = \frac{D}{2}$ है।
नई फ्रिंज चौड़ाई $\beta'$ इस प्रकार होगी: $\beta' = \frac{D' \lambda}{d'} = \frac{(\frac{D}{2}) \lambda}{10d} = \frac{D \lambda}{20d}$।
चूँकि $\beta = \frac{D \lambda}{d}$,इसलिए $\beta' = \frac{\beta}{20}$।
अतः,फ्रिंज की चौड़ाई मूल चौड़ाई की $\frac{1}{20}$ गुना हो जाती है।

(C) दिया गया है: फ्रिंज की चौड़ाई $W = 2 \, mm$ है।
स्क्रीन के केंद्र से $n^{\text{वीं}}$ दीप्त फ्रिंज की दूरी $y_n = nW$ होती है।
स्क्रीन के केंद्र से $n^{\text{वीं}}$ अदीप्त फ्रिंज की दूरी $y'_n = (n - 0.5)W$ होती है।
$13^{\text{वीं}}$ दीप्त फ्रिंज के लिए, $n = 13$: $y_{13} = 13 \times 2 = 26 \, mm$।
$4^{\text{थी}}$ अदीप्त फ्रिंज के लिए, $n = 4$: $y'_4 = (4 - 0.5) \times 2 = 3.5 \times 2 = 7 \, mm$।
उनके बीच की दूरी $y_{13} - y'_4 = 26 \, mm - 7 \, mm = 19 \, mm$ होगी।

(B) कलांतर $\Delta \phi$ और पथ अंतर $\Delta x$ के बीच का संबंध $\Delta \phi = \frac{2\pi}{\lambda} \Delta x$ द्वारा दिया जाता है।
पथ अंतर $\Delta x = \frac{\lambda}{4}$ के लिए,कलांतर $\Delta \phi = \frac{2\pi}{\lambda} \times \frac{\lambda}{4} = \frac{\pi}{2}$ होगा।
व्यतिकरण प्रतिरूप में किसी भी बिंदु पर तीव्रता $I = I_0 \cos^2 \left( \frac{\Delta \phi}{2} \right)$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $I_0$ अधिकतम तीव्रता है।
सूत्र में $\Delta \phi = \frac{\pi}{2}$ का मान रखने पर:
$\frac{I}{I_0} = \cos^2 \left( \frac{\pi/2}{2} \right) = \cos^2 \left( \frac{\pi}{4} \right)$.
चूंकि $\cos \left( \frac{\pi}{4} \right) = \frac{1}{\sqrt{2}}$,इसलिए $\frac{I}{I_0} = \left( \frac{1}{\sqrt{2}} \right)^2 = \frac{1}{2}$ होगा।

(D) दिया गया है: स्लिट के बीच की दूरी $d = 0.6 \, mm = 0.6 \times 10^{-3} \, m$, पर्दे की दूरी $D = 1.2 \, m$, तरंगदैर्ध्य $\lambda = 6000 \, \mathring{A} = 6000 \times 10^{-10} \, m$, और पर्दे पर स्थिति $y = 3 \, mm = 3 \times 10^{-3} \, m$.
बिंदु $y$ पर पथ अंतर $\Delta x$ का सूत्र $\Delta x = \frac{d \cdot y}{D}$ है।
मान रखने पर: $\Delta x = \frac{(0.6 \times 10^{-3} \, m) \times (3 \times 10^{-3} \, m)}{1.2 \, m} = \frac{1.8 \times 10^{-6}}{1.2} \, m = 1.5 \times 10^{-6} \, m$.
कलांतर $\Delta \phi$ और पथ अंतर के बीच संबंध $\Delta \phi = \frac{2 \pi}{\lambda} \cdot \Delta x$ है।
मान रखने पर: $\Delta \phi = \frac{2 \pi}{6000 \times 10^{-10}} \times 1.5 \times 10^{-6} = \frac{2 \pi \times 1.5 \times 10^{-6}}{6 \times 10^{-7}} = \frac{3 \pi \times 10^{-6}}{6 \times 10^{-7}} = 0.5 \pi \times 10 = 5 \pi \, \text{रेडियन}$.

(C) यंग के द्वि-झिरी प्रयोग में फ्रिंज चौड़ाई $(W)$ का सूत्र इस प्रकार है:
$W = \frac{\lambda D}{d}$
जहाँ $\lambda$ प्रकाश की तरंगदैर्ध्य है,$D$ झिरियों और पर्दे के बीच की दूरी है,और $d$ झिरियों के बीच की दूरी है।
प्रश्न के अनुसार,झिरियों के बीच की दूरी को दोगुना कर दिया गया है,इसलिए नई दूरी $d' = 2d$ है।
हम फ्रिंज चौड़ाई को समान रखना चाहते हैं,इसलिए $W' = W$ होगा।
सूत्र में मान रखने पर:
$W' = \frac{\lambda D'}{d'} = \frac{\lambda D'}{2d}$
चूंकि $W = W'$,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{\lambda D}{d} = \frac{\lambda D'}{2d}$
दोनों पक्षों से $\lambda$ और $d$ को हटाने पर:
$D = \frac{D'}{2}$
इसलिए,$D' = 2D$ होगा।
अतः,झिरियों से पर्दे की दूरी को दोगुना किया जाना चाहिए।

(C) माध्यम में प्रकाश की तरंगदैर्ध्य $\lambda_{\text{liquid}} = \frac{\lambda_{\text{air}}}{\mu}$ द्वारा दी जाती है।
यहाँ $\lambda_{\text{air}} = 6300 \,Å = 6300 \times 10^{-10} \,m$ और $\mu = 1.33$ है।
अतः, $\lambda_{\text{liquid}} = \frac{6300 \times 10^{-10}}{1.33} \,m$.
फ्रिंज की चौड़ाई $W$ का सूत्र $W = \frac{\lambda_{\text{liquid}} \times D}{d}$ है।
यहाँ $D = 1.33 \,m$ और $d = 1 \,mm = 10^{-3} \,m$ है।
मान रखने पर:
$W = \frac{(6300 \times 10^{-10} / 1.33) \times 1.33}{10^{-3}}$
$W = \frac{6300 \times 10^{-10}}{10^{-3}} = 6300 \times 10^{-7} \,m = 6.3 \times 10^{-4} \,m$.

(B) फ्रिंज चौड़ाई का सूत्र $W = \frac{\lambda D}{d}$ है।
इस संबंध से,हम देख सकते हैं कि $W \propto \lambda$,$W \propto D$ और $W \propto \frac{1}{d}$ है।
फ्रिंजों को अधिक निकट लाने के लिए,फ्रिंज चौड़ाई $W$ को कम होना चाहिए।
चूंकि $W \propto \lambda$,तरंगदैर्ध्य $\lambda$ को कम करने से फ्रिंज चौड़ाई कम हो जाएगी।
नीले प्रकाश की तरंगदैर्ध्य हरे प्रकाश की तुलना में कम होती है $(\lambda_{\text{blue}} < \lambda_{\text{green}})$।
इसलिए,हरे प्रकाश के स्थान पर नीले प्रकाश का उपयोग करने से फ्रिंज एक-दूसरे के अधिक निकट आ जाएंगे।

(A) यंग के द्वि-स्लिट प्रयोग में केंद्रीय दीप्त फ्रिंज (उच्चिष्ठ) से $n$ वें दीप्त फ्रिंज की स्थिति का सूत्र है: $y_n = \frac{n \lambda D}{d}$।
$\lambda_1$ तरंगदैर्ध्य के लिए पांचवें उच्चिष्ठ $(n = 5)$ की दूरी $y_1 = \frac{5 \lambda_1 D}{d}$ है।
$\lambda_2$ तरंगदैर्ध्य के लिए पांचवें उच्चिष्ठ $(n = 5)$ की दूरी $y_2 = \frac{5 \lambda_2 D}{d}$ है।
दोनों दूरियों का अनुपात लेने पर:
$\frac{y_1}{y_2} = \frac{\frac{5 \lambda_1 D}{d}}{\frac{5 \lambda_2 D}{d}} = \frac{\lambda_1}{\lambda_2}$।

(C) कलांतर $\phi$ और पथ अंतर $\Delta x$ के बीच संबंध $\phi = \frac{2\pi}{\lambda} \Delta x$ है।
पहले बिंदु के लिए,पथ अंतर $\Delta x_1 = \frac{\lambda}{4}$ है।
अतः,$\phi_1 = \frac{2\pi}{\lambda} \times \frac{\lambda}{4} = \frac{\pi}{2}$।
परिणामी तीव्रता $I$ का सूत्र $I = 4I_0 \cos^2(\frac{\phi}{2}) = 2I_0(1 + \cos \phi)$ है।
$\phi_1 = \frac{\pi}{2}$ के लिए,$I_1 = 2I_0(1 + \cos(\frac{\pi}{2})) = 2I_0(1 + 0) = 2I_0$।
दूसरे बिंदु के लिए,पथ अंतर $\Delta x_2 = \frac{\lambda}{3}$ है।
अतः,$\phi_2 = \frac{2\pi}{\lambda} \times \frac{\lambda}{3} = \frac{2\pi}{3}$।
$\phi_2 = \frac{2\pi}{3}$ के लिए,$I_2 = 2I_0(1 + \cos(\frac{2\pi}{3})) = 2I_0(1 - \frac{1}{2}) = 2I_0(\frac{1}{2}) = I_0$।
इसलिए,$\frac{I_1 + I_2}{I_0} = \frac{2I_0 + I_0}{I_0} = \frac{3I_0}{I_0} = 3$।

(A) $t$ मोटाई और $\mu$ अपवर्तनांक वाली कांच की प्लेट को पेश करने के कारण फ्रिंज विस्थापन $y$ सूत्र द्वारा दिया जाता है: $y = \frac{D}{\text{d}} (\mu - 1) t = \frac{\beta}{\lambda} (\mu - 1) t$.
पहली प्लेट के लिए दिया गया है कि $\mu_1 = 1.44$,इसलिए विस्थापन $y_1 = y = \frac{\beta}{\lambda} (1.44 - 1) t = 0.44 t \frac{\beta}{\lambda}$.
दूसरी प्लेट के लिए $\mu_2 = 1.66$,नया विस्थापन $y_2$ इस प्रकार है: $y_2 = \frac{\beta}{\lambda} (1.66 - 1) t = 0.66 t \frac{\beta}{\lambda}$.
दोनों विस्थापनों का अनुपात लेने पर: $\frac{y_2}{y_1} = \frac{0.66}{0.44} = \frac{66}{44} = \frac{3}{2}$.
अतः,$y_2 = \frac{3}{2} y$.

(B) व्यतिकरण के कारण किसी बिंदु पर तीव्रता $I = I_1 + I_2 + 2\sqrt{I_1 I_2} \cos \phi$ द्वारा दी जाती है।
पथ अंतर $\Delta x$ के लिए,कलांतर $\phi = \frac{2\pi}{\lambda} \Delta x$ होता है।
पथ अंतर $\Delta x_1 = \frac{\lambda}{4}$ के लिए,कलांतर $\phi_1 = \frac{2\pi}{\lambda} \times \frac{\lambda}{4} = \frac{\pi}{2}$ है।
पथ अंतर $\Delta x_2 = \frac{\lambda}{6}$ के लिए,कलांतर $\phi_2 = \frac{2\pi}{\lambda} \times \frac{\lambda}{6} = \frac{\pi}{3}$ है।
यह मानते हुए कि व्यतिकरण करने वाली तरंगों की तीव्रता समान है,$I_1 = I_2 = I_0$,तीव्रता का सूत्र $I = 2I_0(1 + \cos \phi)$ हो जाता है।
$\phi_1 = \frac{\pi}{2}$ के लिए,$I_1 = 2I_0(1 + \cos 90^{\circ}) = 2I_0(1 + 0) = 2I_0$ है।
$\phi_2 = \frac{\pi}{3}$ के लिए,$I_2 = 2I_0(1 + \cos 60^{\circ}) = 2I_0(1 + 0.5) = 2I_0(1.5) = 3I_0$ है।
तीव्रताओं का अनुपात $\frac{I_1}{I_2} = \frac{2I_0}{3I_0} = \frac{2}{3}$ है।

(D) दिया गया पथ अंतर $\Delta x = 3 \mu m = 3 \times 10^{-6} \text{ m}$ है।
तरंगदैर्ध्य $\lambda = 5000 \text{ Å} = 5000 \times 10^{-10} \text{ m} = 5 \times 10^{-7} \text{ m}$ है।
संपोषी व्यतिकरण (दीप्त फ्रिंज) के लिए शर्त $\Delta x = n \lambda$ है,जहाँ $n = 0, 1, 2, 3, \dots$ है।
मान रखने पर: $3 \times 10^{-6} = n \times (5 \times 10^{-7})$.
$n = \frac{3 \times 10^{-6}}{5 \times 10^{-7}} = \frac{30}{5} = 6$.
चूंकि $n = 6$ एक पूर्णांक है,इसलिए बिंदु $Q$ पर $6^{\text{th}}$ दीप्त फ्रिंज प्राप्त होगी।

(B) यंग के द्वि-स्लिट प्रयोग में केंद्रीय उच्चिष्ठ से $n^{\text{th}}$ उच्चिष्ठ की दूरी का सूत्र है: $d = \frac{n \lambda D}{a}$,जहाँ $n$ उच्चिष्ठ का क्रम है,$\lambda$ तरंगदैर्ध्य है,$D$ पर्दे की दूरी है और $a$ स्लिटों के बीच की दूरी है।
चूंकि $D$ और $a$ स्थिर हैं,इसलिए $d \propto n \lambda$ होगा।
$\lambda_1$ तरंगदैर्ध्य के लिए $8^{\text{th}}$ उच्चिष्ठ: $d_1 = 8 \lambda_1 \times (\frac{D}{a})$.
$\lambda_2$ तरंगदैर्ध्य के लिए $6^{\text{th}}$ उच्चिष्ठ: $d_2 = 6 \lambda_2 \times (\frac{D}{a})$.
अनुपात $\frac{d_2}{d_1}$ लेने पर:
$\frac{d_2}{d_1} = \frac{6 \lambda_2}{8 \lambda_1} = \frac{3 \lambda_2}{4 \lambda_1}$.

(A) व्यतिकरण प्रतिरूप में किसी भी बिंदु पर तीव्रता $I = I_0 \cos^2 \left( \frac{\phi}{2} \right)$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $I_0$ अधिकतम तीव्रता है और $\phi$ कलांतर है।
दिए गए पथ अंतर $\Delta x = \frac{\lambda}{4}$ के लिए,कलांतर $\phi = \frac{2\pi}{\lambda} \times \Delta x = \frac{2\pi}{\lambda} \times \frac{\lambda}{4} = \frac{\pi}{2}$ होगा।
इस मान को तीव्रता के सूत्र में रखने पर: $I = I_0 \cos^2 \left( \frac{\pi/2}{2} \right) = I_0 \cos^2 \left( \frac{\pi}{4} \right)$.
चूँकि $\cos \left( \frac{\pi}{4} \right) = \frac{1}{\sqrt{2}}$,इसलिए $I = I_0 \left( \frac{1}{\sqrt{2}} \right)^2 = \frac{I_0}{2}$ प्राप्त होता है।
अतः,अनुपात $\frac{I_0}{I} = \frac{I_0}{I_0/2} = 2$,जो कि $2: 1$ है।

(B) संपोषी व्यतिकरण (दीप्त फ्रिंज) के लिए शर्त पथ अंतर $\Delta x = n\lambda$ है,जहाँ $n = 0, 1, 2, \dots$
विनाशी व्यतिकरण (अदीप्त फ्रिंज) के लिए शर्त पथ अंतर $\Delta x = (2n - 1) \frac{\lambda}{2}$ है,जहाँ $n = 1, 2, 3, \dots$
दिया गया पथ अंतर $\Delta x = \frac{87}{2} \lambda = 87 \left( \frac{\lambda}{2} \right)$ है।
इसकी तुलना अदीप्त फ्रिंज की शर्त से करने पर: $(2n - 1) \frac{\lambda}{2} = 87 \frac{\lambda}{2}$.
$2n - 1 = 87$
$2n = 88$
$n = 44$.
अतः,यह बिंदु $44^{\text{वीं}}$ अदीप्त फ्रिंज को दर्शाता है।

(B) पर्दे पर केंद्र से $y$ दूरी पर स्थित बिंदु $P$ पर पथ अंतर $\Delta x = d \sin \theta \approx d \tan \theta = d \left( \frac{y}{D} \right)$ द्वारा दिया जाता है।
अदीप्त फ्रिंज के लिए,पथ अंतर तरंगदैर्ध्य के आधे का विषम गुणज होना चाहिए: $\Delta x = (2n - 1) \frac{\lambda}{2}$,जहाँ $n = 1, 2, 3, \dots$ है।
पहली अदीप्त फ्रिंज के लिए $n = 1$ है,अतः $\Delta x = \frac{\lambda}{2}$।
प्रश्न के अनुसार,पहली अदीप्त फ्रिंज एक स्लिट के ठीक सामने देखी जाती है। केंद्र से स्लिट की दूरी $d/2$ है। अतः,$y = d/2$।
इन मानों को पथ अंतर के सूत्र में रखने पर:
$\frac{d}{2} \cdot \frac{d}{D} = \frac{\lambda}{2}$
$\frac{d^2}{D} = \lambda$
अतः,प्रकाश की तरंगदैर्ध्य $\lambda = \frac{d^2}{D}$ है।

(C) फ्रिंज की चौड़ाई $\beta$ का सूत्र $\beta = \frac{\lambda D}{d}$ है।
चूंकि प्रति इकाई लंबाई में फ्रिंजों की संख्या $n$,फ्रिंज की चौड़ाई $\beta$ के व्युत्क्रमानुपाती होती है,इसलिए $n \propto \frac{1}{\beta}$ होता है।
अतः,$n \propto \frac{1}{\lambda}$,जिसका अर्थ है $n_1 \lambda_1 = n_2 \lambda_2$.
दिया गया है: $n_1 = 15$ फ्रिंज/$cm$,$\lambda_1 = 5600$ Å,और $\lambda_2 = 7000$ Å.
मान रखने पर: $15 \times 5600 = n_2 \times 7000$.
$n_2 = \frac{15 \times 5600}{7000} = \frac{15 \times 56}{70} = \frac{15 \times 8}{10} = \frac{120}{10} = 12$.
इस प्रकार,प्रति $cm$ $12$ फ्रिंज प्राप्त होंगे।

(A) यंग के द्वि-स्लिट प्रयोग में फ्रिंज की चौड़ाई $\omega = \frac{\lambda D}{d}$ द्वारा दी जाती है, जहाँ $\lambda$ तरंगदैर्ध्य है, $D$ स्लिट्स से पर्दे की दूरी है और $d$ स्लिट्स के बीच की दूरी है।
पर्दे की दूरी में परिवर्तन $\Delta D = 5 \times 10^{-2} \, m$ और फ्रिंज की चौड़ाई में परिवर्तन $\Delta \omega = 3 \times 10^{-5} \, m$ दिया गया है, इसलिए संबंध $\Delta \omega = \frac{\lambda (\Delta D)}{d}$ होगा।
$\lambda$ के लिए सूत्र को व्यवस्थित करने पर: $\lambda = \frac{d \cdot \Delta \omega}{\Delta D}$.
मान रखने पर: $\lambda = \frac{(10^{-3} \, m)(3 \times 10^{-5} \, m)}{5 \times 10^{-2} \, m} = \frac{3 \times 10^{-8}}{5 \times 10^{-2}} = 0.6 \times 10^{-6} \, m$.
एंगस्ट्रॉम में बदलने पर: $\lambda = 0.6 \times 10^{-6} \times 10^{10} \, \text{\AA} = 6000 \, \text{\AA}$.

(B) कोणीय फ्रिंज चौड़ाई $\theta$ को निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$\theta = \frac{\lambda}{d}$
दिया गया है कि हवा में,$\theta = 0.20$ रेडियन है।
जब पूरी प्रणाली को पानी में डुबोया जाता है,तो प्रकाश की तरंगदैर्ध्य बदलकर $\lambda' = \frac{\lambda}{\mu}$ हो जाती है,जहाँ $\mu$ पानी का अपवर्तनांक है।
नई कोणीय फ्रिंज चौड़ाई $\theta'$ है:
$\theta' = \frac{\lambda'}{d} = \frac{\lambda}{\mu d} = \frac{\theta}{\mu}$
दिया गया है $\mu = \frac{4}{3}$,इसलिए:
$\theta' = \frac{0.20}{4/3} = 0.20 \times \frac{3}{4} = 0.15$ रेडियन।
अतः,पानी में फ्रिंज की कोणीय चौड़ाई $0.15$ रेडियन होगी।

(B) यंग के द्वि-स्लिट प्रयोग में फ्रिंज की चौड़ाई $\beta$ का सूत्र है: $\beta = \frac{\lambda D}{d}$,जहाँ $\lambda$ प्रकाश की तरंगदैर्ध्य है,$D$ स्लिट और स्क्रीन के बीच की दूरी है,और $d$ दो स्लिटों के बीच की दूरी है।
यहाँ दिया गया है कि स्लिट पृथक्करण $d$ को तीन गुना कर दिया जाता है,अर्थात $d' = 3d$,जबकि $\lambda$ और $D$ स्थिर रहते हैं।
नई फ्रिंज चौड़ाई $\beta'$ होगी: $\beta' = \frac{\lambda D}{d'} = \frac{\lambda D}{3d} = \frac{1}{3} \beta$.
अतः,फ्रिंज की चौड़ाई मूल चौड़ाई की $\frac{1}{3}$ गुना हो जाती है।

(D) यंग के द्वि-स्लिट प्रयोग में,संपोषी व्यतिकरण (उच्चिष्ठ) के लिए शर्त पथान्तर $\Delta x = n \lambda$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $n = 0, 1, 2, ...$ और $\lambda$ प्रकाश की तरंगदैर्ध्य है।
केंद्रीय उच्चिष्ठ के लिए,$n = 0$ होता है और प्रथम उच्चिष्ठ के लिए,$n = 1$ होता है।
दी गई तरंगदैर्ध्य $\lambda = 6300 Å$ के लिए,प्रथम उच्चिष्ठ के लिए पथान्तर $\Delta x = 1 \times 6300 Å = 6300 Å$ होगा।

(D) माना प्रत्येक तरंग की तीव्रता $I'$ है। परिणामी तीव्रता $I$ को निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$I = 4I' \cos^2 \left( \frac{\phi}{2} \right)$
जहाँ $\phi$ कलांतर है।
अधिकतम तीव्रता $I_0$ तब होती है जब $\cos^2 \left( \frac{\phi}{2} \right) = 1$,इसलिए $I_0 = 4I'$।
दिए गए पथ अंतर $\Delta x = \frac{\lambda}{4}$ के लिए,कलांतर $\phi$ की गणना इस प्रकार की जाती है:
$\phi = \frac{2\pi}{\lambda} \times \Delta x = \frac{2\pi}{\lambda} \times \frac{\lambda}{4} = \frac{\pi}{2}$।
इसे तीव्रता के सूत्र में रखने पर:
$I = 4I' \cos^2 \left( \frac{\pi/2}{2} \right) = 4I' \cos^2 \left( \frac{\pi}{4} \right) = 4I' \times \left( \frac{1}{\sqrt{2}} \right)^2 = 4I' \times \frac{1}{2} = 2I'$।
अतः,अनुपात है:
$\frac{I}{I_0} = \frac{2I'}{4I'} = \frac{1}{2}$।

(B) यंग के द्वि-स्लिट प्रयोग में $n^{\text{th}}$ दीप्त फ्रिंज (उच्चिष्ठ) की स्थिति $y_n = \frac{n \lambda D}{d}$ द्वारा दी जाती है।
प्रथम स्थिति के लिए,$\lambda_1$ तरंगदैर्ध्य के साथ $n^{\text{th}}$ उच्चिष्ठ की दूरी $y_1 = \frac{n \lambda_1 D}{d}$ है।
दूसरी स्थिति के लिए,$\lambda_2$ तरंगदैर्ध्य के साथ $(n/2)^{\text{th}}$ उच्चिष्ठ की दूरी $y_2 = \frac{(n/2) \lambda_2 D}{d} = \frac{n \lambda_2 D}{2d}$ है।
अब,$y_1$ और $y_2$ का अनुपात लेने पर:
$\frac{y_1}{y_2} = \frac{(n \lambda_1 D / d)}{(n \lambda_2 D / 2d)} = \frac{n \lambda_1 D}{d} \times \frac{2d}{n \lambda_2 D} = \frac{2 \lambda_1}{\lambda_2}$.
अतः,अनुपात $\frac{2 \lambda_1}{\lambda_2}$ है।

(C) यंग के डबल-स्लिट प्रयोग में फ्रिंज की चौड़ाई $\beta = \frac{\lambda D}{d}$ द्वारा दी जाती है, जहाँ $\lambda$ तरंगदैर्ध्य है, $D$ स्लिट्स से पर्दे की दूरी है, और $d$ स्लिट्स के बीच की दूरी है।
प्रारंभ में, $\beta_1 = \frac{\lambda D_1}{d_1}$, जहाँ $D_1 = 75 \,cm$ है।
जब स्लिट की दूरी दोगुनी कर दी जाती है, तो $d_2 = 2d_1$ हो जाता है। फ्रिंज की चौड़ाई को स्थिर रखने के लिए $(\beta_2 = \beta_1)$, हमारे पास $\frac{\lambda D_2}{d_2} = \frac{\lambda D_1}{d_1}$ होना चाहिए।
$d_2 = 2d_1$ प्रतिस्थापित करने पर, हमें $\frac{D_2}{2d_1} = \frac{D_1}{d_1}$ प्राप्त होता है, जिसका अर्थ है $D_2 = 2D_1$।
$D_2 = 2 \times 75 \,cm = 150 \,cm$।
पर्दे को $75 \,cm$ से $150 \,cm$ तक स्थानांतरित किया जाना चाहिए, जिसका अर्थ है कि इसे स्लिट्स से $150 \,cm - 75 \,cm = 75 \,cm$ दूर ले जाना चाहिए।

(A) यंग के द्वि-स्लिट प्रयोग में $n^{\text{th}}$ दीप्त फ्रिंज (उच्चिष्ठ) की स्थिति $Y_n = \frac{n \lambda D}{d}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $D$ स्लिट और पर्दे के बीच की दूरी है और $d$ स्लिटों के बीच की दूरी है।
तरंगदैर्ध्य $\lambda_1$ के लिए $10^{\text{th}}$ उच्चिष्ठ की दूरी $Y_1 = \frac{10 \lambda_1 D}{d}$ है।
तरंगदैर्ध्य $\lambda_2$ के लिए $5^{\text{th}}$ उच्चिष्ठ की दूरी $Y_2 = \frac{5 \lambda_2 D}{d}$ है।
$Y_1$ और $Y_2$ का अनुपात लेने पर:
$\frac{Y_1}{Y_2} = \frac{10 \lambda_1 D / d}{5 \lambda_2 D / d} = \frac{10 \lambda_1}{5 \lambda_2} = \frac{2 \lambda_1}{\lambda_2}$.

(A) यंग के द्वि-स्लिट प्रयोग में तीव्रता $I$ का सूत्र है: $I = 4I_0 \cos^2(\frac{\phi}{2})$,जहाँ $I_0$ प्रत्येक स्लिट की तीव्रता है और $\phi$ कलांतर है।
अधिकतम तीव्रता $K$ तब होती है जब $\cos^2(\frac{\phi}{2}) = 1$ हो,अतः $K = 4I_0$ है।
कलांतर $\phi$ और पथ अंतर $\Delta x$ के बीच संबंध है: $\phi = \frac{2\pi}{\lambda} \Delta x$।
यहाँ पथ अंतर $\Delta x = \frac{\lambda}{3}$ दिया गया है,इसलिए कलांतर $\phi = \frac{2\pi}{\lambda} \times \frac{\lambda}{3} = \frac{2\pi}{3}$ होगा।
इस मान को तीव्रता के सूत्र में रखने पर: $I = K \cos^2(\frac{2\pi/3}{2}) = K \cos^2(\frac{\pi}{3})$।
चूंकि $\cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}$,इसलिए $I = K (\frac{1}{2})^2 = \frac{K}{4}$ प्राप्त होता है।

(B) यंग के द्वि-झिरी प्रयोग में,एक झिरी के ठीक सामने के बिंदु पर पथ अंतर $\Delta x = \frac{d^2}{2D}$ होता है।
निम्निष्ठ (विनाशी व्यतिकरण) के लिए,पथ अंतर $\frac{\lambda}{2}$ का विषम गुणज होना चाहिए,अर्थात $\Delta x = (2n-1)\frac{\lambda}{2}$,जहाँ $n = 1, 2, 3, \ldots$ है।
दोनों व्यंजकों की तुलना करने पर: $\frac{d^2}{2D} = (2n-1)\frac{\lambda}{2}$।
इसे सरल करने पर $\lambda = \frac{d^2}{(2n-1)D}$ प्राप्त होता है।
$n=1, 2, 3, \ldots$ के लिए,$(2n-1)$ के मान $1, 3, 5, \ldots$ होते हैं।
अतः,$\lambda$ का मान $\frac{1}{D}, \frac{1}{3D}, \frac{1}{5D}, \ldots$ के समानुपाती है।
इसलिए,संभावित तरंगदैर्घ्य $D, 3D, 5D, \ldots$ के व्युत्क्रमानुपाती हैं।

(D) यंग के द्वि-स्लिट प्रयोग में,व्यतिकरण फ्रिंज के निर्माण के लिए दो अलग-अलग स्लिटों से आने वाली कला-संबद्ध प्रकाश तरंगों का अध्यारोपण आवश्यक है।
जब एक स्लिट को काले अपारदर्शी कागज से ढक दिया जाता है,तो प्रकाश केवल शेष एक स्लिट से ही गुजर सकता है।
चूंकि अब दूसरी स्लिट से कोई प्रकाश नहीं आ रहा है,इसलिए व्यतिकरण की स्थिति समाप्त हो जाती है।
परिणामस्वरूप,पर्दे पर कोई व्यतिकरण पैटर्न (फ्रिंज) दिखाई नहीं देगा।

(B) $YDSE$ में फ्रिंज चौड़ाई का सूत्र $W = \frac{\lambda D}{d}$ है, जहाँ $\lambda$ तरंगदैर्ध्य है, $D$ स्लिट और स्क्रीन के बीच की दूरी है, और $d$ स्लिट्स के बीच की दूरी है।
मान लीजिए कि मूल फ्रिंज चौड़ाई $W_1 = \frac{\lambda D_1}{d_1} = W$ है।
प्रश्न के अनुसार, नई दूरी $D_2 = D_1 + 0.25 D_1 = 1.25 D_1$ और नई स्लिट दूरी $d_2 = \frac{d_1}{2}$ है।
नई फ्रिंज चौड़ाई $W_2 = \frac{\lambda D_2}{d_2}$ द्वारा दी जाती है।
मान रखने पर, हमें प्राप्त होता है $W_2 = \frac{\lambda (1.25 D_1)}{(d_1 / 2)} = 1.25 \times 2 \times \frac{\lambda D_1}{d_1}$।
चूंकि $W = \frac{\lambda D_1}{d_1}$, इसलिए $W_2 = 2.5 W$ है।

(B) केंद्रीय उच्चिष्ठ से $n^{\text{th}}$ अदीप्त फ्रिंज की स्थिति $y_n = (n - 0.5) \frac{\lambda D}{d}$ द्वारा दी जाती है।
$4^{\text{th}}$ अदीप्त फ्रिंज के लिए,$n = 4$,अतः $y_4 = (4 - 0.5) \frac{\lambda D}{d} = 3.5 \frac{\lambda D}{d}$.
चूंकि अदीप्त फ्रिंज एक स्लिट के सामने बनती है,इसलिए केंद्रीय अक्ष से इसकी दूरी $y = \frac{d}{2}$ है।
दोनों व्यंजकों को बराबर करने पर: $\frac{d}{2} = 3.5 \frac{\lambda D}{d}$.
$\lambda$ के लिए हल करने पर: $\lambda = \frac{d^2}{2 \times 3.5 D} = \frac{d^2}{7 D}$.

(C) यंग के द्वि-स्लिट प्रयोग में,केंद्रीय दीप्त फ्रिंज से $n^{\text{वीं}}$ अदीप्त फ्रिंज की स्थिति निम्नलिखित सूत्र द्वारा दी जाती है:
$y_n = (n - \frac{1}{2}) \beta$
जहाँ $n = 1, 2, 3, \dots$ अदीप्त फ्रिंज के क्रम को दर्शाता है।
अतः,दूरी $(n - 0.5) \beta$ है।

(D) पथ अंतर $\Delta x = \frac{57}{2} \lambda = 28.5 \lambda$ दिया गया है।
संपोषी व्यतिकरण (दीप्त बैंड) के लिए,पथ अंतर $\lambda$ का एक पूर्णांक गुणज होना चाहिए,अर्थात $\Delta x = n \lambda$ जहाँ $n = 1, 2, 3, \dots$ है। चूँकि $28.5 \lambda$ एक पूर्णांक गुणज नहीं है,इसलिए यह दीप्त बैंड नहीं है।
विनाशी व्यतिकरण (अदीप्त बैंड) के लिए,पथ अंतर $\Delta x = (n - \frac{1}{2}) \lambda$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $n = 1, 2, 3, \dots$ है।
दोनों की तुलना करने पर: $28.5 \lambda = (n - 0.5) \lambda$।
$n$ के लिए हल करने पर: $n - 0.5 = 28.5$,जिससे $n = 29$ प्राप्त होता है।
अतः,यह बिंदु $29^{\text{वीं}}$ अदीप्त बैंड के अनुरूप है।

(B) यंग के द्वि-स्लिट प्रयोग में $n^{\text{th}}$ उच्चिष्ठ की स्थिति $y_n = \frac{n \lambda D}{d}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $n$ उच्चिष्ठ का क्रम है,$\lambda$ तरंगदैर्ध्य है,$D$ स्लिट और पर्दे के बीच की दूरी है,और $d$ स्लिटों के बीच की दूरी है।
$\lambda_1$ तरंगदैर्ध्य के लिए $6^{\text{th}}$ उच्चिष्ठ की दूरी $d_1 = \frac{6 \lambda_1 D}{d}$ है।
$\lambda_2$ तरंगदैर्ध्य के लिए $4^{\text{th}}$ उच्चिष्ठ की दूरी $d_2 = \frac{4 \lambda_2 D}{d}$ है।
$d_1$ और $d_2$ का अनुपात लेने पर:
$\frac{d_1}{d_2} = \frac{6 \lambda_1 D / d}{4 \lambda_2 D / d} = \frac{6 \lambda_1}{4 \lambda_2} = \frac{3}{2} \frac{\lambda_1}{\lambda_2}$.

(B) $\text{1.33}$ अपवर्तनांक वाले माध्यम में फ्रिंज की चौड़ाई $\beta = \frac{\lambda_w D}{d}$ द्वारा दी जाती है।
यहाँ, पानी में तरंगदैर्ध्य $\lambda_w = \frac{\lambda_{air}}{\mu} = \frac{6300 \times 10^{-10} \,m}{1.33}$ है।
दिया गया है: $D = 1.33 \,m$, $d = 1 \,mm = 10^{-3} \,m$, और $\mu = 1.33$.
इन मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:
$\beta = \frac{(6300 \times 10^{-10} / 1.33) \times 1.33}{10^{-3}} \,m$.
$\beta = \frac{6300 \times 10^{-10}}{10^{-3}} \,m$.
$\beta = 6300 \times 10^{-7} \,m = 6.3 \times 10^{-4} \,m$.

(B) यंग के द्वि-झिरी प्रयोग में फ्रिंज की चौड़ाई $\beta$ का सूत्र $\beta = \frac{\lambda D}{d}$ है,जहाँ $\lambda$ प्रकाश की तरंगदैर्घ्य है,$D$ झिरियों और पर्दे के बीच की दूरी है,और $d$ झिरियों के बीच की दूरी है।
फ्रिंजों को एक-दूसरे के अधिक निकट लाने के लिए,फ्रिंज की चौड़ाई $\beta$ को कम करना होगा।
सूत्र से,$\beta \propto \lambda$ और $\beta \propto \frac{1}{d}$ है।
चूंकि नीले प्रकाश की तरंगदैर्घ्य हरे प्रकाश की तुलना में कम होती है $(\lambda_{blue} < \lambda_{green})$,इसलिए नीले प्रकाश का उपयोग करने से फ्रिंज की चौड़ाई $\beta$ कम हो जाएगी।
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(A) यंग के द्वि-झिरी प्रयोग में फ्रिंज की चौड़ाई $\beta$ का सूत्र $\beta = \frac{\lambda D}{d}$ है,जहाँ $\lambda$ प्रकाश की तरंगदैर्ध्य है,$D$ झिरियों और पर्दे के बीच की दूरी है,और $d$ दो झिरियों के बीच की दूरी है।
जब प्रयोग पानी में किया जाता है,तो प्रकाश की तरंगदैर्ध्य बदलकर $\lambda' = \frac{\lambda}{\mu}$ हो जाती है,जहाँ $\mu$ पानी का अपवर्तनांक है $(\mu > 1)$।
चूँकि $\mu > 1$ है,नई तरंगदैर्ध्य $\lambda'$ हवा में मूल तरंगदैर्ध्य $\lambda$ से छोटी होती है।
परिणामस्वरूप,नई फ्रिंज चौड़ाई $\beta' = \frac{\lambda' D}{d} = \frac{\lambda D}{\mu d} = \frac{\beta}{\mu}$ हो जाती है।
चूँकि $\mu > 1$ है,फ्रिंज की चौड़ाई $\beta'$ घट जाती है।

(C) यंग के डबल स्लिट प्रयोग में,फ्रिंज-चौड़ाई $(z)$ का सूत्र इस प्रकार है:
$z = \frac{\lambda D}{d}$
जहाँ $\lambda$ प्रकाश की तरंगदैर्ध्य है,$D$ स्लिट और स्क्रीन (या आई-पीस) के बीच की दूरी है,और $d$ दो स्लिटों के बीच की दूरी है।
चूंकि $\lambda$ और $d$ को स्थिर रखा गया है,इसलिए $z \propto D$ है।
यह मूल बिंदु से गुजरने वाला एक रैखिक संबंध दर्शाता है,जो एक सीधी रेखा का ग्राफ है।
दिए गए विकल्पों को देखने पर,ग्राफ $(C)$ एक सीधा रैखिक संबंध $(z \propto D)$ दर्शाता है।
अतः,सही ग्राफ $(C)$ है।

(D) दिया गया है: स्लिट पृथक्करण $d = 3 \,mm = 3 \times 10^{-3} \,m$,स्क्रीन की दूरी $D = 2 \,m$,तरंगदैर्ध्य $\lambda_1 = 480 \,nm = 480 \times 10^{-9} \,m$ और $\lambda_2 = 600 \,nm = 600 \times 10^{-9} \,m$.
$n^{th}$ क्रम की दीप्त फ्रिंज की स्थिति $y_n = n \frac{\lambda D}{d}$ द्वारा दी जाती है।
पहली तरंगदैर्ध्य के लिए $5^{th}$ क्रम की दीप्त फ्रिंज: $y_5^{(1)} = 5 \frac{\lambda_1 D}{d}$.
दूसरी तरंगदैर्ध्य के लिए $5^{th}$ क्रम की दीप्त फ्रिंज: $y_5^{(2)} = 5 \frac{\lambda_2 D}{d}$.
इन फ्रिंजों के बीच का पृथक्करण $\Delta y = y_5^{(2)} - y_5^{(1)} = \frac{5D}{d} (\lambda_2 - \lambda_1)$ है।
मान रखने पर: $\Delta y = \frac{5 \times 2}{3 \times 10^{-3}} \times (600 - 480) \times 10^{-9} \,m$.
$\Delta y = \frac{10}{3 \times 10^{-3}} \times 120 \times 10^{-9} \,m = \frac{1200}{3} \times 10^{-6} \,m = 400 \times 10^{-6} \,m = 4 \times 10^{-4} \,m$.