Young's Double Slit Experiment (YDSE) Questions in Hindi

(C) क्रमागत दीप्त या अदीप्त फ्रिंजों के बीच की दूरी को फ्रिंज चौड़ाई कहा जाता है,जिसे $\beta$ द्वारा दर्शाया जाता है।
फ्रिंज चौड़ाई का सूत्र $\beta = \frac{\lambda D}{d}$ है।
दिया गया है:
तरंगदैर्ध्य $\lambda = 550 \, nm = 550 \times 10^{-9} \, m$.
स्लिट्स के बीच की दूरी $d = 1.10 \, mm = 1.10 \times 10^{-3} \, m$.
स्क्रीन की दूरी $D = 1 \, m$.
मान रखने पर:
$\beta = \frac{550 \times 10^{-9} \times 1}{1.10 \times 10^{-3}}$
$\beta = \frac{550}{1.10} \times 10^{-6} \, m$
$\beta = 500 \times 10^{-6} \, m = 0.5 \times 10^{-3} \, m = 0.5 \, mm$.
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(B) अधिकतम तीव्रता और न्यूनतम तीव्रता का अनुपात इस सूत्र द्वारा दिया जाता है: $\frac{I_{\max}}{I_{\min}} = \left( \frac{a_1 + a_2}{a_1 - a_2} \right)^2 = \left( \frac{a_1/a_2 + 1}{a_1/a_2 - 1} \right)^2$.
दिया गया है कि $\frac{I_{\max}}{I_{\min}} = \frac{4}{1}$,इसलिए $\left( \frac{a_1/a_2 + 1}{a_1/a_2 - 1} \right)^2 = 4$.
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर,हमें प्राप्त होता है $\frac{a_1/a_2 + 1}{a_1/a_2 - 1} = 2$.
मान लीजिए $r = \frac{a_1}{a_2}$. तब $\frac{r + 1}{r - 1} = 2$.
$r + 1 = 2r - 2$.
$r = 3$.
अतः,आयामों का अनुपात $3:1$ है।

(B) यंग के द्वि-स्लिट प्रयोग में फ्रिंज की चौड़ाई $\beta$ का सूत्र $\beta = \frac{\lambda D}{d}$ है।
यहाँ,$\lambda$ उपयोग किए गए प्रकाश की तरंगदैर्ध्य है,$D$ स्लिट और स्क्रीन के बीच की दूरी है,और $d$ दो स्लिटों के बीच की दूरी है।
सूत्र से,हम देख सकते हैं कि $\beta \propto \lambda$ है।
लाल प्रकाश की तरंगदैर्ध्य $(\lambda_{red})$ नीले प्रकाश की तरंगदैर्ध्य $(\lambda_{blue})$ से अधिक होती है।
चूंकि $\lambda_{blue} < \lambda_{red}$,इसलिए नीले प्रकाश के लिए फ्रिंज की चौड़ाई लाल प्रकाश की तुलना में कम होगी।
अतः,फ्रिंजें अधिक संकरी (narrower) हो जाएंगी।

(C) यंग के द्वि-झिरी प्रयोग में, केंद्रीय बिंदु पर सभी तरंग दैर्ध्य के लिए पथ अंतर शून्य $(\Delta x = 0)$ होता है।
चूंकि सभी तरंग दैर्ध्य के लिए $\Delta x = 0$ है, इसलिए सभी रंग केंद्रीय बिंदु पर अतिव्याप्त (overlap) हो जाते हैं, जिसके परिणामस्वरूप एक केंद्रीय सफेद फ्रिंज प्राप्त होती है।
अन्य फ्रिंज के लिए, $n$-वीं दीप्त फ्रिंज की स्थिति $y_n = \frac{n \lambda D}{d}$ द्वारा दी जाती है।
चूंकि $\lambda_{violet} < \lambda_{red}$ है, इसलिए बैंगनी फ्रिंज लाल फ्रिंज की तुलना में केंद्रीय फ्रिंज के अधिक करीब होती हैं।
अतः, सही कथन यह है कि एक केंद्रीय सफेद फ्रिंज होती है और बैंगनी फ्रिंज लाल फ्रिंज की तुलना में इसके अधिक करीब होती हैं।

(B) स्क्रीन पर खंड की चौड़ाई $W = n \beta$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $n$ फ्रिंजों की संख्या है और $\beta$ फ्रिंज की चौड़ाई है।
चूँकि $\beta = \frac{\lambda D}{d}$,इसलिए खंड की चौड़ाई $W = n \frac{\lambda D}{d}$ है।
एक निश्चित खंड $W$ के लिए,$n \lambda$ का गुणनफल स्थिर रहता है क्योंकि $D$ और $d$ स्थिर हैं।
इसलिए,$n_1 \lambda_1 = n_2 \lambda_2$ होगा।
दिया गया है $n_1 = 12$,$\lambda_1 = 600 \ nm$,और $\lambda_2 = 400 \ nm$।
मान रखने पर: $12 \times 600 = n_2 \times 400$।
$n_2 = \frac{12 \times 600}{400} = 12 \times 1.5 = 18$।
अतः,$18$ फ्रिंज देखे जाएंगे।

(D) यंग के द्वि-स्लिट प्रयोग में $n$-वें उच्चिष्ठ के लिए शर्त $d \sin \theta = n \lambda$ है,जहाँ $d$ स्लिट्स के बीच की दूरी है,$\theta$ कोणीय स्थिति है,$n$ उच्चिष्ठ का क्रम है और $\lambda$ प्रकाश की तरंगदैर्ध्य है।
दिया गया है: $d = 0.589 \ m$,$\lambda = 589 \ nm = 589 \times 10^{-9} \ m$,और $n = 3$.
इन मानों को सूत्र में रखने पर: $\sin \theta = \frac{n \lambda}{d} = \frac{3 \times 589 \times 10^{-9}}{0.589}$.
चूंकि $0.589 = 589 \times 10^{-3}$,इसलिए $\sin \theta = \frac{3 \times 589 \times 10^{-9}}{589 \times 10^{-3}} = 3 \times 10^{-6}$.
अतः,कोणीय स्थिति $\theta = \sin^{-1}(3 \times 10^{-6})$ होगी।

(B) यंग के द्वि-स्लिट प्रयोग में फ्रिंज की चौड़ाई का सूत्र $\beta = \frac{\lambda D}{d}$ है,जहाँ $\lambda$ प्रकाश की तरंगदैर्ध्य है,$D$ स्लिट और स्क्रीन के बीच की दूरी है,और $d$ दो स्लिटों के बीच की दूरी है।
सूत्र से यह स्पष्ट है कि फ्रिंज की चौड़ाई $\beta$ स्लिट के अलगाव $d$ के व्युत्क्रमानुपाती होती है,अर्थात $\beta \propto \frac{1}{d}$।
यदि स्लिटों के बीच की दूरी को आधा कर दिया जाए,अर्थात $d' = \frac{d}{2}$,तो नई फ्रिंज चौड़ाई $\beta'$ होगी:
$\beta' = \frac{\lambda D}{d'} = \frac{\lambda D}{d/2} = 2 \times \frac{\lambda D}{d} = 2\beta$।
अतः,फ्रिंज की चौड़ाई दुगुनी हो जाएगी।

(A) यंग के द्वि-स्लिट प्रयोग में,जब एकवर्णी प्रकाश का उपयोग किया जाता है,तो सभी दीप्त फ्रिंज तीव्रता और चौड़ाई में समान दिखाई देते हैं।
हालाँकि,जब श्वेत प्रकाश का उपयोग किया जाता है,तो केंद्रीय फ्रिंज सभी तरंगदैर्घ्यों के लिए $0$ के पथ अंतर पर बनती है।
चूंकि केंद्रीय स्थिति पर सभी तरंगदैर्घ्य एक साथ मिलते हैं,इसलिए केंद्रीय फ्रिंज सफेद दिखाई देती है।
इस सफेद केंद्रीय फ्रिंज के दोनों ओर कुछ रंगीन पट्टियाँ देखी जाती हैं,जिसके बाद एकसमान प्रदीप्ति होती है।
इस प्रकार,केंद्रीय दीप्त फ्रिंज की पहचान श्वेत प्रकाश का उपयोग करके विशिष्ट रूप से की जा सकती है।

(C) यंग के द्वि-स्लिट प्रयोग में फ्रिंज चौड़ाई $\beta$ का सूत्र है: $\beta = \frac{\lambda D}{d}$,जहाँ $\lambda$ तरंगदैर्ध्य है,$D$ स्लिट और पर्दे के बीच की दूरी है,और $d$ दो स्लिटों के बीच की दूरी है।
यहाँ नई तरंगदैर्ध्य $\lambda' = 2\lambda$ और नई स्लिट दूरी $d' = \frac{d}{2}$ दी गई है।
नई फ्रिंज चौड़ाई $\beta'$ इस प्रकार होगी: $\beta' = \frac{\lambda' D}{d'} = \frac{(2\lambda) D}{(d/2)} = 4 \times \frac{\lambda D}{d} = 4\beta$.
अतः,परिणामी फ्रिंज चौड़ाई प्रारंभिक फ्रिंज चौड़ाई की $4$ गुना हो जाती है। इसलिए,$n = 4$.

(B) यंग के द्वि-स्लिट प्रयोग में फ्रिंज की चौड़ाई $(\beta)$ का सूत्र $\beta = \frac{\lambda D}{d}$ है, जहाँ $\lambda$ प्रकाश की तरंगदैर्ध्य है, $D$ स्लिट और स्क्रीन के बीच की दूरी है, और $d$ दो स्लिटों के बीच की दूरी है।
इस सूत्र से स्पष्ट है कि $\beta \propto \lambda$ है।
लाल प्रकाश की तरंगदैर्ध्य $(\lambda_{red})$ सोडियम प्रकाश की तरंगदैर्ध्य $(\lambda_{sodium})$ से अधिक होती है।
चूंकि $\lambda_{red} > \lambda_{sodium}$ है, इसलिए फ्रिंज की चौड़ाई बढ़ जाएगी।

(D) यंग के द्वि-स्लिट प्रयोग में फ्रिंज की चौड़ाई $\beta$ का सूत्र $\beta = \frac{\lambda D}{d}$ है,जहाँ $\lambda$ तरंगदैर्ध्य है,$D$ पर्दे और स्लिट के बीच की दूरी है,और $d$ स्लिट्स के बीच की दूरी है।
यहाँ तरंगदैर्ध्य $\lambda$ को $7000 \ \mathring{A}$ से बदलकर $3500 \ \mathring{A}$ (आधी) कर दिया गया है और स्लिट के बीच की दूरी $d$ को दोगुना $(d' = 2d)$ कर दिया गया है,इसलिए नई फ्रिंज चौड़ाई $\beta'$ होगी:
$\beta' = \frac{(\lambda/2) D}{2d} = \frac{1}{4} \frac{\lambda D}{d} = \frac{1}{4} \beta$.
चूंकि फ्रिंज की चौड़ाई बदल जाती है,इसलिए क्रमिक दीप्त फ्रिंजों और क्रमिक अदीप्त फ्रिंजों के बीच की दूरी (जो फ्रिंज की चौड़ाई के बराबर होती है) भी बदल जाती है।
अतः,यह कथन कि क्रमिक अदीप्त फ्रिंजों के बीच की दूरी अपरिवर्तित रहती है,गलत है।

(B) बिंदु $P$ पर अदीप्त फ्रिंज के लिए,पथ अंतर $\Delta$ की शर्त इस प्रकार है:
$\Delta = S_1P - S_2P = (2n - 1) \frac{\lambda}{2}$
जहाँ $n$ अदीप्त फ्रिंज का क्रम है और $\lambda$ प्रकाश की तरंगदैर्ध्य है।
यहाँ $n = 3$ और $\lambda = 6000 \ \mathring A = 6000 \times 10^{-10} \ m = 0.6 \ \mu m$ दिया गया है।
मान रखने पर:
$\Delta = (2(3) - 1) \frac{0.6 \ \mu m}{2} = 5 \times 0.3 \ \mu m = 1.5 \ \mu m$.
अतः,पथ अंतर $1.5 \ \mu m$ है।

(B) केंद्रीय दीप्त फ्रिंज से $n$वें निम्निष्ठ की दूरी का सूत्र है:
$x_n = \frac{(2n - 1)\lambda D}{2d}$
दिया गया है:
स्लिट पृथक्करण $d = 1 \, mm = 10^{-3} \, m$
स्क्रीन की दूरी $D = 1 \, m$
तरंगदैर्ध्य $\lambda = 500 \, nm = 500 \times 10^{-9} \, m$
$3$रे निम्निष्ठ के लिए,$n = 3$ है।
मान रखने पर:
$x_3 = \frac{(2 \times 3 - 1) \times 500 \times 10^{-9} \times 1}{2 \times 10^{-3}}$
$x_3 = \frac{5 \times 500 \times 10^{-9}}{2 \times 10^{-3}}$
$x_3 = \frac{2500 \times 10^{-6}}{2} = 1250 \times 10^{-6} \, m$
$x_3 = 1.25 \times 10^{-3} \, m = 1.25 \, mm$.

(C) यंग के द्वि-स्लिट प्रयोग में फ्रिंज की चौड़ाई का सूत्र $\beta = \frac{\lambda D}{d}$ है, जहाँ $\lambda$ प्रकाश की तरंगदैर्ध्य है, $D$ पर्दे और स्लिट के बीच की दूरी है, और $d$ दोनों स्लिटों के बीच की दूरी है。
जब पूरी व्यवस्था को $n$ अपवर्तनांक वाले द्रव में रखा जाता है, तो प्रकाश की तरंगदैर्ध्य बदलकर $\lambda' = \frac{\lambda}{n}$ हो जाती है。
चूंकि $D$ और $d$ स्थिर रहते हैं, इसलिए नई फ्रिंज चौड़ाई $\beta' = \frac{\lambda' D}{d} = \frac{(\lambda / n) D}{d} = \frac{1}{n} \left( \frac{\lambda D}{d} \right) = \frac{\beta}{n}$ हो जाती है。
अतः, सही विकल्प $C$ है。

(A) यंग के द्वि-स्लिट प्रयोग में फ्रिंज की चौड़ाई $\beta$ का सूत्र $\beta = \frac{\lambda D}{d}$ है,जहाँ $\lambda$ प्रकाश की तरंगदैर्ध्य है,$D$ स्लिट और स्क्रीन के बीच की दूरी है,और $d$ स्लिट्स के बीच की दूरी है।
इस सूत्र से स्पष्ट है कि $\beta \propto \frac{1}{d}$ है।
यदि नई दूरी $d' = \frac{d}{3}$ है,तो नई फ्रिंज चौड़ाई $\beta'$ का मान $\beta' = \frac{\lambda D}{d'} = \frac{\lambda D}{d/3} = 3 \left( \frac{\lambda D}{d} \right) = 3\beta$ होगा।
चूंकि नई फ्रिंज चौड़ाई मूल चौड़ाई की $n$ गुना है,इसलिए $n\beta = 3\beta$,जिससे $n = 3$ प्राप्त होता है।

(B) दिया गया है: स्लिट पृथक्करण $d = 1\, mm = 10^{-3}\, m$,तरंगदैर्ध्य $\lambda = 6.5 \times 10^{-7}\, m$,पर्दे की दूरी $D = 1\, m$.
फ्रिंज चौड़ाई $\beta = \frac{D\lambda}{d} = \frac{1 \times 6.5 \times 10^{-7}}{10^{-3}} = 6.5 \times 10^{-4}\, m = 0.65\, mm$.
$n^{th}$ दीप्त फ्रिंज की स्थिति $y_n = n\beta$ है।
$m^{th}$ अदीप्त फ्रिंज की स्थिति $y'_m = (m - 0.5)\beta$ है।
हमें पांचवीं दीप्त फ्रिंज $(n=5)$ और तीसरी अदीप्त फ्रिंज $(m=3)$ के बीच की दूरी ज्ञात करनी है:
$\Delta y = |y_5 - y'_3| = |5\beta - (3 - 0.5)\beta| = |5\beta - 2.5\beta| = 2.5\beta$.
$\Delta y = 2.5 \times 0.65\, mm = 1.625\, mm \approx 1.63\, mm$.

(B) तरंग की तीव्रता $I$ उसके आयाम के वर्ग के समानुपाती होती है,$I \propto A^2$।
यहाँ दो स्रोतों के आयाम $A_1 = 3a$ और $A_2 = a$ दिए गए हैं।
अधिकतम तीव्रता $(I_{\max})$ संपोषी व्यतिकरण पर प्राप्त होती है,जहाँ $I_{\max} \propto (A_1 + A_2)^2$।
न्यूनतम तीव्रता $(I_{\min})$ विनाशी व्यतिकरण पर प्राप्त होती है,जहाँ $I_{\min} \propto (A_1 - A_2)^2$।
तीव्रताओं का अनुपात $\frac{I_{\max}}{I_{\min}} = \left( \frac{A_1 + A_2}{A_1 - A_2} \right)^2$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर: $\frac{I_{\max}}{I_{\min}} = \left( \frac{3a + a}{3a - a} \right)^2 = \left( \frac{4a}{2a} \right)^2 = (2)^2 = \frac{4}{1}$।
अतः,अनुपात $4:1$ है।

(D) यंग के द्वि-झिरी प्रयोग में $n$-वीं अदीप्त फ्रिंज के लिए शर्त $d \sin \theta = (n - 1/2) \lambda$ है,जहाँ $n = 1, 2, 3, \dots$ है।
पहली अदीप्त फ्रिंज के लिए $n = 1$ रखने पर,$d \sin \theta = \frac{\lambda}{2}$ प्राप्त होता है।
चूंकि $\theta$ बहुत छोटा है,$\sin \theta \approx \theta$ (रेडियन में)।
अतः,$\theta = \frac{\lambda}{2d}$।
दिया गया है: $\lambda = 5460 \times 10^{-10} \, m$,$d = 0.1 \times 10^{-3} \, m$।
मान रखने पर: $\theta = \frac{5460 \times 10^{-10}}{2 \times 0.1 \times 10^{-3}} = 0.00273 \, \text{रेडियन}$।
रेडियन को डिग्री में बदलने के लिए $\frac{180}{\pi}$ से गुणा करने पर:
$\theta = 0.00273 \times \frac{180}{3.14159} \approx 0.156^\circ$।
दिए गए विकल्पों के अनुसार,सही विकल्प $D$ है।

(A) दो क्रमागत अदीप्त फ्रिंजों के बीच की दूरी को फ्रिंज चौड़ाई $\beta$ कहा जाता है।
फ्रिंज चौड़ाई का सूत्र $\beta = \frac{\lambda D}{d}$ है।
दिया गया है:
तरंग दैर्ध्य $\lambda = 5000 \ \mathring{A} = 5000 \times 10^{-10} \ m = 5 \times 10^{-7} \ m$.
स्क्रीन और स्लिट के बीच की दूरी $D = 1 \ m$.
स्लिट पृथक्करण $d = 0.2 \ cm = 0.2 \times 10^{-2} \ m = 2 \times 10^{-3} \ m$.
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$\beta = \frac{5 \times 10^{-7} \times 1}{2 \times 10^{-3}} \ m$
$\beta = 2.5 \times 10^{-4} \ m$
इसे $mm$ में बदलने के लिए,$10^3$ से गुणा करें:
$\beta = 2.5 \times 10^{-4} \times 10^3 \ mm = 0.25 \ mm$.

(B) यंग के द्वि-स्लिट प्रयोग में,विनाशी व्यतिकरण (destructive interference) तब होता है जब तरंगें एक बिंदु पर विपरीत कला में पहुँचती हैं।
विनाशी व्यतिकरण (न्यूनतम) के लिए,दो तरंगों के बीच का पथांतर $\Delta x = (2n - 1) \frac{\lambda}{2}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $n = 1, 2, 3, ...$ है।
कलांतर $(\phi)$ और पथांतर $(\Delta x)$ के बीच का संबंध $\phi = \frac{2\pi}{\lambda} \Delta x$ है।
न्यूनतम के लिए पथांतर का मान रखने पर: $\phi = \frac{2\pi}{\lambda} \times (2n - 1) \frac{\lambda}{2} = (2n - 1)\pi$.
अतः,न्यूनतम के लिए कलांतर $\pi$ का विषम गुणज होता है।

(D) विनाशी व्यतिकरण (minima) के लिए,पथांतर $\Delta$ का सूत्र है: $\Delta = (2n - 1)\frac{\lambda}{2}$,जहाँ $n = 1, 2, 3, \dots$
तीसरे निम्निष्ठ के लिए,हम सूत्र में $n = 3$ प्रतिस्थापित करते हैं:
$\Delta = (2 \times 3 - 1)\frac{\lambda}{2}$
$\Delta = (6 - 1)\frac{\lambda}{2}$
$\Delta = \frac{5\lambda}{2}$
अतः,तीसरे निम्निष्ठ के लिए पथांतर $\frac{5\lambda}{2}$ है।

(A) यंग के द्वि-स्लिट प्रयोग में फ्रिंज की चौड़ाई का सूत्र $\beta = \frac{\lambda D}{d}$ होता है।
जब इस प्रयोग को $\mu$ अपवर्तनांक वाले माध्यम में किया जाता है,तो प्रकाश की तरंगदैर्ध्य बदलकर $\lambda' = \frac{\lambda}{\mu}$ हो जाती है।
इसलिए,नई फ्रिंज चौड़ाई $\beta'$ का मान $\beta' = \frac{\lambda' D}{d} = \frac{\lambda D}{\mu d} = \frac{\beta}{\mu}$ होगा।
चूंकि पानी का अपवर्तनांक $\mu_w$ का मान $1$ से अधिक होता है,इसलिए पानी में फ्रिंज की चौड़ाई $\beta_{water} = \frac{\beta_{air}}{\mu_w}$ हवा की तुलना में कम होगी।
अतः,फ्रिंज की चौड़ाई घट जाती है।

(A) यंग के द्वि-झिरी प्रयोग में फ्रिंज की चौड़ाई का सूत्र $\beta = \frac{\lambda D}{d}$ है,जहाँ $\lambda$ प्रकाश की तरंगदैर्ध्य है,$D$ झिरी और पर्दे के बीच की दूरी है,और $d$ दो झिरियों के बीच की दूरी है।
इस सूत्र से यह स्पष्ट है कि फ्रिंज की चौड़ाई $\beta$,झिरी और पर्दे के बीच की दूरी $D$ के सीधे समानुपाती होती है $(\beta \propto D)$।
इसलिए,यदि दूरी $D$ बढ़ती है,तो फ्रिंज की चौड़ाई $\beta$ भी बढ़ जाती है।

(A) कला-संबद्ध स्रोतों के उत्पादन की विधि के आधार पर व्यतिकरण को दो प्रकारों में वर्गीकृत किया जा सकता है: तरंगार्ग्र का विभाजन और आयाम का विभाजन।
$1$. तरंगार्ग्र का विभाजन: इस विधि में,एक एकल स्रोत से निकलने वाले तरंगार्ग्र को स्लिट,दर्पण या प्रिज्म का उपयोग करके दो या अधिक भागों में विभाजित किया जाता है। उदाहरणों में यंग का द्वि-स्लिट प्रयोग,फ्रेनेल का बाइप्रिज्म और लॉयड का दर्पण शामिल हैं।
$2$. आयाम का विभाजन: इस विधि में,आपतित तरंग के आयाम को आंशिक परावर्तन या अपवर्तन द्वारा दो या अधिक भागों में विभाजित किया जाता है। उदाहरणों में पतली फिल्म के रंग,न्यूटन के वलय और माइकलसन व्यतिकरणमापी शामिल हैं।
चूंकि प्रश्न तरंगार्ग्र के विभाजन के कारण होने वाले व्यतिकरण के बारे में है,इसलिए विकल्प $A$,$B$ और $C$ तीनों सही हैं। हालांकि,यंग का द्वि-स्लिट प्रयोग इसका सबसे मौलिक उदाहरण है।

(D) केंद्र से $n^{th}$ दीप्त फ्रिंज की दूरी का सूत्र है:
$x_n = \frac{n \lambda D}{d}$
दिया गया है:
$n = 3$
$\lambda = 6000\ \mathring A = 6000 \times 10^{-10}\ m = 6 \times 10^{-7}\ m$
$D = 2.5\ m$
$d = 0.5\ mm = 0.5 \times 10^{-3}\ m$
मान रखने पर:
$x_3 = \frac{3 \times (6 \times 10^{-7}) \times 2.5}{0.5 \times 10^{-3}}$
$x_3 = \frac{45 \times 10^{-7}}{0.5 \times 10^{-3}} = 90 \times 10^{-4}\ m = 9 \times 10^{-3}\ m$
चूँकि $10^{-3}\ m = 1\ mm$,इसलिए:
$x_3 = 9\ mm$.

(C) यंग के द्वि-स्लिट प्रयोग में,यदि एकवर्णी प्रकाश के स्थान पर श्वेत प्रकाश का उपयोग किया जाता है,तो केंद्रीय बिंदु पर सभी तरंगदैर्ध्यों के लिए पथ अंतर शून्य होता है। इसलिए,सभी तरंगदैर्ध्य केंद्र पर संपोषी व्यतिकरण करती हैं,जिससे केंद्रीय फ्रिंज सफेद हो जाती है।
चूंकि फ्रिंज की चौड़ाई $\beta = \frac{\lambda D}{d}$ तरंगदैर्ध्य $\lambda$ पर निर्भर करती है,और $\beta_{red} > \beta_{violet}$ होता है,इसलिए विभिन्न रंगों की फ्रिंज केंद्र से दूर अलग-अलग स्थानों पर ओवरलैप करती हैं,जिसके परिणामस्वरूप रंगीन फ्रिंज बनती हैं।
दीप्त फ्रिंज का आंतरिक किनारा बैंगनी (छोटी तरंगदैर्ध्य) और बाहरी किनारा लाल (लंबी तरंगदैर्ध्य) होता है।

(A) पारंपरिक प्रकाश स्रोतों में,प्रकाश बड़ी संख्या में स्वतंत्र परमाणुओं द्वारा उत्सर्जित होता है। प्रत्येक परमाणु लगभग $10^{-9} \text{ s}$ के लिए प्रकाश उत्सर्जित करता है,जिसका अर्थ है कि उत्सर्जित प्रकाश अनिवार्य रूप से केवल $10^{-9} \text{ s}$ तक रहने वाला एक पल्स है।
दो अलग-अलग स्रोतों से आने वाला प्रकाश एक निश्चित कला संबंध बनाए नहीं रख सकता क्योंकि स्वतंत्र परमाणुओं द्वारा उत्सर्जित प्रकाश की कला हर $10^{-9} \text{ s}$ में यादृच्छिक रूप से बदलती रहती है।
चूंकि दो तरंगों के बीच कोई स्थिर कलांतर नहीं होता है,इसलिए व्यतिकरण पैटर्न इतनी तेजी से बदलता है कि मानव आंख इसे देख नहीं पाती है।
मानव आंख केवल तीव्रता में उन परिवर्तनों को देख सकती है जो कम से कम $0.1 \text{ s}$ तक रहते हैं।
परिणामस्वरूप,एक स्थिर व्यतिकरण पैटर्न के बजाय,हम स्क्रीन पर केवल एक समान तीव्रता वितरण देखते हैं।

(D) मान लीजिए $P$ पर्दे पर वह बिंदु है जो स्लिट $S_1$ के ठीक सामने है। $S_1$ और $S_2$ से $P$ तक पहुँचने वाली प्रकाश किरणों के बीच पथ अंतर इस प्रकार है:
$\Delta x = S_2P - S_1P = \sqrt{b^2 + d^2} - d$
$d >> b$ के लिए द्विपद विस्तार का उपयोग करने पर:
$\Delta x = d(1 + \frac{b^2}{d^2})^{1/2} - d \approx d(1 + \frac{b^2}{2d^2}) - d = \frac{b^2}{2d}$
विनाशी व्यतिकरण (अनुपस्थित तरंगदैर्घ्य) के लिए,पथ अंतर $\frac{\lambda}{2}$ का विषम गुणज होना चाहिए:
$\Delta x = (2n - 1)\frac{\lambda}{2}$,जहाँ $n = 1, 2, 3, ...$
पथ अंतर के लिए दोनों समीकरणों की तुलना करने पर:
$\frac{b^2}{2d} = (2n - 1)\frac{\lambda}{2}$
$\lambda = \frac{b^2}{(2n - 1)d}$
$n = 1$ के लिए,$\lambda = \frac{b^2}{d}$.
$n = 2$ के लिए,$\lambda = \frac{b^2}{3d}$.
अतः,$(a)$ और $(c)$ दोनों सही हैं।

(A) यंग के द्वि-स्लिट प्रयोग में,केंद्रीय उच्चिष्ठ (central maximum) की स्थिति इस शर्त से निर्धारित होती है कि दोनों स्लिटों से आने वाली तरंगों के बीच पथ का अंतर शून्य हो।
मान लीजिए पथ का अंतर $\Delta x = (S_B + B P) - (S_A + A P) = 0$ है।
प्रारंभ में,स्क्रीन के केंद्र पर पथ का अंतर शून्य होता है।
जब $S$ से $B$ तक की ऑप्टिकल पथ लंबाई बढ़ाई जाती है,तो मूल केंद्रीय बिंदु पर पथ का अंतर $\Delta x = (S_B + \Delta S_B + B P) - (S_A + A P) = \Delta S_B > 0$ हो जाता है।
$\Delta x = 0$ की स्थिति बनाए रखने के लिए,बिंदु $P$ को इस तरह स्थानांतरित होना चाहिए कि $A$ से पथ की लंबाई $B$ से पथ की लंबाई से अधिक हो जाए।
चूंकि स्लिट $A$,स्लिट $B$ के ऊपर है,इसलिए केंद्रीय उच्चिष्ठ उस स्लिट की ओर स्थानांतरित होता है जिसकी ऑप्टिकल पथ लंबाई बढ़ाई गई है,जो कि स्लिट $B$ है।
अतः,फ्रिंज प्रणाली ऊर्ध्वाधर रूप से नीचे की ओर खिसक जाएगी।

(D) माइक्रोवेव के लिए,तरंगदैर्ध्य $\lambda = \frac{c}{f} = \frac{3 \times 10^8}{10^6} = 300 \ m$ है।
पथ अंतर $\Delta x = d \sin \theta$ है।
कलांतर $\phi = \frac{2\pi}{\lambda} (\Delta x) = \frac{2\pi}{300} (150 \sin \theta) = \pi \sin \theta$ है।
परिणामी तीव्रता $I_R = I_1 + I_2 + 2\sqrt{I_1 I_2} \cos \phi$ है।
माना $I_1 = I_2 = I$,तो $I_R = 2I + 2I \cos \phi = 2I(1 + \cos \phi) = 4I \cos^2(\phi/2)$ प्राप्त होता है।
$\phi = \pi \sin \theta$ प्रतिस्थापित करने पर,$I_R = 4I \cos^2\left(\frac{\pi \sin \theta}{2}\right)$ प्राप्त होता है।
चूंकि अधिकतम तीव्रता $I_0 = 4I$ है,इसलिए $I(\theta) = I_0 \cos^2\left(\frac{\pi \sin \theta}{2}\right)$ होगा।
जब $\theta = 0^\circ$,$I(0) = I_0 \cos^2(0) = I_0$.
जब $\theta = 30^\circ$,$I(30^\circ) = I_0 \cos^2\left(\frac{\pi \sin 30^\circ}{2}\right) = I_0 \cos^2(\pi/4) = I_0 \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^2 = I_0/2$.
जब $\theta = 90^\circ$,$I(90^\circ) = I_0 \cos^2(\pi/2) = 0$.
अतः,$(a)$ और $(b)$ दोनों सही हैं।

(D) $a_1$ और $a_2$ आयामों तथा $\phi$ कलांतर वाली दो व्यतिकरण करने वाली तरंगों की परिणामी तीव्रता $I$ को निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$I = a_1^2 + a_2^2 + 2a_1 a_2 \cos \phi$
$A = a_1^2 + a_2^2$ और $B = 2a_1 a_2$ प्रतिस्थापित करने पर,व्यंजक सरल होकर प्राप्त होता है:
$I = A + B \cos \phi$
अतः,विकल्प $D$ सही है।

(B) स्क्रीन पर किसी भी बिंदु पर तीव्रता $I = I_{max} \cos^2(\phi/2)$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $\phi$ कलांतर है।
कलांतर $\phi$ और पथ अंतर $\Delta x$ के बीच संबंध $\phi = \frac{2\pi}{\lambda} \Delta x$ है।
पथ अंतर $\Delta x = \lambda$ के लिए,कलांतर $\phi_1 = \frac{2\pi}{\lambda} \times \lambda = 2\pi$ है।
इस बिंदु पर तीव्रता $K = I_{max} \cos^2(2\pi/2) = I_{max} \cos^2(\pi) = I_{max}(1)^2 = I_{max}$ है।
पथ अंतर $\Delta x = \lambda/4$ के लिए,कलांतर $\phi_2 = \frac{2\pi}{\lambda} \times \frac{\lambda}{4} = \frac{\pi}{2}$ है।
इस बिंदु पर तीव्रता $I_2 = I_{max} \cos^2(\phi_2/2) = I_{max} \cos^2(\pi/4)$ है।
चूंकि $I_{max} = K$ और $\cos(\pi/4) = 1/\sqrt{2}$,इसलिए $I_2 = K \times (1/\sqrt{2})^2 = K/2$ प्राप्त होता है।

(A) दिया गया है कि $Q$, केंद्रीय बिंदु $O$ के दाईं ओर $1^{\text{ली}}$ दीप्त फ्रिंज की स्थिति है।
$P$, $Q$ से मापे जाने पर दूसरी ओर $11^{\text{वीं}}$ फ्रिंज है।
इसका अर्थ है कि $P$, केंद्रीय बिंदु $O$ के बाईं ओर $10^{\text{वीं}}$ दीप्त फ्रिंज है (क्योंकि $11 - 1 = 10$)।
दीप्त फ्रिंज के लिए, पथ अंतर $\Delta x = n\lambda$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ, $n = 10$ और $\lambda = 6000 \times 10^{-10} \text{ m}$ है।
चित्र की ज्यामिति से, $S_1$ और $S_2$ से $P$ पर पहुँचने वाली तरंगों के बीच का पथ अंतर $S_1B = S_2P - S_1P$ है।
अतः, $S_1B = n\lambda = 10 \times 6000 \times 10^{-10} \text{ m} = 60000 \times 10^{-10} \text{ m} = 6 \times 10^{-6} \text{ m}$.

(B) कला-संबद्ध स्रोतों के लिए,परिणामी तीव्रता $I = I_1 + I_2 + 2\sqrt{I_1 I_2} \cos \phi$ द्वारा दी जाती है।
केंद्रीय बिंदु पर,पथ अंतर शून्य है,इसलिए $\phi = 0$ है। दिया गया है कि $I_1 = I_2 = I_0$,इसलिए कला-संबद्ध स्रोतों के लिए तीव्रता $I_{coh} = I_0 + I_0 + 2\sqrt{I_0 I_0} \cos(0) = 4I_0$ होगी।
कला-असंबंध स्रोतों के लिए,कलांतर $\phi$ समय के साथ यादृच्छिक रूप से बदलता है,इसलिए $\cos \phi$ का औसत मान $0$ होता है।
अतः,कला-असंबंध स्रोतों के लिए परिणामी तीव्रता $I_{incoh} = I_1 + I_2 = I_0 + I_0 = 2I_0$ होगी।
तीव्रताओं का अनुपात $\frac{I_{coh}}{I_{incoh}} = \frac{4I_0}{2I_0} = \frac{2}{1}$ है।

(C) $YDSE$ में $n^{th}$ उच्चिष्ठ की स्थिति $y_n = n \beta$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $\beta = \frac{\lambda D}{d}$ फ्रिंज की चौड़ाई है।
प्रारंभ में,केंद्रीय उच्चिष्ठ $y_0 = 2 \, cm$ पर और $10^{th}$ उच्चिष्ठ $y_{10} = 5 \, cm$ पर है।
केंद्रीय उच्चिष्ठ और $10^{th}$ उच्चिष्ठ के बीच की दूरी $\Delta y = y_{10} - y_0 = 5 \, cm - 2 \, cm = 3 \, cm$ है।
जब उपकरण को $1.5$ अपवर्तनांक वाले द्रव में डुबोया जाता है,तो तरंगदैर्ध्य $\lambda' = \lambda / \mu$ हो जाती है,और परिणामस्वरूप फ्रिंज की चौड़ाई $\beta' = \beta / \mu$ हो जाती है।
चूंकि केंद्रीय उच्चिष्ठ शून्य पथ अंतर पर बनता है,इसलिए इसकी स्थिति $y_0' = 2 \, cm$ पर अपरिवर्तित रहती है।
केंद्रीय उच्चिष्ठ और $10^{th}$ उच्चिष्ठ के बीच की नई दूरी $\Delta y' = \frac{\Delta y}{\mu} = \frac{3 \, cm}{1.5} = 2 \, cm$ होगी।
इसलिए,$10^{th}$ उच्चिष्ठ की नई स्थिति $y_{10}' = y_0' + \Delta y' = 2 \, cm + 2 \, cm = 4 \, cm$ होगी।
अतः,निर्देशांक $2 \, cm$ और $4 \, cm$ हैं।

(A) मान लीजिए $P$ एक स्लिट के सामने का बिंदु है जहाँ तीव्रता की गणना की जानी है। चित्र से यह स्पष्ट है कि केंद्रीय अक्ष से बिंदु $P$ की दूरी $x = \frac{d}{2}$ है।
बिंदु $P$ पर पहुँचने वाली तरंगों के बीच पथ का अंतर इस प्रकार है:
$\Delta = \frac{xd}{D} = \frac{(\frac{d}{2})d}{10d} = \frac{d}{20}$.
दिया गया है $d = 5\lambda$,इस मान को रखने पर:
$\Delta = \frac{5\lambda}{20} = \frac{\lambda}{4}$.
संगत कलांतर $\phi$ है:
$\phi = \frac{2\pi}{\lambda} \times \Delta = \frac{2\pi}{\lambda} \times \frac{\lambda}{4} = \frac{\pi}{2}$.
बिंदु $P$ पर परिणामी तीव्रता $I$ इस प्रकार है:
$I = I_0 \cos^2(\frac{\phi}{2}) = I_0 \cos^2(\frac{\pi}{4}) = I_0 \times (\frac{1}{\sqrt{2}})^2 = \frac{I_0}{2}$.

(B) पर्दे पर अधिकतम तीव्रता के लिए शर्त $d \sin \theta = n \lambda$ है।
यहाँ,$d = 7000\,{\mathring A}$ और $\lambda = 2000\,{\mathring A}$ है।
अतः,$\sin \theta = \frac{n \lambda}{d} = \frac{n(2000)}{7000} = \frac{n}{3.5}$ प्राप्त होता है।
चूंकि $\sin \theta$ का अधिकतम मान $1$ होता है,इसलिए $\frac{n}{3.5} \le 1$,जिसका अर्थ है $n \le 3.5$।
अतः,$n$ के संभावित पूर्णांक मान $0, \pm 1, \pm 2, \pm 3$ हैं।
कुल उच्चिष्ठों की संख्या $2n + 1$ सूत्र द्वारा दी जाती है (जहाँ $n$ एक तरफ का अधिकतम क्रम है)।
कुल उच्चिष्ठ = $2(3) + 1 = 7$।

(C) यंग के द्वि-स्लिट प्रयोग में दीप्त फ्रिंज के लिए, स्थिति $y = \frac{n \lambda D}{d}$ द्वारा दी जाती है।
मान लीजिए कि $\lambda_1 = 900 \,nm$ की $n^{\text{वीं}}$ दीप्त फ्रिंज, $\lambda_2 = 750 \,nm$ की $m^{\text{वीं}}$ दीप्त फ्रिंज के साथ संपाती होती है।
चूंकि $\lambda_1 > \lambda_2$, न्यूनतम दूरी पर $\lambda_1$ की $n^{\text{वीं}}$ फ्रिंज, $\lambda_2$ की $(n+1)^{\text{वीं}}$ फ्रिंज के साथ संपाती होगी।
अतः, $\frac{n \lambda_1 D}{d} = \frac{(n+1) \lambda_2 D}{d}$.
$n \times 900 = (n+1) \times 750$.
$900n = 750n + 750$.
$150n = 750 \Rightarrow n = 5$.
दूरी $y = \frac{n \lambda_1 D}{d} = \frac{5 \times 900 \times 10^{-9} \times 2}{2 \times 10^{-3}}$.
$y = 5 \times 900 \times 10^{-6} \,m = 4500 \times 10^{-6} \,m = 4.5 \times 10^{-3} \,m = 4.5 \,mm$.

(D) तरंगदैर्ध्य $\lambda_1$ के $n$-वें निम्निष्ठ (minima) के लिए शर्त $y_n = (2n - 1) \frac{\lambda_1 D}{2d}$ है।
दो तरंगदैर्ध्य $\lambda_1 = 400 \, nm$ और $\lambda_2 = 560 \, nm$ के निम्निष्ठों के संपाती होने के लिए,$(2n - 1) \lambda_1 = (2m - 1) \lambda_2$ रखें।
$(2n - 1) 400 = (2m - 1) 560 \implies \frac{2n - 1}{2m - 1} = \frac{560}{400} = \frac{7}{5}$।
पहला संपाती निम्निष्ठ $2n-1 = 7$ और $2m-1 = 5$ पर प्राप्त होता है।
इसकी स्थिति $y_1 = 7 \times \frac{400 \times 10^{-9} \times 1}{2 \times 0.1 \times 10^{-3}} = 14 \, mm$ है।
अगला संपाती निम्निष्ठ अगले विषम अनुपात $\frac{21}{15}$ पर प्राप्त होता है (क्योंकि $7 \times 3 = 21$ और $5 \times 3 = 15$)।
इसकी स्थिति $y_2 = 21 \times \frac{400 \times 10^{-9} \times 1}{2 \times 0.1 \times 10^{-3}} = 42 \, mm$ है।
पूर्ण अंधकार के दो क्रमिक क्षेत्रों के बीच की दूरी $\Delta y = y_2 - y_1 = 42 - 14 = 28 \, mm$ है।

(B) व्यतिकरण उच्चिष्ठ के लिए,पथांतर $\Delta = d \sin \theta = n\lambda$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $n$ एक पूर्णांक है।
दिया गया है कि झिरियों के बीच की दूरी $d = 2\lambda$ है।
इसे समीकरण में रखने पर: $2\lambda \sin \theta = n\lambda$,जो सरल होकर $\sin \theta = \frac{n}{2}$ हो जाता है।
चूँकि $\sin \theta$ का मान $[-1, 1]$ की सीमा में होना चाहिए,इसलिए $-1 \le \frac{n}{2} \le 1$,जिसका अर्थ है $-2 \le n \le 2$।
$n$ के लिए संभावित पूर्णांक मान $-2, -1, 0, 1, 2$ हैं।
इन मानों की गणना करने पर,हमें कुल $5$ उच्चिष्ठ प्राप्त होते हैं।

(C) यंग के द्वि-झिरी प्रयोग में,दो झिरियों $S_1$ और $S_2$ से आने वाली तरंगों के बीच पर्दे पर किसी बिंदु $P$ पर पथ अंतर $\Delta x = S_2P - S_1P = d \sin \theta$ द्वारा दिया जाता है।
स्थिर पथ अंतर के लिए,पर्दे पर बिंदुओं $P$ का बिंदुपथ एक वक्र बनाता है।
गणितीय रूप से,शर्त $S_2P - S_1P = \text{constant}$ उस अतिपरवलय (hyperbola) की परिभाषा को दर्शाती है जिसकी नाभियाँ दोनों झिरियाँ हैं।
इसलिए,पर्दे पर बनने वाली व्यतिकरण फ्रिंजें अतिपरवलयाकार होती हैं।

(C) व्यतिकरण पैटर्न में किसी भी बिंदु पर तीव्रता $I = I_{max} \cos^2(\phi/2)$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $\phi$ कलांतर है।
दिया गया है $I = I_{max}/4$,इसलिए $I_{max}/4 = I_{max} \cos^2(\phi/2)$.
इसे सरल करने पर $\cos^2(\phi/2) = 1/4$,अतः $\cos(\phi/2) = 1/2$.
इस प्रकार,$\phi/2 = \pi/3$,जिसका अर्थ है कि कलांतर $\phi = 2\pi/3$.
कलांतर $\phi$ और पथ अंतर $\Delta x$ के बीच संबंध $\phi = (2\pi/\lambda) \Delta x$ है।
$\phi = 2\pi/3$ रखने पर,हमें $2\pi/3 = (2\pi/\lambda) \Delta x$ प्राप्त होता है,जिससे $\Delta x = \lambda/3$ मिलता है।
कोणीय स्थिति $\theta$ पर स्थित बिंदु के लिए,पथ अंतर $\Delta x = d \sin \theta$ होता है।
अतः,$d \sin \theta = \lambda/3$,जिसका अर्थ है कि $\sin \theta = \lambda/(3d)$.
इसलिए,$\theta = sin^{-1}(\lambda/3d)$.

(B) इलेक्ट्रॉन का संवेग $p$,$p = mv$ द्वारा दिया जाता है। जब वेग $v$ बढ़ता है,तो संवेग $p$ बढ़ता है।
डी-ब्रोग्ली परिकल्पना के अनुसार,तरंगदैर्ध्य $\lambda$ को $\lambda = h/p$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि $p$ बढ़ता है,इसलिए तरंगदैर्ध्य $\lambda$ घट जाती है।
$YDSE$ प्रयोग में फ्रिंज की चौड़ाई $\beta$,$\beta = \lambda D/d$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $D$ स्क्रीन और स्लिट्स के बीच की दूरी है और $d$ स्लिट्स के बीच की दूरी है।
चूंकि $\beta \propto \lambda$,इसलिए तरंगदैर्ध्य $\lambda$ में कमी के कारण फ्रिंज की चौड़ाई $\beta$ घट जाती है।

(C) यंग के द्वि-स्लिट प्रयोग में,संपोषी व्यतिकरण (उच्चिष्ठ) के लिए शर्त $d \sin \theta = n \lambda$ है,जहाँ $d$ स्लिट पृथक्करण है,$\theta$ कोण है,$n$ उच्चिष्ठ का क्रम है और $\lambda$ तरंगदैर्ध्य है।
दिया गया है $d = 1.8 \lambda$,तो शर्त $1.8 \lambda \sin \theta = n \lambda$ हो जाती है,जो सरल होकर $1.8 \sin \theta = n$ हो जाती है।
चूंकि $\sin \theta$ का अधिकतम मान $1$ है,इसलिए $n$ के संभावित मान $|n| < 1.8$ द्वारा सीमित हैं।
अतः,$n$ पूर्णांक मान $0, \pm 1$ ले सकता है।
$n = 0$ के लिए,हमें केंद्रीय उच्चिष्ठ प्राप्त होता है।
$n = 1$ के लिए,हमें दोनों तरफ प्रथम क्रम के उच्चिष्ठ प्राप्त होते हैं।
$n = -1$ के लिए,हमें दोनों तरफ प्रथम क्रम के उच्चिष्ठ प्राप्त होते हैं।
उच्चिष्ठों की कुल संख्या = $1 (n=0) + 2 (n=1) + 2 (n=-1) = 5$.

(D) यंग के द्वि-स्लिट प्रयोग में फ्रिंज चौड़ाई $w$ का सूत्र $w = \frac{\lambda D}{d}$ है,जहाँ $\lambda$ प्रकाश की तरंगदैर्ध्य है,$D$ स्लिट और पर्दे के बीच की दूरी है,और $d$ दोनों स्लिटों के बीच की दूरी है।
जब $t$ मोटाई और $\mu$ अपवर्तनांक वाली एक पारदर्शी शीट को किसी एक स्लिट के सामने रखा जाता है,तो यह $(\mu - 1)t$ का अतिरिक्त पथ अंतर उत्पन्न करती है। इसके कारण पूरे व्यतिकरण पैटर्न में विस्थापन होता है।
हालाँकि,फ्रिंज चौड़ाई $w$ केवल तरंगदैर्ध्य $\lambda$,दूरी $D$,और स्लिट पृथक्करण $d$ पर निर्भर करती है। माइका शीट के रखने से इनमें से कोई भी पैरामीटर नहीं बदलता है,इसलिए फ्रिंज चौड़ाई स्थिर रहती है।
अतः,$w' = w$।

(A) केंद्रीय उच्चिष्ठ से $n$ वीं दीप्त फ्रिंज की स्थिति का सूत्र $x_n = \frac{n \lambda D}{d}$ है।
दिए गए मान:
$n = 3$
$\lambda = 6500 \, \mathring A = 6500 \times 10^{-10} \, m = 6.5 \times 10^{-7} \, m$
$D = 120 \, cm = 1.2 \, m$
$d = 2 \, mm = 2 \times 10^{-3} \, m$
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$x_3 = \frac{3 \times 6.5 \times 10^{-7} \times 1.2}{2 \times 10^{-3}}$
$x_3 = \frac{23.4 \times 10^{-7}}{2 \times 10^{-3}}$
$x_3 = 11.7 \times 10^{-4} \, m$
$x_3 = 1.17 \times 10^{-3} \, m = 0.117 \, cm$.
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(B) स्लिट की चौड़ाई का अनुपात $\frac{w_1}{w_2} = \frac{1}{9}$ दिया गया है।
चूंकि तीव्रता $I$,स्लिट की चौड़ाई $w$ और आयाम $a$ के वर्ग के समानुपाती होती है,इसलिए $\frac{I_1}{I_2} = \frac{w_1}{w_2} = \frac{a_1^2}{a_2^2} = \frac{1}{9}$ होगा।
वर्गमूल लेने पर,$\frac{a_1}{a_2} = \frac{1}{3}$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $a_2 = 3a_1$।
अधिकतम तीव्रता और न्यूनतम तीव्रता का अनुपात $\frac{I_{max}}{I_{min}} = \frac{(a_1 + a_2)^2}{(a_1 - a_2)^2}$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
$a_2 = 3a_1$ का मान रखने पर,$\frac{I_{max}}{I_{min}} = \frac{(a_1 + 3a_1)^2}{(a_1 - 3a_1)^2} = \frac{(4a_1)^2}{(-2a_1)^2} = \frac{16a_1^2}{4a_1^2} = \frac{4}{1}$ प्राप्त होता है।
अतः,अनुपात $4:1$ है।

(C) हवा में कोणीय फ्रिंज चौड़ाई $\alpha = \frac{\lambda}{d} = 0.20^\circ$ द्वारा दी जाती है।
चूंकि $\alpha \propto \lambda$,जब उपकरण को पानी में डुबोया जाता है,तो नई तरंगदैर्ध्य $\lambda_w = \frac{\lambda}{\mu}$ हो जाती है।
इसलिए,नई कोणीय फ्रिंज चौड़ाई $\alpha_w = \frac{\alpha}{\mu}$ होगी।
मान रखने पर: $\alpha_w = \frac{0.20}{4/3} = 0.20 \times \frac{3}{4} = 0.15^\circ$.