Bar Magnet and Magnetic Dipole and Magnetic Moment Questions in Hindi

(D) सीधी छड़ का चुम्बकीय आघूर्ण $M = m \times L$ है,जहाँ $m$ ध्रुव प्राबल्य है।
जब छड़ को अर्धवृत्ताकार चाप में मोड़ा जाता है,तो लंबाई $L$ अर्धवृत्त की चाप की लंबाई बन जाती है।
अतः,$L = \pi r$,जिससे त्रिज्या $r = \frac{L}{\pi}$ प्राप्त होती है।
नया चुम्बकीय आघूर्ण $M_{\text{new}}$ ध्रुव प्राबल्य $m$ और प्रभावी लंबाई (दोनों सिरों के बीच की दूरी,जो व्यास $2r$ है) का गुणनफल है।
$M_{\text{new}} = m \times (2r) = m \times \left( \frac{2L}{\pi} \right)$.
चूँकि $m = \frac{M}{L}$,हम इस मान को समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं:
$M_{\text{new}} = \left( \frac{M}{L} \right) \times \left( \frac{2L}{\pi} \right) = \frac{2M}{\pi}$.

(D) चुंबकन $M$ को प्रति इकाई आयतन चुंबकीय द्विध्रुव आघूर्ण के रूप में परिभाषित किया गया है,$M = \frac{m_{net}}{V}$।
इसलिए,कुल चुंबकीय द्विध्रुव आघूर्ण $m_{net} = M \times V$ है।
बेलनाकार छड़ का आयतन $V = \pi r^2 l = \pi \left(\frac{d}{2}\right)^2 l$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है: $M = 5.3 \times 10^3 \ A/m$,$l = 5 \ cm = 0.05 \ m$,$d = 1 \ cm = 0.01 \ m$।
त्रिज्या $r = \frac{d}{2} = 0.005 \ m$।
$V = 3.142 \times (0.005)^2 \times 0.05 = 3.142 \times 25 \times 10^{-6} \times 0.05 = 3.9275 \times 10^{-6} \ m^3$।
$m_{net} = (5.3 \times 10^3) \times (3.9275 \times 10^{-6}) \approx 2.08 \times 10^{-2} \ J/T$।

(D) $l$ लंबाई के चुंबकीय तार का चुंबकीय आघूर्ण $M = m l$ है,जहाँ $m$ प्रत्येक सिरे की ध्रुव प्रबलता है।
जब तार को $L$-आकार में मोड़ा जाता है,तो $l/2$ लंबाई के दो खंड एक-दूसरे के लंबवत होते हैं।
प्रभावी लंबाई (ध्रुवों के बीच का विस्थापन) $l/2$ और $l/2$ भुजाओं वाले समकोण त्रिभुज का कर्ण बन जाती है।
प्रभावी लंबाई $l' = \sqrt{(l/2)^2 + (l/2)^2} = \sqrt{l^2/4 + l^2/4} = \sqrt{l^2/2} = \frac{l}{\sqrt{2}}$.
नया चुंबकीय आघूर्ण $M'$ इस प्रकार है: $M' = m l' = m \left( \frac{l}{\sqrt{2}} \right)$.
चूंकि $M = m l$,इसलिए हमें $M' = \frac{M}{\sqrt{2}}$ प्राप्त होता है।

(C) एकसमान चुंबकीय क्षेत्र $B$ में $m$ ध्रुव प्राबल्य वाले चुंबकीय ध्रुव पर लगने वाला बल $F = mB$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ $F = 2.5 \times 10^{-4} \,N$ और $B = 3 \times 10^{-5} \,T$ दिया गया है।
ध्रुव प्राबल्य $m$ की गणना करने पर:
$m = \frac{F}{B} = \frac{2.5 \times 10^{-4}}{3 \times 10^{-5}} = \frac{25}{3} \,Am$.
चुंबकीय आघूर्ण $M$ को ध्रुव प्राबल्य $m$ और चुंबकीय लंबाई $L$ के गुणनफल के रूप में परिभाषित किया जाता है, अर्थात $M = mL$.
यहाँ $M = 5 \,Am^{2}$ दिया गया है।
अतः, चुंबकीय लंबाई $L$ होगी:
$L = \frac{M}{m} = \frac{5}{25/3} = \frac{5 \times 3}{25} = \frac{15}{25} = 0.6 \,m$.

(B) मान लीजिए कि दो चुंबक $M_1$ और $M_2$ हैं, जिनमें से प्रत्येक की लंबाई $\ell$ और ध्रुव प्रबलता $m$ है। प्रत्येक चुंबक का चुंबकीय आघूर्ण $\mu = m \ell$ है।
चूंकि उन्हें लंबवत रखा गया है और एक का उत्तरी ध्रुव दूसरे के दक्षिणी ध्रुव को स्पर्श करता है, इसलिए चुंबकीय आघूर्ण $\vec{\mu}_1$ और $\vec{\mu}_2$ एक-दूसरे के लंबवत हैं।
परिणामी चुंबकीय आघूर्ण $\vec{\mu}_{res}$ सदिश योग द्वारा दिया जाता है: $\vec{\mu}_{res} = \vec{\mu}_1 + \vec{\mu}_2$.
परिणामी चुंबकीय आघूर्ण का परिमाण $\mu_{res} = \sqrt{\mu_1^2 + \mu_2^2}$ है।
$\mu_1 = \mu_2 = m \ell$ प्रतिस्थापित करने पर:
$\mu_{res} = \sqrt{(m \ell)^2 + (m \ell)^2} = \sqrt{2 (m \ell)^2} = \sqrt{2} m \ell$.
अतः, परिणामी चुंबकीय आघूर्ण का परिमाण $\sqrt{2} m \ell$ है।

(A) मूल चुंबकीय आघूर्ण $M = m(2L)$ है,जहाँ $m$ ध्रुव प्राबल्य है।
जब तार को केंद्र से मोड़ा जाता है,तो यह $L$ लंबाई के दो खंड बनाता है,जिनमें से प्रत्येक का चुंबकीय आघूर्ण $M' = m(L) = \frac{M}{2}$ होता है।
ये दो खंड एक-दूसरे के लंबवत हैं।
परिणामी चुंबकीय आघूर्ण $M_{net}$ दो व्यक्तिगत चुंबकीय आघूर्णों का सदिश योग है:
$M_{net} = \sqrt{(\frac{M}{2})^2 + (\frac{M}{2})^2} = \sqrt{\frac{M^2}{4} + \frac{M^2}{4}} = \sqrt{\frac{2M^2}{4}} = \sqrt{\frac{M^2}{2}} = \frac{M}{\sqrt{2}}$.

(A) मान लीजिए कि तार की ध्रुव प्रबलता $m$ है। सीधे तार का चुंबकीय आघूर्ण $M = m \times \ell$ है।
जब तार को अर्धवृत्ताकार चाप में मोड़ा जाता है,तो चाप की लंबाई $\ell = \pi r$ होती है,जहाँ $r$ अर्धवृत्त की त्रिज्या है।
अतः,त्रिज्या $r = \ell / \pi$ है।
अर्धवृत्ताकार तार के दो सिरों के बीच की दूरी (चुंबकीय लंबाई) व्यास है,$d = 2r = 2\ell / \pi$।
नया चुंबकीय आघूर्ण $M'$ ध्रुव प्रबलता और चुंबकीय लंबाई का गुणनफल है:
$M' = m \times (2r) = m \times (2\ell / \pi) = (2 / \pi) \times (m \times \ell)$।
चूंकि $M = m \times \ell$,इसलिए $M' = (2 / \pi) M$।

(C) छड़ चुंबक का चुंबकीय आघूर्ण $M = m \times 2l$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $m$ ध्रुव प्राबल्य है और $2l$ चुंबक की लंबाई है।
जब चुंबक को उसकी लंबाई के लंबवत दो बराबर भागों में काटा जाता है,तो प्रत्येक भाग की लंबाई $l$ हो जाती है और ध्रुव प्राबल्य $m$ समान रहता है।
अतः,प्रत्येक भाग का चुंबकीय आघूर्ण $M' = m \times l = \frac{M}{2}$ होता है।
मान लीजिए कि मूल चुंबक के ध्रुव $A$ (उत्तर) और $B$ (दक्षिण) हैं। काटने के बाद,पहले भाग में $A$ और $C_1$ ध्रुव हैं,और दूसरे भाग में $C_2$ और $B$ ध्रुव हैं।
जब दूसरे भाग को पहले भाग के ऊपर इस प्रकार रखा जाता है कि $C_2$,$C_1$ के ऊपर हो,तो $C_1$ और $C_2$ ध्रुवों की ध्रुवता विपरीत होगी। यदि $C_1$ दक्षिण है,तो $C_2$ उत्तर होगा।
इस विन्यास में,दोनों भागों के चुंबकीय आघूर्ण विपरीत दिशाओं में होते हैं।
अतः,संयोजन का कुल चुंबकीय आघूर्ण $M_{net} = M' - M' = 0$ होगा।

(A) चुंबकीय क्षेत्र रेखाएं निरंतर बंद लूप बनाती हैं। एक छड़ चुंबक के बाहर,चुंबकीय क्षेत्र रेखाएं $N$-ध्रुव से निकलती हैं और $S$-ध्रुव में प्रवेश करती हैं। छड़ चुंबक के अंदर,बंद लूप को पूरा करने के लिए,चुंबकीय क्षेत्र रेखाएं $S$-ध्रुव से $N$-ध्रुव की दिशा में चलती हैं। इसलिए,सही विकल्प $A$ है।

(B) $M$ चुंबकीय आघूर्ण वाले एक छोटे छड़ चुंबक के लिए,$r$ दूरी पर अक्षीय (अनुदैर्ध्य) स्थिति में चुंबकीय क्षेत्र $B_{axial} = \frac{\mu_{0}}{4\pi} \frac{2M}{r^{3}}$ होता है।
उसी दूरी $r$ पर निरक्षीय (अनुप्रस्थ) स्थिति में चुंबकीय क्षेत्र $B_{equatorial} = \frac{\mu_{0}}{4\pi} \frac{M}{r^{3}}$ होता है।
अनुदैर्ध्य स्थिति और अनुप्रस्थ स्थिति में चुंबकीय क्षेत्र का अनुपात लेने पर:
$\frac{B_{axial}}{B_{equatorial}} = \frac{\frac{\mu_{0}}{4\pi} \frac{2M}{r^{3}}}{\frac{\mu_{0}}{4\pi} \frac{M}{r^{3}}} = \frac{2}{1}$.
अतः,अनुपात $2:1$ है।

(B) जब एक चुंबक को उसकी लंबाई के अनुदिश काटा जाता है,तो ध्रुव प्रबलता समान रहती है,लेकिन जब इसे उसकी लंबाई के लंबवत काटा जाता है,तो ध्रुव प्रबलता आधी हो जाती है।
इस मामले में,चुंबक को एक बार उसकी लंबाई के अनुदिश (अक्ष के समानांतर) और एक बार उसकी लंबाई के लंबवत काटकर चार समान भागों में विभाजित किया जाता है।
$1$. लंबाई के अनुदिश काटने पर ध्रुव प्रबलता $m$,$m/2$ और $m/2$ में विभाजित हो जाती है।
$2$. लंबाई के लंबवत काटने पर चुंबक दो भागों में बंट जाता है,लेकिन प्रत्येक अनुप्रस्थ काट की ध्रुव प्रबलता $m/2$ ही रहती है।
इसलिए,परिणामी चार भागों में से प्रत्येक के लिए,ध्रुव प्रबलता $m^{\prime} = m/2$ होगी।

(C) चुंबकीय द्विध्रुव आघूर्ण $M$ को संबंध $\tau = M \times B$ द्वारा परिभाषित किया जाता है,जहाँ $\tau$ टॉर्क है और $B$ चुंबकीय क्षेत्र है।
इससे,$M = \tau / B$ प्राप्त होता है।
टॉर्क $\tau$ की इकाई $N m$ (न्यूटन-मीटर) है और चुंबकीय क्षेत्र $B$ की इकाई $T$ (टेस्ला) है।
इसलिए,$M$ की इकाई $N m / T$ है।
चूंकि $1 \ T = 1 \ Wb / m^2$,हम लिख सकते हैं कि $M = (N m) / (Wb / m^2) = N m^3 / Wb$।
साथ ही,$M = I A$,जहाँ $I$ धारा $(A)$ है और $A$ क्षेत्रफल $(m^2)$ है,इसलिए इकाई $A m^2$ होती है।
चूंकि $1 \ J = 1 \ N m$,इकाई $N m / T$ का मान $J / T$ के बराबर है।
विकल्पों की तुलना करने पर,$J-T$ (विकल्प $C$) विमीय रूप से गलत है क्योंकि यह ऊर्जा और चुंबकीय क्षेत्र का गुणनफल दर्शाता है,न कि चुंबकीय द्विध्रुव आघूर्ण।

(A) जब एक छड़ चुंबक को उसकी लंबाई के अनुदिश दो बराबर भागों में काटा जाता है,तो अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल समान रहता है,इसलिए ध्रुव शक्ति $q_m$ अपरिवर्तित रहती है।
हालाँकि,प्रत्येक नए टुकड़े की लंबाई $l' = \frac{l}{2}$ हो जाती है।
चुंबकीय आघूर्ण को $m = q_m \times l$ के रूप में परिभाषित किया जाता है।
नए टुकड़ों के लिए,चुंबकीय आघूर्ण $m' = q_m \times \frac{l}{2} = \frac{m}{2}$ होता है।
अतः,नई ध्रुव शक्ति $q_m$ है और नया चुंबकीय आघूर्ण $\frac{m}{2}$ है।

(B) छड़ चुंबक के केंद्र से $Z$ दूरी पर उसकी अक्षीय रेखा पर चुंबकीय क्षेत्र $B$ का सूत्र $B = \frac{\mu_0}{4 \pi} \frac{2MZ}{(Z^2 - l^2)^2}$ होता है।
एक छोटे छड़ चुंबक के लिए,लंबाई $2l$ दूरी $Z$ की तुलना में बहुत कम है,अर्थात $Z \gg l$ है।
इसलिए,हम $(Z^2 - l^2)^2 \approx (Z^2)^2 = Z^4$ का अनुमान लगा सकते हैं।
इस मान को सूत्र में रखने पर,हमें $B = \frac{\mu_0}{4 \pi} \frac{2MZ}{Z^4} = \frac{\mu_0}{4 \pi} \frac{2M}{Z^3}$ प्राप्त होता है।
सदिश रूप में,इसे $\vec{B} = \frac{2 \mu_0}{4 \pi} \frac{\vec{M}}{Z^3}$ के रूप में व्यक्त किया जाता है।

(C) एक छोटे छड़ चुंबक की अक्षीय रेखा पर चुंबकीय क्षेत्र का सूत्र इस प्रकार है:
$B = \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{2M}{z^3}$
दिया गया है:
चुंबकीय आघूर्ण $M = 10 \text{ Am}^2$
दूरी $z = 0.1 \text{ m}$
पारगम्यता स्थिरांक $\frac{\mu_0}{4\pi} = 10^{-7} \text{ T m/A}$
मान रखने पर:
$B = 10^{-7} \times \frac{2 \times 10}{(0.1)^3}$
$B = 10^{-7} \times \frac{20}{0.001}$
$B = 10^{-7} \times 20000$
$B = 2 \times 10^{-3} \text{ T}$

(D) छड़ चुंबक एक स्थायी चुंबक है जो अपना स्वयं का चुंबकीय क्षेत्र उत्पन्न करता है। इसलिए,यह कथन कि यह चुंबकीय क्षेत्र उत्पन्न नहीं करता है,असत्य है। अन्य गुण छड़ चुंबक की मूलभूत विशेषताएं हैं: ध्रुव हमेशा जोड़े में मौजूद होते हैं,स्वतंत्र रूप से लटकाए जाने पर वे उत्तर-दक्षिण दिशा में संरेखित होते हैं,और समान ध्रुव प्रतिकर्षण करते हैं जबकि असमान ध्रुव आकर्षण करते हैं।

(A) $m$ चुंबकीय आघूर्ण वाले एक छोटे छड़ चुंबक के लिए उसके केंद्र से $r$ दूरी पर:
$1$. अक्षीय रेखा पर चुंबकीय क्षेत्र: $B_{A} = \frac{\mu_{0}}{4 \pi} \frac{2m}{r^{3}}$
$2$. निरक्षीय रेखा पर चुंबकीय क्षेत्र: $B_{E} = \frac{\mu_{0}}{4 \pi} \frac{m}{r^{3}}$
$3$. दोनों समीकरणों की तुलना करने पर,हम देख सकते हैं कि $B_{A} = 2 \times \left( \frac{\mu_{0}}{4 \pi} \frac{m}{r^{3}} \right) = 2 B_{E}$।
अतः,सही संबंध $B_{A} = 2 B_{E}$ है।

(A) जब समान द्विध्रुव आघूर्ण $M$ वाले दो छोटे चुम्बकों को उनके केंद्रों पर लंबवत जोड़ा जाता है,तो उनका परिणामी द्विध्रुव आघूर्ण $M^{\prime}$ सदिश योग द्वारा प्राप्त होता है:
$M^{\prime} = \sqrt{M^2 + M^2 + 2 M M \cos 90^{\circ}} = M \sqrt{2}$
यह परिणामी द्विध्रुव आघूर्ण $M^{\prime}$ समकोण के द्विभाजक की दिशा में कार्य करता है।
द्विभाजक पर $d$ दूरी पर स्थित बिंदु इस परिणामी द्विध्रुव $M^{\prime}$ की अक्षीय रेखा पर स्थित होता है।
एक छोटे चुंबकीय द्विध्रुव की अक्षीय स्थिति पर चुंबकीय क्षेत्र $B$ का मान इस प्रकार दिया जाता है:
$B = \frac{\mu_0}{4 \pi} \frac{2 M^{\prime}}{d^3}$
सूत्र में $M^{\prime} = M \sqrt{2}$ रखने पर:
$B = \frac{\mu_0}{4 \pi} \frac{2 (M \sqrt{2})}{d^3} = \frac{\mu_0}{4 \pi} \frac{2 \sqrt{2} M}{d^3}$

(C) $l$ लंबाई और $m$ ध्रुव प्रबलता वाले सीधे तार का चुंबकीय आघूर्ण $M = m \times l$ द्वारा दिया जाता है।
जब तार को $R$ त्रिज्या के अर्धवृत्ताकार चाप में मोड़ा जाता है,तो तार की लंबाई अर्धवृत्त की परिधि के बराबर होती है: $l = \pi R$।
इसलिए,चाप की त्रिज्या $R = \frac{l}{\pi}$ है।
नया चुंबकीय आघूर्ण $M'$ ध्रुव प्रबलता $m$ और दोनों सिरों के बीच की सीधी दूरी (अर्धवृत्त का व्यास) का गुणनफल है।
व्यास $d = 2R = \frac{2l}{\pi}$ है।
अतः,$M' = m \times d = m \times \frac{2l}{\pi}$।
चूंकि $M = ml$ है,इसलिए $ml$ को $M$ से प्रतिस्थापित करने पर हमें $M' = \frac{2}{\pi} M$ प्राप्त होता है।

(D) प्रत्येक छड़ चुंबक का चुंबकीय द्विध्रुव आघूर्ण $M = m l$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि दोनों चुंबक एक-दूसरे के साथ समकोण पर रखे गए हैं,इसलिए उनके चुंबकीय आघूर्ण सदिश $\vec{M_1}$ और $\vec{M_2}$ भी एक-दूसरे के लंबवत हैं।
प्रत्येक चुंबकीय आघूर्ण का परिमाण $M_1 = M_2 = M = ml$ है।
निकाय का कुल चुंबकीय आघूर्ण व्यक्तिगत चुंबकीय आघूर्णों का सदिश योग है:
$M_{net} = \sqrt{M_1^2 + M_2^2 + 2 M_1 M_2 \cos 90^{\circ}}$
चूंकि $\cos 90^{\circ} = 0$,यह समीकरण सरल होकर निम्न हो जाता है:
$M_{net} = \sqrt{M_1^2 + M_2^2} = \sqrt{M^2 + M^2} = \sqrt{2M^2} = M \sqrt{2}$
$M = ml$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$M_{net} = \sqrt{2} ml$

(D) माना चुम्बकित छड़ की ध्रुव प्रबलता $m$ है।
सीधी छड़ का चुम्बकीय आघूर्ण $M = m L$ द्वारा दिया जाता है।
जब छड़ को $R$ त्रिज्या के अर्धवृत्ताकार चाप में मोड़ा जाता है,तो चाप की लंबाई छड़ की मूल लंबाई के बराबर होती है:
$L = \pi R \implies R = \frac{L}{\pi}$.
अर्धवृत्ताकार चाप का चुम्बकीय आघूर्ण ध्रुव प्रबलता और दो ध्रुवों के बीच की सीधी दूरी (अर्धवृत्त का व्यास) का गुणनफल होता है:
$M_{arc} = m(2R)$.
$R$ का मान प्रतिस्थापित करने पर:
$M_{arc} = m \left( 2 \cdot \frac{L}{\pi} \right) = \frac{2}{\pi} (m L)$.
चूंकि $M = mL$,हमें प्राप्त होता है:
$M_{arc} = \frac{2 M}{\pi}$.

(B) मान लीजिए कि तीन चुंबकीय आघूर्ण $M_A$,$M_B$ और $M_C$ हैं,जहाँ $M_A = M_B = M_C = M$ है।
सबसे पहले,हम $M_A$ और $M_B$ का परिणामी ज्ञात करते हैं,जो एक-दूसरे से $90^{\circ}$ के कोण पर हैं।
परिणामी $M_1$ इस प्रकार है:
$M_1 = \sqrt{M_A^2 + M_B^2 + 2 M_A M_B \cos 90^{\circ}}$
$M_1 = \sqrt{M^2 + M^2 + 0} = M \sqrt{2}$
$M_1$ की दिशा $M_A$ और $M_B$ के कोण समद्विभाजक के अनुदिश है,जो $M_C$ की दिशा में ही है।
अब,कुल परिणामी चुंबकीय आघूर्ण $M_{\text{resultant}}$ है:
$M_{\text{resultant}} = M_1 + M_C$
$M_{\text{resultant}} = M \sqrt{2} + M = (\sqrt{2} + 1) M$
अतः,सही विकल्प $(b)$ है।

(C) प्रत्येक चुंबक का चुंबकीय आघूर्ण सदिश $\vec{M_1}$ और $\vec{M_2}$ है जिसका परिमाण $M = ml$ है।
चूंकि चुंबक एक-दूसरे के साथ समकोण पर रखे गए हैं,इसलिए उनके चुंबकीय आघूर्ण सदिशों के बीच का कोण $90^{\circ}$ है।
निकाय का परिणामी चुंबकीय आघूर्ण सदिश योग $\vec{M_{net}} = \vec{M_1} + \vec{M_2}$ द्वारा दिया जाता है।
परिणामी चुंबकीय आघूर्ण का परिमाण $M_{net} = \sqrt{M_1^2 + M_2^2 + 2M_1M_2 \cos(90^{\circ})}$ है।
चूंकि $\cos(90^{\circ}) = 0$ है,इसलिए $M_{net} = \sqrt{M^2 + M^2} = \sqrt{2M^2} = \sqrt{2}M$ प्राप्त होता है।
$M = ml$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $M_{net} = \sqrt{2} ml$ प्राप्त होता है।

(B) घन का आयतन $V = (\text{भुजा})^3 = (1.0 \times 10^{-6} m)^3 = 1.0 \times 10^{-18} m^3$ है।
नमूने में परमाणुओं की कुल संख्या $N = n \times V$ द्वारा दी जाती है, जहाँ $n$ परमाणुओं का संख्या घनत्व है।
$N = (8.7 \times 10^{28} m^{-3}) \times (1.0 \times 10^{-18} m^3) = 8.7 \times 10^{10}$ परमाणु।
अधिकतम चुंबकीय द्विध्रुव आघूर्ण $M_{max}$ परमाणुओं की कुल संख्या और एक परमाणु के चुंबकीय द्विध्रुव आघूर्ण $\mu_{atom}$ का गुणनफल है।
$M_{max} = N \times \mu_{atom} = (8.7 \times 10^{10}) \times (9.3 \times 10^{-24} A m^2)$.
$M_{max} = 80.91 \times 10^{-14} A m^2 = 8.1 \times 10^{-13} A m^2$.

(A) एक छोटे छड़ चुंबक की अक्ष पर उसके केंद्र से $d$ दूरी पर चुंबकीय क्षेत्र $B$ का सूत्र इस प्रकार है:
$B = \frac{\mu_0}{4\pi} \cdot \frac{2M}{d^3}$
दिया गया है:
चुंबकीय आघूर्ण $M = 0.48 \, J \, T^{-1}$
दूरी $d = 10 \, cm = 0.1 \, m$
$\frac{\mu_0}{4\pi} = 10^{-7} \, T \, m \, A^{-1}$
मान रखने पर:
$B = 10^{-7} \cdot \frac{2 \times 0.48}{(0.1)^3}$
$B = 10^{-7} \cdot \frac{0.96}{0.001}$
$B = 10^{-7} \cdot 960 = 9.6 \times 10^{-5} \, T$
चूंकि $1 \, T = 10^4 \, gauss$:
$B = 9.6 \times 10^{-5} \times 10^4 \, gauss = 0.96 \, gauss$
अतः, सही विकल्प $A$ है।

(D) चुंबकीय क्षेत्र रेखाएं सतत बंद लूप बनाती हैं। चुंबक के बाहर,वे उत्तरी ध्रुव से निकलकर दक्षिणी ध्रुव में प्रवेश करती हैं,जबकि चुंबक के अंदर,वे लूप को पूरा करने के लिए दक्षिणी ध्रुव से उत्तरी ध्रुव की ओर जाती हैं।

(B) जब एक छड़ चुंबक को उसकी लंबाई के लंबवत काटा जाता है,तो प्रत्येक टुकड़ा एक नया,छोटा छड़ चुंबक बन जाता है।
विशेष रूप से,कटान के स्थान पर बाएं टुकड़े पर एक नया दक्षिण ध्रुव $(S)$ और दाएं टुकड़े पर एक नया उत्तर ध्रुव $(N)$ उत्पन्न होता है।
चित्र में दिखाए अनुसार,बाएं टुकड़े में उसका मूल उत्तर ध्रुव $(N)$ बाईं ओर और नया दक्षिण ध्रुव $(S)$ दाईं ओर होगा।
दाएं टुकड़े में नया उत्तर ध्रुव $(N)$ बाईं ओर और उसका मूल दक्षिण ध्रुव $(S)$ दाईं ओर होगा।
जब इन दो टुकड़ों को एक-दूसरे के करीब रखा जाता है,तो बाएं टुकड़े का नया दक्षिण ध्रुव $(S)$ दाएं टुकड़े के नए उत्तर ध्रुव $(N)$ के सामने होता है।
चूंकि विपरीत चुंबकीय ध्रुव एक-दूसरे को आकर्षित करते हैं,इसलिए दोनों टुकड़े एक-दूसरे को आकर्षित करेंगे।

(D) चुंबक का चुंबकीय द्विध्रुव आघूर्ण $(M)$,उसके ध्रुव प्राबल्य $(m)$ और चुंबकीय लंबाई $(2l)$ के गुणनफल द्वारा दिया जाता है:
$M = m \times 2l$
साथ ही,चुंबकीय द्विध्रुव आघूर्ण को धारा $(I)$ और क्षेत्रफल $(A)$ के गुणनफल के रूप में परिभाषित किया जाता है:
$M = I \times A$
दोनों समीकरणों की तुलना करने पर:
$m \times 2l = I \times A$
ध्रुव प्राबल्य $(m)$ के लिए हल करने पर:
$m = \frac{I \times A}{2l}$
धारा $(I)$ का मात्रक एम्पीयर $(A)$ है और लंबाई $(l)$ का मात्रक मीटर $(m)$ है।
अतः,ध्रुव प्राबल्य $(m)$ का मात्रक है:
$\text{मात्रक} = \frac{\text{एम्पीयर} \times \text{मीटर}^2}{\text{मीटर}} = \text{एम्पीयर} \times \text{मीटर} = Am$

(A) एक छड़ चुंबक का चुंबकीय आघूर्ण $M = m \times (2l)$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $m$ ध्रुव प्राबल्य है और $(2l)$ ध्रुवों के बीच की दूरी (चुंबकीय लंबाई) है।
जब छड़ चुंबक को एक चाप में मोड़ा जाता है,तो ध्रुव प्राबल्य $m$ स्थिर रहता है,लेकिन दोनों ध्रुवों के बीच की सीधी दूरी कम हो जाती है।
चूंकि चुंबकीय आघूर्ण ध्रुवों के बीच की दूरी के सीधे आनुपातिक होता है,इसलिए नया चुंबकीय आघूर्ण $M'$,मूल चुंबकीय आघूर्ण $M$ से कम होगा।
अतः,चुंबकीय आघूर्ण घट जाता है।

(A) तार का प्रारंभिक चुंबकीय आघूर्ण $M = m \cdot l$ है,जहाँ $m$ ध्रुव प्राबल्य है।
जब $l$ लंबाई के तार को अर्धवृत्त में मोड़ा जाता है,तो लंबाई $l$ अर्धवृत्त की चाप की लंबाई बन जाती है।
अतः,$l = \pi r$,जिसका अर्थ है $r = \frac{l}{\pi}$।
नया चुंबकीय आघूर्ण $M^{\prime}$ ध्रुव प्राबल्य $m$ और ध्रुवों के बीच की सीधी दूरी (अर्धवृत्त का व्यास) का गुणनफल है।
$M^{\prime} = m \cdot (2r) = m \cdot \left( \frac{2l}{\pi} \right)$।
चूंकि $M = m \cdot l$,हम समीकरण में $m \cdot l = M$ प्रतिस्थापित कर सकते हैं:
$M^{\prime} = \frac{2}{\pi} (m \cdot l) = \frac{2 M}{\pi}$।

(C) प्रारंभिक ध्रुव शक्ति $= m$ और चुंबकीय आघूर्ण $= M = m \times (2l)$,जहाँ $2l$ चुंबक की लंबाई है।
जब एक चुंबक को उसकी अक्ष के समानांतर $n$ बार काटा जाता है,तो प्रत्येक टुकड़े की ध्रुव शक्ति $m' = \frac{m}{n+1}$ हो जाती है। यहाँ $n=5$ है,इसलिए $m' = \frac{m}{5+1} = \frac{m}{6}$।
जब एक चुंबक को उसकी अक्ष के लंबवत $k$ बार काटा जाता है,तो प्रत्येक टुकड़े की लंबाई $l' = \frac{l}{k+1}$ हो जाती है। यहाँ $k=3$ है,इसलिए नई लंबाई $2l' = \frac{2l}{3+1} = \frac{2l}{4} = \frac{l}{2}$ होगी।
अक्ष के लंबवत काटने से ध्रुव शक्ति प्रभावित नहीं होती है,इसलिए प्रत्येक टुकड़े की अंतिम ध्रुव शक्ति $m' = \frac{m}{6}$ होगी।
नया चुंबकीय आघूर्ण $M'$ नई ध्रुव शक्ति और नई लंबाई का गुणनफल है: $M' = m' \times (2l') = \left(\frac{m}{6}\right) \times \left(\frac{2l}{4}\right) = \frac{m \times 2l}{24} = \frac{M}{24}$।

(B) चुंबकीय आघूर्ण एक सदिश राशि है जिसकी दिशा दक्षिण ध्रुव से उत्तर ध्रुव की ओर होती है।
जब दो समान चुंबकों को एक-दूसरे के लंबवत रखा जाता है,तो उनके चुंबकीय आघूर्ण सदिश $\vec{M_1}$ और $\vec{M_2}$ भी एक-दूसरे के लंबवत होते हैं।
परिणामी चुंबकीय आघूर्ण $M^{\prime}$ का परिमाण सदिश योग द्वारा दिया जाता है:
$M^{\prime} = \sqrt{M_1^2 + M_2^2 + 2M_1M_2 \cos(90^{\circ})}$
चूंकि $M_1 = M_2 = M$ है,इसलिए:
$M^{\prime} = \sqrt{M^2 + M^2} = M\sqrt{2}$
यह दिया गया है कि एक चुंबक का चुंबकीय आघूर्ण $M = ml$ है,इसलिए:
$M^{\prime} = ml\sqrt{2}$

(A) चुंबकन तीव्रता $I$ को प्रति इकाई आयतन चुंबकीय आघूर्ण $M$ के रूप में परिभाषित किया जाता है,अर्थात $I = M/V$.
इसलिए,चुंबकीय आघूर्ण $M = I \times V$ द्वारा प्राप्त होता है।
छड़ चुंबक का आयतन $V$ इसकी चुंबकीय लंबाई $l$ और इसके अनुप्रस्थ काट के क्षेत्रफल $A$ का गुणनफल है।
दिया गया है:
$I = 5.0 \times 10^{4} \text{ A m}^{-1}$
$l = 12 \text{ cm} = 0.12 \text{ m}$
$A = 1 \text{ cm}^{2} = 1 \times 10^{-4} \text{ m}^{2}$
आयतन $V = l \times A = 0.12 \times 10^{-4} \text{ m}^{3} = 1.2 \times 10^{-5} \text{ m}^{3}$.
अब,चुंबकीय आघूर्ण $M$ की गणना करने पर:
$M = (5.0 \times 10^{4} \text{ A m}^{-1}) \times (1.2 \times 10^{-5} \text{ m}^{3})$
$M = 6.0 \times 10^{-1} \text{ A m}^{2} = 0.6 \text{ A m}^{2}$.