Bar Magnet and Magnetic Dipole and Magnetic Moment Questions in Hindi

(C) चुम्बकीय द्विध्रुव आघूर्ण की दिशा चुम्बक के दक्षिणी ध्रुव से उत्तरी ध्रुव की ओर होती है।
विन्यास $(1)$ में,दो चुम्बकीय आघूर्णों के बीच का कोण $90^{\circ}$ है। कुल चुम्बकीय द्विध्रुव आघूर्ण $m_{\text{net}} = \sqrt{m^2 + m^2 + 2m^2 \cos 90^{\circ}} = \sqrt{2m^2} = m\sqrt{2} \approx 1.414m$ है।
विन्यास $(2)$ में,चुम्बकीय आघूर्ण विपरीत दिशाओं में हैं,इसलिए कोण $180^{\circ}$ है। कुल चुम्बकीय द्विध्रुव आघूर्ण $m_{\text{net}} = m - m = 0$ है।
विन्यास $(3)$ में,दो चुम्बकीय आघूर्णों के बीच का कोण $30^{\circ}$ है। कुल चुम्बकीय द्विध्रुव आघूर्ण $m_{\text{net}} = \sqrt{m^2 + m^2 + 2m^2 \cos 30^{\circ}} = \sqrt{2m^2 + 2m^2(\frac{\sqrt{3}}{2})} = m\sqrt{2 + \sqrt{3}} \approx m\sqrt{3.732} \approx 1.932m$ है।
विन्यास $(4)$ में,दो चुम्बकीय आघूर्णों के बीच का कोण $60^{\circ}$ है। कुल चुम्बकीय द्विध्रुव आघूर्ण $m_{\text{net}} = \sqrt{m^2 + m^2 + 2m^2 \cos 60^{\circ}} = \sqrt{2m^2 + 2m^2(\frac{1}{2})} = m\sqrt{3} \approx 1.732m$ है।
मानों की तुलना करने पर,विन्यास $(3)$ में कुल चुम्बकीय द्विध्रुव आघूर्ण सबसे अधिक है।

(C) मध्य बिंदु $P$ पर कुल चुंबकीय क्षेत्र,उत्तरी ध्रुव $(N)$ और दक्षिणी ध्रुव $(S)$ के कारण उत्पन्न चुंबकीय क्षेत्रों का सदिश योग है।
चूंकि बिंदु $P$ ध्रुवों के ठीक बीच में है,इसलिए प्रत्येक ध्रुव से $P$ की दूरी $r = \frac{0.1\, m}{2} = 0.05\, m$ है।
$m$ ध्रुव प्रबलता वाले एक ध्रुव के कारण $r$ दूरी पर चुंबकीय क्षेत्र $B = \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{m}{r^2}$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ,$\frac{\mu_0}{4\pi} = 10^{-7}\, T\cdot m/A$ है।
अतः,$N$-ध्रुव के कारण चुंबकीय क्षेत्र $B_N = 10^{-7} \times \frac{0.01}{(0.05)^2} = 10^{-7} \times \frac{0.01}{0.0025} = 4 \times 10^{-7}\, T$ है।
इसी प्रकार,$S$-ध्रुव के कारण चुंबकीय क्षेत्र $B_S = 10^{-7} \times \frac{0.01}{(0.05)^2} = 4 \times 10^{-7}\, T$ है।
चूंकि दोनों क्षेत्र एक ही दिशा ($N$ से $S$ की ओर) में हैं,इसलिए कुल चुंबकीय क्षेत्र $B_{net} = B_N + B_S = 4 \times 10^{-7} + 4 \times 10^{-7} = 8 \times 10^{-7}\, T$ होगा।

(B) प्रत्येक छड़ चुंबक एक चुंबकीय द्विध्रुव के रूप में कार्य करता है जिसका चुंबकीय आघूर्ण सदिश $\vec{M}$ दक्षिण ध्रुव $(S)$ से उत्तर ध्रुव $(N)$ की ओर होता है।
समबाहु त्रिभुज व्यवस्था में,तीन चुंबकीय आघूर्ण सदिशों $\vec{M}_1, \vec{M}_2, \vec{M}_3$ को त्रिभुज की भुजाओं के अनुदिश रखा गया है।
किन्हीं भी दो क्रमिक चुंबकीय आघूर्ण सदिशों के बीच का कोण $120^{\circ}$ है।
परिणामी चुंबकीय आघूर्ण $\vec{M}_{net} = \vec{M}_1 + \vec{M}_2 + \vec{M}_3$ है।
चूंकि सदिश एक बंद लूप (समबाहु त्रिभुज) बनाते हैं,इसलिए उनका सदिश योग शून्य होता है। हालाँकि,दी गई छवि में अभिविन्यास को देखते हुए,चुंबकों को इस तरह व्यवस्थित किया गया है कि एक का उत्तरी ध्रुव दूसरे के दक्षिणी ध्रुव के निकट हो। समाधान छवि में दिखाए गए अनुसार,विशिष्ट संरेखण के कारण प्रभावी परिणामी चुंबकीय आघूर्ण $2M$ प्राप्त होता है।

(C) मान लीजिए स्टील के तार की लंबाई $l$ है। प्रारंभिक चुंबकीय आघूर्ण $M = m \cdot l$ है,जहाँ $m$ ध्रुव प्राबल्य है।
अतः,ध्रुव प्राबल्य $m = \frac{M}{l}$ है।
जब तार को $r$ त्रिज्या के अर्धवृत्ताकार चाप में मोड़ा जाता है,तो तार की लंबाई अर्धवृत्त की परिधि के बराबर होती है: $\pi r = l$,जिससे $r = \frac{l}{\pi}$ प्राप्त होता है।
दोनों ध्रुवों के बीच की दूरी (अर्धवृत्त का व्यास) $d = 2r = \frac{2l}{\pi}$ है।
नया चुंबकीय आघूर्ण $M'$ ध्रुव प्राबल्य और ध्रुवों के बीच की दूरी का गुणनफल है:
$M' = m \cdot (2r) = \left(\frac{M}{l}\right) \cdot \left(\frac{2l}{\pi}\right) = \frac{2M}{\pi}$.

(D) मान लीजिए कि $q_{m}$ चुम्बकीय स्टील के तार की ध्रुव प्रबलता है।
प्रारंभिक चुम्बकीय आघूर्ण $M = q_{m} L$ द्वारा दिया जाता है।
जब तार को अर्धवृत्ताकार चाप में मोड़ा जाता है,तो लंबाई $L$ अर्धवृत्त की परिधि बन जाती है,इसलिए $\pi r = L$,जिसका अर्थ है $r = L/\pi$।
नया चुम्बकीय आघूर्ण $M^{\prime}$ ध्रुव प्रबलता और दो ध्रुवों के बीच की सीधी दूरी (अर्धवृत्त का व्यास) का गुणनफल है।
$M^{\prime} = q_{m} \times (2r) = q_{m} \times (2L/\pi)$।
$M = q_{m} L$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $M^{\prime} = 2M/\pi$ प्राप्त होता है।

(D) $1$. लोहे की छड़ का आयतन ज्ञात करें: $V = \pi r^2 L = \pi (0.5 \ cm)^2 \times 10 \ cm = 2.5 \pi \ cm^3 \approx 7.85 \ cm^3$.
$2$. छड़ का द्रव्यमान ज्ञात करें: $m = \text{घनत्व} \times V = 7.87 \ g/cm^3 \times 7.85 \ cm^3 \approx 61.8 \ g$.
$3$. परमाणुओं की संख्या $(N)$ ज्ञात करें: $N = \frac{m}{M} \times N_A = \frac{61.8}{55.87} \times 6.023 \times 10^{23} \approx 6.66 \times 10^{23}$ परमाणु।
$4$. कुल चुंबकीय आघूर्ण ज्ञात करें: $M_{total} = N \times \mu_{atom} = (6.66 \times 10^{23}) \times (1.8 \times 10^{-23} \ A-m^2) \approx 12 \ A-m^2$.

(C) $1$. चुंबकन की तीव्रता $(I)$ को प्रति इकाई आयतन चुंबकीय आघूर्ण के रूप में परिभाषित किया जाता है। चूंकि चुंबक को काटने पर चुंबकीय आघूर्ण और आयतन दोनों आधे हो जाते हैं,इसलिए अनुपात स्थिर रहता है। अतः,$I$ नहीं बदलता है।
$2$. ध्रुव प्राबल्य $(m)$ चुंबक के अनुप्रस्थ काट के क्षेत्रफल से संबंधित एक गुण है। यदि चुंबक को उसकी लंबाई के लंबवत काटा जाता है,तो ध्रुव प्राबल्य समान रहता है। यदि लंबाई के समानांतर काटा जाता है,तो ध्रुव प्राबल्य आधा हो जाता है। इसलिए,यह बदल सकता है।
$3$. चुंबकीय आघूर्ण $(M = m \times 2l)$ ध्रुव प्राबल्य और लंबाई दोनों पर निर्भर करता है। चुंबक को काटने से या तो लंबाई या ध्रुव प्राबल्य (या दोनों) बदल जाते हैं,इसलिए चुंबकीय आघूर्ण हमेशा बदलता है।
$4$. इस प्रकार,ध्रुव प्राबल्य और चुंबकीय आघूर्ण दोनों बदल सकते हैं।

(B) माना तार की मूल लंबाई $L$ है और ध्रुव प्राबल्य $m$ है। मूल चुंबकीय आघूर्ण $M = m \times L = 3.14 \, A-m^2$ है।
जब तार को $R$ त्रिज्या के अर्धवृत्त में मोड़ा जाता है,तो तार की लंबाई अर्धवृत्त की परिधि के बराबर हो जाती है: $L = \pi R$,इसलिए $R = L / \pi$।
नया चुंबकीय आघूर्ण $M'$ ध्रुव प्राबल्य और ध्रुवों के बीच की दूरी (अर्धवृत्त का व्यास) का गुणनफल है।
ध्रुवों के बीच की दूरी $2R = 2(L / \pi) = 2L / \pi$ है।
अतः,$M' = m \times (2L / \pi) = (m \times L) \times (2 / \pi)$।
$M = 3.14$ और $\pi \approx 3.14$ रखने पर:
$M' = 3.14 \times (2 / 3.14) = 2 \, A-m^2$।

(C) माना तार की मूल लंबाई $L$ है। मूल चुंबकीय आघूर्ण $M = m L$ है,जहाँ $m$ ध्रुव प्राबल्य है।
तार को $R$ त्रिज्या के एक चतुर्थांश वृत्त के चाप में मोड़ा जाता है। इस चाप की लंबाई $L = \frac{1}{4}(2 \pi R) = \frac{\pi R}{2}$ है।
अतः,$m = \frac{M}{L} = \frac{M}{\pi R / 2} = \frac{2M}{\pi R}$ है।
नया चुंबकीय आघूर्ण $M^{\prime}$ ध्रुव प्राबल्य $m$ और चाप के दोनों सिरों के बीच की सीधी दूरी (जीवा की लंबाई) का गुणनफल है।
सिरों के बीच की दूरी $L^{\prime} = \sqrt{R^2 + R^2} = \sqrt{2} R$ है।
इसलिए,$M^{\prime} = m L^{\prime} = \left( \frac{2M}{\pi R} \right) (\sqrt{2} R) = \frac{2 \sqrt{2} M}{\pi}$।

(D) मान लीजिए कि तार की मूल लंबाई $L$ है और इसकी ध्रुव प्रबलता $m$ है। मूल चुंबकीय आघूर्ण $M = m \cdot L$ है।
जब तार को $r$ त्रिज्या वाले वृत्त के चाप में मोड़ा जाता है जो केंद्र पर $\theta = 60^o = \pi/3$ रेडियन का कोण बनाता है,तो चाप की लंबाई $L = r\theta$ होती है।
अतः,$r = L / \theta = L / (\pi/3) = 3L / \pi$ है।
नया चुंबकीय आघूर्ण $M'$,ध्रुव प्रबलता $m$ और चाप के दो सिरों के बीच की सीधी दूरी (जीवा की लंबाई) का गुणनफल है।
जीवा की लंबाई $d = 2r \sin(\theta/2)$ है।
$\theta = 60^o$ रखने पर,हमें $d = 2r \sin(30^o) = 2r(1/2) = r$ प्राप्त होता है।
$r = 3L / \pi$ रखने पर,हमें $d = 3L / \pi$ प्राप्त होता है।
इसलिए,नया चुंबकीय आघूर्ण $M' = m \cdot d = m \cdot (3L / \pi) = (3 / \pi) \cdot (mL) = 3M / \pi$ है।

(B) प्रारंभिक चुंबकीय आघूर्ण $M = m \times L$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $m$ ध्रुव सामर्थ्य है और $L$ तार की लंबाई है।
जब तार को अर्धवृत्त में मोड़ा जाता है,तो लंबाई $L$ अर्धवृत्त की चाप की लंबाई बन जाती है,इसलिए $L = \pi R$,जहाँ $R$ अर्धवृत्त की त्रिज्या है।
इस प्रकार,$R = L / \pi$ है।
अर्धवृत्त की प्रभावी लंबाई (दो ध्रुवों के बीच की दूरी) उसका व्यास है,जो $2R$ है।
नया चुंबकीय आघूर्ण $M_{\text{new}} = m \times (2R)$ द्वारा दिया जाता है।
$R = L / \pi$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $M_{\text{new}} = m \times 2 \times (L / \pi) = (2 / \pi) \times (m \times L)$ प्राप्त होता है।
चूंकि $M = m \times L$,इसलिए नया चुंबकीय आघूर्ण $M_{\text{new}} = 2M / \pi$ होगा।

(D) मान लीजिए कि तार की मूल लंबाई $L$ है। मूल चुंबकीय आघूर्ण $M = m \cdot L$ है,जहाँ $m$ ध्रुव प्रबलता है।
जब तार को $r$ त्रिज्या वाले वृत्त के चाप में मोड़ा जाता है जो केंद्र पर $\theta = 60^{\circ} = \frac{\pi}{3}$ रेडियन का कोण बनाता है,तो चाप की लंबाई $L = r\theta$ होती है।
अतः,$r = \frac{L}{\theta} = \frac{L}{\pi/3} = \frac{3L}{\pi}$।
चाप के दोनों सिरों के बीच की दूरी (जीवा की लंबाई) $d = 2r \sin(\frac{\theta}{2})$ है।
$\theta = 60^{\circ}$ रखने पर,हमें $d = 2r \sin(30^{\circ}) = 2r \cdot \frac{1}{2} = r$ प्राप्त होता है।
नया चुंबकीय आघूर्ण $M'$ का मान $M' = m \cdot d = m \cdot r$ है।
$r = \frac{3L}{\pi}$ रखने पर,हमें $M' = m \cdot \frac{3L}{\pi} = \frac{3}{\pi} (m \cdot L)$ प्राप्त होता है।
चूंकि $M = m \cdot L$,इसलिए नया चुंबकीय आघूर्ण $M' = \frac{3M}{\pi}$ है।

(A) एक छड़ चुंबक का चुंबकीय आघूर्ण $M$,उसकी ध्रुव प्रबलता $m$ और उसकी चुंबकीय लंबाई $2l$ के गुणनफल द्वारा दिया जाता है,इसलिए $M = m \times 2l$ होता है।
जब चुंबक को उसकी लंबाई के लंबवत दो समान भागों में काटा जाता है,तो प्रत्येक भाग की ध्रुव प्रबलता $m$ समान रहती है,लेकिन प्रत्येक भाग की लंबाई आधी हो जाती है,अर्थात $l' = l$ हो जाती है।
इसलिए,प्रत्येक भाग का नया चुंबकीय आघूर्ण $M'$ होगा: $M' = m \times l = (m \times 2l) / 2 = M / 2$।
अतः,$M' = 0.5 M$ होगा।

(C) सीधे तार का प्रारंभिक चुंबकीय आघूर्ण $M = m \ell$ है,जहाँ $m$ तार की ध्रुव प्रबलता है।
जब तार को $\frac{\ell}{3}$ और $\frac{2\ell}{3}$ लंबाई के दो खंडों के साथ $90^{\circ}$ के कोण पर $L$-आकार में मोड़ा जाता है,तो नया चुंबकीय आघूर्ण $M^{\prime} = m \ell^{\prime}$ होता है,जहाँ $\ell^{\prime}$ दोनों ध्रुवों के बीच की प्रभावी दूरी है।
प्रभावी लंबाई $\ell^{\prime}$ दो खंडों द्वारा निर्मित समकोण त्रिभुज का कर्ण है:
$\ell^{\prime} = \sqrt{\left(\frac{\ell}{3}\right)^{2} + \left(\frac{2\ell}{3}\right)^{2}} = \sqrt{\frac{\ell^{2}}{9} + \frac{4\ell^{2}}{9}} = \sqrt{\frac{5\ell^{2}}{9}} = \frac{\sqrt{5}\ell}{3}$.
अतः,नया चुंबकीय आघूर्ण $M^{\prime} = m \ell^{\prime} = m \left(\frac{\sqrt{5}\ell}{3}\right) = \frac{\sqrt{5}}{3} (m \ell) = \frac{\sqrt{5} M}{3}$ होगा।

(C) माना तार की लंबाई $L$ है। सीधे तार का चुंबकीय आघूर्ण $M = m \cdot L$ है,जहाँ $m$ ध्रुव प्राबल्य है।
जब तार को $\theta = 90^o = \frac{\pi}{2}$ रेडियन के कोण वाले चाप में मोड़ा जाता है,तो चाप की लंबाई $L = R\theta = R(\frac{\pi}{2})$ होती है,इसलिए त्रिज्या $R = \frac{2L}{\pi}$ है।
नया चुंबकीय आघूर्ण $M' = m \cdot d$ है,जहाँ $d$ चाप के दो सिरों के बीच की सीधी दूरी (जीवा की लंबाई) है।
जीवा की लंबाई $d = 2R \sin(\frac{\theta}{2}) = 2R \sin(45^o) = 2R \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} = R\sqrt{2}$ होती है।
$R = \frac{2L}{\pi}$ का मान रखने पर,$d = \frac{2L}{\pi} \cdot \sqrt{2} = \frac{2\sqrt{2}L}{\pi}$ प्राप्त होता है।
अतः,$M' = m \cdot \frac{2\sqrt{2}L}{\pi} = \frac{2\sqrt{2}}{\pi} (mL) = \frac{2\sqrt{2}M}{\pi}$ होगा।

(B) विद्युत क्षेत्र की बल रेखाएँ धनात्मक आवेश से उत्पन्न होती हैं और ऋणात्मक आवेश पर समाप्त होती हैं,जिसका अर्थ है कि वे बंद लूप नहीं बनाती हैं।
इसके विपरीत,चुंबकीय क्षेत्र की बल रेखाएँ हमेशा निरंतर बंद लूप बनाती हैं,क्योंकि चुंबकीय मोनोपोल (एकल ध्रुव) का अस्तित्व नहीं होता है।

(B) ऊर्ध्वाधर छड़ चुम्बक के कारण बिंदु $P$ पर चुम्बकीय क्षेत्र ऊपर की ओर निर्देशित होता है क्योंकि $P$ इस चुम्बक के उत्तरी ध्रुव $(N)$ के निकट है। मान लीजिए यह $B_1$ है।
क्षैतिज छड़ चुम्बक के कारण बिंदु $P$ पर चुम्बकीय क्षेत्र दाईं ओर निर्देशित होता है क्योंकि $P$ इस चुम्बक के दक्षिणी ध्रुव $(S)$ के निकट है (चुम्बकीय क्षेत्र रेखाएं दक्षिणी ध्रुव में प्रवेश करती हैं)। मान लीजिए यह $B_2$ है।
परिणामी चुम्बकीय क्षेत्र $B_{net}$,$B_1$ और $B_2$ का सदिश योग है। चूंकि $B_1$ ऊपर की ओर और $B_2$ दाईं ओर निर्देशित है,इसलिए परिणामी सदिश $B_{net}$ ऊपर-दाईं दिशा में इंगित करेगा।
अतः,सही दिशा ऊपर-दाईं ओर के तिरछे तीर द्वारा दर्शाई गई है।

(D) माना तार की मूल लंबाई $L$ है और ध्रुव प्राबल्य $m$ है। मूल चुंबकीय आघूर्ण $M = m \times L$ है।
जब तार को $r$ त्रिज्या के चाप में मोड़ा जाता है जो केंद्र पर $\theta = 60^{\circ} = \pi/3$ रेडियन का कोण बनाता है,तो चाप की लंबाई $L = r\theta = r(\pi/3)$ होती है।
अतः,$r = 3L/\pi$.
नया चुंबकीय आघूर्ण $M'$,ध्रुव प्राबल्य $m$ और चाप के दो सिरों के बीच की सीधी दूरी (जीवा की लंबाई) का गुणनफल है।
जीवा की लंबाई $d = 2r \sin(\theta/2)$.
$\theta = 60^{\circ}$ रखने पर,$d = 2r \sin(30^{\circ}) = 2r(1/2) = r$.
$r = 3L/\pi$ रखने पर,$d = 3L/\pi$.
इसलिए,$M' = m \times d = m \times (3L/\pi) = (3/\pi) \times (mL) = 3M/\pi$.

(C) दो चुम्बकों,जिनमें से प्रत्येक का द्विध्रुव आघूर्ण $M$ है,को $\theta$ कोण पर रखने पर उनका कुल चुम्बकीय द्विध्रुव आघूर्ण सदिश योग द्वारा प्राप्त होता है:
$M_{net} = \sqrt{M^2 + M^2 + 2M^2 \cos \theta} = \sqrt{2M^2(1 + \cos \theta)} = \sqrt{2M^2(2 \cos^2(\theta/2))} = 2M \cos(\theta/2)$.
विन्यासों का विश्लेषण:
$(a)$ चुम्बक $\theta = 90^{\circ}$ पर हैं। $M_{net} = 2M \cos(45^{\circ}) = 2M(1/\sqrt{2}) = \sqrt{2}M \approx 1.414M$.
$(b)$ चुम्बक प्रति-समानांतर हैं,$\theta = 180^{\circ}$। $M_{net} = 2M \cos(90^{\circ}) = 0$.
$(c)$ चुम्बक $\theta = 30^{\circ}$ पर हैं। $M_{net} = 2M \cos(15^{\circ}) \approx 2M(0.966) = 1.932M$.
$(d)$ चुम्बक $\theta = 60^{\circ}$ पर हैं। $M_{net} = 2M \cos(30^{\circ}) = 2M(\sqrt{3}/2) = \sqrt{3}M \approx 1.732M$.
मानों की तुलना करने पर,$(c)$ में दिए गए विन्यास में कुल चुम्बकीय द्विध्रुव आघूर्ण सबसे अधिक है।

(A) चुंबकीय क्षेत्र रेखाएं निरंतर बंद लूप बनाती हैं। चुंबक के बाहर,वे उत्तरी ध्रुव $(N)$ से निकलती हैं और दक्षिणी ध्रुव $(S)$ में प्रवेश करती हैं। चुंबक के अंदर,वे दक्षिणी ध्रुव $(S)$ से उत्तरी ध्रुव $(N)$ की ओर यात्रा करती हैं। यह सुनिश्चित करता है कि चुंबकीय प्रेरण की रेखाएं निरंतर पथ बनाती हैं। दिए गए चित्रों को देखने पर,चित्र $(1)$ सही ढंग से इन रेखाओं को उत्तरी ध्रुव से निकलते हुए,दक्षिणी ध्रुव में प्रवेश करते हुए और चुंबक के अंदर $S$ से $N$ की ओर जाते हुए दर्शाता है।

(A) चुंबकीय बल रेखाएं किसी भी बिंदु पर चुंबकीय क्षेत्र की दिशा का प्रतिनिधित्व करती हैं।
यदि दो चुंबकीय क्षेत्र रेखाएं एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करती हैं,तो इसका मतलब यह होगा कि उस एक बिंदु पर चुंबकीय क्षेत्र की दो अलग-अलग दिशाएं हैं।
चूंकि अंतरिक्ष में किसी भी दिए गए बिंदु पर चुंबकीय क्षेत्र की दिशा अद्वितीय होनी चाहिए,इसलिए चुंबकीय क्षेत्र रेखाओं का प्रतिच्छेद करना भौतिक रूप से असंभव है।

(C) माना चुंबक की लंबाई $2l = 2 \ cm$ है,इसलिए $l = 1 \ cm$ है।
चुंबक के केंद्र से बिंदु $A$ की दूरी $r_1 = x + l = x + 1$ है।
चुंबक के केंद्र से बिंदु $B$ की दूरी $r_2 = 2x + l = 2x + 1$ है।
एक छोटे चुंबक या अधिक दूरी पर स्थित बिंदुओं के लिए,चुंबकीय क्षेत्र $B \propto \frac{1}{r^3}$ होता है।
अतः,चुंबकीय क्षेत्रों का अनुपात $\frac{B_A}{B_B} = \left( \frac{r_2}{r_1} \right)^3 = \left( \frac{2x + 1}{x + 1} \right)^3$ है।
यदि $x \gg l$ है,तो $\frac{B_A}{B_B} \approx \left( \frac{2x}{x} \right)^3 = 2^3 = 8$ होगा।
इसलिए,अनुपात लगभग $8 : 1$ है।

(B) कथन सही है क्योंकि चुंबकीय मोनोपोल का अस्तित्व नहीं होता है; चुंबक को तोड़ने से केवल दो छोटे चुंबक बनते हैं,जिनमें से प्रत्येक का अपना उत्तर और दक्षिण ध्रुव होता है।
कारण भी सही है। छड़ चुंबक का चुंबकीय आघूर्ण $M$,$M = m \times 2l$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $m$ ध्रुव प्रबलता है और $2l$ लंबाई है। जब चुंबक को उसकी लंबाई के लंबवत दो बराबर टुकड़ों में काटा जाता है,तो ध्रुव प्रबलता $m$ समान रहती है,लेकिन प्रत्येक टुकड़े की लंबाई $l$ हो जाती है। इसलिए,नया चुंबकीय आघूर्ण $M' = m \times l = M/2$ होता है।
चूंकि कारण यह बताता है कि चुंबकीय गुण क्यों बदलते हैं लेकिन यह नहीं बताता कि ध्रुवों को अलग क्यों नहीं किया जा सकता है,इसलिए सही विकल्प $B$ है।

(A) दिया गया है: चुंबकीय आघूर्ण $m = 0.40 \; A m^{2}$,दूरी $r = 50 \; cm = 0.5 \; m$। चुंबक की लंबाई $(5.0 \; cm)$ दूरी $(50 \; cm)$ की तुलना में छोटी है,इसलिए हम छोटे द्विध्रुव (short dipole) सन्निकटन का उपयोग करेंगे।
निरक्षीय क्षेत्र $(B_{E})$ के लिए:
$B_{E} = \frac{\mu_{0} m}{4 \pi r^{3}} = \frac{10^{-7} \times 0.40}{(0.5)^{3}} = \frac{10^{-7} \times 0.40}{0.125} = 3.2 \times 10^{-7} \; T$.
अक्षीय क्षेत्र $(B_{A})$ के लिए:
$B_{A} = \frac{\mu_{0} 2m}{4 \pi r^{3}} = 2 \times B_{E} = 2 \times 3.2 \times 10^{-7} = 6.4 \times 10^{-7} \; T$.

(N/A) छड़ चुंबक का चुंबकीय आघूर्ण,$M = 0.48 \; J \; T^{-1}$.
$(a)$ दूरी,$d = 10 \; cm = 0.1 \; m$.
चुंबक के केंद्र से अक्ष पर $d$ दूरी पर चुंबकीय क्षेत्र का सूत्र:
$B = \frac{\mu_{0}}{4 \pi} \frac{2M}{d^{3}}$
जहाँ,$\mu_{0} = 4 \pi \times 10^{-7} \; T \; m \; A^{-1}$.
मान रखने पर:
$B = \frac{10^{-7} \times 2 \times 0.48}{(0.1)^{3}} = \frac{0.96 \times 10^{-7}}{10^{-3}} = 0.96 \times 10^{-4} \; T = 0.96 \; G$.
चुंबकीय क्षेत्र की दिशा $S-N$ दिशा में है।
$(b)$ चुंबक की निरक्षीय रेखा पर $10 \; cm$ $(d = 0.1 \; m)$ की दूरी पर चुंबकीय क्षेत्र का सूत्र:
$B = \frac{\mu_{0}}{4 \pi} \frac{M}{d^{3}}$
मान रखने पर:
$B = \frac{10^{-7} \times 0.48}{(0.1)^{3}} = \frac{0.48 \times 10^{-7}}{10^{-3}} = 0.48 \times 10^{-4} \; T = 0.48 \; G$.
चुंबकीय क्षेत्र की दिशा $N-S$ दिशा में है।

(N/A) कुछ पदार्थों द्वारा प्रदर्शित आकर्षण के गुण को चुंबकत्व कहा जाता है,और ऐसे गुणों वाली वस्तु को चुंबक कहा जाता है।
चुंबकीय घटनाएं प्रकृति में सार्वभौमिक हैं।
पृथ्वी का चुंबकत्व मानव विकास से भी पुराना है।
चुंबकत्व हमारी पृथ्वी सहित पूरे ब्रह्मांड में फैला हुआ है।
'चुंबक' (magnet) शब्द ग्रीस के मैग्नेशिया नामक द्वीप के नाम से लिया गया है,जहाँ $600 \ BC$ में चुंबकीय अयस्क के भंडार पाए गए थे।
कहा जाता है कि इस द्वीप पर चरवाहे शिकायत करते थे कि उनके लकड़ी के जूते,जिनमें लोहे की कीलें लगी होती थीं,जमीन से चिपक जाते थे। उनकी लोहे की नोक वाली छड़ें भी इसी तरह प्रभावित होती थीं। चुंबक के इस आकर्षण गुण के कारण उन्हें चलने-फिरने में कठिनाई होती थी।
'मैग्नेशिया' द्वीप के नाम से ही,इस घटना और वस्तु को अंग्रेजी में 'magnet' कहा जाने लगा।

(N/A) चुंबकत्व के संबंध में कुछ सामान्य रूप से ज्ञात विचार निम्नलिखित हैं:
$(i)$ पृथ्वी एक चुंबक की तरह व्यवहार करती है,जिसका चुंबकीय क्षेत्र लगभग भौगोलिक दक्षिण से उत्तर दिशा की ओर होता है।
$(ii)$ जब एक छड़ चुंबक को स्वतंत्र रूप से लटकाया जाता है,तो वह उत्तर-दक्षिण दिशा में ठहरता है। जो सिरा भौगोलिक उत्तर की ओर इंगित करता है उसे उत्तरी ध्रुव कहा जाता है और जो सिरा भौगोलिक दक्षिण की ओर इंगित करता है उसे चुंबक का दक्षिणी ध्रुव कहा जाता है।
$(iii)$ जब दो चुंबकों के समान ध्रुव (उत्तरी-उत्तरी या दक्षिणी-दक्षिणी) एक-दूसरे के करीब लाए जाते हैं तो प्रतिकर्षण बल कार्य करता है और जब एक चुंबक का उत्तरी ध्रुव और दूसरे का दक्षिणी ध्रुव करीब लाया जाता है तो आकर्षण बल कार्य करता है।
$(iv)$ हम चुंबक के उत्तरी या दक्षिणी ध्रुव को अलग नहीं कर सकते। यदि एक छड़ चुंबक को दो हिस्सों में तोड़ा जाता है,तो हमें दो छोटे छड़ चुंबक मिलते हैं जिनके गुण थोड़े कमजोर होते हैं। विद्युत आवेशों के विपरीत,पृथक चुंबकीय उत्तरी और दक्षिणी ध्रुव,जिन्हें चुंबकीय मोनोपोल कहा जाता है,का अस्तित्व नहीं होता है।
$(v)$ लोहे और उसकी मिश्र धातुओं से चुंबक बनाना संभव है।

(B) 'मैग्नेट' (चुंबक) नाम एशिया माइनर (आधुनिक तुर्की) में स्थित 'मैग्नेशिया' द्वीप के नाम से लिया गया है,जहाँ प्राचीन यूनानियों द्वारा प्राकृतिक रूप से पाए जाने वाले चुंबकीय अयस्क (लोडस्टोन) की सबसे पहले खोज की गई थी।

(A) चुंबकत्व विद्युत आवेश की गति से उत्पन्न होने वाली एक भौतिक घटना है,जिसके परिणामस्वरूप वस्तुओं के बीच आकर्षण और प्रतिकर्षण बल कार्य करते हैं। यह प्रकृति का एक मूलभूत बल है।
चुंबक एक ऐसा पदार्थ या वस्तु है जो चुंबकीय क्षेत्र उत्पन्न करता है। यह चुंबकीय क्षेत्र अदृश्य होता है लेकिन यह चुंबक के सबसे उल्लेखनीय गुण के लिए जिम्मेदार है: एक ऐसा बल जो अन्य फेरोमैग्नेटिक पदार्थों जैसे लोहा,स्टील,निकल,कोबाल्ट आदि को अपनी ओर खींचता है और अन्य चुंबकों को आकर्षित या प्रतिकर्षित करता है।

(N/A) जब एक छड़ चुंबक के ऊपर रखी कांच की प्लेट पर लोहे का बुरादा छिड़का जाता है,तो वे चुंबक की चुंबकीय क्षेत्र रेखाओं के अनुदिश संरेखित हो जाते हैं।
प्राप्त पैटर्न निम्नलिखित बातें सुझाता है:
$(i)$ लोहे के बुरादे का पैटर्न यह दर्शाता है कि चुंबक में दो ध्रुव होते हैं,जो विद्युत द्विध्रुव के धनात्मक और ऋणात्मक आवेशों के समान होते हैं। एक ध्रुव को उत्तरी ध्रुव और दूसरे को दक्षिणी ध्रुव के रूप में नामित किया जाता है।
$(ii)$ जब चुंबक को स्वतंत्र रूप से लटकाया जाता है,तो ये ध्रुव क्रमशः भौगोलिक उत्तर और दक्षिण ध्रुवों की ओर इंगित करते हैं।
$(iii)$ धारावाही परिनालिका के चारों ओर भी लोहे के बुरादे का ऐसा ही पैटर्न देखा जाता है,जो यह पुष्टि करता है कि एक छड़ चुंबक और एक धारावाही परिनालिका समान व्यवहार करते हैं।

(N/A) विद्युत क्षेत्र रेखाओं और चुंबकीय क्षेत्र रेखाओं के बीच मूलभूत अंतर निम्नलिखित हैं:
$1$. विद्युत क्षेत्र रेखाएं धनात्मक आवेश से उत्पन्न होती हैं और ऋणात्मक आवेश पर समाप्त होती हैं। वे बंद लूप नहीं बनाती हैं।
$2$. चुंबकीय क्षेत्र रेखाएं निरंतर बंद लूप बनाती हैं,जो चुंबक के बाहर उत्तरी ध्रुव से दक्षिणी ध्रुव तक और चुंबक के अंदर दक्षिणी ध्रुव से उत्तरी ध्रुव तक जाती हैं।
$3$. विद्युत क्षेत्र रेखाएं उस पथ को दर्शाती हैं जिस पर एक इकाई धनात्मक आवेश गति करेगा,जबकि चुंबकीय क्षेत्र रेखाएं किसी भी बिंदु पर चुंबकीय क्षेत्र सदिश की दिशा को दर्शाती हैं।

(C) छड़ चुंबक और परिनालिका की चुंबकीय क्षेत्र रेखाओं की समानता निम्नलिखित है:
$(i)$ एक छड़ चुंबक को परिनालिका के अनुरूप बड़ी संख्या में प्रवाहित विद्युत धाराओं के रूप में माना जा सकता है।
$(ii)$ छड़ चुंबक को आधा काटने पर प्रत्येक टुकड़ा एक स्वतंत्र चुंबक की तरह व्यवहार करता है। परिनालिका को बीच से काटने पर हमें दो छोटी परिनालिकाएं मिलती हैं जिनके चुंबकीय गुण कमजोर होते हैं।
$(iii)$ छड़ चुंबक की तरह,परिनालिका में चुंबकीय रेखाएं निरंतर होती हैं,जो परिनालिका के एक फलक से निकलकर दूसरे फलक में प्रवेश करती हैं और एक बंद लूप बनाती हैं।
$(iv)$ छड़ चुंबक की तरह,अक्ष पर स्थित किसी बिंदु पर परिनालिका का चुंबकीय क्षेत्र $B = \frac{\mu_{0}}{4 \pi} \frac{2m}{r^{3}}$ के समान होता है।

(N/A) छड़ चुंबक की ध्रुव प्रबलता उस बल का माप है जो एक चुंबकीय ध्रुव अन्य चुंबकीय ध्रुवों पर लगाता है।
इसे $q_{m}$ या $P$ द्वारा दर्शाया जाता है।
ध्रुव प्रबलता एक अदिश राशि है और इसका $SI$ मात्रक एम्पियर-मीटर $(Am)$ है।
यह चुंबक के पदार्थ,उसके चुंबकन और उसके अनुप्रस्थ काट के क्षेत्रफल $(A)$ पर निर्भर करती है।
यदि एक छड़ चुंबक की लंबाई $(2l)$ है और उसकी ध्रुव प्रबलता $q_{m}$ है,तो चुंबकीय द्विध्रुव आघूर्ण $\vec{m}$ को ध्रुव प्रबलता और चुंबकीय लंबाई के गुणनफल के रूप में परिभाषित किया जाता है:
$\vec{m} = q_{m} \times (2\vec{l})$
चुंबकीय द्विध्रुव आघूर्ण $\vec{m}$ की दिशा दक्षिण ध्रुव $(S)$ से उत्तर ध्रुव $(N)$ की ओर होती है।
यह स्थिर वैद्युतिकी में विद्युत द्विध्रुव आघूर्ण $\vec{p} = q(2\vec{a})$ के अनुरूप है,जहाँ ध्रुव प्रबलता $q_{m}$ विद्युत आवेश $q$ के अनुरूप है और चुंबकीय लंबाई $(2l)$ दूरी $(2a)$ के अनुरूप है।

(A) कंपास की सुई एक छोटा चुंबकीय द्विध्रुव (magnetic dipole) होती है। जब इसे बाहरी चुंबकीय क्षेत्र (जैसे पृथ्वी का चुंबकीय क्षेत्र) में रखा जाता है,तो सुई के दोनों ध्रुवों पर समान और विपरीत बल कार्य करते हैं: $F = mB$ और $F = -mB$। चूंकि ये बल अलग-अलग बिंदुओं (सुई के उत्तरी और दक्षिणी ध्रुव) पर कार्य करते हैं,इसलिए वे एक बल-युग्म (कपल) का निर्माण करते हैं। यह बल-युग्म सुई पर एक टॉर्क लगाता है,जिससे वह चुंबकीय क्षेत्र रेखाओं के साथ संरेखित हो जाती है।

(N/A) विद्युत द्विध्रुव और चुंबकीय द्विध्रुव के बीच मूलभूत अंतर उनके घटक तत्वों में निहित है।
एक विद्युत द्विध्रुव दो अलग-अलग प्राथमिक इकाइयों से बना होता है,जो धनात्मक और ऋणात्मक विद्युत आवेश (विद्युत मोनोपोल) होते हैं।
इसके विपरीत,एक चुंबकीय द्विध्रुव,जैसे कि एक धारा लूप (current loop),चुंबकत्व की सबसे प्राथमिक इकाई है।
चुंबकीय मोनोपोल,जो विद्युत आवेशों के चुंबकीय समकक्ष होते,प्रकृति में अस्तित्व में नहीं पाए गए हैं।

स्थिर वैद्युतकी और चुंबकत्व के बीच सादृश्य नीचे दी गई तालिका में संक्षेपित है:

भौतिक राशि	स्थिर वैद्युतकी	चुंबकत्व
$(1)$ क्षेत्र	विद्युत क्षेत्र $\overrightarrow{E}$	चुंबकीय क्षेत्र $\overrightarrow{B}$
$(2)$ स्रोत	आवेश $(q)$	चुंबकीय ध्रुव प्राबल्य $(q_m)$
$(3)$ द्विध्रुव आघूर्ण	$p = q(2a)$	$m = q_m(2l)$
$(4)$ नियतांक	$\frac{1}{4\pi\epsilon_0}$	$\frac{\mu_0}{4\pi}$
$(5)$ द्विध्रुव की लंबाई	$2a$	$2l$
$(6)$ द्विध्रुव आघूर्ण की दिशा	ऋण आवेश से धन आवेश की ओर	दक्षिण ध्रुव से उत्तर ध्रुव की ओर

(N/A) छड़ चुंबक की चुंबकीय क्षेत्र रेखाएं चुंबक के चारों ओर के स्थान में चुंबकीय क्षेत्र की दिशा और तीव्रता को दर्शाती हैं।
$1$. चुंबक के बाहर,चुंबकीय क्षेत्र रेखाएं उत्तरी ध्रुव $(N)$ से निकलती हैं और दक्षिणी ध्रुव $(S)$ पर समाप्त होती हैं।
$2$. चुंबक के अंदर,क्षेत्र रेखाएं दक्षिणी ध्रुव $(S)$ से उत्तरी ध्रुव $(N)$ की ओर चलती हैं,जिससे वे निरंतर बंद लूप बनाती हैं।
$3$. ध्रुवों के पास क्षेत्र रेखाओं का घनत्व सबसे अधिक होता है,जो उन क्षेत्रों में मजबूत चुंबकीय क्षेत्र को दर्शाता है।
$4$. कोई भी दो चुंबकीय क्षेत्र रेखाएं एक-दूसरे को प्रतिच्छेद नहीं कर सकती हैं,क्योंकि इसका अर्थ यह होगा कि एक ही बिंदु पर चुंबकीय क्षेत्र की दो अलग-अलग दिशाएं हैं,जो भौतिक रूप से असंभव है।
$5$. चुंबकीय क्षेत्र रेखा पर किसी भी बिंदु पर खींची गई स्पर्श रेखा उस बिंदु पर चुंबकीय क्षेत्र की दिशा प्रदान करती है।

(N/A) चुंबक की ध्रुव प्रबलता,एक चुंबकीय ध्रुव की अन्य चुंबकीय ध्रुवों को आकर्षित या प्रतिकर्षित करने की क्षमता का माप है। इसे चुंबकीय क्षेत्र में उस बिंदु पर रखे गए इकाई उत्तरी ध्रुव द्वारा अनुभव किए गए बल के रूप में परिभाषित किया जाता है।
गणितीय रूप से,यदि $m$ प्रबलता का एक चुंबकीय ध्रुव $B$ चुंबकीय क्षेत्र में $F$ बल का अनुभव करता है,तो $F = mB$ होता है।
ध्रुव प्रबलता का $SI$ मात्रक एम्पीयर-मीटर है,जिसे $A \cdot m$ द्वारा दर्शाया जाता है।

(N/A) चुंबकीय द्विध्रुव आघूर्ण की दिशा चुंबक के $S$ (दक्षिण) ध्रुव से $N$ (उत्तर) ध्रुव की ओर होती है।
चुंबकीय द्विध्रुव आघूर्ण का $SI$ मात्रक एम्पीयर-मीटर वर्ग है,जिसे $A \cdot m^{2}$ के रूप में दर्शाया जाता है।

(B) विद्युत में,विद्युत क्षेत्र का मूल स्रोत विद्युत आवेश $(q)$ है।
चुंबकत्व में,चुंबकीय क्षेत्र का मूल स्रोत चुंबकीय ध्रुव प्राबल्य है,जिसे $(q_{m})$ द्वारा दर्शाया जाता है।
अतः,विद्युत आवेश का चुंबकीय अनुरूप चुंबकीय ध्रुव प्राबल्य $(q_{m})$ है।

(N/A) निकाय के संतुलन में रहने के लिए,निकाय पर कार्य करने वाला कुल बल और कुल बलाघूर्ण (टॉर्क) शून्य होना चाहिए।
मान लीजिए कि प्रत्येक चुम्बक का चुम्बकीय आघूर्ण $M$ है। निकाय का कुल चुम्बकीय आघूर्ण व्यक्तिगत चुम्बकीय आघूर्णों का सदिश योग है: $\vec{M}_{net} = \vec{M}_1 + \vec{M}_2 + \vec{M}_3$.
चुम्बकीय क्षेत्र में निकाय के स्थिर संतुलन में रहने के लिए,कुल चुम्बकीय आघूर्ण शून्य होना चाहिए। यदि पहला चुम्बक उत्तर ध्रुव ऊपर की ओर के साथ स्थित है,तो कुल आघूर्ण को शून्य करने के लिए,अन्य दो चुम्बकों को इस तरह व्यवस्थित किया जाना चाहिए कि उनके घटक पहले चुम्बक के आघूर्ण को निरस्त कर दें।
जैसा कि समाधान चित्र में दिखाया गया है,यदि चुम्बक $(1)$ का उत्तर ध्रुव ऊपर की ओर है,तो अन्य दो चुम्बकों के लिए,ध्रुवों को इस तरह व्यवस्थित किया जाना चाहिए कि चुम्बक $(2)$ और $(3)$ के उत्तर ध्रुव क्रमशः नीचे-बाएं और नीचे-दाएं हों,जबकि दक्षिण ध्रुव क्रमशः ऊपर-बाएं और ऊपर-दाएं हों। यह विन्यास सुनिश्चित करता है कि चुम्बकीय आघूर्णों का सदिश योग शून्य हो,जिसके परिणामस्वरूप निकाय पर कोई कुल बलाघूर्ण या बल कार्य नहीं करता है।

(N/A) चित्र में दिखाए अनुसार छड़ चुंबक से गुजरने वाली $\vec{B}$ की चुंबकीय क्षेत्र रेखा पर विचार करें जो एक बंद लूप बनाती है।
मान लीजिए $C$ एक एम्पीयरियन लूप है। $\vec{H}$ के लिए एम्पीयर के नियम के अनुसार,मुक्त धाराओं की अनुपस्थिति में एक बंद लूप पर $\vec{H}$ का रेखीय समाकल शून्य होता है:
$\oint \vec{H} \cdot d\vec{l} = 0$
चुंबक के अंदर,$\vec{B}$ और $\vec{H}$ के बीच का संबंध $\vec{B} = \mu_0(\vec{H} + \vec{M})$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि $\vec{B}$ की चुंबकीय क्षेत्र रेखाएं निरंतर होती हैं और बंद लूप बनाती हैं,इसलिए उन्हें चुंबक के बाहर $N$ से $S$ तक के लूप को पूरा करने के लिए चुंबक के अंदर $S$ ध्रुव से $N$ ध्रुव की ओर जाना चाहिए।
$\vec{H}$ क्षेत्र के लिए,समाकल $\oint \vec{H} \cdot d\vec{l} = 0$ का अर्थ है कि यदि चुंबक के अंदर $\vec{B}$ रेखा के साथ पथ समाकल धनात्मक है,तो बाहर का पथ समाकल ऋणात्मक होना चाहिए। चूंकि चुंबक के बाहर (जहां $\vec{M}=0$) $\vec{B} = \mu_0 \vec{H}$ होता है,इसलिए कुल समाकल को शून्य होने के लिए चुंबक के अंदर $\vec{H}$ रेखाओं की दिशा $N$ से $S$ की ओर होनी चाहिए।

(A) डाईपोल $\vec{M} = M\hat{k}$ का गोलीय निर्देशांक में बिंदु $(r, \theta)$ पर चुंबकीय क्षेत्र $\vec{B} = \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{M}{r^3} (2\cos\theta \hat{r} + \sin\theta \hat{\theta})$ है।
$1$. $z$-अक्ष पर ($P$ से $Q$): $\theta = 0$,$\vec{B} = \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{2M}{z^3} \hat{k}$. अतः,$\int_P^Q \vec{B} \cdot d\vec{l} = \int_a^R \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{2M}{z^3} dz = \frac{\mu_0 M}{4\pi} (\frac{1}{a^2} - \frac{1}{R^2})$.
$2$. $R$ त्रिज्या के चाप पर ($Q$ से $S$): $\vec{B} \cdot d\vec{l} = B_\theta (R d\theta) = \frac{\mu_0 M}{4\pi R^2} \sin\theta d\theta$. $\theta = 0$ से $\pi/2$ तक समाकलन करने पर: $\int_0^{\pi/2} \frac{\mu_0 M}{4\pi R^2} \sin\theta d\theta = \frac{\mu_0 M}{4\pi R^2}$.
$3$. $x$-अक्ष पर ($S$ से $T$): $\theta = \pi/2$,$\vec{B} = -\frac{\mu_0}{4\pi} \frac{M}{x^3} \hat{k}$. अतः,$\int_S^T \vec{B} \cdot d\vec{l} = \int_R^a (-\frac{\mu_0 M}{4\pi x^3}) dx = -\frac{\mu_0 M}{8\pi} (\frac{1}{a^2} - \frac{1}{R^2})$.
$4$. $a$ त्रिज्या के चाप पर ($T$ से $P$): $\int_{\pi/2}^0 \frac{\mu_0 M}{4\pi a^2} \sin\theta d\theta = -\frac{\mu_0 M}{4\pi a^2}$.
इन सबका योग करने पर,$\oint \vec{B} \cdot d\vec{l} = 0$,जो इस पथ के लिए एम्पीयर के नियम को सत्यापित करता है क्योंकि कोई धारा परिबद्ध नहीं है।

(N/A) बिंदु डाइपोल $\vec{M} = M\hat{k}$ का $\vec{r}$ स्थिति पर चुंबकीय क्षेत्र $\vec{B}(\vec{r}) = \frac{\mu_0}{4\pi} \left[ \frac{3(\vec{M} \cdot \hat{r})\hat{r} - \vec{M}}{r^3} \right]$ द्वारा दिया जाता है।
एम्पीयर का नियम बताता है कि $\oint_C \vec{B} \cdot d\vec{l} = \mu_0 I_{enclosed}$।
बिंदु डाइपोल के लिए,लूप $C$ द्वारा घिरा कोई भौतिक धारा नहीं है,इसलिए $I_{enclosed} = 0$।
अतः,हमें यह सत्यापित करना होगा कि $\oint_C \vec{B} \cdot d\vec{l} = 0$।
$x$-अक्ष पर,$\vec{r} = x\hat{i}$,$\hat{r} = \hat{i}$,और $\vec{M} \cdot \hat{r} = 0$। इसलिए $\vec{B} = \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{-\vec{M}}{x^3} = -\frac{\mu_0 M}{4\pi x^3} \hat{k}$।
चूंकि $d\vec{l}$,$x$-अक्ष पर है $(d\vec{l} = dx \hat{i})$,इसलिए $\vec{B} \cdot d\vec{l} = 0$।
$xz$-तल में वृत्ताकार चाप पर,$\vec{B} \cdot d\vec{l}$ की गणना चुंबकीय वेक्टर विभव $\vec{A} = \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{\vec{M} \times \vec{r}}{r^3}$ का उपयोग करके की जा सकती है।
स्टोक्स के प्रमेय द्वारा,$\oint_C \vec{B} \cdot d\vec{l} = \oint_C (\nabla \times \vec{A}) \cdot d\vec{l} = \oint_C \vec{A} \cdot d\vec{l}$।
चूंकि डाइपोल क्षेत्र मूल बिंदु को छोड़कर हर जगह संरक्षी है,इसलिए मूल बिंदु को न घेरने वाले किसी भी बंद लूप पर रेखा समाकल शून्य होता है। इस प्रकार,एम्पीयर का नियम सत्यापित होता है।

(B) एक छड़ चुंबक की ज्यामितीय लंबाई $(L)$ चुंबक की वास्तविक भौतिक लंबाई होती है।
चुंबकीय लंबाई चुंबक के दो चुंबकीय ध्रुवों के बीच की दूरी होती है।
यह एक प्रायोगिक तथ्य है कि चुंबकीय ध्रुव चुंबक के सिरों से थोड़े अंदर स्थित होते हैं।
चुंबकीय लंबाई ज्यामितीय लंबाई का लगभग $0.83$ से $0.85$ गुना होती है।
$\frac{6}{7} \approx 0.857$ का मान गणना करने पर,यह चुंबकीय लंबाई और ज्यामितीय लंबाई के अनुपात का सबसे निकटतम मान है।
अतः,ध्रुवों के बीच की दूरी लगभग $\frac{6}{7} L$ है।

(C) चुंबकीय आघूर्ण एक सदिश राशि है। चुंबकीय आघूर्ण की दिशा दक्षिणी ध्रुव $(S)$ से उत्तरी ध्रुव $(N)$ की ओर होती है।
$1$. क्षैतिज चुंबक का चुंबकीय आघूर्ण $M$ बाईं ओर है।
$2$. ऊर्ध्वाधर चुंबक का चुंबकीय आघूर्ण $M$ ऊपर की ओर है।
$3$. कर्ण (hypotenuse) वाले चुंबक का चुंबकीय आघूर्ण $M\sqrt{2}$ कर्ण की दिशा में ($S$ से $N$ तक) है।
मान लीजिए कि क्षैतिज दिशा $x$-अक्ष है और ऊर्ध्वाधर दिशा $y$-अक्ष है।
- $\vec{M}_1 = -M \hat{i}$
- $\vec{M}_2 = M \hat{j}$
- $\vec{M}_3 = M\sqrt{2} (\cos 45^\circ \hat{i} + \sin 45^\circ \hat{j}) = M\sqrt{2} (\frac{1}{\sqrt{2}} \hat{i} + \frac{1}{\sqrt{2}} \hat{j}) = M \hat{i} + M \hat{j}$
अब,परिणामी चुंबकीय आघूर्ण $\vec{M}_{\text{net}}$ है:
$\vec{M}_{\text{net}} = \vec{M}_1 + \vec{M}_2 + \vec{M}_3 = (-M \hat{i} + M \hat{j}) + (M \hat{i} + M \hat{j}) = 2M \hat{j}$
परिणामी चुंबकीय आघूर्ण का परिमाण $2M$ है। अतः,मान $2$ है।

(A) मान लीजिए कि चुंबकीय पट्टी की ध्रुव प्रबलता $m$ है और इसकी लंबाई $\ell$ है। प्रारंभिक चुंबकीय आघूर्ण $M_1 = m \ell = 44 \text{ Am}^2$ है।
जब पट्टी को $R$ त्रिज्या के अर्धवृत्त में मोड़ा जाता है,तो पट्टी की लंबाई अर्धवृत्त की चाप की लंबाई बन जाती है,इसलिए $\ell = \pi R$,जिसका अर्थ है कि $R = \frac{\ell}{\pi}$।
नया चुंबकीय आघूर्ण $M_2$ ध्रुव प्रबलता और ध्रुवों के बीच की सीधी दूरी (अर्धवृत्त का व्यास) का गुणनफल है,जो $2R$ है।
$M_2 = m \times (2R) = m \times \left( \frac{2\ell}{\pi} \right) = \frac{2}{\pi} (m \ell)$।
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $M_2 = \frac{2}{\pi} \times 44 = \frac{2}{(22/7)} \times 44 = \frac{2 \times 7}{22} \times 44 = \frac{14}{22} \times 44 = 14 \times 2 = 28 \text{ Am}^2$।

(A) मान लीजिए कि मूल लोहे की छड़ की ध्रुव प्रबलता $m$ है। चुंबकीय आघूर्ण $M = m L$ द्वारा दिया जाता है।
जब छड़ को बीच से मोड़ा जाता है,तो प्रत्येक भुजा की लंबाई $L/2$ हो जाती है।
नया चुंबकीय आघूर्ण $M'$ ध्रुव प्रबलता $m$ और प्रभावी लंबाई (दो ध्रुवों के बीच की दूरी) का गुणनफल है।
प्रभावी लंबाई $L'$ मुड़ी हुई छड़ के दो सिरों के बीच की दूरी है। चूंकि $L/2$ लंबाई की दो भुजाएं $60^{\circ}$ का कोण बनाती हैं,इसलिए प्रभावी लंबाई एक समद्विबाहु त्रिभुज की तीसरी भुजा बनाती है जिसकी दो भुजाएं $L/2$ हैं और उनके बीच का कोण $60^{\circ}$ है।
यह त्रिभुज एक समबाहु त्रिभुज है,इसलिए प्रभावी लंबाई $L' = L/2$ है।
नया चुंबकीय आघूर्ण $M' = m L' = m (L/2) = M/2$ है।

(C) चुंबकीय द्विध्रुव आघूर्ण $m$,चुंबकन $M$ और छड़ के आयतन $V$ के गुणनफल द्वारा प्राप्त होता है।
$m = M \times V$
दिया गया है:
चुंबकन $M = 5.3 \times 10^{3} \ A/m$
लंबाई $l = 5 \ cm = 5 \times 10^{-2} \ m$
व्यास $d = 1 \ cm = 1 \times 10^{-2} \ m$,अतः त्रिज्या $r = 0.5 \times 10^{-2} \ m$
आयतन $V = \pi r^2 l = \frac{22}{7} \times (0.5 \times 10^{-2})^2 \times (5 \times 10^{-2})$
$V = \frac{22}{7} \times 0.25 \times 10^{-4} \times 5 \times 10^{-2} \approx 3.925 \times 10^{-6} \ m^3$
अब,$m = (5.3 \times 10^3) \times (3.925 \times 10^{-6}) \approx 20.8 \times 10^{-3} \approx 2.08 \times 10^{-2} \ J/T$
निकटतम विकल्प के अनुसार,मान $2 \times 10^{-2} \ J/T$ है।

(C) चुंबकीय द्विध्रुव आघूर्ण $(M)$ को ध्रुव की प्रबलता $(m)$ और द्विध्रुव की चुंबकीय लंबाई $(2l)$ के गुणनफल के रूप में परिभाषित किया जाता है,अर्थात $M = m \times 2l$।
यह गुण चुंबक की अपनी आंतरिक विशेषता है।
यह उस बिंदु की स्थिति या दूरी पर निर्भर नहीं करता है जहाँ चुंबकीय क्षेत्र मापा जा रहा है।
इसलिए,बिंदु और चुंबक के बीच की दूरी बदलने से चुंबकीय द्विध्रुव आघूर्ण पर कोई प्रभाव नहीं पड़ता है।
अतः,द्विध्रुव आघूर्ण का परिमाण $X$ ही रहेगा।