Faraday's and Lenz's Law Questions in Hindi

(B) दिया गया है,$B = 2t + 4t^{2}$।
$t = 0 \ s$ पर,$B_{1} = 2(0) + 4(0)^{2} = 0 \ T$।
$t = 2 \ s$ पर,$B_{2} = 2(2) + 4(2)^{2} = 4 + 16 = 20 \ T$।
चुंबकीय फ्लक्स $\phi = B \cdot A = B \cdot \pi r^{2}$ है।
चुंबकीय फ्लक्स में परिवर्तन $\Delta \phi = \phi_{2} - \phi_{1} = \pi r^{2} (B_{2} - B_{1})$ है।
मान रखने पर,$\Delta \phi = \pi r^{2} (20 - 0) = 20 \pi r^{2} \ Wb$।
प्रेरित आवेश $Q = \frac{\Delta \phi}{R}$ द्वारा दिया जाता है।
अतः,$Q = \frac{20 \pi r^{2}}{R} \ C$।

(D) दाएं हाथ के अंगूठे के नियम के अनुसार,यदि तार में धारा ऊपर की ओर बहती है,तो कुंडली के क्षेत्र में चुंबकीय क्षेत्र रेखाएं कागज के तल के अंदर की ओर निर्देशित होती हैं।
यदि तार में धारा नीचे की ओर बहती है,तो कुंडली के क्षेत्र में चुंबकीय क्षेत्र रेखाएं कागज के तल के बाहर की ओर निर्देशित होती हैं।
लूप में दक्षिणावर्त प्रेरित धारा के लिए,प्रेरित चुंबकीय क्षेत्र को कागज के तल के अंदर की ओर निर्देशित होना चाहिए (दाएं हाथ के ग्रिप नियम द्वारा)।
लेंज के नियम के अनुसार,प्रेरित धारा चुंबकीय प्रवाह में परिवर्तन का विरोध करती है।
स्थिति $1$: यदि धारा ऊपर की ओर बह रही है और बढ़ रही है,तो तल के अंदर चुंबकीय क्षेत्र बढ़ता है,इसलिए इसका विरोध करने के लिए प्रेरित धारा वामावर्त (counter-clockwise) होगी। यह मेल नहीं खाता है।
स्थिति $2$: यदि धारा ऊपर की ओर बह रही है और घट रही है,तो तल के अंदर चुंबकीय क्षेत्र घटता है,इसलिए इसका समर्थन करने के लिए प्रेरित धारा दक्षिणावर्त होगी।
स्थिति $3$: यदि धारा नीचे की ओर बह रही है और बढ़ रही है,तो तल के बाहर चुंबकीय क्षेत्र बढ़ता है,इसलिए इसका विरोध करने के लिए प्रेरित धारा वामावर्त होगी।
स्थिति $4$: यदि धारा नीचे की ओर बह रही है और घट रही है,तो तल के बाहर चुंबकीय क्षेत्र घटता है,इसलिए इसका समर्थन करने के लिए प्रेरित धारा दक्षिणावर्त होगी।
चूंकि प्रेरित धारा उत्पन्न करने के लिए धारा का समय पर निर्भर होना आवश्यक है,और घटती हुई ऊपर की ओर धारा और घटती हुई नीचे की ओर धारा दोनों ही दक्षिणावर्त प्रेरित धारा उत्पन्न कर सकती हैं,इसलिए सबसे उपयुक्त सामान्य विवरण यह है कि धारा समय पर निर्भर है।

(A) दिया गया चुंबकीय फ्लक्स $\phi = 4t^2 + 6t + 9 \text{ Wb}$ है।
फैराडे के विद्युत चुंबकीय प्रेरण के नियम के अनुसार, प्रेरित emf $\varepsilon = -\frac{d\phi}{dt}$ द्वारा दिया जाता है।
परिमाण लेने पर, $\varepsilon = \left| \frac{d\phi}{dt} \right|$.
$\phi$ का $t$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{d\phi}{dt} = \frac{d}{dt}(4t^2 + 6t + 9) = 8t + 6$.
$t = 2 \text{ s}$ पर, प्रेरित emf:
$\varepsilon = 8(2) + 6 = 16 + 6 = 22 \text{ V}$.

(B) दिया गया है: चुंबकीय फ्लक्स $\phi = 5t^2 - 4t + 1 \text{ Wb}$ और प्रतिरोध $R = 10 \Omega$ है।
फैराडे के प्रेरण के नियम के अनुसार, प्रेरित विद्युत वाहक बल $(EMF)$ $e = -\frac{d\phi}{dt}$ होता है।
$\phi$ का $t$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $\frac{d\phi}{dt} = \frac{d}{dt}(5t^2 - 4t + 1) = 10t - 4$ प्राप्त होता है।
प्रेरित धारा $I = \frac{|e|}{R} = \frac{|-d\phi/dt|}{R} = \frac{|-(10t - 4)|}{10} = \frac{|4 - 10t|}{10}$ है।
$t = 0.2 \text{ s}$ पर, धारा $I = \frac{|4 - 10(0.2)|}{10} = \frac{|4 - 2|}{10} = \frac{2}{10} = 0.2 \text{ A}$ होगी।

(B, D) फैराडे के विद्युत चुंबकीय प्रेरण के नियम के अनुसार, जब लूप से जुड़ा चुंबकीय फ्लक्स $\Phi = B \cdot A \cos \theta$ समय के साथ बदलता है, तो लूप में emf प्रेरित होता है।
$1$. यदि लूप को $B$ की दिशा में ले जाया जाता है, तो चुंबकीय क्षेत्र $B$, क्षेत्रफल $A$ और कोण $\theta$ स्थिर रहते हैं। अतः, फ्लक्स स्थिर रहता है और कोई emf प्रेरित नहीं होता है।
$2$. यदि लूप को छोटे क्षेत्रफल में सिकोड़ा जाता है, तो क्षेत्रफल $A$ समय के साथ बदलता है। इसलिए, चुंबकीय फ्लक्स $\Phi$ बदलता है और emf प्रेरित होता है।
$3$. यदि लूप को उसकी अक्ष के परितः घुमाया जाता है, तो चुंबकीय क्षेत्र के सापेक्ष क्षेत्रफल सदिश का अभिविन्यास स्थिर रहता है $(\theta = 0^\circ)$। अतः, फ्लक्स स्थिर रहता है और कोई emf प्रेरित नहीं होता है।
$4$. यदि लूप को उसके किसी एक व्यास के परितः घुमाया जाता है, तो चुंबकीय क्षेत्र $B$ और क्षेत्रफल सदिश के बीच का कोण $\theta$ समय के साथ बदलता है। इसलिए, चुंबकीय फ्लक्स $\Phi$ बदलता है और emf प्रेरित होता है।
चूंकि $(b)$ और $(d)$ दोनों स्थितियों में चुंबकीय फ्लक्स में परिवर्तन होता है, इसलिए दोनों स्थितियों में emf प्रेरित होगा।

(B) अनंत लंबाई के धारा $I$ वाले तार से $x$ दूरी पर चुंबकीय क्षेत्र $B = \frac{\mu_0 I}{2 \pi x}$ द्वारा दिया जाता है।
जैसे ही तार में धारा $I$ अचानक आधी हो जाती है, वर्गाकार लूप से जुड़ा चुंबकीय फ्लक्स $\phi$ कम हो जाता है।
लेंज के नियम के अनुसार, लूप में प्रेरित धारा ऐसी दिशा में बहेगी जो चुंबकीय फ्लक्स में इस कमी का विरोध करे। इसका मतलब है कि प्रेरित धारा मूल चुंबकीय क्षेत्र की दिशा में ही चुंबकीय क्षेत्र उत्पन्न करेगी।
ऐसा होने के लिए, लूप में प्रेरित धारा को दक्षिणावर्त (clockwise) दिशा में बहना चाहिए।
अब, लूप की भुजाओं पर लगने वाले बलों पर विचार करें:
$1$. तार के निकट वाली भुजा (मान लीजिए $CD$) में धारा मुख्य तार की दिशा में ही बहती है। इसलिए, यह तार की ओर आकर्षण बल $F_{CD}$ का अनुभव करती है।
$2$. तार से दूर वाली भुजा (मान लीजिए $AB$) में धारा मुख्य तार की विपरीत दिशा में बहती है। इसलिए, यह तार से दूर प्रतिकर्षण बल $F_{AB}$ का अनुभव करती है।
चूंकि तार के करीब चुंबकीय क्षेत्र अधिक मजबूत होता है, इसलिए निकट वाली भुजा पर लगने वाला आकर्षण बल दूर वाली भुजा पर लगने वाले प्रतिकर्षण बल से अधिक होता है $(F_{CD} > F_{AB})$।
इसलिए, लूप पर कुल बल तार की ओर निर्देशित होता है, और लूप तार की ओर गति करेगा।

(A) लंबे सोलनॉइड के अंदर चुंबकीय क्षेत्र $B = \mu_0 n I$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $n = 500 \ turns/cm = 50000 \ turns/m$ है।
दिया गया है $I = 10 \sin(\omega t)$,इसलिए $B = \mu_0 n (10 \sin(\omega t))$।
$r = 1 \ cm = 0.01 \ m$ त्रिज्या वाले लूप से गुजरने वाला चुंबकीय फ्लक्स $\phi = B \cdot A = \mu_0 n (10 \sin(\omega t)) \cdot (\pi r^2)$ है।
प्रेरित $EMF$ $\varepsilon = -\frac{d\phi}{dt} = -\mu_0 n \pi r^2 (10 \omega \cos(\omega t))$ है।
प्रेरित धारा का परिमाण $i = \frac{|\varepsilon|}{R} = \frac{\mu_0 n \pi r^2 (10 \omega \cos(\omega t))}{R}$ है।
अधिकतम धारा $i_0 = \frac{\mu_0 n \pi r^2 (10 \omega)}{R}$ है।
मान रखने पर: $\mu_0 = 4\pi \times 10^{-7} \ T\cdot m/A$,$n = 5 \times 10^4 \ m^{-1}$,$r = 10^{-2} \ m$,$\omega = 10^3 \ rad/s$,$R = 10 \ \Omega$।
$i_0 = \frac{(4\pi \times 10^{-7}) \times (5 \times 10^4) \times \pi \times (10^{-2})^2 \times 10 \times 10^3}{10} = 20 \pi^2 \times 10^{-6} \ A$।
$i_0 = 20 \times (9.8696) \times 10^{-6} \ A \approx 197.39 \ \mu A$।
r.m.s. धारा $i_{rms} = \frac{i_0}{\sqrt{2}} = \frac{197.39}{\sqrt{2}} \ \mu A$ है।
अतः,$\alpha \approx 197$।

(D) वृत्ताकार लूप की त्रिज्या $r = 7 \ cm = 0.07 \ m$ है। वृत्ताकार लूप का क्षेत्रफल $A_1 = \pi r^2 = \pi (0.07)^2 = 0.0049 \pi \ m^2$ है।
लूप की परिधि $C = 2 \pi r = 2 \pi (0.07) = 0.14 \pi \ m$ है।
जब इसे वर्गाकार लूप में परिवर्तित किया जाता है,तो परिधि समान रहती है। मान लीजिए वर्ग की भुजा $a$ है। तब $4a = 0.14 \pi$,जिससे $a = 0.035 \pi \ m$ प्राप्त होता है।
वर्गाकार लूप का क्षेत्रफल $A_2 = a^2 = (0.035 \pi)^2 = 0.001225 \pi^2 \ m^2$ है।
चुंबकीय फ्लक्स में परिवर्तन $\Delta \phi = B(A_1 - A_2) = 0.2 \times (0.0049 \pi - 0.001225 \pi^2)$ है।
$\pi \approx 3.14159$ का उपयोग करने पर,$A_1 \approx 0.01539 \ m^2$ और $A_2 \approx 0.01208 \ m^2$ मिलता है।
$\Delta \phi = 0.2 \times (0.01539 - 0.01208) = 0.2 \times 0.00331 = 0.000662 \ Wb$ है।
प्रेरित $EMF$ $\epsilon = \frac{|\Delta \phi|}{\Delta t} = \frac{0.000662}{0.5} = 0.001324 \ V$ है।
$mV$ में बदलने पर,$\epsilon = 1.324 \ mV \approx 1.32 \ mV$ प्राप्त होता है।

(B) $C_1$ (वामावर्त) के कारण $C_2$ के केंद्र पर चुंबकीय क्षेत्र दाईं ओर होता है,और $C_3$ (दक्षिणावर्त) के कारण चुंबकीय क्षेत्र बाईं ओर होता है। कुंडलियाँ समान होने और $C_2$ के बीच में होने के कारण,$C_2$ पर कुल चुंबकीय क्षेत्र शून्य है।
यदि $C_1, C_2$ की ओर बढ़ता है,तो $C_1$ से $C_2$ पर चुंबकीय क्षेत्र बढ़ता है (दाईं ओर)। इसका विरोध करने के लिए,$C_2$ में प्रेरित धारा बाईं ओर चुंबकीय क्षेत्र उत्पन्न करती है (दक्षिणावर्त)।
यदि $C_3, C_2$ से दूर जाता है,तो $C_3$ से $C_2$ पर चुंबकीय क्षेत्र घटता है (बाईं ओर)। इस कमी का विरोध करने के लिए,$C_2$ में प्रेरित धारा बाईं ओर चुंबकीय क्षेत्र उत्पन्न करती है (दक्षिणावर्त)।
अतः,यदि $C_1, C_2$ की ओर बढ़ता है और $C_3, C_2$ से दूर जाता है,तो फ्लक्स में परिवर्तन $C_2$ में दक्षिणावर्त धारा प्रेरित करता है।

(B) लेंज़ के नियम के अनुसार,प्रेरित धारा एक ऐसा चुंबकीय क्षेत्र उत्पन्न करती है जो चुंबकीय फ्लक्स में होने वाले परिवर्तन का विरोध करता है।
चित्र $(a)$ में,चुंबकीय क्षेत्र पृष्ठ के अंदर की ओर $(\times)$ है और बढ़ रहा है। इस वृद्धि का विरोध करने के लिए,प्रेरित धारा को पृष्ठ के बाहर की ओर $(\bullet)$ चुंबकीय क्षेत्र उत्पन्न करना होगा। दाहिने हाथ के नियम के अनुसार,बाहर की ओर चुंबकीय क्षेत्र वामावर्त (anticlockwise) धारा के अनुरूप होता है।
चित्र $(b)$ में,चुंबकीय क्षेत्र पृष्ठ के बाहर की ओर $(\bullet)$ है और घट रहा है। इस कमी का विरोध करने के लिए,प्रेरित धारा को उसी दिशा में (पृष्ठ के बाहर की ओर) चुंबकीय क्षेत्र उत्पन्न करना होगा। यह भी वामावर्त (anticlockwise) धारा के अनुरूप है।
अतः,छल्ले $(a)$ और छल्ले $(b)$ दोनों में धारा की दिशा वामावर्त है।