Electric Cells and Combination of cells in Series and Parallel Questions in Hindi

(B) सेल का टर्मिनल वोल्टेज $V$ सूत्र $V = E - Ir$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $E$ $EMF$ है,$I$ धारा है और $r$ आंतरिक प्रतिरोध है।
दिया गया है कि बाहरी प्रतिरोध $R = 2 \ \Omega$ और धारा $I = 2 \ A$ है,इसलिए टर्मिनल वोल्टेज $V = IR = 2 \times 2 = 4 \ V$ है।
साथ ही,हमें दिया गया है कि $V = E/2$,इसलिए $E = 2V = 2 \times 4 = 8 \ V$ है।
सूत्र $V = E - Ir$ का उपयोग करने पर:
$4 = 8 - (2)r$
$2r = 8 - 4$
$2r = 4$
$r = 2 \ \Omega$.
अतः,सेल का आंतरिक प्रतिरोध $2 \ \Omega$ है।

(B) सेल के टर्मिनल विभवांतर $V$ का सूत्र $V = E - Ir$ होता है,जहाँ $E$ विद्युत वाहक बल $(e.m.f.)$,$I$ धारा और $r$ आंतरिक प्रतिरोध है।
आंतरिक प्रतिरोध $r$ के लिए सूत्र को व्यवस्थित करने पर: $r = \frac{E - V}{I}$ प्राप्त होता है।
दिए गए मान: $E = 6 \ V$,$V = 3 \ V$ और $I = 2 \ A$.
मान रखने पर: $r = \frac{6 - 3}{2} = \frac{3}{2} = 1.5 \ \Omega$.
अतः,सेल का आंतरिक प्रतिरोध $1.5 \ \Omega$ है।

(C) समांतर क्रम में जुड़े दो सेलों के लिए,जिनका $emf$ $E_1, E_2$ और आंतरिक प्रतिरोध $r_1, r_2$ है,उनके टर्मिनलों के बीच समतुल्य $emf$ $E_{eq}$ का सूत्र है:
$V_{AB} = E_{eq} = \frac{\frac{E_1}{r_1} + \frac{E_2}{r_2}}{\frac{1}{r_1} + \frac{1}{r_2}} = \frac{E_1 r_2 + E_2 r_1}{r_1 + r_2}$
यहाँ $E_1 = 6 \ V, r_1 = 1 \ \Omega$ और $E_2 = 3 \ V, r_2 = 2 \ \Omega$ दिया गया है।
मान रखने पर:
$V_{AB} = \frac{(6 \times 2) + (3 \times 1)}{1 + 2} = \frac{12 + 3}{3} = \frac{15}{3} = 5 \ V$.

(D) जब किसी बैटरी को चार्ज किया जाता है,तो उसके सिरों के बीच विभवांतर $V$ का सूत्र $V = E + Ir$ होता है।
यहाँ,$E = 2\,V$ विद्युत वाहक बल है,$I = 5\,A$ चार्जिंग धारा है,और $r = 0.1\, \Omega$ आंतरिक प्रतिरोध है।
मानों को सूत्र में रखने पर:
$V = 2 + (5 \times 0.1)$
$V = 2 + 0.5$
$V = 2.5\,V$.
अतः,बैटरी के सिरों के बीच विभवांतर $2.5\,V$ है।

(D) परिपथ में धारा $I$ का सूत्र $I = \frac{E}{R + r}$ है,जहाँ $E$ विद्युत वाहक बल $(e.m.f.)$ है,$R$ बाह्य प्रतिरोध है और $r$ आंतरिक प्रतिरोध है।
जब सेल को शॉर्ट-सर्किट किया जाता है,तो बाह्य प्रतिरोध $R = 0$ हो जाता है।
अतः,सूत्र $I = \frac{E}{r}$ हो जाता है।
यहाँ $E = 2 \ V$ और $I = 4 \ A$ दिया गया है।
इन मानों को रखने पर,$r = \frac{E}{I} = \frac{2}{4} = 0.5 \ \Omega$ प्राप्त होता है।
इस प्रकार,प्राथमिक सेल का आंतरिक प्रतिरोध $0.5 \ \Omega$ है।

(D) माना प्रत्येक बैटरी का $EMF$ $E = 1.5\, V$ है और प्रत्येक बैटरी का आंतरिक प्रतिरोध $r$ है।
जब बैटरियां श्रेणीक्रम में होती हैं,तो कुल $EMF$ = $2E$ और कुल आंतरिक प्रतिरोध = $2r$ होता है।
धारा $I_1 = \frac{2E}{2r + R} = 1\, A$.
अतः,$2E = 2r + R \Rightarrow 3 = 2r + R \Rightarrow R = 3 - 2r \quad (1)$
जब बैटरियां समानांतर क्रम में होती हैं,तो कुल $EMF$ = $E$ और कुल आंतरिक प्रतिरोध = $r/2$ होता है।
धारा $I_2 = \frac{E}{r/2 + R} = 0.6\, A$.
अतः,$E = 0.6(r/2 + R) \Rightarrow 1.5 = 0.3r + 0.6R$.
$10/3$ से गुणा करने पर,हमें $5 = r + 2R \quad (2)$ प्राप्त होता है।
समीकरण $(1)$ को $(2)$ में रखने पर: $5 = r + 2(3 - 2r) = r + 6 - 4r = 6 - 3r$.
$3r = 1 \Rightarrow r = 1/3\, \Omega$.

(D) दिया गया है: $e.m.f. \, (\varepsilon) = 12 \, V$ और आंतरिक प्रतिरोध $(r) = 0.5 \, \Omega$ है।
बैटरी से प्राप्त अधिकतम धारा $(I_{\max})$ तब प्राप्त होती है जब बाहरी प्रतिरोध शून्य हो (शॉर्ट-सर्किट स्थिति)।
अधिकतम धारा का सूत्र है: $I_{\max} = \frac{\varepsilon}{r}$।
मान रखने पर: $I_{\max} = \frac{12 \, V}{0.5 \, \Omega} = 24 \, A$।
अतः,अधिकतम धारा $24 \, A$ है।

(A) जब $E$ विद्युत वाहक बल $(e.m.f.)$ और $r$ आंतरिक प्रतिरोध वाले $n$ समान सेलों को श्रेणीक्रम में जोड़ा जाता है,तो संयोजन का कुल विद्युत वाहक बल $E_{total} = nE$ होता है।
श्रेणीक्रम में जुड़े $n$ सेलों का कुल आंतरिक प्रतिरोध $r_{total} = nr$ होता है।
बाहरी प्रतिरोध $R$ को इस संयोजन के साथ श्रेणीक्रम में जोड़ा गया है,इसलिए परिपथ का कुल प्रतिरोध $R_{total} = R + nr$ होता है।
ओम के नियम के अनुसार,परिपथ से प्रवाहित होने वाली धारा $I = \frac{E_{total}}{R_{total}}$ द्वारा दी जाती है।
मान रखने पर,हमें $I = \frac{nE}{R + nr}$ प्राप्त होता है।

(D) समांतर क्रम में जुड़े दो सेलों के लिए,जिनके विद्युत वाहक बल $(EMF)$ $E_1, E_2$ और आंतरिक प्रतिरोध $r_1, r_2$ हैं,तुल्य विभवांतर $V_{AB}$ का सूत्र है:
$V_{AB} = \frac{E_1 r_2 + E_2 r_1}{r_1 + r_2}$
यहाँ,$E_1 = 5\ V, r_1 = 10\ \Omega$ और $E_2 = 2\ V, r_2 = X\ \Omega$ है।
दिया गया है $V_{AB} = 4\ V$,अतः:
$4 = \frac{5 \times X + 2 \times 10}{10 + X}$
$4(10 + X) = 5X + 20$
$40 + 4X = 5X + 20$
$X = 40 - 20 = 20\ \Omega$
अतः,प्रतिरोध $X$ का मान $20\ \Omega$ है।

(D) $e.m.f. \ E$ और आंतरिक प्रतिरोध $r$ वाले दो समान सेलों को समानांतर में जोड़ने पर,समतुल्य $e.m.f. \ E_{eq} = E$ और समतुल्य आंतरिक प्रतिरोध $r_{eq} = r/2$ होता है।
परिपथ को $e.m.f. \ E$ और आंतरिक प्रतिरोध $r/2$ वाले एक सेल के रूप में सरल किया जा सकता है जो बाहरी प्रतिरोध $R$ के साथ श्रेणीक्रम में जुड़ा है।
परिपथ में धारा $I = \frac{E}{R + r_{eq}} = \frac{E}{R + r/2}$ है।
बाहरी प्रतिरोध $R$ में दी गई शक्ति $P = I^2 R = \left( \frac{E}{R + r/2} \right)^2 R$ है।
अधिकतम शक्ति स्थानांतरण के लिए,बाहरी प्रतिरोध $R$ स्रोत के समतुल्य आंतरिक प्रतिरोध के बराबर होना चाहिए।
अतः,$R = r_{eq} = r/2$।

(C) समानांतर क्रम में जुड़े $n$ समान सेलों का समतुल्य e.m.f. $E_{eq} = E = 2 \, V$ होता है।
समानांतर क्रम में जुड़े $n$ समान सेलों का समतुल्य आंतरिक प्रतिरोध $r_{eq} = \frac{r}{n} = \frac{r}{4}$ होता है।
बाहरी परिपथ में $15 \, \Omega$ के दो प्रतिरोध समानांतर में जुड़े हैं, इसलिए समतुल्य बाहरी प्रतिरोध $R$:
$R = \frac{15 \times 15}{15 + 15} = \frac{225}{30} = 7.5 \, \Omega$ होगा।
टर्मिनल वोल्टेज $V = I \times R$ सूत्र के अनुसार, जहाँ $I$ परिपथ की विद्युत धारा है:
$I = \frac{V}{R} = \frac{1.6}{7.5} \, A$ प्राप्त होता है।
टर्मिनल वोल्टेज के समीकरण $V = E_{eq} - I \times r_{eq}$ का उपयोग करने पर:
$1.6 = 2 - \left( \frac{1.6}{7.5} \right) \times \left( \frac{r}{4} \right)$.
$r$ के लिए हल करने पर:
$2 - 1.6 = \left( \frac{1.6}{7.5} \right) \times \left( \frac{r}{4} \right)$
$0.4 = \frac{1.6 \times r}{30}$
$0.4 \times 30 = 1.6 \times r$
$12 = 1.6 \times r$
$r = \frac{12}{1.6} = 7.5 \, \Omega$.

(C) सेलों की कुल संख्या $mn = 24$ है।
सेलों के मिश्रित संयोजन में अधिकतम धारा के लिए,बाहरी प्रतिरोध $R$ संयोजन के समतुल्य आंतरिक प्रतिरोध के बराबर होना चाहिए।
समतुल्य आंतरिक प्रतिरोध $r_{eq} = \frac{mr}{n}$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ $R = 3\, \Omega$ और $r = 0.5\, \Omega$ दिया गया है,इसलिए $\frac{m(0.5)}{n} = 3$।
इसे सरल करने पर $0.5m = 3n$,या $m = 6n$ प्राप्त होता है।
अब $m = 6n$ को $mn = 24$ में रखने पर:
$(6n)n = 24 \Rightarrow 6n^2 = 24 \Rightarrow n^2 = 4 \Rightarrow n = 2$।
अब $n = 2$ को $m = 6n$ में रखने पर:
$m = 6(2) = 12$।
अतः,$m = 12$ और $n = 2$ प्राप्त होता है।

(C) श्रेणीक्रम परिपथ में,कुल $emf\ (E_{eq})$ व्यक्तिगत $emfs$ का योग होता है,और कुल आंतरिक प्रतिरोध $(R_{eq})$ व्यक्तिगत आंतरिक प्रतिरोधों का योग होता है।
प्रत्येक सेल $n = 1, 2, ..., N$ के लिए $E_n = 1.5 r_n$ दिया गया है।
कुल $emf$ है $E_{eq} = \sum_{n=1}^{N} E_n = \sum_{n=1}^{N} 1.5 r_n = 1.5 \sum_{n=1}^{N} r_n$।
कुल आंतरिक प्रतिरोध $R_{eq} = \sum_{n=1}^{N} r_n$ है।
ओम के नियम के अनुसार,परिपथ में धारा $I$ का मान $I = \frac{E_{eq}}{R_{eq}}$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर,$I = \frac{1.5 \sum_{n=1}^{N} r_n}{\sum_{n=1}^{N} r_n} = 1.5 \ A$ प्राप्त होता है।

(A) इलेक्ट्रोप्लेट्स की कुल संख्या $N = 5000$ है। पंक्तियों की संख्या $P = 100$ है। प्रत्येक पंक्ति में इलेक्ट्रोप्लेट्स की संख्या $S = 5000$ है (चित्र के अनुसार)।
प्रत्येक इलेक्ट्रोप्लेट का $emf$ $e = 0.15\ V$ और आंतरिक प्रतिरोध $r = 0.25\ \Omega$ है।
एक पंक्ति का कुल $emf$ $E_{row} = S \times e = 5000 \times 0.15 = 750\ V$ है।
चूंकि सभी पंक्तियाँ समानांतर में हैं,कुल $emf$ $E_{total} = 750\ V$ होगा।
एक पंक्ति का आंतरिक प्रतिरोध $r_{row} = S \times r = 5000 \times 0.25 = 1250\ \Omega$ है।
$P$ पंक्तियाँ समानांतर में होने के कारण,कुल आंतरिक प्रतिरोध $r_{total} = r_{row} / P = 1250 / 100 = 12.5\ \Omega$ होगा।
पानी का बाहरी प्रतिरोध $R = 500\ \Omega$ है।
परिपथ में कुल विद्युत धारा $I = E_{total} / (R + r_{total})$ द्वारा दी जाती है।
$I = 750 / (500 + 12.5) = 750 / 512.5 \approx 1.46\ A \approx 1.5\ A$.

(A) दिया गया है: विद्युत वाहक बल $(E)$ = $2.2\;V$,टर्मिनल वोल्टेज $(V)$ = $1.8\;V$,बाहरी प्रतिरोध $(R)$ = $5\;\Omega$।
आंतरिक प्रतिरोध $(r)$ के लिए सूत्र इस प्रकार है:
$r = \left( \frac{E}{V} - 1 \right) R$
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$r = \left( \frac{2.2}{1.8} - 1 \right) \times 5$
$r = \left( \frac{22}{18} - 1 \right) \times 5$
$r = \left( \frac{11}{9} - 1 \right) \times 5$
$r = \left( \frac{11 - 9}{9} \right) \times 5$
$r = \left( \frac{2}{9} \right) \times 5$
$r = \frac{10}{9}\;\Omega$

(D) परिपथ में $N$ सेल एक बंद लूप में श्रेणीक्रम में जुड़े हुए हैं। प्रत्येक सेल का $EMF$ $E = 1.5 \text{ V}$ और आंतरिक प्रतिरोध $r$ है।
श्रेणी संयोजन के लिए, तुल्य $EMF$ $E_{eq} = N \times E$ होता है।
तुल्य आंतरिक प्रतिरोध $r_{eq} = N \times r$ होता है।
ओम के नियम के अनुसार, परिपथ में प्रवाहित धारा $i = \frac{E_{eq}}{r_{eq}} = \frac{N \times 1.5}{N \times r} = \frac{1.5}{r}$ होगी।
दिए गए विकल्पों के अनुसार, सही उत्तर $1.5 \text{ A}$ है।

(D) दिया गया है: प्रत्येक पंक्ति में सेलों की संख्या $(n)$ = $10$,पंक्तियों की संख्या $(m)$ = $5$,प्रत्येक सेल का $emf$ $(E)$ = $1.5 \,V$,प्रत्येक सेल का आंतरिक प्रतिरोध $(r)$ = $1 \,\Omega$,बाहरी प्रतिरोध $(R)$ = $20 \,\Omega$।
सेलों के मिश्रित समूह में,बैटरी का कुल $emf$ एक पंक्ति के $emf$ के बराबर होता है,जो $nE = 10 \times 1.5 = 15 \,V$ है।
बैटरी का कुल आंतरिक प्रतिरोध $r_{eq} = \frac{nr}{m} = \frac{10 \times 1}{5} = 2 \,\Omega$ है।
बाहरी प्रतिरोध $R$ से प्रवाहित होने वाली धारा $i$ का सूत्र है:
$i = \frac{nE}{R + \frac{nr}{m}}$
मान रखने पर:
$i = \frac{15}{20 + 2} = \frac{15}{22} \approx 0.68 \,A$।

(A) दिया गया है: सेलों की कुल संख्या $N = mn = 24$ है। बाहरी प्रतिरोध $R = 3 \, \Omega$ है। प्रत्येक सेल का आंतरिक प्रतिरोध $r = 0.5 \, \Omega$ है।
सेलों के मिश्रित संयोजन में अधिकतम धारा प्राप्त करने के लिए,बाहरी प्रतिरोध बैटरी के कुल आंतरिक प्रतिरोध के बराबर होना चाहिए।
बैटरी का कुल आंतरिक प्रतिरोध $R_{int} = \frac{mr}{n}$ द्वारा दिया जाता है।
$R = R_{int}$ रखने पर,हमें $3 = \frac{m \times 0.5}{n}$ प्राप्त होता है,जिसे सरल करने पर $3 = \frac{m}{2n}$ या $m = 6n$ मिलता है।
$m = 6n$ को समीकरण $mn = 24$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$(6n) \times n = 24 \implies 6n^2 = 24 \implies n^2 = 4 \implies n = 2$ प्राप्त होता है।
अब,$m$ का मान ज्ञात करें: $m = 6 \times 2 = 12$।
अतः,$m = 12$ और $n = 2$ है।

(A) मान लीजिए कि प्रत्येक पंक्ति में सेलों की संख्या $n$ है और पंक्तियों की संख्या $m$ है।
सेलों की कुल संख्या $N = m \times n = 100$ --- $(i)$
सेलों के मिश्रित संयोजन में अधिकतम धारा के लिए,बाहरी प्रतिरोध $R$ बैटरी के समतुल्य आंतरिक प्रतिरोध के बराबर होना चाहिए।
$R = \frac{n \times r}{m}$,जहाँ $r$ एक सेल का आंतरिक प्रतिरोध है।
दिया गया है $R = 25\,\Omega$ और $r = 1\,\Omega$,इसलिए:
$25 = \frac{n \times 1}{m} \Rightarrow n = 25m$ --- $(ii)$
समीकरण $(ii)$ को $(i)$ में रखने पर:
$m \times (25m) = 100$
$25m^2 = 100$
$m^2 = 4$
$m = 2$
अतः,पंक्तियों की संख्या $2$ होनी चाहिए।

(C) श्रेणी संयोजन का कुल $e.m.f.$ $E_{eq} = E + E = 2E$ है।
परिपथ का कुल प्रतिरोध $R_{eq} = R + r_1 + r_2$ है।
परिपथ में बहने वाली धारा $I = \frac{2E}{R + r_1 + r_2}$ द्वारा दी जाती है।
पहले सेल (जिसका आंतरिक प्रतिरोध $r_1$ है) के सिरों पर विभवांतर $V_1 = E - I r_1$ है।
दिया गया है कि $V_1 = 0$,इसलिए $E - I r_1 = 0$,जिसका अर्थ है $E = I r_1$।
$I$ का मान रखने पर:
$E = \left( \frac{2E}{R + r_1 + r_2} \right) r_1$.
दोनों पक्षों को $E$ से विभाजित करने पर:
$1 = \frac{2r_1}{R + r_1 + r_2}$.
$R + r_1 + r_2 = 2r_1$.
$R = 2r_1 - r_1 - r_2 = r_1 - r_2$.
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(A) मान लीजिए कि $m$ पंक्तियाँ समानांतर में जुड़ी हैं और प्रत्येक पंक्ति में $n$ समान सेल हैं। सेलों की कुल संख्या $N = n \times m = 24$ है।
बाह्य प्रतिरोध $R$ में अधिकतम धारा के लिए आवश्यक शर्त यह है कि बैटरी का कुल आंतरिक प्रतिरोध बाह्य प्रतिरोध के बराबर होना चाहिए:
$R = \frac{nr}{m}$
यहाँ $R = 12\, \Omega$,$r = 2\, \Omega$,और $N = 24$ दिया गया है:
$12 = \frac{n \times 2}{m} \Rightarrow 6m = n$
$n = 6m$ को कुल सेल समीकरण $n \times m = 24$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$(6m) \times m = 24$
$6m^2 = 24$
$m^2 = 4 \Rightarrow m = 2$
अब,$n$ का मान ज्ञात करें:
$n = 6 \times 2 = 12$
अतः,$12$ सेलों की $2$ पंक्तियाँ समानांतर में जुड़ी होंगी।

(C) जब एक बैटरी चार्ज हो रही होती है,तो टर्मिनल वोल्टेज $V$ का सूत्र है: $V = E + Ir$,जहाँ $E$ बैटरी का $EMF$ है,$I$ चार्जिंग करंट है और $r$ आंतरिक प्रतिरोध है।
दिया गया है:
टर्मिनल वोल्टेज $V = 12.5 \text{ V}$
चार्जिंग करंट $I = 0.5 \text{ A}$
आंतरिक प्रतिरोध $r = 1 \ \Omega$
समीकरण में मान रखने पर:
$12.5 = E + (0.5 \times 1)$
$12.5 = E + 0.5$
$E = 12.5 - 0.5$
$E = 12 \text{ V}$
अतः,स्टोरेज बैटरी का $EMF$ $12 \text{ V}$ है।

(A) जब $n$ समान सेल,जिनमें प्रत्येक का $EMF$ $E$ और आंतरिक प्रतिरोध $r$ है,को समांतर क्रम में जोड़ा जाता है,तो संयोजन का तुल्य $EMF$ $E_{eq} = E$ होता है और तुल्य आंतरिक प्रतिरोध $r_{eq} = r/n$ होता है।
यदि इन सेलों को एक बाहरी प्रतिरोध $R$ से जोड़ा जाता है,तो कुल धारा $I$ इस प्रकार दी जाती है:
$I = \frac{E_{eq}}{R + r_{eq}} = \frac{E}{R + r/n} = \frac{nE}{nR + r}$.
यदि बाहरी प्रतिरोध $R$ आंतरिक प्रतिरोध की तुलना में बहुत छोटा है $(R \ll r/n)$,तो व्यंजक सरल होकर हो जाता है:
$I \approx \frac{E}{r/n} = \frac{nE}{r}$.
इस स्थिति में,धारा $I$ सेलों की संख्या $n$ के सीधे समानुपाती है $(I \propto n)$।
यह संबंध मूल बिंदु से गुजरने वाली एक सीधी रेखा को दर्शाता है,जो ग्राफ $A$ के अनुरूप है।

(D) कुल सेलों की संख्या $n$ है। दो सेल विपरीत ध्रुवता के साथ जुड़े हैं। ये दो सेल श्रेणीक्रम में मौजूद अन्य दो सेलों के प्रभाव को निरस्त कर देंगे।
अतः,परिपथ का प्रभावी $EMF$ $E_{net} = (n - 2 - 2)E = (n - 4)E$ होगा।
परिपथ का कुल प्रतिरोध $R_{total} = nr$ है।
परिपथ में प्रवाहित धारा $I = \frac{E_{net}}{R_{total}} = \frac{(n - 4)E}{nr}$ है।
चूंकि सेल $A$ और $B$ विपरीत ध्रुवता के साथ जुड़े हैं,इसलिए वे चार्ज हो रहे हैं। चार्ज हो रहे सेल के सिरों के बीच विभवांतर $V = E + Ir$ होता है।
मान रखने पर: $V = E + \left( \frac{(n - 4)E}{nr} \right)r = E + \frac{(n - 4)E}{n} = E \left( 1 + \frac{n - 4}{n} \right) = E \left( \frac{n + n - 4}{n} \right) = E \left( \frac{2n - 4}{n} \right) = 2E \left( \frac{n - 2}{n} \right) = 2E \left( 1 - \frac{2}{n} \right)$.

(B) परिपथ में तीन समानांतर शाखाएं बिंदु $B$ से जुड़ी हैं,जो फिर बिंदु $A$ के साथ प्रतिरोध $R$ के माध्यम से श्रेणीक्रम में जुड़ी हैं।
चूंकि टर्मिनल $A$ और $B$ के साथ कोई बाहरी परिपथ नहीं जुड़ा है (यह एक खुला परिपथ है),इसलिए प्रतिरोध $R$ से कोई धारा प्रवाहित नहीं होती है।
अतः,$A$ और $B$ के बीच विभवांतर तीन समानांतर शाखाओं के समतुल्य $EMF$ के बराबर होता है।
समानांतर क्रम में जुड़े सेलों के लिए समतुल्य $EMF$ $(E_{eq})$ का सूत्र है:
$E_{eq} = \frac{\frac{E_1}{r_1} + \frac{E_2}{r_2} + \frac{E_3}{r_3}}{\frac{1}{r_1} + \frac{1}{r_2} + \frac{1}{r_3}}$
दिए गए मान $E_1 = 3 \, V, E_2 = 2 \, V, E_3 = 1 \, V$ और $r_1 = r_2 = r_3 = 1 \, \Omega$ रखने पर:
$E_{eq} = \frac{\frac{3}{1} + \frac{2}{1} + \frac{1}{1}}{\frac{1}{1} + \frac{1}{1} + \frac{1}{1}} = \frac{3 + 2 + 1}{1 + 1 + 1} = \frac{6}{3} = 2 \, V$
इस प्रकार,$A$ और $B$ के बीच विभवांतर $2 \, V$ है।

(A) मान लीजिए कि $12$ सेलों के बॉक्स में $M$ सेल सही तरीके से जुड़े हैं और $N$ सेल गलत तरीके से जुड़े हैं।
कुल सेल $M + N = 12$ --- $(1)$
मान लीजिए प्रत्येक सेल का emf $E$ और आंतरिक प्रतिरोध $r$ है।
बैटरी का कुल emf $(M - N)E$ है और कुल आंतरिक प्रतिरोध $12r$ है।
जब दो बाहरी सेल बैटरी की सहायता करते हैं,तो कुल emf $(M - N)E + 2E = (M - N + 2)E$ होता है और कुल प्रतिरोध $14r$ होता है।
दी गई धारा $I_1 = 3 \, A$ है,इसलिए $(M - N + 2)E = 3 \times 14r = 42r$ --- $(2)$
जब दो बाहरी सेल बैटरी का विरोध करते हैं,तो कुल emf $(M - N)E - 2E = (M - N - 2)E$ होता है और कुल प्रतिरोध $14r$ होता है।
दी गई धारा $I_2 = 2 \, A$ है,इसलिए $(M - N - 2)E = 2 \times 14r = 28r$ --- $(3)$
$(2)$ को $(3)$ से विभाजित करने पर:
$\frac{M - N + 2}{M - N - 2} = \frac{42}{28} = \frac{3}{2}$
$2(M - N + 2) = 3(M - N - 2)$
$2(M - N) + 4 = 3(M - N) - 6$
$M - N = 10$ --- $(4)$
$(1)$ और $(4)$ को जोड़ने पर:
$2M = 22 \Rightarrow M = 11$
$(1)$ में मान रखने पर:
$11 + N = 12 \Rightarrow N = 1$
अतः,$1$ सेल गलत तरीके से जुड़ा हुआ है।

(C) माना $R_{eq} = R_g + R$ कुल बाह्य प्रतिरोध है। माना प्रत्येक बैटरी का $EMF$ $E = 1.5\, V$ है और आंतरिक प्रतिरोध $r$ है।
स्थिति $I$: बैटरियां श्रेणीक्रम में।
कुल $EMF$ $2E = 3\, V$ है और कुल आंतरिक प्रतिरोध $2r$ है।
धारा $I_1 = \frac{2E}{R_{eq} + 2r} = 1\, A$ है।
$R_{eq} + 2r = 3$ --- $(1)$
स्थिति $II$: बैटरियां समांतर क्रम में।
कुल $EMF$ $E = 1.5\, V$ है और कुल आंतरिक प्रतिरोध $\frac{r}{2}$ है।
धारा $I_2 = \frac{E}{R_{eq} + \frac{r}{2}} = 0.6\, A$ है।
$R_{eq} + 0.5r = \frac{1.5}{0.6} = 2.5$ --- $(2)$
समीकरण $(1)$ में से $(2)$ घटाने पर:
$(R_{eq} + 2r) - (R_{eq} + 0.5r) = 3 - 2.5$
$1.5r = 0.5$
$r = \frac{0.5}{1.5} = \frac{1}{3}\, \Omega$.

(D) श्रेणीक्रम संयोजन के लिए,कुल emf $nE$ है और कुल आंतरिक प्रतिरोध $nr$ है। धारा $I_s$ इस प्रकार है: $I_s = \frac{nE}{R + nr}$.
समांतर क्रम संयोजन के लिए,कुल emf $E$ है और कुल आंतरिक प्रतिरोध $\frac{r}{n}$ है। धारा $I_p$ इस प्रकार है: $I_p = \frac{E}{R + \frac{r}{n}}$.
यह दिया गया है कि धाराएं समान हैं $(I_s = I_p)$:
$\frac{nE}{R + nr} = \frac{E}{R + \frac{r}{n}}$
$\frac{n}{R + nr} = \frac{1}{\frac{nR + r}{n}}$
$\frac{n}{R + nr} = \frac{n}{nR + r}$
$R + nr = nR + r$
$nr - r = nR - R$
$r(n - 1) = R(n - 1)$
चूंकि $n \neq 1$,हमें $R = r$ प्राप्त होता है।

(A) मान लीजिए कि $B_1$ और $B_2$ बिंदुओं के बीच विभवांतर $V$ है,ताकि $V = V_{B_2} - V_{B_1}$ हो।
समानांतर में जुड़े दो सेलों के लिए,उनसे प्रवाहित होने वाली धाराएं $I_1$ और $I_2$ इस प्रकार हैं:
$I_1 = \frac{\varepsilon_1 - V}{r_1}$ और $I_2 = \frac{\varepsilon_2 - V}{r_2}$।
कुल धारा $I$ इन धाराओं का योग है:
$I = I_1 + I_2 = \frac{\varepsilon_1 - V}{r_1} + \frac{\varepsilon_2 - V}{r_2}$।
$V$ के लिए पदों को व्यवस्थित करने पर:
$I = \left( \frac{\varepsilon_1}{r_1} + \frac{\varepsilon_2}{r_2} \right) - V \left( \frac{1}{r_1} + \frac{1}{r_2} \right)$।
$V \left( \frac{r_1 + r_2}{r_1 r_2} \right) = \left( \frac{\varepsilon_1 r_2 + \varepsilon_2 r_1}{r_1 r_2} \right) - I$।
$V = \left( \frac{\varepsilon_1 r_2 + \varepsilon_2 r_1}{r_1 + r_2} \right) - I \left( \frac{r_1 r_2}{r_1 + r_2} \right)$।
इस समीकरण की तुलना एक समतुल्य सेल के समीकरण $V = \varepsilon_{eq} - Ir_{eq}$ से करने पर,हम देख सकते हैं कि विभवांतर $V = \varepsilon_{eq} - Ir_{eq}$ है।

(A) मान लीजिए कि $m$ पंक्तियाँ समानांतर में जुड़ी हैं और प्रत्येक पंक्ति में $n$ समान सेल श्रेणी में जुड़े हैं। सेलों की कुल संख्या $N = n \times m = 24$ है।
बाह्य प्रतिरोध $R$ में अधिकतम धारा के लिए शर्त $R = \frac{nr}{m}$ है,जहाँ $r$ प्रत्येक सेल का आंतरिक प्रतिरोध है।
यहाँ $R = 12\,\Omega$ और $r = 2\,\Omega$ दिया गया है,इसलिए $12 = \frac{n \times 2}{m}$,जो सरल होकर $n = 6m$ हो जाता है।
$n = 6m$ को $n \times m = 24$ में प्रतिस्थापित करने पर,$(6m) \times m = 24$ प्राप्त होता है,इसलिए $6m^2 = 24$,जिसका अर्थ है $m^2 = 4$,यानी $m = 2$।
तब $n = 6 \times 2 = 12$।
अतः,$2$ पंक्तियाँ हैं,जिनमें से प्रत्येक में $12$ सेल श्रेणी में जुड़े हुए हैं।

(B) परिपथ में दो सेल एक लूप में जुड़े हुए हैं। परिपथ में बहने वाली धारा $I$ का मान कुल विद्युत वाहक बल (emf) को कुल प्रतिरोध से विभाजित करने पर प्राप्त होता है:
$I = \frac{1.5\,V - 1.3\,V}{r_1 + r_2} = \frac{0.2}{r_1 + r_2}$
वोल्टमीटर $V$ को $1.3\,V$ emf वाले सेल के सिरों पर जोड़ा गया है। चूंकि धारा $1.5\,V$ सेल से निकलकर $1.3\,V$ सेल में प्रवेश कर रही है,इसलिए $1.3\,V$ वाला सेल चार्ज हो रहा है। $1.3\,V$ सेल का टर्मिनल वोल्टेज $V$ इस प्रकार दिया जाता है:
$V = E + Ir_1$
$1.45 = 1.3 + I r_1$
$0.15 = I r_1$
$I$ का मान रखने पर:
$0.15 = \left( \frac{0.2}{r_1 + r_2} \right) r_1$
$0.15(r_1 + r_2) = 0.2 r_1$
$0.15 r_1 + 0.15 r_2 = 0.2 r_1$
$0.15 r_2 = 0.05 r_1$
$3 r_2 = r_1$
अतः,सही संबंध $r_1 = 3r_2$ है।

(D) चित्र से स्पष्ट है कि चारों सेल समान ध्रुवता में श्रेणीक्रम में जुड़े हुए हैं (एक का धनात्मक टर्मिनल दूसरे के ऋणात्मक टर्मिनल से जुड़ा है)।
परिपथ का कुल $EMF$,$E_{eq} = E + E + E + E = 4E$ है।
परिपथ का कुल आंतरिक प्रतिरोध,$r_{eq} = r + r + r + r = 4r$ है।
परिपथ में बहने वाली धारा $I = \frac{E_{eq}}{r_{eq}} = \frac{4E}{4r} = \frac{E}{r}$ है।
किसी एक सेल का टर्मिनल वोल्टेज $V = E - Ir$ सूत्र द्वारा दिया जाता है,जहाँ $E$ सेल का $EMF$ है और $r$ उसका आंतरिक प्रतिरोध है।
$I$ का मान रखने पर,हमें $V = E - (\frac{E}{r}) \times r = E - E = 0$ प्राप्त होता है।
अतः,किसी एक सेल के सिरों पर टर्मिनल वोल्टेज शून्य है।

(D) श्रेणीक्रम संयोजन का कुल $emf$ व्यक्तिगत $emf$ का योग है: $E_{eq} = E + \frac{E}{n} + \frac{E}{n^2} + \frac{E}{n^3} + \dots = E(1 + \frac{1}{n} + \frac{1}{n^2} + \dots)$। यह एक गुणोत्तर श्रेणी है जिसका योग $S = \frac{a}{1-r_{ratio}} = \frac{E}{1 - 1/n} = \frac{nE}{n-1}$ है।
कुल आंतरिक प्रतिरोध $r_{eq} = r + \frac{r}{n} + \frac{r}{n^2} + \dots = r(1 + \frac{1}{n} + \frac{1}{n^2} + \dots) = \frac{nr}{n-1}$ है।
बाहरी प्रतिरोध $R = \frac{nr}{n+1}$ से बहने वाली धारा $I = \frac{E_{eq}}{r_{eq} + R}$ द्वारा दी जाती है।
मान रखने पर: $I = \frac{\frac{nE}{n-1}}{\frac{nr}{n-1} + \frac{nr}{n+1}} = \frac{\frac{nE}{n-1}}{nr(\frac{1}{n-1} + \frac{1}{n+1})} = \frac{\frac{E}{n-1}}{\frac{(n+1) + (n-1)}{(n-1)(n+1)}} = \frac{E}{n-1} \times \frac{(n-1)(n+1)}{2n} = \frac{(n+1)E}{2nr}$।

(C) चूंकि दो सेल इस तरह जुड़े हैं कि वे एक-दूसरे का विरोध करते हैं,इसलिए बंद परिपथ में प्रभावी $EMF$ $E_{eff} = 15 - 10 = 5\,V$ है।
परिपथ का कुल प्रतिरोध $R_{total} = 1 + 0.6 = 1.6\,\Omega$ है (क्योंकि बंद लूप में आंतरिक प्रतिरोध श्रेणीक्रम में हैं)।
परिपथ में प्रवाहित धारा $I = \frac{E_{eff}}{R_{total}} = \frac{5}{1.6} = 3.125\,A$ है।
वोल्टमीटर बैटरी के सिरों के बीच विभवांतर को मापता है। $15\,V$ की बैटरी के लिए (जो डिस्चार्ज हो रही है),टर्मिनल वोल्टेज $V = E_1 - I r_1 = 15 - (3.125 \times 0.6) = 15 - 1.875 = 13.125\,V$ है।
वैकल्पिक रूप से,$10\,V$ की बैटरी के लिए (जो चार्ज हो रही है),टर्मिनल वोल्टेज $V = E_2 + I r_2 = 10 + (3.125 \times 1) = 10 + 3.125 = 13.125\,V$ है।
अतः,वोल्टमीटर में रीडिंग लगभग $13.1\,V$ होगी।

(B) यह परिपथ बिंदुओं $D$ और $C$ के बीच जुड़ी तीन समानांतर शाखाओं से बना है। प्रत्येक शाखा में $E$ विद्युत वाहक बल $(EMF)$ और $r$ आंतरिक प्रतिरोध वाली एक बैटरी है।
बैटरी के समानांतर संयोजन के लिए,तुल्य $EMF$ $E_{eq}$ और तुल्य आंतरिक प्रतिरोध $r_{eq}$ इस प्रकार हैं:
$E_{eq} = \frac{\sum \frac{E_i}{r_i}}{\sum \frac{1}{r_i}} = \frac{\frac{1}{1} + \frac{2}{1} + \frac{3}{1}}{\frac{1}{1} + \frac{1}{1} + \frac{1}{1}} = \frac{6}{3} = 2 \, V$
$r_{eq} = \frac{1}{\sum \frac{1}{r_i}} = \frac{1}{1+1+1} = \frac{1}{3} \, \Omega$
चूंकि $A$ और $B$ पर परिपथ खुला है,इसलिए बाहरी प्रतिरोधों ($5 \, \Omega$ और $10 \, \Omega$) से कोई धारा प्रवाहित नहीं हो रही है। अतः,$A$ और $B$ के बीच का विभवांतर $D$ और $C$ के बीच के विभवांतर के बराबर होगा।
इसलिए,$V_{AB} = V_{DC} = E_{eq} = 2 \, V$.

(D) कुल सेलों की संख्या $n$ है। दो सेल उल्टी ध्रुवता के साथ जुड़े हैं,इसलिए उनका $emf$ बाकी सेलों के $emf$ का विरोध करता है। परिपथ का कुल $emf$ $E_{net} = (n - 2)E - 2E = (n - 4)E$ होगा।
परिपथ का कुल आंतरिक प्रतिरोध $R_{total} = nr$ है।
परिपथ में बहने वाली धारा $i = \frac{E_{net}}{R_{total}} = \frac{(n - 4)E}{nr}$ होगी।
उल्टी ध्रुवता वाले सेल के लिए,उसके सिरों के बीच विभवांतर $V = E + ir$ (क्योंकि वह चार्ज हो रहा है) द्वारा दिया जाता है।
$i$ का मान रखने पर: $V = E + \left( \frac{(n - 4)E}{nr} \right)r = E + \frac{(n - 4)E}{n} = E + E - \frac{4E}{n} = 2E - \frac{4E}{n}$.
$2E$ कॉमन लेने पर,$V = 2E(1 - \frac{2}{n})$ प्राप्त होता है।

(C) परिपथ का कुल $emf$ $E_{eq} = E + E = 2E$ है।
परिपथ का कुल प्रतिरोध $R_{eq} = R + r_1 + r_2$ है।
परिपथ में धारा $I = \frac{2E}{R + r_1 + r_2}$ है।
आंतरिक प्रतिरोध $r_1$ के सिरों पर विभवांतर $V_{r1} = I r_1$ द्वारा दिया जाता है।
प्रश्न के अनुसार,$V_{r1} = E$,इसलिए $I r_1 = E$ है।
$I$ का मान प्रतिस्थापित करने पर,हमें $\left( \frac{2E}{R + r_1 + r_2} \right) r_1 = E$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों को $E$ से विभाजित करने पर,हमें $\frac{2r_1}{R + r_1 + r_2} = 1$ प्राप्त होता है।
$2r_1 = R + r_1 + r_2$।
$R = 2r_1 - r_1 - r_2 = r_1 - r_2$।

(B) माना $\varepsilon$ $emf$ है और $r$ बैटरी का आंतरिक प्रतिरोध है।
प्रथम स्थिति में, जब धारा ऋण से धन टर्मिनल की ओर बहती है (डिस्चार्जिंग), तब $12 = \varepsilon - 2r$ ... $(i)$
द्वितीय स्थिति में, जब धारा विपरीत दिशा में बहती है (चार्जिंग), तब $15 = \varepsilon + 3r$ ... $(ii)$
समीकरण $(ii)$ में से $(i)$ को घटाने पर:
$15 - 12 = (\varepsilon - \varepsilon) + (3r - (-2r))$
$3 = 5r \implies r = 0.6\, \Omega$
$r$ का यह मान समीकरण $(i)$ में रखने पर:
$12 = \varepsilon - 2(0.6)$
$12 = \varepsilon - 1.2$
$\varepsilon = 13.2\, V$.

(C) जब सेलों को श्रेणीक्रम में जोड़ा जाता है,तो कुल $EMF$ $nE$ होता है और कुल आंतरिक प्रतिरोध $nr$ होता है। धारा $I_1$ इस प्रकार दी जाती है:
$I_1 = \frac{nE}{R + nr}$ $(i)$
जब सेलों को समांतर क्रम में जोड़ा जाता है,तो कुल $EMF$ $E$ होता है और कुल आंतरिक प्रतिरोध $r/n$ होता है। धारा $I_2$ इस प्रकार दी जाती है:
$I_2 = \frac{E}{R + r/n} = \frac{nE}{nR + r}$ $(ii)$
यह दिया गया है कि दोनों स्थितियों में धारा समान है,इसलिए $I_1 = I_2$:
$\frac{nE}{R + nr} = \frac{nE}{nR + r}$
दोनों पक्षों से $nE$ को हटाने पर:
$R + nr = nR + r$
$r$ के लिए पदों को व्यवस्थित करने पर:
$nr - r = nR - R$
$r(n - 1) = R(n - 1)$
$r = R$

(C) $E_1, E_2$ $emf$ और $r_1, r_2$ आंतरिक प्रतिरोध वाले दो सेलों को समानांतर क्रम में जोड़ने पर,तुल्य $emf$ $(E_{eq})$ का सूत्र इस प्रकार है:
$E_{eq} = \frac{\frac{E_1}{r_1} + \frac{E_2}{r_2}}{\frac{1}{r_1} + \frac{1}{r_2}} = \frac{\frac{E_1 r_2 + E_2 r_1}{r_1 r_2}}{\frac{r_1 + r_2}{r_1 r_2}} = \frac{E_1 r_2 + E_2 r_1}{r_1 + r_2}$
समानांतर संयोजन के लिए तुल्य आंतरिक प्रतिरोध $(r_{eq})$ इस प्रकार दिया जाता है:
$\frac{1}{r_{eq}} = \frac{1}{r_1} + \frac{1}{r_2} = \frac{r_1 + r_2}{r_1 r_2}$
$r_{eq} = \frac{r_1 r_2}{r_1 + r_2}$
अतः,तुल्य $emf$ $\frac{E_1 r_2 + E_2 r_1}{r_1 + r_2}$ है और तुल्य आंतरिक प्रतिरोध $\frac{r_1 r_2}{r_1 + r_2}$ है।

(A) परिपथ में $4 \, \Omega$ के बाहरी प्रतिरोध के साथ समानांतर में दो सेल जुड़े हुए हैं।
सबसे पहले, हम सेल युक्त दो समानांतर शाखाओं का तुल्य $EMF$ $(E_{eq})$ और तुल्य आंतरिक प्रतिरोध $(r_{eq})$ ज्ञात करते हैं।
पहली शाखा में $E_1 = 20 \, V$ और $r_1 = 4 \, \Omega$ है।
दूसरी शाखा में $E_2 = 6 \, V$ और $r_2 = 3 \, \Omega$ है।
सेलों के समानांतर संयोजन के सूत्र का उपयोग करते हुए:
$E_{eq} = \frac{\frac{E_1}{r_1} + \frac{E_2}{r_2}}{\frac{1}{r_1} + \frac{1}{r_2}} = \frac{\frac{20}{4} + \frac{6}{3}}{\frac{1}{4} + \frac{1}{3}} = \frac{5 + 2}{\frac{3+4}{12}} = \frac{7}{\frac{7}{12}} = 12 \, V$.
$r_{eq} = \frac{1}{\frac{1}{r_1} + \frac{1}{r_2}} = \frac{1}{\frac{1}{4} + \frac{1}{3}} = \frac{1}{\frac{7}{12}} = \frac{12}{7} \, \Omega$.
अब, यह तुल्य परिपथ $R = 4 \, \Omega$ के बाहरी प्रतिरोध के साथ समानांतर में है।
समानांतर संयोजन पर टर्मिनल वोल्टेज $V$ इस प्रकार दिया जाता है:
$V = E_{eq} \times \frac{R}{R + r_{eq}} = 12 \times \frac{4}{4 + \frac{12}{7}} = 12 \times \frac{4}{\frac{28+12}{7}} = 12 \times \frac{4 \times 7}{40} = 12 \times \frac{28}{40} = 12 \times 0.7 = 8.4 \, V$.

(C) दिए गए $V-I$ ग्राफ से,विद्युत वाहक बल $(EMF)$ $\varepsilon$ $V$-अक्ष पर अंतःखंड है,इसलिए $\varepsilon = 2\,V$ है।
आंतरिक प्रतिरोध $r$ ग्राफ के ढाल का परिमाण है: $r = \frac{\Delta V}{\Delta I} = \frac{2\,V}{2\,A} = 1\,\Omega$ है।
मान लीजिए कि बैटरी $m$ समानांतर पंक्तियों से बनी है,जिनमें से प्रत्येक में $n$ सेल श्रेणीक्रम में हैं। सेलों की कुल संख्या $mn = 40$ है।
बाह्य प्रतिरोध $R$ से प्रवाहित धारा $I = \frac{n\varepsilon}{R + \frac{nr}{m}}$ द्वारा दी जाती है।
अधिकतम धारा के लिए,बाह्य प्रतिरोध $R$ बैटरी के समतुल्य आंतरिक प्रतिरोध के बराबर होना चाहिए: $R = \frac{nr}{m}$।
दिया गया है $R = 2.5\,\Omega$ और $r = 1\,\Omega$,इसलिए $2.5 = \frac{n(1)}{m} \Rightarrow n = 2.5m$ है।
इसे $mn = 40$ में प्रतिस्थापित करने पर: $(2.5m)m = 40 \Rightarrow 2.5m^2 = 40 \Rightarrow m^2 = 16 \Rightarrow m = 4$ प्राप्त होता है।
अतः $n = 2.5 \times 4 = 10$ है।
अधिकतम धारा $I = \frac{n\varepsilon}{R + R} = \frac{10 \times 2}{2.5 + 2.5} = \frac{20}{5} = 4\,A$ है।

(D) श्रेणीक्रम में $n$ सेलों के लिए,कुल $emf$ $E_{eq} = nE$ और कुल आंतरिक प्रतिरोध $r_{eq} = nr$ होता है।
टर्मिनल विभवांतर $V$ को $V = E_{eq} - I r_{eq}$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ $n = 10$ दिया गया है,इसलिए $V = 10E - I(10r)$।
ग्राफ से,जब $I = 12 \, A$ है,तब $V = 6 \, V$ है। इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$6 = 10E - 12(10r) \implies 6 = 10E - 120r$ .......... $(1)$
ग्राफ से,जब $V = 0 \, V$ (लघु परिपथ) है,तब $I = 14 \, A$ है। इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$0 = 10E - 14(10r) \implies 10E = 140r \implies r = \frac{10E}{140} = \frac{E}{14}$ .......... $(2)$
समीकरण $(1)$ में $10r = \frac{10E}{14}$ रखने पर:
$6 = 10E - 12 \left( \frac{10E}{14} \right)$
$6 = 10E - \frac{120E}{14} = 10E - \frac{60E}{7}$
$6 = \frac{70E - 60E}{7} = \frac{10E}{7}$
$10E = 42 \implies E = 4.2 \, V$.

(B) माना कुल सेलों की संख्या $n = 32$ है।
माना विपरीत ध्रुवता में जुड़े सेलों की संख्या $m$ है।
प्रत्येक सेल का $emf$ $\varepsilon = 3V$ है।
जब $m$ सेल उल्टे जुड़े होते हैं,तो वे सही ढंग से जुड़े $m$ सेलों के $emf$ को निरस्त कर देते हैं।
अतः,कुल $emf$ में योगदान देने वाले सेलों की प्रभावी संख्या $(n - m) - m = n - 2m$ है।
संयोजन का कुल $emf$,$E_{net} = (n - 2m) \varepsilon$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है $E_{net} = 84V$ और $\varepsilon = 3V$,इसलिए:
$84 = (32 - 2m) \times 3$
दोनों पक्षों को $3$ से विभाजित करने पर:
$28 = 32 - 2m$
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर:
$2m = 32 - 28$
$2m = 4$
$m = 2$
अतः,$2$ सेल उल्टे जुड़े हुए हैं।

(A) सेलों के मिश्रित संयोजन में अधिकतम धारा प्राप्त करने के लिए,बाह्य प्रतिरोध $R$ संयोजन के समतुल्य आंतरिक प्रतिरोध के बराबर होना चाहिए।
अधिकतम धारा के लिए शर्त $R = \frac{nr}{m}$ है,जिसका अर्थ है $mR = nr$।
दिया गया है:
बाह्य प्रतिरोध $R = 2.5\,\Omega$
प्रत्येक सेल का आंतरिक प्रतिरोध $r = 0.5\,\Omega$
सेलों की कुल संख्या $N = m \times n = 45$।
शर्त $mR = nr$ में मान रखने पर:
$m \times 2.5 = n \times 0.5$
$5m = n$।
अब,कुल सेलों के समीकरण $mn = 45$ में $n = 5m$ रखने पर:
$m(5m) = 45$
$5m^2 = 45$
$m^2 = 9$
$m = 3$।
अतः,$n = 5 \times 3 = 15$।
इस प्रकार,$m = 3$ और $n = 15$ प्राप्त होता है।

(B) श्रेणीक्रम में जुड़े दो सेलों का कुल $e.m.f.$ $E_{eq} = E + E = 2E$ है।
परिपथ का कुल प्रतिरोध $R_{total} = R + r_1 + r_2$ है।
परिपथ में बहने वाली धारा $I = \frac{2E}{R + r_1 + r_2}$ द्वारा दी जाती है।
पहले सेल के सिरों के बीच विभवांतर $V_1 = E - I r_1$ है।
दिया गया है कि $V_1 = 0$,इसलिए $E - I r_1 = 0$,जिसका अर्थ है $E = I r_1$.
$I$ का मान समीकरण में रखने पर: $E = \left( \frac{2E}{R + r_1 + r_2} \right) r_1$.
दोनों पक्षों को $E$ से विभाजित करने पर: $1 = \frac{2r_1}{R + r_1 + r_2}$.
पदों को व्यवस्थित करने पर: $R + r_1 + r_2 = 2r_1$.
$R$ के लिए हल करने पर: $R = 2r_1 - r_1 - r_2 = r_1 - r_2$.

(A) श्रेणीक्रम में जुड़े दो स्रोतों का कुल $emf$ $\varepsilon_{eq} = \varepsilon + \varepsilon = 2\varepsilon$ है।
परिपथ का कुल प्रतिरोध $R_{total} = R + R_1 + R_2$ है।
परिपथ में प्रवाहित धारा $I = \frac{2\varepsilon}{R + R_1 + R_2}$ द्वारा दी जाती है।
$R_2$ आंतरिक प्रतिरोध वाले स्रोत के सिरों पर विभवांतर $V = \varepsilon - I R_2$ है।
दिया गया है कि $V = 0$, इसलिए $\varepsilon - I R_2 = 0$, जिसका अर्थ है $\varepsilon = I R_2$।
$I$ का मान प्रतिस्थापित करने पर:
$\varepsilon = \left( \frac{2\varepsilon}{R + R_1 + R_2} \right) R_2$
$1 = \frac{2 R_2}{R + R_1 + R_2}$
$R + R_1 + R_2 = 2 R_2$
$R = 2 R_2 - R_2 - R_1$
$R = R_2 - R_1$.

(D) शुष्क सेल का $emf$ कैथोड और एनोड के इलेक्ट्रोड विभव पर निर्भर करता है,जो होने वाली रासायनिक अभिक्रियाओं और इलेक्ट्रोलाइट की सांद्रता द्वारा निर्धारित होते हैं।
यह सेल के भौतिक आयामों या आकार पर निर्भर नहीं करता है।
अतः,कथन और कारण दोनों गलत हैं।

(A) द्वितीयक सेलों की संख्या,$n = 6$.
प्रत्येक सेल का $emf$,$E = 2.0 \; V$.
प्रत्येक सेल का आंतरिक प्रतिरोध,$r = 0.015 \; \Omega$.
बाह्य प्रतिरोध,$R = 8.5 \; \Omega$.
चूंकि सेल श्रेणीक्रम में हैं,कुल $emf = nE$ और कुल आंतरिक प्रतिरोध $= nr$ होगा।
आपूर्ति से ली गई धारा $I = \frac{nE}{R + nr}$ द्वारा दी जाती है।
$I = \frac{6 \times 2.0}{8.5 + 6 \times 0.015} = \frac{12}{8.5 + 0.09} = \frac{12}{8.59} \approx 1.39 \; A$.
टर्मिनल वोल्टेज $V = IR = 1.39 \times 8.5 \approx 11.87 \; V$.
$(b)$ सेल का $emf$,$E = 1.9 \; V$.
आंतरिक प्रतिरोध,$r = 380 \; \Omega$.
अधिकतम धारा $I_{max}$ तब ली जाती है जब बाह्य प्रतिरोध शून्य हो: $I_{max} = \frac{E}{r} = \frac{1.9}{380} = 0.005 \; A$.
चूंकि कार की मोटर शुरू करने के लिए बहुत अधिक धारा की आवश्यकता होती है,इसलिए यह सेल मोटर को नहीं चला सकता है।