Electric Cells and Combination of cells in Series and Parallel Questions in Hindi

(D) समानांतर क्रम में जुड़े सेलों के लिए,तुल्य emf $\varepsilon_{eq}$ और तुल्य आंतरिक प्रतिरोध $r_{eq}$ को निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$\frac{\varepsilon_{eq}}{r_{eq}} = \sum \frac{\varepsilon_i}{r_i} = \frac{\varepsilon_1}{r_1} + \frac{\varepsilon_2}{r_2} + \frac{\varepsilon_3}{r_3}$
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{\varepsilon_{eq}}{r_{eq}} = \frac{1.2}{0.1} + \frac{1.4}{0.2} + \frac{1.5}{0.3}$
$\frac{\varepsilon_{eq}}{r_{eq}} = 12 + 7 + 5$
$\frac{\varepsilon_{eq}}{r_{eq}} = 24 \ V \Omega^{-1}$
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(D) समानांतर क्रम में जुड़ी दो बैटरियों के लिए,तुल्य emf $\varepsilon_{eq}$ और तुल्य आंतरिक प्रतिरोध $r_{eq}$ निम्नलिखित सूत्रों द्वारा दिए जाते हैं:
$\frac{\varepsilon_{eq}}{r_{eq}} = \frac{\varepsilon_1}{r_1} + \frac{\varepsilon_2}{r_2} = \frac{\varepsilon_1 r_2 + \varepsilon_2 r_1}{r_1 r_2}$
और
$\frac{1}{r_{eq}} = \frac{1}{r_1} + \frac{1}{r_2} \implies r_{eq} = \frac{r_1 r_2}{r_1 + r_2}$
प्रथम समीकरण में $r_{eq}$ का मान रखने पर:
$\varepsilon_{eq} = \left( \frac{\varepsilon_1 r_2 + \varepsilon_2 r_1}{r_1 r_2} \right) \times \left( \frac{r_1 r_2}{r_1 + r_2} \right)$
$\varepsilon_{eq} = \frac{\varepsilon_1 r_2 + \varepsilon_2 r_1}{r_1 + r_2}$
चूंकि $\varepsilon_2 > \varepsilon_1$,तुल्य emf $\varepsilon_{eq}$,$\varepsilon_1$ और $\varepsilon_2$ का भारित औसत (weighted average) है,जिसका अर्थ है कि $\varepsilon_1 < \varepsilon_{eq} < \varepsilon_2$।

(D) समानांतर में जुड़े दो सेलों का समतुल्य emf निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$E_{eq} = \frac{\frac{E_1}{r_1} + \frac{E_2}{r_2}}{\frac{1}{r_1} + \frac{1}{r_2}} = \frac{E_1 r_2 + E_2 r_1}{r_1 + r_2}$
इसे इस प्रकार फिर से लिखा जा सकता है:
$E_{eq} = \frac{E_1 r_2 + E_2 r_1}{r_1 + r_2} = \frac{E_1 r_2 + E_1 r_1 - E_1 r_1 + E_2 r_1}{r_1 + r_2} = \frac{E_1(r_1 + r_2) + r_1(E_2 - E_1)}{r_1 + r_2} = E_1 + \frac{r_1}{r_1 + r_2}(E_2 - E_1)$
चूंकि $E_2 > E_1$ और $r_1, r_2 > 0$,यह स्पष्ट है कि $E_{eq} > E_1$ है।
इसी प्रकार,$E_{eq} = E_2 - \frac{r_2}{r_1 + r_2}(E_2 - E_1)$। चूंकि $E_2 > E_1$ और $r_1, r_2 > 0$,यह स्पष्ट है कि $E_{eq} < E_2$ है।
अतः,$E_1 < E_{eq} < E_2$ है।
दिया गया है कि $r_2 > r_1$,इसलिए पद $\frac{r_1}{r_1 + r_2} < \frac{1}{2}$ होगा।
इसलिए,$E_{eq}$,$E_2$ की तुलना में $E_1$ के अधिक करीब है।

(C) सेलों की कुल संख्या $n = 10$ है। प्रत्येक सेल का emf $E = 2 \, V$ और आंतरिक प्रतिरोध $r = 1 \, \Omega$ है。
जब दो सेल उल्टे जुड़े होते हैं, तो वे अन्य दो सेलों के emf को रद्द कर देते हैं। इस प्रकार, कुल emf में योगदान देने वाले सेलों की प्रभावी संख्या $n - 2m$ है, जहाँ $m$ गलत तरीके से जुड़े सेलों की संख्या है。
यहाँ, $m = 2$, इसलिए प्रभावी सेल = $10 - 2(2) = 6$ सेल。
कुल emf $E_{\text{net}} = (10 - 2 \times 2) \times E = 6 \times 2 = 12 \, V$.
कुल आंतरिक प्रतिरोध सभी सेलों के प्रतिरोध का योग रहता है: $R_{\text{int}} = 10 \times r = 10 \times 1 = 10 \, \Omega$.
बाह्य प्रतिरोध $R = 10 \, \Omega$.
कुल प्रतिरोध $R_{\text{total}} = R_{\text{int}} + R = 10 + 10 = 20 \, \Omega$.
ओम के नियम का उपयोग करते हुए, धारा $I = \frac{E_{\text{net}}}{R_{\text{total}}} = \frac{12}{20} = 0.6 \, A$।

(A) दिया गया है कि $10$ समान सेल श्रेणीक्रम में जुड़े हैं,प्रत्येक का विद्युत वाहक बल $E$ और आंतरिक प्रतिरोध $r$ है।
परिपथ का कुल विद्युत वाहक बल $= 10 E$ है।
परिपथ का कुल आंतरिक प्रतिरोध $= 10 r$ है।
ओम के नियम का उपयोग करते हुए,परिपथ में प्रवाहित धारा $I = \frac{\text{कुल EMF}}{\text{कुल प्रतिरोध}} = \frac{10 E}{10 r} = \frac{E}{r}$ है।
$3$ सेलों के सिरों पर विभवांतर $V$ उन पर होने वाले विभव पतन का योग है।
श्रेणीक्रम में जुड़े $3$ सेलों के लिए,कुल आंतरिक प्रतिरोध $3 r$ है।
इन $3$ सेलों के सिरों पर विभवांतर $V = I \times (3 r)$ है।
$I$ का मान रखने पर,हमें $V = \frac{E}{r} \times 3 r = 3 E$ प्राप्त होता है।

(C) चूंकि दो सेल श्रेणीक्रम में जुड़े हैं,इसलिए कुल emf $E_{total} = E + E = 2E$ है,जहाँ $E$ प्रत्येक सेल का emf है।
परिपथ का कुल प्रतिरोध $R_{total} = R + r_{1} + r_{2}$ है।
परिपथ में प्रवाहित धारा $I = \frac{2E}{R + r_{1} + r_{2}}$ द्वारा दी जाती है।
$r_{1}$ आंतरिक प्रतिरोध वाले सेल के सिरों पर टर्मिनल विभवांतर $V_{1} = E - Ir_{1}$ है।
दिया गया है कि $V_{1} = 0$,इसलिए $E - Ir_{1} = 0$,जिसका अर्थ है $E = Ir_{1}$।
$I$ का मान रखने पर,हमें $E = \left( \frac{2E}{R + r_{1} + r_{2}} \right) r_{1}$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों को $E$ से विभाजित करने पर,$1 = \frac{2r_{1}}{R + r_{1} + r_{2}}$ प्राप्त होता है।
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर,$R + r_{1} + r_{2} = 2r_{1}$।
अतः,$R = 2r_{1} - r_{1} - r_{2} = r_{1} - r_{2}$।

(D) सेल का टर्मिनल विभवांतर $V$ समीकरण $V = E - Ir$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $E$ $EMF$ है और $r$ आंतरिक प्रतिरोध है।
यह समीकरण एक सीधी रेखा $y = mx + c$ के रूप में है,जहाँ $V$ y-अक्ष पर है और $I$ x-अक्ष पर है।
$1$. जब धारा $I = 0$ होती है,तो टर्मिनल विभवांतर $V = E$ होता है। ग्राफ से,$I = 0$ पर $V = 3 \text{ V}$ है। इसलिए,$E = 3 \text{ V}$ है।
$2$. जब टर्मिनल विभवांतर $V = 0$ होता है,तो धारा $I = 6 \text{ A}$ होती है। इन मानों को समीकरण में रखने पर: $0 = E - Ir \implies 0 = 3 - (6)r$.
$3$. $r$ के लिए हल करने पर: $6r = 3 \implies r = \frac{3}{6} = 0.5 \ \Omega$.
अतः,$EMF$ $3 \text{ V}$ है और आंतरिक प्रतिरोध $0.5 \ \Omega$ है।

(C) जब $E$ emf और $r$ आंतरिक प्रतिरोध वाले $n$ समान सेल श्रेणीक्रम में जोड़े जाते हैं,तो कुल emf $nE$ होता है और कुल आंतरिक प्रतिरोध $nr$ होता है।
यदि $m$ सेल विपरीत ध्रुवता (reversed polarity) के साथ जुड़े हों,तो प्रभावी emf $E'$ को निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$E' = (n - 2m)E$
यहाँ,सेलों की कुल संख्या $n = 4$ है और गलत तरीके से जुड़े सेलों की संख्या $m = 1$ है।
इन मानों को रखने पर:
$E' = (4 - 2 \times 1)E = (4 - 2)E = 2E$
श्रेणीक्रम में सेलों का आंतरिक प्रतिरोध उनकी ध्रुवता की परवाह किए बिना जुड़ जाता है। इसलिए,प्रभावी आंतरिक प्रतिरोध $r_{eq}$ समान रहता है:
$r_{eq} = n \times r = 4r$
अतः,तुल्य emf $2E$ है और प्रभावी आंतरिक प्रतिरोध $4r$ है।

(D) चूंकि दोनों सेल विपरीत दिशा में जुड़े हैं,इसलिए परिपथ का कुल विद्युत वाहक बल (emf) $E_{net} = E_{1} - E_{2}$ होगा।
परिपथ का कुल प्रतिरोध आंतरिक प्रतिरोधों और बाह्य प्रतिरोध का योग है,जो $R_{total} = r_{1} + r_{2} + R$ है।
ओम के नियम के अनुसार,परिपथ में प्रवाहित धारा $I = \frac{E_{net}}{R_{total}} = \frac{E_{1} - E_{2}}{r_{1} + r_{2} + R}$ है।
बाह्य प्रतिरोध $R$ के सिरों पर टर्मिनल विभवांतर $V = I \times R$ द्वारा दिया जाता है।
$I$ का मान रखने पर,हमें $V = \frac{E_{1} - E_{2}}{r_{1} + r_{2} + R} \times R$ प्राप्त होता है।

(D) मान लीजिए कि प्रत्येक सेल का $EMF$ $E$ है और आंतरिक प्रतिरोध $r$ है। बाहरी प्रतिरोध $R = 2 \Omega$ है।
स्थिति $1$: सेल श्रेणी क्रम में।
कुल $EMF$ $2E$ है और कुल आंतरिक प्रतिरोध $2r$ है। धारा $I$ इस प्रकार है:
$I = \frac{2E}{R + 2r}$ ... $(i)$
स्थिति $2$: सेल समांतर क्रम में।
कुल $EMF$ $E$ है और कुल आंतरिक प्रतिरोध $\frac{r}{2}$ है। धारा $I$ इस प्रकार है:
$I = \frac{E}{R + \frac{r}{2}} = \frac{2E}{2R + r}$ ... (ii)
चूंकि दोनों स्थितियों में धारा $I$ समान है,हम $(i)$ और (ii) की तुलना करते हैं:
$\frac{2E}{R + 2r} = \frac{2E}{2R + r}$
$R + 2r = 2R + r$
$r = R$
यहाँ $R = 2 \Omega$ दिया गया है,इसलिए $r = 2 \Omega$।

(B) माना प्रत्येक बैटरी का $EMF$ $E$ है और आंतरिक प्रतिरोध $r = 1 \Omega$ है।
श्रेणीक्रम संयोजन में,कुल $EMF$ $= 2E$ और कुल आंतरिक प्रतिरोध $= 2r = 2 \Omega$ होता है।
धारा $I_s = \frac{2E}{R + 2}$ है।
शक्ति $P_1 = I_s^2 R = \left(\frac{2E}{R + 2}\right)^2 R$ है।
समांतर क्रम संयोजन में,कुल $EMF$ $= E$ और कुल आंतरिक प्रतिरोध $= \frac{r}{2} = 0.5 \Omega$ होता है।
धारा $I_p = \frac{E}{R + 0.5}$ है।
शक्ति $P_2 = I_p^2 R = \left(\frac{E}{R + 0.5}\right)^2 R$ है।
दिया गया है कि $P_1 = 2.25 P_2$,इसलिए $\left(\frac{2E}{R + 2}\right)^2 R = 2.25 \left(\frac{E}{R + 0.5}\right)^2 R$ है।
दोनों पक्षों को $E^2 R$ से विभाजित करने पर,$\frac{4}{(R + 2)^2} = 2.25 \frac{1}{(R + 0.5)^2}$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर: $\frac{2}{R + 2} = \frac{1.5}{R + 0.5}$।
$2(R + 0.5) = 1.5(R + 2) \implies 2R + 1 = 1.5R + 3$।
$0.5R = 2 \implies R = 4 \Omega$।

(D) दिया गया है: $E_1 = 1.2 \ V$,$r_1 = 2 \ \Omega$,$E_2 = 1.5 \ V$,$r_2 = 1 \ \Omega$।
जब दो सेलों को समान ध्रुवों के साथ समानांतर क्रम में जोड़ा जाता है,तो तुल्य emf $E_{\text{eq}}$ का सूत्र है:
$E_{\text{eq}} = \frac{\frac{E_1}{r_1} + \frac{E_2}{r_2}}{\frac{1}{r_1} + \frac{1}{r_2}}$
मान रखने पर:
$E_{\text{eq}} = \frac{\frac{1.2}{2} + \frac{1.5}{1}}{\frac{1}{2} + \frac{1}{1}} = \frac{0.6 + 1.5}{0.5 + 1} = \frac{2.1}{1.5} = 1.4 \ V$।

(D) माना सेल का विद्युत वाहक बल $(EMF)$ $E$ है और इसका आंतरिक प्रतिरोध $r$ है।
ओम के नियम के अनुसार,$R$ बाहरी प्रतिरोध वाले परिपथ में धारा $I = \frac{E}{R + r}$ द्वारा दी जाती है।
प्रथम स्थिति के लिए: $1 = \frac{E}{2.5 + r} \implies E = 2.5 + r$ (समीकरण $1$).
द्वितीय स्थिति के लिए: $0.5 = \frac{E}{10 + r} \implies E = 0.5(10 + r) = 5 + 0.5r$ (समीकरण $2$).
$E$ के लिए दोनों समीकरणों की तुलना करने पर:
$2.5 + r = 5 + 0.5r$
$r - 0.5r = 5 - 2.5$
$0.5r = 2.5$
$r = \frac{2.5}{0.5} = 5 \ \Omega$.
अतः,सेल का आंतरिक प्रतिरोध $5 \ \Omega$ है।

(B) माना प्रत्येक सेल का emf $E = 2.16 \text{ V}$ है और उनके आंतरिक प्रतिरोध $r_1, r_2$ हैं। बाह्य प्रतिरोध $R = 19.6 \text{ } \Omega$ है।
श्रेणी परिपथ में धारा $I = \frac{E + E}{r_1 + r_2 + R} = \frac{4.32}{r_1 + r_2 + 19.6}$ द्वारा दी जाती है।
सेल $P$ के लिए,टर्मिनल वोल्टेज $V_P = E - I r_1$ है। दिया है $V_P = 2 \text{ V}$,अतः $2 = 2.16 - I r_1$,जिससे $I r_1 = 0.16$ प्राप्त होता है।
सेल $Q$ के लिए,टर्मिनल वोल्टेज $V_Q = E - I r_2$ है। दिया है $V_Q = 1.92 \text{ V}$,अतः $1.92 = 2.16 - I r_2$,जिससे $I r_2 = 0.24$ प्राप्त होता है।
इन दोनों समीकरणों का अनुपात लेने पर:
$\frac{I r_1}{I r_2} = \frac{0.16}{0.24} = \frac{16}{24} = \frac{2}{3}$.
अतः,आंतरिक प्रतिरोधों का अनुपात $r_1 : r_2 = 2 : 3$ है।

(C) माना कुल आंतरिक प्रतिरोध $r = r_1 + r_2$ है।
जब सेल समान ध्रुवता के साथ श्रेणीक्रम में होते हैं,तो कुल emf $E_1 + E_2$ होता है। धारा $I_1 = \frac{E_1 + E_2}{R + r} = 5 \ A$ द्वारा दी जाती है।
अतः,$E_1 + E_2 = 5(R + r) \quad (1)$।
जब $E_2$ की ध्रुवता उलट दी जाती है,तो कुल emf $E_1 - E_2$ हो जाता है (यह मानते हुए कि $E_1 > E_2$)। धारा $I_2 = \frac{E_1 - E_2}{R + r} = 2 \ A$ द्वारा दी जाती है।
अतः,$E_1 - E_2 = 2(R + r) \quad (2)$।
समीकरण $(1)$ को समीकरण $(2)$ से विभाजित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{E_1 + E_2}{E_1 - E_2} = \frac{5}{2}$।
योगान्तरानुपात (componendo and dividendo) नियम लागू करने पर:
$\frac{(E_1 + E_2) + (E_1 - E_2)}{(E_1 + E_2) - (E_1 - E_2)} = \frac{5 + 2}{5 - 2}$।
$\frac{2E_1}{2E_2} = \frac{7}{3}$।
अतः,$\frac{E_1}{E_2} = \frac{7}{3}$।

(C) मान लीजिए कि प्रत्येक सेल का $EMF$ $E$ है और प्रत्येक सेल का आंतरिक प्रतिरोध $r$ है।
श्रेणीक्रम में $n$ सेलों के लिए,कुल $EMF$ $nE$ है और कुल आंतरिक प्रतिरोध $nr$ है। धारा $I_s = \frac{nE}{R + nr}$ द्वारा दी जाती है।
समांतर क्रम में $n$ सेलों के लिए,कुल $EMF$ $E$ है और कुल आंतरिक प्रतिरोध $r/n$ है। धारा $I_p = \frac{E}{R + r/n} = \frac{nE}{nR + r}$ द्वारा दी जाती है।
यह दिया गया है कि $I_s = I_p$,इसलिए $\frac{nE}{R + nr} = \frac{nE}{nR + r}$।
इसका अर्थ है $R + nr = nR + r$।
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें $nr - r = nR - R$ प्राप्त होता है,जो $r(n - 1) = R(n - 1)$ में सरल हो जाता है।
यदि $n \neq 1$ है,तो दोनों पक्षों को $(n - 1)$ से विभाजित करने पर $r = R$ प्राप्त होता है।

(B) मान लीजिए कि श्रेणीक्रम में जुड़े सेलों की संख्या $n$ है और समानांतर पंक्तियों की संख्या $m$ है,जिनमें से प्रत्येक में $n$ सेल हैं। सेलों की कुल संख्या $N = nm$ है।
संयोजन का कुल emf $E_{eq} = nE = n(1.5)$ है।
कुल आंतरिक प्रतिरोध $r_{eq} = \frac{nr}{m} = \frac{n(1)}{m} = \frac{n}{m}$ है।
बाहरी प्रतिरोध $R = 30 \ \Omega$ में धारा $I = \frac{nE}{R + \frac{nr}{m}}$ द्वारा दी जाती है।
दिया गया है $I = 1.5 \ A$,$E = 1.5 \ V$,$R = 30 \ \Omega$,और $r = 1 \ \Omega$:
$1.5 = \frac{n(1.5)}{30 + \frac{n}{m}} \implies 30 + \frac{n}{m} = n \implies 30 = n(1 - \frac{1}{m}) = n(\frac{m-1}{m})$.
चूंकि $N = nm$,हमारे पास $n = \frac{N}{m}$ है। इसे प्रतिस्थापित करने पर: $30 = \frac{N}{m} \cdot \frac{m-1}{m} = N \frac{m-1}{m^2}$.
$N$ को न्यूनतम करने के लिए,हमें फलन $f(m) = \frac{m-1}{m^2}$ को अधिकतम करना होगा। $f'(m) = 0$ रखने पर $m=2$ प्राप्त होता है।
$m=2$ के लिए,$30 = N \frac{2-1}{2^2} = N \frac{1}{4} \implies N = 120$.

(A) $1$. एक पंक्ति में $n$ सेल श्रेणीक्रम में हैं। एक पंक्ति का कुल emf $nE$ और कुल आंतरिक प्रतिरोध $nr$ है।
$2$. ऐसी $m$ पंक्तियाँ समानांतर क्रम में जुड़ी हैं। समानांतर संयोजन का कुल emf $nE$ ही रहता है क्योंकि सभी पंक्तियाँ समान हैं।
$3$. $m$ पंक्तियों के समानांतर होने के कारण,तुल्य आंतरिक प्रतिरोध $r_{eq} = \frac{nr}{m}$ होता है।
$4$. बाहरी लोड प्रतिरोध $R$ से प्रवाहित कुल धारा $I = \frac{nE}{R + r_{eq}} = \frac{nE}{R + \frac{nr}{m}} = \frac{mnE}{mR + nr}$ है।
$5$. चूंकि $m$ पंक्तियाँ समानांतर में हैं,कुल धारा $I$ सभी $m$ पंक्तियों में समान रूप से विभाजित हो जाती है। अतः,प्रत्येक सेल में धारा $I_{cell} = \frac{I}{m} = \frac{nE}{nr + mR}$ होगी।

(C) तुल्य emf,$E_{eq} = E + E = 2E$
तुल्य प्रतिरोध,$R_{eq} = r_1 + r_2 + R$
परिपथ में प्रवाहित धारा,$i = \frac{2E}{r_1 + r_2 + R}$
पहले सेल के सिरों पर विभवांतर $V_1 = E - ir_1$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है कि $V_1 = 0$,इसलिए:
$0 = E - ir_1$
$E = ir_1$
$i$ का मान रखने पर:
$E = \left( \frac{2E}{r_1 + r_2 + R} \right) r_1$
$1 = \frac{2r_1}{r_1 + r_2 + R}$
$r_1 + r_2 + R = 2r_1$
$R = 2r_1 - r_1 - r_2$
$R = r_1 - r_2$

(B) जब $E$ $\operatorname{emf}$ और $r$ आंतरिक प्रतिरोध वाले एक सेल को $R$ प्रतिरोध के बाहरी प्रतिरोधक से जोड़ा जाता है,तो परिपथ एक बंद लूप बनाता है।
संपूर्ण परिपथ के लिए ओम के नियम के अनुसार,धारा $I = \frac{E}{R + r}$ द्वारा दी जाती है।
सेल के सिरों पर टर्मिनल विभवांतर $V$ बाहरी प्रतिरोधक $R$ के सिरों पर विभवांतर है,जो $V = I R$ है।
वैकल्पिक रूप से,आंतरिक गिरावट को ध्यान में रखते हुए,टर्मिनल विभवांतर $\operatorname{emf}$ में से आंतरिक प्रतिरोध पर विभवांतर को घटाने पर प्राप्त होता है: $V = E - I r$.
दोनों व्यंजक सेल के टर्मिनल विभवांतर को दर्शाते हैं।

(B) माना कि $E$ बैटरी का विद्युत वाहक बल $(EMF)$ है और $r$ इसका आंतरिक प्रतिरोध है।
प्रतिरोधक $R$ के सिरों पर टर्मिनल वोल्टेज $V$ को $V = I R$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $I = \frac{E}{R+r}$ है।
अतः,$V = E \left( \frac{R}{R+r} \right)$,जिसे $E = V + I r = V + \left( \frac{V}{R} \right) r$ के रूप में लिखा जा सकता है।
प्रथम स्थिति के लिए: $R_1 = 16 \ \Omega$,$V_1 = 12 \ V$।
$E = 12 + \left( \frac{12}{16} \right) r = 12 + 0.75 r$ --- $(i)$
द्वितीय स्थिति के लिए: $R_2 = 10 \ \Omega$,$V_2 = 11 \ V$।
$E = 11 + \left( \frac{11}{10} \right) r = 11 + 1.1 r$ --- (ii)
$(i)$ और (ii) की तुलना करने पर:
$12 + 0.75 r = 11 + 1.1 r$
$12 - 11 = 1.1 r - 0.75 r$
$1 = 0.35 r$
$r = \frac{1}{0.35} = \frac{100}{35} = \frac{20}{7} \ \Omega$।

(D) माना सेल का विद्युत वाहक बल $(EMF)$ $E$ है और इसका आंतरिक प्रतिरोध $r$ है। परिपथ में प्रवाहित धारा $I = 2 \ A$ है।
जब धारा सामान्य दिशा में प्रवाहित होती है,तो टर्मिनल विभवांतर $V_1 = E - Ir$ द्वारा दिया जाता है।
दिए गए मानों को रखने पर: $20 = E - 2r$ --- (समीकरण $1$).
जब धारा की दिशा उलट दी जाती है,तो सेल चार्ज हो रहा होता है,इसलिए टर्मिनल विभवांतर $V_2 = E + Ir$ द्वारा दिया जाता है।
दिए गए मानों को रखने पर: $30 = E + 2r$ --- (समीकरण $2$).
समीकरण $2$ में से समीकरण $1$ को घटाने पर: $(E + 2r) - (E - 2r) = 30 - 20$.
$4r = 10$.
$r = 2.5 \ \Omega$.
अतः,सेल का आंतरिक प्रतिरोध $2.5 \ \Omega$ है।

(B) परिपथ में तीन सेल समानांतर में जुड़े हैं। मान लीजिए emf $\varepsilon_1 = 10 \text{ V}$,$\varepsilon_2 = 7 \text{ V}$,और $\varepsilon_3 = 20 \text{ V}$ हैं,और आंतरिक प्रतिरोध $r_1 = 3 \Omega$,$r_2 = 0.6 \Omega$,और $r_3 = 2 \Omega$ हैं।
चूंकि तीसरा सेल पहले दो सेलों के सापेक्ष विपरीत ध्रुवीयता के साथ जुड़ा है,इसलिए समतुल्य emf $E_{\text{eq}}$ और समतुल्य आंतरिक प्रतिरोध $r_{\text{eq}}$ इस प्रकार हैं:
$\frac{E_{\text{eq}}}{r_{\text{eq}}} = \frac{\varepsilon_1}{r_1} + \frac{\varepsilon_2}{r_2} - \frac{\varepsilon_3}{r_3}$
$\frac{E_{\text{eq}}}{r_{\text{eq}}} = \frac{10}{3} + \frac{7}{0.6} - \frac{20}{2} = \frac{10}{3} + \frac{35}{3} - 10 = \frac{45}{3} - 10 = 15 - 10 = 5 \text{ A}$
समानांतर संयोजन के लिए,समतुल्य आंतरिक प्रतिरोध:
$\frac{1}{r_{\text{eq}}} = \frac{1}{r_1} + \frac{1}{r_2} + \frac{1}{r_3} = \frac{1}{3} + \frac{1}{0.6} + \frac{1}{2} = \frac{1}{3} + \frac{5}{3} + \frac{1}{2} = 2 + 0.5 = 2.5 \text{ S}$
$r_{\text{eq}} = \frac{1}{2.5} = 0.4 \Omega$
अब,$E_{\text{eq}} = \left(\frac{E_{\text{eq}}}{r_{\text{eq}}}\right) \times r_{\text{eq}} = 5 \times 0.4 = 2 \text{ V}$
अतः,$E = 2 \text{ V}$ और $r = 0.4 \Omega$ है।

(C) समांतर क्रम में जुड़े सेलों के लिए,तुल्य emf $E_{\text{eq}}$ और तुल्य आंतरिक प्रतिरोध $r_{\text{eq}}$ का सूत्र है: $\frac{E_{\text{eq}}}{r_{\text{eq}}} = \sum \frac{E_i}{r_i}$ और $\frac{1}{r_{\text{eq}}} = \sum \frac{1}{r_i}$.
सबसे पहले,$\frac{E_{\text{eq}}}{r_{\text{eq}}}$ का प्रारंभिक मान ज्ञात करें:
$\frac{E_{\text{eq}}}{r_{\text{eq}}} = \frac{5}{1} + \frac{8}{2} + \frac{10}{3} = 5 + 4 + 3.33 = \frac{37}{3} \ \text{A}$.
जब $E_3$ को $E_{3N}$ में बदल दिया जाता है,तो तुल्य emf $2E_{\text{eq}}$ हो जाता है। नया तुल्य आंतरिक प्रतिरोध $r_{\text{eq}}$ समान रहता है क्योंकि यह केवल आंतरिक प्रतिरोधों पर निर्भर करता है।
अतः,नया समीकरण है: $\frac{2E_{\text{eq}}}{r_{\text{eq}}} = \frac{5}{1} + \frac{8}{2} + \frac{E_{3N}}{3} = 9 + \frac{E_{3N}}{3} = \frac{27 + E_{3N}}{3}$.
चूंकि $\frac{E_{\text{eq}}}{r_{\text{eq}}} = \frac{37}{3}$,इसलिए $\frac{2E_{\text{eq}}}{r_{\text{eq}}} = \frac{74}{3}$.
दोनों व्यंजकों की तुलना करने पर: $\frac{27 + E_{3N}}{3} = \frac{74}{3}$.
$27 + E_{3N} = 74$.
$E_{3N} = 74 - 27 = 47 \ V$.

(D) परिपथ में दो समानांतर शाखाएँ हैं, जिनमें से प्रत्येक में तीन आदर्श बैटरियाँ श्रेणीक्रम में जुड़ी हुई हैं।
प्रत्येक शाखा का समतुल्य emf $E_{eq} = 3 \times 20 \, V = 60 \, V$ है।
चूंकि दोनों शाखाएँ समानांतर में जुड़ी हैं, इसलिए बैटरी संयोजन का कुल समतुल्य emf $E_{total} = 60 \, V$ ही रहेगा।
चूंकि बैटरियाँ आदर्श हैं, इसलिए उनका आंतरिक प्रतिरोध शून्य है।
अतः, $R = 4 \, \Omega$ के बाहरी प्रतिरोध से होकर बहने वाली धारा $i$ ओम के नियम के अनुसार होगी:
$i = \frac{E_{total}}{R} = \frac{60 \, V}{4 \, \Omega} = 15 \, A$.

(B) समानांतर क्रम में जुड़ी दो बैटरियों का तुल्य emf $(E_{eq})$ सूत्र $E_{eq} = \frac{E_1/r_1 + E_2/r_2}{1/r_1 + 1/r_2}$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ, $E_1 = 18 \, V$, $r_1 = 3 \, \Omega$, $E_2 = 10 \, V$, और $r_2 = 1 \, \Omega$ है।
चूंकि बैटरियां विपरीत ध्रुवता में जुड़ी हैं (जैसा कि चित्र में दिखाया गया है), हम $E_2 = -10 \, V$ लेंगे।
$E_{eq} = \frac{18/3 + (-10)/1}{1/3 + 1/1} = \frac{6 - 10}{4/3} = \frac{-4}{4/3} = -3 \, V$.
तुल्य आंतरिक प्रतिरोध $r_{eq} = \frac{r_1 r_2}{r_1 + r_2} = \frac{3 \times 1}{3 + 1} = 0.75 \, \Omega$ है।
परिपथ में प्रवाहित धारा $i = \frac{18 - 10}{3 + 1} = \frac{8}{4} = 2 \, A$ है।
$18 \, V$ की बैटरी के सिरों पर विभवांतर $V = E_1 - i r_1 = 18 - (2 \times 3) = 18 - 6 = 12 \, V$ है।
$10 \, V$ की बैटरी के सिरों पर विभवांतर $V = E_2 + i r_2 = 10 + (2 \times 1) = 12 \, V$ है।
अतः, वोल्टमीटर का पाठ्यांक $12 \, V$ है।

(D) मान लीजिए कि $12$-सेल बैटरी में गलत तरीके से जुड़े सेलों की संख्या $m$ है।
प्रत्येक गलत तरीके से जुड़ा सेल एक सही तरीके से जुड़े सेल के emf को रद्द कर देता है।
अतः,$12$-सेल बैटरी का प्रभावी emf $E_{12} = (12 - m)E - mE = (12 - 2m)E$ है।
जब $12$-सेल बैटरी और $2$-सेल बैटरी ($2E$ emf) एक-दूसरे की सहायता करती हैं,तो कुल emf $E_{total} = (12 - 2m)E + 2E = (14 - 2m)E$ होता है।
धारा $i_1 = \frac{(14 - 2m)E}{R} = 3 \text{ A}$ ...$(i)$
जब वे एक-दूसरे का विरोध करती हैं,तो कुल emf $E_{total} = (12 - 2m)E - 2E = (10 - 2m)E$ होता है।
धारा $i_2 = \frac{(10 - 2m)E}{R} = 2 \text{ A}$ ...(ii)
समीकरण $(i)$ को (ii) से विभाजित करने पर:
$\frac{3}{2} = \frac{14 - 2m}{10 - 2m}$
$3(10 - 2m) = 2(14 - 2m)$
$30 - 6m = 28 - 4m$
$2 = 2m$
$m = 1$
अतः,गलत तरीके से जुड़े सेलों की संख्या $1$ है।

(A) बाहरी प्रतिरोध $R$ के सिरों पर टर्मिनल वोल्टेज $V_R$ को निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$V_R = \frac{E}{(R + r)} \times R$
अंश और हर को $R$ से विभाजित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$V_R = \frac{E}{(1 + r/R)}$
बैटरी के एक स्थिर वोल्टेज स्रोत के रूप में कार्य करने के लिए,बाहरी लोड $R$ में बदलाव के बावजूद टर्मिनल वोल्टेज $V_R$ को emf $E$ के लगभग बराबर होना चाहिए।
यह स्थिति तब पूरी होती है जब $r/R$ बहुत छोटा होता है,जिसका अर्थ है $r << R$।

(A) जब $E$ emf वाले चार सेल श्रेणीक्रम में जुड़े होते हैं,तो कुल emf $4E$ होता है।
यदि एक सेल उल्टा जुड़ा हो,तो उसका emf दूसरों का विरोध करता है।
इसलिए,परिपथ का प्रभावी emf $E_{eff} = E + E + E - E = 2E$ होगा।
श्रेणीक्रम में चार सेलों का कुल आंतरिक प्रतिरोध $r_{total} = r + r + r + r = 4r$ है।
परिपथ का कुल प्रतिरोध $R_{total} = 4r + R$ है।
ओम के नियम का उपयोग करते हुए,बाहरी परिपथ में धारा $I = \frac{E_{eff}}{R_{total}} = \frac{2E}{4r + R}$ होगी।

(B) बैटरियां समानांतर क्रम में जुड़ी हुई हैं। इस संयोजन का तुल्य emf $E_{eq}$ और तुल्य आंतरिक प्रतिरोध $r_{eq}$ निम्न प्रकार से दिया जाता है:
$E_{eq} = \frac{\frac{E_{1}}{r_{1}} + \frac{E_{2}}{r_{2}} + \frac{E_{3}}{r_{3}}}{\frac{1}{r_{1}} + \frac{1}{r_{2}} + \frac{1}{r_{3}}}$
$\frac{1}{r_{eq}} = \frac{1}{r_{1}} + \frac{1}{r_{2}} + \frac{1}{r_{3}}$
यहाँ $E_{1} = 1 \text{ V}, r_{1} = 1 \Omega$; $E_{2} = 2 \text{ V}, r_{2} = 2 \Omega$; $E_{3} = 3 \text{ V}, r_{3} = 1 \Omega$ दिया गया है।
सबसे पहले, तुल्य आंतरिक प्रतिरोध की गणना करें:
$\frac{1}{r_{eq}} = \frac{1}{1} + \frac{1}{2} + \frac{1}{1} = 1 + 0.5 + 1 = 2.5 \Omega^{-1} = \frac{5}{2} \Omega^{-1}$
$r_{eq} = \frac{2}{5} \Omega = 0.4 \Omega$
अब, तुल्य emf की गणना करें:
$E_{eq} = r_{eq} \times \left( \frac{E_{1}}{r_{1}} + \frac{E_{2}}{r_{2}} + \frac{E_{3}}{r_{3}} \right)$
$E_{eq} = 0.4 \times \left( \frac{1}{1} + \frac{2}{2} + \frac{3}{1} \right) = 0.4 \times (1 + 1 + 3) = 0.4 \times 5 = 2.0 \text{ V}$
अतः, बिंदु $P$ और $Q$ के बीच विभवांतर $2.0 \text{ V}$ है।

(A) $E$ emf और $r$ आंतरिक प्रतिरोध वाले दो समान सेल जब समानांतर में जुड़े होते हैं,तो तुल्य emf $E_{eq} = E$ और तुल्य आंतरिक प्रतिरोध $r_{eq} = r / 2$ होता है।
बाहरी प्रतिरोध $R$ से प्रवाहित धारा $I = \frac{E}{R + r_{eq}} = \frac{E}{R + r/2} = \frac{2E}{2R + r}$ है।
बाहरी प्रतिरोध $R$ पर विकसित शक्ति $P = I^2 R = \left( \frac{2E}{2R + r} \right)^2 R$ है।
शक्ति को अधिकतम करने के लिए,हम $\frac{dP}{dR} = 0$ रखते हैं,जो $R = r_{eq}$ की स्थिति देता है।
$r_{eq} = r / 2$ रखने पर,हमें $R = r / 2$ प्राप्त होता है।

(C) श्रेणीक्रम में जुड़े दो सेलों का कुल e.m.f. $E + E = 2E$ है।
परिपथ का कुल प्रतिरोध $R + r_1 + r_2$ है।
परिपथ में बहने वाली धारा $I = \frac{2E}{R + r_1 + r_2}$ द्वारा दी जाती है।
पहले सेल (जिसका आंतरिक प्रतिरोध $r_1$ है) के सिरों पर विभवांतर $V = E - Ir_1$ है।
हमें दिया गया है कि पहले सेल के सिरों पर विभवांतर शून्य है,इसलिए $E - Ir_1 = 0$,जिसका अर्थ है $E = Ir_1$।
इस समीकरण में $I$ का मान रखने पर:
$E = \left( \frac{2E}{R + r_1 + r_2} \right) r_1$
$1 = \frac{2r_1}{R + r_1 + r_2}$
$R + r_1 + r_2 = 2r_1$
$R = 2r_1 - r_1 - r_2$
$R = r_1 - r_2$

(D) जब दो सेलों को श्रेणीक्रम में जोड़ा जाता है,तो कुल $EMF$ $2E$ होता है और कुल आंतरिक प्रतिरोध $2r$ होता है। $R = 6 \ \Omega$ के बाहरी प्रतिरोध से गुजरने वाली धारा $i_{1}$ इस प्रकार है: $i_{1} = \frac{2E}{R + 2r} = \frac{2E}{6 + 2r}$.
जब दो सेलों को समांतर क्रम में जोड़ा जाता है,तो कुल $EMF$ $E$ रहता है और कुल आंतरिक प्रतिरोध $\frac{r}{2}$ होता है। $R = 6 \ \Omega$ के बाहरी प्रतिरोध से गुजरने वाली धारा $i_{2}$ इस प्रकार है: $i_{2} = \frac{E}{R + \frac{r}{2}} = \frac{E}{6 + \frac{r}{2}}$.
यह दिया गया है कि $i_{1} = i_{2}$,इसलिए: $\frac{2E}{6 + 2r} = \frac{E}{6 + \frac{r}{2}}$.
दोनों पक्षों को $E$ से विभाजित करने और सरल करने पर: $\frac{2}{6 + 2r} = \frac{1}{6 + \frac{r}{2}}$.
तिर्यक गुणा करने पर: $2(6 + \frac{r}{2}) = 6 + 2r$.
$12 + r = 6 + 2r$.
$r$ के लिए हल करने पर: $r = 12 - 6 = 6 \ \Omega$.

(A) माना $E$ विद्युत वाहक बल (emf) है और $r$ सेल का आंतरिक प्रतिरोध है।
पूर्ण परिपथ के लिए ओम के नियम के अनुसार,$E = I(R + r)$ होता है।
प्रथम स्थिति के लिए: $E = 0.25(5 + r)$।
द्वितीय स्थिति के लिए: $E = 0.5(2 + r)$।
चूंकि emf $E$ स्थिर है,इसलिए हम दोनों व्यंजकों को बराबर करते हैं:
$0.25(5 + r) = 0.5(2 + r)$
दोनों पक्षों को $0.25$ से विभाजित करने पर:
$5 + r = 2(2 + r)$
$5 + r = 4 + 2r$
$r = 5 - 4 = 1\text{ }\Omega$।
अतः,सेल का आंतरिक प्रतिरोध $1\text{ }\Omega$ है।

(C) समानांतर क्रम में जुड़े सेलों के लिए,तुल्य emf $E_{eq}$ और तुल्य आंतरिक प्रतिरोध $r_{eq}$ इस प्रकार दिए जाते हैं:
$E_{eq} = \frac{E_1/r_1 + E_2/r_2}{1/r_1 + 1/r_2}$ और $r_{eq} = \frac{r_1 r_2}{r_1 + r_2}$.
दिया गया है $E_1 = 1$ $V$,$r_1 = 2 \Omega$,$E_2 = 2$ $V$,$r_2 = 1 \Omega$.
$E_{eq} = \frac{1/2 + 2/1}{1/2 + 1/1} = \frac{2.5}{1.5} = \frac{5}{3}$ $V$.
$r_{eq} = \frac{2 \times 1}{2 + 1} = \frac{2}{3} \Omega$.
बाह्य प्रतिरोध $R$ से प्रवाहित धारा $I = 1$ $A$ है,अतः $I = \frac{E_{eq}}{R + r_{eq}} \Rightarrow 1 = \frac{5/3}{R + 2/3}$.
$R + 2/3 = 5/3 \Rightarrow R = 1 \Omega$.
यदि एक सेल की ध्रुवता उलट दी जाए,तो नया तुल्य emf $E'_{eq} = \frac{E_1/r_1 - E_2/r_2}{1/r_1 + 1/r_2} = \frac{0.5 - 2}{1.5} = \frac{-1.5}{1.5} = -1$ $V$.
नई धारा का परिमाण $I' = \frac{|E'_{eq}|}{R + r_{eq}} = \frac{1}{1 + 2/3} = \frac{1}{5/3} = \frac{3}{5}$ $A$.
$I' = \frac{3}{5}$ $A$ की तुलना $\frac{\alpha}{5}$ $A$ से करने पर,हमें $\alpha = 3$ प्राप्त होता है।