X-Rays Questions in Hindi

(D) $K_{\alpha}$ $X$-किरणों के लिए मोजले के नियम के अनुसार: $\frac{1}{\lambda} = R(Z-1)^2 \left( \frac{1}{1^2} - \frac{1}{2^2} \right) = \frac{3R}{4}(Z-1)^2$.
धातु $A$ के लिए: $\frac{1875R}{4} = \frac{3R}{4}(Z_A-1)^2 \implies (Z_A-1)^2 = 625 \implies Z_A-1 = 25 \implies Z_A = 26$.
धातु $B$ के लिए: $675R = \frac{3R}{4}(Z_B-1)^2 \implies (Z_B-1)^2 = 900 \implies Z_B-1 = 30 \implies Z_B = 31$.
$A$ और $B$ के बीच स्थित तत्वों की संख्या $Z_B - Z_A - 1 = 31 - 26 - 1 = 4$ है।

(B) $V$ विभव से त्वरित इलेक्ट्रॉन की डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $\lambda_1 = \frac{h}{p} = \frac{h}{\sqrt{2meV}}$ द्वारा दी जाती है।
उत्पन्न $X$-किरणों की न्यूनतम तरंगदैर्ध्य (कट-ऑफ तरंगदैर्ध्य) $\lambda_2 = \frac{hc}{eV}$ है।
तरंगदैर्ध्य का अनुपात $\frac{\lambda_1}{\lambda_2} = \frac{h}{\sqrt{2meV}} \times \frac{eV}{hc} = \frac{1}{c} \sqrt{\frac{eV}{2m}} = \frac{1}{c} \sqrt{\frac{V}{2} \cdot \frac{e}{m}}$ है।
दिए गए मानों को रखने पर: $V = 10^4\, V$,$\frac{e}{m} = 1.8 \times 10^{11}\, C\, kg^{-1}$,और $c = 3 \times 10^8\, m/s$.
$\frac{\lambda_1}{\lambda_2} = \frac{1}{3 \times 10^8} \sqrt{\frac{10^4}{2} \times 1.8 \times 10^{11}} = \frac{1}{3 \times 10^8} \sqrt{0.9 \times 10^{15}} = \frac{1}{3 \times 10^8} \sqrt{9 \times 10^{14}} = \frac{3 \times 10^7}{3 \times 10^8} = 0.1$.

(D) $X$-किरणों की तरंगदैर्ध्य ठोस क्रिस्टलों में परमाणुओं के बीच की दूरी $(10^{-10} \ m)$ के क्रम की होती है।
चूंकि $X$-किरणों की तरंगदैर्ध्य अंतर-परमाणु दूरी के तुलनीय होती है,इसलिए जब वे क्रिस्टल जालक के साथ परस्पर क्रिया करती हैं,तो उनका विवर्तन (diffraction) होता है।
इसलिए,ठोसों की संरचना की जांच के लिए $X$-किरणें सबसे उपयुक्त विद्युत चुम्बकीय तरंगें हैं।

(C) $X$-रे ट्यूब में उत्पन्न न्यूनतम तरंगदैर्ध्य $(\lambda_{\min})$ का सूत्र है: $\lambda_{\min} = \frac{hc}{eV} = \frac{12400}{V(\text{volts में})} \mathring{A}$ (लगभग)।
दिए गए विभवांतर $V = 50\, kV = 50,000\, V$ का उपयोग करने पर:
$\lambda_{\min} = \frac{12375}{50,000} \mathring{A}$.
$\lambda_{\min} = 0.2475 \mathring{A}$.
दिए गए विकल्पों के अनुसार निकटतम मान लेने पर,$\lambda_{\min} \approx 0.25 \mathring{A}$ प्राप्त होता है।

(D) अभिलक्षणिक $X$-किरणें तब उत्पन्न होती हैं जब किसी परमाणु की आंतरिक कक्षा (जैसे $K$-शेल) में बनी रिक्ति को बाहरी कक्षा का इलेक्ट्रॉन भरता है।
जब एक उच्च-ऊर्जा इलेक्ट्रॉन परमाणु से टकराता है,तो वह आंतरिक कक्षा के इलेक्ट्रॉन को बाहर निकाल सकता है,जिससे एक रिक्ति बन जाती है।
इसके बाद उच्च ऊर्जा स्तर का इलेक्ट्रॉन इस रिक्ति को भरने के लिए संक्रमण करता है,और दोनों ऊर्जा स्तरों के अंतर के बराबर ऊर्जा वाला फोटॉन उत्सर्जित करता है।
यह प्रक्रिया मौलिक रूप से परमाणु के भीतर इलेक्ट्रॉनिक संक्रमण से संबंधित है,जो $K$-इलेक्ट्रॉन कैप्चर की प्रक्रिया में भी शामिल है,जहाँ एक नाभिक आंतरिक कक्षा के इलेक्ट्रॉन को पकड़ लेता है,जिससे एक रिक्ति बनती है जिसे बाद में बाहरी कक्षा के इलेक्ट्रॉन द्वारा भरा जाता है,जिसके परिणामस्वरूप अभिलक्षणिक $X$-किरणों का उत्सर्जन होता है।

(A) विभवांतर $V$ के माध्यम से त्वरित इलेक्ट्रॉन की ऊर्जा $E = eV$ होती है।
न्यूनतम तरंगदैर्ध्य (अधिकतम ऊर्जा वाले फोटॉन) के लिए,इलेक्ट्रॉन की संपूर्ण गतिज ऊर्जा एक फोटॉन में परिवर्तित हो जाती है: $E = \frac{hc}{\lambda_{\min}}$.
दोनों को बराबर करने पर: $eV = \frac{hc}{\lambda_{\min}}$,जिससे $\lambda_{\min} = \frac{hc}{eV}$ प्राप्त होता है।
यहाँ $V = 20 \, kV = 20 \times 10^3 \, V$ दिया गया है।
स्थिरांक $hc \approx 12400 \, eV \cdot \mathring{A}$ का उपयोग करने पर:
$\lambda_{\min} = \frac{12400 \, eV \cdot \mathring{A}}{20 \times 10^3 \, eV} = \frac{12400}{20000} \, \mathring{A} = 0.62 \, \mathring{A}$.

(D) सबसे अधिक ऊर्जा वाली $X$-किरणें न्यूनतम तरंगदैर्ध्य $(\lambda_{\min})$ के अनुरूप होती हैं,जो तब उत्पन्न होती हैं जब इलेक्ट्रॉन की संपूर्ण गतिज ऊर्जा एक फोटॉन में परिवर्तित हो जाती है।
सूत्र का उपयोग करते हुए: $\lambda_{\min} = \frac{hc}{eV}$.
दिया गया है: $V = 40 \ keV = 40 \times 10^3 \ V$,$h = 6.63 \times 10^{-34} \ J \cdot s$,$c = 3 \times 10^8 \ m/s$,और $e = 1.6 \times 10^{-19} \ C$.
वैकल्पिक रूप से,शॉर्टकट का उपयोग करते हुए: $\lambda_{\min} \approx \frac{12400 \ \mathring{A} \cdot eV}{E \text{ (in } eV)} = \frac{12400}{40000} \ \mathring{A}$.
$\lambda_{\min} = 0.31 \ \mathring{A}$.

(A) सभी विद्युत चुम्बकीय तरंगें निर्वात में प्रकाश की गति $(c \approx 3 \times 10^8 \ m/s)$ से यात्रा करती हैं।
चूंकि $X-$किरणें विद्युत चुम्बकीय स्पेक्ट्रम का एक हिस्सा हैं,इसलिए वे विद्युत चुम्बकीय तरंगें हैं।
अतः,कथन सही है क्योंकि कारण उनकी विद्युत चुम्बकीय तरंग प्रकृति की सही पहचान करता है,जो उनकी गति को निर्धारित करती है।

(B) $X$-रे फोटॉन की ऊर्जा $E = \frac{hc}{\lambda}$ द्वारा दी जाती है।
न्यूनतम तरंगदैर्ध्य $\lambda_{min}$ के लिए,त्वरक वोल्टेज $V$ का मान $eV = \frac{hc}{\lambda_{min}}$ से प्राप्त होता है।
मान रखने पर: $h = 6.63 \times 10^{-34} \, J \cdot s$,$c = 3 \times 10^8 \, m/s$,$e = 1.6 \times 10^{-19} \, C$,और $\lambda = 10^{-11} \, m$:
$V = \frac{6.63 \times 10^{-34} \times 3 \times 10^8}{1.6 \times 10^{-19} \times 10^{-11}}$
$V = \frac{19.89 \times 10^{-26}}{1.6 \times 10^{-30}} = 12.43 \times 10^4 \, V = 124.3 \, kV$.
अतः,न्यूनतम तरंगदैर्ध्य प्राप्त करने के लिए त्वरक वोल्टेज कम से कम $124.2 \, kV$ होना चाहिए।

(B) फोटॉन की ऊर्जा का सूत्र $E = \frac{hc}{\lambda}$ है।
प्रथम फोटॉन के लिए:
$E_1 = 2.5\,\text{eV}$ और $\lambda_1 = 5000\,\mathring{A}$.
अतः,$2.5 = \frac{hc}{5000\,\mathring{A}} \implies hc = 2.5 \times 5000\,\text{eV} \cdot \mathring{A}$.
$X$-रे फोटॉन के लिए:
$E_2 = \frac{hc}{\lambda_2}$ जहाँ $\lambda_2 = 1\,\mathring{A}$.
$hc$ का मान रखने पर:
$E_2 = \frac{2.5 \times 5000}{1} = 12500\,\text{eV}$.
इस प्रकार,ऊर्जा $2.5 \times 5000\,\text{eV}$ होगी।

(D) कथन गलत है क्योंकि मृदु और कठोर $X-$ किरणें केवल आवृत्ति में भिन्न होती हैं,लेकिन दोनों निर्वात में समान वेग से,यानी प्रकाश की गति $(c \approx 3 \times 10^8 \ m/s)$ से यात्रा करती हैं।
कारण सही है क्योंकि कठोर $X-$ किरणों की ऊर्जा और आवृत्ति अधिक होती है,जो उन्हें मृदु $X-$ किरणों की तुलना में अधिक भेदन क्षमता प्रदान करती है।
अतः,कथन गलत है और कारण सही है।

(B) मोज़ले के नियम के अनुसार,परमाणु में इलेक्ट्रॉनिक संक्रमण के दौरान उत्सर्जित फोटॉन की ऊर्जा $\Delta E = Rch(Z-1)^2 \left( \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right)$ द्वारा दी जाती है।
$K_{\alpha}$ रेखा के लिए,संक्रमण $n_2 = 2$ से $n_1 = 1$ है। अतः,$\Delta E_{\alpha} \propto \left( \frac{1}{1^2} - \frac{1}{2^2} \right) = \left( 1 - \frac{1}{4} \right) = \frac{3}{4} = 0.75$.
$K_{\beta}$ रेखा के लिए,संक्रमण $n_2 = 3$ से $n_1 = 1$ है। अतः,$\Delta E_{\beta} \propto \left( \frac{1}{1^2} - \frac{1}{3^2} \right) = \left( 1 - \frac{1}{9} \right) = \frac{8}{9} \approx 0.889$.
चूंकि $\Delta E_{\alpha} < \Delta E_{\beta}$ है,इसलिए अनुपात $\frac{\Delta E_{\alpha}}{\Delta E_{\beta}}$ का मान $1$ से कम है।

(N/A) $X$-किरणों की अधिकतम आवृत्ति तब उत्पन्न होती है जब इलेक्ट्रॉन की संपूर्ण गतिज ऊर्जा एक फोटॉन में परिवर्तित हो जाती है। फोटॉन की ऊर्जा $E = h \nu_{\max} = eV$ द्वारा दी जाती है।
अतः,$\nu_{\max} = \frac{eV}{h}$.
मान रखने पर: $\nu_{\max} = \frac{(1.6 \times 10^{-19} \; C) \times (30 \times 10^3 \; V)}{6.63 \times 10^{-34} \; J \cdot s} = 7.24 \times 10^{18} \; Hz$.
$(b)$ न्यूनतम तरंगदैर्घ्य और अधिकतम आवृत्ति के बीच संबंध $\lambda_{\min} = \frac{c}{\nu_{\max}}$ है।
मान रखने पर: $\lambda_{\min} = \frac{3 \times 10^8 \; m/s}{7.24 \times 10^{18} \; Hz} \approx 0.0414 \times 10^{-9} \; m = 0.0414 \; nm$.

(N/A) $X$-रे ट्यूब द्वारा उत्पन्न तरंगदैर्ध्य $\lambda = 0.45\,\mathring{A} = 0.45 \times 10^{-10}\,\text{m}$ है।
प्लांक नियतांक,$h = 6.626 \times 10^{-34}\,\text{J s}$.
प्रकाश की गति,$c = 3 \times 10^{8}\,\text{m/s}$.
फोटॉन की अधिकतम ऊर्जा $E = \frac{hc}{\lambda}$ द्वारा दी जाती है।
इलेक्ट्रॉन-वोल्ट $(eV)$ में परिवर्तित करने पर: $E = \frac{6.626 \times 10^{-34} \times 3 \times 10^{8}}{0.45 \times 10^{-10} \times 1.602 \times 10^{-19}}\,\text{eV} \approx 27.6 \times 10^{3}\,\text{eV} = 27.6\,\text{keV}$.
अतः,$X$-रे फोटॉन की अधिकतम ऊर्जा $27.6\,\text{keV}$ है।
$(b)$ त्वरित वोल्टेज $X$-किरणें उत्पन्न करने के लिए इलेक्ट्रॉनों को गतिज ऊर्जा प्रदान करता है। $27.6\,\text{keV}$ का $X$-रे फोटॉन प्राप्त करने के लिए,आपतित इलेक्ट्रॉनों के पास कम से कम $27.6\,\text{keV}$ की गतिज ऊर्जा होनी चाहिए।
इसलिए,इन $X$-किरणों को उत्पन्न करने के लिए $30\,\text{kV}$ के क्रम के त्वरित वोल्टेज की आवश्यकता होती है।

(A) $X-$किरणों की खोज जर्मन भौतिक विज्ञानी विल्हेम कॉनराड रोंटजन द्वारा $1895$ में की गई थी। उन्होंने देखा कि जब उच्च-ऊर्जा वाले इलेक्ट्रॉन एक वैक्यूम ट्यूब में धातु के लक्ष्य से टकराते हैं तो ये किरणें उत्पन्न होती हैं। इस अभूतपूर्व खोज के लिए,उन्हें $1901$ में भौतिकी में पहला नोबेल पुरस्कार प्रदान किया गया था।

(A) $X$-किरणें तब उत्पन्न होती हैं जब उच्च ऊर्जा वाले इलेक्ट्रॉनों को धातु के लक्ष्य पर बमबारी की जाती है। इनकी तरंगदैर्ध्य $10^{-8} \text{ m}$ से $10^{-13} \text{ m}$ के बीच होती है।
$X$-किरणों के उपयोग:
$(i)$ हड्डियों के फ्रैक्चर का पता लगाने और कुछ प्रकार के कैंसर के इलाज के लिए चिकित्सा विज्ञान में उपयोग किया जाता है।
$(ii)$ धातु के घटकों में दरारें और खामियों का पता लगाने के लिए औद्योगिक अनुप्रयोगों में उपयोग किया जाता है।
गामा किरणें परमाणु प्रक्रियाओं के दौरान और कुछ रेडियोधर्मी नाभिकों से उत्सर्जित होती हैं। विद्युत चुम्बकीय स्पेक्ट्रम में इनकी आवृत्ति सबसे अधिक होती है,जिनकी तरंगदैर्ध्य $10^{-10} \text{ m}$ से $10^{-14} \text{ m}$ के बीच होती है।
गामा किरणों के उपयोग:
$(i)$ कैंसर कोशिकाओं को नष्ट करने (रेडियोथेरेपी) के लिए चिकित्सा विज्ञान में उपयोग किया जाता है।
$(ii)$ खाद्य उद्योग में नसबंदी और बैक्टीरिया को मारने के लिए उपयोग किया जाता है।

(A) $X-$किरणें तब उत्पन्न होती हैं जब उच्च विभवांतर द्वारा त्वरित उच्च-ऊर्जा इलेक्ट्रॉन उच्च परमाणु क्रमांक वाली धातु (जैसे टंगस्टन) के लक्ष्य से टकराते हैं।
जब ये तीव्र गति वाले इलेक्ट्रॉन लक्ष्य के परमाणुओं के साथ परस्पर क्रिया करते हैं,तो वे तीव्र मंदन (ब्रेम्सट्रालुंग) का अनुभव करते हैं या आंतरिक कोश के इलेक्ट्रॉनों को बाहर निकाल देते हैं,जिससे होने वाले संक्रमण के कारण उच्च-आवृत्ति वाले विद्युत चुम्बकीय विकिरण उत्सर्जित होते हैं,जिन्हें $X-$किरणें कहा जाता है।

(A) $X$-रे ट्यूब में उत्पन्न $X$-किरणों की न्यूनतम तरंगदैर्ध्य (कट-ऑफ तरंगदैर्ध्य) सूत्र द्वारा दी जाती है: $\lambda_{\min} = \frac{hc}{eV}$.
दिया गया है कि त्वरक विभव $V = 1.24 \times 10^{6} \, V$,हम सरल संबंध का उपयोग कर सकते हैं: $\lambda_{\min} \approx \frac{1240}{V \text{ (kV में)}} \, nm$.
यहाँ,$V = 1.24 \times 10^{6} \, V = 1240 \times 10^{3} \, kV$.
मान रखने पर: $\lambda_{\min} = \frac{1240}{1.24 \times 10^{6}} \, nm = 10^{-3} \, nm$.

(C) $X$-ray फोटॉन की ऊर्जा $E = \frac{hc}{\lambda}$ द्वारा दी जाती है।
प्रश्न के अनुसार,समान ऊर्जा वाले काल्पनिक कण का द्रव्यमान $m$,$E = mc^2$ द्वारा प्राप्त होता है।
दोनों व्यंजकों की तुलना करने पर: $\frac{hc}{\lambda} = mc^2$.
$m$ के लिए हल करने पर: $m = \frac{h}{c\lambda}$.
यहाँ $\lambda = 10 \, \mathring{A} = 10 \times 10^{-10} \, \text{m} = 10^{-9} \, \text{m}$ दिया गया है।
$c = 3 \times 10^8 \, \text{m/s}$ का मान रखने पर:
$m = \frac{h}{(3 \times 10^8) \times 10^{-9}} = \frac{h}{3 \times 10^{-1}} = \frac{h}{0.3} = \frac{10h}{3}$.
इसकी तुलना दिए गए व्यंजक $\frac{x}{3} h$ से करने पर,हमें $x = 10$ प्राप्त होता है।

(D) इलेक्ट्रॉन का दे-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $\lambda = \frac{h}{p}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $p$ इलेक्ट्रॉन का संवेग है।
इलेक्ट्रॉन की गतिज ऊर्जा $K = \frac{p^2}{2m}$ है।
$p = \frac{h}{\lambda}$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $K = \frac{(h/\lambda)^2}{2m} = \frac{h^2}{2m\lambda^2}$ प्राप्त होता है।
$X$-रे ट्यूब में,उत्सर्जित $X$-रे फोटॉन की अधिकतम ऊर्जा (जो कट-ऑफ तरंगदैर्ध्य $\lambda_c$ के अनुरूप है) आपतित इलेक्ट्रॉन की गतिज ऊर्जा के बराबर होती है: $K = \frac{hc}{\lambda_c}$.
$K$ के लिए दोनों व्यंजकों की तुलना करने पर: $\frac{h^2}{2m\lambda^2} = \frac{hc}{\lambda_c}$.
$\lambda_c$ के लिए हल करने पर: $\lambda_c = \frac{hc \cdot 2m\lambda^2}{h^2} = \frac{2mc\lambda^2}{h}$.

(D) $K_{\alpha}$ $X$-किरण फोटॉन की ऊर्जा $K$ कोश और $L$ कोश के बीच ऊर्जा के अंतर द्वारा दी जाती है: $E_{K_{\alpha}} = E_{K} - E_{L}$.
फोटॉन की ऊर्जा की गणना $E_{K_{\alpha}} = \frac{hc}{\lambda}$ के रूप में की जाती है।
दिया गया है $h = 4.14 \times 10^{-15} \, eVs$ और $c = 3 \times 10^{8} \, ms^{-1}$,इसलिए $hc = 12.42 \times 10^{-7} \, eV \cdot m$.
तरंगदैर्ध्य $\lambda = 0.071 \times 10^{-9} \, m$ रखने पर:
$E_{K_{\alpha}} = \frac{12.42 \times 10^{-7}}{0.071 \times 10^{-9}} \, eV \approx 17493 \, eV \approx 17.5 \, keV$.
हमें $K$ इलेक्ट्रॉन के निकल जाने पर परमाणु की ऊर्जा $E_{K} = 27.5 \, keV$ दी गई है।
संबंध $E_{L} = E_{K} - E_{K_{\alpha}}$ का उपयोग करने पर:
$E_{L} = 27.5 \, keV - 17.5 \, keV = 10 \, keV$.

(D) $X$-ray स्पेक्ट्रम का निरंतर भाग तब उत्पन्न होता है जब एक उच्च-गति वाला इलेक्ट्रॉन (जिसे अक्सर प्रक्षेप्य या आपतित इलेक्ट्रॉन कहा जाता है) लक्ष्य परमाणु के नाभिक के विद्युत क्षेत्र द्वारा धीमा हो जाता है। इस प्रक्रिया को ब्रेमस्ट्रालांग (Bremsstrahlung) या ब्रेकिंग रेडिएशन के रूप में जाना जाता है।
इस अंतःक्रिया के दौरान,इलेक्ट्रॉन अपनी गतिज ऊर्जा खो देता है,जो $X$-ray फोटॉन के रूप में उत्सर्जित होती है। उत्सर्जित फोटॉन की ऊर्जा $\Delta K = hf$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $\Delta K$ इलेक्ट्रॉन की गतिज ऊर्जा में परिवर्तन है।
यह प्रक्रिया अनिवार्य रूप से प्रकाश-विद्युत प्रभाव (photoelectric effect) के विपरीत है। प्रकाश-विद्युत प्रभाव में,किसी पदार्थ से इलेक्ट्रॉन को बाहर निकालने के लिए फोटॉन का अवशोषण होता है। निरंतर $X$-ray के उत्पादन में,फोटॉन उत्सर्जित करने के लिए इलेक्ट्रॉन को धीमा किया जाता है। इसलिए,इसे व्युत्क्रम प्रकाश-विद्युत प्रभाव कहा जाता है।

(C) $X$-किरणें आयनकारी विकिरण होती हैं। जब इलेक्ट्रोस्कोप को $X$-किरणों के संपर्क में लाया जाता है,तो वे इलेक्ट्रोस्कोप के अंदर मौजूद हवा के अणुओं का आयनीकरण कर देती हैं।
ये आयन (धनात्मक और ऋणात्मक) आवेशित गोल्ड लीफ (पत्तियों) की ओर आकर्षित होते हैं।
पत्तियों पर मौजूद आवेश के विपरीत ध्रुवता वाले आवेश,पत्तियों के आवेश को उदासीन (neutralize) कर देते हैं।
जैसे-जैसे पत्तियों पर कुल आवेश कम होता है,उनके बीच का स्थिर-वैद्युत प्रतिकर्षण कम हो जाता है,जिससे पत्तियां पिचक जाती हैं।

(A) कॉम्पटन विस्थापन $\Delta \lambda$ को सूत्र $\Delta \lambda = \frac{h}{m_0 c} (1 - \cos \phi)$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ, कॉम्पटन तरंगदैर्ध्य $\lambda_c = \frac{h}{m_0 c} \approx 2.43 \times 10^{-12} \, m = 2.43 \, pm$ है।
प्रकीर्णन कोण $\phi = 85^{\circ}$ है।
मान रखने पर: $\Delta \lambda = 2.43 \times (1 - \cos 85^{\circ})$.
चूंकि $\cos 85^{\circ} \approx 0.087$, इसलिए $\Delta \lambda = 2.43 \times (1 - 0.087) = 2.43 \times 0.913 \approx 2.218 \, pm$.
दिए गए विकल्पों के अनुसार निकटतम मान लेने पर, कॉम्पटन विस्थापन लगभग $2.2 \, pm$ है।

(C) $X$-किरणों की न्यूनतम तरंगदैर्ध्य (कट-ऑफ तरंगदैर्ध्य) का सूत्र है: $\lambda_{\min} = \frac{hc}{eV} = \frac{12400}{V} \text{ Å}$।
इस संबंध से हम देख सकते हैं कि $\lambda_{\min} \propto \frac{1}{V}$।
दिया गया है कि प्रारंभिक विभव $V$ है और प्रारंभिक तरंगदैर्ध्य $\lambda$ है, इसलिए $\lambda = \frac{k}{V}$ (जहाँ $k$ एक स्थिरांक है)।
जब विभव को बदलकर $V' = 2V$ कर दिया जाता है, तो नई न्यूनतम तरंगदैर्ध्य $\lambda'$ होगी:
$\lambda' = \frac{k}{V'} = \frac{k}{2V} = \frac{1}{2} \left( \frac{k}{V} \right) = \frac{\lambda}{2}$।

(C) $X$-रे ट्यूब द्वारा उत्पन्न न्यूनतम तरंगदैर्ध्य $(\lambda_{\min})$ डुआन-हंट नियम द्वारा दी जाती है:
$\lambda_{\min} = \frac{12400 \text{ } \mathring{A} \cdot V}{V}$
यहाँ $\lambda_{\min} = 0.45 \mathring{A}$ दिया गया है।
सूत्र में मान रखने पर:
$0.45 = \frac{12400}{V}$
$V = \frac{12400}{0.45}$
$V \approx 27555 \text{ } V$
दिए गए विकल्पों के साथ तुलना करने पर, निकटतम मान $27500 \text{ } V$ है।

(D) $X$-किरणें विद्युत चुम्बकीय तरंगें हैं जो संवेग और ऊर्जा वहन करती हैं।
$1$. जब $X$-किरणें किसी पदार्थ से टकराती हैं,तो वे विकिरण दबाव डालती हैं,जिसके परिणामस्वरूप पदार्थ पर बल लगता है।
$2$. वे अवशोषण या प्रकीर्णन प्रक्रियाओं के माध्यम से पदार्थ को ऊर्जा स्थानांतरित करती हैं।
$3$. प्रकाश-विद्युत प्रभाव के कारण,$X$-किरणें पदार्थ की सतह से इलेक्ट्रॉनों का उत्सर्जन करा सकती हैं।
अतः,दिए गए सभी कथन सही हैं।

(A) $X$-किरणों की भेदन क्षमता उनकी ऊर्जा के सीधे आनुपातिक होती है।
संबंध $E = eV$ के अनुसार,जहाँ $E$ $X$-किरण फोटॉन की ऊर्जा है,$e$ इलेक्ट्रॉन का आवेश है,और $V$ $X$-रे ट्यूब पर लगाया गया त्वरक विभव है।
जैसे-जैसे त्वरक विभव $V$ बढ़ता है,$X$-किरणों की ऊर्जा बढ़ती है,जिससे उनकी भेदन क्षमता में वृद्धि होती है।
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(B) कूलिज ट्यूब में उत्पन्न एक्स-रे की कट-ऑफ तरंगदैर्ध्य (जिसे न्यूनतम तरंगदैर्ध्य भी कहा जाता है) का सूत्र है: $\lambda_{\min} = \frac{hc}{eV} = \frac{12400}{V} \text{ Å}$.
इस संबंध से यह स्पष्ट है कि $\lambda_{\min} \propto \frac{1}{V}$.
यदि विभवांतर $V$ को दोगुना कर दिया जाए (अर्थात $V' = 2V$), तो नई कट-ऑफ तरंगदैर्ध्य $\lambda'_{\min}$ होगी:
$\lambda'_{\min} = \frac{12400}{2V} = \frac{1}{2} \left( \frac{12400}{V} \right) = \frac{1}{2} \lambda_{\min}$.
अतः, कट-ऑफ तरंगदैर्ध्य आधी हो जाती है।

(C) मोजले के नियम के अनुसार,अभिलक्षणिक $X$-किरणों की आवृत्ति $v$,$\sqrt{v} = a(Z - b)$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $Z$ परमाणु क्रमांक है और $b$ स्क्रीनिंग स्थिरांक है। $K_\alpha$ $X$-किरणों के लिए,$b = 1$ होता है।
प्रथम तत्व के लिए $Z_1 = 31$,आवृत्ति $v_1 = v$ है:
$\sqrt{v} = a(31 - 1) = 30a \quad \dots (i)$
दूसरे तत्व के लिए $Z_2 = 51$,मान लीजिए आवृत्ति $v_2$ है:
$\sqrt{v_2} = a(51 - 1) = 50a \quad \dots (ii)$
समीकरण $(ii)$ को समीकरण $(i)$ से विभाजित करने पर:
$\frac{\sqrt{v_2}}{\sqrt{v}} = \frac{50a}{30a} = \frac{5}{3}$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$\frac{v_2}{v} = \left(\frac{5}{3}\right)^2 = \frac{25}{9}$
अतः,$v_2 = \frac{25}{9} v$.

(C) $X$-ray ट्यूब द्वारा उत्पन्न $X$-ray स्पेक्ट्रम तरंगदैर्घ्य का एक सतत स्पेक्ट्रम होता है।
जब उच्च गति वाले इलेक्ट्रॉन लक्ष्य से टकराते हैं,तो वे $X$-ray फोटॉन के रूप में ऊर्जा खो देते हैं।
$X$-ray फोटॉन की अधिकतम ऊर्जा आपतित इलेक्ट्रॉन की गतिज ऊर्जा के अनुरूप होती है,जिसे $E_{max} = eV = \frac{hc}{\lambda_{min}}$ द्वारा दिया जाता है।
इसका अर्थ है कि एक न्यूनतम तरंगदैर्घ्य $\lambda_{min} = \frac{hc}{eV}$ होती है,जिसके नीचे कोई $X$-ray उत्पन्न नहीं होते हैं।
चूंकि इलेक्ट्रॉन अपनी गतिज ऊर्जा का कोई भी अंश खो सकते हैं,इसलिए परिणामी $X$-ray बीम में $\lambda_{min}$ से अनंत तक (सैद्धांतिक रूप से) तरंगदैर्घ्य की एक सतत श्रृंखला होती है।
इसलिए,बीम में एक निश्चित न्यूनतम तरंगदैर्घ्य से अधिक सभी तरंगदैर्घ्य मौजूद होती हैं।

(B) $K_\alpha$ $X$-ray के लिए मोजले के नियम के अनुसार,आवृत्ति $f$ को $\sqrt{f} = a(Z - b)$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $a = \sqrt{\frac{3}{4} R c}$ और $b = 1$ है।
मान रखने पर,$\sqrt{f} = \sqrt{\frac{3}{4} \times 1.097 \times 10^7 \times 3 \times 10^8} \times (41 - 1)$.
$\sqrt{f} \approx 4.97 \times 10^7 \times 40 = 1.988 \times 10^9 \text{ Hz}^{1/2}$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$f \approx 3.95 \times 10^{18} \text{ Hz}$.
$\lambda = \frac{c}{f}$ का उपयोग करने पर,जहाँ $c = 3 \times 10^8 \text{ m/s}$.
$\lambda = \frac{3 \times 10^8}{3.95 \times 10^{18}} \approx 0.76 \times 10^{-10} \text{ m} = 0.76 \,\mathring A$.

(B) फोटोइलेक्ट्रॉन का वेग $v$,चुंबकीय बल द्वारा प्रदान किए गए अभिकेंद्र बल से प्राप्त होता है: $evB = m\frac{v^2}{R} \implies v = \frac{eBR}{m}$।
फोटोइलेक्ट्रॉन की गतिज ऊर्जा $K = \frac{1}{2}mv^2 = \frac{e^2B^2R^2}{2m}$ है।
मान रखने पर: $e = 1.6 \times 10^{-19}\; C$,$B = 2 \times 10^{-2}\; T$,$R = 23 \times 10^{-3}\; m$,$m = 9.1 \times 10^{-31}\; kg$:
$K = \frac{(1.6 \times 10^{-19})^2 \times (2 \times 10^{-2})^2 \times (23 \times 10^{-3})^2}{2 \times 9.1 \times 10^{-31}} \approx 2.97 \times 10^{-15}\; J$।
$keV$ में बदलने पर: $K = \frac{2.97 \times 10^{-15}}{1.6 \times 10^{-19}} \approx 18.56\; keV$।
आपतित फोटॉन की ऊर्जा $E = \frac{hc}{\lambda} = \frac{12.4\; keV \cdot \mathring{A}}{0.50\; \mathring{A}} = 24.8\; keV$ है।
बंधन ऊर्जा $BE = E - K = 24.8\; keV - 18.6\; keV = 6.2\; keV$ है।

(B) जब किसी धातु के लक्ष्य पर उच्च ऊर्जा वाले इलेक्ट्रॉनों की बौछार की जाती है,तो लक्ष्य के परमाणुओं के साथ अंतःक्रिया करने पर इलेक्ट्रॉन तेजी से मंदित (decelerate) होते हैं। गतिज ऊर्जा में हुई यह हानि $X$-किरणों के रूप में विद्युत चुम्बकीय विकिरण के रूप में उत्सर्जित होती है। अतः,सही उत्तर $X$-किरणें है।

(C) $V$ वोल्ट के विभवांतर से त्वरित इलेक्ट्रॉन द्वारा प्राप्त गतिज ऊर्जा $K = eV$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $e$ इलेक्ट्रॉन का आवेश है।
जब यह इलेक्ट्रॉन लक्ष्य (target) से टकराता है,तो उत्सर्जित $X$-किरण फोटॉन की अधिकतम ऊर्जा इलेक्ट्रॉन की गतिज ऊर्जा के बराबर होती है,अर्थात $E_{\max} = h\nu_{\max} = eV$।
चूंकि आवृत्ति $\nu = \frac{c}{\lambda}$ होती है,इसलिए न्यूनतम तरंगदैर्ध्य $\lambda_{\min}$ अधिकतम ऊर्जा के अनुरूप होती है:
$\lambda_{\min} = \frac{hc}{E_{\max}} = \frac{hc}{eV}$।
चूंकि $h$,$c$,और $e$ स्थिरांक हैं,इसलिए $\lambda_{\min} \propto \frac{1}{V}$ प्राप्त होता है।
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(B) अभिलक्षणिक $X$-rays लक्ष्य परमाणुओं के आंतरिक कोशों के बीच इलेक्ट्रॉनिक संक्रमण के कारण उत्पन्न होती हैं। इन संक्रमणों की ऊर्जा केवल लक्ष्य सामग्री की परमाणु संख्या $(Z)$ पर निर्भर करती है, न कि इलेक्ट्रॉनों के त्वरक विभव पर। अतः, $\text{कथन}-1$ सत्य है।
जब एक इलेक्ट्रॉन बीम लक्ष्य से टकराती है, तो वह गतिज ऊर्जा खो देती है, जो $X$-ray फोटॉन (ब्रेम्सस्ट्रालुंग और अभिलक्षणिक) के रूप में उत्सर्जित होती है। यह ट्यूब में होने वाली एक सामान्य भौतिक प्रक्रिया है। अतः, $\text{कथन}-2$ सत्य है।
हालाँकि, $\text{कथन}-2$ $X$-rays के सामान्य उत्पादन का वर्णन करता है, जबकि $\text{कथन}-1$ विशेष रूप से अभिलक्षणिक $X$-ray तरंगदैर्ध्य की त्वरक विभव से स्वतंत्रता के बारे में है। इसलिए, $\text{कथन}-2$, $\text{कथन}-1$ की सही व्याख्या नहीं है।

(B) सतत $X$-rays की कट-ऑफ तरंगदैर्ध्य $(\lambda_{\text{min}})$ को सूत्र $\lambda_{\text{min}} = \frac{hc}{eV}$ द्वारा दिया जाता है, जहाँ $V$ त्वरित विभवांतर है。
यह सूत्र दर्शाता है कि कट-ऑफ तरंगदैर्ध्य केवल त्वरित वोल्टेज $(V)$ पर निर्भर करती है और लक्ष्य सामग्री के परमाणु क्रमांक $(Z)$ से स्वतंत्र है。
इसलिए, यह कथन कि कट-ऑफ तरंगदैर्ध्य लक्ष्य के परमाणु क्रमांक पर निर्भर करती है, $WRONG$ (गलत) है。

$(A)$ $1$. कट-ऑफ तरंगदैर्ध्य $(\lambda_{\min})$ का सूत्र: $\lambda_{\min} = \frac{hc}{eV}$ है।
$2$. चूंकि $V$ को बढ़ाकर $2V$ कर दिया गया है, नई कट-ऑफ तरंगदैर्ध्य $\lambda'_{\min} = \frac{hc}{e(2V)} = \frac{1}{2} \lambda_{\min}$ होगी। अतः, कट-ऑफ तरंगदैर्ध्य आधी हो जाती है।
$3$. अभिलक्षणिक $X$-rays की तरंगदैर्ध्य केवल लक्ष्य सामग्री पर निर्भर करती है, न कि त्वरक विभव $V$ या फिलामेंट धारा $I$ पर। इसलिए, वे अपरिवर्तित रहती हैं।
$4$. $X$-rays की तीव्रता प्रति इकाई समय लक्ष्य से टकराने वाले इलेक्ट्रॉनों की संख्या के सीधे आनुपातिक होती है, जो फिलामेंट धारा $I$ द्वारा निर्धारित होती है। चूंकि $I$ को घटाकर $I/2$ कर दिया गया है, लक्ष्य से टकराने वाले इलेक्ट्रॉनों की संख्या कम हो जाती है, जिससे सभी $X$-rays की तीव्रता कम हो जाती है।
$5$. अतः, कट-ऑफ तरंगदैर्ध्य आधी हो जाती है और तीव्रता कम हो जाती है। इसलिए, कथन $(A)$ और $(C)$ सही हैं।

(B) मोजले के नियम के अनुसार,$K_{\alpha}$ $X$-रे रेखा की आवृत्ति $\nu$ का सूत्र $\sqrt{\nu} = a(Z - b)$ है,जहाँ $K_{\alpha}$ संक्रमण के लिए $b = 1$ होता है।
चूंकि $\nu = \frac{c}{\lambda}$,इसलिए $\sqrt{\frac{c}{\lambda}} = a(Z - 1)$,जिसका अर्थ है कि $\frac{1}{\sqrt{\lambda}} \propto (Z - 1)$।
अतः,तरंगदैर्ध्य का अनुपात $\frac{\sqrt{\lambda_{Mo}}}{\sqrt{\lambda_{Cu}}} = \frac{Z_{Cu} - 1}{Z_{Mo} - 1}$ द्वारा प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$\frac{\lambda_{Mo}}{\lambda_{Cu}} = \left( \frac{29 - 1}{42 - 1} \right)^2 = \left( \frac{28}{41} \right)^2$।
इस प्रकार,अनुपात $\frac{\lambda_{Cu}}{\lambda_{Mo}} = \left( \frac{41}{28} \right)^2 = \frac{1681}{784} \approx 2.144$।
अतः,यह अनुपात $2.14$ के करीब है।

(A) $K_\alpha$-रेखा की तरंगदैर्ध्य मोज़ले के नियम द्वारा दी जाती है: $\frac{1}{\lambda_{K_\alpha}} = R(Z-1)^2 \left( \frac{1}{1^2} - \frac{1}{2^2} \right) = R(Z-1)^2 \left( \frac{3}{4} \right)$.
कट-ऑफ तरंगदैर्ध्य $\lambda_0$ को $\lambda_0 = \frac{hc}{eV}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $V$ इलेक्ट्रॉन बीम का त्वरक विभव है।
$Z_1 = 46$ के लिए अनुपात $r = \frac{\lambda_{K_\alpha}}{\lambda_0} = 2$ दिया गया है।
$\lambda_{K_\alpha}$ के व्यंजक से,हम देख सकते हैं कि $\lambda_{K_\alpha} \propto \frac{1}{(Z-1)^2}$.
चूँकि त्वरक विभव $V$ समान है,$\lambda_0$ स्थिर रहता है। इसलिए,$r \propto \frac{1}{(Z-1)^2}$.
अतः,$\frac{r_2}{r_1} = \frac{(Z_1-1)^2}{(Z_2-1)^2}$.
मान रखने पर: $\frac{r_2}{2} = \frac{(46-1)^2}{(41-1)^2} = \frac{45^2}{40^2} = \left( \frac{9}{8} \right)^2 = \frac{81}{64} = 1.2656$.
$r_2 = 2 \times 1.2656 = 2.5312 \approx 2.53$.

(A) इलेक्ट्रॉन की डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $\lambda = \frac{h}{p}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $p$ इलेक्ट्रॉन का संवेग है।
चूंकि गतिज ऊर्जा $E = \frac{p^2}{2m}$,इसलिए $p = \sqrt{2mE}$ होता है।
इसे डी-ब्रोग्ली समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: $\lambda = \frac{h}{\sqrt{2mE}}$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $\lambda^2 = \frac{h^2}{2mE}$,जिससे $E = \frac{h^2}{2m\lambda^2}$ प्राप्त होता है।
उत्सर्जित $X$-किरणों की कट-ऑफ तरंगदैर्ध्य $\lambda_0$ फोटॉन की अधिकतम ऊर्जा के अनुरूप होती है,जो आपतित इलेक्ट्रॉन की गतिज ऊर्जा $E$ के बराबर होती है: $E = \frac{hc}{\lambda_0}$.
$E$ के लिए दोनों समीकरणों की तुलना करने पर: $\frac{hc}{\lambda_0} = \frac{h^2}{2m\lambda^2}$.
$\lambda_0$ के लिए हल करने पर: $\lambda_0 = \frac{hc \cdot 2m\lambda^2}{h^2} = \frac{2mc\lambda^2}{h}$.

(D) विद्युतचुंबकीय स्पेक्ट्रम तरंगों को उनकी तरंगदैर्ध्य और आवृत्ति के आधार पर वर्गीकृत करता है। $X$-किरणें उच्च-ऊर्जा वाली विद्युतचुंबकीय तरंगें हैं जो पराबैंगनी किरणों और गामा किरणों के बीच के क्षेत्र में स्थित होती हैं। $X$-किरणों के लिए तरंगदैर्ध्य की विशिष्ट सीमा लगभग $1 \, nm$ से $10^{-3} \, nm$ ($0.1 \, \text{\AA}$ से $10 \, \text{\AA}$) होती है। अतः, विकल्प $D$ सही उत्तर है।

(D) $X$-किरणें उच्च ऊर्जा वाली विद्युत चुम्बकीय विकिरण हैं जो उच्च परमाणु क्रमांक $(Z)$ वाले परमाणुओं में आंतरिक इलेक्ट्रॉन कोशों (जैसे $K$-कोश से $L$-कोश) के बीच संक्रमण द्वारा उत्पन्न होती हैं।
हाइड्रोजन परमाणु में केवल एक इलेक्ट्रॉन होता है और इसके ऊर्जा स्तरों के बीच का ऊर्जा अंतर बहुत कम ($eV$ के क्रम में) होता है।
$X$-किरण उत्सर्जन के लिए $keV$ के क्रम की ऊर्जा संक्रमण की आवश्यकता होती है।
इसलिए,हाइड्रोजन परमाणु $X$-किरणों का उत्सर्जन नहीं कर सकता क्योंकि इसके ऊर्जा स्तर इतनी उच्च ऊर्जा वाले फोटॉन उत्पन्न करने के लिए एक-दूसरे के बहुत करीब होते हैं।

(C) जब उच्च ऊर्जा वाले इलेक्ट्रॉनों की एक किरण पुंज धातु के लक्ष्य से टकराती है,तो इलेक्ट्रॉनों के अचानक मंदन (deceleration) के कारण उच्च आवृत्ति वाली विद्युत चुम्बकीय विकिरण उत्सर्जित होती है,जिसे $X$-किरणें कहा जाता है।

(A) $V$ विभवांतर द्वारा त्वरित इलेक्ट्रॉनों द्वारा उत्पन्न $X$-किरणों की न्यूनतम तरंगदैर्ध्य $(\lambda_{min})$ डुआन-हंट नियम द्वारा दी जाती है: $\lambda_{min} = \frac{hc}{eV}$.
मान रखने पर: $h = 6.63 \times 10^{-34} \ J \cdot s$,$c = 3 \times 10^8 \ m/s$,$e = 1.6 \times 10^{-19} \ C$,और $V = 20 \times 10^3 \ V$.
$\lambda_{min} = \frac{(6.63 \times 10^{-34}) \times (3 \times 10^8)}{(1.6 \times 10^{-19}) \times (20 \times 10^3)} \ m$.
$\lambda_{min} = \frac{19.89 \times 10^{-26}}{3.2 \times 10^{-15}} \ m = 6.215 \times 10^{-11} \ m$.
चूंकि $1 \ Å = 10^{-10} \ m$,इसलिए $\lambda_{min} = 0.6215 \times 10^{-10} \ m = 0.62 \ Å$ है।

(C) ठोस पदार्थों की संरचना की जांच $X$-रे विवर्तन (diffraction) का उपयोग करके की जाती है। चूंकि $X$-किरणों की तरंगदैर्ध्य क्रिस्टल में अंतर-परमाणु दूरी (लगभग $1 \ \text{\AA}$) के क्रम की होती है, इसलिए वे ठोस में परमाणु तलों द्वारा विवर्तित हो जाती हैं। इस घटना का उपयोग पदार्थों की क्रिस्टल संरचना निर्धारित करने के लिए किया जाता है।

(B) $X-$रे ट्यूब से उत्सर्जित $X-$किरणों की सबसे छोटी तरंगदैर्ध्य (जिसे कट-ऑफ तरंगदैर्ध्य,$\lambda_{min}$ भी कहा जाता है) डुआने-हंट नियम द्वारा दी जाती है: $\lambda_{min} = \frac{hc}{eV}$.
यहाँ,$h$ प्लांक नियतांक है,$c$ प्रकाश की गति है,$e$ इलेक्ट्रॉन का आवेश है,और $V$ ट्यूब पर लगाया गया त्वरक विभवांतर (वोल्टेज) है।
चूंकि $h$,$c$,और $e$ नियतांक हैं,इसलिए $\lambda_{min}$ ट्यूब पर लगाए गए वोल्टेज $V$ के व्युत्क्रमानुपाती होती है।
अतः,सबसे छोटी तरंगदैर्ध्य केवल ट्यूब पर लगाए गए वोल्टेज पर निर्भर करती है।

(B) विल्हेम रोन्टजन,जो बवेरिया के वुर्ज़बर्ग में भौतिकी के प्रोफेसर थे,ने $1895$ में गलती से $X$-किरणों की खोज की थी,जब वे यह परीक्षण कर रहे थे कि क्या कैथोड किरणें कांच से गुजर सकती हैं या नहीं।
$X$-किरणें अत्यंत कम तरंग दैर्ध्य और उच्च आवृत्ति वाले विद्युतचुंबकीय विकिरण हैं,जिनकी तरंग दैर्ध्य लगभग $10^{-8} \ m$ से $10^{-12} \ m$ के बीच होती है और संबंधित आवृत्तियाँ लगभग $10^{16} \ Hz$ से $10^{20} \ Hz$ तक होती हैं।

(A) दिया गया है, $Z=31$ और $a=5 \times 10^7 \, \text{Hz}^{1/2}$।
$K_{\alpha}$ रेखाओं के लिए मोजले के नियम के अनुसार, $\sqrt{\nu} = a(Z-1)$।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर, हमें प्राप्त होता है $\nu = a^2(Z-1)^2$।
मान रखने पर: $\nu = (5 \times 10^7)^2 \times (31-1)^2$।
$\nu = 25 \times 10^{14} \times 30^2 = 25 \times 10^{14} \times 900 = 2.25 \times 10^{18} \, \text{Hz}$।
हम जानते हैं कि $\lambda = \frac{c}{\nu}$, जहाँ $c = 3 \times 10^8 \, \text{m/s}$।
$\lambda = \frac{3 \times 10^8}{2.25 \times 10^{18}} = 1.33 \times 10^{-10} \, \text{m}$।
चूंकि $1 \, \mathring{A} = 10^{-10} \, \text{m}$, इसलिए तरंगदैर्ध्य $1.33 \, \mathring{A}$ है।