X-Rays Questions in Hindi

(A) क्रिस्टल में विवर्तन (diffraction) की घटना होने के लिए, आपतित विकिरण की तरंगदैर्ध्य क्रिस्टल जालक में परमाणुओं के बीच की दूरी के तुलनीय होनी चाहिए。
क्रिस्टल में अंतर-परमाणु दूरी आमतौर पर $1 \text{ से } 10 \text{ Å}$ $(10^{-10} \text{ m})$ की सीमा में होती है。
एक्स-रे की तरंगदैर्ध्य $0.01 \text{ से } 10 \text{ Å}$ की सीमा में होती है, जो अंतर-परमाणु दूरी से मेल खाती है。
इसलिए, विवर्तन पैटर्न के माध्यम से क्रिस्टल संरचनाओं का अध्ययन करने के लिए एक्स-रे आदर्श हैं।

(C) $X$-किरणें बहुत कम तरंगदैर्ध्य वाली विद्युत चुम्बकीय तरंगें होती हैं। $X$-किरणों की सामान्य तरंगदैर्ध्य सीमा लगभग $0.01 \, \mathring A$ से $10 \, \mathring A$ तक होती है। दिए गए विकल्पों में से,$1 \, \mathring A$ $X$-किरणों के लिए सबसे उपयुक्त कोटि है।

(C) कूलिज ट्यूब में,एक्स-रे स्पेक्ट्रम में तरंगदैर्ध्य की एक निरंतर सीमा होती है।
जब उच्च गति वाले इलेक्ट्रॉन लक्ष्य (target) से टकराते हैं,तो वे मंदन का अनुभव करते हैं,जिससे ब्रेमस्ट्रालुंग (bremsstrahlung) विकिरण उत्सर्जित होता है।
यह विकिरण एक विशिष्ट न्यूनतम तरंगदैर्ध्य,जिसे $\lambda_{min} = \frac{hc}{eV}$ के रूप में दर्शाया जाता है,से शुरू होकर उच्च मानों तक की सभी तरंगदैर्ध्य को कवर करता है।
इसलिए,उत्पादित एक्स-रे में न्यूनतम तरंगदैर्ध्य से अधिक की सभी तरंगदैर्ध्य शामिल होती हैं।

(C) कठोर (Hard) $X$-किरणें,मृदु (Soft) $X$-किरणों की तुलना में उच्च ऊर्जा और उच्च आवृत्ति की होती हैं।
चूंकि फोटॉन की ऊर्जा $E = h\nu$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $h$ प्लांक नियतांक है और $\nu$ आवृत्ति है,इसलिए उच्च ऊर्जा का अर्थ उच्च आवृत्ति है।
साथ ही,चूंकि $\lambda = c/\nu$ होता है,इसलिए उच्च आवृत्ति का अर्थ छोटी तरंगदैर्ध्य है।
अतः,कठोर $X$-किरणों की आवृत्ति उच्च,ऊर्जा उच्च और तरंगदैर्ध्य कम होती है।

(D) एक्स-रे की कठोरता (उनकी भेदन क्षमता) आपतित इलेक्ट्रॉनों की ऊर्जा द्वारा निर्धारित होती है। इलेक्ट्रॉनों की गतिज ऊर्जा $K.E. = eV$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $V$ कैथोड और टारगेट के बीच का विभवांतर है। इसलिए,विभवांतर बढ़ाने से इलेक्ट्रॉनों की ऊर्जा बढ़ जाती है,जिसके परिणामस्वरूप कम तरंगदैर्ध्य वाले कठोर एक्स-रे उत्पन्न होते हैं।

(B) मोजले के नियम के अनुसार,एक अभिलक्षणिक $X$-किरण रेखा की आवृत्ति $\nu$ और लक्ष्य सामग्री के परमाणु क्रमांक $Z$ के बीच का संबंध इस प्रकार है:
$\sqrt{\nu} = a(Z - b)$
जहाँ $a$ और $b$ विशिष्ट स्पेक्ट्रल रेखा (जैसे $K_{\alpha}$,$L_{\alpha}$) पर निर्भर स्थिरांक हैं।
यह समीकरण $y = mx + c$ के रूप की एक सीधी रेखा को दर्शाता है,जहाँ $y = \sqrt{\nu}$,$x = Z$,$m = a$ (ढाल),और $c = -ab$ (y-अंतःखंड) है।
चूंकि $b > 0$ है,इसलिए y-अंतःखंड $-ab$ ऋणात्मक है।
अतः,$\sqrt{\nu}$ बनाम $Z$ का ग्राफ एक ऐसी सीधी रेखा है जो मूल बिंदु से नहीं गुजरती है और जिसका y-अंतःखंड ऋणात्मक है।
दिए गए विकल्पों को देखने पर,ग्राफ $A$ धनात्मक y-अंतःखंड वाली रेखा है,ग्राफ $B$ ऋणात्मक y-अंतःखंड वाली रेखा है,ग्राफ $C$ मूल बिंदु से गुजरने वाली रेखा है,और ग्राफ $D$ एक वक्र है।
इस प्रकार,ग्राफ $B$ सही निरूपण है।

(C) $X$-ray ट्यूब में पावर इनपुट $P$,त्वरक वोल्टेज $V$ और बीम करंट $I$ (जो फिलामेंट करंट द्वारा निर्धारित होता है) के गुणनफल के बराबर होता है,अर्थात $P = V \times I$।
फिलामेंट करंट बढ़ाने से फिलामेंट का तापमान बढ़ जाता है,जिससे कैथोड से इलेक्ट्रॉनों का थर्मियोनिक उत्सर्जन अधिक दर पर होता है। उत्सर्जित इलेक्ट्रॉनों की संख्या में यह वृद्धि बीम करंट $I$ को बढ़ा देती है।
चूंकि $P = V \times I$ है,इसलिए बीम करंट $I$ में वृद्धि सीधे $X$-ray ट्यूब में पावर इनपुट $P$ में वृद्धि का कारण बनती है।

(C) कूलिज ट्यूब में,जब इलेक्ट्रॉन लक्ष्य से टकराते हैं तो उनके वेग में कमी के कारण सतत एक्स-किरणें उत्पन्न होती हैं,जो किसी भी त्वरित विभव के लिए संभव है।
अभिलक्षणिक $K$-श्रेणी की एक्स-किरणें उत्पन्न होने के लिए,आपतित इलेक्ट्रॉन के पास $K$-कोश से इलेक्ट्रॉन को बाहर निकालने के लिए पर्याप्त ऊर्जा होनी चाहिए।
$K$-कोश से इलेक्ट्रॉन को हटाने के लिए आवश्यक ऊर्जा $40000 \,eV$ है।
चूंकि लगाया गया त्वरित विभव $60000 \,eV$ है,जो $K$-कोश की बंधन ऊर्जा से अधिक है $(60000 \,eV > 40000 \,eV)$,इसलिए आपतित इलेक्ट्रॉनों के पास $K$-कोश का आयनीकरण करने के लिए पर्याप्त ऊर्जा है।
अतः,सतत एक्स-किरणें (Bremsstrahlung के कारण) और अभिलक्षणिक $K$-श्रेणी की एक्स-किरणें दोनों प्राप्त होंगी।

(A) एक एक्स-रे ट्यूब में,कैथोड और एनोड (टारगेट) के बीच लगाया गया विभवांतर आमतौर पर किलोवोल्ट $(kV)$ की सीमा में होता है।
इसलिए,वोल्टेज का परिमाण $10^3 \, V$ या $1000 \, V$ के क्रम का होता है।

(A) मोज़ले के नियम के अनुसार,अभिलक्षणिक $X$-किरणों की आवृत्ति $\nu = a(Z - b)^2$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $K_\alpha$ रेखाओं के लिए $b = 1$ होता है।
अतः,$\nu \propto (Z - 1)^2$।
$Z_1 = 64$ के लिए,$\nu_\alpha \propto (64 - 1)^2 = 63^2$।
$Z_2 = 80$ के लिए,$\nu'_\alpha \propto (80 - 1)^2 = 79^2$।
उनका अनुपात $\frac{\nu_\alpha}{\nu'_\alpha} = \frac{(63)^2}{(79)^2} = \frac{3969}{6241}$ होगा।
नोट: यदि प्रश्न में सरल संबंध $\nu \propto Z^2$ (स्क्रीनिंग स्थिरांक $b=1$ की उपेक्षा करते हुए) माना गया है,तो $\frac{\nu_\alpha}{\nu'_\alpha} = \frac{64^2}{80^2} = (\frac{64}{80})^2 = (\frac{4}{5})^2 = \frac{16}{25}$ होगा।

(A) कूलिज ट्यूब में उत्पन्न एक्स-रे फोटॉन की अधिकतम ऊर्जा,विभवांतर $V$ के माध्यम से त्वरित इलेक्ट्रॉन द्वारा प्राप्त गतिज ऊर्जा के बराबर होती है।
दिया गया है,विभवांतर $V = 120 \, kV = 120 \times 10^3 \, V$।
अधिकतम ऊर्जा $E_{max}$ को निम्नलिखित संबंध द्वारा प्राप्त किया जाता है:
$E_{max} = eV$
मान रखने पर:
$E_{max} = e \times (120 \times 10^3 \, V) = 120 \times 10^3 \, eV$
$E_{max} = 1.2 \times 10^5 \, eV$।

(B) एक्स-रे की न्यूनतम तरंगदैर्ध्य डुआन-हंट नियम द्वारा दी जाती है: $\lambda_{\min} = \frac{hc}{eV}$.
मान रखने पर $h = 6.63 \times 10^{-34} \ J \cdot s$,$c = 3 \times 10^8 \ m/s$,और $e = 1.6 \times 10^{-19} \ C$,हमें प्राप्त होता है $\lambda_{\min} \approx \frac{12400 \ \mathring{A} \cdot V}{V}$.
यहाँ $\lambda_{\min} = 2 \ \mathring{A}$ दिया गया है।
इसलिए,$V = \frac{12400}{\lambda_{\min} (\text{in } \mathring{A})} \ V$.
$V = \frac{12400}{2} \ V = 6200 \ V$.
किलोवोल्ट में बदलने पर,$V = 6.2 \ kV$.

(B) उत्सर्जित फोटॉन की ऊर्जा $(E)$ दोनों कोशों के बीच ऊर्जा के अंतर के बराबर होती है: $E = E_K - E_L$।
यहाँ $E_K = 20 \, keV$ और $E_L = 2 \, keV$ दिया गया है,इसलिए ऊर्जा का अंतर $\Delta E = 20 \, keV - 2 \, keV = 18 \, keV = 18000 \, eV$ है।
तरंगदैर्ध्य $\lambda$ ज्ञात करने का सूत्र $\lambda = \frac{hc}{E}$ है।
$\lambda \approx \frac{12400 \, eV \cdot \mathring{A}}{E \text{ (in } eV)}$ संबंध का उपयोग करने पर:
$\lambda = \frac{12400}{18000} \, \mathring{A} = 0.6888 \, \mathring{A}$।
अतः,निकटतम विकल्प के अनुसार तरंगदैर्ध्य $0.6887 \, \mathring{A}$ है।

(D) $K_{\alpha}$ उत्सर्जन के लिए मोजले के नियम के अनुसार,आवृत्ति $\nu \propto (Z - 1)^2$ होती है।
चूंकि तरंगदैर्ध्य $\lambda = c/\nu$ है,इसलिए $\frac{1}{\lambda} \propto (Z - 1)^2$,जिसका अर्थ है $\lambda \propto \frac{1}{(Z - 1)^2}$।
यहाँ $Z_1 = 57$ के लिए $\lambda_1 = \lambda$ दिया गया है और $Z_2 = 29$ के लिए $\lambda_2$ ज्ञात करना है।
अनुपात का उपयोग करने पर: $\frac{\lambda_2}{\lambda_1} = \frac{(Z_1 - 1)^2}{(Z_2 - 1)^2}$।
मान रखने पर: $\frac{\lambda_2}{\lambda} = \frac{(57 - 1)^2}{(29 - 1)^2} = \frac{56^2}{28^2}$।
$\frac{\lambda_2}{\lambda} = (\frac{56}{28})^2 = 2^2 = 4$।
अतः,$\lambda_2 = 4\lambda$।

(B) उत्सर्जित $K_\alpha$ फोटॉन की ऊर्जा $K$ और $L$ कोशों के बीच ऊर्जा के अंतर के बराबर होती है: $\Delta E = E_K - E_L = \frac{hc}{\lambda}$.
यहाँ $h = 6.63 \times 10^{-34} \ J \cdot s$,$c = 3 \times 10^8 \ m/s$,और $\lambda = 0.021 \times 10^{-9} \ m$ है।
$\Delta E = \frac{(6.63 \times 10^{-34} \ J \cdot s) \times (3 \times 10^8 \ m/s)}{0.021 \times 10^{-9} \ m}$.
$\Delta E \approx 9.47 \times 10^{-15} \ J$.
इस ऊर्जा को $keV$ में बदलने के लिए,इसे इलेक्ट्रॉन के आवेश $(1.6 \times 10^{-19} \ C)$ से विभाजित करें और फिर $1000$ से भाग दें:
$\Delta E_{keV} = \frac{9.47 \times 10^{-15}}{1.6 \times 10^{-19} \times 1000} \approx 59.2 \ keV$.
निकटतम पूर्णांक में,ऊर्जा का अंतर $59 \ keV$ है।

(A) $K_\alpha$ एक्स-रे रेखा तब उत्पन्न होती है जब एक इलेक्ट्रॉन $L$ कोश (उच्च ऊर्जा अवस्था) से $K$ कोश (निम्न ऊर्जा अवस्था) में संक्रमण करता है।
उत्सर्जित फोटॉन की ऊर्जा दोनों कोशों के बीच ऊर्जा के अंतर द्वारा दी जाती है:
$\Delta E_{K_\alpha} = E_L - E_K$
दिया गया है:
$E_L = 7200$ इकाई
$E_K = 1800$ इकाई
मान रखने पर:
$\Delta E_{K_\alpha} = 7200 - 1800 = 5400$ इकाई।

(A) किसी पदार्थ से गुजरने के बाद एक्स-रे की तीव्रता का सूत्र $I = I_0 e^{-\mu x}$ है,जहाँ $I_0$ प्रारंभिक तीव्रता है,$\mu$ क्षीणन गुणांक है और $x$ पदार्थ की मोटाई है।
दिया गया है: $\mu = 1.73 \, cm^{-1}$ और $x = 1.156 \, cm$.
पारित तीव्रता और प्रारंभिक तीव्रता का अनुपात $\frac{I}{I_0} = e^{-\mu x}$ है।
मान रखने पर: $\frac{I}{I_0} = e^{-(1.73 \times 1.156)} = e^{-2}$.
चूंकि $e \approx 2.718$,इसलिए $e^2 \approx 7.389$.
अतः,$\frac{I}{I_0} = \frac{1}{7.389} \approx 0.1353$.
इसे प्रतिशत में व्यक्त करने के लिए,$100$ से गुणा करें: $0.1353 \times 100 = 13.53\%$.
इसलिए,लगभग $13.5\%$ एक्स-रे शीट से गुजरेंगे।

(B) दिया गया है: जालक नियतांक $d = 3 \times 10^{-8} \, cm$,सर्पी कोण $\theta = 30^{\circ}$ और विवर्तन का क्रम $n = 1$.
ब्रैग के नियम का उपयोग करने पर: $2d \sin \theta = n\lambda$.
मान रखने पर: $\lambda = \frac{2 \times (3 \times 10^{-8} \, cm) \times \sin(30^{\circ})}{1}$.
चूंकि $\sin(30^{\circ}) = 0.5$,इसलिए $\lambda = 2 \times 3 \times 10^{-8} \times 0.5 = 3 \times 10^{-8} \, cm$.
अतः,$\lambda$ का मान $3 \times 10^{-8} \, cm$ है।

(B) किसी पदार्थ से गुजरने वाली $X$-किरणों की तीव्रता $I = I_0 e^{-\mu x}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $\mu$ रैखिक अवशोषण गुणांक है और $x$ पदार्थ की मोटाई है।
अवशोषण गुणांक $\mu$,$X$-किरणों की तरंगदैर्ध्य $\lambda$ पर निर्भर करता है। विशेष रूप से,$\mu \propto \lambda^3$.
जब लक्ष्य और कैथोड के बीच विभवांतर $V$ बढ़ाया जाता है,तो इलेक्ट्रॉनों की ऊर्जा बढ़ जाती है,जिससे कम तरंगदैर्ध्य (उच्च आवृत्ति) वाली $X$-किरणें उत्सर्जित होती हैं।
जैसे-जैसे $V$ बढ़ता है,$\lambda$ घटता है,इसलिए अवशोषण गुणांक $\mu$ भी घटता है $(\mu \propto \lambda^3)$.
जैसे-जैसे $\mu$ घटता है,संचरण $I/I_0 = e^{-\mu x}$ बढ़ता है।
अतः,उसी पन्नी से गुजरने वाली $X$-किरणों का अंश $50\%$ से अधिक होगा।

(B) एक्स-रे ट्यूब में निवेशित कुल शक्ति $P = V \times I = 50 \times 10^3 \, V \times 20 \times 10^{-3} \, A = 1000 \, W$ (या $J/s$) है।
चूंकि दक्षता $\eta = 1 \%$ है,एक्स-रे में परिवर्तित शक्ति $P_{X} = 0.01 \times 1000 = 10 \, J/s$ है।
शेष शक्ति ऊष्मा के रूप में व्यय होती है: $P_{heat} = P - P_{X} = 1000 - 10 = 990 \, J/s$.
इसे कैलोरी प्रति सेकंड में बदलने के लिए,हम रूपांतरण कारक $1 \, cal \approx 4.2 \, J$ का उपयोग करते हैं।
प्रति सेकंड उत्पन्न ऊष्मा $= \frac{990}{4.2} \approx 235.7 \, cal/s \approx 236 \, cal/s$.

(B) एक्स-रे विद्युत चुम्बकीय तरंगें हैं।
सभी विद्युत चुम्बकीय तरंगें निर्वात में प्रकाश की गति से चलती हैं।
निर्वात में प्रकाश की गति $c = 3 \times 10^8 \, m/s$ होती है।
चूंकि एक्स-रे विद्युत चुम्बकीय विकिरण हैं,इसलिए उनका वेग एक्स-रे ट्यूब के ऑपरेटिंग वोल्टेज पर निर्भर नहीं करता है।
अतः,एक्स-रे का वेग $3 \times 10^8 \, m/s$ है।

(B) त्वरित वोल्टेज $V$ द्वारा उत्पन्न एक्स-रे की न्यूनतम तरंग दैर्ध्य $\lambda_{min}$ का सूत्र है: $\lambda_{min} = \frac{hc}{eV} = \frac{12400 \ \text{eV} \cdot \mathring{A}}{eV} \approx \frac{12400}{V(\text{volts})} \times 10^{-10} \ m$ है।
दिया गया है कि $\lambda_{min} = 10^{-11} \ m = 10^{-10} \ \mathring{A}$ है।
मान रखने पर: $10^{-11} = \frac{12400 \times 10^{-10}}{V}$.
$V = \frac{12400 \times 10^{-10}}{10^{-11}} = 124000 \ V = 124 \ kV$.
चूंकि प्रश्न में निर्दिष्ट है कि न्यूनतम तरंग दैर्ध्य $10^{-11} \ m$ होनी चाहिए,इसलिए इलेक्ट्रॉनों की ऊर्जा कम से कम $124 \ kV$ होनी चाहिए। अतः,इस तरंग दैर्ध्य या उससे छोटी तरंग दैर्ध्य के एक्स-रे उत्पन्न करने के लिए त्वरित वोल्टेज $124.2 \ kV$ या उससे अधिक होना चाहिए।

(D) ऊष्मा उत्पादन की दर (शक्ति) $P = VI$ द्वारा दी जाती है।
यहाँ $V = 60 \ kV = 60 \times 10^3 \ V$ और $I = 50 \ mA = 50 \times 10^{-3} \ A$ है।
$P = (60 \times 10^3) \times (50 \times 10^{-3}) = 3000 \ J/s$।
चूंकि $1 \ calorie = 4.2 \ J$,इसलिए $cal/s$ में ऊष्मा की दर $\frac{3000}{4.2} \ cal/s$ होगी।
$P \approx 714.3 \ cal/s$।
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(B) फोटॉन की ऊर्जा $E$ का सूत्र $E = \frac{hc}{\lambda}$ है।
चूंकि $h$ (प्लांक नियतांक) और $c$ (प्रकाश की गति) नियत हैं,इसलिए ऊर्जा तरंगदैर्ध्य के व्युत्क्रमानुपाती होती है: $E \propto \frac{1}{\lambda}$.
मान लीजिए $E_1$,$1 \mathring A$ तरंगदैर्ध्य वाले एक्स-रे फोटॉन की ऊर्जा है और $E_2$,$5000 \mathring A$ तरंगदैर्ध्य वाले दृश्य प्रकाश फोटॉन की ऊर्जा है।
ऊर्जाओं का अनुपात $\frac{E_1}{E_2} = \frac{\lambda_2}{\lambda_1}$ होगा।
दिए गए मानों को रखने पर: $\frac{E_1}{E_2} = \frac{5000 \mathring A}{1 \mathring A} = 5000$.
अतः,अभीष्ट अनुपात $5000:1$ है।

(C) मोज़ले के नियम के अनुसार,$K_\alpha$ रेखा की आवृत्ति $\nu$ को $\nu = c/\lambda = R(Z-1)^2(1/1^2 - 1/2^2)$ द्वारा दर्शाया जाता है।
अतः,$1/\lambda \propto (Z-1)^2$ है।
मान लीजिए $Z_1 = 43$ के लिए तरंगदैर्ध्य $\lambda_1 = \lambda$ है और $Z_2 = 29$ के लिए तरंगदैर्ध्य $\lambda_2$ है।
इसलिए,$\lambda_2 / \lambda_1 = (Z_1 - 1)^2 / (Z_2 - 1)^2$ होगा।
मान रखने पर: $\lambda_2 / \lambda = (43 - 1)^2 / (29 - 1)^2$।
$\lambda_2 / \lambda = (42)^2 / (28)^2 = (42/28)^2$।
भिन्न $42/28$ को सरल करने पर $3/2$ प्राप्त होता है।
अतः,$\lambda_2 / \lambda = (3/2)^2 = 9/4$।
इस प्रकार,$\lambda_2 = (9/4) \lambda$।

(D) इलेक्ट्रॉन की ऊर्जा $E = eV$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $e$ इलेक्ट्रॉन का आवेश है और $V$ त्वरित विभवांतर है।
यह ऊर्जा उत्सर्जित एक्स-रे फोटॉन की ऊर्जा में परिवर्तित हो जाती है,$E = \frac{hc}{\lambda}$।
दोनों की तुलना करने पर,हमें $eV = \frac{hc}{\lambda}$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $\lambda = \frac{hc}{eV}$।
चूंकि $h, c$ और $e$ स्थिरांक हैं,इसलिए न्यूनतम तरंगदैर्ध्य $\lambda_{min}$ त्वरित विभव $V$ के व्युत्क्रमानुपाती होती है $(\lambda_{min} \propto \frac{1}{V})$।
अतः,सबसे कम तरंगदैर्ध्य प्राप्त करने के लिए,दिए गए विकल्पों में से विभवांतर $V$ का मान अधिकतम होना चाहिए।
दिए गए विकल्पों $10 \ kV, 20 \ kV, 30 \ kV$ और $40 \ kV$ की तुलना करने पर,अधिकतम मान $40 \ kV$ है।

(D) आपतित इलेक्ट्रॉन की ऊर्जा $E = 40 \ keV = 40 \times 10^3 \ eV$ है।
एक्स-रे के लिए,न्यूनतम तरंगदैर्ध्य $\lambda_{\min}$ उत्सर्जित फोटॉन की अधिकतम ऊर्जा के अनुरूप होती है,जो आपतित इलेक्ट्रॉन की गतिज ऊर्जा के बराबर होती है।
संबंध $E = \frac{hc}{\lambda_{\min}}$ द्वारा दिया जाता है।
$hc \approx 12400 \ eV \cdot \mathring{A}$ का उपयोग करते हुए,हमें प्राप्त होता है $\lambda_{\min} = \frac{12400 \ eV \cdot \mathring{A}}{40 \times 10^3 \ eV}$।
$\lambda_{\min} = \frac{12400}{40000} \ \mathring{A} = 0.31 \ \mathring{A}$।

(B) दिया गया है कि जालक तलों के बीच की दूरी $d = 10\ \mathring A$ है।
ब्रैग के नियम के अनुसार,$2d \sin \theta = n \lambda$ होता है।
अधिकतम तरंगदैर्ध्य $\lambda_{\max}$ ज्ञात करने के लिए,हम विवर्तन की कोटि $n = 1$ और $\sin \theta$ का अधिकतम मान $1$ लेते हैं।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $\lambda_{\max} = \frac{2d \sin \theta}{n} = \frac{2 \times 10\ \mathring A \times 1}{1} = 20\ \mathring A$।

(D) किसी पदार्थ से गुजरने वाली एक्स-किरणों की तीव्रता का सूत्र $I = I_0 e^{-\mu x}$ है, जहाँ $I$ अंतिम तीव्रता है, $I_0$ प्रारंभिक तीव्रता है, $\mu$ अवशोषण गुणांक है और $x$ पदार्थ की मोटाई है。
दिया गया है कि $I = \frac{I_0}{6}$ और $x = 10 \, mm$.
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $\frac{I_0}{6} = I_0 e^{-\mu (10)}$.
दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक (natural logarithm) लेने पर: $\ln(6) = \mu \times 10$.
$\mu = \frac{\ln(6)}{10} = \frac{1.7917}{10} = 0.17917 \, mm^{-1}$.
तीन दशमलव स्थानों तक पूर्णांकित करने पर, हमें $\mu = 0.179 \, mm^{-1}$ प्राप्त होता है。

(A) $X$-ray ट्यूब द्वारा उत्पन्न न्यूनतम तरंगदैर्ध्य (कट-ऑफ तरंगदैर्ध्य) का सूत्र है: $\lambda_{min} = \frac{12400}{V(volts)} \, \mathring{A}$।
यहाँ दिया गया विभवांतर $V = 40 \, kV = 40,000 \, V$ है।
मान रखने पर: $\lambda_{min} = \frac{12400}{40000} \, \mathring{A} = 0.31 \, \mathring{A}$।
न्यूनतम तरंगदैर्ध्य $\lambda_{min}$ से कम तरंगदैर्ध्य संभव नहीं है।
चूंकि $0.25 \, \mathring{A} < 0.31 \, \mathring{A}$, इसलिए $0.25 \, \mathring{A}$ तरंगदैर्ध्य संभव नहीं है।

(B) मोज़ले के नियम के अनुसार,$K_\alpha$ रेखा की आवृत्ति $\nu = cR(Z-1)^2(\frac{1}{1^2} - \frac{1}{2^2}) = \frac{3}{4}cR(Z-1)^2$ द्वारा दी जाती है।
चूंकि $\lambda = \frac{c}{\nu}$,हमारे पास $\frac{1}{\lambda} \propto (Z-1)^2$ है,जिसका अर्थ है $\lambda \propto \frac{1}{(Z-1)^2}$।
इसलिए,$\frac{\lambda_{Zn}}{\lambda_{Mo}} = \frac{(Z_{Mo}-1)^2}{(Z_{Zn}-1)^2} = \left(\frac{42-1}{30-1}\right)^2 = \left(\frac{41}{29}\right)^2$.
$\lambda_{Zn} = \lambda_{Mo} \times \left(\frac{41}{29}\right)^2 = 0.7078 \times \left(\frac{1681}{841}\right) \approx 0.7078 \times 1.9988 \approx 1.414\, \mathring A$.

(D) इलेक्ट्रॉनिक संक्रमण के दौरान उत्सर्जित अभिलक्षणिक एक्स-रे फोटॉन की ऊर्जा दो स्तरों के बीच ऊर्जा के अंतर द्वारा दी जाती है: $E_{K_\alpha} = E_L - E_K$ ।
यहाँ $E_{K_\alpha} = 8578$ इकाई और $E_L = -2859$ इकाई दिया गया है।
इन मानों को समीकरण में रखने पर: $8578 = -2859 - E_K$ ।
$E_K$ के लिए समीकरण को व्यवस्थित करने पर: $E_K = -2859 - 8578$ ।
अतः,$E_K = -11437$ इकाई।

(B) $K_\alpha$ रेखाओं के लिए मोज़ले के नियम के अनुसार: $\frac{1}{\lambda} = R(Z - 1)^2 \left( \frac{1}{1^2} - \frac{1}{2^2} \right) = \frac{3R(Z - 1)^2}{4}$.
यहाँ $R \approx 1.097 \times 10^7 \, m^{-1}$ है, इसलिए $\frac{1}{R} \approx 912 \, \mathring{A} = 91200 \, pm$ होता है।
प्रथम तत्व $(Z_1)$ के लिए: $(Z_1 - 1)^2 = \frac{4}{3R \lambda_1} = \frac{4 \times 91200}{3 \times 250} = \frac{364800}{750} \approx 486.4$. अतः, $Z_1 - 1 \approx 22.05 \Rightarrow Z_1 \approx 23$.
दूसरे तत्व $(Z_2)$ के लिए: $(Z_2 - 1)^2 = \frac{4}{3R \lambda_2} = \frac{4 \times 91200}{3 \times 179} = \frac{364800}{537} \approx 679.3$. अतः, $Z_2 - 1 \approx 26.06 \Rightarrow Z_2 \approx 27$.
$Z_1 = 23$ और $Z_2 = 27$ के बीच आने वाले तत्व $24, 25, 26$ हैं। इस प्रकार, तत्वों की संख्या $3$ है।

(B) पदार्थ से गुजरने वाली $X$-किरणों की तीव्रता का सूत्र है: $I = I_0 e^{-\mu x}$,जहाँ $I$ अंतिम तीव्रता है,$I_0$ प्रारंभिक तीव्रता है,$\mu$ अवशोषण गुणांक है और $x$ पदार्थ की मोटाई है।
यहाँ तीव्रता प्रारंभिक मान की एक-चौथाई हो जाती है,इसलिए: $\frac{I}{I_0} = \frac{1}{4}$.
समीकरण में मान रखने पर: $\frac{1}{4} = e^{-\mu (3.5 \, mm)}$.
दोनों तरफ प्राकृतिक लघुगणक (natural logarithm) लेने पर: $\ln(1/4) = -\mu (3.5 \, mm) \Rightarrow -\ln(4) = -\mu (3.5 \, mm)$.
अतः,$\mu = \frac{\ln(4)}{3.5 \, mm} = \frac{2 \ln(2)}{3.5 \, mm}$.
$\ln(2) \approx 0.693$ का उपयोग करने पर: $\mu \approx \frac{2 \times 0.693}{3.5 \, mm} = \frac{1.386}{3.5 \, mm} \approx 0.396 \, mm^{-1}$.
इस प्रकार,निकटतम मान $\mu \approx 0.4 \, mm^{-1}$ प्राप्त होता है।

(C) $K_{\alpha}$ एक्स-रे के लिए मोजले के नियम के अनुसार:
$\frac{1}{\lambda} = R(Z - 1)^2 \left( \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right)$
$K_{\alpha}$ संक्रमण के लिए,$n_1 = 1$ और $n_2 = 2$ है।
अतः,$\frac{1}{\lambda} = R(Z - 1)^2 \left( 1 - \frac{1}{4} \right) = R(Z - 1)^2 \left( \frac{3}{4} \right)$.
दिया गया है $\lambda = 0.76 \ \mathring{A} = 0.76 \times 10^{-10} \ m$ और रिडबर्ग नियतांक $R \approx 1.097 \times 10^7 \ m^{-1}$।
$(Z - 1)^2 = \frac{4}{3 \lambda R} = \frac{4}{3 \times 0.76 \times 10^{-10} \times 1.097 \times 10^7}$.
$(Z - 1)^2 \approx \frac{4}{2.501} \times 10^3 \approx 1600$.
$Z - 1 = \sqrt{1600} = 40$.
$Z = 41$.

(A) एक्स-रे संक्रमणों के लिए मोसले के नियम और रिडबर्ग सूत्र के अनुसार,आवृत्ति $\nu = c/\lambda = R(Z-b)^2 (1/n_1^2 - 1/n_2^2)$ द्वारा दी जाती है।
$K_\alpha$ संक्रमण के लिए,$n_1 = 1$ और $n_2 = 2$ है। अतः,$1/\lambda_{K_\alpha} \propto (1/1^2 - 1/2^2) = 3/4$.
$K_\beta$ संक्रमण के लिए,$n_1 = 1$ और $n_2 = 3$ है। अतः,$1/\lambda_{K_\beta} \propto (1/1^2 - 1/3^2) = 8/9$.
अनुपात लेने पर: $\lambda_{K_\beta} / \lambda_{K_\alpha} = (3/4) / (8/9) = (3/4) \times (9/8) = 27/32$.
चूंकि $\lambda_{K_\alpha} = 0.32 \, \mathring{A}$ दिया गया है,इसलिए $\lambda_{K_\beta} = (27/32) \times 0.32 \, \mathring{A} = 0.27 \, \mathring{A}$।

(D) लायमैन श्रेणी की सीमा हाइड्रोजन $(Z=1)$ के लिए $n = \infty$ से $n = 1$ के संक्रमण के अनुरूप है।
$\frac{1}{\lambda_{\infty}} = R(1)^2 \left( \frac{1}{1^2} - \frac{1}{\infty^2} \right) = R \implies R = \frac{1}{911 \ \mathring{A}}$.
अभिलक्षणिक $K$-श्रेणी की एक्स-किरणों के लिए,न्यूनतम तरंगदैर्ध्य $n = \infty$ से $n = 1$ के संक्रमण के अनुरूप है (मोजले का नियम):
$\frac{1}{\lambda_{min}} = R(Z - 1)^2 \left( \frac{1}{1^2} - \frac{1}{\infty^2} \right) = R(Z - 1)^2$.
मान रखने पर:
$\frac{1}{0.7 \ \mathring{A}} = \frac{1}{911 \ \mathring{A}} (Z - 1)^2$.
$(Z - 1)^2 = \frac{911}{0.7} \approx 1301.4$.
$Z - 1 \approx 36.07$.
अतः,$Z \approx 37$.

(D) मोजले के नियम के अनुसार,अभिलक्षणिक एक्स-रे की आवृत्ति $\nu = a(Z - b)^2$ द्वारा दी जाती है। $K_{\alpha}$ रेखाओं के लिए,$b = 1$ होता है,इसलिए $\nu \propto (Z - 1)^2$ है।
चूंकि $\lambda = \frac{c}{\nu}$,इसलिए $\lambda \propto \frac{1}{(Z - 1)^2}$ होता है।
यहाँ $Z_1 = 64$ और $Z_2 = 80$ दिया गया है,इसलिए तरंगदैर्घ्य का अनुपात $\frac{\lambda_1}{\lambda_2} = \frac{(Z_2 - 1)^2}{(Z_1 - 1)^2}$ होगा।
मान रखने पर: $\frac{\lambda_1}{\lambda_2} = \frac{(80 - 1)^2}{(64 - 1)^2} = \frac{79^2}{63^2} \approx \left(\frac{80}{64}\right)^2 = \left(\frac{5}{4}\right)^2 = \frac{25}{16}$।
अतः,अनुपात $\frac{25}{16}$ है।

(A) एक्स-रे ट्यूब में निवेशित कुल शक्ति $P_{in} = VI$ है, जहाँ $V = 50 \ kV = 50 \times 10^3 \ V$ और $I$ विद्युत धारा है。
चूंकि ऊर्जा का $1\%$ एक्स-रे में परिवर्तित होता है, शेष $99\%$ ऊष्मा में परिवर्तित हो जाता है。
दिया गया है कि उत्पन्न ऊष्मा $495 \ W$ है, इसलिए:
$P_{heat} = 0.99 \times P_{in} = 0.99 \times V \times I$
$495 = 0.99 \times (50 \times 10^3) \times I$
$I = \frac{495}{0.99 \times 50 \times 10^3} = \frac{495}{49500} = 0.01 \ A = 10 \ mA$.
प्रति सेकंड लक्ष्य से टकराने वाले इलेक्ट्रॉनों की संख्या $n = \frac{I}{e}$ द्वारा दी जाती है, जहाँ $e = 1.6 \times 10^{-19} \ C$ है。
$n = \frac{0.01}{1.6 \times 10^{-19}} = \frac{10^{-2}}{1.6 \times 10^{-19}} = 0.625 \times 10^{17} = 6.25 \times 10^{16}$ इलेक्ट्रॉन प्रति सेकंड।

(A) न्यूनतम तरंगदैर्ध्य $\lambda_{\text{min}} = \frac{hc}{eV} = \frac{12400}{50 \times 10^3} \, \mathring{A} = 0.248 \, \mathring{A} \approx 0.25 \, \mathring{A}$ है। अतः,कथन $(4)$ सही है।
लक्ष्य पदार्थ के लिए उच्च गलनांक आवश्यक है ताकि वह अत्यधिक गर्मी में पिघले नहीं,इसलिए कथन $(1)$ सही है। गर्मी को कुशलतापूर्वक नष्ट करने के लिए उच्च ऊष्मीय चालकता की आवश्यकता होती है,इसलिए कथन $(2)$ गलत है।
प्रयुक्त शक्ति $P = VI = (50 \times 10^3 \, V) \times (20 \times 10^{-3} \, A) = 1000 \, W$ है।
एक्स-किरणों में परिवर्तित शक्ति $1000 \, W$ का $1\% = 10 \, W$ है।
गर्मी में परिवर्तित शक्ति $P_H = 1000 \, W$ का $99\% = 990 \, W$ है।
$P_H = ms \frac{\Delta \theta}{\Delta t}$ सूत्र का उपयोग करते हुए,जहाँ $m = 1.0 \, kg$ और $s = 495 \, J \cdot kg^{-1} \cdot ^\circ C^{-1}$:
$990 = 1.0 \times 495 \times \frac{\Delta \theta}{\Delta t}$
$\frac{\Delta \theta}{\Delta t} = \frac{990}{495} = 2 \, ^\circ C/s$। अतः,कथन $(3)$ सही है।
इस प्रकार,कथन $(1), (3)$ और $(4)$ सही हैं।

(A) मान लीजिए कि $K_\alpha$ रेखा की प्रारंभिक तरंगदैर्ध्य $\lambda_{K_\alpha}$ है और प्रारंभिक न्यूनतम तरंगदैर्ध्य $\lambda_{\min} = \frac{12400}{10000} \ \mathring{A} = 1.24 \ \mathring{A}$ है।
वोल्टेज को $20 \ kV$ तक बढ़ाने के बाद,नई न्यूनतम तरंगदैर्ध्य $\lambda_{\min}' = \frac{12400}{20000} \ \mathring{A} = 0.62 \ \mathring{A}$ है।
प्रश्न के अनुसार,अंतर $(\lambda_{K_\alpha} - \lambda_{\min}')$ का मान $(\lambda_{K_\alpha} - \lambda_{\min})$ के अंतर का $3$ गुना है।
अतः,$\lambda_{K_\alpha} - \lambda_{\min}' = 3(\lambda_{K_\alpha} - \lambda_{\min})$.
इसे हल करने पर,$2\lambda_{K_\alpha} = 3\lambda_{\min} - \lambda_{\min}'$ प्राप्त होता है।
मोज़ले के नियम के अनुसार,$\lambda_{K_\alpha} = \frac{4}{3R(Z-1)^2}$,जहाँ $\frac{1}{R} \approx 912 \ \mathring{A}$ है।
मान रखने पर: $2 \left[ \frac{4 \times 912}{3(Z-1)^2} \right] = 3(1.24) - 0.62 = 3.72 - 0.62 = 3.10 \ \mathring{A}$.
$\frac{8 \times 304}{(Z-1)^2} = 3.10 \implies (Z-1)^2 = \frac{2432}{3.10} \approx 784.5$.
वर्गमूल लेने पर,$Z-1 \approx 28$,इसलिए $Z = 29$।

(B) $L_\alpha$ रेखा की तरंगदैर्ध्य मोजले के नियम द्वारा दी जाती है: $\frac{1}{\lambda} = R(Z-b)^2 \left( \frac{1}{2^2} - \frac{1}{3^2} \right)$.
दो तत्वों के लिए अनुपात लेने पर:
$\frac{\lambda_2}{\lambda_1} = \left( \frac{Z_1 - b}{Z_2 - b} \right)^2$.
यहाँ $\lambda_1 = 1.32 \, \mathring A$,$Z_1 = 78$,$\lambda_2 = 4.17 \, \mathring A$,$b = 7.4$ दिया गया है।
$\frac{4.17}{1.32} = \left( \frac{78 - 7.4}{Z_2 - 7.4} \right)^2$.
$3.159 \approx \left( \frac{70.6}{Z_2 - 7.4} \right)^2$.
वर्गमूल लेने पर: $1.777 \approx \frac{70.6}{Z_2 - 7.4}$.
$Z_2 - 7.4 \approx \frac{70.6}{1.777} \approx 39.73$.
$Z_2 \approx 39.73 + 7.4 = 47.13$.
निकटतम पूर्णांक में,परमाणु संख्या $47$ है।

(B) मोजले के नियम के अनुसार,अभिलक्षणिक $X$-किरणों की आवृत्ति $\nu = a(Z-b)^2$ द्वारा दी जाती है। चूंकि $\nu = c/\lambda$,इसलिए $K_\alpha$ विकिरण के लिए $\lambda \propto 1/(Z-1)^2$ होता है।
$Mo (Z_1 = 42)$ के लिए दिया गया है,$\lambda_1 = 0.71 \;\mathring A$।
$Cu (Z_2 = 29)$ के लिए,हमें $\lambda_2$ ज्ञात करना है।
अनुपात का उपयोग करते हुए: $\frac{\lambda_2}{\lambda_1} = \frac{(Z_1 - 1)^2}{(Z_2 - 1)^2}$।
मान रखने पर: $\lambda_2 = 0.71 \times \frac{(42 - 1)^2}{(29 - 1)^2}$।
$\lambda_2 = 0.71 \times \frac{41^2}{28^2} = 0.71 \times \frac{1681}{784}$।
$\lambda_2 \approx 0.71 \times 2.144 = 1.522 \;\mathring A$।
अतः,तरंगदैर्ध्य $1.52 \;\mathring A$ है।

(A) $K_\alpha$ एक्स-किरणों के लिए मोजले के नियम के अनुसार,संक्रमण $n_2 = 2$ से $n_1 = 1$ में होता है।
रिडबर्ग सूत्र का उपयोग करते हुए: $\frac{1}{\lambda_{K\alpha}} = R(Z - 1)^2 \left[ \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right]$.
मान रखने पर: $\frac{1}{\lambda_{K\alpha}} = R(Z - 1)^2 \left[ \frac{1}{1^2} - \frac{1}{2^2} \right] = R(Z - 1)^2 \left[ 1 - \frac{1}{4} \right] = \frac{3R(Z - 1)^2}{4}$.
अतः,$\lambda_{K\alpha} = \frac{4}{3R(Z - 1)^2}$.
यह दिया गया है कि $\frac{1}{R} \approx 912 \ \mathring{A}$,इस मान को समीकरण में रखने पर:
$\lambda_{K\alpha} = \frac{4}{3} \times \frac{912}{(Z - 1)^2} = \frac{1216}{(Z - 1)^2} \ \mathring{A}$.

(D) किसी पदार्थ से गुजरने के बाद एक्स-रे की तीव्रता का सूत्र $I = I_0 e^{-\mu x}$ है,जहाँ $I$ अंतिम तीव्रता है,$I_0$ प्रारंभिक तीव्रता है,$\mu$ अवशोषण गुणांक है और $x$ पदार्थ की मोटाई है।
यह दिया गया है कि तीव्रता घटकर अपनी प्रारंभिक तीव्रता का $36.8\%$ रह जाती है,इसलिए $\frac{I}{I_0} = 36.8\% = 0.368$ है।
चूंकि $e^{-1} \approx 0.368$,हम लिख सकते हैं कि $e^{-\mu x} = e^{-1}$।
घातांकों की तुलना करने पर,हमें $\mu x = 1$ प्राप्त होता है।
यहाँ $x = 5 \times 10^{-3} \ m$ दिया गया है,इसलिए $\mu = \frac{1}{x} = \frac{1}{5 \times 10^{-3} \ m}$ होगा।
$\mu = \frac{1000}{5} \ m^{-1} = 200 \ m^{-1}$।

(D) उत्पन्न एक्स-किरणों की अधिकतम आवृत्ति $(f_{max})$ संबंध $hf_{max} = eV$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $V$ त्वरक विभव है।
$f_{max} = \frac{eV}{h} = \frac{1.6 \times 10^{-19} \,C \times 50 \times 10^3 \,V}{6.63 \times 10^{-34} \,J \cdot s}$
$f_{max} \approx 1.206 \times 10^{19} \,Hz = 12.06 \times 10^{18} \,Hz$.
चूंकि अधिकतम संभव आवृत्ति लगभग $12.06 \times 10^{18} \,Hz$ है,इसलिए इससे अधिक आवृत्ति प्राप्त नहीं की जा सकती है।
अतः,$14 \times 10^{18} \,Hz$ आवृत्ति संभव नहीं है।

(C) तरंगों का विवर्तन तब होता है जब बाधा या छिद्र का आकार तरंग की तरंगदैर्ध्य के तुलनीय होता है।
$X$-किरणों की तरंगदैर्ध्य बहुत छोटी होती है (आमतौर पर $0.01 \ nm$ से $10 \ nm$ की सीमा में)।
उनकी तरंगदैर्ध्य अत्यंत छोटी होने के कारण,सामान्य वस्तुओं या छिद्रों द्वारा उनका आसानी से विवर्तन नहीं हो सकता है।
हालाँकि,क्रिस्टल लैटिस द्वारा उनका विवर्तन हो सकता है जहाँ अंतर-परमाणु दूरी $X$-किरण की तरंगदैर्ध्य के तुलनीय होती है।
सामान्य वस्तुओं के संदर्भ में,उनकी छोटी तरंगदैर्ध्य के कारण उनका विवर्तन नहीं होता है।
इसलिए,सही विकल्प $C$ है।

(A) एक्स-रे उत्सर्जन के संदर्भ में,$K$-श्रृंखला $n = 1$ कोश ($K$-शेल) में होने वाले इलेक्ट्रॉनिक संक्रमणों के अनुरूप होती है।
$K\alpha$ रेखा विशेष रूप से निकटतम उच्च ऊर्जा स्तर,जो $L$-शेल $(n = 2)$ है,से $K$-शेल $(n = 1)$ में होने वाले संक्रमण को दर्शाती है।
इसलिए,यह संक्रमण $n = 2 \to n = 1$ है।

(C) $X$-किरणें उच्च आवृत्ति वाले विद्युत चुम्बकीय विकिरण हैं,जो तब उत्पन्न होते हैं जब उच्च ऊर्जा वाले इलेक्ट्रॉन उच्च परमाणु क्रमांक वाली धातु की सतह (लक्ष्य) से टकराते हैं।
विशेष रूप से,अभिलक्षणिक $X$-किरणें तब उत्पन्न होती हैं जब एक आपतित उच्च-ऊर्जा इलेक्ट्रॉन लक्ष्य परमाणु की आंतरिक कक्षा (जैसे $K$-कक्षा) से एक इलेक्ट्रॉन को बाहर निकाल देता है।
इससे आंतरिक कक्षा में एक रिक्ति (vacancy) बन जाती है,जिससे परमाणु अस्थिर हो जाता है।
स्थिरता प्राप्त करने के लिए,बाहरी उच्च-ऊर्जा कक्षा से एक इलेक्ट्रॉन इस रिक्ति को भरने के लिए नीचे आता है।
दोनों कक्षाओं के बीच ऊर्जा के अंतर को उच्च-ऊर्जा फोटॉन के रूप में उत्सर्जित किया जाता है,जिसे $X$-किरण फोटॉन कहा जाता है।

(B) $K$-कोश के इलेक्ट्रॉन को बाहर निकालने के लिए आवश्यक आयनन ऊर्जा $E$,$K$-एज तरंगदैर्ध्य के संगत फोटॉन की ऊर्जा द्वारा दी जाती है। संबंध $E = \frac{hc}{\lambda}$ का उपयोग करते हुए:
दिया गया है: $h = 6.63 \times 10^{-34} \ J \cdot s$,$c = 3 \times 10^8 \ m/s$,और $\lambda = 1.54 \ \mathring{A} = 1.54 \times 10^{-10} \ m$.
$E = \frac{(6.63 \times 10^{-34}) \times (3 \times 10^8)}{1.54 \times 10^{-10}}$
$E = \frac{19.89 \times 10^{-26}}{1.54 \times 10^{-10}}$
$E \approx 12.91 \times 10^{-16} \ J$.