X-Rays Questions in Hindi

(B) मोसले का नियम बताता है कि एक विशिष्ट एक्स-रे स्पेक्ट्रल रेखा की आवृत्ति $(v)$ का वर्गमूल लक्ष्य तत्व की परमाणु संख्या $(Z)$ के सीधे आनुपातिक होता है।
गणितीय रूप से,इसे इस प्रकार व्यक्त किया जाता है: $\sqrt{v} = a(Z - b)$.
यहाँ,$a$ और $b$ विशिष्ट स्पेक्ट्रल रेखा (जैसे $K_\alpha$) पर निर्भर स्थिरांक हैं।
इस समीकरण को पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें प्राप्त होता है: $\frac{\sqrt{v}}{(Z - b)} = a$.
दिए गए विकल्पों के साथ तुलना करने पर,जहाँ $A$ और $B$ स्थिरांक हैं,सही संबंध $\frac{\sqrt{v}}{(Z - A)} = B$ है।

(A) फोटॉन की ऊर्जा का सूत्र $E = \frac{hc}{\lambda}$ है।
दिया गया है, $\lambda = 45 \times 10^{-2} \text{ Å} = 45 \times 10^{-12} \text{ m}$.
मान रखने पर: $E = \frac{6.62 \times 10^{-34} \times 3 \times 10^8}{45 \times 10^{-12}} \text{ J}$.
$E = \frac{19.86 \times 10^{-26}}{45 \times 10^{-12}} \text{ J} = 0.4413 \times 10^{-14} \text{ J}$.
ऊर्जा को $eV$ में बदलने के लिए, इलेक्ट्रॉन के आवेश $(1.6 \times 10^{-19} \text{ C})$ से विभाजित करें:
$E_{eV} = \frac{0.4413 \times 10^{-14}}{1.6 \times 10^{-19}} \text{ eV} \approx 0.2758 \times 10^5 \text{ eV} = 27,580 \text{ eV}$.
दिए गए विकल्पों के अनुसार निकटतम मान $27,500 \text{ eV}$ है।

(A) $V$ विभवांतर द्वारा त्वरित इलेक्ट्रॉनों द्वारा उत्पन्न $X$-किरणों की न्यूनतम तरंगदैर्ध्य $(\lambda_{min})$ डुआन-हंट नियम द्वारा दी जाती है: $\lambda_{min} = \frac{hc}{eV}$.
यहाँ $V = 20 \ kV = 20 \times 10^3 \ V$ दिया गया है।
$h = 6.626 \times 10^{-34} \ J \cdot s$,$c = 3 \times 10^8 \ m/s$,और $e = 1.6 \times 10^{-19} \ C$ के मानों का उपयोग करने पर:
$\lambda_{min} = \frac{12400 \ Å \cdot V}{V \text{ (वोल्ट में)}}$.
$\lambda_{min} = \frac{12400}{20000} \ Å = 0.62 \ Å = 0.062 \ nm$.

(A) विद्युतचुंबकीय स्पेक्ट्रम में $X$-किरणों को उच्च-ऊर्जा विकिरण के रूप में वर्गीकृत किया जाता है, जिनकी तरंगदैर्ध्य आमतौर पर $10^{-8} \,m$ से $10^{-12} \,m$ के बीच होती है।
दिए गए विकल्पों में से, $10^{-10} \,m$ इस सीमा के भीतर आता है, इसलिए यह $X$-किरणों के लिए एक विशिष्ट तरंगदैर्ध्य है।

(A) दिया गया है: परमाणु क्रमांक $Z=31$ और स्थिरांक $a=5 \times 10^7 \text{ Hz}^{1/2}$।
$K_{\alpha}$ रेखा के लिए मोज़ले के नियम के अनुसार:
$\sqrt{\nu} = a(Z-1)$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$\nu = a^2(Z-1)^2$
मान रखने पर:
$\nu = (5 \times 10^7)^2 \times (31-1)^2$
$\nu = 25 \times 10^{14} \times 30^2$
$\nu = 25 \times 10^{14} \times 900 = 2.25 \times 10^{18} \text{ Hz}$
अब, $\lambda = \frac{c}{\nu}$ संबंध का उपयोग करते हुए, जहाँ $c = 3 \times 10^8 \text{ m/s}$:
$\lambda = \frac{3 \times 10^8}{2.25 \times 10^{18}}$
$\lambda = 1.33 \times 10^{-10} \text{ m}$
चूंकि $1 \text{ Å} = 10^{-10} \text{ m}$, इसलिए:
$\lambda = 1.33 \text{ Å}$।

(B)
कॉम्पटन शिफ्ट का सूत्र:
$\Delta \lambda = \lambda' - \lambda = \frac{h}{m_e c} (1 - \cos \phi)$
यहाँ $\lambda = 0.140 \,nm = 0.140 \times 10^{-9} \,m$ और $\phi = 90^\circ$ दिया गया है।
चूँकि $\cos 90^\circ = 0$, इसलिए शिफ्ट:
$\Delta \lambda = \frac{h}{m_e c}$
कॉम्पटन तरंगदैर्ध्य:
$\frac{h}{m_e c} \approx 2.426 \times 10^{-12} \,m = 0.002426 \,nm$
अतः,
$\lambda' = \lambda + \Delta \lambda = 0.140 \,nm + 0.002426 \,nm = 0.142426 \,nm$
तीन दशमलव स्थानों तक पूर्णांकित करने पर:
$\lambda' \approx 0.142 \,nm$

(B) मोसले का नियम बताता है कि एक विशिष्ट एक्स-रे स्पेक्ट्रल रेखा की आवृत्ति $(v)$ का वर्गमूल तत्व की परमाणु संख्या $(Z)$ के सीधे आनुपातिक होता है।
गणितीय रूप से,इसे $\sqrt{v} = a(Z - b)$ के रूप में व्यक्त किया जाता है,जहाँ $a$ और $b$ स्थिरांक हैं।
दिए गए विकल्पों में,यदि हम संबंध $\sqrt{v} = B(Z-A)$ को पुनर्व्यवस्थित करते हैं,तो हमें $\frac{\sqrt{v}}{(Z-A)} = B$ प्राप्त होता है।
इसलिए,सही संबंध $\frac{\sqrt{v}}{(Z-A)} = B$ है।

(D) $K_\alpha$ रेखा की तरंगदैर्ध्य,जिसे $\lambda_{K_\alpha}$ के रूप में दर्शाया गया है,स्थिर है और ऑपरेटिंग वोल्टेज $V$ से स्वतंत्र है।
निरंतर $X$-ray स्पेक्ट्रम की न्यूनतम तरंगदैर्ध्य $\lambda_{min} = \frac{hc}{eV}$ द्वारा दी जाती है।
दिया गया है $\Delta \lambda = \lambda_{min} - \lambda_{K_\alpha} = \frac{hc}{eV} - \lambda_{K_\alpha}$।
जब वोल्टेज को बदलकर $V^{\prime} = V/3$ कर दिया जाता है,तो नई न्यूनतम तरंगदैर्ध्य $\lambda_{min}^{\prime} = \frac{hc}{e(V/3)} = 3 \frac{hc}{eV} = 3 \lambda_{min}$ होती है।
नया अंतर $\Delta \lambda^{\prime} = \lambda_{min}^{\prime} - \lambda_{K_\alpha} = 3 \lambda_{min} - \lambda_{K_\alpha}$ है।
चूंकि $\lambda_{min} = \Delta \lambda + \lambda_{K_\alpha}$,हम इसे $\Delta \lambda^{\prime}$ के व्यंजक में प्रतिस्थापित करते हैं:
$\Delta \lambda^{\prime} = 3(\Delta \lambda + \lambda_{K_\alpha}) - \lambda_{K_\alpha} = 3 \Delta \lambda + 3 \lambda_{K_\alpha} - \lambda_{K_\alpha} = 3 \Delta \lambda + 2 \lambda_{K_\alpha}$।
चूंकि $\lambda_{K_\alpha} > 0$,इसलिए $\Delta \lambda^{\prime} > 3 \Delta \lambda$ होता है। अतः,सही विकल्प $D$ है।

(D) अभिलक्षणिक $X$-किरणों के लिए मोजले के नियम के अनुसार,उत्सर्जित $X$-किरणों की आवृत्ति $v$,परमाणु क्रमांक $Z$ से $v \propto (Z - b)^2$ के रूप में संबंधित होती है,जहाँ $b$ एक स्क्रीनिंग स्थिरांक है। $K_{\alpha}$ रेखा के लिए,$b = 1$ होता है।
दोनों तत्वों के लिए समान श्रेणी मानते हुए,हमारे पास $v \propto Z^2$ है।
परमाणु क्रमांकों का अनुपात $Z_{A} : Z_{B} = 1 : 2$ दिया गया है।
अतः,आवृत्तियों का अनुपात होगा:
$\frac{v_{A}}{v_{B}} = \left( \frac{Z_{A}}{Z_{B}} \right)^2$
$\frac{v_{A}}{v_{B}} = \left( \frac{1}{2} \right)^2 = \frac{1}{4}$
इस प्रकार,$v_{A} : v_{B} = 1 : 4$ है।

(D) जब $X$-किरणें $d$ दूरी वाले समानांतर परमाण्विक तलों पर $\theta$ कोण पर आपतित होती हैं,तो क्रमिक तलों से परावर्तित किरणों के बीच का पथांतर $\Delta x = 2 d \sin \theta$ द्वारा दिया जाता है।
संपोषी व्यतिकरण (उच्चिष्ठ) के लिए,पथांतर तरंगदैर्ध्य $\lambda$ का एक पूर्णांक गुणज होना चाहिए।
अतः,उच्चिष्ठ के लिए शर्त $2 d \sin \theta = n \lambda$ है,जहाँ $n = 1, 2, 3, \dots$ व्यतिकरण फ्रिंज का क्रम है। इसे ब्रैग का नियम (Bragg's Law) कहा जाता है।