X-Rays Questions in Gujarati

(B) મોસલેનો નિયમ જણાવે છે કે લાક્ષણિક $X$-રે વર્ણપટ રેખાની આવૃત્તિ $(v)$ નું વર્ગમૂળ એ લક્ષ્ય તત્વના પરમાણુ ક્રમાંક $(Z)$ ના સમપ્રમાણમાં હોય છે.
ગાણિતિક રીતે,તેને આ રીતે દર્શાવવામાં આવે છે: $\sqrt{v} = a(Z - b)$.
અહીં,$a$ અને $b$ એ ચોક્કસ વર્ણપટ રેખા (જેમ કે $K_\alpha$) પર આધારિત અચળાંકો છે.
આ સમીકરણને ફરીથી ગોઠવતા,આપણને મળે છે: $\frac{\sqrt{v}}{(Z - b)} = a$.
આપેલા વિકલ્પો સાથે સરખાવતા,જ્યાં $A$ અને $B$ અચળાંકો છે,સાચો સંબંધ $\frac{\sqrt{v}}{(Z - A)} = B$ છે.

(A) ફોટોનની ઉર્જાનું સૂત્ર $E = \frac{hc}{\lambda}$ છે.
આપેલ છે, $\lambda = 45 \times 10^{-2} \text{ Å} = 45 \times 10^{-12} \text{ m}$.
કિંમતો મૂકતા: $E = \frac{6.62 \times 10^{-34} \times 3 \times 10^8}{45 \times 10^{-12}} \text{ J}$.
$E = \frac{19.86 \times 10^{-26}}{45 \times 10^{-12}} \text{ J} = 0.4413 \times 10^{-14} \text{ J}$.
ઉર્જાને $eV$ માં ફેરવવા માટે, ઇલેક્ટ્રોનના વિદ્યુતભાર $(1.6 \times 10^{-19} \text{ C})$ વડે ભાગતા:
$E_{eV} = \frac{0.4413 \times 10^{-14}}{1.6 \times 10^{-19}} \text{ eV} \approx 0.2758 \times 10^5 \text{ eV} = 27,580 \text{ eV}$.
આપેલા વિકલ્પો મુજબ નજીકની કિંમત $27,500 \text{ eV}$ છે.

(A) $V$ જેટલા વિદ્યુતસ્થિતિમાનના તફાવત દ્વારા પ્રવેગિત ઇલેક્ટ્રોન દ્વારા ઉત્પન્ન થતા $X$-કિરણોની લઘુત્તમ તરંગલંબાઈ $(\lambda_{min})$ ડ્યુઆન-હન્ટના નિયમ દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\lambda_{min} = \frac{hc}{eV}$.
અહીં $V = 20 \ kV = 20 \times 10^3 \ V$ આપેલ છે.
$h = 6.626 \times 10^{-34} \ J \cdot s$,$c = 3 \times 10^8 \ m/s$,અને $e = 1.6 \times 10^{-19} \ C$ ની કિંમતોનો ઉપયોગ કરતા:
$\lambda_{min} = \frac{12400 \ Å \cdot V}{V \text{ (વોલ્ટમાં)}}$.
$\lambda_{min} = \frac{12400}{20000} \ Å = 0.62 \ Å = 0.062 \ nm$.

(A) વિદ્યુતચુંબકીય વર્ણપટમાં $X$-ray ને ઉચ્ચ-ઊર્જા ધરાવતા વિકિરણ તરીકે વર્ગીકૃત કરવામાં આવે છે, જેની તરંગલંબાઇ સામાન્ય રીતે $10^{-8} \,m$ થી $10^{-12} \,m$ ની વચ્ચે હોય છે।
આપેલા વિકલ્પોમાંથી, $10^{-10} \,m$ આ શ્રેણીમાં આવે છે, તેથી તે $X$-ray માટે એક લાક્ષણિક તરંગલંબાઇ છે.

(A) આપેલ છે: પરમાણુ ક્રમાંક $Z=31$ અને અચળાંક $a=5 \times 10^7 \text{ Hz}^{1/2}$.
$K_{\alpha}$ રેખા માટે મોઝલેના નિયમ મુજબ:
$\sqrt{\nu} = a(Z-1)$
બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$\nu = a^2(Z-1)^2$
કિંમતો મૂકતા:
$\nu = (5 \times 10^7)^2 \times (31-1)^2$
$\nu = 25 \times 10^{14} \times 30^2$
$\nu = 25 \times 10^{14} \times 900 = 2.25 \times 10^{18} \text{ Hz}$
હવે, $\lambda = \frac{c}{\nu}$ સંબંધનો ઉપયોગ કરતા, જ્યાં $c = 3 \times 10^8 \text{ m/s}$:
$\lambda = \frac{3 \times 10^8}{2.25 \times 10^{18}}$
$\lambda = 1.33 \times 10^{-10} \text{ m}$
કારણ કે $1 \text{ Å} = 10^{-10} \text{ m}$, તેથી:
$\lambda = 1.33 \text{ Å}$.

(B)
કોમ્પ્ટન શિફ્ટનું સૂત્ર:
$\Delta \lambda = \lambda' - \lambda = \frac{h}{m_e c} (1 - \cos \phi)$
અહીં $\lambda = 0.140 \,nm = 0.140 \times 10^{-9} \,m$ અને $\phi = 90^\circ$ આપેલ છે।
$\cos 90^\circ = 0$ હોવાથી,
$\Delta \lambda = \frac{h}{m_e c}$
કોમ્પ્ટન તરંગલંબાઈ:
$\frac{h}{m_e c} \approx 2.426 \times 10^{-12} \,m = 0.002426 \,nm$
તેથી,
$\lambda' = \lambda + \Delta \lambda = 0.140 \,nm + 0.002426 \,nm = 0.142426 \,nm$
ત્રણ દશાંશ સ્થળ સુધી રાઉન્ડ ઓફ કરતા:
$\lambda' \approx 0.142 \,nm$

(B) મોસેલીનો નિયમ જણાવે છે કે લાક્ષણિક એક્સ-રે સ્પેક્ટ્રલ રેખાની આવૃત્તિ $(v)$ નું વર્ગમૂળ એ તત્વના પરમાણુ ક્રમાંક $(Z)$ ના સમપ્રમાણમાં હોય છે.
ગાણિતિક રીતે,આને $\sqrt{v} = a(Z - b)$ તરીકે દર્શાવવામાં આવે છે,જ્યાં $a$ અને $b$ અચળાંકો છે.
આપેલા વિકલ્પોમાં,જો આપણે સંબંધ $\sqrt{v} = B(Z-A)$ ને ફરીથી ગોઠવીએ,તો આપણને $\frac{\sqrt{v}}{(Z-A)} = B$ મળે છે.
તેથી,સાચો સંબંધ $\frac{\sqrt{v}}{(Z-A)} = B$ છે.

(D) $K_\alpha$ રેખાની તરંગલંબાઇ,જેને $\lambda_{K_\alpha}$ તરીકે દર્શાવવામાં આવે છે,તે અચળ છે અને ઓપરેટિંગ વોલ્ટેજ $V$ થી સ્વતંત્ર છે.
સતત $X$-ray વર્ણપટની લઘુત્તમ તરંગલંબાઇ $\lambda_{min} = \frac{hc}{eV}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે $\Delta \lambda = \lambda_{min} - \lambda_{K_\alpha} = \frac{hc}{eV} - \lambda_{K_\alpha}$.
જ્યારે વોલ્ટેજ બદલીને $V^{\prime} = V/3$ કરવામાં આવે છે,ત્યારે નવી લઘુત્તમ તરંગલંબાઇ $\lambda_{min}^{\prime} = \frac{hc}{e(V/3)} = 3 \frac{hc}{eV} = 3 \lambda_{min}$ થાય છે.
નવો તફાવત $\Delta \lambda^{\prime} = \lambda_{min}^{\prime} - \lambda_{K_\alpha} = 3 \lambda_{min} - \lambda_{K_\alpha}$ છે.
કારણ કે $\lambda_{min} = \Delta \lambda + \lambda_{K_\alpha}$,આપણે આ કિંમત $\Delta \lambda^{\prime}$ ના સમીકરણમાં મૂકીએ છીએ:
$\Delta \lambda^{\prime} = 3(\Delta \lambda + \lambda_{K_\alpha}) - \lambda_{K_\alpha} = 3 \Delta \lambda + 3 \lambda_{K_\alpha} - \lambda_{K_\alpha} = 3 \Delta \lambda + 2 \lambda_{K_\alpha}$.
કારણ કે $\lambda_{K_\alpha} > 0$,તેથી $\Delta \lambda^{\prime} > 3 \Delta \lambda$ થાય છે. તેથી,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(D) લાક્ષણિક $X$-કિરણો માટે મોઝલેના નિયમ મુજબ,ઉત્સર્જિત $X$-કિરણોની આવૃત્તિ $v$ એ પરમાણુ ક્રમાંક $Z$ સાથે $v \propto (Z - b)^2$ તરીકે સંબંધિત છે,જ્યાં $b$ એ સ્ક્રીનિંગ અચળાંક છે. $K_{\alpha}$ રેખા માટે,$b = 1$ છે.
બંને તત્વો માટે સમાન શ્રેણી ધારતા,આપણી પાસે $v \propto Z^2$ છે.
પરમાણુ ક્રમાંકનો ગુણોત્તર $Z_{A} : Z_{B} = 1 : 2$ આપેલ છે.
તેથી,આવૃત્તિઓનો ગુણોત્તર:
$\frac{v_{A}}{v_{B}} = \left( \frac{Z_{A}}{Z_{B}} \right)^2$
$\frac{v_{A}}{v_{B}} = \left( \frac{1}{2} \right)^2 = \frac{1}{4}$
આમ,$v_{A} : v_{B} = 1 : 4$ થાય.

(D) જ્યારે $X$-કિરણો $d$ અંતર ધરાવતા સમાંતર પરમાણુ સમતલો પર $\theta$ ના ખૂણે આપાત થાય છે,ત્યારે ક્રમિક સમતલો પરથી પરાવર્તિત થતા કિરણો વચ્ચેનો પથ તફાવત $\Delta x = 2 d \sin \theta$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સહાયક વ્યતિકરણ (મહત્તમ તીવ્રતા) માટે,પથ તફાવત એ તરંગલંબાઇ $\lambda$ નો પૂર્ણાંક ગુણાંક હોવો જોઈએ.
તેથી,મહત્તમ તીવ્રતા માટેની શરત $2 d \sin \theta = n \lambda$ છે,જ્યાં $n = 1, 2, 3, \dots$ એ વ્યતિકરણની ક્રમ છે. આને બ્રેગનો નિયમ (Bragg's Law) કહેવામાં આવે છે.